（应用数学专业论文）两个反应扩散方程的非常数正解.pdf

中文摘要 本文主要研究了两个反应扩散方程的解的存在性问题全文共分为五章 第一章为前言，主要介绍本文所研究问题的一些相关背景，以及研究的主要 问题和应用的主要方法 第二章为相关的定义和基本定理这些定理和定义都是解决后面问题必备的 基础知识和重要工具，在下文中将不再证明而直接应用 第三章主要研究简单的s e h n a k e n b e r g 自催化模型： ， l 也( t ) 一d l a u = 口一t 正+ t 2 ， z q ，t 0 ， lo ( t ) 一d 2 a v = b u 2 口， z q ，t 0 ， l 鬻= 岛= 0 ， z o 2 ， 0 ， i 让( z ，0 ) = t 正0 ( z ) 0 ， 口( z ，0 ) = t 】o ( z ) 0 ， z q 分别通过能量方法和隐函数定理两种途径得出此模型在齐次n e t t m a m a 边界条件 下不存在非常数正解时参数需满足的条件，然后又应用拓扑度理论证明了非常数 正解的存在性，最后又讨论了非常数正解的分歧问题 第四章主要研究具有空间扩散和年龄结构的竞争模型： ， lu l t d x a u l = a u 2 一阮1 一u 1 2 一c u l u 3 ，z q ，t 0 ， i 他2 一d 2 a u 22u l t 正2 ， z q ，t 0 ， i 乱3 t d 3 a u 32u 3 ( e u l u 3 ) ， z q ，t 0 ， i 岛l t l = 岛u 2 = 岛乱3 = 0 ， z 0 2 ，t 0 ， 讨论了此模型在n e u m a n n 边界条件下正常数解的稳定性，并用两种不同的方法给 出了非常数正解不存在的条件，在此条件下系统只有唯一解，即正常数解，扩散 不会导致斑图现象发生 第五章为结束语，是对全文工作的总结 关键词：反应扩散；稳定性；正平衡态；解的存在性； 年龄结构 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，p o s i t i v es t e a d y - s t a t e so ft w or e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i l lb e c o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h e s ep r o b l e m s ，m a i np r o b l e m sa n da p p l i e dm e t h o d s t h es e c o n ds e c t i o ni sc o m p o s e do fs o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s t h e ya r e t h ef o u n d a t i o n sa n dt o o l so ft h el a t e rw o r k ，a n dw ew i l lu s et h e mw i t h o u tp r o o f n e x ts e c t i o no ft h i sp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h en o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y - s t a t eo ft h es i m p l es c h n a k e n b e r gm o d e l ： 0 ， 0 t 0 w eo b t a i nt h en o n - e x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n st h r o u g he n e r g ym e t h o da n di m p l i c i t f u n c t i o nt h e o r e m ，a n dw ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n s b yd e g r e et h e o r y a tl a s tw eg i v es o m et h e o r e m sa b o u tb i f u r c a t i o n t h ef o u r t hs e c t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ec o m p e t i t i v em o d e lw i t hs p a t i a ld i f f u s i o n a n ds t a g e - s t r u c t u r e ： 陋二老三：芝一卜篡 1u a 3 。t u - 。：d 3 岛a u 札3 。= ：u 岛3 让( e 。- ：u 。l ，一u 3 l 三茎未 0 ， 0 ， 0 ， t 0 w eo b t a i nt h es t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u t i o no ft h ec o m p e t i t i v em o d e l m o r e o v e r ，t h er e s u l t so ft h en o n - e x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n sa r e 百眦b y u s i n gt w od i f f e r e n tw a y sw h i c hm e a n ss o m ec e r t a i nc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ep a t t e r n f o r m a t i o nd o e sn o to c c u r a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o n ； s t a b i l i t y ；p o s i t i v es t e a d y - s t a t e s ；e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s ；s t a g e - s t r u c t u r e u 舻 x 一 叫 。i 旷 八i = l i ， u 口0 吣 = 乱 血如丝蛳= 善)= 坠町q浆蒜 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 砂翠芳 签字日期： 狮7 年参月2 - e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：矽辞芳 签字日期：2 刃7 年6 月2h 导师繇呈衫孕 签字日期：2 卯7 年6 月2 日 第一章前言 第一章前言 近年来反应扩散方程的研究日益受到重视，已成为微分方程领域一个 十分重要的研究方向反应扩散方程被广泛地应用于描述物理学、化学和 生物学中的数学模型，具有较强的实际意义许多科学家都在这个领域中 做出过很大的贡献著名数学家叶其孝、李正元在【1 中做了详细论述其 中，在各种边界条件下平衡解的存在性稳定性以及依赖于参数的平衡解的 分叉问题是目前反应扩散方程研究的热点问题之一 在早期，人们主要研究没有扩散的常微分方程，比如，【4 描述了经典 的捕食一食饵模型， 2 】提出并研究了常微分方程的捕食一食饵一互助者 模型， 【6 】主要研究了化学反应中的n o y e - f i e l d 模型随着研究的不断深入， 这方面的问题越来越多，人们又相继研究了具有扩散的反应扩散方程，与 上相对应的具有扩散项的反应扩散方程组的研究请参考【5 ，【3 】，【2 2 目前，更多的研究集中在各种形式的反应扩散模型，如 2 4 】主要讨论了 捕食一食饵一互助者模型的非常数正解【2 3 】研究了具有比率依赖的三种 群的捕食一食饵模型的解的存在性问题文【9 】在原来模型的基础上加以改 进，主要研究了依赖扩散系数的捕食一食饵模型，讨论了该模型唯一正常 数解的性质和非常数正解的存在性问题，也证实了扩散对于稳定性的提高 有很大的作用【1 2 】研究了具有交叉扩散的捕食一食饵模型 1 0 】主要讨 论了具有非单调函数的反应扩散方程的非常数正解问题这一模型存在两 组常数解，文【1 0 】对这两组解分别进行了讨论，并得出非常数正解存在和不 存在的条件以及分歧问题的结果 本文在第三章主要研究了下面简单的s c t m a k e n b e r g 自催化模型，关于这 个模型已有很多人研究过【1 5 主要介绍了s c h n a k e n b e r g 模型的相关性质， 【1 3 】利用矩阵详细地证明了s c h n a k e n b e r g 模型在一维空间( 1 , 1 ) 的静平衡态 的稳定性， 1 6 】利用数值分析方法研究了在连续增长区域上的s c t m a k e n b e r g 模型，另外【1 9 】【2 0 】【2 1 也对该模型作出了相关研究关于这一模型详细的 背景知识请参阅【1 3 】 1 4 】【1 6 】模型如下： 第一章前言 i 耋。( 。t ，) 一- d d 。l a u ：= 6 a 一- - 缸u ：口+ ，u 2 二耋三：；墨 l 舞= 岛= o ， z m o ， i u ( x ，0 ) = u o ( x ) 0 ， v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ，z q 本章分别通过能量方法和隐函数定理两种途径得出此模型在齐次n e u - m a i m 边界条件下不存在非常数正解时参数需满足的条件，然后又应用拓扑 度理论证明了非常数正解的存在性，最后又讨论了非常数正解的分歧问题 在经典的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型的研究中，人们总是假设种群个体在 整个生命阶段具有相同的密度制约率，相同的生育能力，相同的竞争能力， 而忽视了个体在各个生命阶段的能力差异，这种假设往往不符合现实因 为很多种群成年才具有生育能力，有些幼体与其它种群没有竞争资源的能 力，靠成年个体抚养，而有些幼体与其它种群在同一环境中有资源竞争，。 成年个体主要在另外的环境生存( 如一些两栖动物) 因此年龄结构模型被用 来描述物种在不同年龄阶段的差异为了使讨论的种群模型更切合实际， 还应考虑种群的空间扩散行为，这导致了具有年龄结构的反应扩散方程组 的研究 本文在第四章主要讨论了在n e u m a n n 边界条件下具有空间扩散和年龄 结构的竞争模型这方面也有相关文献，如文【3 1 】主要研究了具有年龄结构 和捕食关系的两种群生物经济模型，并分别获得了一个或两个种群灭绝和 两种群持久共存的充分必要条件，也获得了保持生态环境持续发展的最优 收获策略和收获成年种群的阈值有关具有年龄结构的模型的背景知识以 及讨论的相关问题可参考文【2 9 1 【3 1 【3 2 】 z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z a q ，t 0 ， 其中t , 1 , 钆2 分别为同一个种群的成熟阶段和未成熟阶段的密度，u 3 为另一 个种群的密度本章证明了正平衡态的稳定性，并利用两种方法得出了只 存在唯一正常数解的条件，即在此条件下不会发生斑图现象 2 u n 倪一 2 、乃 虮 奶 一 一 n 咀叽 舢 衄州舢 山 坳 一 = r 一 啦 一一毗帅 l i = = = 钍 u 弘 u a 必论岛 d d d = 一 一 一 似 徽 似锄 ，-_i-，、-_【 第二章基本定义和基本定理 第二章基本定义和基本定理 在本章中，我们主要介绍本文中涉及到的一些基本概念和定理对于 这些概念和结果，请参考文献 1 】，【2 5 ，【2 6 2 1 度理论 定义2 1设q 是实b a n a c h 空间e 中有界开集，f ：q e 全连续令 ，( z ) = z f ( z ) ，vz q ，即，= i f 设p e f ( o n ) 由于，是闭映象，故 f ( o n ) 是e 中的闭集，从而7 - = d ( p ，f ( o n ) ) = i n fj j ，( z ) 一p | j 0 因此，存在e 的有限维子空间e ( n ，p e ( n ) 及有界连续算子r ：q e ( 川，使 i if ( x ) 一j k ( z ) l i 0 由此可知，e ( n ) 中的拓扑度d e g n ( f n ，q n ，p ) 有定义定义全连续场，的l e r a y - s c h a u d e r 度d e g ( f ，q ，p ) 为d e g 。( 厶，q 竹，p ) ，即 d e g ( ，q ，p ) = d e g n ( a ，q n ，p ) 定理2 1 ( l e r a y - s c h a u d e r ) 设d 是e 中的开集，a ：d _ e 全连续， x o d ，a x o = z o 又设a 在点x o 处f r 色c h e t 可微，并且1 不是导算子a 7 ( z o ) 的固有值那么z o 必是a 的孤立不动点，并且指数 i n d ( i a ，x o ) = i n d ( 一a 7 ( z o ) ，秒) = ( 一1 ) 口， 其中卢表示a ( z o ) 的实的大于1 的全部固有值的代数重数之和 定理2 2 l e r a y - s c h a u d e r 度具有同伦不变性t 设h ： 0 ，1 】矗_ e 全连续令( 2 ) = z h ( t ，z ) 若p 隹k ( q ) ， v0 t 1 ，则d e g ( h t ，q ，p ) 保持常数( v0 1 ) 3 第二章基本定义和基本定理 2 2 算子理论 定理2 3( 隐函数定理) 设f ( z ，y ) 在点( x 0 ，y o ) 的某领域内连续，且它对 y 的偏导算子( z ，剪) 存在，并且弓( z ，剪) 在点( z o ，y o ) 连续又设蜀( z o ，y o ) ： 易一岛具有有界逆( 即蜀( z o ，珈) 是易与e 3 间的同胚映射) 则3 r o ，7 - 0 ， 使当| ix 一2 7 0 | | r 时，方程f ( z ，y ) = 0 在| | y y o | | 7 _ 内具有唯一解y = ，( z ) ； 并且y 0 = ，( 跏) ，( z ) 在球l iz x 0i i r 内连续 定义2 2 设蜀，易是两个b a n a c h 空间，d 是e 1 中某开集，a ：d 一马。 * t o d 历一易表示映易入易的有界线性算子的全体构成的b a n a c h 空间， 若3 b ( e 1 _ 易) ，使得在点x 0 附近 a ( x o + h ) 一a x o = b h + w ( x o ，危) ， 其中w ( x o ，h ) = o ( i lh 忱即 l i 忙r a 。掣= o ； 则称算子a 在点x 0 处f r d c h e t 可微，b h 叫作a 在x o 处对于h 的f r d c h e t 微 分，记为d 陋) 明；算子b 叫做a 在点x o 的f r d c h e t 导算子，记为a 7 ( z o ) 定义2 3设有半线性抛物型方程的初边值问题 它的特殊情形是 4 ( z ，t ) q ( a ) ( x ，t ) ( b ) ( 2 1 ) z q ( c ) ( z ，t ) ( ? ( 口) ( z ，t ) 氏 ( b ) ( 2 2 ) z q ( c ) 毗 以 z k 弛 = 咄妒址咖卜 h = 一 争吼出 动 卫 l 弛 = 咄妒 钍疋 = 址咖卜争砒出 第二章基本定义和基本定理 其中，q o 。= qx ( 0 ，+ o 。) ，s 矗= 砌( 0 ，+ o o ) ，l ，b ，g 满足以下条件 i1 。l 由( 4 ) 给出，- l 是q 上的一致椭圆算子，a q c 2 + q ； 2 。口巧( z ) ，6 t ( z ) ，c c z ) c 口( 豆) ( 0 q 1 ) ； ( 2 3 ) 【3 。b 由( 5 ) 给出，b ( x ) c 1 + n ( a q ) ，b ( x ) 20 ，夕( 。) c 2 - f a ( a q ) 夕( z ) 可延拓到q 内部成为多( z ) 使得雪( z ) c 2 + a ( 豆) 垂( z ) = 夕( z ) ， z i ，q 其中 眈壹吲z ) 硒0 2 u + 塾z 密o u z 咄( 2 4 ) b 缸= n 瓦o u + b ( z ) 缸，z 勰 ( 2 5 ) 若缸= u ( z ) 满足( 2 1 ) - ( a ) ，( b ) ，则称u ( z ) 是( 2 1 ) ( a ) ，( b ) 的平衡解，也称为 是( 2 1 ) 的平衡解u ( z ) 是( 2 2 ) 一( a ) ，( b ) 的平衡解的充要条件是；u ( 等) 是椭圆 型边值问题 l u = ，( z ，u ) ( z q ) ，b u = 夕( z ) ( z q ) 的解( 2 1 ) 与( 2 2 ) 的解均记为u 妒( z ，t ) 2 3s o b o l e v 空间 定义2 4( s o b o l e v 空间) 设q 是n 重指数，m 是非负整数，1 p + ， 向量空间 矸7 7 n p ( q ) = 札l p ( q ) i d n 让j 夕( q ) ，l q l 1 ) 元素的范数定义为： 唧) - ( 上l 墓酬汽 或者 i l u l l w 哪( n ) = f | d a u l l p 、l a l _ m 于是w m p ( q ) 是一线性赋范空间这样的空间是可分的b a n a c h 空间，称为 s o b o l e v 空间 5 第二章基本定义和基本定理 定理2 4( 嵌入定理) 设qcr n 是有界光滑的开区域，n p 0 ， 。水- - d 2 a v = b - u 2 v , x ef t , 协o ( 3 1 ) 、 、， l 鬻= 舞= 0 ， 征勰，幻0 ， iu ( z ，0 ) = 铷( z ) 0 ， v ( x ，0 ) = 铷( z ) 0 ，z q 得到了非常数正解存在和不存在的条件其中钍，口表示这两种反应物的浓 度，d 1 ，d 2 是正扩散系数。n ，b 都是正常数q 表示俨中具有光滑边界的 有界区域，露是沿边界勰向外的方向导数。初始条件可以在一致平衡态周 围有一个任意小的扰动，初始值u o ，v o 是连续函数更多的背景和细节请参 考【l3 】【1 4 】【1 6 】【17 】【1 8 】 本章的主要目的是研究上述模型平衡态的非常数正解，即下面椭圆方 程的非常数正解的存在性和不存在性： f d l a t 正= 口一牡+ 乱2 口， z q ， 一d 2 u = b u 2 钉， z q ， ( 3 2 ) 【鬻= 磊= 0 ， z a q 。 易求得( 3 2 ) 有唯一的正常数解( 豇，矛) ，即( 3 1 ) 的正常数解，其中 矗：。+ 6 ，西2 而乒 ( 3 3 ) 7 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 本章的结构如下：第二节主要讨论( 3 1 ) 的非负常数解的稳定性，第三 节得到( 3 2 ) 的正解的先验估计，第四节用两种方法得到不存在非常数正解 的条件，第五节应用度理论证明非常数正解的存在性第六节陈述分歧问 题的结果 3 2 正常数解的稳定性 这一节主要讨论反应扩散系统( 3 1 ) 在正平衡态( 豇，0 ) 的稳足性 令0 = - t o p l p 2 0 ，卢 0 因此，有下面的定理 定理3 1 若b a ，则( 3 1 ) 的正常数解( 豇，矛) 是一致渐近稳定的 ( 参考【27 ) 8 第三章s c t m a k e n b e r g 模型的非常数正解 证明：由b 口得到0 0 令 = ( 也掣a 卢- - d 2 ap ) 一a p 对每一个i = 0 ，1 ，2 ，x t 都是算子已下的不变子空间，并且是在x i 上的 特征值当且仅当是矩阵a t 的特征值， a = ( - d l 胜、+ p 一也三一p ) 经计算得出， d e t a l = d l d 2 + ( 卢d 1 一o d 2 ) # i + p 入一p 卢 0 ， t r a l = 一( d l + d 2 ) # i + 0 一p 0 因此，a 的两个特征值寸和都有负实部更确切地，两个特征值 如下： ( 1 ) 当i = 0 时，如果( p 一胆) 2 4 ( 触一口卢) ，则r e 菇= ；p 一) 4 ( p a p p ) ，则 r e 对= 去归一p + 、币f = 万产_ = _ 玎万i 厕】 0 ， r e 莳= 去p 一卢一v ( o - z ) 2 _ 4 ( z , 入- o z ) 】 0 ，t r a 0 ，故得到 r e ( 7 = 石1 ( t r a i 一、( 打a t ) 2 4 d e t a i ) 扣a ( d - + d z ) 弘+ 0 一例 0 ， r e 铲= 扣a + v ( t r a i ) 2 - 4 d e t a i ) = 历j 丽2 蓊d e t 尹a i 菰丽d e t a i 拿，= _ _ - i - _ _ _ _ - - - - - - - 。! - ! ! ! ! 。i - _ - - - 一、一 ，t r a l 一 ( t r a l ) 2 4 d e t a f 一亡r a t 9 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 g 是不依赖于i 的正常数 以上讨论证明了存在不依赖于i 的正常数，使得对于任意i 都有r e 铲 一因此，特征值的谱满足 r e 1 ，选择毛1 使得m d 2 1 + 1 + 2 因此，由上面不等式得到， p d - z ( 钍一霞) 2 d z da ：里! ! 生里坐! 弘1 时定理得证 前面利用能量方法给出了证明，下面应用隐函数定理来证明非常数正 解的不存在性首先，给出下面的引理 引理3 1 ( 1 ) 固定a 和也，i = 1 ，2 设( 仳( 川，口( n ) ) 是当b = 6 ( n ) 时( 3 2 ) 的正解，并且当n _ 0 0 时， 6 ( ”) _ 0 则当n 0 0 时，在 c 1 ( q ) 2 中有 ( 乱( 川，t ，( n ) ) 一( n ，0 ) 成立 ( 2 ) 固定n ，b ，d 2 设( t ( 川，t ，( n ) ) 是当d 1 = d p 时( 3 2 ) 的正解，并且当扎_ 0 0 时，d i n ) _ 0 0 则当n o o 时，在眵1 ( q ) 】2 中有( 钆( 川，u ( 竹) ) _ ( 豆，矛) 成立 下面详细证明( 2 ) 对于固定的口，b ，d 2 ，由引理的条件知，也( 川，口( 川，d i n 满 f 一罐( n ) = d 一牡( n ) + ( t 正( n ) 2 口( 川，z q ， 一彭口( 竹) = b 一( u ( n ) 2 钉( 川， z q ， 【岛t 正( n ) = 岛口m ) = 0 ， z a q 给上面第一个方程两边同除以d ，并令他_ o o ，则u ( n ) 的极限u 满足方程 a - r + r 2 v ) 出= 。，( 3 5 ) 1 3 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 以下证明( 3 5 ) 和( 3 6 ) 只有唯一的正常数解 很容易看出( 3 6 ) 有一个正常数解 b 口5 口5 如果对于任意正常数r ，( 3 6 ) 的解都等于雷，则可由积分方程( 3 5 ) 得到， ( r ，v ) = ( r ，移) = ( 豇，移) 因此，只需要证对于任意的正常数r ，( 3 6 ) 都有唯一正常数解o 利用反证法固定r ，假设哥是( 3 6 ) 的另一个正解 设w = 西一付，则 t v 满足 - d 2 a w + r 2 w = 0 ，z q ； o w = 0 ， z a q 由唯一性定理，w = 0 引理证毕 定理3 5 ( 1 ) 固定a 和d l ，d 2 ，则存在正数印与a ，d t 有关，使得当b d a 时 ( 3 2 ) 没有非常数正解 证明： 先证( 2 ) 对u 作分解u = u l + ，其中矗u l = 0 ，r + 则( 3 2 ) 等价于下列方程组： a u l + p p a 一( u l + f ) + ( 1 t l + f ) 2 口 = 0 ， 尼 口一( 乱1 + ) + ( u 1 + ) 2 口) = 0 ， d 2 a v + b 一( ? 2 1 + ) 2 v = 0 ， 岛札1 = 岛口= 0 ， 0 ，t ， 0 ， 其中 p = d 1 ，p z = z 一( x l q l ) z ， ，n 即p 是三2 ( q ) 一l 0 2 ( q ) 的一个投影算子， l 0 2 ( q ) = g l 2 ( q ) i g = o ) ，1 2 1 4 z g t z q ( 3 7 ) z a q z q 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 显然，当p 0 时，( u l ，移) = ( 0 ，西，功是( 3 7 ) 的一个解 为了证明这个定理，只需要证当p 0 且充分小时( o ，矗，功是( 3 7 ) 的唯 一解定义函数： f ( p ，u l ，口) = ( ，五，3 ) ( p ，u 1 ，u ) ， 0 ，u 1 ，口) = a u l + p p a 一( u l + ) + ( 札l + ) 2 u ) ， 2 ( p ，u 1 ，专，钉) = n 一( u l + ) + ( 缸l + ) 2 钌) ， - ，n f 3 ( p ，让1 ，口) = d 2 a v + b 一( 乱l + ) 2 ， 贝 f ：r + ( l 0 2 ( q ) ny 2 ，2 ( q ) ) r + y 2 , 2 ( q ) _ 0 2 ( q ) r 三2 ( q ) 其中 w 勺2 ，2 ( q ) = g w 2 ，2 ( q ) i 岛9 = 0 ，z a q ) 显然，( 3 7 ) 等价于f ( p ，缸1 ，毒，u ) = 0 而且当p = 0 时( 3 7 ) 有唯一常数解 ( u 1 ，荨，勘) = ( 0 ，玩功再定义 则 d ( 札。z ， ) f ( o ，0 ，瓦功全皿， 雪：( 0 2 ( q ) n 2 , 2 ( q ) ) r + x 2 ，2 ( q ) 一l 0 2 ( q ) r l 2 ( q ) a y f , ( - 1 + 2 豇矛) 可+ ( - 1 + 2 f i 矛) z + 面2 7 - d 2 a t f i 2 r 一2 f i 亩y 一2 f i 矛z 为了应用隐函数定理，需证m 是可逆的并且是满射 假设皿( g ，z ，1 - ) = ( o ，0 ，o ) ，则有y = 0 由于z r ，由方程 可得 一d 2 a r + 矗2 7 = 一2 f i 移z ，。q ； 岛7 = 0 ，z a q ， 2 b 丽厄 1 5 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 再考虑积分方程 ( 一1 + 2 豆矛) z + f i 2 r = 0 ， ，n 因为 一1 + 2 霞矛一2 f i = - 1 0 从而有2 = 0 成立 因此，y = z = r = 0 ，皿是可逆的此外，很容易验证皿是满射 由隐函数定理，存在正常数p o ，南，使得对于每一个p 【o ，加 ，( 0 ，面，矛) 都 是f ( p ，u l ，v ) = 0 在b 6 。( o ，豇，矛) 中的唯一解其中，( 0 ，面，矛) 是在( l 0 2 ( q ) n 2 ，2 ( q ) ) xr + 2 ，2 ( q ) 中以( 0 ，面，矛) 为- 5 - ，南为半径的球如果取更小的p o ， 5 0 也得到相应的d 1 依此类推，就得到一列d p ，并且当毋一0 时d p 一o o 从而由引理3 1 定理得证 ( 1 ) 的证明与( 2 ) 类似构造算子如下 f ( b ，u ， ) = ( f l ，2 ) ( u ，口) j f l ( 6 ，u ，v ) = d l a u + a u + i t 2 口， f 2 ( b ，z ，t ，) = d 2 a v + b u 2 v ， 则 f ( b ，t 正， ) ：r ，勺2 , 2 ( q ) 仉0 2 , 2 ( q ) _ 工2 ( q ) l 2 ( q ) ， 当b = 0 时( f i , 矛) = ( 口，o ) ，并且容易验证d ( 。，。) f ( o ，o ，0 ) 是双射则由引理3 1 和 隐函数定理即可推出结论定理证毕 3 5 非常数正解的存在性 这一节主要讨论当参数a ，b 固定，扩散系数d l ，d 2 变化时( 3 2 ) 的非常数 正解的存在性定理3 1 已经证明了当a b 时，( 面，矛) 是一致渐近稳定的 这种情况下，在( f i , 矛) 不可能分歧出非常数正解因此，在下面的讨论中都 规定a 4 d l d 2 ( z a 一秒) ， ( 3 1 1 ) 则h ( d l ，d 2 ；i t ) = 0 有两个实根4 , p 一，其中 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 州d 1 ，d 2 ) = 坠堂煎写雾巫， “啪) = 坠丛巡生裂! 必 设 4 = a ( d l ，d 2 ) = pp 0 ，p 一( d l ，d 2 ) o 矗 o 其中& 是d u f ( d 1 ，d 2 ；d ) 在x i 上的特征值，m ( 釉是它的重数由算子 d u f ( d l ，d 2 ；讧) 和矩阵尬的特征值之间的关系，得到 i n d e x ( f ( d 1 ，d 2 ；) ，d ) = ( 一1 ) r ， 7 + = m ( 死) m ( m ) ， i 2 0 6 o 1 8 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 其中兀是舰的特征值，m h ) 是它的重数模2 ，当d e t m i 0 时，舰的负 特征值的个数即为： 即二1 ( 1 一s g n d e t 尬) ) = 壶( 1 - - s g n h ( d d ；地) ) ) 如果对于任意的地昂都有地a ，则 d e t 坛= h ( d l ，d 2 ；胁) 0 ， 此时a = 0 因此，模2 ，矿= 盯，引理证毕 由引理3 2 看到，要计算f ( d 1 ，d 2 ；) 在d 的指数，关键是确定h ( d l ，d 2 ；p ) 0 ，故当d 2 充分大时( 3 1 1 ) 成立，并且 弘+ ( d 1 ，d 2 ) 肛一( d l ，d 2 ) 0 既州d 1 ，d 2 ) = 丢，d 2 l i r a 。“d 1 ，蚴= 。 由于p c f l ( 肛q ，p 口+ 1 ) ，则存在正常数d o 1 ，当d 2 d o 时， p + ( d l ，d 2 ) ( p 口，肛g + 1 ) ，0 p 一( d l ，d 2 ) d o 使得当d 2 d ，d l = d 时( 3 2 ) 没有非常数正解 选择d 充分大使e d d 使得当d 2 矿时，成立 0 弘一( d ，d 2 ) p + ( d ，d 2 ) p 1 ( 3 1 3 ) 1 9 第三章s c h n a k e n b e r g 模型的非常数正解 以下要证对于任意的d 2 d + ，( 3 2 ) 都至少有一个非常数正解，利用反证 法假设存在某个d ；满足噶矿但不存在非常数正解当t 【0 ，1 】时固定 d 2 = 呓定义 。c t ，= ( 亡d l + ：一d 。如+ 。：一。，矿) ， 考察方程组： j u = d - l ( d f ( u ) 一曲，( 3 1 4 ) 【舞= 0 ， z a q 、。 注意到u 是( 3 2 ) 的非常数正解当