（一般力学与力学基础专业论文）轴向运动粘弹性梁的横向振动分析.pdf

摘臻 轴囱逡动粱燕一耱耋娶豹工程：元佟，程动夯侮遴带、磁带、纸带、纺织绎鳇、 带锯、空中缆车索邋、高楼升降机缆绳、单索架空索道等多种工穰系统中都有着 广泛静应薅，因纛辘自运韵连续传横自强麓及其撩麓静磁究有着羹要戆实际应嗣 价慎。同时，轴向运动连续体作为舆型陀螺连续系统，由下陀螺项的存在，对其 振动靛分辨遣寿羞纛要匏毽论意义一 轴向邋动梁控制方程中的非线性项是由梁的火变形引起，梁的弯曲变形引起 毒耋l 舞应力爨交纯，这释l # 线蛙夏朗掇谖冗键l 线毪。w i c k e r t 挺出壤静态霰浚，认 为阂梁弯曲变形而簪i 起的威力变化，沿梁的轴向近似均匀分布，应力取梁虚力的 一个平均僮，霉戮了辘囱运动梁 线性振动豹积分- 镳微分蠢程。褒零文中，我髓 分析梁上微单元的受力情况，利用牛顿第= 定律得到梁非线性振动的偏微分方程， 在这秘菲线性模型，梁的辘愈应力崔梁鲍熬个轴燕不秀是一令静态毽，恧是与转 向嫩标有关的一个变量。 在本文的轴肉运动粱搬动戆分掇孛，我们还瑟考虑粱挝辩的糙弹性。这秘糙 弹饿阻尼的存在对运动粱搬动的幅频响应、受迫振动以及受激励运动梁的稳定性 有a 常明显的作用。 对于带有小挠动的轴向运动梁的非线性振动，摄动法越解决问题的有效途径。 由予连续介质为无穷维的系统，对其离散必造成谖差。传缝的对离散化方程傲摄 动法有一寇的局限靛。本文中，将臻利用赢接多尺度法来分析轴向运动梁的振动 问题，把多尺度法赢接应用于梁的控制偏微分方程，然后擞据可解性条件求解。 科翔多尺度法，我们辩带有参数激励城外激励的轴向运动梁非线性振渤的幅 频响应做出了详细的分析。用这种方法研究了次谐波共振及组台共振时的分岔行 为帮稳定性强及受遮共振的辫跃蕊象帮稳窥性问题对跳跃鹩影嫡。对于线性系统 的小扰动情况，我们还用平均法分析了共振所引发的失稳现缘，讨论了多种参数， 跑魏车蠡蠢速发，嚣g 菠，藕弹性阻尼簿对失稳区域静影璃。 多尺度方法是解决微分方程有效的方法，人们往往用一阶近似来讨论问题。 我餐用二泠多足度方法发瑗了粱黏弹牲篷懋对粱自然频率豹影嫡，丽这是掰一除 多尺度方法无法得到这种绐果的。 数兹文簸爨稷设懿边嚣蘩俘，多歆为遮动嚣瀵为铰支袋霆支，两实际上，这 种假设过于理想化。本文中，我们将研究一种新的边界条件，即两端带有扭转弹 簧熬铰支支蹶条锌，这耱边雾条搏跫雩毒合王程实嚣中酶寞实演援。瑶浚证鞠，铰 支边界假设低估了粱的自然频率，i 丽固定支承计算所得固有频率结果值偏大。 g a l e r k i n 截甑方法豢豢鼹于求勰缡微分方程，它霹戳蠲寒分毒嚣强菲线缝及嘉 逮辘囱运动粱貔扳动按裁蠢纛。本文孛我髑将讨论g a l c r k i n 方法在辍离运餮粱控 制方程中应用的可霉亍憾。对剥用匿阶g a l c r k i n 方法褥到的离散化的方程，我们用 r u n g c - k u t t a 数蓬方法分掇荚动力学黪性。照提乎鬣瑟，p 融灌。瘫妖等方法势叛 加速轴向运动粱横向搬动随速度、隰尼及扰动振幅铃参数的分簸情况，髑l y a p u n o v 指数刿叛掇动熬混漉姆性。 关键词：塑枣跫鎏：婪弹孽，偏微分方程，嚣线瞧攘动，平均法，多尺度方法， g a l e r k i n 方法，数值方法，分翁，混沌 1 1 a b s t r a c t 髓。c l a s so fs y s t e m sw i t ha x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l si n v o l v e sp o w e rt r a n s m i s s i o n c h a i n s ，b a n ds a wb l a d e s ，a e r i a le a b l e w a y sa n dp a p e rs h e e t sd u r i n gp r o c e s s i n g t r a n s v e r s ev i b r a t i o no f s u c hs y s t e m si sg e n e r a l l yu n d e s i r a b l ea l t h o u g hc h a r a c t e r i s t i co f o p e r a t i o na th i g ht r a n s p o r ts p e e d s t h es t u d yo ft h e v i b r a t i o nr e s p o n s eo ft h ea x i a l l y m o v i n gm a t e r i a l si so f g r e a ts i g n i f i c a n c e t h r o u g hac o n v e c t i v ea c c e l e r a t i o nc o m p o n e n t ， t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so fm o t i o nf o ra x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l sa r es k e w - s y m m e t r i ci n t h es t a t es p a c ef o r m u l a t i o n 。鼹。r e s e a r c ho ft h et r a n s v e r s ev i b r a t i o ni nt h a tc a s em a y p a yc o n t r i b u t i o nt ot h ec o n t e x to f c o n t i n u o u sg y r o s c o p i cs y s t e m s t h en o n l i n e a re f f e c tc a n n o tb en e g l e c t e di ft h et r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n to ft h e a x i a l l ym o v i n gb e a mi sr a t h e rl a r g e w h e nt r a n s v e r s em o t i o ni st r e a t e df o ra x i a l l y m o v i n gb e a m s ，t h e r ea r et w ot y p e so fn o n l i n e a rm o d e l s ，ap a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n o ra ni n t e g r o - p a r t i a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ep a r t i a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd e r i v e d f r o mc o n s i d e r i n gt h et r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n to n l y , a n dt h ei n t e g r o - p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni st r a d i t i o n a l l yd e r i v e df r o md e c o u p l i n gt h eg o v e r n i n ge q u a t i o no fc o u p l e d l o n g i t u d i n a l a n dt r a n s v e r s em o t i o nu n d e rt h eq u a s i - s t a t i cs t r e t c ha s s u m p t i o nt h a t s u p p o s e st h ei n f l u e n c eo f l o n g i t u d i n a li n e r t i ac a nb en e g l e c t e d t h em o d e l i n go fd i s s i p a t i v em e c h a n i s m si sa l li m p o n a n tr e s e a r c ht o p i co fa x i a l l y m o v i n gm a t e r i a lv i b r a t i o n s v i s c o e l a s t i c i t yi s a 1 1e f f e c t i v e a p p r o a c ht om o d e lt h e d a m p i n gm e c h a n i s m i np r e s e n ti n v e s t i g a t i o n ，t h ek e l v i nv i s c o e l a s t i cm o d e lw i l lb e a d o p t e di nt h es t u d y i n go ft h ef r e ev i b r a t i o n ，p a r a m e t r i cr e s o n a n c e ，a n dt h ef o r c e d v i b r a t i o no f t h ea x i a l l ym o v i n gb e a m v i b r a t i o n so fc o n t i n u o u ss y s t e m sa r ea l w a y sm o d e l e di nt h ef o r mo fap a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs m a l ln o n l i n e a ro rp e r t u r b e dt e r m s t h ep e r t u r b a t i o nm e t h o d s m a yb ea p p l i e dd i r e c t l yt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m t h i sa p p r o a c hi s c a l l e dd i r e c t - p e r t u r b a t i o nm e t h o d t h ed i r e c t p e r t u r b a t i o nm e t h o dp r o d u c e sm o r e a c c u r a t er e s u l t st h a nt h ed i s c r e t i z a t i o nm e t h o db e c a u s et h ee i g e n f u n c t i o n sr e p r e s e n tt h e r e a ls y s t e mb e t t e ri nt h ec a s eo f t h ed i r e c t p e r t u r b a t i o nm e t h o d i nf a c t ，m a n yr e a ls y s t e m sc o u l db er e p r e s e n t e db yt h ea x i a l l ym o v i n gm a t e r i a l s w i t hp u l s a t i n gs p e e d t h a ti s ，t h ea x i a lt r a n s p o r ts p e e di sac o n s t a n tm e a nv e l o c i t yw i t h s m a l lp e r i o d i cf l u c t u a t i o n s ；i ns o m eo t h e rc a s e ，i ft h ef o u n d a t i o n ss u p p o r t i n gt h e a x i a l l y m o v i n gm a t e r i a l sa r en o tm o t i o n l e s s ，t h ef o r c e dt r a n s v e r s ev i b r a t i o nm u s tb ec o n s i d e r e d t h em e t h o do f m u l t i p l es c a l e sc a nk u s e di nt h o s eg o v e r n i n ge q u a t i o n s 。飘ea m p l i t u d e i r e s p o n s ea n dt h es t a b i l i t yc o u l db ed i s c u s s e df o rp a r a m e t r i ca n dc o m b i n a t i o nr e s o n a n c e i nd i s t u r b e ds y s t e m s 、a n dj u m pp h e n o m e n o na tn e a r a n de x a e t - r e s o n a n c ei nf o r c e d v i b r a t i o nc a s e n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oh i g h l i g h tt h ee f f e c t so fs p e e d p u l s a f i o n ，v i s c o e l a s t i c i t y , a n dn o u l i n e a r i t ya n dt oc o m p a r er e s u l t so b t a i n e df i o mt h e e q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rt e r m s t h ec o n t r i b u t i o no ft h ev i s c o e l a s t i c i t yt ot h en a t u r a l f r e q u e n c i e sc a nb ea n a l y z e db ys e c o n do r d e rm u l t i p l es c a l em e t h o d t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h ea x i a l l ym o v i n gb e a m sa r ca l w a y sm o d e l e da s s i m p l e - s i m p l eo rf i x e d f i x e da tb o me n d s i nf a c t m a n ys u p p o r t i n gc o n d i t i o n sa r en o t a b s o l u t e l ys i m p l ee n d so rf i x e de n d s b e a m sa r ea l w a y sf a s t e n e du pb ye l a s t i cj o i n t sa t b o t he n d s t h es u p p o r t i n gc o n d i t i o n sm a yb ef o r m u l a t e da ss i m p l es u p p o r t sw i t ht o r s i o n s p r i n g s s o m es t u d i e sa r ed e v e l o p e d i nt h a tb o u n d a r yc o n d i t i o n i nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o np a r t ，t h eg a l e r k i nm e t h o di sa p p l i e dt ot r u n c a t et h e g o v e r n i n ge q u a t i o ni n t oas e to fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu s eo ft h ep o i n c a r 6 m a p ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r sa l ei d e n t i f i e db a s e d0 1 1t h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h e o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r ep r e s e n t e di nt h ec a s et h a t t h em e a na x i a ls p e e d ，t h ea m p l i t u d eo f s p e e df l u c t u a t i o na n dt h ed y n a m i cv i s c o e l a s t i c i t y i sr e s p e c t i v e l yv a r i e dw h i l eo t h e rp a r a m e t e r sa r ef i x e d t h el y a p u n o ve x p o n e n ti s c a l c u l a t e dt oi d e n t i f yc h a o s i ti si n d i c a t e dt h a tt h ep e r i o d i c ，q u a s i p e r i o d i ca n dc h a o t i c m o t i o n so c c u ri nt h et r a n s v e r s ev i b r a t i o n so f t h ea x i a l l ya c c e l e r a t i n gv i s c o e l a s t i cb e a m k e y w o r d s ：a x i a l l ym o v i n gb e a m ，v i s c o e l a t i c i t y , p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，a v e r a g i n gm e t h o d ，m e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ，g a l e r k i nm e t h o d ， n u m e r i c a lm e t h o d ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s， 篓二茎! l 童 第一章引言 1 1 研究背景及意义 动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆擎索道、离楼升降机缆绳、 单索架空索道等多种工程系统元件，均可模型化为轴向运动连续体a 轴向运动连续体 横向振动及其控制的研究霄着重要的应用价值。例如，带锾中锯的横趣振动憋影响切 割簸量并加尉锯豹癞损。又例如，汽车发动机的平带驱动系统中带的振动将产生噪声 和影响发动机运转的平稳私可靠。同时，毒电向运动谯续体作为典型院螺连续系统，其 由于陀螺顼的存在也对振动的分析和控隶4 提出了若干重要的理论问题。 蕊1 - 1 遴动粱示戆豳 目前研究较多的轴向运动连续体主要照弦线和梁。虽然弦线和梁同属一维连续 镩，瞧嚣者镪毒若予实覆瞧速甏。魏力学模整露言，弦线不具有挠驽弼寝，豁须承受 充分太的轴向拉力，静平衡位形为鸯线：梁具有抗弯刚度，可以承受轴向拉力或压力， 静警骜键形豫戆是鬟线或趣线。裁数学模蝥 孬言，两者有耱瓣静餐豫顼稻稼嫘顼，餐 刚发项不同，而且弦线数学模型中必须考虑非线性项才能反映材料的本构关系。因此， 在其毒怼螺连续体共瞧鳇弱瓣，与秧态运动弦线穗院，辘淘运动粱静碜 究存在其有特 性的问题。例如，轴向运动属曲梁的振动，更类似于轴向聪动绳索( 不具有抗弯刚发 且皴魄力较小瑟具露下垂的l 维连续体) 露不是辘逡运动弦线。又镪舞，一端叁密鬟 一端在固定滑道中滑动是一类具有工程重要性的变长度轴向运动梁问题，但轴向运动 弦线不存在姻应的超题。轴肉运动粱的建模必须考虑更多憨嚣素，热粱鼗嚣瓣转动效 应；间时，粱的数学模型的复杂性也给横向振动的分析和控制带来技术上的困难，例 如，线性轴肉运动梁的固有频率和复摸态嚣数必须缨勋数毽方法褥垩g ，为在线蛙模态 解纂础上的近似解析分析和g a l e r k i n 截断增加了困难。 尽管对轴向运动连续体的研究所史可以上灏型1 8 8 5 年a i k e n 竣实验黢测积分掇 “3 ，但相关研究受到广泛关注并成为活跃的领域开始于上一世纪后半叶。一系列优秀 的综述反映了不同时期的研究进展【2 啪。陈立群已综述了轴愈运动弦线静横内振魂歉 其控潮的工作 9 - n l ，而相关的绳索的非线性动力学建模和分析系统的综述可见 1 2 - 1 5 。 1 2 轴向运动梁横向振动的建模 轴向运动e u l e r 梁是轴向运动连续体的最普通的模型，在这种梁模型中，因为 不计梁的剪切应力及截面的扭转，所以所得到的梁控制方程比较易于分析与求解。 t h u r m a n 和m o t e 1 闻最先采用这种两端铰支e u l e r 梁的模型分析了轴向运动梁的自由振 动得到梁的周期解。k o i v u r o v a 和s a l o n e n 1 7 1 描述了两种利用e u l e r 梁为轴向运动梁建 立控制方程的方法，一种是只计梁上某点的位移，它只与梁的轴向坐标及时间有关， 这是一种纯粹的e u l e r 梁，另一种方法是考察梁某点的位移，它与梁的运动情况有关， 采用l a g r a n g e 应变，这种模型也称为e u l e r - l a g r a n g e 模型。早期的文献【i 8 ”】采用第一 种模型，而m o t e t 2 0 1 及后来的研究者则采用第二种模型。s i m p s o n 2 1 1 则研究了未受轴向 张紧力的两端固支e u l e r 梁的固有频率及模态。 如果考虑梁的剪应力及截面的扭转，则梁的模型为t i m o s h e n k o 模型。c h o n a n 分析了t i m o s h e n k o t 2 2 】梁受横向力时的稳态响应问题，而w u 和m o t e i 列则研究了当横 向力有周期变化时梁的动态特性。 h a r t ，b e n a r o y a 和w e l t 2 4 1 比较了不同的支承条件下四种梁模型的差异。考虑各 种影响因素，则会得到不同的粱模型，四种梁模型的描述如表1 1 所示。通过分析比 较可知，这四种梁模型中，t i m o s h e n k o 梁的考虑最为周全，其精确度也最高，同时 计算也最复杂：e u l e r 模型的精度最差，但控制方程最为简单：当只考虑低阶情况时， 则四种模型的结果都可以接受。虽然四种梁模型的比较以静止梁为例，并没有考虑梁 轴向速度的影响，但其结果对于运动梁的研究也有一定的参考价值。 表1 - 1 四种粱模型的比较 粱模型扭矩横向变形剪应力截面转角 e u l e r 、， r a y l e i g h 、， x 、， s h e a r、，、， t i m o s h e n k o 、， 、， 、， 1 3 轴向运动梁问题的研究现状 考虑两端支承的运动e u l e r 梁，不失一般性，设它的横向振动发生在平面之内， 且轴向速度为常数，不考虑因横向振动而造成梁的轴向伸长( 小变形) ，则可以得到 轴向运动梁横向振动的线性方程， 第一章引言 m 2 + g k + k x = 0( 1 _ 1 ) 其中，m ，g 和足为线性微分算子。 系统( 1 1 ) 式的固有频率与轴向速度及梁的刚度有直接关系。当速度增大时，运 动梁的各阶固有频率减小，当达到某一临界值时，梁的第一阶固有频率消失。m o t e t 2 5 】 用g a l e r k i n 截断法求得了这种情况下两端铰支梁的固有频率，当速度远小于临界值 时，算例数值结果有：采用一阶g a l e r k i n 截断误差为2 1 4 ，当采用二阶g a l e r k i n 截 断时误差为2 1 ，而当采用四阶g a l e r k i n 截断时误差仅为0 3 ，随着速度的增大， 计算误差会有所增大。他的结果由m o t e 及n a g u l e s w a r a n 的实验中得到证实【2 6 】。 w i c k e n 和m o t e t 2 7 】发展了适用于陀螺连续体的复模态分析方法【2 8 捌，基于正交 的模态函数导出了轴向运动梁对任意初始条件和激励的响应，得到在简支的边界条件 下计算了固有频率和模态函数的方法。s i m p s o n 2 1 】利用本征值方法究了轴向运动梁在 固定边界条件下的固有频率和模态函数，但他没有考虑轴向初始张力。陈立群和李晓 军口0 j 用w i c k e r t 的复模态分析方法计算得到两端固支张紧运动梁的固有频率及模态函 数。对于轴向运动梁的固有频率及轴向速度的影响问题，除以上提到的g a l e r k i n 截断 法及复模态分析方法之外，还可以利用r i t z 离散化方法【3 1 ，有限元算法吲或者利用 人工神经网络的思想【3 3 】。0 z 和p a k d e m i r l i t 3 4 1 以及0 z t 3 5 1 经过较复杂计算分别得蛩j t i w 端铰支及两端固支情况的第n 阶模态的显式解，为运动梁进一步的分析做好了准备。 对于( 1 - 1 ) 式，它的稳定性由本征值所决定，在运动梁问题中，轴向速度是影响 本征值的主要参数，分析系统稳定性就要讨论本征值的岔问题。r e n s h a w 和m o t e 3 6 】 通过分析本征值，研究了系统在临界值附近解的稳定性情况。s e y r a n i a n 和k l i e m t 3 7 1 以 及a l - j a w i ，p i e r r e 和u l s o ) _ 【“j 把摄动法引入本征值，研究t ( 1 1 ) 式在稳定边界的分岔 问题并给出系统稳定及失稳的判断方法。p a r k e r 3 9 】贝0 分析了更为一般陀螺系统，用摄 动方法分析这种静态问题，而把轴向运动梁作为这种方法的例子。a l - j a w i t 4 0 , 4 1 1 等用 g a l e r k i n 截断方法分析了运动梁的本征值问题，并用实验加以验证。w a n g 和l i u 4 2 1 也用g a l e r k i n 离散化，研究了轴向运动梁随轴向速度增大而在临界点出现的叉式分岔 现象a t h e o d o r e d 3 1 等用假发模态方法对控制方程做离散化，利用l y a p u n o v 方法分析 系统的稳定性。r i e d e l 和t a n f 4 4 1 对控制方程做l a p l a c e 变换，在频域范围内分析系统 动态特性，指出轴向张力使得运动梁临界值增大。 o z ，p a k d e m i r l i 和o z k a y a 【4 5 】则用 多尺度法研究了当刚度为小量时，出弦线的理论基础分析梁的固有频率问题。h w a n 2 和p e r k i n s h “”4 即用数值、分析及实验等方法分析了运动粱临界及超临界情况下的振动 特性。 对于以上分岔问题，人们往往考虑轴向运动梁的非线性振动特性。其控制方程 上海大学博士论文 表达如下 脓+ g 聱+ k x = n ( x ，文) 0 - 2 ) 其中表示非线性项。 t h u r m 蛆和m o t e 【1 6 1 把l i u 4 9 提出的在常微分方程中用l i n d s t e d t 方法消除长期项 的理论扩展到偏微分方程，分析了非线性项对固有频率的影响。w i c k c a t 5 0 】利用 k r y l o v b o g o f i u b o v m i t r o p o l s k y ( k b m ) 方法，研究了非线性项在轴运动梁亚临界及超临 界范围内的影响，讨论了由于非线性固有频率对振幅的依赖，发现非线性因素对梁振 动的影响在临界值附近时异常明显。为了验证摄动法的正确性，m o o n 和w i c k e r t p l j 利用激光干涉仪研究了高速传送带在临界值附近的振动特性，发现了跳跃和滞后等非 线性现象。w i e k e r t 5 2 1 及c h a k r a b o r t y 5 3 , 5 4 , 5 5 垮用摸态摄动方法分析弱非线性对振动固 有频率的影响。c h a k r a b o r t y 和m a l l i k l 5 6 1 在求解轴向运动梁的固有频率时利用了波传 动的“相位闭合”方法，即当波在运动梁上传播反射在端出现相位与出发时相位相 抵时，这个波的频率就是梁的某阶固有频率。他们研究了非线性影响下梁的模态。它 们还利用所得到的非线性模态分析了轴向运动梁强迫振动的响应【57 1 ，并与g a l e r k i n 方法所得结果进行了比较。p e l l i c a n o 和z i r i l l i 【5 8 】以及p a k d e m i r l i 和0 z k a y a t 5 9 1 究了小 剐度弱非线性的轴向运动梁，他们利用l i n d s t e d t p o i c a r e 摄动法分析了频率及振幅的 变化，并提出这类问题中的边界层理论。6 z t 删等把多尺度法直接应用于运动梁的非 线性控制方程，利用两端铰支梁的振动幅模态，得到受非线性影响的各阶固有频率。 在非线性问题的研究中，g a l e r k i n 截断法是一种比较常用的方法。利用它可以 把偏微分方程离散而得到常微分方程，只要取合适的模态函数，这种方法行之简单而 有效。对于两端铰支的运动梁，取静止梁的模态函数即正弦序列是不错的选择，因为 同样它满足静止梁的边界条件。对于两端固支运动梁的模态函数的选取，因为静止梁 的模态函数也较复杂，所以g a l e r k i n 方法的使用受到定的限制。r a v i n d r a 和z h u 6 1 1 把g a l e r k i n 的一阶截断应用于加速度的轴向运动梁非线性方程，得到受参数激励的 d u m n g 振子，在临界速度附近发现叉式发岔，通过数值计算发现了倍周期分岔到达 混沌和间歇混沌的现象，并用m e l n i k o v 方法证明了混沌的存在。p a r k e r 【6 2 l 以及p a r k e r 和l i n 【6 3 用一阶的g a l e r k i n 截断方法得到离散的常微分方程，然后用摄动法分析了非 线性项及速度或梁轴向应力扰动的影响。p e l l i c a n o 6 4 1 等用实验方法研究了带有偏心轮 的传送带的稳定性问题，并用g a l e r k i n 方法分析控制方程，以确定实验中作用因素。 m a r y n o w s k i 和k a p i t a n i a k l 6 5 1 及m a r y n o w s k i 【6 6 】利用三阶的g a l e r k i n 截断法并利用数值 方法，分析了非线性振动临界及超临界的振动特性及分岔，并研究了超临界系统的吸 引域。w m l g 和m o t e 6 7 , 6 8 用g a l e r k i n 截断法分析了带轮系统的模态及响应问题，并 第零l 富 璎实验穷法绘出验浚。k i m 秘己。e 渺l 骚究了蘩驱动瑟绞懿线幢纯方释，程瘸g a l e r k i n 及数镶方法诗冀簸露频率及系绞煞受遗攮魂。 努黎考纛运璎粱麓蘩撩参数( 翅麓囊遮菠、疯力等) 受到徽，l 、撬动，粼系绞瓣 可能发生参数熬强瓣象。这瞎控铡方程瓣下 鼻鼓专墩觳= 蛾b ，曲s l 珏固，0 0 - 3 ) 对予( 1 3 ) 戏，摄渤滚罴勰决它鲍一条主蘩途径。y a n g 7 0 潮c h e n 及c h e n i t l 等露二除 g a l e r k i n 秀法分粼讨论了遮瘦小撬动辩嚣鹾铰支获嚣漾瓣支麓淹逡动粱瓣焚援稳迩 憾阏藤，森枣| | i 葫颓搴撬鞠搽箍嚣上发现了霞谤波共掭及鞠蕊缀会获振褥弓l 发数必穗 嚣域，势磷究了务耱参数，簿辘囱滚凌、粱嚣瘦及糕释瞧隧篷等砖装缀失稳颡域瓣影 喻。z a j a c z k o w s k i _ 摹赫l i p i n s k i 7 2 1 懿及z a j a c z k o w s k i 鞠y a m a d a 7 3 1 j 基溯粱长发周期交他 壤凝下懿梁攘凌豢淤。a s o k a n t h a n 帮a r i a r t n a m t 列1 磷襄7 毒囊蠢藩力受誊| | i 麓鹣运动鬃缀 凌愤獯。o z 移p a k d e m i r l i 7 5 t 及o z 翻裰纛接多尺发法分嬲分毫蓐了瓣端铰支鞠嚣漆阉 支瑟秘不鬻变承条传下瓣遴凄撬戆 | l g l 发豹菸蔽瓣题，著鸳懑了撩翻平臻遮发怼炎稳 嚣皱的影豌。安舔上，逡续傣为无穷维系绞，瘫予嚣线j 肇瓣存在，瀑莱辩除阉存籁攀 蔽一定滋壤瓣，遮a 个搂态豹矮夏影壤簸窝豹不豁忽筏蠢霹缝发生凑筵缀璇象 7 7 , 7 8 。 l e e 敬p e r k i n s t 7 9 1 磷究了熬索掇韵与撰韵瓣鸯频察2 ：l 鹈内熬援镀援。r i e d e l 酾t a n 稍 g tg a l e r ! d d s ：藏龄然惹对绉袋震多尺度法磷突了懿涎除露露频率之魄必l ：3 瓣辘国逡 渤繁豹肉多荽羧穗鬣，发凌了鞍节分黎及獭醒分岔等分岔现象。 一般壤援下，瓣蠢遮动粱蹙一零孛奏参数激藏泌嚣线强凝动援黧，毽含了f l 。2 ) 及 ( 1 - 3 ) 式孛翁掰窍精派，葵控簇方程为 勰十g 2 融= 磷红，k ) s i n ；# j 掰枯，l ；( 1 - 3 ) 这耱缒铡方獠兹辫，当按遥共豢存在稳态璃瘦麓，攘耀与激藏频搴有关。t a n 翻 c h u n g s l t 及y a n g 翻t a n 谗2 l 穰蹋传递溺数分誊厅了这嚣t5 疆颞噙蔽懿褥瞧。y u e 8 3 , 8 4 1 蘧数镶 方法及安毅方法磷究了参数菸弦麴懿瘦趣熬。t a k i k o n d a 鞫b a r u h s s l n 数镶方法礴究 了辍患逡动粱长壤髑濒交他豫产生瓣越掇动骥应。c h e n 秘y a n g 8 6 l 溅多辩瘸尺瘦滚庞 溺予璃徽分笈豢l 方稳，分轿了蕊零f 不蠢 线逡矮熬羲弹性宓鼙速遮麓粱黪爨撅稳疲。 z h a n g 翅z u 飘麓纛接多尺瘦法磺究了驱动蛰冬激强动# 彝凝，蒡聪蠲数篡方法褥戮 共簇翡瘦戆移在象佟及旗辩囊戆彭确。y a n g 葶爨c h e n l 8 8 1 剥爝二除g a l e r k i n 镀鞭法，褥 鲻离散戆辩裔阻尼壤黥臻线性嚣微分方程，联瑗鞠除r u n g e k u t t a 数壤方法分梅了粱 羧鹈摄动髓辍囱逮嶷、速度挽动掇凝及鞑辩鼗等参数豹分岔露为。 对予系缎敬j 线性受避强动，短经会霄影跃蕊象的产黛f 嘲。z h a n g 翻z 醢 9 。1 嚣惩 多足瘦浚分謇嚣了辘翔运动镑翁在驻羲雾条磐下戆辎受逸掇麓及豌瘦。p e l l i 。a n o 释 圭塑奎堂堡圭堡壅一 v c s 仰i l i 刚用g a l e r k i n 截断法方法及数值方法分析了运动梁超临界状态的强受迫振 动，梁的高速运动引发了梁横向振动的混沌现象。 考虑到不同的工程实际情况，轴向运动梁往往还存在耦合问题。s t y l i a n o u 和 t a b a r r o k 【3 2 ，9 2 1 用有限元方法考虑了在梁上运动的质量块的影响，研究了梁振动稳定性 f u n g f 叫用h a m i l t o n 原理得到了一端配有质量块的梁振动的控制方程。k a n g 9 4 , 9 5 用 g a l e r k i n w 截断方法分析了集中质量对固有频率的影响。0z i 舯谰二阶精度的摄动法研 究了粘连在梁上的质量块对匀速运动梁振动特性的影响，发现质量块使的梁固有频率 减小，而振动振幅则没有受到影响。t a n 等 9 7 9 8 3 分析了运动梁与液压支承反馈力耦合 问题。s u g i m o t o 嗍等则考虑了空气动力载荷，得到梁振动的非线性波动方程。a d a m s 和m 锄一1 删以及m a n o r 和a d 锄s 1 分别研究了在台阶和挖槽两种不连续蓝面上的无 限长轴向运动梁，发现在低轴向速度时，e u l e r 梁和t i m o s h e n k o 梁两种模型均给出接 近的稳态响应。a d a m s i 旧2 l 用平谣弹性理论研究了类似的问题。 在轴向运动物体的振动特性分析时，能量方法因其简单直观也得到了较多的应 用。w i c k e r t 和m o t e 删以及m o t e 和w u 1 0 4 】研究了能量随着轴向运动系统流动的情况。 r n s h a w 等 t o s l 提出了轴向运动系统的能量泛函并分析了它的变化。z h u 和n i t r 0 6 1 以及 z h u 1 0 7 1 分析了变边界，即变长度梁的能量变化问题并提出控制方法。k w o n 和i h 【1 0 鄙 分析了带有张紧轮或惰轮的轮带系统中能量的转移问题，并用实验验证了分析结果。 为了解决梁振动及失稳的问题，众多学者提出了有效的解决方案。h a t t o r i 等l l 叫 用在运动梁上施加反馈力的方法来减小横向位移。t a k i k o n d a 和b a r u h h o 也用类似的 方法来控制变长度轴向运动梁的振动。y a n g i 】在运动梁上安装多个传感器及激励器 利用速度反馈直接控制陀螺系统的各阶模态的振动。f u n g 等l i t 2 1 在运动梁的一个边界 端加装弹簧质量系统控制梁的横向振动。l e e 和m o t e 1 1 3 1 及z h u n 4 1 等利用在梁运动边 界上加阻尼的原理对梁振动做控制。 表1 - 2 梁横向振动问题的研究方法 研究对象研究方法 两端支承静止梁分离变量法，模态分析法 两端静止运动梁( 匀速，线性)复模态分析法，频域方法，波传播方法 弱非线性轴向运动粱离散摄动法，直接摄动法 带有( 速度，长度) 小扰动的轴向运动梁多尺度法，平均法 强非线性控制方程离散数值法，有限差分法 根据以上文献的分析，我们可以总结梁的横向振动问题如表1 - 2 所示。 笙二兰! ! 宣 1 4 主要工作 以上文献中，人们往往假设梁的材料为线弹性材料，这给计算分析带来方便， 但在实际上，某些金属陶瓷及化合复合材料往往是带有粘弹性的。分析证明，这种粘 弹性阻尼的耗散作用在运动梁的振动特性中起着重要的作用。本文中的材料将假设为 有如下粘弹性的应力应变关系 弘e + q 等( 1 - 4 ) 这种粘弹性阻尼的存在对运动梁振动的幅频响应、受追振动以及受激励运动梁的稳定 性有非常大的作用。 轴向运动梁控制方程中的非线性项是因为梁的大变形所引起的，梁的弯曲变形 引起轴向应力的变化，这种非线性项即所谓几何非线性。w i c k e t 5 0 1 提出准应力假设， 认为因梁弯曲变形而引起的应力变化，沿梁的轴向近似均匀分布，应力取梁应力的一 个平均值，得到了轴向运动梁非线性振动的积分偏微分方程。在本文中，我们分析 梁上微单元的受力情况，利用牛顿第二定律得到梁非线性振动的偏微分方程，在这种 非线性模型，梁的轴向应力在梁的整个轴是不再是一个静态值，而是与轴向坐标有关 的一个变量。 对于带有小扰动的轴向运动梁的非线性振动，摄动法是解决问题的有效途径。 由于连续介质为无穷维的系统，对其离散必造成误差。传统的对离散化方程做摄动法 有一定的局限性。本文中，将要利用直接多尺度法来分析轴向运动梁的振动问题，把 多尺度法直接应用于梁的控制偏微分方程，然后根据可解性条件求解。由过去的研究 中，一般认为这种方法对解决连续介质问题精确性较高 1 1 5 - 1 1 8 。利用多尺度法，我 们对带有参数激励及外激励的轴向梁非线性振动的幅频响应做出了详细的分析。研究 了谐波共振及组合共振时的分岔行为和稳定性以及受迫共振的跳跃现象和稳定性问 题对跳跃的影响。对于线性系统的小扰动情况，我们用平均法分析了共振所引发的失 稳现象，讨论了多种参数( 轴向速度，刚度，阻尼) 对失稳区域的影响。 多尺度方法是解决微分方程有效的方法，人们往往用一阶精确度来讨论问题的 解。我们用二阶多尺度方法发现了，梁粘弹性阻尼对梁固有频率的影响，用一阶多尺 度方法是无法得到这种结果的。 以前文献所假设的边界条件，多认为运动两端为铰支或固支，而实际上，这种 假设过于理想化。本文中，我们将研究一种新的边界条件，即两端带有扭转弹簧的铰 支支承条件，这种边界条件更符合工程实际中的真实情况。可以证明，铰支边界假设 低估了梁的固有频率，而固定支承计算所得固有频率结果值偏大。 上海大学博士论文 3