（概率论与数理统计专业论文）两类随机系数泛函自回归模型的几何遍历性.pdf

摘要 非线性时间序列分析是较新的，也是较活跃的学科分支，是时间 序列分析理论的一个重要研究方向研究非线性时间序列的一种重要 的方法就是模型分析法近年来，许多非线性时间序列模型被提出， 并且得到广泛应用然而在当今被广泛研究的模型中，其干扰项为单 一白噪声序列，这类模型有着明显的局限性，它们没有反映出系统的 干扰受环境变化的影响在实际中，对系统的干扰是会随着环境的变 化而变化的另一方面，迄今为止所研究的非线性时间序列模型中， 其滞后长度大都假定是一个固定的常数然而，在现实问题中，信息 的不完备性往往使得上述假设不近合理由于以上原因，本论文将考 虑带随机环境和带随机延滞的情形有关这方面的内容中南大学概率 研究所的侯振挺教授和俞政教授等已经做了相关的探讨和分析本论 文沿用他们的思想，并借助一般状态空间上m a r k o v 链理论，研究了 两类随机系数泛函自回归模型，得到了它们在某些条件下以几何速率 收敛的充分条件 本学位论文分四章：第一章简单介绍了时间序列的发展和研究现 状等第二章是本论文的预备知识，概括地介绍了一般状态空间上马 氏链的遍历性理论在后面章节将引用到第三章提出了随机环境下 的随机系数泛函自回归模型，讨论了该模型的几何遍历性第四章提 出了带随机延滞的随机系数泛函自回归模型，讨论了该模型的几何遍 历性 关键词马氏链，非线性时间序列，随机环境，随机延滞，几何遍历 a b s t r a c t n o n l i n e a rt i m es e r i e s a n a l y s i s i sam o r ec o m m o na n dm o r e e x t e n s i v eu s i n gp r o s p e c tt h a nt h el i n e a ro n e a tp r e s e n t ，i th a sb e c o m ea n i m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o ni nt h et i m es e r i e sa n a l y s i st h e o r y o n eo f 。t h e i m p o r t a n tm e t h o d so fr e s e a r c h i n gn o n l i n e a rt i m es e r i e si sm o d e l s a n a l y s i s r e c e n t l y ，m a n yn o n l i n e a rt i m e s e r i e sm o d e l sh a v eb e e n p r o p o s e da n do b t a i n e dw i d e l yu s e da sw e l l b u tn o w a d a y si nt h ew i d e l y s t u d i e dm o d e l s t h ed i s t u r b a n c ei sas i n # ew h i t en o i s e t h i sk i n do f m o d e l sh a so b v i o u sl i m i t , t h a ti st h em o d e l sd o n tc o n s i d e rd i s t u r b a n c e c a u s e db ye n v i r o n m e n t s i nt h ea c t u a ls i t u a t i o n m ed i s t u r b a l i c et ot h e s y s t e mv a r i e sw i t ht h ed i f f e r e n te n v i r o n m e n t s o nt h eo t h e rh a n d ，s o f a r , t h es t u d yo nn o n l i n et i m es e r i e si so nt h el e n g t ho f d e l a yi sac o n s t a n t h o w e v e r i nf a c t , i ti sn o tt r u es o m e t i m e s t h et i m es e r i e sm o d e l ss t u d i e d b yt h i sm a s t e r t h e s i su n d e rr a n d o me n v i r o n m e n ta n dr a n d o md e l a y s i m u l a t et h ep h e n o m e n o nt h a td y n a m i cs y s t e mi si n t e r f e r e db yr a n d o m e n v i r o n m e n tm u c hb e t t e rt h a np r e v i o u so n e s a tt h i sr e s p e c t , h o u z h e n t i n ge ta 1 p r o l e s s o r so f i n s t i t u t eo f p r o b a b i l i t y & s t a t i s t i c so f c e n t r a ls o u t hu i l i v e r s i t yh a v ec a r r i e dc o r r e l a t i v es t u d i e sa n da n a l y s i s t h e a u t h o ra d o p t st h e i ri d e a s ，a n db ya p p l y i n gt h ee r g o d i c i t yt h e o r yo f m a r k o vc h a i n so ng e n e r a ls t a t es p a c e ，d i s c u s s e dt w ok i n d so f t h er a n d o m c o e 伍c i e n tf u n c t i o n a la u t o r e g r e s s i v e a n do b t a i n e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o i l s f o rt h e i rc o n v e r g e n c eu n d e rs o m ec o n d i t i o n s t l l i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ：c h a p t e rlb r i e f l yi n t r o d u c e st h e s i t u a t i o n so ft i m es e r i e sa n a l y s i s c h a p t e r2 ，鹊b a s i ck n o w l e d g e ，p r e s e n t s s o m ee r g o d i c i t yt h e o r yo fm a r k o vc h a i n so ng e n e r a ls t a t es p a c es ow e c a nu s el a t e r c h a p t e r3 ，t h ea u t h o rp r o p o s e sak i n do fr a n d o m c o e 伍c i e n tf u n c t i o n a la u t o r e g r e s s i v em o d e lu n d e rr a n d o me n v i r o n m e n t a n di t sg e o m e t r i ce r g o d i c i t yi sd i s c u s s e d c h a p t e r4 ，ak i n do fr a n d o m c o e f f i c i e n tf u n c t i o n a la u t o r e g r e s s i v em o d e lw i t hr a n d o md e l a yi s p r o p o s e da n d i t sg e o m e t r i c e r g o d i c i t yi sd i s c u s s e d k e yw o r d sm a r k o vc h a i n s n o n l i n e a rt i m es e r i e s ，r a n d o me n v i r o n - m e r i t ，r a n d o md e l a y ，g e o m e t r i ce r g o d i c i t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：虚鳃望日期：吐唑月! 二目 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 日期：! ! ! 鱼每_ 卫月上c 日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 在生产实践、科学实验与自然科学的研究中，我们常常需要去分析研究一列 随时间变化的具有随机性的前后又互相关联的观测数据，我们称它为随机时间序 列，简称为时间序列或动态数据时间序列分析是利用序列的历史信息及历史信 息之间的相互关系，对序列的未来轨迹进行预测的一种数学方法它自从被提出 就受到高度关注 时间序列分析是概率统计学中的一个比较新的分支，包括一般统计分析，统计 模型的建立与推断，以及关于随机序列的最优预测、控制和滤波等例如，某类 物价指数的波动记录，某地区的年降雨量序列，电机噪声信号序列，机械系统的 振动序列等等这些数据由于偶然因素的影响，往往表现出随机性，相互之间存 在某种统计上的联系由于它的应用广泛，时间序列分析近年来发展非常迅速， 它所包含的内容也越来越丰富从经济到工程技术，从天文到地理和气象，几乎在 各种领域中都会遇到时间序列因此，在过去的半个世纪里，时间序列分析得到了 迅速发展对线性时间序列分析的研究，已经取得了系统和丰富的成果但是对 于非线性时间序列的研究，仅在近几十年才逐渐被重视起来 非线性时间序列分析，哪怕是很简单的非线性时间序列，他们能显示出的奇 异现象，足以令人新奇不已况且，非线性时间序列分析与许多非线性科学领域有 着密切的联系，例如与混沌、分形和神经网罗等领域均有密切的关系这说明了 非线性时间序列能表现出更丰富、更复杂的客观现象，比线性时间序列有着更广 阔的应用背景实际上，在很多领域，例如在经济、环境、生物和气象等领域，已经 显示出非线性时间序列分析的应用背景因此，近年来对非线性时间序列分析的 研究受到广泛关注 4 3 】 1 1 非线性时间序列的发展及研究现状 由于线性时间序列的结构特征和建模方法主要与其自协方差函数有关，因此， 对线性时间模型的研究方法难于揭示二阶矩结构以外的结构信息而在实际应用 中，分析实际数据存在着比线性结构更丰富的信息的要求，这就刺激了人们对非 线性时间序列的研究对于非线性时间序列的研究，仅在近四十年才逐渐被重视 起来在上个世纪六十年代后期，非线性时间序列分析在b o x - j e n k i n s 提出一套 比较完善的建模理论及方法之后便迅速发展起来非线性时间序列分析与许多非 硕士学位论文 第一章绪论 线性科学领域有着密切的联系，例如与混沌、分形和神经网络等领域均有密切的 关系这说明了非线性时间序列能表现出更丰富、更复杂的客观现象，比线性时 间序列有着更广阔的应用背景因此，非线性时间序列的研究受到广泛关注近 三十年来，计算技术和计算机的发展又赋予时间序列分析新的活力，使之成为自 然科学、社会科学领域中不可缺少的数据分析工具目前，时间序列分析这个分 支己趋于成熟，其理论和方法已被广泛应用到工程技术，气象、水文、地震、生 物医学、经济管理以及军事科学等诸多领域 自上个世纪八十年代以来，由于非线性时间序列模型所具有的广泛应用背 景，它们受到普遍重视，目前己成为时阀序列分析理论发展的一个重要研究方 向纵观国内外在这一方向上的研究概况，前期工作大多局限于对几类典型非线 性时间序列模型的参数辨识算法和建模方法，一些代表性的工作如：n i c h o l l s 和 q u i n n ( 1 9 8 2 ) 对随机系统自回归模型的讨论，g r a n g e r 、a n d e r s o n ( 1 9 7 8 ) ，以及s u b b a r a o 和g a b r ( 1 9 8 4 ) 对双线性模型的分析，h a g g a n , q z a k i ( 1 9 8 1 ) 关于指数回归模型 的讨论，此外还有t o n g ( 1 9 8 3 ) 对门限自回归模型的研究，p d e s t l e l y ( 1 9 8 0 ) 状态依赖 模型的研究等相对来说，关于非线性模型本身概率性质的研究开展的比较少， 也缺乏一种比较统一的分析和处理方法但是，一般状态空间马氏链遍历性理论 的发展和一系列较精细结果的获得，为非线性时间序列的理论研究开辟了新的道 路，正是在此基础上，有关一般非线性时间序列模型的马氏链表述及其遍历性分 析的研究逐步得到了开展，目前这方面的工作正处在一个迅速发展地阶段例如： 安鸿志，陈敏等在非线性时间序列模型的平稳解、遍历性等理论方面，以及非线 性性检验方法和随机条件方差模型的应用方面，取得了一系列研究成果：盛昭瀚， 王涛，刘德林等在非线性时间序列模型的稳定性分析方面取得了一系列研究成 果 1 2 非线性时间序列研究现状中的不足 相互独立且具有相同分布的随机变量序列是一类非常特殊的时间序列，它在 时间序列分析中占有非常重要的地位，称之为白噪声序列白噪声序列是一种概 率结构十分简单的平稳序列，许多重要的时间序列是由此类序列变换而来的，许 多有用的时间序列模型都与白噪声序列有密切的关系 大量的理论研究和实证分析都与线性方法和模型有关然而，许多时间序列 展现出来的特征表明不能通过线性关系来解释其变化趋势比如，当一国经济进 入萧条而不是走出萧条阶段时，某些经济时间序列表现出不同的特征正因为如 2 硕士学位论文第一章绪论 此，人们越来越关注非线性时间序列模型但是，在当今被广泛研究的这类干扰 为单一白噪声序列的非线性时间序列模型有其明显的局限性：没有考虑系统的干 扰以及系统本身受到环境突变的影响但是在现实生活中，一般而言，系统的干 扰是要受到环境影响的，当环境有明显变化时，干扰就会随之发生变化因此， 本文提出了随机环境下的随机系数泛函自回归模型 另一方面，迄今为止所研究的非线性时间序列模型中，其滞后长度大都假定 是一个固定的常数然而，在现实问题中，信息的不完备性往往使得上述的假设 不近合理因此，本论文将固定延滞的时间序列模型推广为延滞受到一个有限状 态马氏链控制的时间序列模型 1 3 研究目的及论文结构 本论文的研究目的是探讨随机环境下的随机系数泛函自回归模型和带随机 延滞的随机系数泛函自回归模型的极限行为关于随机环境下的非线性时间序列 模型和带随机延滞的非线性时间序列模型，中南大学概率研究所的侯振挺教授和 俞政教授等人已经做了相关的探讨和分析本论文沿用他们的思想，在范金城和 郭平( 1 9 9 6 ) 的基础上，主要借助一般状态空间上的马尔可夫链遍历性理论对随 机环境下的随机系数泛函自回归模型和带随机延滞的随机系数泛函自回归模 型进行分析，研究它们所确定的迭代序列的极限行为，给出了它们在某些条件下 以几何速率收敛的充分条件 本学位论文共包含四个部分： 第一部分由第一章组成，在这一部分我们主要介绍了非线性时间序列的发 展、研究现状和不足 、 第二部分由第二章组成，在这一部分我们主要概括地介绍了一般状态空间马 尔可夫链的遍历性的有关理论，是本论文的预备知识，在后面章节将引用到 第三部分由第三章组成，在这一部分我们提出了随机环境中的随机系数泛函 自回归模型，给出了几何遍历性的充分条件 第四部分由第四章组成，在这一部分我们提出了带随机延滞的随机系数泛函 自回归模型，给出了几何遍历性的充分条件 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 马氏链理论是随机过程理论中较早开始研究并得到广泛应用的一个理论分 支，而马氏链遍历性理论又是马氏链理论中的基本内容之一。它在随机系统的理 论研究，特别是随机服务系统的性质分析等方面一直发挥着重要的作用早期的 马氏链遍历性理论研究，其主要结果大都是针对可数状态空间讨论的，有关这方 面的研究成果已经相当丰富，另外从二十世纪五十年代开始，关于一般状态马氏 链的遍历性理论也逐步发展起来，早期的主要工作者有d o o b ( 1 9 5 3 ) ，h a t r i s ( 1 9 5 6 ) ， 以及j a i n 和j a m i s o n ( 1 9 6 7 ) 等，进入二十世纪七十年代，特别是近一二十年来，有 关一般状态马氏链的遍历性理论得到蓬勃发展，获得了一系列的研究成果，这同 时也为随机系统的理论研究提供了新的方法和手段 一 考虑到大多数读者已具有一般状态马氏链的初步知识，因此本章只概括性地 介绍一些有关一般状态马氏链的遍历性理论有关这方面的内容读者还可参看文 献 3 3 、文献 4 3 及文献 5 1 或任何一本有关马氏链的遍历性理论的书籍本章 主要参考了文献 4 3 和 5 1 2 1 一般状态马氏链与转移概率 设( x ，f ) 为一可测空间，其中x 是一个集合，f 是由x 的一些子集组成的仃一 代数，( x ，f ) 上的广义测度集记为m ，非负测度集记为m ，非负( b o r e l ) 可测函 数集记为占 定义2 ，1 1 映射p ：x x f 专瓦称为是( x ，f ) 上的一个( 非负) 核，如果满 足： ( i ) 对任意给定的集a f ，函数p ( r ，a ) 为可测函数； ( i i ) 对任意给定的x x ，集函数p ( x ，) 是上( x ，f ) 的一个测度 当p ( x ，x ) ；l , v x x ，也即对每个x x ，p ( x ，) 为( x ，f ) 上的概率测度时， 我们称p 是( x 。f ) 上的一个转移概率 一个核可以看成是锥集占。上的线性算子： r ( 工) = i p ( 工，d y ) f ( y ) ，r 占+ ( 2 1 1 ) i 类似地，一个核也可以看成是m 上的一个算子： 五p ( 彳) = i 五( 西r ) p ( x ，4 ) ，v 五m + ( 2 1 2 ) i 4 硕士学位论文 第二章预备知识 另外，两个核只和b 的乘积只最：x x f 一瓦按如下定义： a e l v , p a x ，4 ) = 1 只( 工，a y 避o , ，彳) ( 2 1 3 ) i 一个核p 的幂p ，r 0 ，定义为：p o = i ，以及递推关系式：p = p p 1 ，t 1 这里的，代表单位核( 转移概率) 彬n x a i ( x , a ) 2 l ( x ) 2 饭x 叠4 考虑一个概率空间( q ，意，只) ，设 置) 是( q ，壳，p ) 上取值于( x ，f ) 的一个随机 序列，也即每个置，t 0 ，都是( q ，壳) 到( x ，f ) 的可测映射，我们把( q ，壳，0 ) 称为 随机序列 置) 的样本空间，( x ，f ) 称为 置) 的状态空间，并称x 中的点为状态 定义2 1 2 设x 。 是概率空间( q ，氟p o 上p a ( x ，f ) 为状态空间的一个随机 序列，p 是( x ，f ) 上的一个转移概率，称 置 是一个以p 为转移概率的( 时齐) 马 氏链，如果对v f 0 ，有 r i ( x , + l if ，) = ( 置+ i j 置) = 尸( x t ，) e 一伽 其中，f ，= a ( x o ，x l ，一，置) ，代表概率分布( 凡涉及到条件分布的等式，均是指 在几乎处处成立( 口矗) 的意义下而言，后面不再做说明) 我们也称托的分布矗( ) 为马氏链 置) 的初始分布，如n ( ) = 毛( 状态 x 的质点集函数，也即对某状态x x ，有c x o = x ) = 1 ，则工称是马氏链的初始 状态 设 置) 是一个以p 为转移概率的马氏链，其初始分布( ) = a ，则由定义 2 1 2 ，可得马氏链 x ， 的有限维联合分布的表达式： 只 凰4 ，彳t 4 = j 五( 出o ) j p ( x o , d r t ) j 尸( 一_ l ，如) 山a i 4 v f 2 0 ，4 ，4 f ( 2 1 4 ) 特别地，我们有。( ) = 卯 相反地，如果一个取值于( x ，f ) 的随机序列 置) 满足( 2 1 4 ) ，那么 置 一定 是一个以尸为转移概率的马氏链并且初始分布为a 一个马氏链对应着一个转移概率反过来，对( x ，f ) 上任意给定的概率测度 a 及转移概率p ，也一定可以构造某概率空间( q ，壳，只) 及其上的一个马氏链 置 ，使 x ， 以a 及p 分别为其初始分布和转移概率，以后我们对马氏链 置) 和 其转移概率不再加以特别的区分，而常常等同地使用 如果马氏链 置 的某个初始分布五满足如下性质： 对任意的a f ，有 硕士学位论文第二章预备知识 p , ( x t 4 ) = p ( j ，彳) 五( 方) = 五( 凰4 ) x 则由( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 及上式，有 p a x 2 爿) = 眨( j ，4 ) a ( 砂) i = p ( 乙a ) p ( y ，出) 五( 咖) x x = j p ( z ，爿) 五( 蜘 = 五( x o 爿) 依次类推可知，对任意的爿e f 和，l ，有 只( 爿j a ) = a ( x o a ) ( 2 1 5 ) 这时z 称为马氏链 z 的不变分布( 2 1 5 ) 式表明从不变分布名出发，通过转移 概率构造的马氏链是平稳的但是需要指出的是：一个马氏链既不一定总有不变 分布，也不一定只有一个不变分布 2 2 不可约、非周期和小集的概念 设 z 是定义在( q ，自，p ) 上，以( r “，巩) 为状态空间的马氏链下面我们首 先给出 置 为的尹一不可约的定义 定义2 2 1 如果存在( r “，氐) 上的测度妒，使得对每个a b m ，且( 彳) 0 ， 以及任意的i r ”，都有 c ( i ，彳) o ， ( 2 2 1 ) f - l 则称 置 为妒一不可约的 ( 2 2 1 ) 式表明，马氏链 墨 从任何初始值x o = 膏出发，在有限步之内到 达一正测集彳的概率总是正的 如果测度妒相对于测度妒是绝对连续的，即对于a 吃当伊( 一) 0 时必有 ( 彳) 0 ，则一个妒一不可约马氏链必为妒一不可约的由此可见，不可约马氏链的 不可约测度并不唯一为了使之唯一化，我们引入最大不可约测度+ 如下； ( i ) 置 是妒一不可约的； ( i i ) 如果 置) 是一不可约的，则矿必是相对于+ 一绝对连续的； ( i i i ) 矿( 彳) = o j ( i ：乏：只( j ，彳) o ) = o 6 硕士学位论文第二章预备知识 以后我们说马氏链 石， 是不可约的，总是指相对于最大不可约测度而言的 在介绍马氏链的非周期概念之前，先给出马氏链的循环集的定义 定义2 2 2 设4 ，彳：，a a 为吃中一组互不相交的集合，称其为马氏链 置) 的一组长度为d 的循环集，如果 尸( i ，a j ) = l ，i a ，一t ( - ，= 2 ，d ) p ( i ，4 ) = l ，量a a 定义2 2 3 设 置 为马氏链，a i ，彳：，a a 是它的循环集，且满足如下两个条 件： ( ；) 存在( 胄”，b 。) 上的非平凡测度矿，使得妒( 4 ) 0 ( i = 1 , 2 ，d ) ，且 ( r ”、u 4 。) = 0 ， 其中记号“a b ”表示集合彳与曰的差集 ( i i ) 如果互，互，互，为 置 的另一组循环集，则有d i d 当d = l 时，称 置) 为非周期马氏链：当d 1 时，称 置 为周期马氏链，周 期为d 在讨论由非线性时间序列模型所决定的马氏链的遍历性时，常需要判别其 非周期性下面的引理是很有用的 引理2 2 1 设 x ， 是一不可约的马氏链，它是非周期的，当且仅当存在 a 吃，r e ( a ) 0 ，对4 的每个矿一正测子集b c a ，矿( b ) 0 ，都存在整数f ，使 得对任何i b ，有 只( i ，b ) 0 ，只+ 。( 舅，b ) 0 ( 2 2 2 ) 引理的证明见文献 3 4 由前面的讨论知，从不变概率分布出发，通过转移概率构造的马氏链是平 稳的下一节将要讨论的遍历性刻划了马氏链的转移概率只( 舅，) 向其平稳分布的 收敛性态为了研究非线性时间序列模型是否有平稳解，此解是否为遍历等问题， 一个重要的途径是借助于研究马氏链的遍历性来解决在研究马氏链的遍历性 时，如下的小集的概念起着重要的作用，它对各种遍历性质，如h a r d s 遍历、几 何遍历等均具有良好的“代表”特性故在此仅根据本文的需要，先给出小 集的定义，然后介绍两个判断小集的方法 定义2 2 4 一个非空集c 吃称为小集( s m a l l - s e t ) ，如果存在一个正整数 正常数i ，正常数b 和概率测度，使得对任意的a b m 和膏c ，有 只( i ，a ) 6 妒( 彳) ( 2 2 3 ) 引理2 2 2 设 置) 是妒一不可约的非周期马氏链，则有： 7 硕士学位论文第二章预备知识 ( i ) 如果集c 以，妒( c ) 0 且满足：存在a 玩，( z ) 0 和正整数， 使得对任意的b c a ，( b ) 0 都有 ， 赠只( i ，曰) o ( 2 2 4 ) 忙l 那么c 一定是一个小集 ( i i ) 有限个小集的并仍为小集 ( i i i ) 存在小集列以，甩2 1 ，使得以个r ” 引理的证明见文献 2 7 引理2 2 3 设 置 是弱连续的马氏链，即对一切有界连续函数g ：r ”- - - h r l ， f g ( d e ( 量，方) 关于王是连续的，则一切具有非零测度的相对紧集是小集 引理的证明见文献 3 4 2 3 遍历陛与遍历性定理 以万记马氏链 z ) 的不变概率分布，则对a b m ，有 以托一) 2 p ( 五名) 2j p ( 五彳弦( 出) 定义2 3 1 ( i ) 马氏链 x ，) 称为遍历的，如果存在一概率空间测度万，使得 对任意叠r ”，有 剖把( h ) 一窟( ) l l ，= 0 ( i i ) 如果还存在常数0 0 ，有 ：( i ) l l ，v 舅r ” 8 硕士学位论文第二章预备知识 定义2 3 4 设马氏链 置 是一个常返链，称 x 。 是正常返的，如果，对 a 吃，( 彳) 0 ，有 l i m p ( i ，a ) 0 t - - , + o o 否则，称 置) 是零常返的 定义2 3 5 称 x ，) 是几何常返的，如果存在小集b ，矿( 口) 0 ，以及常数 ， l ，使得s u p e ，【r 如】 0 ，c 0 ，r 1 ，使得 e 【g ( 置+ 1 ) i 置= 舅】= r - 1 9 ( 舅) 一占，、9 譬芒b s u p 研g ( 置+ 1 ) ；置+ l 隹8 1 x , = 引 之间有下面的关 系 定理2 3 3 设 z 是矽一不可约的、非周期的马氏链， 置) 为遍历的( 或几 何遍历的) 当且仅当f 五i ，为遍历的( 或几何遍历的) 定理证明见文献 3 3 9 硕士学位论文第三章随机环境下随机系数泛函自回归模型的几何遍历性 第三章随机环境下随机系数泛函自回归模型的几何遍历性 本文在 1 5 和 4 6 的基础上，借助一般状态空间马氏链的遍历性理论对随机 环境下的随机系数泛函自回归模型的几何遍历性进行分析，得到其以几何速率收 敛的充分条件该模型反映了动力系统受随机环境干扰的现象。能更好的拟合现 实世界中的诸多实际问题，这对现实生活应用该模型分析数据应该有一定的作 用 3 1 模型的引入 般地，设( q ，壳，p ) 是一个概率空间，脚为一正整数，r 4 记m 维实数空 间，晚为r ”上的b o r e l 矿一代数 令e = f 1 ，2 ，p 是一个有限集合，f 记e 的所有子集生成的盯一代 数， z ( ) t 0 表示一个定义在( q ，壳，p ) 上的不可约、非周期的马氏链，它的状 态空间为( e ，f ) ；俄( 琐江l ，2 ，p 是独立同分布的随机变量序列，其中每一个都 是定义在( q ，矗，p ) 上，以( r ”，b 。) 为状态空间的记互= z p ) ，v t 0 令日( z ；) = f ，( f ) ，( z ，) ，其中气1 ( 乙) 为单点集 f 的示性函数。 定义3 1 1 设 置= 【 ( j o 。，z 。，置一。) + 蜀( 吼，墨，z 一，五一。) 】五。+ 岛( z f ) ( 3 1 1 ) i l l一 其中，设巩，i = l ，2 ，m 是取值于r 1 ( 为正整数) 上的零均值随机向量， 巩 独 立同分布，编( 轨f = l ，2 ，p 独立同分布， ( 磅，f = 1 ，2 ，p 与 仉，i = i ，2 ，脚 独 立假设：v i e ，t 0 ，z f + l 和s ( f ) 均与 x ，s t ) 独立：则我们称( 3 1 1 ) 定义的 非线性时间序列模型为随机环境下的随机系数泛函自回归模型 记i , = ( ，研2 ，) 令e = c x , ，五。，置。) n f f , 1 = 啊( e ) ：( ) 一l ( r ) i l 。( r ) 1000 0l00 0 0 1 0 1 0 硕士学位论文第三章随机环境下随机系数泛函自回归模型的几何遍历性 g ( 研，r t ) = g 。( 仍l ，l ：一1 ) 9 2 0 7 , 2 ，l ：一i ) g ( ，- 1 ) o o o o o ( 互) = ( b ( z f ) ，o ，o ) 7 ，e t ( z f ) = p ，( f ) ，( j ( z f ) l 。l 则( 3 1 1 ) 可变形 ， r = 【i - i v , _ 1 ) + g ( 研，托1 ) 】+ q ( z ：) ( 3 1 2 ) 定义3 1 2 设所维随机向量序列由( 3 i 2 ) 定义，是一概率分布如果当 五n 时，v r l ，有置n ，则n 称为模型( 3 1 2 ) 的不变分布 按照一维随机序列平稳性的定义( 参见文献 2 定义1 1 1 ) ，模型( 3 1 i ) 的 平稳解 五 的任何有限维分布是时间推移不变的特别的( x l ，_ ，o ，。+ ：) 1 与 ( x o ，x - ，x 。) 1 具有相同的概率分布由此可见，模型( 3 1 1 ) 的不变概率分 布可定义为使( ，工+ ，x 一。) 7 与( 五，x o ，舡。) 7 具有相同的概率分布，这 正是模型( 3 1 2 ) 的不变概率分布由此可见，如果 r 是模型( 3 1 2 ) 的平稳解， 则由它确定的随机序列 置 便是模型( 3 1 i ) 的平稳解反之，若 置 是模型 ( 3 1 1 ) 的平稳解，则 就是模型( 3 1 2 ) 的平稳解在后文中，称模型( 3 1 2 ) 是伴随几何遍历的，就是指模型( 3 1 1 ) 是伴随几何遍历的 记i | | | ，为全变差范数下面我们给出本章中两个最重要的的概念： 定义3 1 3 设模型( 3 1 2 ) 有唯一的不变概率分布n ，且对任何的初始状态 y o = 夕，由( 3 1 2 ) 迭代产生的z 的概率分布记为7 如果 憋一| l f = o ， 称模型( 3 1 2 ) 为伴随遍历的： 进一步，如果还存在常数p ：o p 0 ，吕( 仉，口) q + 墨( ，) 具有处处为正 的下半连续的密度函数中，( ) ； 4 ( 彳4 ) 甩( ) ( f = 1 , 2 ，m ) 是r ”到r 1 的b o r e l 可测函数，且在胄”中的有界子集上有 界 引理3 2 1 设彳l 、爿2 成立，模型( 3 1 2 ) 的导出序列 ( t ，z f ) 是定义在 ( q ，壳，p ) 上，以( r ”e ，玩f ) 为状态空间的齐次马氏链 证明：v a n 吃f ，( 歹，f ) 及 ，) r ”e ( 0 ss t ) p f f , + l a ，z 。l = ji = 夕，z ，= e = 见，乙= ，o j ，) = p ( h ( y t ) + g ( t l t “，r ) 】r + b “( z ：+ i ) a ，2 ：+ l = ， r = 夕，z ，= f ，e = 苋，乙；，0 s j 0 蕴含 ，a ( a x u ) 0 ，a 吃，i e 引理3 2 2 设 ( z ，z f ) 是模型( 3 1 2 ) 的导出序列，且条件( a 1 ) - ( 4 4 ) 成 立，令a = a 1 a 2 a 。，其中a i b k ，k = l ，2 ，所；厶。( ) 表示a t 的示性函 数，则它的转移函数为： p ( ( 萝，f ) ，a ：岛甜，岫饥) 扣肜。一窆红 ) y ，) d z 。； 口2 i a t ，i 对，：2 ，筇一1 ， p “( f f ，f ) ，人 _ ， ) = 兀k ) p 屿j 吒( 刁一如 溉) 吼( 刁_ l - 啊( 刁，咒，一- ) z f 一 目= 1 ，”舳e e a i x x a i j 4 l 红( z ，y l ，虮沙，4 ) k t - t ( z 2 一h , ( z j ，= f ，y 1 ，”，y m - + 2 ) z m 一 芝红( 毛，z ，j ，l ，j 。+ 2 ) ) ，。，+ 2 ) 中j ( z 。一i - i ( ：，z ，) ，。，y 。，。) ：。 - i - | ，l 一啊( z 2 ，y l ，y , n - t + i ) y ，q + 1 ) d z ，d z l 一 p ”( ，d ，ax n ) 硕士学位论文第三章随机环境下随机系数泛函自回归模型的几何遍历性 = p 扣 ( 乙一红( 歹耽) m t ：( ：。一啊( ，m ，y m - ) 乙一 k t ”，七用i e fa j - l mm - 2 x h 。( ，弘，y 。) y 。_ t ) 中k 。( ：2 一 ，z 3 , - - , = 。w yy 2 ) z m 一红( 乃， ，2 2= lt f f i m - i m - t ；。，y l ，y 2 ) 只一。+ 2 ) 中，( z l - x 危( z 2 ，z 。，y | ) z s + l - h ( z 2 ，z 。，儿) j ，1 ) d z ，d z l l l i 对1 ，m l ，厅1 ， p ”“只耽a x d ) = p 岛抽p o 。+ ，一曩( 夕溉) m b ( z 。一啊( z 。+ l y 。，y 。) z 。“一 k l ， - i e e j 剐 m，一i 鱼( ：。“，y i ，y ，。) 只一1 ) m h ( z 。+ 。一瞳( 。+ 2 ，z 。+ ，几，y m * l - 1 ) z 。1 一 ，1 2i = l ( z 。+ 2 ，：。“，y i ，y m + - j ) 只_ ，一i ) d z 。“d z 。+ l ，纠 p t 向+ p k 。一。m o 。一魂( 二。“，z 。+ ，y l ，y 。- ，弦。一 畸，k m + f l e 丘r m i = 1 h , c z 。“，z n m + l ，y l ，j ，。) y 。_ ) 中k 。( 气。- 1 ) 。+ i 一瞳( 气) ，+ 2 ，z 。+ 1 ) 1 1 l + 1 l = l z ( 肿“) d z 。d r ( “m i 以。，础。，一州，巾一z - 畸4 ，_ “，“d e fa 噍( l ，一，乞。) ) m ，( z l 一 ( 乞，z m + 。) 呶幽 ( 3 2 2 ) 扭t - i 证明：只须就a 。= ( 吼，以) ，k = 1 , 2 ，聊的情形证明即可 设( 夕，f ) r m x e ，a x j 吃x f ，其中夕= o l ，儿，y 。) 7 r ”，以，a ( ) 表 示a 。的示性函数，艿( ) 表示占一函数 ，( 侈，f ) ，a 以) = p ( 【日( 多) + g ( r l , + l ，歹) 眵+ f ( ) a ，互“= j iz f = i ) = 以p ( 【日( 歹) + g ( 仇“，歹) 】箩+ 弓+ l ( - ，) a ) 1 4 硕士学位论文第三章随机环境下随机系数泛函自回归模型的几何遍! ! 丝 = 岛j p ( 限眵) + g ( 仉+ i 歹) 1 卫+ l u ) a 1 ，y l e a 2 ，l a ，) l i l m - i = 岛f i l 。( y 。) p 肜。一红 抄，弦- 注意到w = ( q ，v 2 ，) 7 r ”， 。p ( 够，0 ，布 埘) = 兀8 ( v q 。- - y q ) ( i ) 。( v l 一置渤只) 幽 则由( 3 2 1 ) 得， 尸( ( 只力，ax 歹；) = p ( ，耽布 七 妒( ( 铲，七) ，人 脚 2 磊鼻罂以t 一儿搬“一善纵刃幽 m - i m p 幻兀啊( ) p ，( 毛一啊( 砚) 奶 = i - 1 1 。( j ，。) x p 嘶p ，i i a ，( v 。) 中h ( h 一啊( 夕) y ，) d v - q = 2 h 吐足l 。l p ，( ：。一趣“，y l ，t m 冲- ：行i a , z ( 儿) m p u 卜h ( z ：一芝啊( 夕耽) 出： p ，( z 1 h ，( z ：，弘，) ，。- 1 ) y ，- 1 一抚( z 2 ，y l ”，) ，“) 二2 ) d z t 由f u b i n i 定理，即得，= 2 时，( 3 2 2 ) 为真 设2 ，sr a 一2 时，( 3 2 2 ) 成立，则 p “1 ( ( 多，f ) ，人 _ ， ) = p ( ( 夕，f ) ，廊妒o ( ( i ，七1 )