（信号与信息处理专业论文）多方向小波变换图像滤波和数字电视条件接收系统研究.pdf

中文摘要 本论文研究多小波变换进行图像滤波方法和数字电视条件接收系统与机项 盒的集成两个课题。本文共分两篇对两个课题分别进行研究和讨论。 第一篇研究了多方向小波变换的图像滤波方法。在这个课题中，从两个角度 对小波变换的性质进行了分析，提出了三种不同的应用多方向小波变换的图像滤 波方法。 第一，提出了一种结合多方向小波变换屏蔽滤波及邻域特性的图像滤波方法 ( s p a t i a l l ym u l t i d i r e c t i o n a ls e l e c t i v i t yw i t hn e i g h b o r h o o dc h a r a c t e r i s t i c s ) 。该方法 用多方向的小波变换屏蔽滤波器来代替原小波变换屏蔽滤波方法( s p a t i a l l y s e l e c t i v ef i l t e r ) 中的水平和垂直方向屏蔽滤波器，以提取图像多方向的边缘特征。 然后根据邻域特性对最小尺度的小波分量进行进一步处理以去除剩余的噪声。通 过对边缘和噪声的不同处理达到既保护图像边缘又有效去除噪声的目的。 第二，提出应用新抽样栅格的两种小波变换图像去噪方法，本方法引入方向 小波( d i r e c t i o n a lw a v e l e t ) 思想提出了一种有别于标准二维小波变换抽样栅格的 新型抽样栅格。应用这种抽样栅格可对图像进行多分辨率的45 度和135 度方 向上的可分离二维方向小波变换。在此基础上，提出了两种新的小波变换去噪方 法：对角方向小波变换( d i a g o n a l d i r e c t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m ) 和四方向小波变换 ( f o u rd i r e c t i o nw a v e l e tt r a n s f o r m ) 。由于使用的抽样栅格更加合理，这两种方法 在处理图像去噪问题上，不论是对主要特征方向在斜方向的图像还是对其特征方 向不在斜方向上的图像去噪效果均要优于标准可分离二维小波去噪方法。 第二篇阐述了在f u j i t s u 的s m a r t m p e g 平台的机顶盒上集成一家c a 公司的 条件接收系统( c a ) 的过程。首先介绍了条件接收系统的节目发射端加密部分 ( c a 系统) 和节目接收端的解密部分( 机顶盒和智能卡) 的加解密过程和d v b 的同密和多密技术。其次介绍了g m a r t m p e g 的硬件平台，软件结构和操作系统 n u c l e u s 。然后介绍了一家公司的c a 内核和机顶盒集成c a 软件解扰流程，接收 邮件( b m a i l ) 和收看付费节目( 1 p p v ) 的过程。最后详细论述了c a 驱动与 c a 内核交互的软件实现和获取e c m 和e m m 的p i d 的过程。 关键词：小波变换，图像滤波，数字电视，条件接收 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht w o p r o j e c t s ，w h i c ha r e ”i m a g ef i l t e r i n gw i t hw a v e i e t t r a n s f o r m ”a n d ”c o n d i t i o n a la c c e s ss y s t e ma n ds e tt o pb o xi n t e g r a t i o ni n d t v ”t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w o p a r t st os t u d yt h ep r o b l e m si nt w op r o j e c t s p a r t1s t u d i e st h ep r o b l e m so fi m a g ef i l t e r i n gw i t hm u l t i d i r e c t i o n a lw a v e l e t t r a n s f o r m f r o mt w od i f f e r e n ts c o p e so fw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h r e e i m a g ef i l t e r s a r e p r e s e n t e d i nt h i sp a r t f i r s t ，a ni m a g ef i l t e r , w h i c h i s ”s p a t i a l l y m u l t i d i r e c t i o n a l s e l e c t i v i t y w i t h n e i g h b o r h o o dc h a r a c t e r i s t i c sf i l t e r ( m s n c ) ”i sp r e s e n t e d m s n cf i l t e rs u b s t i t u t e s t h em u l t i d i r e c t i o n a ls e l e c t i v ef i l t e rf o rh o r i z o n t a l v e r t i c a ls e l e c t i v ef i l t e ri n s p a t i a l l y s e l e c t i v ef i l t e r ( s s ) t os e l e c tt h em u l t i d i r e e t i o n a le d g e s o f i m a g e t h e n f u r t h e rs t e pt o r e s t r a i nn o i s ei nm i n i m u mw a v e l e ts c a l ei s p r o c e s s e da c c o r d i n gt on e i g h b o r h o o d c h a r a c t e r i s t i c s b yd i f f e r e n tp r o c e s s i n gw i t he d g e sa n dn o i s et h ea l g o r i t h mc a l l e f f i c i e n t l yp r o t e c ti m a g ee d g e s a n dr e s t r a i ng a u s s i a nn o i s e s e c o n d ，i m a g ef i l t e r i n g w i t hn e wd o w n s a m p l i n gl a t t i c ea r e p r e s e n t w i t h i n t r o d u c i n gd i r e c t i o n a lw a v e l e t ，t h em e t h o db r i n g so u tan e wd o w n s a m p l i n gl a t t i c e w i t ht h ed e w l a t t i c e ，i m a g e sc a r lb ed e c o m p o s e d i n4 5m a d13 5d e g r e ew i t hm u l t i s c a l e s e p a r a b l ed i r e c t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m o n t h i sb a s i s ，t w oi m a g ef i l t e r sa r ep r e s e n t e d ， w h i c ha r e ”d i a g o n a ld i r e c t i o nw a v e l e tt r a n s f o r m ( d d w t ) ”a n d ”f o u rd i r e c t i o n w a v e l e tt r a n s f o r m ( f d w r ) ”f o rt h en e wl a t t i c ei sm o r er e a s o n a b l e ，t h ee f f e c to f t h e s et w om e t h o da r eb o t hb e r e rt h a nt h es t a n d a r ds e p a r a b l e2 - dw a v e l e t f i l t e r i n g p a r t2s t u d i e st h ep r o c e s so f i n t e g r a t i o no f c o n d i t i o n a la c c e s ss y s t e mw i t hs e tt o p b o xo f f u j i t s u ss m a r t m p e gf i r s t l y , t h es c r a m b l i n gp a r ti np r o g r a m t r a n s m i s s i o ne n d a n dt h e d e s c r a m b l i n gp a r t i ns e t t o pb o xa n d s m a r t c a r da r ei n t r o d u c e d d v b s i m u l c r y p ta n dm u l t i c r y p tt e c h n i q u ea r e a l s o i n t r o d u c e d s e c o n d l y , t h eh a r d w a r e p l a t f o r ma n ds o f t w a r es t r u c t u r eo fs m a r t m p e ga n do p e r a t i o ns y s t e mn e c l e u sa r e i n t e r p r e t e d t h e nc a - c o r ea n d t h ep r o c e s so f i n t e g r a t i n gc as o f t w a r e ，r e c e i v i n gb m a i l a n d w a t c h i n g i p p vw i t hs e t t o p b o xa r e i l l u m i n a t e d f i n a l l y , t h e s o f t w a r e i m p l e m e n t a t i o n o fc ad r i v e ra n dc a - c o r e s c o r r e s p o n d e n c e a n dt h e p r o c e s s o f o b t a i n i n ge c m a n de m m sp i da r ed i s c u s s e di nd e t a i l k e y w o r d s ：w a v e l e t t r a n s f o r m ，i m a g ef i l t e r i n g ，d t v , c o n d i t i o n a la c c e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 径凌导 签字日期：咿4 年3 月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤韭盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 捏凌乎 签字日期：细争年j 月曰 0 翩躲泐渤 签字日期翟。扩妒年) 月目 第一章绪论 1 1 小波变换滤波的发展 第一章绪论 信息在当今社会是我们每天活动中必然要获取、掌握和处理的，而图像作 为一种高效率的表达信息的媒体越来越受到人们的重视。随着计算机科学和微 电子技术的发展，数字图像处理在越来越广泛的领域得到应用。 对实际观测到的图像信号，在其形成、传输和接受过程中，由于信号载体的 实际性能或接收设各性能的限制，会存在着多种外部干扰和内部干扰。例如，卫 星遥感图像，经过大气紊流和电离层时，由于吸收系数和折射系数的随机性，产 生对信号的振幅、频率、相位的调制，这属于乘性干扰。大气层、电离层等各种 自然界的电磁过程及电器设备、人为因素、接收和处理设备的内部噪声干扰叠加 到信号上，属于加性干扰。正是由于这些随机干扰的存在，使观测的图形信号降 质。因此，滤除噪声，恢复、重建原始图像就形成了图像处理学的一个重要内容。 传统的建立在傅里叶变换基础上的滤波方法【1 】作为信号处理的一个重要工 具经过长期的研究发展，至今已形成了完整的理论体系，并且它具有数学处理简 单，易于采用f f t 和硬件实现等优点，在图像滤波领域也占有举足轻重的地位。 但同时人们也发现这种滤波方法在提高信噪比和提高空间分辨率两项指标上存 在矛盾。低通滤波固然能通过平滑抑制噪声，但同时也会把图像中的边缘变模糊。 高通滤波可以使边缘变得更加陡峭，但背景噪声同时也被加强。此外相干平均也 是滤除噪声常用的手段，但需时较长，不能做动态提取，而且当各次纪录中的信 号没有对齐时处理结果也会产生低通模糊。 1 1 1 小波变换的发展 小波变换是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支。由法国的数学家y = m e y e r 2 3 ，地质物理学家j m o r l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 构造出了较系 统的理论构架。小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，它同时具有理论深 刻与应用广泛的双重意义。它的应用范围涉及许多学科领域，包括信号分析、图 像处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、边缘检测、音 乐与语音人工合成、机械故障诊断等许多方面。在信号分析方面的信号的分解与 重构、去噪声、滤波等；图像分析方面的图像压缩、去污染、c t 成像、彩色复 第一章绪论 印等a 另外也广泛应用于数值分析、曲线曲面的构造、微分方程的求解、控制论 等。 1 1 2 基于小波变换的滤波 小波变换方法进行信号处理与传统的f o u r i e r 分析相比有两大突出优点f 4 1 ： 时间一频域局部性和多分辨率分析。信号的小波交换或逆变换所得到的是信号时 域或频域的局部信息。小波分析的另一个特点是多分辨率分析。图像之所以适于 采用多分辨率分析是因为它的结构和纹理可以分别表现在不同分辨层次上：轮廓 信息可以在低分辨率下通过提取边缘来获得，纹理信息则在较高分辨率下来表 现。为此，小波变换是近几年国内外图像处理领域研究的热点。 现今利用小波分析的方法来进行滤波主要从三个思路上进行：1 小波收缩 法( w a v e l e ts h r i n k a g e ) 。d o n o h o 和j o h n s t o n e 5 6 】首先提出的小波系数收缩滤波 器，利用将所有小于某一预先设定的门限的小波系数置0 同时保持其余系数不变 的方法来滤波。2 利用不同尺度小波系数的相关性采用不同降噪方法的滤波器。 较为典型的是y x u 和b w e a v e r 等提出的空间屏蔽滤波器 7 】。该方法利用相邻 尺度的相关性自适应的选择空间滤波窗，最后保持窗内的小波系数不变，将窗外 的小波系数置0 ，从而从另一个角度实现了滤波降噪。3 利用小波的奇异点的值 进行滤波重建的方法。比较典型的是s m a l l a t 和w h u a n g 提出的应用奇异点的 检测来进行图像重建的方法 8 9 1 1 0 1 1 1 。该方法利用检测出的奇异点及其小波 系数来进行图像重建，而忽略其余小波系数。但是，由于上述三种滤波思路是从 一维信号推广到二维图像，没有考虑到图像的多方向上的特征信息，因此会丢失 一些方向上的信息。所以一种对图像上多方向特征信息都能有效保护的小波滤波 算法是小波变换滤波中极有意义的研究方向。 1 2 数字电视发展与条件接收系统 近几年随着计算机技术、集成电路技术、数字信号处理技术以及通信技术的 发展，数字电视技术也随之快速发展。数字电视是继黑白电视和彩色电视后的第 三代电视。数字电视包括标准清晰度电视( s d t v ) 和高清晰度电视( h d t v ) 。与 模拟电视相比数字电视有以下优点： ( 1 ) 图像清晰度高。使用效果不受传输、转播影响，在接收端有望达到发射 端的水平。 ( 2 ) 音频质量高。支持5 1 声道的数字环绕声节目源，可以通过电视节目获 得家庭影院效果。 ( 3 ) 抗干扰。数字视频抗干扰性好，受增益、相位错误和串音的影响小。同 第一章绪论 等传输条件下的抗干扰能力明显优于模拟电视。 ( 4 ) 传输效率高。进行地面方式发送时，原p a i 信道可播放h d t v 或4 套 s d t v ，有线电视网中的一个p a l 通道可播8 1 0 套s d t v 。 ( 5 ) 可以兼容现有模拟电视。通过在普通电视机前加装数字电视机顶盒即可 接收数字电视节目，电视台的电视节目制作设备也可部分沿用。 ( 6 ) 提供全新的多业务用途。普通的模拟电视只能是电视台按预定的节目表 播放节目，用户只能被动地接收。数字电视网与电信网及计算机网相结合，实现 三网融合，不仅使信息源更为丰富，还可增加用户与各种信息提供源之间的交互 性，实现用户自由点播节目、自由选取网上的各种信息，可以提供多种数据业务 服务，使电视机可阻真正融入到信息网络中去，可以实现多种新的功能，例如， 家长可对电视节目选择设定密码，以防止未成年人收看限制级节目等。 数字电视机顶盒是信息家电之一，它是一种能够让用户在现有模拟电视上， 观看数字电视节目，进行交互式数字化娱乐、教育和商业化活动的消费电子产品。 根据传输媒体的不同，数字电视机顶盒又分为数字卫星机顶盒、地面数字电视机 顶盒和有线电视数字机顶盒三种。 数字电视机顶盒的基本功能是接收数字电视广播节目，同时具有所有广播和 交互式多媒体应用功能，如：( 1 ) 电子节目指南( e p g ) 。用户可以通过该功能 看到一个或多个频道甚至所有频道上近期将播放的电视节目；( 2 ) 高速数据广播。 能给用户提供股市行情、票务信息、电子报纸、热门网站等各种消息；( 3 ) 因特 网接入和电子邮件。数字机顶盒可通过内置的电缆调制解调器方便地实现因特网 接入功能。用户可以通过机顶盒内置的浏览器上网，发送电子邮件。( 5 ) 条件接 收。条件接收的核心是加扰和加密，数字机顶盒通过条件接收系统实现付费电视。 ( 6 ) 数字个人录像机( p v r ) 。通过硬盘实现数字电视节目的录制和播放。 随着数字视频广播的发展，观众将会可以选择越来越多的频道，欣赏到更高 品质，更多服务的节目。而电视台则要购买这些节目的版权，其支出也越来越大， 所以要求对用户收取一定的收视费用。条件接收系统( c o n d i t i o n a l a c c e s ss y s t e m ) 1 2 就是为了商业目的而对某些广播服务实施接入控制，决定一个数字接收设备 能否将特定的广播节目展现给最终用户的系统。条件接收( c a ) 技术要求既能 使用户自由选择收看节目，又能保护广播业者的利益，确保只有已支付了或即将 支付费用的用户才能看到所选的电视节目。在数字电视领域中，c a 系统无疑将 成为发展新服务的必需条件。 第一章绪论 1 3 本文的主要工作与结构安排 本论文围绕两个课题分两个主题展开。第一个主题是“多方向小波变换的图 像滤波方法”，第二个主题是“数字电视条件接收系统与机顶盒的集成”。在第一 个主题中，以小波分析滤波理论为基础，在充分发挥其对图像多分辨率分析和对 高斯噪声具有良好抑制能力的优点上，针对如何克服图像滤波中存在的不能保留 多方向特征信息的问题展开研究。提出了三种多方向小波变换的图像滤波方法。 在第二个主题中，使用f u j i t s u 的s m a r t m p e g 平台的机顶盒集成某公司的c a 系 统，本课题主要完成了c ad r i v e r 负责与c a 内核的交互和控制机顶盒的解扰流 程的软件编写。本文共分两篇分别对两个课题进行了详细的研究和论述： 第一篇共分三章，主要研究多方向小波变换的图像滤波方法，在这一篇中， 作者从两个角度对小波变换的性质进行了分析，提出了三种不同的应用多方向小 波变换的图像滤波方法。本篇算法的开发和分析工具是c 语言编译器和m a t l a b 分析工具。每种算法均给出了实验结果。 第二章介绍小波变换的基本知识及其在图像处理方面的应用。包括小波变换 理论的概述，多分辨率分析和m a l l a t 算法。 第三章从小波变换的“空间屏蔽滤波器”法入手，提出了一种结合多方向小 波变换屏蔽滤波及邻域特性的图像滤波方法。文中用多方向的小波变换屏蔽滤波 器来代替小波变换的原方法中的水平和垂直方向屏蔽滤波器，以判断图像多方向 的边缘特征。然后根据邻域特性对最小尺度的小波分量进行进一步处理以去除剩 余的噪声。通过对边缘和噪声的不同处理达到既保护图像边缘又有效去除噪声的 目的。 第四章讨论应用新抽样栅格的两种小波变换图像去噪方法，现有的二维小波 变换方案多采用水平垂直可分离一维小波的组合，配套使用的抽样栅格为水平垂 直二抽样栅格。本章提出了一种有别于标准二维小波变换抽样栅格的新型抽样栅 格，应用这种抽样栅格可对图像进行多分辨率的45 度和135 度方向上的可分 离二维方向小波变换。在此基础上，本章又提出了两种新的小波变换去噪方法： 四方向小波变换和对角方向小波变换。这两种方法由于使用了更加合理的抽样栅 格，在处理图像去噪问题上，不论是对主要特征方向在斜方向的图像还是对其特 征方向不在斜方向上的图像去噪效果均要优于标准可分离二维小波去噪方法。 第二篇共分三章，主要研究数字电视条件接收系统与机顶盒的集成。在这一 篇中，作者从介绍条件接收系统流程和机项盒的硬软件平台入手，详细阐述了在 f u j i t s u 的s m a r t m p e g 平台的机顶盒上集成某公司的c a 系统的过程。并且对作 者负责编写的c ad r i v e r 与c a 内核的交互和控制机顶盒的解扰流程部分进行了 4 第一章绪论 论述。 第五章介绍了条件接收系统的节目发射端加密部分( c a 系统) 和节目接收 端的解密部分( 机顶盒和智能卡) 的加解密过程和d v b 的同密和多密技术。 第六章介绍了s m a r t m p e g 的硬件平台，软件结构和操作系统n u c l e u s 。 第七章论述了条件接收系统与机顶盒的软件集成的过程。介绍了一家公司的 c a 内核和集成c a 软件解扰流程，最后详细论述了c a 驱动与c a 内核的交互 和获取e c m 和e m m 的p i d 的过程。 第八章是全文的总结。并对小波变换的图像滤波方法和条件接收系统的发展 进行了展望。 第二章小波变换理论 第一篇多方( f i t j 、波变换的图像滤波方法 第二章小波变换理论 小波分析是近年来迅速发展起来的一种新的数学方法，是传统的f o u r i e r 分 析发展史上里程碑式的发展。经过十几年的探索研究，小波分析的数学形式体系 已经建立，成为众多学科共同关注的热点。小波变换 1 3 】是时间( 空间) 和频率 的局部变换，因而能有效的从信号中提取信息。通过压缩和平移等运算功能可对 信号进行多尺度的细化分析，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题。它 的应用范围涉及许多学科领域，包括信号分析，图像处理，量子力学，电子对抗， 模式识别等。在许多使用传统f o u r i e r 分析的地方，都可以用小波分析来代替。 由于小波分析是时间( 空间) 频率的局部化分析，通过对信号逐步进行多尺度纽 化，对高频成分的采用逐渐精细的时间( 空间) 取样步长，自动适应一维和多维 信号分析的要求，从而可以聚焦到信号的任意细节。小波分析的这一特点，使得 它特别适合对于信号奇异点的分析，被誉为数学显微镜。 小波分析的基本思想实质上是把信号分解为低分辨率的平滑近似和高频细 节两方面。通常把低频部分称为低频子带，把高频部分称为高频子带。对每个生 成的子带又可以用同样的方式进一步分解。用这种方法，小波分析把输入信号分 解为几个频段。可分离二维小波分析通过在水平方向和垂直方向分解来实现。 本章主要对小波理论及其在图像处理方面的应用进行了综述。第一节介绍小 波理论的基本知识；第二节介绍多分辨率分析；第三节介绍m a u a t 算法。 2 1 小波理论概述 小波分析是调和分析发展史上里程碑式的发展，目前已经成为国际上众多学 术和学科领域共同关注的热点，是一个在众多学科和工程技术中广泛探讨的话 题。作为一个新的数学理论它不仅有着非常丰富的理论内容，而且还是一种具有 多方面应用潜力的工具。本节主要介绍小波分析的一些基本知识【1 4 】。 2 1 1 从f o u r i e r 分析到小波分析 令, 2 ( 0 ，2 玎) 表示定义在区间( o ，2 7 c ) 上所有可测且具有 6 出 2 ) 茁 (厂 ho 第二章小波变换理论 的函数集合。很容易验证，l 2 ( 0 ，2 石) 是一个向量空间，r l 2 ( 0 ，2 u ) 中的任何一个 函数，都具有一个f o u r i e r 级数表示式 ，( x ) = c 。e “ ( 2 2 ) c n 称为函数厂的f o u r i e r 级数的系数。在公式( 2 2 ) 中，级数在r ( o ，2 石) 中收 敛的意思是 2 l1 2 。l ，i 。m + 。j 1 ，( x ) 一c 。e “i d x = o djp ”j ( 2 3 ) 公式( 2 2 ) 表明，f o u r i e r 级数有两个独特的性质：1 ) f 可分解为无限多个 互相正交分量吼( x ) = c n e 的和；2 ) 正交基慨 可用单个函数妒( x ) = p “膨胀” 生成。对所有整数n ，有吼( 冀) = 缈( 船) ，这种膨胀称为整数膨胀。类似的，考虑 定义在实直线i r 上的可测函数厂的空间l 2 ( i r ) ，函数，满足 j 1 厂积) 1 2 玉 o 。 ( 2 4 ) 显然，两个函数空间l 2 ( 0 ，d r ) 和l 2 ( m ) 是完全不同的。由于l 2 ( i r ) 中每个函 数在o o 必须“衰减”到零，因此如果要寻找产生r ( 豫) 的“波”，那么这个波 就应该在o o 衰减到零，并且对于所有的实际应用，这个衰减过程应该很快完成。 换言之，就是要寻找小的波( 称之为“小波”) 来生成r ( 馏) 。正如公式( 2 2 ) 用 单个函数伊( x ) = e “生成整个t 2 ( o ，2 石) 空间一样，这里希望能找到一个函数妒来生 成整个上2 ( 豫) 。但是，如果小波妒具有快速衰减的特性，它怎么能够覆盖整个实 直线呢? 明显的办法是沿i r 移动p 。 现在考虑小波y ( 2 ，x 一i ) ，k z ，不难看出，y ( 2 7 工一七) 是由一个单个“小 波”函数妒( x ) 通过一个二进膨胀( 即2 的膨胀) 和一个k 2 ，的二进位移产生的。 容易证明，如果一个函数少er ( 肛) 具有单位长度，那么用 i f j , k ( x ) = 2 j 2 y ( 2 。z 一后) j , k z 使用符号 f , g 弦e 似) 而弛 和 ： 厂，p ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章小波变换理论 来表示r ( 肽) 空间的内积与范数，则有： k 。i i ：= l l v l l ：= 1 ，七z ( 2 - 8 ) 如果公式( 2 8 ) 中所定义的函数族妨，。 是r ( 豫) 的一个规范正交基，即 = ，坑，。 k ，m z 而且对每个f ( x ) r ( 馏) 都能写成 ，( x ) = c ( x ) 则函数v - 三2 ( 皿) 称为一个正交小波。其中艿肚定义为： ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 驴器蒜 c 划， 并且公式( 2 1 0 ) 中的级数收敛是在r ( 腑) 中的收敛，即 羔黔肌9 ：。 j 一 l 女一m 21 1 2 c 。称为小波级数的系数。 2 。1 。2 小波的分类 ( 2 - 1 2 ) 一个函数妒r ( 肌) 称为一个r 函数，如果妨，。j 在下述意义上是r ( 衄) 的 一个r i e s z 基： 妒m ( ，k z ) 的线性张成在r ( 僚) 中是稠密的，并且存在正常数爿与口( 0 a b 。1 ，使 舶加瞻参所小柏， i | ；l 对于所有二重双无限平方可和序列 c 3 , k 成立，即对于 ( 2 1 3 ) 熄 m 第二章小波变换理论 慨。耻艺扎，。1 2 - 0 ，g | w i ，g t 1 v t ，j l 在此情况下，使用记号 w 。上w ij l 则公式( 2 1 7 ) 6 0 的直接和变成了正交和 9 r 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 第二章小波变换理论 r ( 豫) 2 是2 。矿1 e w o e 暇e ( 2 2 1 ) 上式表示，任意一个厂r ( 膪) 分解为函数g ，e 形的( 无限) 和不仅是唯一的， 而且其分量还是相互正交的。 一个在l 2 ( i r ) e e 的d , 波y 称为是个半正交小波，如果它生成满足 = 0 l ；j ，k ，卅z 的r i e s z 基。 2 2 多分辨率分析 r 2 2 2 ) 任何半正交或正交的小波，都可以产生l 2 ( 1 r ) 的一种直接和分解公式 ( 2 1 7 ) 1 5 。对于每个_ ，z ，考虑r ( 豫) 的闭子空间 = + 一2 + _ ，z 这些子空间明显具有下述性质： ( 1 ) 单调性c ck c k c ( 2 ) 逼近性c l o s r ( 甚_ ) = r ( 胆) ( 3 ) 收敛性q 矿，= 0 ) ，e c ( 4 ) 分解性+ 。= _ + ，j z ( 5 ) 伸缩规则性f _ f ( 2 x ) 巧j z 因此，与满足 形，n 彬= ( 0 ) ，f j ( 2 - 2 3 ) 的子空间大不相同。单调性表明子空间矿的序列是嵌套的。并且具有逼近性和 收敛性两个性质：逼近性表明r ( 腰) 中的每个函数厂能够用它在中的投影0 厂 非常接近希望的逼近；收敛性保证通过减小，投影乞，能够具有任意小的能量。 性质( 1 ) ( 3 ) 蕴含着这些空间最重要的性质：当，寸o o 时，只，更大的“变 化”被除去。性质( 4 ) 表明这些变化是逐层剥离，即按变化“速率”减小顺序 剥离，并且存放在的补子空间矿中。利用伸缩规则性性质可以非常有效地实现 1 0 第二章小波变换理论 这个过程。 事实上，如果参考空间k 用单个函数e r ( 腑) 在意义 v o2 c l o s l 2 ( 姗 上生成，其中 办# ( x ) = 2 i 2 ( 2 z 一) 那么，所有的予空间以也用同一个庐生成，即 巧= c l o s r ： ，z ( 2 - 2 4 ) ( 2 2 5 ) f 2 2 6 ) 因此，由一到+ 哆。，一，的剥离过程能够有效地完成。 下面给出多分辨分析和尺度函数的概念： 一个函数庐l 2 ( i r ) 被认为生成一个多分辨分析( m r a ) ，如果它生成在公式 ( 2 2 3 ) 意义上满足( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 和( 5 ) 的闭子空问巧的一个嵌套序列，使 庇，。) 形成的组r i e s z 基。如果妒生成一个m r a ，那么妒成为是一个“尺度函数”。 2 3m a l l a t 算法 s m a t l a t 1 6 对信号逼近和细节的抽取进行了深入的研究，发现在不同分辨率 下对信号的逼近可以通过对l 2 ( r ”) ( n 为维数) 中一稠密空间序列的投影来实现， 而且得到的信号细节刚好是按一小波基的展开。由此出发，他提出了多分辨分析 的理论，并给出了完美的数学描述。在m r a 理论的基础上，s m a l l a t 提出了用 子带结构实现d w t 的算法，统一了子带滤波与小波变换的计算。 在一维情况下，重新考虑公式( 2 2 3 ) 中讨论过的多分辨分析和小波的一般结 构，其中 矿0 用某个尺度函数庐l 2 ( i r ) 生成，而 以 用某个小波y r ( 衄) 生 成。在此情况下，根据性质( 2 ) ，每个l 2 ( i r ) 中的函数，能够对某个n z ，用 一个厂非常接近地逼近。因为y ，= _ 一，+ 一。对于任何，z 成立，厶具有 唯一分解： f v = ；+ g 其中厶一。一。和g h ，重复这个过程，则有， j v = g n - 、+ g n 一2 + + g w m + f n 一”( 2 2 7 ) 第二章小波变换理论 其中对于任何，f y ，和g ，矿，并且m 选取得使厶。是充分“模糊的”。 公式( 2 5 9 ) 中的唯一“分解”称为“小波分解”：并且“模糊”借助于厶一。的“变 化”来测量。一个不十分有效的“暂停准则”是要求i 帆一。0 比某个阈值小。下面 讨论如何把，表示为它的分量g ，g 。一。与厶一。的一种直接和，以及从这些 分量复原厂的一种途径。 因为尺度函数庐k 和小波y 都属于k ，而k 是氟，。( x ) = 2 m 庐( 2 工一k ) ， k z 生成的，所以存在两个序列 仇) 与 吼) ，2 使 妒( x ) = p 。( 2 x 一女) ( x ) = q i 庐( 2 工一i ) f 2 2 8 ) f 2 2 9 ) 对于所有x r 成立。公式( 2 2 8 ) - 与 2 2 9 ) 分别称为尺度函数与小波的“两尺度关 系，另一方面，因为( 2 x )k ( 2 x 1 ) 都属于k 且k = + ，所以存在四个z 2 序列，表示为扣珊 、 6 。) 、徊。 、 岛m ) ，使 妒( 2 x ) = k 。庐( x 一) + 6 一y o 一七) 】 妒( 2 x 一1 ) 匕【q 一：i ( x - - 七) + 6 1 一：。y ( x 一) k 对于所有x 肌成立。以上两个公式能够组合成一个公式 f 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 x z ) = 【“。：i 庐( x 一膏) + 轨一：i y ( x 一) ，fe z(2-32) k 这称为驴与_ i f ，的分解关系”。从直接和关系k = v o + 甄可以得出两对序列 ( 见) ， 吼) ) 与( 吼 ，慨) ) 都是唯一的。这些序列常用公式表示下列重构和分解算 法。因此， p 。j 与 q 。】称为重构序列，而 口。 与 坟 称为分解序列。 由于乃和g ，都具有唯一级数表示： f 乃( x ) = z c b ( 2 。x 一后) f p = c ；) ，2 和 ( 2 - 3 3 ) 第二章小波变换理论 f g l ( x ) = 酬| ；f ，( 2 x j i d l 溉j ) 1 2 可以得到下列分解算法和重构算法： ( 1 ) 分解算法： 应用公式( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) ，有得出如下分解算法 ( 2 ) 重构算法： 应用公式( 2 2 8 ) 、( 2 - - 2 9 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 - 3 4 ) ，可以得到重构公式 c f = 丑见“c 。+ ，a 。】 r 2 - 3 4 ) r 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 当尺度函数l 2 u e ) ， 办。 为_ 的正交基，y 为其生成的正交小波时，为 了描述方便，改写符号p 。、q 。为 ( ) 、g ( i ) 则式( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 1 ) 6 5 3 ： y ( f ) = g ( k ) o ( 2 t t ) m = 艺 ( i ) y ( 2 f 一七) 女 不难证明，分解算法可写为： _ ( f f i ( f f 重构公式 c ：= ( 七一2 1 ) c 。+ g ( t f 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) r 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 彰 吖 船 甜 p | _ i l 嘻 础 酬 酬 第二章小波变换理论 可见信号的小波分解和重构都可通过子带滤波的形式实现，分别如图2 - 1 ( a ) 和图 2 - l ( b ) 所示。 ( a ) 数据分解流图 ( b ) 数据重构流图 图2 - 1 数据分解和重构流图 采用可分离滤波器的形式，很容易将上述结论推广到二维的情况。 设 ) 是r ( 职) 上的多分辨分析，令_ = f 。刀，可以证明( v j g j 成l 2 f i r ) 上的多分辨分析；若 叼 的尺度函数为矿，生成的正交小波为p ，则 一) 的尺度 函数为庐( x ，y ) = ( x ) 矿( y ) ，生成的小波分别为： 妒1 ( x ，y ) = ( x ) y ( y ) y 2 ( x ，y ) = 妒( x ) ( y ) 3 ( x ，y ) = v ( x ) v ( y ) f 2 4 1 ) 并且 矿k 卅，妙五，妒未m ，k ，m z 构成口( 上r ) 上的正交基。其中， j 。= 2 j y 。( 2 。x 一后，2 。y m ) 瓴岛埘为整数，i 2 1 ，2 ，3 ) ( 2 4 2 ) 同样，对信号f ( x ，y ) r ( r 2 ) ( 假定，o ，y ) k ) ，可定义其d w t 为： 第二章小波变换理论 ( c 一，f ，( d j ，) 。罔，( d j 厂) 。闰，( 巧厂) 。娜。) 其中 c - j f = ( ) 蜘。z ( 叫，) 。闺= ( ) 咖。 ( d j ，) 。邪，= ( ) 抽。 ( 叫，) 。闰= ( ) 蛔。： r 2 - 4 3 ) ( 2 - 4 4 ) 图2 - 2 ( a ) 和图2 - 2 ( b ) 分别给出t 2 维信号的小波分解和重构的子带滤波器实现 结构。 第二章小波变换理论 ( a ) 二二维信号分解 ( b ) 二维信号重构 图2 2 二维信号分解与重构 c ： + 这里只讨论了信号按正交基的分解与重构，对于双正交小波基，只需将上述 分解、合成公式中的小波基用其对偶基取代即可。可以证明，上述讨论的结果对 1 6 i 一 一 第二章小波变换理论 数字信号f ( k ) z 2 也适用。 m a l l a t 在多分辨分析理论的基础上，用子带结构实现d w t 的算法，统一了 子带滤波与小波变换的计算，使小波变换成为图像处理的重要手段。变换图像子 带间的相似性和功率集中在低频子带等特点，为图像滤波提供了一种非常有效的 方法。 第三章应用多方向小波和邻域特性的图像去噪方法 第三章应用多方向小波和邻域特性的图像去噪方法 对噪声图像的预处理中，均值滤波及维纳滤波是两种最简单、常用的方法。 均值滤波对于高斯噪声有较好的平滑能力，但它会造成边缘的模糊。维纳 ( w i e n e r ) 滤波 1 7 是对退化图像进行恢复处理的另一种常用算法，维纳滤波器 是一种最小均方误差滤波器。维纳滤波获得的误差数据较小，但是在低信噪比情 况下会将很多高频元素抛弃，包括重要的边缘信息。在小波去噪方面，d l d o n o h o 和i m j o h n s t o n e 1 8 1 等做了一系列卓有成效的工作，称为小波收缩抑制 策略方法，先后提出了硬抑制( h a r ds h r i n k a g e ) ，软抑sp j ( s o f ts h r i n k a g e ) 和准硬抑制 策略函数。硬抑制能保持信号的信息，但经过处理后的恢复信号的光滑性较差， 容易产生非自然信号( a r t i f a