（应用数学专业论文）强耦合尘埃等离子体的研究.pdf

摘要 强耦合尘埃等离子体晶格是新发现的一类软凝聚态物质，与原子晶格相比，构成 这类晶格的颗粒尺寸较大，易于观察，并且可通过调节一系列参数( 如：数密度，温度， 颗粒尺寸等) 来控制它的行为，因此，引起了人们广泛的关注。对于这一新物质的研究将 促使人们更好地理解相变、声子的传播、升华、退火和晶格缺陷等现象。此外，等离子体 晶格中还存在其它多种复杂而有趣的运动形式和能量输运方式，如晶格的振动与波。由 于波提供了理论与实验的联系纽带，因而对等离子体晶格中的波的研究具有极为重要的 意义，一旦了解了波动现象，就可用它来测量等离子体晶格的各种参量。 本文主要从理论上研究了二维、三维简单立方晶格中的线性波和非线性波，得到了 线性波的色散关系及孤立波解。由于尘埃粒子在一定条件下形成晶格后，尘埃粒子间距 大于其德拜屏蔽长度，因此，我们仅考虑了最近邻和次近邻粒子间的相互作用。在同种 粒子组成的简单立方晶格中，讨论了几个特殊方向的线性波，在二维晶格中，每个方向 存在两支波，即一支横波和一支纵波；在三维晶格中，每个方向存在三支波，其中一支纵 波，两支横波。然而，在两种不同颗粒组成的二维复式晶格中，每个方向存在四支波，其 中两支纵波，两支横波，在这四支波中，一支纵波和一支横波是声学模，其余两支是光学 模。接着，运用约化摄动方法，我们研究了三维简单立方晶格中的孤波，并且发现，在不 同的传播方向，孤波的振幅与宽度不同；尘埃粒子间的相互作用势对孤波的振幅和宽度 有一定的影响。另外，本文还研究了多种离子成份组成的等离子体中的非线性波，得到 了k d v 型方程及其准孤子解，研究表明，孤波在不均匀等离子体中的传播时，在不考虑 反射的情况下，孤子穿过不连续分界面后，孤子振幅会发生变化。 关键词：尘埃等离子体晶格，简单立方晶格，色散关系，约化摄动法，孤子 a b s t r a c t s t r o n g l yc o u p l e dd u s t yp l a s m ac r y s t a li san e wc l a s so fs o f tc o n d e n s e dm a t t e r g r a i n s i np l a s m ac r y s t a la r eo fm a c r o s c o p i cs i z ec o m p a r e dw i t ha t o mi na t o m i cl a t t i c e s o ，i t i se a s yt oo b s e r v ea n dc o n t r o lo v e raw i d er a n g eo fp a r a m e t e r s ( i n c l u d i n gp l a s m ad e n s i t y , t e m p e r a t u r ea n dp a r t i c l es i z e ) t h e r ei sg r o w i n gw o r l d - w i d et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a l e f o r tt oi n v e s t i g a t et h ed u s t yp l a s m ac r y s t a l t h ed e t a i l e ds t u d yo f t h i se n t i r e l yn e w m a t e r i a lc o u l dw e l ll e a dt oab e t t e ru n d e r s t a n d i n go fp h a s et r a n s i t i o n ，p h o n op r o p a g a t i o n ， s u b l i m a t i o n ，a n n e a l i n ga n dl a t t i c ed e f e c t s t h e r ea r em a n yc o m p l i c a t e dk i n e t i cf o r m sa n d t r a n s p o r tm o d e so fe n e r g yi np l a s m ac r y s t a l ，f o re x a m p l e ，o s c i l l a t i o na n dw a v e t h ew a v e c a nr e p r e s e n ta no b j e c tc o n n e c t i n gt h e o r ya n de x p e r i m e n t t h ei n v e s t i g a t i o no fw a v e i si m p o r t a n ts i n c ef u n d a m e n t a lp a r a m e t e r so fd u s t yp l a s m ac a nb eo b t a i n e df r o mt h e a n a l y s i so fw a v ep r o p a g a t i o n i n t h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t e dl i n e a ra n dn o n l i n e a rw a v e si nt w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) s i m p l ec u b i cl a t t i c ea n dt h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 d ) s i m p l ec u b i cl a t t i c e ，a n dd e r i v e dd i s p e r - s i o nr e l a t i o n so fl i n e a rw a v e sa n ds o l i t a r y - w a v es o l u t i o nb e c a u s et h ea v e r a g ei n t e r p a r t i c l e d i s t a n c ei sl a r g e rt h a nt h ep l a s m as h i e l d i n gl e n g t h ，t h ei n d i v i d u a ld u s tp a r t i c l ei nad u s t y p l a s m ac r y s t a li n t e r a c to n l yw i t haf e wn e i g h b o r i n gp a r t i c l e s f o rs i m p l ec u b i cl a t t i c e c o n s i s t i n go ft h es a m eg r a i n s ，w ed i s c u s s e dt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n si nd u s tl a t t i c e i ti s f o u n dt h a tt h e r ea r et w om o d e si nac e r t a i nd i r e c t i o no f2 dl a t t i c eo n ei sl o n g i t u d i n a l w a v e ，a n dt h eo t h e ri st r a v e r s ew a v e t h r e em o d e sa r es u s t a i ni nac e r t a i nd i r e c t i o no f3 d l a t t i c e s i m i l a r l y , o n ei sl o n g i t u d i n a lm o d e ，a n dt h eo t h e r sa r et r a v e r s em o d e s h o w e v e r ， t h e r ea r et w ol o n g i t u d i n a lw a v e sa n dt w ot r a v e r s ew a v e si n2 dd u a ll a t t i c e f u r t h e r m o r e ， b yu s i n gr e d u c t i v ep e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e ，w ei n v e s t i g a t e ds o l i t a r yw a v e si ns o m es p e c i a l d i r e c t i o n s i ti si n d i c a t e dt h a tt h e r ea r ed i f f e r e n ta m p l i t u d ea n dw i d t hw h e nt h es o l i t o n p r o p a g a t ei nt h ed i f f e r e n td i r e c t i o n s t h ev a l u e so ft h es o l i t o na m p l i t u d ea n dw i d t hd e - p e n do nt h ei n t e r a c t i o np o t e n t i a lb e t w e e nt w op a r t i c l e s w ea l s oi n v e s t i g a t e dn o n l i n e a r a c o u s t i cw a v ep r o p a g a t i n gi ni n h o m o g e n e o u sp l a s m aa n do b t a i n e dak d v t y p ee q u a t i o n a n di t sa n a l y t i c a lq u a s i s o l i t o ns o l u t i o n b yn e g l e c t i n gt h er e f l e c t i o n ，i ti sf o u n dt h a tt h e a m p l i t u d eo fs o l i t o nw i l lc h a n g ew h e ni tp r o p a g a t e si n t ot h ed i s c o n t i n u o u si n t e r f a c e k e yw o r d s ：d u s t yp l a s m ac r y s t a l ，s i m p l ec u b i cl a t t i c e ，d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，r e d u c t i v e p e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e ，s o l i t o n ， 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 王j 、云 日期： 6 年g 月j 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名： 王! ! ：主 日期：砌，年，月j _ 日 论文指导老师签名：q 吸逊日期：7c ，c ，年6 月6 日 第一章绪论 1 1 软物质简介 1 - 1 1 什么是软物质 物理学的不断发展，又将许多新的领域展现在人们面前，软物质就是其中之 一。1 9 9 1 年法国物理学家d ec e n n e s 在诺贝尔授奖会上以“软物质”为演讲题目 1 1 ，提 出了软物质的研究1 2 ，3 。他用“软物质”一词概括复杂液体等一类物质，得到了科学界的 广泛认可。近年来，美国及欧洲的主要物理学杂志均开辟了“软物质物理”新栏目，表明 软物质物理已发展成为- - f l 新的学科领域心软物质的提出推动了物理、化学和生物三 大传统学科问的交叉和融合，不仅出现了专门研究软物质物理的软凝聚态物质物理( 简称 软物理) ，还出现了以软物质应用为目的的研究，出现了软材料的提法。d eg e n n e s 成为使 凝聚态物理向新世纪转型的第一人【5 j 。 软物质又称软凝聚态物质或称复杂流体，是指处于固体和理想流体之间的物质。一 般由大分子或基团构成，如液晶、聚合物、胶体、膜、泡沫、颗粒物质、生命体系等，在自 然界、生命体、e t 常生活和生产中广泛存在。软物质的基本特性是对外界微小作用的敏 感性、非线性响应和自组织行为等，其运动规律和行为主要不是由量子力学和相对论的 基本原理直接导出，而是由内在特殊相互作用和随机涨落引起，因此，软物质某些方面的 性质类似于固态物质的相变临界状态。软物质与人们的生活休戚相关，如橡胶、人造纤 维、墨水、洗涤液、饮料、乳液、药品和化妆品等等；软物质在技术上有广泛的应用，例 如：电( 磁) 流变液，它是固体粉末与液体混合物体系，通过改变施加的电场f 或磁场) 强 度，可连续调节其软硬程度，且响应时间很快，这种奇特性质有重要应用前景，可以用作 机电一体控制的元件或部件，如减震器、离合器、制动器、机器人等。 与金属、半导体、陶瓷等硬物质相比，软物质之所以称为“软”，是因为它没有固体 那样的硬结构。软物质对相对于弱的外界影响，比如物质组成或结构的微小变化、旅加于 物质之上的瞬间或微弱的刺激等，都能作出相对显著的反应和变化，即具有弱影响强响 应的特征【4 1 。d ec e n n e s 以橡胶为例，说明了软物质的奇异特性【6 】。2 5 0 0 年前，亚马逊河流 域的印第安人用橡胶树汁涂在脚上做靴子，这种靴子只穿了一天就破碎了，那是因为空 气中的氧使橡胶长链分子断裂的缘故。1 8 3 9 年美国人固特异( d o o d y e a r ) 发明了橡胶硫 化处理技术，才使橡胶成为坚固耐用的材料。g e n n e s 指出天然橡胶的每2 0 0 个碳原子中， 只有个原子与硫发生反应。尽管化学作用如此微弱，却足以使物质的物理性质发生从 液态到固态的巨大变化。胶汁变成橡胶，即证明了有些物质会因微弱的作用而改变状态， 这就是软物质的奇异特性一弱力引起强变化。 软、硬凝聚态物质还可通过自由能( 等于内能加熵) 来区别。在硬物质中内能远大于熵 第一章绪论 时，内能代表着原子之间真正的力的相互作用，物质的结构和性能主要由内能决定，而热 涨落只是起着微扰作用。对于硬物质可用量子化处理，即普朗克常数h 0 。但是，对于软 物质系统而言，构成物质的分子间的相互作用通常比较弱，或者在系统位形( 结构) 发生 变化时，内能几乎不发生改变。这不仅意味着系统在外部的微小扰动下容易产生复杂的 变形和流动，还意味着热涨落对系统的结构和行为有着很大的甚至是决定性的影响，即 系统的特性不像硬物质那样基本由基态及基态之上的元激发( 或称为准粒子) 所决定，而 是在很大程度上取决于系统的熵，因而不能量子化，即普朗克常数h = 0 ，这就是软凝聚 态物理的特征。 软物质是一类复杂体系，这类物质的奇异特性和一般运动规律尚未得到很好的认识。 软物质的许多新奇行为、丰富的物理内涵和广泛的应用前景引起越来越多物理学家的兴 趣，是具有挑战性和迫切性的重要研究方向，已成为凝聚态物理研究的重要前沿领域。 1 1 2 几种常见的软物质 ( 1 ) 液晶 液晶是一种被广泛应用的软物质。1 8 8 8 年，奥地利一位植物学家把胆甾醇苯甲酯晶 体加热至1 1 1 4 55 时，发现晶体熔融为浑浊液体，当继续加热到1 7 8 5 时浑浊液体突然 变成清澈透明的液体，说明液体出现了相变，并发现在加热冷却过程中颜色也发生了变 化。在1 4 55 至d i 7 s 5 温区内该液体象晶体具有光学各向异性的特征，分子是有序排 列的，呈非固非液的中间态。次年，德国物理学家莱曼( l e h m a n ) 发现许多有机化合物也 有类似的性质，因为这类物质的力学性质像液体，具有液体的流动性，它的光学性质像晶 体，具有晶体的有序性，因此莱曼( l e h m a n ) 把它们称为“液晶”。 根据液晶所含的成分单一或多组分，可分为热致液晶( t h e r m o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 与溶致液晶( 1 y t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) ，溶致液晶是将某些物质溶于另一种物质时形成的液 晶态。热致液晶是因温度而异出现液晶态。如手表、液晶电视、电脑的液晶显示屏等。热 致液晶按分子组织和排列宏观对称性的有序程度又可分为向列相、胆甾相、近晶相三种。 这三大类并未包含热致液晶的全部相行为，1 9 世纪8 0 年代，印度学者发现盘状有机分子 在叠成柱状后，可构成新的液晶相一一柱状相( c o l u m n ) ，这些分子柱可以沿柱向像液体 一样相互滑动( 一维流体) ，但在垂直于柱向的平面有六角形的点阵结构( 二维固体) 。 生物结构与液晶也有很紧密的联系【q ，1 9 7 4 年第5 届国际液晶会议上，人们特别把 生物膜与溶致液晶联系起来，随后出版了溶致液晶与生物膜与液晶与生物结构两 部专著。发明液晶显示t n 技术的w 黑尔弗里希( h e l f r i c h ) 是生物液晶模型定量理论的 创立者( 1 9 7 3 年) 。美国9 0 年代大学分子生物学教科书中关于红血球形状的论述中已有采 用h e l f r i c h 的液晶膜曲率弹性理论。根据生物膜是液晶的线索，生命科学中许多困难的问 题，如细胞膜的融合，蛋白质在膜上的奇异扩散和定域成帽现象，以及细胞分泌的胞吐与 内吞现象正在一一得到理性的研究。 2 第一章绪论 液晶的发现促进了信息时代科技的迅猛发展。利用液晶在电场作用下的流动不稳定 性，科学家们发明了液晶显示技术。用作液晶显示器工作的介质是向列相液晶，在两块 镀有透明导电电极的玻璃间夹一涂层( 厚度为1 0 # m 左右) 分子按螺旋方式排列的向列型 液晶，当电极间未加电压时，液晶分子呈平行排列，液晶盒是透明的；当外加几伏低电压 时就可以控制和改变盒内液晶分子的排列，液晶盒变成浑浊的，就像磨砂玻璃一样；去掉 外电压，盒子又立即恢复透明。这种现象称为动态散射，它是液晶显示的基本原理，由德 国物理学家黑尔弗里希( h e l f r i c h ) 首先提出。现在液晶不仅用于大家日常所见的液晶显示 器中，而且还用于无损探伤、医疗诊断等方面。 ( 2 ) 聚合物 聚合物体系是由简单的组成单元重复多次聚合而成的长分子链，常见的有聚乙烯、 聚苯乙烯、聚氯乙烯等，聚合量级通常为n = 1 0 3 1 0 5 。由于聚合物的分子很长，作为 个合适的模型，聚合物可以近似地看成由n 个长度为a 的单体连接形成的链，每个单体 可以相同，也可以不同，单体之间顺序相连，通常单体之间的相互作用可取为各种方式来 模拟实际系统。在溶有这类长链分子的稀溶液中，长链分子基本处于自由状态，其形状 非常类似于布朗粒子的无规运动的轨迹。长链分子通常具有高度的柔软性并因此而具有 很大的熵值。大多数情形下每个单体除连接部分外相互之间不存在相互作用，而且连接 部分的相互作用能与它们的相对夹角无关，因此系统在自由状态下的位形由熵的极大值 决定【8 1 。 溶液中聚合物的形态对系统的流变特性有很大的影响。航船提速就是一个很典型的 例子：在巴黎的一个用于船模航行试验的水池内。由于经济方面的原因，池内的水不常更 换。时问长了池内滋生出一种藻类，它会分泌出一种称为多糖的长链分子。水中的长链 分子极大地减小了船航行时的阻力，使船速增加了4 0 ，当实验人员在池中投放了氯后， 藻类生存的环境被破坏，多糖长链消失，船速也恢复到原来的水平。一般认为该现象也和 链状分子的形态及其对水流造成的失湍作用有关，但其中的细节尚未认识清楚。除此之 外，还有很多别的性质，如湍流损失大大降低等。这些现象尽管已经发现快5 0 年了，还 没有得到很好的理解。 ( 3 ) 胶体 胶体系统是指微小颗粒散布于分散介质中而形成的系统。颗粒的尺寸一般在几纳米 到微米之间，形状可以是球形、柱状或其他形状。这些颗粒的尺度比原子的尺度大很多， 使得量子效应并不重要，但同时又足够小，在常温下可以表现出布朗运动，从而不会在引 力的作用下很快沉淀。胶体系统广泛存在于自然界，颗粒和分散介质都可以处于气、液 或固态：如雾就是水的颗粒在空气中而成的胶体系统：烟、尘则是固态颗粒散布在空气 中而成的胶体系统；其他胶体系统如肥皂泡( 气在液中) 、牛奶( 液在液中) 、牙膏( 固在液 中) 、面包、泡沫塑料( 气在固中) 、珍珠( 液在固中) 、玛瑙( 固在固中) 等。许多日常用品 3 第一章绪论 如白色的油漆，黑色的墨汁都是常见的胶体，白漆的主要成分是水和t i 0 2 微粒，而墨汁 的主要成分是水和碳黑颗粒。 胶体从本质上说是一种不稳定的系统。其中的颗粒之间存在着一种与分子极化有关 的吸引作用( 通常称为范德瓦耳斯吸引) 。对于极小的颗粒，周围溶剂分子的无规碰撞可 以抵消这种吸引，从而使系统达到稳定。但对于较大的颗粒，由于被溶剂分子的无规碰 撞在很大程度上表现为一种平均效果，颗粒本身的布朗运动就不足以抵消颗粒间的范德 瓦耳斯吸引，因而最终导致颗粒的絮结和沉淀，使胶体系统遭到破坏。稳定胶体的途径 之一是通过静电排斥法来实现，另外还可采用体积稳定法。 一般对胶体的研究主要是讨论其中微粒的行为1 8 1 。一种模型是把微粒看成是大小相 同的硬球，硬球模型常用来描述系统的液相特性。与硬球胶体完全不同的另一类胶体是 带电胶球散布于电解溶液中而成，研究这类胶体的理论有d l v o 理论。 1 1 3 软物质的研究现状及发展前景 近年来，国际上许多大学和研究机构均在大力开展软物质的研究。美国和欧洲各国 开展的研究比较广泛和深入，e t 本科技厅也设立了重大项目支持此类研究，软物质物理 己成为国际上倍受关注的新兴的学科领域。软物质物理是2 l 世纪凝聚态物理发展的重要 方向。 国内陆坤权、马红孺等人进行了液体、电流变液、颗粒物质等材料的实验研究，欧阳 钟灿等人主要从事着液晶及其膜泡理论方面的研究1 9 】，范海福等人长期从事着生物大分 子结构分析方法的研究，在胶体相互作用和动力学、蛋白质折叠动力学、低维软物质界 面结构和性质研究等方面也做出许多很有价值的研究工作。欧阳硕、王宏利等人主要研 究生物分子的自组织行为及其应用，并利用数值模拟方法研究物理、化学、生物、生态、 经济、文化等系统中的复杂性现象 1 0 ，1 1 1 。邹宪武等人开展了氧化物的玻璃化模拟研究工 作。龚新高研究小组进行了团簇融化的模拟研究。费广涛、崔平等人进行了纳米液滴的研 究。刘长松等人利用模拟方法观察到液态硅在相变附近粘滞系数的异常，祖方道等人【1 2 】 在内耗实验中发现了p b 一& 合金在液态相中存在相变。 2 1 世纪被称为生命科学的世纪，从物质划分角度来看，这也是软物质的世纪。这是 因为，任何生命结构( d n a 、蛋白质等等) 都是建立在软物质的基础上。如果没有软物质， 生命也不复存在。作为人类未来技术中的重要组成部分以及生命本身不可或缺的基石， 软物质的许多新奇行为、丰富的物理内涵和广泛的应用背景引起越来越多物理学家的兴 趣。软物质物理已经成为物理学的一个新的前沿学科，并成为新的研究热点。 1 2尘埃等离子体晶格 一维或二维晶格是新发现的一类软凝聚态物质。这类晶格是粒子在外力与粒子间相 4 第一章绪论 互作用下自组织形成的晶体状结构。二维晶格系统的典型例子有：胶体悬浮、液氦中的电 子、朗缪尔单层等。许多有趣的物理过程，如固一液相变、声子的传播、升华等都可通过 这些晶格来研究。近年来，尘埃等离子体晶格成为研究相变等物理过程的一种新的晶格 模型。尘埃等离子体晶格 1 3 】是一些微米尺寸的带电粒子通过粒子间相互作用自组织形成 的有序的晶格结构，在电场力与重力的作用下悬浮在等离子体鞘层。这种全新的物质，由 于它的相变行为以及晶体一样的结构都可通过肉眼观察到，因而成为研究凝聚态物理过 程( 如融化、退火和晶格缺陷) 的很有价值的工具，它正吸引着越来越多科学家的兴趣。 1 2 1 尘埃等离子体 尘埃等离子体是指在等离子体中包含了固态的弥散粒子一一尘埃粒子，通常是电介 质材料的微粒。尘埃等离子体最早是来源于空间等离子体物理，早期的研究着重在太阳 系的演化( 认为构成太阳系的早期星云就是尘埃等离子体) 以及个体尘埃颗粒的带电研 究，例如人造飞船的带电。尘埃等离子体不仅广泛存在于宇宙空间中，也存在于实验室 等离子体和工业加工等离子体中。 尘埃等离子体中尘埃颗粒的质量m d 的范围大约为1 0 一1 0 _ 1 5 9 ，直径凰的范围从几 个纳米到几十微米。在等离子体中，这些尘埃颗粒因与电子、离子碰撞而充电，在短的时 间内( 微秒量级) 达到平衡，其携带的平衡电荷量仉的范围大约为1 0 2 1 0 5 个电子电量。 因为电子的质量比离子质量小得多，其热运动速度也高，因此微颗粒表面往往带的是负 电荷，并有涨落。这些颗粒在重力、鞘层中的电场力及其他一些力的作用下，悬浮于鞘层 中。 由于尘埃粒子带有大量电荷，在等离子体中是一种新的组分，这些带电尘埃粒子的 存在改变了等离子体的电磁性质，不仅如此，等离子体的所有性质都会因微粒的存在而 改变。一些还未揭开的物理过程，如带电尘埃颗粒的产生模式、输运特性及动力学行为， 为等离子体物理学工作者提供了广阔的研究领域。 1 2 2 弱耦台尘埃等离子体 尘埃等离子体中的尘埃颗粒，同任何表面暴露于等离子体中的颗粒一样，会由于收 集电子、离子而携带电荷，由于电子的迁移率高，所以尘埃颗粒带负电，但光电发射、二 次电子发射等，会使尘埃所带的负电荷减少，电势升高。当带负电尘埃存在时，等离子体 电中性条件变为 n i = n e + z n d 这里n 。( d = e ，i ，d ) 是电子、离子、尘埃粒子的数密度，z = q d e 是尘埃电量q d 与电子电 量e 之比。在每个带电颗粒周围，以电子、离子组成的背景等离子体自洽地调整，使尘埃 颗粒周围形成德拜屏蔽。颗粒所带电荷量越大，说明它与周围粒子之间的库仑势能越大， 用库仑势能与动能之比来反应等离子体中尘埃颗粒的热动力学行为，这个比值由下式给 5 第一章绪论 出：r = q 2 e z p ( 山b ) b t ，b = ( 3 4 a n ) 。r 称为库仑耦合参数，反应电耦合强度山是粒 子间的距离，t 是粒子的温度，a d 是德拜长度，q 是电量，n 是粒子的数密度。一般r 1 时 就称为强耦合，这意味着粒子间库仑势能大于动能。强耦合机制可在实验室尘埃等离子 体甚至在常温下产生。强耦合等离子体也能存在于高密度低温度的特殊条件下，如在星 际空间，强耦合尘埃等离子体能展现出类似于液体或固体的特性。 由于尘埃粒子问存在强关联，强耦合尘埃等离子体表现出现了短程有序性，短程有 序性能将固体与气体区分开。在尘埃等离子体中短程有序性的强度由库仑耦合参数r 决 定。对一般的离子( 电子) 等离子体，常温下r 远远小于r 。( r 。是临界值，一般来说，对于库 仑系统f 。一1 7 0 “】，如果考虑等离子体屏蔽效应，r 。会有不同的值) ，因此多为气态等离 子体。在这种情况下，粒子间除了弱碰撞效应，尘埃等离子体中的波不受尘埃粒子间强 关联的影响。 一般情况下，当r i n ，尘埃等离子体处于弱耦合状态，由于带负电尘埃颗粒的存 在，对没有尘埃情况下等离子体中的波动模的性质有很大的影响。即使在尘埃粒子不参 与波动，仅仅作为一种电中性背景粒子的情况下，尘埃颗粒对波动模也有很强的影响。当 我们考虑频率低于电子( 离子) 等离子体中典型频率的波时，就出现了新的振动模一一“尘 埃模”。“尘埃模”的色散关系可由包含离子、电子、尘埃三种成份所组成系统的运动方 程或流体力学方程得出。新发现的模与负电子等离子体中的波动模有些相似，但又具有 尘埃等离子体独有的特征。 对于由电子、离子和尘埃粒子三种组分组成的均匀磁化尘埃等离子体，磁场b 的方向 沿笛卡儿坐标的z 轴。电子处于玻耳兹曼平衡，所有尘埃有相同的质量与电量，通过多流 体分析方法可得到【1 日低频静电波模的色散关系。 ( 1 ) 声波模 在长波极限下， p k , x d 。1 ，k - k n 。1 ，这里a d 。( d ) 是电子( 尘埃) 的德拜长度，尘埃 等离子体中新产生的声波模有尘埃离子声波( d i a ) 和尘埃声波( d a ) 。 n 尘埃离子声波模( d i a ) ( = 0 ) 由于带负电的尘埃颗粒的加入，等离子体中的离子声波会因尘埃的存在而改变”】， 在这种波动模中将尘埃颗粒看作一种静止的背景粒子，其色散关系如下 u ，帆 k 正 1一 i 2o 面十而确卜g s ，4 这里互，五是离子与电子的温度。m 。是离子质量，磊= q d e ，g , a 是有尘埃而修正后的粒 子声波波速，= n d o n 。o 是尘埃相对密度。 6 尘埃声波模( d a ) 尘埃声波是一种低频声波模，在这种模中尘埃粒子直接参与波动【q ，忽略了离子与 电子的惯性，尘埃提供波动模的惯性，而恢复力来自于电子与离子的热压力，其色散关系 6 第一章绪论 如下 薏= 【鲁埘等而嘉面】 = c d 是尘埃声波速度。 ( 2 ) 回旋模( ；) 在磁化尘埃等离子体中，磁场b 沿笛卡儿坐标的z 轴，回旋模传播方向几乎垂直于磁 场b 的方向，z 方向有卜有限小量k ：。假设电子处于玻耳兹曼分布，在磁化尘埃等离子体 中，有静电尘埃离子回旋模( e d i c ) 和静电尘埃回旋模( e d c ) 。 o 尘埃离子回旋模( e d i c ) ( w n 。) 这是因尘埃存在而修正后的静电粒子回旋模，u q 。，n 。是电子回旋频率。尘埃粒 子被看作是不动的背景粒子，其色散关系为 止n 壶堋k 2 面1 t + 磊】 6 尘埃回旋模( e d c ) n d ) 静电尘埃回旋模中考虑了磁化尘埃粒子的动力学行为，离子处于玻耳兹曼分布，z 方 向场强有个有限小量e ，其色散关系为： u 2 硼乙均等托彩等万赫 1 2 3 强耦合尘埃等离子体( 液态) 对于实验室尘埃等离子体以及空间尘埃等离子体，在1 r f 。的条件下会产生一 种非常有趣的机制，这时耦台参数r 虽远小于结晶态时的值，但足以使弱耦合无效。在这 个中间状态，尘埃组分既有流体特性又有一定的短程有序性。短程有序使其具有类似固 体的特性( 如弹性) ，这时尘埃的固体特性与尘埃的流体特性( 如粘性) 共存。 研究这种强耦合系统中波动的理论方法有多种。r o s e n b e r g 和k a l m a n ”1 q 用准局域 电荷近似方法( q u a s c a l i z e dc h a r g ea p p r o x i m a t i o n ) 2 1 进行了研究，m u r i l o 用多组分动 力学方法( m u l t i c o m p o n e n tk i n e t i ca p p r o a c h ) f 2 】| ，k a w 和s e n 运用了广义流体力学方法 ( g e n e r a l i z e dh y d r o d y n a m i ca p p r o a c h ) 2 a - 2 ，另外还有分子动力( m d ) 模拟方法【2 6 2 ”。 其中广义流体力学方法适用的范围较广一一从理想气态等离子体到强耦合结晶态都可用 这种方法，广义流体力学模型曾成功用于研究稠密等离子体及液态金属。 对1 r 0 ，这个势表示强排斥弱吸引，如图1 5 所示。 r 图1 5 ：a = 1 ，b = 1 时的t o d e 势 对小的ibl 僵或小振幅，上式司展开为 阶) = 竽( r 2 一i b 忡3 ) 因此，对于振动的振幅足够小的这种晶格，其行为类似于弹性系数为g 格。作用力为 f ( r ) = a ( e 。一1 ) 对于( 1 6 ) 式的势，( 15 ) 式有如下形式 m 警叫2 e x p ( 出卜e x p ( - b r n + 1 ) - e x p ( 勘。) 】 运用( 1 7 ) ，( 1 8 ) 可写为 嘉l 岬+ 鲁) = 鬟( r + ，+ r 一- 一r ) 这种晶格模型 ( 1 5 ) ( 1 6 ) a b 的简谐晶 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第一章绪论 这个方程的详细解参考文献f 5 2 】，这儿我们只求孤波解，寻找s e c h i 甬数形式的特解 昂= ( m 卢2 a b ) s e c h 2 ( p n a 土p t )( 1 1 0 ) 将上式带入( 1 9 ) 可证实该方程在如下条件下有如( 11 0 ) 式的精确解 0 = 0 a b m s i n h p 这里p 是一个小参数，量纲是长度的倒数。这个晶格孤波有如下速度 = 0 p = 0 a b m ( s i n h p p 、 长波的线性波的波速为伽一 葡7 鬲，与这个速度相比，晶格孤波的速度更大，这个晶格 孤波非常稳定，它与别的孤立波碰撞时不改变形状。 1 5 第二章二维简单立方晶格中的线性波 一维或二维晶格是很有趣的一类软凝聚态物质。这些晶格是粒子在外力与粒子间相 互作用下自组织形成的晶体状结构。二维晶格系统的典型例子有：胶体悬浮1 5 4 】、液氦中 的电子f 5 5 】、朗缪尔单层等i s 6 】。许多有趣的物理过程如固一液相变、声子的传播、升华等 都可通过这些晶格去研究。另外一种制各晶格点阵的方式，就是使用尘埃颗粒大小均匀 分布的等离子体，这样可以降低晶格点阵的维数从而便于研究，一般说来，在实验室环 境下，二维等离子体晶格处于上、下两个电极之间，尘埃颗粒悬浮于二维等离子体晶格 3 3 ，s t - s g 。k o n o p k a 3 3 等人的实验和s c h w e i g e r t 5 7 1 等人的计算都表明：在二维平面晶格 中，粒子间的相互作用势是y u k a w a 势 。因此，二维等离子体晶格属于一般意义上的经典 二维y u k a w a 晶格。类似地，一维链可以由电极中的悬浮微粒形成【6 1 l 。 在二维等离子体晶格中存在两种特征波模一一纵波与横波。纵波的传播方向平行于 粒子的运动方向，而横波，有时称为剪切波，它的传播方向垂直于粒子的运动方向。人们 在实验上已经观察到了纵波和横波，其属于线性波机制( 波的振幅远小于粒子问平均间 距) 并且得到了与理论预测陬6 0 , 6 t 】相一致的色散关系。本章我们讨论了二维等离子体晶 格中纵波与横波色散关系的特征。这些特征在与上面提及的实验与理论研究的结果相一 致。在同种粒子组成的晶格中，在某一方向有两种波模，这两种模都是声学模，其速度不 相同，纵波传播得比横波快；波的色散关系是各向异性，对有较长波长的波的色散关系， 各向异性更为明显。其次，我们还研究了两种不同质量的粒子组成的二维晶格中的线性 波，在某一确定方向有四种振动模，有两个纵波模，两个横波模。 2 1 运动方程 图2 1 展示了二维单层简单立方晶格。我们任取一个粒子n ，m ) 为研究对象，并且仅 考虑由最近邻粒子和次近邻粒子作用于第( n ，m ) 个粒子的力。当粒子处于平衡位置时， 第( n ，m ) 个粒子与最近邻粒子问的距离是n ，与次近邻粒子间的距离是以o 。与第( n ，m ) 个 粒子最近邻、次近邻的粒子共有8 个，分别用1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 标记，如图2 1 所示。以 第f m ，n 】粒子的平衡位置为坐标原点建立坐标平面，则1 ，2 ，3 ，8 粒子在平衡位置的 坐标分别为( 一o ，n ) ，( 0 ，o ) ，( a ，n ) ，( 一a ，o ) ，( a ，o ) ，( 一a ，一n ) ，( 0 ，一a ) 与( o ，一o ) 。如果粒子 不在平衡位置，我们定义8 个量f l ，f 2 ，z 3 ，f 4 ，f 5 ，z 6 ，f 7 和f 8 ，它们分别表示第( n ，m ) 个粒子与 周围8 个最近邻粒子间的距离。 1 6 第二章二维简单立方晶格中的线性波 v 2 n 1n n + l n +2 j- m 4 r i i - i 即，m ) l r f f i 图2 1 ：二维简单立方品格图 = 、( 昂十a u p ) 2 + ( 蜘+ a v p ) 2 这里p = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，并且 o l ，y l ，“1 ，a v l z 2 ，y 2 ，a u 2 ，地 如，y 3 ，咖，如 。4 ，y 4 ，a u 4 ，啦 z 5 ，y 5 ，a u 5 ，a v s z 6 ，y e ，a u 6 ， z 7 ，y 7 ，a u t ，a r t 。8 ，y s ，a u s ，a v s a ，7 2 n _ 1 ，m + l u n ，m n 一1 ，m + 1 一，m 0 ，口，“n m + 1 一u n ，m ，m + 1 一m a ，0 ，u n + l ，m + l u n ，m ，+ 1 ，m + l v n ，t o 一a ，0 ，u n t ，m u n ，m ，u n 一1 ，m v n ，m a ，0 ，“n - i - 1 ，m u n ，m ，v n + 1 m 一甜n 。m 一0 ，一0 ，, f t n 一1 ，m 一1 m ，v n 一1 ，m 一1 一v n ，m 0 ，一a ，u n ，m l u n m ，v n ，m - - 1 一 n ，m a ，一n ，+ 1 ，m 一1 一，v d , ，v n - t - 1 ，m 一1 一，m ( 21 ) ( 2 2 ) n ：里u l ，j 和，j 是第( i ，j ) 个粒子偏离平衡位置的位移分别在z 和g 方向的分量。我们假定所 有粒子的质量都是m 。近邻粒子间的相互作用势是u ( r ) ，若两粒子在平衡位置时，它们之 间的距离为o o ，相互作用势是c ，( o o ) 。如果两粒子偏离平衡位置，粒子间距离变为r = a o + 6 ， 相互作用势变为u ( r ) 。这里我们仅考虑6 o o 的情况，粒子间相互作用势u ( r ) 可展开为 下式 u ( r ) = u ( 。) + ( d 下u ) 0 0 5 + 互i ( i a e 万u ) 。铲+ 1 7 i 第二章二维简单立方晶格中的线性波 两粒子问的力为 f = 一廖6 这里p = ( 丽d 2 u ) 。 作用于第( 礼，m ) 个粒子的合力在z 和g 方向的分力分别为 p亡f + u p b = 昂华 p = l 。p 与 p 亡f y p + b = 昂半 p = l p 这里昂= 一p 而，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，如= 1 p l o ，对最近邻粒子l o = ，对次近邻粒 子f o = j o 。我们仅考虑小振幅运动，日1 a u p l o ，l o ，这里p = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 。 对上面方程进行泰勒展开，得到第( n ，m ) 个粒子的运动方程。 i02un,m：土忱(“。，。un-l,m一2un,m)m挑2 “1 1 “ + 嬖( t h + 1 ，。+ l - - ? 2 n + l , m _ 1 + u 。一1 ，。+ l + u 。一l ，。一1 4 u 。，。 + 坼件l ，m + 1 + 珥i 1 m 一1 一v n + 1 m 一1 一v n - - 1 ，m + 1 ) 】 酉02vn,m：土咿1(。+l-un,m_12yn,m)mm 2 ”1 “” + 嬖( u 。+ l ，。+ 1 + u 。+ 1 ，。一1 + t h 一1 ，。+ 1 + t 礼一l ，。一1 4 。m + u n + l ，m + 1 + u n l ，m 一1 一t 工n + l ，m 一1 一u n - - l ，m + 1 ) 】 这里卢1 ：( d 丽2 u ) 。，如= ( 丽d 2 u ) 、扇。 2 2 色散关系 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 二维晶格中存在两种不同的波一一纵波与横波。首先我们研究沿n ( z ) 方向传播的横 波的色散关系。假设u = “o e ( “”“) ，带入方程( 2 3 ) ，得到下列色散关系 u i = 刍( 斛胁矾譬) 假设u = u 。e ( 。) ，在n 方向也可也可得到一横波，得到色散关系如下( 图2 2 ) 罅= 刍肫s 聍( 警) 1 8 第二章二维简单立方晶格中的线性波 k 图22 ：n 方向色散关系 k 图23 ：( 1 ，1 ) 方向波的色散关系 1 9 第二章二维简单立方晶格中的线性波 对于一般情况，我们假设波沿( 1 ，a ) 方向传播，则u = o u 。令 “= u o e 4 ( k ”+ 。”“) 刨= a u o e t ( h 。+ o m 8 一“。) 将上两式带入方程( 2 3 ) 与( 2 4 ) ，我们发现当o = 1 时，1 1 , ，。