（动力机械及工程专业论文）基于位错理论的疲劳裂纹扩展特性研究.pdf

摘要 疲劳裂纹是引起工件失效的一个重要原因，目前主要是基于断裂力学理论来 解决这个问题，却无法从本质上解释疲劳裂纹扩展特性。基于位错理论出发就能 够很好地研究疲劳裂纹的扩展特性，但是现阶段基于位错理论一般只是针对于疲 劳裂纹扩展i 阶段，对于扩展的全程特性研究还很不完善，从位错理论研究疲劳 裂纹扩展特性有着重要意义。 在研究i 型裂纹的扩展方向时，由于实际状况下的位错结构十分复杂的，所 以建立适当的数学模型来简化裂纹尖端的位错群是必要的。本文用大位错模型来 替代实际晶体当中的离散位错，简化了位错模型，能够比较方便的计算出位错与 裂纹共同作用下裂纹尖端的应力场分布情况，并发现裂纹尖端的应力分布受到外 加应力强度因子和晶格摩擦力的影响。结果表明裂纹尖端的应力峰值会随着应力 强度因子增加而增加，同时还会随着晶格摩擦力减小而增大。通过对裂纹尖端各 个滑移面的应力进行计算发现应力集中极大值一直出现在主裂纹面上，所以i 型 裂纹扩展的方向总是沿着主裂纹面的方向，不会随着外加条件变化而改变。 目前基于微观位错理论得出的疲劳裂纹扩展速率表达式主要是反映疲劳裂纹 扩展第一阶段的特点。本文利用连续位错模型，并结合能量守恒理论，得出疲劳 裂纹扩展速率的表达式。在计算裂纹位错系统的总势能时，位错发射过程当中克 服晶格摩擦力所引起的耗散能以及位错位错相互作用能、位错裂纹相互作用能都 被考虑进去。通过对位错、裂纹共同作用下在裂纹尖端所产生的应力、应变场的 计算，可以求得裂纹尖端的应变能密度，并将它替代位错位错相互作用能与位错 裂纹相互作用能，改进了现有的疲劳裂纹扩展速率公式。结合能量守恒定理与连 续位错理论得到的疲劳裂纹扩展速率公式与传统的疲劳裂纹扩展速率表达式有着 很好的一致性，并且和实验数据也有很好的吻合，结果能够很准确很好地反映出 裂纹扩展第二、三阶段的扩展特点。该疲劳裂纹速率公式还可以直接反映出频率 以及应力比对裂纹扩展速率的影响，因此公式可以直接运用于对不同频率以及应 力比下疲劳裂纹扩展速率的预测。 关键词：刃型位错；应力集中；裂纹扩展方向；能量守恒原理；连续位错模型： 疲劳裂纹；扩展速率 a bs t r a c t f a t i g u ec r a c ki sa ni m p o r t a n tr e a s o nf o rf a i l u r eo fw o r kp i e c e ，a n dt h ep r o b l e mi s s o l v e db yf r a c t u r em e c h a n i c st h e o r ya tp r e s e n t ，b u tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ff a t i g u ec r a c k p r o p a g a t i o nc a l l tb ee x p l a i n e db yf r a c t u r em e c h a n i c st h e o r y b a s e do nt h ed i s l o c a t i o n t h e o r y , t h ec h a r a c t e r i s t i c s o ff a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o nc a nb ew e l ls t u d i e d ，b u t e x i s t i n gd i s l o c a t i o nt h e o r yo n l yc a n r e f l e c tt h ef e a t u r eo fs t a g eio fc r a c kp r o p a g a t i o n t h es t u d yt op r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h ew h o l ep r o c e s si si n c o m p l e t e l ys t u d i e d f r o mt h ed i s l o c a t i o nt h e o r y , s oi ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yf a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o n a st h ea c t u a ls i t u a t i o no ft h ed i s l o c a t i o ns t r u c t u r ei nc r a c kt i pi sv e r yc o m p l i c a t e d ， a l la p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm o d e lt os i m p l i f yt h ed i s l o c a t i o ng r o u pi nc r a c kt i pi s n e c e s s a r y t h i ss u p e r d i s l o c a t i o nm o d e lt or e p l a c et h e a c t u a ld i s c r e t ed i s l o c a t i o n s m a k ei tb em o r ec o n v e n i e n tt oc a l c u l a t et h es t r e s sf i e l dc a u s e db yi n t e r a c t i o no f d i s l o c a t i o a sa n dc r a c k ，t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es t r e s sd i s t r i b u t i o ni nc r a c kt i pi s a f f e c t e db ya p p l i e ds t r e s sf a c t o ra n dl a t t i c ef r i c t i o n t h er e s u l ts h o w st h a tp e a ks t r e s s i nc r a c kt i pw i l lc h a n g ew i t ht h ea p p l i e ds t r e s sf a c t o ri n c r e a s i n ga n dt h ef r i c t i o ns t r e s s d e e r e a s i n g b ym e a n so fs t r e s sc a l c u l a t i o ni ne v e r ys l i pf a c e ，i t se a s yf o u n dt h a tt h e p o s i t i o no fn u c l e a t i o nw h e r et h em o s ts e r i o u sc o n c e n t r a t i o nh a p p e n s w o n tc h a n g e ，t h e d i r e c t i o no fm o d e lic r a c kp r o p a g a t i o nw i l ln o tc h a n g e a tp r e s e n t ，t h es t u d yo ff a t i g u ec r a c kg r o w t hp r o p e r t i e sb a s e do nm i c r o s c o p i c d i s l o c a t i o nt h e o r yo n l ys h o wt h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t a g eio ff a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o n ， s ot h e r ea r eg o o dp r o s p e c t sf o rt h es t u d y a c c o r d i n gt oe n e r g yc o n s e r v a t i o np r i n c i p l e ， t h et o t a le n e r g yo fc r a c k d i s l o c a t i o ns y s t e mw i l lb ec o n s t a n ti ne v e r yc y c l ea n dt h e e x p r e s s i o nf o rf a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o nc a n b ei n d u c e d c o n s i d e r i n go fe n e r g yc a u s e d b yd i s l o c a t i o n d i s l o c a t i o ni n t e r a c t i o na n d1 a t t i c ef r i c t i o nr e s p e c t i v e l y ，t h et o t a le n e r g y o fc r a c k d i s l o c a t i o ns y s t e mc a nb ec a c u l l a t e d t h r o u g ht h ec o m p u t a t i o nt ot h es t r e s s f i e l do fc r a c kt i p ，t h ed e n s i t yo fs t r a i ne n e r g yc a nb ee a c u l a t e d ，t h ee x p r e s s i o nf o r v e l o c i t yo ff a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o nc a nb ei m p r o v e d c o m b i n i n ge n e r g yc o n s e r v a t i o n p r i n c i p l ew i t hc o n t i n u o u sd i s l o c a t i o nm o d e l ，t h er e s u l t sa r eu n i v e r s a l l ya g r e ew i t h t r a d i t i o n a lf o r m u l a s ，a n dc o i n c i d ew i t ht h ee x i s t i n ge m p i r i c a lr e s u l t sa n de x p e r i m e n t a l f a c t s a n dr e f l e c tt h ec h a r a c t e r so fs t a g e si ia n di i ii nf a t i g u ec r a c kp r o p a g a t i o n t h e f 0 咖u l ac a na l s od i r e c t l yr e f l e c te f f e c t so ft h ef r e q u e n c ya n ds t r e s sr a t i oo nf a t i g u e c r a c kg r o w t h ，s ot h ef o r m u l ac a nb ed i r e c t l ya p p l i e dt op r e d i c tf a t i g u ec r a c kg r o w t hi n u d i f f e r e n tf r e q u e n c ya n ds t r e s sr a t i or a t e k e yw o r d s ：e d g ed i s l o c a t i o n ； s t r e s sc o n c e n t r a t i o n ；t h ed i r e c t i o no fc r a c k p r o p a g a t i o n ；e n e r g ye o n s e r v a t i o np r i n c i p l e ；c o n t i n u o u sd i s l o c a t i o n m o d e l ；f a t i g u ec r a c k ；t h ev e l o c i t yo fc r a c kp r o p a g a t i o n i i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：么右了七日期：渺年岁月站日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长 沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 作者签名： 导师签名： 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 访；气 彳绣 日期：函呵少年j 月“日 日期： h ，年，【，月乙石日 第一章绪论 随着科学技术的不断进步、国民经济的不断发展，工业有着巨大的发展，金 属材料运用得越来越广，材料“疲劳问题出现在电力、交通、材料等各行业， 造成间接或直接经济损失，并且导致了一系列的安全事故的发生，严重阻碍了国 民经济的健康持续稳定发展。现有的关于疲劳裂纹的理论都是大部分都是基于断 裂力学理论而得到的，在工程上也得到了很好的应用，但是由于是从宏观角度出 发，对于一些行为却无法从本质上解释。现有的关于疲劳裂纹的微观位错理论主 要是用于研究疲劳裂纹扩展第一阶段，反映疲劳裂纹初始阶段的特征，在对整个 裂纹扩展阶段的研究还不成熟，仍然有许多方面需要改进。研究基于位错理论的 疲劳裂纹扩展模型，得到整个阶段的疲劳裂纹扩展速率表达式，对正确认识疲劳 裂纹扩展具有至关重要的意义。 1 1 裂纹扩展方向的研究状况 在外加应力作用下，裂纹尖端附近的材料会发生屈服，说明裂纹前端存在塑 性区，有位错的产生和运动。因此，关于裂纹和位错相互作用的研究受到了普遍 的关注。 i 型裂纹的扩展方向与外加条件的关系，本质上就是研究裂纹尖端的应力集中 情况。 实验观察方面，o h r 【l 】利用透射电镜观察到位错从裂纹尖端的发射以及无位错 区的存在，明确了裂纹尖端存在无位错区域这样一个事实。后来又有许多学者【2 巧】 也使用不同的材料在透射电镜下观察位错发射。 理论和模拟方面，b i l b y 【6 】等首先提出了裂纹位错模型并研究了裂纹周边位错 的连续分布，提供建立裂纹尖端位错的数学模型，在理论上有着很重要的意义。 这个模型后来被c h a n g 和o h r 7 】改进，使它能包括裂纹尖端可能存在的无位错区， 能够更好的反映出裂纹尖端特征。 模拟方面，d a i 和l i 【8 】采用离散位错模型并应用计算机模拟了裂纹尖端无位错 区的存在，m a j u m d a r 和b u r n s 9 】则采用连续位错模型研究了这个问题。还有许多 学者也针对不同的情形模拟了位错发射的过程，或计算了裂纹前端塑性区的形状 和大小，比较典型的是从宏观断裂力学的角度按v o n m i s e s 或t r e s c a 1 0 】屈服准则确 定裂纹塑性区形状。 在外加应力作用下，裂纹尖端附近的材料会发生屈服，说明裂纹前端存在塑 性区。为了能够更好的判定裂纹扩展的方向，对于无位错区的应力分布的研究是 必要的。自从o h r 利用透射电镜观察到位错从裂纹尖端的发射以及裂尖存在无位 错区的现象后，裂纹位错相互作用的研究也受到了普遍的关注。裂纹尖端无位错 区的存在决定着裂纹扩展行为按何种方式进行，甚至决定了物质的韧脆性。一般 来说，无位错区域是一个高畸变的弹性区。通过对椭圆形裂纹的研究，钱才富教 授发现无位错区域的应力值会比裂纹尖端的值要高。如果在无位错区域的应力集 中达到一定值，原子键率先断裂并形成空洞，之后再与主裂纹连接起来，这能够 很好的解释成核现象。 李辛1 3 2 】在他的文章当中通过断裂力学的方法，证明了i 型裂纹扩展是沿着原 方向扩展的。 k i n e t i c 理论曾经对于疲劳裂纹扩展提出了两种模型： 第一种模式：这种模式认为微裂纹成核发生在无位错区域内部。在该模式下， 微裂纹先是在无位错区内形成，然后与主裂纹连接起来，从而导致裂纹的扩展。 第二种模式：这种模式认为应力集中发生在裂纹尖端，导致尖端附近的原子 键断裂，从而促使裂纹扩展。 k i n e t i c 理论是针对疲劳裂纹扩展而提出来的，但是不难将它的断裂机制与裂 纹扩展联系起来。许多因素，如外加应力，晶格摩擦力等，都影响着无位错区域 的应力分布进而影响裂纹的扩展方式。在对裂纹尖端无位错区域的应力进行研究， 钱才富教授发现裂纹尖端存在这两个极值：一个存在于裂纹尖端，另一个存在于 无位错区靠近塑性区的区域，并认为裂纹成核可以在两个地方同时发生。 钱才富【1 1 1 5 】从微观断裂力学的角度进行了计算，发现裂纹前端塑性区和无位 错区的存在和性质决定着裂纹的扩展行为，甚至决定着材料的韧脆性能，特别是 无位错区，它是一个高畸变的异常弹性区，是微裂纹产生和主裂纹扩展所必须经 过的过程区。褚武扬【1 4 l 等对多种韧性和脆性材料在t e m 下进行了大量原位拉伸实 验，观察到了纳米级裂纹在主裂纹尖端的无位错区内形核、长大及与主裂纹汇合 的过程。杨卫和钱才富【1 5 】分别采用有限元法和离散位错模型计算了发射位错后缺 口前端的应力分布，发现存在两个应力峰值，一个处在缺口顶端，另一个在无位 错区内，它们有可能等于o 。h ，这两个应力峰值的相对大小决定了裂纹按照何种方 式扩展。通过对位错和像位错的处理，裂纹应力场和位移场能够得到，进而可以 根据尖端应力场的分布来判断裂纹的扩展方式。 位错发射后会在裂纹尖端形成无位错区( d f z ) ，除了裂纹顶端有一个应力峰 值以外，在d f z 中靠近塑性区( p z ) 也存在一个峰值，第二个峰值影响着裂纹扩 展方向【l 引。然而，d f z 中应力集中状况与滑移面角度的关系，以及d f z 中应力集 中受应力强度因子和晶界摩擦力影响状况都还没有得到深入的研究。 1 2 疲劳裂纹扩展速率的研究状况 对于疲劳裂纹扩展速率的研究一直受到广泛关注，而主要研究方法都是从断 2 裂力学角度着手的。疲劳裂纹扩展的研究是从宏观上开始的，1 9 6 3 年p p 嘶s 【1 6 1 和 f e r d o g a n 对疲劳裂纹扩展数据进行的分析处理，提出了第一个疲劳裂纹扩展公式， 这是疲劳裂纹扩展速率表达式的雏形，但当时并没有受到足够的重视，甚至被怀 疑是错误的，最后只发表在一般期刊上，公式如下 d a ：( a k ) 4 ( 1 1 ) 一= 一 _ - ij d nm 这个公式出现后，人们进行了大量的实验，发现a k 的次数不应该只是一个定 数，它有一定的交化范围，其具体取值取决于材料特性和实验的环境条件，于是 将其改为 d a ：c ( a k ) 一 ( 1 2 ) d n 这便是著名的p a d s 公式。式中a k 为应力强度因子范围，a k = k m a x k m i n 。此 公式大体适用于各种材料亚临界裂纹扩展试验数据处理，且只适合描述第1 i 阶段 ( 中部区) 裂纹扩展行为。 图1 1 疲劳裂纹扩展的三个阶段 p a r i s 公式未反映平均应力对裂纹扩展速率的影响，也未反映应力强度因子a k 趋近于临界值a k 。c 时裂纹加速扩展的效应。 考虑了上述因素，f o r m a n 提出裂纹扩展速率又一表达式。f o r m a n 1 7 1 把断裂韧性 k 。c 与d “d n 联系起来，并引出r 的影响，即 d a c ( a k ) ” 一= ：- - - - - - - - - - - - - 一 d n ( 1 一r ) k a k ( 1 3 ) p e a r s o n 【1 8 1 研究一些铝合金i 拘d a d n 发现在低a k 时，r 对材料影响比f o r m a n 公式所得的计算结果小得多，因此对f o r m a n 进行修正得： 熹：型盟一1 ( 1 4 ) 刎【( 1 一尺) 如一必 i 但是以上各式基本上都是描述i i 阶段的扩展关系式。但是从裂纹萌生到裂纹最 终断裂不仅包括第二阶段，还包括门槛值在内的i 阶段，以及接近失稳得的快速扩 展阶段( i i i 阶段) 。针对这种情况，n i c h o l s o n 1 9 】提出半经验表达式为： 生：b 拦三鳖r ( i - 5 ) 心 k f k 。 i r v i n g 2 0 a f - j 槛值的角度提出的表达式为： 一d a ：么缝蔓咝薹二! 等塑 ( i - 6 ) 一=，一：=一 d n o - ： k 品一k 上式中a ，b 均是与材料相关常数。a k 。h ，k 扮别是疲劳门槛值以及极限应力 强度因子。以上两式满足疲劳裂纹扩展曲线两端极限条件。 a p a r i s 公式结果 宝 暑 3 呈 b f o r m a n 公式结果 c i r v i n g 公式结果d n i c h o l s o n 公式结果 图1 2 几个疲劳裂纹表达式示意图 以上公式都是基于宏观断裂力学所得出的公式，对比可知，p a r i s 公式能够反 映出疲劳裂纹在第二阶段的特点，f o r m a n 公式能够反映出疲劳裂纹在二、三阶段 的特点，n i c h o l s o n ，i r v i n g 公式则可以反映出裂纹扩展的三个阶段的特点 然而，对裂纹尖端附近的应力场和应变场的断裂力学描述过于简化，从宏观 4 力学角度并不能从本质上解释疲劳裂纹扩展行为，不能反映裂纹扩展的物理过程。 难以得到进一步的结果，这也是人们为什么对于扩展裂纹尖端附近微观结构的变 化的研究产生浓厚兴趣的原因。由于疲劳裂纹扩展过程中，裂纹附近的变形和损 伤具有高度局部化的特征，因此断裂力学方法此时是完全不适用的，而弹塑性断 裂力学由于其均匀连续性假设，也与实际情况相差甚远，这使得位错力学模型成 为处理裂纹问题的一个非常有效的工具。 自从b i l l y ，b o t t r e l l 和s w i n d e n 提出了连续位错的概念并将它推广到弹塑性介质 当中，即著名的b c s 位错模型；1 9 7 4 年，r i c e 和t h o m s o n 提出了裂纹尖端位错发射 的概念；1 9 7 8 年t h o m s o n 和w e e r t m a n 提出了位错屏蔽的概念；1 9 8 0 年，o h r 领导的 美国橡树岭国家实验室领导的一个实验小组发表了一篇关于在裂纹尖端发现了无 位错区的报道；1 9 8 7 年，o h r 接着提出了位错在裂纹尖端的屏蔽与反屏蔽作用，这 为更好的计算应力强度因子奠定了基础。 应该说o h r 的这些关于裂纹尖端位错理论的工作是我们现在研究裂纹运动以 及其他方向的一件有力的武器。位错理论在这一时期得到了非常大的发展，人们开 始试图去寻找一种新的方法来处理裂纹一位错问题。 r i o s 2 1 1 等曾提出，疲劳裂纹扩展速率与其裂纹尖端的塑性区位移成正比，得 到 一d a ：7 r ( 2 万a d ) 耽i1 一b ( d - x ) 三 ( 1 - 7 ) d n 。 l d j 式中缇滑移带中对裂纹延伸起作用的位错比例，a 是裂纹长度，d 是起障碍作 用的微观组织特征尺度，x 是裂尖到障碍物的距离( 0 0 ，6 2 被排斥向右运动。 4 ) 6 2 位错在与x 轴 4 5 。方向上( x y ) ：六 0 ，如被吸引至y 轴 这是指第二个位错处于第一象限的情形。它处于其它象限时的受力情况也很容易 从式中加以分析。上述四点，都是以图中的两个同号正刃型位错为例得出的。当 二者的符号不同时，要另作考虑。图2 5 中表示的是一个正刃型位错对另一正刃型 位错或另一负刃型位错的作用情况，图中只划出了第二个位错处于第一象限时所 受力的方向。从式( 2 2 8 ) 中可看出，对于两个同号位错，4 5 0 与9 0 0 与1 3 5 0 都是 平衡位置。但只有9 0 0 即第二个位错处于y 轴上时，才处于稳定平衡位置。团此， 位错间的作用力倾向于使同号位错沿y 轴排成一行。两个异号位错则以4 5 0 、1 3 5 0 方向为稳定平衡位置。这些都已经为刃型位错在晶体中的分布的实际所证实。这 说明位错的弹性力学理论是正确的。在x = y 和x - - 0 处，f = 0 ，相互吸引力的极 大值在o x y 中的某处，相互排斥力的极大值在2 y 位错 厂。 、 y y y r 图3 1 椭圆裂纹从z 平面映射到孝平面成为圆形裂纹 其映射函数和逆映射函数【1 4 1 分别为： z _ w ( 加船+ ，f = t g + 扫z 2 - - c ： f 么k 2 0 z = 五+ 镌，f = 7 7 + 谚，r = t a + h ，朋= 鬲a - h 3 1 2 应力、应变场的求解 在线弹性断裂力学中，对裂纹尖端区域的应力、应变场进行分析，并进而计 算裂纹端部的应力强度因子，需要弹性力学的理论和方法。而在平面弹性力学问 题中，基本方程为双调和方程，因此利用复变函数来解这类问题是很方便的。弹 性力学中，受到常体力作用下物体的a i r y 应力函数满足下列双调和方程【3 3 】 v 4 川= 害+ 2 害等等= 。 t ， 应力可以表示为【2 2 】： ：等 ：鲁，：一塑 (3_2)a 2 萨2 万一一x l j j 设尸为调和函数，且p = v 2 u ，则有v 2 p = 0 。 设o 是与尸共扼调和函数，知复变函数f ( z ) = p + i q 为解析函数。 设 北) = p + 幻= 去少o ) a z 所以 双z ，= 丢厂c z ，= 罢+ ，罢= 考一，考 比较可得 望：三p 苏4 因为为解析函数，故由解析函数性质可知p = r e 矽( z ) 和g 共扼， c a u c h y - r i e m a n ( c - r 条件) 印却印却 望：塑望：一塑 一= = 一一= = 一一 缸 砂砂 苏 又由解析函数的性质可知p ，q 亦为调和函数，所以 v 2 p = o v 2 q = 0 v 2 ( 印) = ( 毒+ - r ) ( x p ) = 丢( p + x 罢) + x 等 ：望- x 馨+ 鱼+ x 磐：2 一望= 二l - + 上+ x = 二 2 l ( 3 - 3 ) 必满足条件 ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) v 2 c 朋m 参+ 争c 月，= 参c g + 少爹+ y 窘= 2 多 c 3 以上( 3 6 ) ，( 3 - 7 ) 式相加，并利用( 3 - 4 ) 得 v 2 ( 印) + v 2 ( 胛) = 2 ( 罢+ 冬) = p ( 3 8 ) 利用式得 v 2 ( x p + y q ) = v 2 u 令u = x p + y q u ，则u 亦为调和函数 可以得到 u = 矽+ 朋一“ ( 3 - 9 ) 可见，a i r y 应力函数u 可以由适当选取的共扼调和函数p 和q 及另外一个调和函 数u 构成，又因为 p = r e q t ( z ) ，g = t m ( z ) ，掰= r e l f ( z ) 所以 u ( x ，夕) = x r e c 5 ( z ) + y l m 矽( z ) + r e 沙( z ) ( 3 1 0 ) 就称的u ( x ，y ) 为m u s k h e s h v i l i ( 穆斯海里什维利) 应力函数。 由复变函数理论知道，对解析函数( z ) 有 _ a f - ( z ) ：f ，( z ) ，1 a f ( 一z ) ：f ，( z ) ( 3 11 ) 其中厂，( z ) ：_ a f ( z ) ，这是因为 警= 掣塞砒，等= 警考砒， o x( i z 呶 鲫宓鲫 同理可知 掣= 掣a g 拿o x = 虺掣o v = 掣a g 孚o x = 一黝 ( 3 - c 将( 2 - 4 5 ) 式代入到( 2 - 4 6 ) 、( 2 - 4 7 ) 式得： 型g x = 丢 抽，( z ) 州咖面( 咖痧( z ) 叫彬( z ) 可0 2 u = 争拶+ 2 叭咖2 面k ) + 川卅( z ) 咿k ) 詈= 乒洲( z ) 啪( 卅厩z ) - 谛( 卅叭z ) 一i v 例 害= 圭p ( 矿独犯) + 2 酢) 飙矿旷( 矿矿( z ) 啬= 乒引矿川卅节，( z ) 穆斯海里什维利2 3 1 应力函数得到下式 + = 害+ 害_ 4 r e ( z )( 3 1 4 )+ 2 万+ 萨2 4 鼬。 ( 3 一o x x + 2 i r 叫-”( z ) + 少。( z ) 】 应变场由下式给出： 锄 _ 2 o x a u i 2s v 砂 f 五平面应力状态 巨2 i e 7 平面应变状态一2 a 2 ua 2 u 矿一m 万 a 2 ua 2 u 可一“矿 将( 3 1 1 ) 第一式代入到( 3 1 5 ) ，得到： 其中 位移场为【2 4 1 u2 y= 0 u1 苏e o u 1 砂巨 平面应力状态 平面应变状态 卜，= 掣= 掣 i 化饿 l 盟：例( z ) l o x ( 3 _ 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) 将( 3 1 6 ) 、( 3 1 7 ) 代入带( 3 1 8 ) 式得【3 4 】： “+ 加= 击 3 - “) ) - ( 1 训( 面( 咖以z ) 】 ( 3 1 9 ) 一置一置 一叫 ， 。一、 舸一酽扣一妒 h “ + + 一 一 一i e i 一 + + l e l 2 2 酢瞰岬咖 胁托篙 似嘶 彬一苏跚一砂 、j、， h m + +l ，ll 一 一 1 j 1 j 、，、， z z i e i l e + + 、，、， z z l e 。ll 2 2 一巨一互 位错从裂纹尖端发射出来，在滑移面上呈反塞集分布。设在一个各向同性的无限 大介质中，有一平行于z 轴、b u r g e r s 矢量，b = b l + i b 2 的刃型位错，如果它通过( x l ，x 2 ) 平面的乃点。 位错的两个复应力函数分别为1 5 1 ： 九( z ) = r