（信号与信息处理专业论文）基于方向信息的图像去噪算法研究.pdf

摘要 摘要 图像的方向信息在图像处理的应用中十分重要，方向特征的提取也就成为图 像处理中一个很重要的环节。针对如何提取方向信息，并且如何运用这些方向信 息进行图像去噪，本文主要做了两方面的研究： 研究了基于d f t 调制滤波器组的方向滤波器组的去噪方法。通过d f t 调制滤 波器组的分析滤波组的张量积构造出新的方向滤波器组，这种新构造的方向滤波 器组构造简单，方向数目扩展容易，并且能够有效保留图像的低频信息。在图像 去噪应用研究中，去噪效果显著。 提出一种基于s w t 和d t c w t 的加窗的双重局部维纳滤波图像去噪算法。通 过小波变换的各个方向子带对图像信息的提取，运用匹配于该方向信息的椭圆方 向窗和自适应窗，结合双重局部维纳滤波对图像进行去噪，去噪效果显著。 关键词：d f t 调制滤波器组方向滤波器组椭圆方向窗自适应窗双重局部 维纳滤波图像去噪 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed i r e c t i o n a li n f o r m a t i o np l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g s o ，i ti sk e yt od e t e c ta n du s et h i sd i r e c t i o n a li n f o r m a t i o ni nt h ed o m a i no fi m a g e d e n o i s i n g i no r d e rt ot h a t ，t h i st h e s i ss t u d i e dt w oa s p e c t s ： t h ef i r s ta s p e c ti sc o n t r i b u t e dt og e n e r a t ean e wd i r e c t i o n a lf i l t e r b a n k sb a s e do nd f t m o d u l a t e df i l t e r b a n k sa n di t si m p l e m e n t a t i o ni ni m a g ep r o c e s s i n g i ti se a s yt og e n e r a t e t h i sn e wd 删o n a lf i l t e r b a n k sb yt e n s o rp r o d u c to fa n a l y s i sf i l t e r b a n k so fd f t m o d u l a t e df i l t e r b a n k s ，a n de a s yt oe x t e n dt h en u m b e ro fd i r e c t i o n a ls u b b a n d s i nt h e f i e l do fi m a g ed e n o i s i n g ，i tc a nr e s e r v et h ei n f o r m a t i o ni nt h el o wf r e q u e n c y , a n dh a v e r e m a r k a b l ed e n o i s i n gr e s u l t s t h eo t h e ra s p e c ti sd e v o t e dt ot h ean e wi m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h mv i ad o u b l yl o c a l w i e n e rf i l t e r i n gw i t hw i n d o w sb a s e do ns t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r m ( s w t ) w i t ht h e d u a lt r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r m ( d t c w t ) d o u b l yl o c a lw i e n e rf i l t e r i n gw i t ht h e e l l i p t i cw i n d o w sa n dt h ea d a p t i v ew i n d o w sd e t e r m i n e db yt h ed i r e c t i o n a ls u b b a n d si s u s e di nt h ef i e l do fi m a g ed e n o i s i n g e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n da n a l y s i sa r eg i v e nt o d e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h ep r o p o s e da l g o r i t h m k e yw o r d s ：d f tm o d u l a t e df i l t e r b a n k s ，d i r e c t i o n a lf i l t e r b a n k s ，t h ee l l i p t i cw i n d o w s ， t h ea d a p t i v ew i n d o w s ，d o u b l yl o c a lw i e n e rf i l t e r i n g ，n o i s er e d u c t i o n 西安电子科技大学 创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：垂重同期坦乙! ：f 呈 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名：左坌 导师签名：璋址 日期 闩期 坦乙z 立孕l 第一章缝论 第一章绪论 小滚分辑是数学镁域孛一令毒趣懿磅突漾嚣。获数学囊发餐，宅矮子诱帮分 辑豹藕畴，是泛龋分析、调和分析、数毽分析的完美结晶，是藏在发展的新的数 学分焱；由于它又具有广泛的工程内涵，从置程角度来看，小波分析是一种信号 与信息处理的工具，它被认为是近几十年来倍号处理方法和工舆上的重大突破， 是继傅立叶( f o u d e r ) 分析的一个划时代进展。与傅立叶变换棚比，小波变换是 霹闻秘频率兹局域交换，憝一耱线毪时频分耩；与短瓣傅立时燮羧籀魄，枣波交 筷撵辩频平嚣不同位甏其蠢不同的分辨率，怒一种多分辨分辑方法，由于小渡分 析这种可聚焦到对象的任何细节的优点，使得宦“既看到森林( 信号全局) ，又看 到树术( 信号细节) ”，因此，它被誉为数学熙微镜。可以说：除了周期性很好的 信号和平稳信号外，在信母处理方面几乎没肖其他的处理工具w 以和小波分析比 美。 遥年柬，枣波理论广泛运瘸子多耱掌籽研究领域，并取缮零越成效。镪翔； 在数学领域中，小波分析可以用来求微分方稷解、与分形数学棚结合做函数数值 逼近；在信号检测和模式识别中，小波分析可以进行非平稳信号梭测、地质勘探、 医疗成像分析、地震检测分析；在图像处理领域，小波被用来进行图像压缩、边 缘缝取、图形去噪等。由予小波分析甄包含丰富熬数学理论，又是工程瘟震中强 有力瓣方法亵工兵，掰戳冀发震雄魂罄其它圣譬多学麓亵领域豹笈鼗，嚣薅也菠褥 其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。讨论小波的新理论、新方法和 新应用成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。 本章首先介绍小波分析和小波去噪的发展历史以及现状，然聪介绍本文的篇 章结构秘主要内容。 1 1 小波发晨的现状 小波分析发展历史及现状 小波鲍起源可以追溯戮2 0 毽纪初。t 9 1 0 冬，h a a r 提出了艘燕正交小波基静 憨戆，德在疆述整象h i l b e r t 空藏耪毪熬论文中，善次稳造了誓( o ，| 】) 上紧支撵弱 币交函数系一h a a r 函数系。1 9 2 3 年，w a l s h 构造了区间f o ，1 ) 上完备标准正交系， 并被广泛应用于信息论、通讯、计算机、遥感镣诸多领域【l 】，它魁迄今为止人们发 现的最早的小波包原型。1 9 4 6 年，d g a b o r t 2 撮出了加窗f o u r i e r 变换( o a b o r 变换) 进行僚号表示静方法，它用平移能g a u s s 函数对信号送行展开，这是一静无限支 基于方向信息的图像去噪算法 撑的非正交小波展开。 真正的小波成形与发展还是8 0 年代后期才开始的。1 9 8 1 年，法国的地球物 理学家m o r l e t 仔细研究了g a b o r 变换方法，对f o u r i e r 变换和加窗f o u r i e r 变换的 异同、特点及函数构造作了创造性的研究，提出了用一个函数的时移和尺度的组 合表示信号的新思想，并于1 9 8 4 年和e g o u p i l l a r d 、a c r r a s s m a n 3 】首先提出了“小 波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的m o i l e r 小波。随后的1 9 8 6 年，m s m i t h 和t b a m w e l l p ，4 j 提出了共轭镜像滤波器( c q f ) 这一重要概念，为二进紧支撑小波的 构造提供了契机。同年，m e y e r 第一次构造出具有衰减性的小波，该小波的二进伸 缩、平移可构成l 2 ( r ) 上的规范正交基，打破了人们认为不可实现的设想，从而掀 起小波研究的热潮。1 9 8 8 年，数学家d a u b e e h i e s 给出了具有紧支撑和任意有限正 则阶的小波函数的一般构造方法1 5 】。1 9 8 9 年，m a l l a t 创造性的把计算机视觉领域中 的多尺度分析方法引入到小波基的构造中，统一了s t r o m b e r g 、m e r y e r 、l e r m a r i e 等人提出的各种小波的构造方法，并研究了小波变换的离散形式，提出了m a l l a t 塔式分解和重构算法，为小波应用铺平了道路【4 】。同年，m e y e r 、c o i f m a n 等人提 出了小波包的概念。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人建立了多重小波的基本理论框架m ， 进一步丰富了小波理论。如今的小波理论正日趋完善，并被越来越广泛的运用于 各个领域之中。 小波去噪发展现状 小波去噪是小波分析的一项重要应用领域。在信号采集、处理、传输过程中， 不可避免的受到各种外来噪声的干扰。传统的基于傅立叶变换的去噪法和相干平 均去噪法在消除噪声的同时，会造成数据信息的大量丢失。8 0 年代中后期发展并 成熟起来的小波理论与传统的去噪方法比较，有着不可比拟的优点。 小波去噪的方法主要是模极大值检测法、屏蔽去噪法和阈值收缩法，其中最 常用的是阈值收缩法( t h r e s h o l dd e n o i s i n g ) 。该方法是1 9 9 2 年，首先由d o n o h o 和 j o h n s t o n e 7 】提出，并给出了形如旯= 盯2 l n ( ) 的通用阈值。在1 9 9 2 - - 1 9 9 5 年中他 们做出了一系列卓有成效的工作【7 】【8 】【9 】f 1 0 j ：从渐进意义上证明了阈值收缩法的最优 性；并为小波闽值处理方法先后提出了硬阈值、软阈值和几乎硬阈值这类简单有 效的非线性处理函数。此后小波阈值收缩法被广泛运用于去噪领域中，并取得了 很大成功，尤其是高斯噪声。但是这种通用阈值有着较严重的“过扼杀”倾向， 因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究。 1 9 9 4 年，n a s o n 提出了用来优化软阈值去噪的交叉验证法【】“，之后n w e y r i c h 和g t w a r h o l a 1 2 1 又提出了广义交叉验证法。1 9 9 6 年，c o i f m a n 在阙值法基础上提 出了平移不变量小波去噪算法【1 3 】【1 。1 9 9 8 年，d e s a im d 等提出了s t e i n 无偏风险 估计( s u r e ) 阈值1 1 5 】。同年，e a b r a m o v i c h 等提出了基于贝叶斯数学模型的贝叶 第一章绪论 斯( b a y e s ) 闽值( 1 6 1 。1 9 9 9 年，b v i d a k o v i c 1 7 1 提出基于最小化错误概率的极大极 小阈值准则。2 0 0 0 年s g r a c ec h a n g 1 8 l 等又提出基于内容的空问自适应阈值，使 阈值收缩法更加优化。同年，s gc h a n g 1 9 】等还针对含均匀高斯白噪声的多幅图 像拷贝，提出了联合小波去噪方法，将图像平均和阈值去噪结合，解决了多幅不 同渠道样本的融合和去噪问题。随着阈值种类的不同，阙值函数也不断发展，先 后出现g a r r o t e 阈值、半软阈值等。近年来，基于阈值收缩法仍然不断有新的 研究成果出现，极大的丰富了小波去噪的内容。 1 2 本文的主要工作 近年来，基于小波去噪的各种算法中，空间自适应的方法计算简单、复杂度 低并且有较好的去噪效果。因为图像的小波系数可以被认为是方差随着空间位置 变化的条件独立高斯随机变量，所以在空间自适应方法中，关键的一步就是如何 准确估计各个子带中信号的方差。目前已有的算法中，大多都采用了以待估计点 周围的一个方形邻域内的小波系数来估计信号的方差，这就在无形中假定了图形 在小波分解后各个子带的能量分布是各向同性的。然而，在实际中由于子带滤波 器的方向性，大多数图像在小波分解后各个子带能量分布呈现出不同的方向特性。 并且，图像在小波域各子带中的能量分布除了跟子带滤波器的方向有关外，还跟 图像自身的边缘和纹理方向有关。基于子带滤波器的方向选择性和图像自身的边 缘和纹理方向的两方面的考虑，本文提出了基于d f t 的方向滤波器组，椭圆方向 窗和自适应窗的概念，并将之用于图像去噪，取得了显著效果。 本文的具体安排如下： 第一章为绪论部分。主要介绍了小波分析和小波去噪的发展历史、现状，以 及本文的主要工作。 第二章是本文的预备知识。前半部分主要介绍对偶树复小波的基础知识，后半部分介绍 小波去噪的原理、方法及步骤和阈值选取准则。 第三章研究了基于d f t 调制的方向滤波器组的去噪方法。通过d f t 调制滤 波器组的分析滤波组的张量积构造出新的方向滤波器组，这种新构造的方向滤波 器组构造简单，方向数目扩展容易，并且能够有效保留图像的低频信息。在图像 去噪应用研究中，去噪效果显著。 第四章提出一种基于s w t 和d t c w t 的加窗的双重局部维纳滤波图像去噪 算法。通过小波变换的各个方向子带对图像信息的提取，运用匹配于该方向信息 的椭圆方向窗和自适应窗，结合双重局部维纳滤波对图像进行去噪，去噪效果显 著。 最后是总结与展望。 4 第二章小波去噪的基础知识 第二章小波去噪的基础知识 在图像处理的过程中，我们考虑子带滤波器的方向选择性，不同于传统的离 散小波变换，n i k ek i n g s b u r y 教授提出的对偶树复小波变换可以产生更多的子带滤 波方向选择性，而且这种小波变换用在图像去噪的过程中也取得了显著的效果。 因此，在本章中我们首先介绍对偶树复小波变换的基本知识，然后介绍传统小波 去噪的原理、方法、步骤以及有关闽值的选取。 2 1 对偶树复小波变换的基础知识 2 1 1d w t 和d t c w t 简单比较 离散小波变换( d w t ) 是信号压缩的一种非常常用而且有效工具，因为它没 有冗余，计算量低，并且使用紧支撑滤波器就可以实现完全重构。但当许多研究 者将其运用到其他领域时，结果却不尽如人意。究其原因，d w t 主要存在以下两 个缺点： 缺乏平移不变性，这就意味着输入信号一个小的平移可能会导致在不同的 尺度上d w t 系数之间的能量分布的大的变动。 对角子带缺乏方向选择性，因为其小波滤波器是可分的并且是实的。 为了克服以上两个缺点，n i k ek i n g s b u r y 教授【2 2 1 2 3 1 提出了对偶树复小波变 换( d t c w t ) 的概念，与其他的小波变换相比，它具有以下的优点： 近似的平移不变性。 较好的方向选择性。 使用紧支撑线性相位滤波器可以实现完全重构。 较低的冗余度。对于1 维信号，产生2 ：1 的冗余( 2 “：1 对于m 维的信 号) 。 计算量小。对于1 维信号，计算量是d w t 的两倍( 2 ”对于m 维的信号) 。 2 1 2o d d e v e n 滤波器形式的d t c 、 t 图2 1 给出了o d d e v e n 滤波器形式的d t c 、 厂r 。复小波可以提供近似的平移不 变性，但是复小波不能够使用短支撑的复f i r 滤波器仅用单树得到完全重构和好的 频率特性( 注：这里说的复小波是指滤波器的系数是复数) 。 然而，我们观察到使用实的d 、 r r ，通过在每一级上加倍采样率也可以达到近 似的平移不变性。在传统的小波树上加倍采样率的一种方法是，移除第一级滤波 器风。，和h 。以后的每一级上的下2 采样。这就相当于，图2 1 中有两个平行的完全 下采样( f u l l y d e c i m a t e d ) 树a 和树b 要提供滤波器风6 和6 的延迟是玩。和。延 基十方向信息的l 星| 像去噪算法研究 迟的一个采样值的补偿。这就保证了在第一级上树b 的下采样得到的采样值是树a 采样值相反o p p o s i t e ) 的值( 注：滤波器风。和e 。是滤波器风。和q 。延迟一个 采样值得到的，树b 的采样值正好是树a 采样值没有采得的样值，也就是说树b 的采 样值正好在树a 的采样值中间，这也就产生了2 ：1 的冗余) 。在两树以后的各级上， 为了得到采样值之间的统一的| 日j 隔，在一棵树上的滤波器必须提供不同于另一棵 树的半个采样周期的延迟。对于线性相位的滤波器来说，就要求在一棵树上是奇 数长度的滤波器，另一棵树就是偶数长度的滤波器。这就是o d d e v e n 形式的 d t c v 厂r 。 l e v e l4 图2 1o d d e v e n 形式的d t c w t 图2 2 ( a ) 表明了小波基函数的位置，当滤波器被排列成图2 1 形式时。观察这些 基在每一尺度上的排列，垂直来看，我们可以看到，树b 的尺度函数内插在数a 的 尺度函数之间，树b 的小波函数和树a 的小波函数排成一行，但是在下面有9 0 度的 相移震荡。 o d d e v e n 形式的反变换由两棵树分开执行。使用双正交滤波器组进行完全重 构，图2 1 右下侧。最后，两树的输出被平均就得到了一个近似平移不变的系统。 这个系统是带有冗余为2 的小波框架；假如滤波器被设计成分析滤波器和重构滤波 器有非常相似的频率响应，那么它几乎是一个紧框架，这就意味着当一个信号被 变换到d t c w t 域时，它的能量可以被保存。 第二章小波去噪的基础知识 剧2 2 ：( a ) 图1 中从第一级剑第三级o d d e v e n 滤波器的基函数( 重构脉冲响应) ( b ) 图2 3 中 q s h i f t 树的基函数 2 1 3q s h i f t 的双树滤波器 不幸的是，采用o d d e v e n 滤波器的方法仍然存在一定的问题： ( 1 ) 下采样( s u b - s a m p l i n g ) 结构不是完全对称( 图2 2 a 表明在一个给定的尺 度上小波函数和尺度函数没有被很好的排列) 。 ( 2 ) 两树的频率响应略微不同。 ( 3 ) 因为是线性相位，所以滤波器组必须是双正交的，而不是正交的。 后两个问题较大的克服通过使用相关的较长的滤波器( 1 3 到1 9 抽头) ，但是会 提高计算量。第一个问题比较基本，并且暗示了后来的等级算法，比如说马尔可 夫树算法。 为了克服以上不足，我们现在提出q s h i f t 对偶树，如图2 3 所示。在图2 3 中， 第一级以后的滤波器都是偶数长度，但不再是严格线性相位，他们被设计成有大 约1 4 采样周期的群延迟。所要求的两树之间的1 2 采样周期的延迟通过在树b 上使 用树a 滤波器的时域反转的滤波器得到( 注：树a 和树b 的滤波器关于中线是对称的) 。 更进一步，因为滤波器的系数不再对称，就有可能设计正交的完全重构的滤波器 组，因此，重构滤波器正好是两树上等价的分析滤波器组的时域的反转。因此， 第一级以后的所有的滤波器都可以从同一个正交的原型滤波器中得出。q s h i f t 滤波 器设计在以后讨论。 q s h i f t 滤波器所改善的采样对称性通过图2 2 ( b ) 中的基函数表示。每一个复小 波基以复尺度函数基的中心为中心，并且每一复数小波基的中心都位于它前一级 的一对复数小波基中间。利用这种方式，第k 级的每一个复小波系数在第k 1 级上都 基于方向信息的图像去噪算庄研究 有两个对称的子复系数。对于o d d e v e n 形式的d t c w t 来说，这种对称形式不存在 的。 1 地v e l4 图2 3q - s h i f t 形式的d t c w t ，树a 和树b 分别表示复系数的实部和虚部。括号中字母表示每一个 滤波器的延迟，采样周期。 2 1 4 平移不变性 为了检查d t c w t 的平移不变性，我们只保留两树中一级的一种类型的系数 ( 小波函数或者尺度函数) 。例如，我们只保留第三级上的小波系数。和 并且置其他的系数为零。如果从这些系数中重构出的信号y 没有混叠，我们就定义 在这一级上的变换是平移不变的。这是因为，没有混叠就暗示了在一个给定的子 带上有唯一的z 变换函数，因此它的脉冲响应是线性时不变的。 麓treea 魁 c ( z ) d ( z ) 图2 4m 级上只有小波系数或者尺度函数系数铍保留时两树的基本结构 图2 4 给出了当固定级上一种类型的系数被保留时，两树的简单的分析和重构 部分。在图中，所有的下采样和上采样操作分别被移到分析滤波器组的输出和重 第二章小波去噪的基础知识 构滤波器组的输入侧。m = 2 ”是总的上，下采样因子。例如，假如l 。和。 是唯 一被保留的系数，那么下采样的因子是m = 8 ，并且4 ( z ) = h o 。( z ) 日。( z 2 ) 日。( z 4 ) ， b ( z ) 可通过同样的方法得到。c ( z ) 和d ( z ) 分别从吧和g 国得到。 在一个多速率的系统中，假如一个信号u ( z ) 先通过一个下m 采样，在通过一 个上m 采样，它的输出为古蓉c ，( w k z ) ，其中矿= 一2 。运用这个结果，我们可以从 图4 得到 y ( z ) = r a z ) + y ( z ) = 万1m 舌- i x ( 矿力【爿( 旷z ) c ( z ) + b ( z ) d ( 别 ( 2 1 ) ：昌z ( z ) 彳( z ) c ( 力+ 取z ) d ( 力】+ i m - i 肖( 一。z ) 【彳( z ) c ( z ) + b ( w z ) c ( 力】 2 寺z ( 2 ) 彳( 2 ) c ( 力+ 取2 ) d ( 力】+ 万舌肖( 4 2 ) 【彳( 2 ) c ( 2 ) + ) c ( 力】 在上式中，所有k 0 的项都是混叠项，只含有x ( z ) 的这一项才对应线性时不变响 应。要得到平移不变性，混叠项必须被消除，因此我们必须设计a ( w z ) c ( z ) 和 b ( w z ) d ( z ) 非常小，或者，当k 0 时两者可以相互抵消。对滤波器a 、b 来说， 引入了一个够m 的频偏，因此对于较大的k 值，平移以后的滤波器和没有平移的 滤波器之间的通带混叠可以忽略，并且也非常容易设计函数b ( w z ) d ( z ) 和 a ( w z ) c ( z ) 在所有的频率上都非常小。但是对于较小的k 值( 特别是七= 1 ) ，通 带的混叠不能够忽略，因为短支撑滤波器有明显的传输带宽。因此当两树联合时， 有必要设计两项相互抵消，并且b ( w z ) d ( z ) 和a ( w z ) c ( z ) 依赖于它们是低通滤波 器( 对应于尺度函数) 还是带通滤波器( 对应于小波) 。 首先，我们先来考虑尺度函数滤波器( 低通滤波器) 。在第i n 级上，通带为 一，2 m h ，2 m ) 。假如爿( z ) 和c ( z ) 有相似的频率响应( 和近似正交滤波器组 相似) 和明显的传输带宽，使得a ( w “z ) c ( z ) 在所有的频率上都非常小是不可能的， 因为平移后的分析滤波器a ( w “z ) 的传输带和重构滤波器c ( z ) 相互混叠，如图2 5 ( a ) 。然而我们可使得a ( w “z ) c ( z ) 非常小。因此，对于低通滤波器来说，当k 为 基十方向信息的图像士噪算法研究 奇数时我们设计b ( w z ) d ( z ) 和a ( w z ) c ( z ) 相互抵消，因此有： 9 b ( z ) = z m 1 2 4 ( z ) ，d ( z ) = z 7 ”c ( z )( 2 - 2 ) 因此有b ( w z ) d ( z ) = ( 一1 ) a ( w z ) c ( z ) 。这样，不需要的混叠项，主要是k = 1 ， 几乎全被抵消。相消效果图如图2 5 ( c ) 。 现在，我们来考虑小波滤波器( 带通滤波器) 。如图2 5 ( b ) 我们发现滤波器c 的下边带的边缘的范围为 一z 2 m 付一z m ) ，它将分别和k = 一1 ，- 2 时a 的上边 带的边缘 o 付- f , 2 m ， 一z m 付一3 f , 2 m 相互重叠。同样的，c 的上边带将 和k = + 1 ，+ 2 时a 的下边带相互重叠。由于d 和b 与a 和c 有着几乎完全相同的频率响 应，所以也存在这种现象。从上面我们可以看出，混叠项总是由相反( 注：相反 相对于上边带和下边带而言) 频带的混叠引起，我们所需要的项( k - o ) 总是由相 同的频带的混叠所产生。解决这种问题的一种办法是给b 和d 上下边带相反的极性， a , i c 上下边带相同的极性。使用这种方法来区分正负频率元素的方法就暗示了使 用复数滤波器。 假定我们有两个原型复数滤波器尸( z ) 和q ( z ) ，每一个都只有一个通带 z 2 m 付，m 并且忽略所有负频率上的增益。我们让： 爿( z ) = 2 吼【p ( z ) 】= p ( z ) + p + 0 ) b ( z ) = 2 3 p ( z ) 】= j 【p ( z ) 一p + 0 ) 】( 2 - 3 ) c ( z ) = 2 孵【q ( z ) 】= q ( z ) + q 0 ) | d ( z ) = - 2 研q ( z ) 】_ j q ( z ) - q ( z ) 】 其中，吼口和s 口分别代表实部和虚部，爿f r p o ) = ，n z a 有一个j 下频通带的 滤波器的共轭将产生一个对等的只有负频通带的滤波器。因此p 和q 对应a 和c 的上 边带，而尸和q 分别对应a 和c 的下边带。这也被应用n b 和d 上，我们期望b 和 d 的下边带是负的。另外，我们也可以看出b 和d 的( 实) 脉冲响应是a 和c 的脉冲 响应的h i l b e r t 变换。 回到图2 5 ( b ) ，主要的混叠项来自于当k = 一1 , - - 2 时q + ( z ) p ( z ) 和k = l ，2 时 q ( z ) p + ( z ) 的相反频带。在式( 2 1 ) 中，当b ( w z ) d ( z ) 和a ( w z ) c ( z ) 相加时， 这些是可以相消的。因为对于所有的k ： 0 第二章小波去噪的基础知识 a ( w 2 z ) c ( z ) + b ( w z ) d ( z ) = p ( w 。z ) + p + ( 。z ) q ( z ) + q ( z ) 】+ ，、 ( - j ) p ( w z ) - p ( 矿z ) j q ( z ) - q ( z ) 】 、。 = 2 p ( w 2 z ) q ( z ) + 2 p ( 形。z ) q + ( z ) 因此，我们只需要设计正频率的复数滤波器q ( z ) 不和与其相似的滤波器p ( z ) 的平 移相互重叠即可。这是相当容易实现，因为滤波器的带宽只有z 2 m 而平移却是 ，m 的倍数。图2 5 ( d ) 表明了p ( z ) 和q ( z ) 的频率响应。我们可以看出，只 要p 和q 的通带和传输带被限制在两条垂直线3 m 付4 f , 3 m ) 之间，对于七0 时的频响的混叠就可以忽略。p ( 矿z ) 和q ( z ) 的频响是图2 5 ( d ) 的镜像图像， 因此也有相同量的混叠。 ( 2 3 ) 说明树柳树b 的带通滤波器响应可以被看作是复数响应的实部和虚部。 这也是最关键的理由来说明使用复小波可以达到小波系数的平移不变性。 实际上，紧支撑的滤波器在它的阻带不会有零增益并且方程( 2 1 ) 中的混叠 项也不会为零。更进一步，对于奇偶形式的滤波器，当两树联合时，混叠项不可 能完全相消，因为奇数长度的滤波器的频率响应不可能和偶数长度滤波器的频率 响应精确相同。因此，一个典型的d t c w t 只具有近似的平移不变性。 量化平移依赖性的一种有用的方法是检验式( 2 1 ) ，和计算不需要的混叠的 传输函数的总能量( 后0 ) 和需要的传输函数的总能量之比( k = o ) ： r ： r 2 5 ) a 拦- i i s 占 a 4 ( ( w z ) c k z ( ) z c ) ( + z b ) + ( z b ) d ( w ( z k ) z ) ) d ( z ) 、。 其中占 u ( z ) ) 计算能量。在时域，能量为，l 蚱1 2 ；在频域，根据p a r s e v a l 定理，其 能量为去 ! i u ( e p ) 1 2 d o 。 基于方向信息的图像士噪算法研究 图2 5 滤波器的频率相应 2 1 5 平移不变性性能分析 现在我们从式( 2 5 ) 入手来分析该变换的平移不变性能，我们计算每一级上 小波函数或者尺度函数的兄值，下面给出了几组设计好的滤波器： a ( 1 3 ，1 9 ) 抽头和( 1 2 ，1 6 ) 抽头近似正交的o d d e v e n 滤波器组。 b ( 1 3 ，1 9 ) 抽头近似正交滤波器在第一级上，1 8 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级 及以上。 c ( 1 3 ，1 9 ) 抽头近似正交滤波器在第一级上，1 4 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级 及以上。 d ( 9 ，7 ) 抽头的a n t o n i n i 滤波器在第一级上，1 8 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级及 以上。 e ( 9 ，7 ) 抽头的a n t o n i n i 滤波器在第一级上，1 4 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级及 2 第一二章小波去噪的基础知识 以上。 f ( 9 ，7 ) 抽头的a n t o n i n i 滤波器在第一级上，6 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级及 以上。 g ( 5 ，3 ) 抽头的l e g a l l 滤波器在第一级上，6 抽头的q s h i f t 滤波器在第二级及以 上。 对于一个给定的d t c w t 系统，当只保留任意给定级别上的系数并且是带通 类型或者是低通类型时，兄值可以被计算。表3 给出了对上述滤波器的计算结果。 r o 的单位是d b ( 1 0 l o g l or o ) 。 从表中可以看出，较长得滤波器它的平移不变性较好，并且第一级滤波器的 复杂度主要影响第二级和第三级上的平移不变性，其他的滤波器主要影响第二级 以上的平移不变性。第一级没有混叠，因为两树都像一个非下采样的单一的树。 d w t 的平移性能明显低于d t c w t 。 尺度函数要比小波函数的结果好几个( 1 b ，主要是因为，低通频谱的较低的残 留混叠，见图2 5 ( c ) 和( d ) 。 图2 6 给出了四种方案的平移不变性能比较。在每一个方案中，输入是阶跃函 数，依次平移相同的间隔。该图给出了输入的阶跃和反变换输出信号的成分，这 些信号从第一级到第四级的小波系数和第四级的尺度函数重构得出。从图中我们 可以看出，d t c w t 具有平移不变性，d w t 不具备该性质。b 执行平移不变性的性 能最好，e 次之，g 最差。 基于方向信息的i 圣l 像去噪算法研笕 图2 6 平移不变性性能对比 2 1 6 方向选择性 d t c w t 扩展n - 维可以通过对行列分别滤波实现。多维复数滤波器可以提 供真正的方向选择性，尽管它们被分开执行。例如，一个2 维的d t c w t 可以在每 一级上提供六个复数带通子带，这六个子带在1 5 。，“5 。，+ 7 5 。有很强的方向性。图 2 7 表示了第四级上的脉冲响应。 第二章小波去噪的基础知识 图2 7 方向选择性比较 图2 8d t c w t 和d w t 平移不变性的比较 图2 ，8 给出了d t c w t 和d w t 平移不变性的比较。d t c w t 使用上表中的c 型滤 波器，d w t 也和表三中的d w t 一样。输入的图像是光亮的圆盘，第一行的图像是 从d t c w t 的第一级到第四级的小波系数和从第四级尺度函数重构回来的图像的 成分。第二行是d w t 的各级的重构。从该图我们可以看出，d w t 有明显的重叠模 糊。对于d t c w t ，使用这样一幅平滑图像，应该能够说明它的平移不变性，因为 圆盘边缘部分都是被对等处理。该图象也显示了很好的旋转不变性，因为每一幅 图像都是使用给定级的所有的六个方向子带的系数。在d w t 中，因为对交子带比 其他的子带有较高的中心频率，所以在接近“5 。，+ 1 3 5 。方向，带通图像的圆环处会 变稀。 基十方向信息的图像去噪算法研究 2 2 小波去噪的方法 现有去噪方法归结起来大概有三种：传统的基于傅立叶变换去噪方法，相干 平均法和基于小波变换的去噪方法。其中最常用的是基于傅立叶变换去噪方法和 基于小波变换去噪方法。下面我们主要讨论小波去噪的方法。 2 2 1 小波去噪的基本原理、方法及步骤f 2 4 , 2 5 , 2 6 假定信号f ( i ) 来源于一光滑信号，( ，) 的均匀采样，采样信号被加性噪声挖( f ) 所 污染，于是含噪信号为： x ( o = ，( f ) + 玎( f ) ，i = 1 ，2 ， 这里，我们以n ( 0 是高斯白噪声为例。一般说来，原信号通常表现为低频信 号或是一些光滑信号，而噪声则通常表现为高频信号。所以，去噪过程可按如下 方法处理：首先对信号x ( f ) 进行小波分解，以三层分解为例，分解过程如图2 9 所 示，则噪声部分通常包含在e d l ，c d 2 ，c d 3 中，因而可以用小波阈值的形式对小 波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到去噪的目的。对信号x ( f ) 去噪的 目的就是要抑制信号中的噪声部分，从而在x ( f ) 中恢复出真实信号f ( i ) 。 图2 9 信号的三层小波分解 小波去噪的方法及步骤：含噪声信号经小波变换后得到离散细节信号( 小波 系数) 和离散逼近信号( 尺度系数) ，可以证明，噪声的离散细节信号的幅度和方 差随着小波变换级数的增长而不断减小。对于所有的尺度，白噪声的离散细节信 号的系数方差随着尺度的增加会有规律地减小，但有用信号的小波变换的平均功 率与尺度没有什么关系。同样，对应于信号的离散细节信号的幅度和方差也不会 随着尺度的增加而减小。利用这一特性，可以选择一阈值，对小波变换后的系数 进行处理，从而达到去噪的目的，这就是小波闽值去噪的方法。 一般来说，信号的去噪过程可以分为三步： 1 6 第一章小波去噪的基础知识 ( 1 ) 小波分解。确定小波分解的层数n ，对信号进行n 层小波分解。 ( 2 ) 小波分解高频系数的阈值量化。对第一到第n 层的每一层高频系数，选择 一个阈值进行阈值量化处理。 ( 3 ) 小波重构。根据小波分解的第n 层的低频系数和经过量化处理后的第一层 到第n 层的高频系数，进行信号的小波重构。 在这三步中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化。阈值过高， 则会将信号分量也当作噪声滤掉，丢失的信号信息太多；如果阈值太小，又会使 得滤波效果不好，噪声的成分过多，不利于对信号的分析。从某种程度上来说， 它直接关系到信号去噪的质量。 2 2 2 小波去噪的阈值处理 1 9 9 5 年，d l d o h o n o 在小波变换的基础上提出了阈值去噪的概念旧，此方 法在b e s o v 空间上可得到最佳估计值，而任何其他线性估计都达不到与此相同的 估计效果。因此，阈值去噪的方法引起了国内外学者的关注。d l d o h o n o 和i m j o h n s t o n e l 2 8 】对此做了较深入的理论研究，先后提出了硬闽值、软阈值和几乎硬阈 值等阈值处理函数。万永福，袁震东2 9 】分析了各种传统的阈值处理方法，提出了 一个一般化的带有参数o t 的策略分数幂模型，对前面几种闽值处理方法进行了总 结和扩展。赵瑞珍口2 】贝0 提出了多项式差值法，软硬阈值折衷法，模平方处理法。 1 、硬阈值法和软阂值法【2 5 , 2 8 , 3 0 】 常用的阈值处理方法有硬阈值法和软阈值法。硬阂值处理方法对各层小波系 数做如下处理： f w t 。1 w t i a w 2 瑚 旯 ( 2 - 8 ) 【0 ，1 w t i 五 3 、分数幂模型 2 8 , 3 0 , 3 1 】： 万永福，袁震东分析了各种传统的阈值处理方法，提出了一个一般化的带有 分数口的阈值策略分数模型( f r a c t i o n a lp o w e rm o d e l ) ，该模型描述如下： 0 f ：js i g n ( w t ) ( 1 w t l 4 一a 4 ) ；，1 w r i a ( 2 - 9 ) 【0 ，1 w t | 五 前面硬阈值、软闽值和几乎硬阈值三种方法可以看作是这个模型的三个特例， 对应的口为+ 。o ，1 和2 。 赵瑞珍【3 2 1 结合软、硬阈值去噪方法，得到了三种改进的阈值估计模型：多项 式插值法，软硬阈值折衷法，模平方处理法。 ( 1 ) 多项式插值法： 第二章小波去噪的基础知识 瞄憔 p ( = 一i 而1 【五x 2 一( 2 2 + t 2 ) x + 办2 】， 工f ) ， p ( x ) = 一石= 匆k + , 。) x 3 - 2 ( t 2 + t 2 + 2 2 ) x 2 + ( 2 - 1 0 去= 5 0 了w o w f l 一位丑f w i t ! i i ! ；五，c 。口， c z z ， 【，l _ 2 1 0 ，1 w t i 旯 ( 2 1 3 ) 对于( 2 - 1 3 ) 而言，当1 w t i a 时， m 一旯( w f ) 2 一a 2 - 1 w t l ， 从中也可看出，由该方法估计出来的数据的大小也是介于软硬阈值之间的。 同前面所提到的方法比较，模平方处理法实质上与几乎硬阈值处理方法是相同的。 阈值选择的准则及算法 2 5 , 3 3 , 3 4 , 3 5 】 根掘现有的文献，被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型，一般地，选择门 限的准则如下： ( 1 ) 通用阂值准则( s q t w o l o g 准则) ： 设含噪声信号x ( ，) 通过小波分解得到小波系数，噪声信号的标准差是盯，n 是信号的长度，则通用阈值是： = c r x 2 l 0 9 2 n ( 2 1 4 ) 这种方法依据的原理是n 个具有独立同分布的标准变量中的最大值小于丑的 概率随着n 的增大趋向于1 。 若被检测信号含有独立同分御的噪声时，经小波变换后，其噪声部分的小波 系数也是独立同分稚的。如果具有独立同分布的噪声经小波分解后，它的系数序 列长度n 很大，则根掘上述理论可知：该小波系数中最大值小于丑的概率趋近于 1 ，即存在一个阈值五，使得该序列的所有小波系数都小于它。小波系数随着分解 第二章小波去噪的基础知识 层数的加深，其长度也越来越短，根据五的计算公式，可知该阈值也越来越小，因 此在假定噪声具有独立同分布的情况下，可通过设置简单的阈值来去除噪声。 ( 2 ) s t e i n 无偏风险估计准则( d