（应用数学专业论文）五次ph曲线插值及其外形优化方法的研究.pdf

浙江大学硕上学位论文 摘要 本文开始对三次和五次p h 曲线做了大致的介绍，对它们的一些插值特性提出 了自己的新的观点利用五次p h 曲线做一阶h e r m i t e 插值时，因求解非线性方程组 时，而出现了解的多值性( 共有四条不同的插值曲线) ，如何从这四条曲线中选 出一条好的五次p h 曲线是本文的研究中心 本文分析了以前的研究方法，以往的方法要么根据曲线自身的性质，要么使 用三次b e z i e r 曲线做比较但两种方法各有各自的缺陷一、是计算量比较大 二、用三次b e z i e r 曲线做比较，它的可靠性值得怀疑本文提出了一种新的衡量 曲线外形的方法，即是相对旋转角的方法，它的计算公式是： 1一 z2 去川丸( f ) l 吒( f ) 一ik q ( t ) ic r q ( t ) id t 随后我们根据上面提出的公式做了数值试验，从我们的计算结果可以知道， 它能够很好符合实际的需要接着本文和别的方法进行比较，即f a r o u k i 提出的方 法如：绝对旋转数吃幻= 去f i 尼( j ) i 仃( s ) 西和弹性能量e = f 尼2 ( s ) 盯o ) a s 从最后 的比较结果可以知道，在某种意义上讲，我的方法更优 最后，本文分析自己方法的局限性，提出以后的研究方向 关键词：等距线，三次p h 曲线，五次p h 曲线，h e r m i t e 插值 v 浙江人学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fi n t e r p o l a t i n gg i v e nf i r s t o r d e r h e r m i t ed a t ab yq u i n t i cp hc u r v e s w h e nw es o l v et h ee q u a t i o no ft h e i n t e r p o l a t i o n w ec a ng e tf o u rd i f f e r e n ts o l u t i o n s h o wc a nw es e l e c tt h e b e s tc u r v e sf r o mt h ef o u rd i f f e r e n ts o l u t i o n s ，j u d g i n gb yt h es h a p e t o a n s w e rt h eq u e s t i o ni st h ec e n t e ro fo u rr e s e a r c h 。 f i r s tw ec o m p a r et h ep r e v i o u sm e t h o d so fs e l e c t i n gt h eb e s tc u r v e s f r o mt h ef o u rd i 腩r e n tc h o i c e s w ef i n da 1 1o ft h em e t h o d sh a v et h e i r o w nd r a w b a c k t h e nii n t r o d u c eh e r ean e wm e a n st os e l e c tb e s tc u r v e sb ya u n i o no fh ep r e v i o u sm e t h o d s n a m e l y , t h ef o r m u l a ： z = 互1 ，f lk a f ) i ( f ) 一l 吒( f ) iq o ) l d t b yc o m p u t i n g ，w ec a nf i n das u i t a b l es h a p eo ft h ef o u rd i f f e r e n t c u r v e sw i l lb es a t i s f i e dw i t ho u rn e e d f i n a l l y , ic o m p a r em ym e t h o dw i t ht h eo t h e r s w ew i l lf i n dm y m e t h o di sb e t t e rt h a nt h eo t h e r si ns o m ed e g r e e b u tm ym e t h o dh a si t s o w nd r a w b a c k ，s u c ha sw en e e dt oc o m p u t ea n dc o m p a r ea l lf o u r s o l u t i o n sa n ds oo n k e y w o r d s ：p y t h a g o r e a n h o d o g r a pc u r v e s ，h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ，o f f s e t c u r v e s ，p hq u i n t i c ，p hc u b i c v i 浙江大学硕：学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得澎鎏盘堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者虢又i i 夕糍签字嗍渺7 年岁月3 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝望盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅本人授权逝鎏盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲邓步糖 菩字日期：灵一1 年r 月了1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： i 导师签名：泥同i pf 导师签名：纪 l j r 。 签字日期：叫年厂月矽 电话： 邮编： 浙江大学硕士学位论文 致谢 光阴似箭，浙大学习和生活匆匆而过，短暂而又令人难忘，将在我的人生旅 途中，留下深刻而美好的回忆在此期间遇到了很多机遇和挑战，但总能得到大 家的关心和帮助，谨此致以最诚挚的谢意 在浙江大学攻读硕士学位期间，首先要感谢浙江大学数学系计算机辅助几何 设计与图形学课题组的各位老师给予我很多指点和帮助，在这里我特别需要感谢 的是我的导师汪国昭教授和王国瑾教授，刘利刚副教授和杨勋年副教授他们严 谨治学态度，和孜孜不倦探索精神给我留下了深刻印象 在这还要感谢实验室的段小娟、杨莹、吴金亮，刘刚，史艳会、支德佳、吴 晓群，何会珍，孟凡慧，伏鹏，金亮，杜文超、周红光师兄、沈莞蔷师姐等同学， 感谢同寝室的叶剑俊，金山山，王刚感谢你们在学习和生活中的鼓励与支持， 大家互相帮助，互相学习，度过了令人难忘的学习时光 感谢以前的同事余妙妙，在学习上相互启发，不断的相互促进 深深感谢我的父母和亲人对我的支持和理解，你们殷切的期望和无尽的关怀 激励着我不断前进与探索 谨以此文献给所有关心我、帮助我和支持我的人! 邓少辉 2 0 0 9 年5 月于求是园 浙江大学硕上学位论文 第一章引言 1 1 计算机辅助几何设计背景 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) 这一术语由巴恩希 尔与里森费尔德1 9 7 4 年在美国尤太大学的一次国际会议上提出的，主要研究在 计算机图像系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析、综合和计算等等计 算机辅助几何设计这门学科的诞生不是偶然的，它是随着航空，汽车等现代工 业发展与计算机的出现而发展起来的一门前沿、新兴、交叉学科其主要研究对 象是工业产品的几何外形设计，在计算机图像系统设备环境之下绘制曲线、曲 面和实体造型计算机辅助几何设计是先进制造技术的关键部分，是计算机在工 程中最出色应用之一 1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的f e r g u s o n 率先使用幂基函数的三 次参数样条参数曲线来进行飞机模型的设计f e r g u s o n 采用的自由曲线曲面的参 数表示方法具有以下优点：几何不变性、可处理多值曲线、易于坐标变换等优 点 2 0 世纪6 0 年代首先出现的是c o o n s 和b 6 z i e r 技术 2 0 世纪7 0 年代人们提出了b 样条技术 2 0 世纪8 0 年代人们进一步发展出了有理b 样条技术 当今，曲面表示和外形设计已经逐渐形成了以非均匀有理b 样条( n u i 氇s ： n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 、参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r i s t i cd e s i g n ) 和隐式代数曲面表示( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n ) 这三类方法为主要研究方向，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合 ( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为主要方法的几何理论体系 目前，c a g d 的应用已不再仅仅局限于c a d c a m 领域而进一步拓广到电 子、地质、艺术等诸多领域，并得到了广泛的应用近年来，c a g d 已成为 c a d c a m 、计算机图形学、计算机仿真、机器人控制等领域的几何造型理论 基础如今，这一新兴边缘交叉学科，在近代抽象的数学分支以及计算机图形学、 医学图像处理学等学科进行了交叉研究，同时在地球科学领域、气象科学领域、 航空航天领域等应用领域也得到空前的应用 浙江大学硕士学位论文 1 2p h 曲线研究背景 p h 曲线的研究缘于人们对等距线的研究，等距线是曲线沿其法线方向平 移距离为d 的曲线等距线应用范围十分广泛，例如数据加工中的刀具运行轨迹 计算，机器人行走路径的探测分析，行位公差学，道路桥梁设计，衣服鞋袜箱 包设计，等间距挖洞设计等等 从等距线的定义我们知道，它包含了开方运算，所以它的代数性质将变得 很复杂除少数如直线、平面等，一般曲线很难有一个有理的表达形式从外形设 计上来讲，我们希望得到的曲线能够是一个有理的表达形式一般来说我们很难 找到一个这样的有理的表达形式，这也是问题的核心和困难之处从当前的研究 思路来看，大致有两类研究方法：一类是近似的逼近法，就是尽量用简单的有 理曲线来逼近等距线，使得逼近的效果尽可能的好另一类是精确地方法，即等 距线可以精确地表达出来，问题可以等价于法向量所涉及的开方运算能够是一 个完全平方，这样我们得到的曲线是一条精确曲线 1 9 9 0 年，f a r o u k i 提出了p h 曲线的概念，即是平面参数曲线的等距线中 所涉及的法向量中的分母，如果它是一个完全平方，我们把具有这样性质的曲 线则称之为p h 曲线仅仅从它的定义我们不难发现这样的曲线是一类性质良好 的曲线显而易见的一些性质是：它的等距线是可以精确地求出的，再比如此曲 线的弧长也可以精确求出，曲线的表达形式是有理形式，可以很好的和c a d 设 计系统兼容等等正是由于有这么多良好的性质，所以p h 曲线有着广泛的应用， 例如在数控加工、工业机器人，甚至在量子力学中都有应用但通常来说，有真 正有应用价值的p h 曲线是三次和五次p h 曲线，理由很简单：首先，这两种曲 线次数低，在具体计算时，可以保证数值计算的稳定性其次，曲线的外形好， 三次和五次p h 曲线具有良好的曲线外形，在一定参数范围下可以满足大多数 的曲线外形设计要求当我们用p h 曲线来做样条插值时，即通过逐段插值而得 到整条曲线，这样得到的曲线在整体上要比用其它方法的得到的参数曲线的效 果要好 近年来p h 曲线引起了人们广泛的兴趣，所以不论在理论还是在实际应用 方面都有很多相关的文献例如1 9 9 3 年，f a r o u k i 利用五次p h 曲线插值平面上 2 浙江大学硕士学位论文 的离散数据时，得到的曲线外形相对于其它的曲线做插值时得到的曲线外形更 光滑1 9 9 6 年f a r o u k i 在研究五次p h 曲线时，提出了弹性能量的概念2 0 0 0 年 j u t t l e r 提出了利用五次p h 曲线做两阶几何插值，2 0 0 8 年h y e o n g i nc h o i 提 出了绝对速端弯曲数的概念有关p h 曲线的研究论文，近年来还是不断的涌现， 但是研究方法，出现两种新的趋势：一种趋势是把对平面p h 曲线的研究推广 到了空间p h 曲线另一种趋势是着重于实际的应用，即把p h 应用到别的学科 或实践当中，值得一提的是，在抽象物理学分支如量子力学方面，人们也找到 了一些相关的应用 3 浙江大学硕上学位论文 第二章预备知识 2 1 等距线( o f f s e t ) 的概念 设平面曲线t ，n 是它的单位法向量，d 是任意的一实数，则称曲线族t d = t + d n 为曲线t 的等距线族，当d 取定一确定的实数时，则称它为曲线t 的等 距线 等距线从某种意义上讲，它是直线的平行线的推广对于一般的曲线，如果 已知它的几何形状，我们可以很直观看得出它的几何外形和几何性质但是即使 原曲线的代数性质很明确，等距线的代数性质也未必直观因为关键是单位法向 量涉及开方运算这也是等距线研究的难点之处，也是研究的必要 等距线是经典的几何问题之一，不仅在理论上有很重要的理论研究意义， 在实际工程应用中也非常重要，例如在外形设计和数控加工和刀具中心的轨迹， 机器人运动轨迹的控制等等都是重要的研究课题在等距线的研究过程中，人们 发现问题的核心是如何简单，有效的，精确的刻画出等距线但是根据等距的定 义，它涉及开方运算，使得等距线的代数表达式很复杂，或者在实际应用中我 们得到得代数表达式已经失去了实际应用价值在通常情况，等距线的表达式很 难达到我们的设计要求对以前的文献分析，我们可以了解到，等距线的研究方 法大致分为两类，一类是近似的逼近方法，另一类是精确的研究方法，后一种 4 浙江大学硕j ：学位论文 方法一般局限于某些特殊的曲线，如多项式参数曲线，或有理多项式参数曲线 等 以下给出一般等距线的参数表达形式设平面上的参数曲线， c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) ，r ( o = ii c ( t ) 0 r ( t ) = 6 ( ，) 2 + 少( f ) 2 ，n ( t ) = ( y ( t ) ，x ( 0 ) r ( 0 ；c d ( 0 = c ( 0 + d n ( 0 ，其中d r 2 2p i - i 曲线的定义 定义2 1 对于平面多项式参数曲线c ( t ) - - ( x ( 0 ，y ( t ) ) ，如果存在一多项式口( 0 ， 满足x ( f ) 2 + j ，。( f ) 2 = 口( t ) ，则称c ( t ) 为p y t h a g o r e a n h o d o g r a p h 曲线( 简称为p h 曲线) 从以上定义我们可以看到p h 曲线是一类特殊的多项式参数曲线，它特殊 之处在于它的速端曲线x ( f ) 2 + y 。( f ) 2 开方之后仍然是一多项式曲线以下是两 个初等数论里的定理我们直接引用，不予证明 引理2 1 实数上得多项式环与整数环同构 引理2 2 ( 勾股数定理) 对于任意的整数x , y , z 如果满足方程x 2 + y 2 = 方则必 有以下结论： x = “a 2 - b 2 ) y = 2 c a z = c ( a 2 + b 2 ) 其中a , b 。c 均为整数 由以上两个引理我们马上可以得出以下的定理 定理1 1 1 2 i平面多项式参数曲线c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) 是p h 曲线的充要条件是 x ( t ) = 啊( t ) u 2 ( t ) v 2 ( t ) 】 和 y ( t ) _ 2 w ( t ) u ( t ) v ( t ) 上两式中的w ( 0 ，u ( t ) ，v ( t ) 分别为非零的实系数多项式，并且u ( 0 ，v ( t ) 不同时 为常数并且我们可以进一步可以要求( u ( t ) ，v ( t ) ) = 1 ，也就是u ( t ) 与v ( t ) 互素，w ( o 可以取为首项系数为一的实系数多项式 通过简单的积分运算我们可以得出以下结论： 5 浙江大学硕士学位论文 推论1 1 1 2 1 参数曲线c ( t ) 是p h 曲线，则它可以表示成以下积分的形式 c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) = ( 似f ) ( u 2 ( f ) 一v 2 ( f ) ) 协，p w ( f 弦( f ) ，( f ) 出) 若我们假设d e g ( w ) = 2 ，- - m a x d e g ( u ) ，d e 甙v ) ) ( 其中u ，v ，w 是相对应的多项式的 简写) 推论| 1 1 2 2 若多项式参数曲线c ( t ) 是p h 曲线则它的次数满足如下形式 五十2 “+ 1 推论1 1 1 2 3n 次p h 曲线有n + 3 个自由度 对于一般的n 次参数曲线它有2 n + 2 自由度，所以对于1 1 次p h 曲线它的自 由度减少了n 1 个，其关键是因为p h 曲线它要满足它的约束条件： x 。( f ) 2 + y ( f ) 2 = 口( t ) 从而降低了它的自由度p h 曲线度数等于2 + 2 u + 1 ，这点在我们在做具体 的插值时，选择什么样的p h 曲线插值基提供了重要的参考 2 3 两类特殊p h 曲线的构造 由上节我们知道对于p h 曲线它的次数必须满足五+ 2 u + l ，特殊的我们取3 和5 ，当然我们也可以取别的次数，但是这样可以使问题简化 当为三次p h 曲线时力= 0 ，= 1 这样我们可以得出c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) ，x ( t ) ，y ( t ) 的次数分别为一次的，并且可以得出曲线的自由度是n = 3 + 3 = 6 为了方便讨论，我们引用复变函数方法来讨论平面曲线，对于平面参数曲 线c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) ，从p h 曲线的定义我们知道，x ( t ) ，y ( t ) 并不是不相关的，它紧 密的联系在约束条件4 x ( f ) 2 + j ，( f ) 2 = 口( t ) 里头因此我们借鉴复数的表达，刚好 可以把向量函数c ( t ) = ( x ( t ) ，y ( t ) ) 的两个分量联系起来，这样可以同时对x ( t ) ，y ( t ) 进行操作，使问题的讨论得到简化 引入记号z ( t ) - x ( t ) + y ( t ) i ，其中i 为虚数单位，容易看出z ( t ) 是一个定义在实 数上的复系数多项式，z ( t ) 在复平面得轨迹就是参数曲线c ( t ) 的图像这样平面 ，1 - _ 的b e z i e r 曲线可以表示成如下形式： z ( f ) = 掣( f ) z ： ，2 ：f = 薯+ 乃f 6 浙江大学硕士学位论文 引入复数表示后，现对三次或五次p h 曲线的一些性质运算可以大大的得 到简化 三次p h 曲线的b e z i e r 形式的表示： 3 p ( t ) = b 辟( f ) ( 1 ) i = o u ( t ) ，v ( t ) 的b e z i e r 表示形式为u ( t ) _ “o 磁( f ) + “。纠( f ) ，v ( t ) = v o 或( f ) + _ 科( f ) 定义2 2 ：我们称具有b e z i e r 形式的p h 曲线为p b 曲线再根据p h 曲线的 定义我们可以得到如下结论( f a r o u k i ) 定理1 2 4 2 2 三次p b 曲线它的控制顶点必须满足以下的代数约束条件： 届= p o + j 1 l 2 一诟，2 u o v o ) 岛= a + l ( u o u i - - ，“。h + “l v o ) ( 2 ) 屁= 办+ 三( “；一砰，2 材。m ) 这里的，v o ，u 。，m 均为任意实数 设厶= i lp oai i , 厶= l iap 2i i , 厶= l lp ，仍i l ，设q 为厶与厶夹角皖为乞与厶的 7 浙江大学硕十学位论文 夹角那么可以得出以下结论： 定理1 2 4 1 2 3 三次p h 曲线为p b 曲线的充要条件是 置= 厶厶 且 q = 幺 ( 3 ) 我们可以看出这是一个非常优美的定理，它从几何上刻画了p b 曲线，又 因为( 2 ) 它是个充要条件所以三次p b 曲线可以唯一的由它的控制多边形决 定其实我们也可以看出，( 1 ) 和( 2 ) 是一个代数表达和几何表达的转换关系， 这样的转换很成功，但是对于更一般的p b 曲线却没有一般这样的的边角关系， 讨论起来很困难 如果将p ( t ) = 艺易覃( f ) 中的b ( i = 0 ，l ，2 ，3 ) 看作是对应的复数，那 么我们令a l - - p i - p o ，a 2 = p 2 一p i ，吩= 岛一岛，属= u o + v o i ，p l = u i + v t i 由上面两个定理很容易得出以下的结论 定理2 4 三次p h 曲线为p b 曲线的充要条件是 口i ：三屈： 口：三成屈 j 旷三属2 根据复数的性质我立刻可以得到以下的定理 定理2 5 三次p h 曲线为p b 曲线的充要条件是 a 2 2 2 qa 3 以上三个定理分别从代数及几何角度对p b 曲线给予了刻画，尤其是几何 刻画，结果很优美从这几个定理出发还可以得出很多别的结论，这里不详述 定理2 6三次p b 曲线没有拐点点 这点我们可以从它的曲率足( f ) = 石2 ( 。u ( f o ) v + , - 1 ，u 。( , v f ) o ) ) 。看出，因为h 一“- 。 曲线没有拐点，往往给外形设计带来很多方便，当然在一定得条件下也是缺点 浙江大学硕士学位论文 2 4 五次p h 曲线的构造和性质 由p h 曲线的定义，我们特殊的取： 22 w ( t ) = l ，“( f ) = u i b ? ( t ) ，v ( f ) = v 。，2 ( f ) f = oi = o 5 p ( f ) = 尼e 5 ( f ) ，当然这里是为了方便讨论，去掉了两种特殊的情形 i = 0 定理1 1 1 2 7 对于满足上述条件的五次p h 曲线为p b 曲线，则它的控制顶点 必须满足以下约束条件，其中n o ，u 。，v o ，m ，材：，吃均为实数 p l ：p o + ：1 ( “。2 一诟，2 ) 段= p 。+ i 1 ( 一h ，“。h + ) 见= 办+ 素( “；一订，2 吼) + u o u z - v o 吃，呲心v o ) 死= 见+ ；1 ( 甜。”2 一h 屹，“。吃+ “2 u ) 岛= p 4 + i 1 【心2 一谚，2 u 2 v 2 ) 从表面上看这个定理的形式和三次p b 曲线很相似，而且这个约束条件并不 复杂，结构也是很对称的，但是从这个代数结构，我们很难转化成一个较直观 的几何结构，即是从这些控制顶点的约束关系，得出它的边和角之间的关系目 前，没有一个清晰，明了的几何对映关系，这点也成了五次p h 曲线研究中的 难占夕一 5 如果将p ( f ) = p i b ? ( t ) 中的只( i = o ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 看作是复数，令 t = 0 a i 。p i p oa 2 2 岛。p i n 3 2 p 3 。p 2a 1 2 p i 。p 3 a 5p 5 一见屁= + v o i 局= u l + v l i屈= 2 + 吃i 那么可以有以下的定理： 9 浙江大学硕士学位论文 定理2 8 五次p h 曲线是p b 曲线则它的控制】贝点必殒满足卜夕u 条件： 旷三属2 口2 = l a p , 呜= 石2 所+ 专屈屐 口。：三届屈 口s 弓废 这个定理是上面定理平行的一个定理，不过换成复数来表达的而已但它要比定 理2 7 的条件更加明显简单从这里大致可以得出一些边角关系，但结果很复杂， 很难得出三次p b 曲线那样明显的几何关系 下图秘们给出了一个并次p h 曲线的宴例 2 5 本章小结 本章介绍了三次及五次p h 曲线，并分别讨论了它们的一些代数和几何性 质，并给出了当它们写成b e z i e r 曲线形式时，控制顶点所必须满足的条件我们 知道对于p h 曲线它的自由度是n 十3 ，所以三次，五次p h 曲线它的自由度分别是 六和八，这点对我们做插值提供了重要的参考 1 0 浙江大学硕j ：学位论文 插值问题是个古老而经典的问题，在牛顿时代就提出来了但对此问题的研 究，经久不衰，人们不断的提出和改进插值方法但不管人们如何改进已有的插 值方法或提出新的插值方法，有两点始终是不变的：一，插值基如何选取比如 要求插值基尽量是一些简单的，计算量小，计算稳定性良好的初等函数等等二， 插值求解尽量的简单不论做什么样的插值最后要归结为方程求解，所以在最后 求解，我们总是希望方程简单，易于求解 三次和五次p h 曲线，有一个非常突出的性质就是可以精确地求出它们的 等距线，而且多项式次数低，计算稳定但是三次p h 曲线没有拐点，自由度低 ( 自由度是6 ) ，在一定意义下做插值时，受到很大的限制但是针对这类自由度 低的插值基函数，历史上提出有别于传统意义下数学理论上的连续概念，即几 何连续，这种连续是c a g d 所特有的我们可以对三次p h 曲线做几何连续插值 对于五次p h 曲线，具有良好的自由度，做插值是可以达到一阶连续，曲线有 拐点，可以精确地求出它的等距线等等，在一般情况下，可以代替三次b e z i e r 曲 线做插值，而具有更好几何外形但是在用五次p h 做插值求解方程时，由于解 非线性方程，导致多值解，此时需要在某种意义下，选取最优的一条曲线来， 对此问题的研究将在后文展开 浙江人学硕士学位论文 第三章若干p h 曲线插值方法 3 1 节三次p h 曲线插值问题 在这一章我们主要讨论一下使用三次和五次p h 曲线作为插值基来做插 值，并和别的方法比较 定义3 1 设给定, d o ，暑和切矢写，巧若对平面参数曲线r ( t ) 满足下列条 件： r ( o ) 2p or ( 1 ) = 暑 r ( 0 ) = t or ( 1 ) = 墨 则称为曲线r ( t ) 的c 1 h e r m i t e 插值 从上述定义看，有四个约束条件，这里是从二维来来考虑问题，所以在具 体求解方程时，可以列出八个方程 我们首先来考虑一下普通的插值方法之一：三次b e z i e r 曲线做c h e r m i t e 3 插值，即p ( t ) = p i b ? ( t ) 是三次b e z i e r 曲线，其中只( i ：o ，l ，2 ，3 ) 是未知 量，所以它的自由度是八，它刚好符合c h e r m i t e 插值约束条件在外形设计要 求不高的条件下，由于b e z i e r 曲线诸多良好的性质，用三次b e z i e r 曲线作 c h e r m i t e 插值已经被广泛采用 由上一章讨论我们知道三次p h 曲线它的自由度是六，所以它不可以用来 做c 1 h e r m i t e 插值虽然如此，但是在很多情况下，要求插值曲线在端点达到c 1 阶 连续似乎太苛刻了以下我们引入一种新的插值方法它是c 1 h e r m i t e 插值的改 进，我们称之为g 1 h e r m i t e 插值，或称之为拟h e r r n i t e 插值 定义3 2 设给定e o ，彳和切矢五，互且若对平面参数曲线r ( t ) 满足下列 条件： r ( o ) = p or ( 1 ) = 暑 1 2 浙江大学硕士学位论文 r ( o ) r or ( 1 ) r , 则称之为曲线r ( t ) 的g 1 h e r m i t e 插值 从上述定义可以看出，它和c h e r m i t e 插值不同之处在于，它仅仅要求在插 值端点和切矢平行即可 3 n o ，啊分别是瓦，石的单位化向量，名和为正实数，p ( t ) = p , b t ( t ) 是 i = 0 三次p h 曲线，如果我们用它来做g h e r m i t e 插值它必须满足以下的条件： 只一昂= 兄 只一昱= 疗i a = p o + ；1 l 2 一诟，2 v o ) 仍= a + ；1 ( u o u i - - ，i ，m + “i v o ) 岛= 仍+ 三( “：一评，2 v 1 ) 实际上，我们引入了两个新的参变量兄和l u ，这样三次p h 曲线它的自由 度就变成八了，而三次b e z i e r 插值是它的约束度是八，因此方程可以求解下面 是一插值实例 1 3 浙江大学硕士学位论文 从上述分析我知道对于三次p h 曲线，它只能做到g h e r m i t e 插值，显而易 见，g 1 h e r m i t e 插值是一种几何连续，在视觉上的连续性，它在做具体的g 1 样 条插值时在效果上也很好，如下图所示 那么我们能否用三次p h 曲线做c 1 插值呢? 回答是肯定的，以下我们引入 三次p h 曲线偶的概念 1 4 浙江大学硕一i 二学位论文 3 2 三次p h 曲线偶插值 3 为了简化运算，以下的讨论我们采用复数形式将曲线p ( t ) = b 牟( f ) 中的 舅看作是只= 薯+ 咒f 即将其视为复数，为了方便讨论我们引述以下定理 定理1 2 s j 3 1 设z ( t ) = x ( t ) + y ( t ) i 为复系数多项式， 面上可以有理参数化得当且仅当z ( t ) o - - 以分解成以下的形式 z ( t ) = p ( f ) ( 以+ 1 ) g 2 ( f ) 其中p ( f ) ，g ( f ) 分别为实，复多项式，m 为零或虚部不为零的常数 3 由上述定理，可以得到以下的一些结论，尸( f ) = 0 ) 2 ( f ) 其中p ( t ) = p i b 3 i ( t ) ， 进一步设缈( f ) = z ( f ) + j ，( f ) f ，由于p ( t ) 的次数是三次的，所以x ( t ) ，y ( t ) 都是一次实 系数多项式 我们知道三次p h 不可以做c 1 插值，但是我们可以仿照经典的双圆弧插值 对任意的两个插值端点p o ，毋，用一对三次p h 曲线来进行插值这一对p h 分 别有四个端点而两头两个，分别插值于尸0 ，片，中间的两个必须重叠，而且要 保持一阶的连续性 不失一般性，我们可以做这样的假设，即插值的两个端点为只= 0 ，露= 1 分别对应的切矢为瓦和石，两条三次p h 曲线只( 滓1 ，2 ) 对应的控制顶点为置， ( i _ 1 ，2 ，j = o ，1 ，2 ，3 ) 根据上述的分析假设，我们可以得到下面的等式： p i ( t ) = c o l 2 ( f ) = a ( 1 - t ) + f l t 2 反( f ) = q 2 ( f ) = 2 ( 1 - t ) + a t 2 其中口，z ，名为待定复数对上述两式积分，可以得到下面的等式： 1 5 浙江大学硕，t ：学位论文 ( p l ，o ，p j l ，p i ，2 ，暑，3 ) = 0 ，口21 3 ，( 口2 + c r p ) 3 ，( 口2 + 筇+ 2 ) 3 】 ( 1 ) ( 岛o ，p 2 ”p 2 。2 ，昱，3 ) = 1 一( 2 + “兄+ 名2 ) 3 ，1 - ( 9 2 + 兄) 3 ，1 - , u 2 3 ( 2 ) 两三次p h 曲线必须保持c 1 连续，所以必须满足下列条件 口= 厄，= 届，名= ( 3 ) 2 2 + 矽+ 五+ j l = 0 ，h = ( 瓦+ 巧) 一3( 4 ) 由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 我们可以求解出 a c = 厄丸= 厄 = 一吉( 厄+ 而三厄+ 厄) 2 锄 = - - , d 一丢( 厄+ 厄) 三( 厄+ 厄) 2 嘞 由上面的式子，可求解出两条三次p h 曲线的控顶点，实际上求解得到的 是四个不同样的解，也就是会有四对不同三次p h 曲线偶满足插值条件，究其 原因，不难发现是求解非线性方程所致，也就是满足代数方程的曲线，未必在 几何外形上满足要求 于是对此问题提出疑问，如何尽可能的简单从这四条曲线中选出外形好曲 线，这实际上也就是对曲线外形的一种优化既然要择优，那么必须对曲线的外 形必须要有一个择优的标准，即如何判断一条曲线是一条好的曲线这不仅在理 论上有很重要的意义，而且在实际运用中也很重要，对此问题的讨论将是本文 的中心内容之一下面四幅图是用三次p h 偶所做的插值，分别反应出四种情况， 其中第一幅图给出了它的控制多边形一般来说，从中可以挑选出一条外形最好 的曲线来做外形设计 1 6 浙江大学硕士学位论文 也打；确“戊二：i ：j 下面这幅图是用三次b e z i e r 曲线来进行比较，将会看到不少方法来它是基 于这样的对比，从而选出较优的一条曲线 3 3 五次p h 曲线c 1 h e r m i t e 插值 5 我们仍然采用复分析的方法来讨论问题，设p ( f ) = a 研( f ) 此处的只看作 1 7 浙江大学硕士学位论文 是复数，那么为了方便讨论我们取c o ( t ) = 1 ，g ( t ) = 口( 卜f ) 2 + f l ( 1 - t ) t + t 2 其中 口，f l , 7 是未知复变量参数再由p ( f ) = p i b t ( t ) 是p h 曲线，所眺我们可以得到 下面的等式 p ( f ) = ( o r ( 1 一f ) 2 + f i t ( 1 - t ) + y t 2 ) 2 再由插值的端点条件有 口2 = t o7 2 = 五 ( 1 ) 再利用积分f p ( t ) d t = a 一岛我们可以得到下面的等式 曰一昂= 三口2一片= 去筇 ( 2 ) 乞一罡= 嘉2 + 古筇只一只= 而1 办 ( 3 ) e 一只= j 1 y 2 ( 4 ) 我们再令d = 只- p o ，再将( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 各式分别相加我们可以得到下面 的等式 2 + 3 ( a + r ) f l + 6 ( t o + 正) + 2 缈一3 0 d = 0 ( 5 ) 联立( 1 ) 式和( 5 ) 式解一元二次方程细，我们可以得到以下的结果 口= 厄 y = 属 ( 6 ) ：塑趟亟萼亟巫巫 从表面上看( 6 ) 式有八个不同的解，但是实际上只有四个不同的解我们 再将求解的结果代回( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 式，求出五次p h 曲线的控制顶点 满足代数方程组( 6 ) 的有四个不同的解，那么从几何外形来讲，这些解是 不是都满足需要呢? 从下面给出的具体实例，知道并不是所有的情况都符合我 们需要因此从这四条曲线中挑选出一条外形最好的曲线就成了研究的必要了 下面就是用五次p h 曲线做插值的四种不同的情况，并绘制了五次p h 曲线的控 制多边形 1 8 浙江大学硕士学位论文 0n020 3o 40 5n n 70 0 j f j ? i 蛩。 ，j 7 、f、 一一一。 ，上一一i，。j、j，：-。一 3 4 本章小结 本章介绍了三次及五次p h 曲线插值问题从本章的讨论我们知道，三次p h 曲线不可以做c 1 h e r m i t e 插值，只能做g 1 h e r m i t e 插值但是我们可以用三次 p h 曲线偶来做c 1 h e r m i t e 插值 从某种意义讲，三次p h 曲线偶和五次p h 曲线在很多方面有相似之处，比 如都可以用来进行c h e r m i t e 插值，插值求解方程式会出现四条不同的曲线而 这四条不同的曲线往往并不是都能满足外形设计的要求这样当我们用上述曲 线进行插值时，就要挑选出一条外形好的曲线 实际上这里就涉及到两个问题：一、什么是好的曲线，即是曲线好坏的评 判标准问题二、有了评判的标准之后，接下去如何快速，有效的挑选出最好的 曲线文章以下的内容将围绕着这两个问题展开 1 9 ， 哺 浙江大学硕七学位论文 第四章曲线外形的相对旋转角优化判别 4 1 参照曲线的选取 由上一章我们知道，用三次p h 曲线偶和五次p h 曲线插值时，会有四条不 同的插值曲线满足我们的代数方程，而这四条曲线往往在外形未必都能满足我 们的要求实际运用中不可避免的一个问题出现了，我们如何从中挑选出一条好 的曲线呢? 当然我们通常不直接画出曲线，就能够对曲线的形状好坏要有一个 大致的判别，所以首先第一个问题是对于曲线形状的好坏，必须要有一个评判 的标准，即是如何衡量曲线的外形的好坏 根据经典的微分几何我们知道，曲率是衡量曲线外形的一个重要的数学方 法之一，它反映了曲线在一点出的局部弯曲状况，是一个局部量，但很难反映 曲线的整体情况，所以要反映曲线的整体情况我们通常对曲率做积分对于这种 研究方法我们通常称为精确方法我们知道拓扑，代数几何等数学分支对曲线的 分类也有相关的研究这些方法只是对曲线做一个大致的研究，没有做精确地外 形研究，虽然如此，但以上学科的研究方法也还是可以应用到我们当前研究上 来 随着研究的进一步的深入，新的方法不断的提出其中有一个重要的趋势， 就是借鉴抽象的代数几何方法这种方法虽不精确，但是在一定意义下，还是很 有价值的方法，理由是方便，计算量小通过不断的数值试验我们发现用五次p h 曲线做插值时，四条满足插值方程的曲线并不是没有规律，当控制多变形有比 较好的形状时，曲线也会有比较好的外形，但是这并不是一个等价条件某些特 殊情况下，不好的控制多边形也会有好的曲线外形，这样我们很难从控制多边 形的形状来进行判断其实更重要的一点是对于控制多边形的好坏我们很难有 一个精确地定义不过这种思路启发了我们可以从另外一个角度来思考问题，也 就是我们对曲线形状好坏的判断并不需仅仅要局限于曲线自身的性质来判断 我们可以从曲线自身之外的东西来考虑问题，也就是引进曲线自身之外的曲线 来来进行比较判断，但是有没有这样的曲线，从实际操作方面来讲，这个问题 回答是肯定的，是有这样的曲线比如我们可以选择三次b e z i e r 曲线，而且三次 b e z i e r 作插值可以达到一阶连续 浙江大学硕士学位论文 一般来说，低次的b e z i e r 的外形是被广泛接受的，下面是一个例子( 实线 是五次曲线，虚线是三次b e z i e r 曲线，实得是五次p h 曲线控制多边形，虚的 是三次b e z i e r 曲线的控制多边形) 在通常情况下，五次p h 曲线和三次b e z i e r 曲线做同样的插值时，相应的 两条曲线在大多数情况下有相似的外形一般来说，当三次b e z i e r 曲线得不到好 的曲线外形时，别的曲线做插值也很难做的到得从际应用来角度来看这样比较 是合理的，因为三次b e z i e r 曲线已经成了应用标准我们还可以看到，基于这样 的比较的研究方法的文献也不少，比如文献 2 4 ，【2 5 ，【2 6 】，【2 8 】， 2 9 】等等而且这 些文献的作者做了进一步的推广，提出了无逆向切向量和速端弯曲数等概念这 些概念是基于代数和拓扑学方面的抽象概念，通过这些概念，来对三次b e z i e r 曲线和五次p h 曲线的相似性来进行比较这些方法的优点是运算量很小，仅仅 只需要判断插值的端点切向量，就可以选出一条好的曲线但是这些方法不足之 处是不精确，其可靠性值得怀疑，毕竟拓扑学对曲线的分类很粗糙的 4 2 相对旋转角优化判别方法 由微分几何我们知道，对于曲线的整体外形的状况研究，很难有个简单的 数量来衡量，这就给我们研究带来了很大的困难如何寻求一个好的数学工具来 描述曲线形状，使得曲线外形能够满足实际应用的需要? 2 l 浙江大学硕士学位论文 我们可以这样来考虑问题：从曲线本身很难有一个精确地量来衡量自身的 外形的好坏，我们可以通过引入参照曲线来进行比较通过以上的讨论，我们知 道三次b e z i e r 曲线是我们作为参照曲线的理想选择，然后我们再用五次p h 曲 线插值所得到得四条曲线和参照曲线作比较现在的问题是我们如何来比较，以 前f a r o u k i ，h p , m o o n 等人的方法是用无逆向切向量，绝对速端弯曲数、弹性 能量和绝对弯盐数等等 本文将提出另一种方法，它结合了精确方法和比较方法的各自优点，即是 相对旋转角的算法，在此之前我们首先介绍几个定义和引理 定义4 1 ：曲率的定义，空间曲线c 在p 点的曲率为