（应用数学专业论文）亚纯函数及代数体函数的奇异方向.pdf

摘要 本文共分为四章 第一章，主要介绍了关于亚纯函数及代数体函数的b d r e z 方向，t 方向的国内外研究 现状，复数域上值分布理论的基本概念，成果；以及本文的研究内容和创新 第二章，主要研究了有穷对数级亚纯函数与它的导函数的一些性质，得到了两个结 果其一是类似于日n 姗m 方向的一个结果： 定理1 设，( z ) 为复数域c 上具有有穷对数级a 的超越亚纯函数，并且存在三个有穷的 复数o ，b ，c ，满足6 0 ，c o ，6 c ，对于任意的正整数七，则有 百堕i 2 盟三1 2 衅三塑煎! 生盟：a - 1 r_+109logr 其二是类似于有穷级亚纯函数充满圆序列的一个结果： 定理2 设，( z ) 为复数域c 上具有有穷对数级( 2 a o 。) 的亚纯函数，如果射 线( ) = 如：n r 鲈= ) ，( os 如 2 丌) 是函数，( z ) 的对数级为a 一1 的b d r e f 方向， 则存在一列圆序列： d ：i z 一乃i 勺l 乃l ；乃2 l 勺i e 咖；妻恐i j = o o ；粤恐勺。o ；o = 1 ，2 ，3 ，) - 使得，( z ) 在每一个圆d 内取任意的复数口至少( z 凹i 勺i ) 1 一山次，至多除去一些在两个半径 为e 一的圆毋，岛内的复数，并且有l i 玎1 而= 1 第三章主要探讨了无穷级亚纯函数的功向的问题我们基于郑建华，郭辉【1 6 _ 1 1 关 于t 方向的一些结果，得到如下结论： 定理3 设，( 。) 为复平面c 上级为a = 的超越亚纯函数，则函数，( z ) 一定具有一 条t 方向 定理4 设，( z ) 为复平面c 上级为a = 的超越亚纯函数，则函数，( z ) 与它的各阶导函 数，( ( z ) ，= 1 ，2 ) 有公共的t 方向 第四章。主要介绍了有穷代数体函数的t 方向及其日d r e z 方向之间的关系得到有穷 级代数体函数必存在一条即亨向： 定理5 设叫( z ) 为 o o 内 值代数体函数，级为p 且满足o p ，“( z ) 是其型函 数，贝i j 存在一条射线b ：凹够= 如，( o 如 。 对任意的复数都成立，至多有2 个例外值 并且得到了劝向与强b d r e f 方向、最大型b 0 r e f 方向以及b o r e f 方向之间的关系的三 个结论 关键词：亚纯函数；代数体函数；奇异方向；b 0 1 e 1 方向；t 方向 a b s t r a c t t h et h 铝i sc o n s i s t 8o ff o l l rc h p t e 据 i n c h a p t e r l ，w e m a h 衄酬u c e t h e 8 t a t 、1 8o f r e o e n tr 咖c h 髓a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t h ei k r e i i l i r e c t b 璐a n dtd i r e c t i o 璐f o rm e r o m o r p h i cf i l n c t i o n 8a n d 柚g e b r i o df i l n c t i o n 8 a th o m e 眦do v e r 8 e a 8 a sw e ua 88 锄eb a s i cd e 缸t i o 珊a n df i m d a m e n t a 王r a 虬l hf o ft h e v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo v e rt h e 蛐p l e x 丘d d m o r e o v 盱w e8 i m p l yi n t r o d l l c er 嘲e a r d h 髑 a dh l n o v a t i o n 8o ft h i st h e s i 8 hc h a p t e r2 ，w em a i n l yd j s c u 躅s o m e 曲矗| a c 蛔f o rm 凹o m 唧h i cf i l n c t i o 衄w i t h 舢t e1 0 鲥位i m i co r d e r 蚰di t sd e r i 、，a t i v 岛t h e nw eo b t a i 协瑚l d 协t h e ei 88 i m i l 缸 t ot h eh m l a nd i r e c t 妣： “ t h e o r 哪! l e 玎( z ) b eot m n 8 c e n d e 耐口lm e r d m 唧凰c m d t d n 埘琥如l i t e 蛔嘶t f h n l c d 祀e ra 讥绕ec d ，印妇再e c dc ，甜m 琥e 代e 蜊s 拈玩僧e 加缸ec d 竹l p f e z 伽m 6 e 借口，6 ，c ，t “h l c s 耐趣甩6 o ，c o ，6 c ，玩饥e o 钟 百堕逝型址里掣型型! 三尘! ：a 一1 r_+loglogr ，d r c hp 0 8 t 咖ei n 印e r 七 孤ed 舭r 缸硝m 妇r 幻冼e 倒l 掘弦僦阳彻叩 引c 洳船埘掘励讹d r d 钟 t l l e 叫咖2i 威，( z ) b e8m e m m 唧h i cf i l n c t i 们t h6 n i t el o g a r i t h m i co r d e rai n t h e 咖p k 丘e l dc ，i f t h er a d i a l ：( 舶) = 0 ：o 憎z = ) ，( os 如 2 7 r ) ，i 8ab o r e l d i r e c t i o no f l 鲫h m i co r d 盯a 一1 f o r ，( z ) ，t h e n t h e e 菇s t sa l i 8 to f d i s c s ： d ：i z 一句i 勺i 刁i ；乃2 i i 沙；妻器i 勺i = ；兰怒勺。o ；d = 1 ，2 ，3 ，) s u 出t h a t ，( z ) t a k 朗盯b i t m r yc o m p l 既删m _ b e r 口f o ra tl e 晒t ( ：叼i i ) 卜南i ne 唧d ，a t m o s t 旬【唧t f o r m e 蛐p l e xn l l m b e 墙i n t l l e t w o d i s c s 研，岛w h e 硒d i 璐i 8e 一一，衄d h m 玉= 1 j _ o o 。 h c h a p t 盱3 ，b 鹪e do n 删er 曙l 她咖u tt d i r e c t i o no fz h e n gj i 出l a 柚dg u o h l l i 【那，期，w ed i u 韶t h ep r o b l 锄0 ftd i r e c t i o nf o rm e r 鲫o r p h j cf i m c t i o 衄硒t hi n n n i t e o r d e f 蛆do b t a i nt w o 瑚l l l t sa 8f b o w s ： t h e o r e m3 厶，t ，( z ) kd 打哪c e 豫庇竹础m 册m 唧 记知n c 缸d 行 f 地d r 讧e ra = o o 讯琥e m p z 凹五e 比c ，t j l e t l ，( z ) 彻酊舰占dt d f r 犹“d n t h r 哪4k f ，( z ) 6 en 托伽。饥如t i 删m e m m o 印 耙知佗c 缸o n 埘琥d 砌e r a = 伽 舭c d 唧k 五e l dc ，班e n ，( z ) d 泐d e 砌d 蜘) ( z ) ，= 1 ，2 ) ， 删et j l e 付肌 t 旃r 优抗d 珊 i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i n 跚er 豳u l t 8d b o i l ttd i r e c t i a n db o r e ld i r e c t i o nf o f 出e b r o i df i l n c t i o 璐丽t h 丑n i t eo r d e r ： t l i e 叫e m5k t t i ，( z ) 6 enu 似k 甜嘶b b m f d 扣仃硎d ，l 埘地伽程ed 耐e r p ( o p o o ) 讯 o o ，口，l d t ( 名) d 幼赡加c 托d 仃o ，叫( z ) 砚e ，l 加rn 而 托付p 硎“睨舢m 6 e r i i i ，( o e 吾) ，t k 佗凹缸缸dm d i 口db ：口r 9 z = 岛，( o 如 。 r - + i r t u l 加re 口c m p f 凹舢m 6 e rn 讥地e 鲫弘f n r 嘲i o 竹( 如，s ) ，p o s s i 6 坷翻鼢b p t ，o r 耐m d 耵2 u c d 唧l 凹n 狮；6 e 倦 血砌巍洳b 雠d 6 t 斫n 玑舰。帆c 沁l d 邶t n 舷c 讹t 威僦“o 邶幻m 捌m 比坷b o 埘 威r 氍洳仃马b o 他j 出化以t d n s 巧l 口哪t 鲫，e 似e l f b d 化zd i r 优“d 伽 k e yw b r d 8 ：m e r o m o r p h i cn m c t i o 璐；a l g e b r o 试f _ i l n c t i o 姗；s i n g l l l a r d i r e c t i o 璐；b o r e ld i r e c t i o 船；t d i r e c t i 0 璐 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：专告尹日期：多夕年月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：名惑亍一日期：9 年j 月印日 导师签名：斗杪尊日期：矽7 年j 月f 日 第一章引言 1 1课题研究意义及国内外现状分析 十九世纪末亩b d 佗减功地将雪a 啊豇凡i 唧形和正日i 如m 们口等人的关于解析函 数取值的若干独立成果结合起来，证明了目b m 庭理，从而产生了值分布论的萌芽j 9 笏年， r e 似础n n 劝值分布论的发展做出了划时代的贡献，创立了e t 埘城m n 理论，构建了值 分布论的基本理论s 口多年来，值分布论在j i 似t l 托肌口理论的影响下取得了巨大的进展 近年来，这一理论不断深化和完善，一些历史遗留问题逐步获得解决同时，它向复分析 的其他分支，如我们所要论述的亚纯函数和代数体函数的协他防向和功向渗透较深 辐角分布论揭示了亚纯函数深刻的值分布论性质j 鲥鲜，g 。，确n 应用正规族理论 证明了超越整函数九拓n 方向的存在性，从而开创了幅角分布论的研究j 9 船年，g v 砒彻l 应用 r e 抛施肌d 理论进一步证明b d 他防向的存在性，大大促进了幅角分布论的发展 在本文中，我们主要是研究两种类型的奇异方向jb d n 2 防向与助向首先，b d 他2 方 向的国内外现状分析如下： b d 代劣向是较九缸n 方向更为精确的奇异方向所谓勘他防向指的是：设函数，( 2 ) 于 开平面上c 是亚纯的，级a 为有穷正数，则必存在一条由原点出发的半直线b ：口憎z = 如，( o 2 丌) ，使得对于任意正数和每个复数。都有 瓦型掣“ ( 1 ) r + o 。l o g r 至多可能除去两个例外的复数具有这种性质的方向我们称之为函数，( o ) 的a 级肋化防 向 一个重要而又基本的问题是肋代防向的分布问题，j 9 2 筠：，g 讫鼢彻在文1 1 】中证明 了每个有穷正级亚纯函数至少有一条肋代防向；之后杨乐和张广厚在文【2 】中彻底解决了 有穷级亚纯函数的b d 他防向的分布问题 整函数的b d 他2 方向分布问题是由删n 和矸，e l 幻僦确 决的1 ，碱啪证明了b d ”2 方 向的存在性后。在文1 1 】中提出了一个重要而又困难的问题：亚纯函数是否与其导函数具有 公共的b d 化2 方向9 这个问题被称之为蹦r d ，l 猜想j ! f 纪如岫曾对整函数的情形解决了这 个问题，后来杨乐和张广厚对此进行了深入研究，杨乐首先在文1 2 3 】中得到了关于充满 域的一个一般性的结果，从中可以推出，在某些条件下导函数，( z ) 的b d 他l 方向一定是函 数，( o ) 的b b 化防向；而张广厚在文【4 】中研究了何种情况下亚纯函数，( o ) 的肋代防向一定 是导函数，( z ) 的b b 他防向的问题张杨两位学者的研究都是针对有穷正级亚纯函数而言 的，即，如果有穷正级亚纯函数，( z ) 以任意复数口为b b 他删外值，那么函数，( z ) 与其导函 数，( o ) 存在公共的b o 佗l 方向 1 9 舛年，高宗升在文【5 1 中通过改进的e w 捌咖。不等式，构造了不但适合有限正级和 无穷级，同时也适合于部分零级亚纯函数的充满圆序列，进而证明了这类函数口d 代2 方向 的存在性 j 9 9 仵，庄圻泰在文i 嘲中得到在某种情况下，导函数，( z ) 的b d 他2 方向为函数，( o ) 的 口d 他防向i 以及在另外的情况下函数，( 2 ) 与它的各级导函数，( ) ( z ) ， = 1 ，2 ，) 有公共 的b d 他坊。向 1 j 9 9 晌：，朱经浩在文f 中证明了有穷正级亚纯函数，( o ) 的b d 代2 方向，也是，( z ) 或 0 ，( z ) ) 或( 0 + 1 ) ，( o ) ) 的b d 他防向 册年，张庆德在文【l l j 中得到单位圆内的有穷正级亚纯函数及其导函数的b d 他泮径 分布是完全一致的 2 d 以年，朱经浩在文【q 中又讨论了有穷正级亚纯函数与其导数的b o 他防向的问题， 他利用亚纯函数值分布的基本方法，从集合关系的角度，探讨了忱“m 猜想，证明了， 相应于每个有穷正级亚纯函数存在一个含无穷多元素的有穷正级函数族，对其中每个函 数仇拓m n 猜想是成立的 2 d 倒年，t f e - y up 层姐m 锄在文【1 q 中得到存在零级的亚纯函数，( z ) 与它的 导函数，( o ) 没有公共的助化巧亨向的结果 黝以年，陈特为在文f 1 2 】中通过计算，证明了一类满足条件， 甄掣：( 2 七 o o ) r _ + j o g l o g r 的零级亚纯函数的充满圆与b d 耐方向的存在性 另外代数体函数的肋他坊向和充满圆也是函数值分布论研究的基本问题之一关 于其b o 化防向的存在性，仇l l m 竹，砌让曲，删o ，吕以辇和顾永兴等人先后进行过研究 文1 3 l - 删，最终由吕以辇和顾永兴给予解决关于其充满圆序列的存在性，最近由孙道椿 予以解决对于有限正级亚纯函数，r d “曲曾证明，其b o m 2 方向决定一列充满圆 删睥，柳学坤在文【1 5 】中通过利用型函数的方法，证明了有限级亚纯代数体函数，存 在下述性质：假设有限p 级u 值的代数体函数叫( z ) 满足 面掣：+ o o r _ + + l o g r 则必然存在方向b ：8 叼。= 如，使得对任意的6 ，( o 6 i ) 任意的复数o ，有 甄播鞘器乩r _ + o o i o g “【吖一1 0 9 l o g r 成立，至多除去勋个例外值，其中“r ) 为代数体函数如( z ) 的一个型函数 2 # 年，孙道椿在文【1 4 】中证明了复平面上满足一定条件的零级代数体函数至少存在 一条强岛m 2 方向r 定义见第四章j ，并且它还是通常的关于型函数的肋化防向 尽管国内外现在仍有许多的学者在做这方面的工作，但是，要彻底解玩跏竹猜想，目 前还有很大的实质性困难 近年来由于1 国所棚猜想的实质性的困难，国内一些学者转而研究另一类奇异方向? 鲂向r 定义见第三章j t 方向是郑建华2 口噼在文【1 6 】中提出的，并且还猜想满足条件 面掣：+ 。m 2 十o o r 一+ 。岫r r 的亚纯函数，( 。) 一定至少存在一条功向此问题由郭辉于2 叫年在文【1 1 中解决此外对 于功向的研究还有如文【1 8 2 q 等结果 2 1 2复数域上的值分布理论概要 芬兰数学家肌踟础彻8 于2 口世纪辨代创立的亚纯函数值分布论是研究亚纯函数及 代数体函数的口d 他防向和t 方向的理论基础，因此首先扼要介绍一下复数域上的值分布 理论 首先约定，本文总是用c 表示复平面，且e = cu o o ) 表示扩充复平面 定义j 2 j 对于z 0 ，定义z 的正对数： 咖= 警。象。 e 砌n 眦引进了以下的几个函数 定义j 2 君设函数，( 2 ) 在h r ，( o r + o 。) 上是亚纯的，对于o r r ， 1，撕 m ( r ，) ；云1 0 9 + i ，( n l 如， ( r j ，) ；f 煎掣d t + n ( o ，) l o g r j 0 o 丙( r ，) ；厂盟掣出+ 瓦( o ，) 1 0 9 r ， j o o t ( r ，) 2 m ( r ，) + ( r ，) ， 其中n ( r ，) 表示函数，( z ) 在l 。l r ( 0 r r o o ) 上的极点个数，且重极点按重数计 算n ( o ，) 表示，( z ) 在原点处极点的重级，当，( o ) o o 时，则n ( o ，) = o 瓦( f ，) 表示重级 极点只记一次时，( z ) 在r 上的极点个数我们称m ( r ，) 为，( 。) 的均值函数，并且分别 称( r ，) ，( r ，) 为，( z ) 的密指量和精简密指量，称t ( r ，) 为，( 。) 的特征函数如果设口为 任一有穷复数，我们可以如上定义，( z ) 的口值点的均值函数，密指量和精简密指量，以及 特征函数，分别记为：m ( r ，7 毛) ，( r 7 毛) ，丙( r ，南) ，t ( r 7 毛) 定义i 2 3 设，( z ) 于开平面亚纯，( z ) 的级入与下级肛分别定义为特征函数r ( r ，) 的 级与下级即 入= 熙s 卸警， p = 熙饥，警 e 佣m 汛眦第一基本定理： 定理2 j 设，( z ) 于吲 r ( ) 内亚纯若n 为任一有穷复数，则对于o r r 有 ，t ( r 赤) = t ( r i ，) ) + l o g 川十e ( 。，r ) ( 1 2 ) 其中白为7 者二在原点的死咖r 展式中第一个非零系数，而 l e ( n ，r ) i 1 0 9 + i 口j + 1 0 9 2 3 通常将口j j 简写为 毗忐) = 毗，) + 0 ( 1 ) 在e 似崩彻，口第二基本定理的证明中，用到下面的重要的对数导数引理： 定理i 2 2 设，( z ) 于 丑( o o ) 内亚纯若，( o ) o ，则对于o r p r 有 m ( r 等) 仉 l o g + 蚶南+ l o g + ；+ l o g + 击+ 崦+ p + 崦p i ，) ) m ( r 字) 仉 1 + 1 0 9 + 蚶南+ l o g + ；+ l o g + 寿+ 崦+ p + 崦+ t ( p ，) ) 其中伉是仅依赖于后的常数 e t 懈n “彻a 第二基本定理是值分布论理论中一个用途十分广泛的定理： 定理2 占设，( 。) 于开平面亚纯，不蜕化为常数，又设如；1 ，2 ，口) 为口( 3 ) 个 判别的复数供中可以有一个复数等于无穷，则 旷2 弦( r ，) 善( r ，志) _ 眦) + 眠，) ( 1 3 ) 其中l ( r ) = 2 ( r ，) 一p ，j ) + ( r 刍) ，且 洲) 一( r ，抄善m ( r ，忐) + d ( 1 ) ( 1 4 ) 。 口= l 且 s ( r ，) ；d t ( r ，) ) ( r o 。) 可能须除去一个集合e ，其线性测度为有穷 关于e 口a 砌t l 舭第二基本定理中的余项s ( r ，) ，根据定理j 2 贿如下估计j 定理2 4 设函数，( z ) 在整个复平面c 上是亚纯的，s ( r ，) 由定理j j 绅确定，则 当，( z ) 为有穷级时有 t s ( r ，) = d ( f 凹r ) ，( r o o ) ( 1 5 ) 当，( z ) 为无穷级时有 s ( r ，) = d ( f d g ( r t ( r ，) ) ) ，( r o o ( 1 6 ) 并且r 不在f 内，其中的e 是一个线性测度为有穷的集合 对于复数域上的非常数的亚纯函数，以后我们总是用s ( r i ，) 泛指o t ( r ，) ) ，( r o 。) 当，( 2 ) 的级为无穷时至多除去一个线性测度为有穷的吲拘集合，但e 每次出现时所代表的 集合不一定完全相同 三沁m 口竹不等式在复域中值分布理论的地位是比较重要的j 定理l 巴5 函数，( z ) 于旧 r ( o o ) 内亚纯不蜕化为多项式若为一正整数， 且，( o ) o ，o o ；，( l i ，m 1 o 以及 + 1 ) ，( + 2 ( o ) ( ，( 功( o ) 一1 ) 一 + 2 ) ，( 蚪1 ( o ) 2 o ， t ( r ，) ( 2 + ；) ( r ，；) + ( 2 + ；) 丙7 i 害j ) + 矿( r ，) 这里 2，( 1 )1，1 )f ( 女) 矿( r ，) = ( 2 + ；) m 7 茜= 南+ ( 2 + ；) m ( r ，+ m ( r ，字) + 沁篇m 坤+ 却臀i+ i m ( r ，知) + 4 + ( 2 + ；) 蜿i 型海端1 i 1 k i+ 1 ) ( o ) ( ) ( o ) 一1 )i + i 崦i 两可丽蒜希券考毒毛瓣1 复数域上的e 抛础肌第二基本定理的精简形式也是比较常用的 定理j 幺疗设函数，( 。) 在整个复平面c 上是亚纯的，n t ，扣= l ，2 ， e = cuo o 扩充复平面上的口3 个相互判别的复数，那么 ( g _ 2 盹，) 妾砒击m ( r ，) g ) 为g ( 3 ) 为 ( 1 7 ) 以下的b d 他碍l 理也是我们在下文的证明要用到的一个比较重要的结果 定理j 2 7 设t ( r ) 为r o r + o o 上连续非减的函数，且t ( r o ) 1 ，则至多除去一 个关于r 的集合e 恒有 m + 高) 灯( 吐 ( 1 8 ) 且e 的线性测度不超过2 1 3 本文的研究内容与创新 本文研究的内容是有关亚纯函数与代数体函数的两类奇异方向：b b m 防向和t 方向 的问题 在本文第二章中，我们在zy p e t 盯僳e m 【1 0 圈文中的部分结果的基础上。得到两个 有关有穷对数级亚纯函数的结果： 定理j 只j 设，( 。) 为复数域上c 具有有穷对数级a 的超越亚纯函数，并且存在三个有 穷的复数口，6 ，c ，满足6 o ，c o ，6 c ，对于任意的正整数七，则有 ，百堕殴止竺出蝉睾竖韭趔：a - 1 r 一+ o o1 0 9 l o g r 定理j 只2 设，( 。) 为复数域c 上具有有穷对数级a ，( 2 a o o ) 的亚纯函数，如果射 线( ) = p ：甜w 2 = 岛 ，( o 2 7 r ) 是函数，( 2 ) 的对数级为a l 的b d 化功向，则存 在一列圆序列： l ：i z 一乃i 勺l 勺i ；乃2 i 乃i e 瓶；磐已i 勺i = o 。；墨恶勺；o ；o = 1 ，2 ，3 ) ，十，+ 5 使得，( 办芷每一个圆d 内取任意的复数a 至少q 叼i i ) 1 一白次，至多除去一些在两个半径 为e “的圆岛，岛内的复数，并且有j i m 而= 1 j + 日 在本文第三章中，我们基于郑建华口嘴学者关于亚纯函数舫向的一些成果，获得 了有关无穷级亚纯函数t 方向的两个结果： 定理只3 设，( z ) 为复平面c 上级为a = o o 的超越亚纯函数，则函数，( 砂一定具有一 条r 方向 定理j 只4 设，( z ) 为复平面c 上级为a = o o 的超越亚纯函数，则函数，( z ) 与它的各阶 导函数，( 砷o ) ，( = l ，2 ) 有公共的r 方向 在本文第四章中，我们得到一个关于代数体函数z 亨向与县b 珲劣向之间关系的结果： 定理j 卫5 设伽( z ) 为l z l 内u 值代数体函数，级为p 且满足o p o 。，t ( z ) 是 其型函数，则存在一条射线b ：哪；= 岛，( 0s 如 o ，了丙i 广刈 任意的复数口都成立，至多有钧个例外值 推论j 设以z ) 为h o o 内的 值代数体函数，它的级p ，o ， ，如果 b ：甜曾z = 如，( 0 2 7 r ) 是t l ，( z ) 的一条? 方向，则b 一定是t ，( z ) 的一条强嚣b 他防向 推论2 设加( 2 ) 为 o 。内的u 值代数体函数，它的级p ，0 p o o ，如果 b ：n 叼z = 如，( o 2 7 r ) 是加( 。) 的一条筋向，则b 一定是鲫( ：) 的一条最大型b o 化劣向 推论，设叫( 2 ) 为m 内的u 值代数体函数，它的级p ，0 p o o ，如果 b ：口r 9 。= 如，( 0 o 的正的增函数，如果有 戛黜以 ( 2 1 ) r _ + l o g l o g r 、 a 为有穷常数，则称函数，( z ) 具有有穷对数级j 如果俾 中的a 为o o ，则称函数，( z ) 具有无 穷对数级r 见文献嘲， 定理2 埘设，( 。) 是复数域c 上具有有穷对数级a 的非常数的亚纯函数，如果，( z ) 满 足下面的增长条件 戛器= 慨 ( 2 z ) 则存在一方向： ( 如) = p ：口r g 。= ，( o s 岛 2 7 r ) 使得对于任意小的正数s ，( ) 和任意的口e = cu o o ) ，有下列等式成立： 甄堕唑要剑：a 1 ( 2 3 ) r - + l d 口d 口r 、 至多除去两个例外的d 这里的n ( r ，e ，= n ) 表示方程，( z ) = n 在以下的角域 p ：i 口憎z 一如i s ，吲 r ) 中的根的个数，并且计重数射线( 如) 被称为亚纯函数，( 。) 的对数级为a l 的且b 他0 亨 向 zy p e 切- c 死e ”在文献中证明了如下重要定理j 定理2 j b ，( z ) 是复数域c 上具有有穷对数级a 的超越亚纯函数，那么对于任意的正 整数七，有下式成立二 百堕坐! 型三1 2 ：盘塑塑三! ! ：a _ 1 本章就是以定理2 姐和定理2 j b 为基础，以第二部分中的定义，引理为辅助，得到了 如下的结论： 7 定理2 j j 设，( 2 ) 为复数域上c 具有有穷对数级a 的超越亚纯函数，并且存在三个有 穷的复数n 6 ，c ，满足b o ，c o ，6 c ，对于任意的正整数则有 面堕唑止堕塑些竺塑兰亟幽：a - 1 r_+logloer 我们知道，复数域c 上具有有穷正级a 的亚纯函数存在一列充满圆序列，那么对于复 数域c 上具有有穷对数级a 的亚纯函数，是否也有同样的性质p 那么这个问题是肯定的， 结果如下： 定理2 j 2 设，( z ) 为复数域c 上具有有穷对数级a ，( 2 a o 。) 的亚纯函数，如果射 线( ) = 仁：o r g z = 如) ，( o 如 o = 1 ，2 ，3 ) 其中g 是由7 - 和七决定的常数 一 引理2 2 4 口1 l 设，( z ) 是复数域c 上的具有有穷对数级a 的亚纯函数，并且存在三个有 穷的复数o ，6 ，c ，满足6 0 ，c 0 ，6 c ，则有 t ( r ，) ( r ，= n ) + ( r ，= 6 ) + ( _ ，) = c ) 一( n 丽去西) + q ( r ，) ( 2 5 ) 其中的q ( r ，) = o ( f 凹r ) = o t ( r ，) ) 引理2 2 5 【篮】设，( z ) 是复数域c 上非常数的亚纯函数，并且对于任意的n 记，则有 计数函数( r ，= 口) 的对数级为k ，( n ) + 1 ，这里的。( d ) 是n ( r ，= 8 ) 的对数级，并且 有a l ( 8 ) a 一1 引理2 2 6 设，( z ) 是复数域c 上具有有穷对数级入的超越亚纯函数，则对于任意正整 数七，有，( 。) 和，( 砷( z ) 具有相同的对数级和相同的对数下级 p = j 掣枣甓擎 证明：由定理2 j e 可知m ( r ，掣) = s ( r ，) f 见文献酬，定理j 别，且有 s ( r ，) = “t ( r ，) ) 倪文献删定理j 砂，另外我们可得到 t ( r ，( ) = m ( r ，( ) + ( r ，( ) 嘶 ，) + m ( r 等) + ( 棚+ 腼( r ，) ( 川阢，) + m ( r ，等) = + 1 ) t ( r ，) + s ( r ，) 因此我们可以得到 a 蛔( ，) ( ，( ) 另一方面，应用引理2 2 研口县白佗引理，可以得到 凡。( ，) 凹( ，( ) ) ，( r o o ) 9 因此有 a 蛔( ，) = ( ，( ) ，( r ，o 。) 引理2 2 7 设，( z ) 是复数域c 上具有有穷对数级a 的非常数的亚纯函数，如果，( 。) 在 角域? 巩 n r 9 z 如 上没有对数级为a 一1 的b d 代坊向，则对于充分小的，任意的正数n ，存在三个相互判别的 复数，p = l ，2 ，3 ) 和正数7 - ， a l 使得 3 乏二n ( 1 。i 砷n ( 口1 + q 锄- g z 如一q ) ，= ) ( 1 。g r ) f ( 2 ，6 ) 证明：对于任意的p l + o ，如一卅，都有从原点出发的射线n 叼z = 妒不是函 数! 妒) 的对数级为a l 的助他巧亨向，那么则存在三个相互判别的复数岛( ) ，u = 1 ，2 ，3 ) ， 正数s ( 劝和正数r ( ，( r ( 纠 r ) ，使得对于充分大的r 有 几 ( i z i r ) n ( ( 妒一( 妒) s ”g z 妒+ “) ) ，= 岛( 钟) ( 1 。g r ) t 并且对于n ( 铆，r ( 妒) n ( 钟 a l ，存在 ， “( i 纠g ) n “卜“) 螂鲥机( 纠，2 附加南 厂黯器= 厂器 o o 、丽丽而河2 而两丽= ；丽 观 由引理2 2 ，我们就可以得到序列 是收敛的 另一方面，由引理2 2 2 我们可以得到，对于任意的复数n ，至多除去一个。的线性测 度为啪一个集合e ，都有序列 l f 咿( 妒，掣，：。) 一种 是收敛的 显然 似一掣，妒| + 掣) ：口妒也叫 构成闭区间 1 + 口，如一叫的一组开覆盖i 因此可知存在一有限区间 ( 咖一，嘲+ 暑) ，( 旬= ( 咖) ，f = 1 ，2 ，l ) 1 n 是【西1 + 口，如一叫的一组开覆盖，线性测度为d 的例外集记为局= 顾办) j 令 面= 唣。蜀 面依然是一零测度集合 设 n 2 罡怒 n ( 咖) ) 则有 i 凹r 嘲，鲁，= 口) i ” + o o ，( f = 1 ，2 ，工) 对于o n a 一1 ，以及任意的复数n 聋豆有 r ( 半，学q ，_ 口) p 呛， 由引理2 2 j 可知 。圳枢t n ( 巩+ 口螂如一咄，= 口) ，丽薪 。 n ( i z i t n ( 巩+ 口m w 彳如一n ) ，= 口) 并熹 。 因此，对于任意的三个相互判别的复数0 t j ，扣= 1 ，2 ，3 ) 且g 豆和正数7 ， n r a l 有 3 芝二n ( 1 2 l sr ) n ( 口+ 口a r g z 如一口) ，= ( 1 0 9 r ) 7 t ，= 1 2 3定理的证明 定理2 1 1 的证明： 由于，( z ) 是复数域c 上具有有穷对数级a 的超越亚纯函数，由弓 理2 2 5 和引理2 2 反可以得到? 面堕业盘旦业氅坠堕垫堕竺塑 a _ 1 ( 2 8 ) 一+ l o g l o g r 如果偿砂式不成立，则可得 面堕唑盘堕塑嘭尘里塑盟生业 a _ 1 ( 2 9 ) r_+ioglogr 但是，利用引理2 2 4 可得 t ( r ，) ( r ，= n ) + ( r ，伪) = 6 ) + ( r ，= c ) 一( r ，7 c b ) + q ( r ，) 其中的q ( r ，) = 0 ( f 9 9 r ) = o t ( r ，) ) 并且由俾鲫可得 百堕磐二型a 一1 ， r 。+ o o i o g l o g r 百堕墼擘业a “ r - + o 。 l o g l o g r 甄堕磐! 塑a - 1 r - + + l o g 蛔g r 不妨设 ( r ) = m 凹( ( r ，= o ) ，( r ，( ) = 6 ) ，( r ，= c ) 因此由引理2 2 河得 a ：百梨 面巡丛型生业鐾i 二竖堕丛! 塑 a r + 眦l o g rr _ + l d 口0 口r 这与t ( r ，) 的对数级为a 是矛盾的i 因此结论成立完成定理2 j 珀q 证明 定理2 1 2 的证明：取以原点为顶点以) 为角平分线的一个小角域： d ：i n r g z 一如i o ) 用= ，u = 1 ，2 ) 将角域d 分为一列曲边四边形： 易：e s e 一“，i 甜w z 一如i ：，u ：1 ，2 ，) 再把每个功用 吲= 一( 1 + 们，( f = l ，2 ，s ) 划分为s 个小曲边四边形 d ：( 1 + 町) 一1 1 2 i 一“( 1 + 叩) ，i o r 9 2 一岛l ：，o ：l ，2 ，) 其中s 由偿j 决定 e 一( 1 + 町) ”1 “( 1 + 叩) 。( 2 1 0 ) 做r 血：i z 一钰i 刊。i 含i h 于其内，且半径r c + 1 q ，c 为常数且以下各不相同，再 做l 的同心圆r 2 半径为r j 。的雅j ：i z 一锄l 2 町i 锄i ( 2 1 1 ) 在每个巴内命 3 = 侧n 礼( 弓。，= n u ) ) t ，= 1 此式中的最小值是对所有三个其相互间的球面距离e 一一的复数的组合而取的那么如 同文献1 2 1 】中所证我们可以得到，在k 中，( z ) 取任意的复数n 的次数略c + ) ，可 对于每个固定的丘有s 个除外的球面小圆，所以当j 变动时，所有的球面小圆的半径的 和为方，取矗充分大则有参 j 由于) 是函数，( z ) 的对数级为a 一1 的日d 化2 方 向，那么由引理2 2 z 对于小于a 一1 的正数7 - ，可得 i f ( ：，= 口) r 对于任意的复数。都是发散的，至多有两个例外取复数口不是例外值，并且不属于j j 0 的 所有的除外球面小圆。则有 m ( 如，；，= n ) 卜佃 另一方面，对每们令：吩2 是琶一，则有 ， p ( 如，；，= 口) r g + 茅 ，( 1 r a 1 ) ( 2 1 2 ) 盘2 1 0 ) 氟： 一+ 1 一 8 塑尘箬竺 e - ) ( 2 n 讲1 ) ( 切h 叫h 训：( 蛔州，+ 2 ( h - n ) ) 同理由。毒；i ( z 凹i 锄i ) 1 一( 1 + 2 ( 1 1 一。) ( 蛔k 1 ) 1 一( 1 + 2 ( h n ” 1 3 记而= 1 + 2 ( a 一1 一n ) ，则 恕五= 1 因此存在一列圆序列： b ：i z 一句i 句i i ；2 i i e 炳；妻恐i 备i = ；兰恐勺2o ；o = 1 ，2 ，3 ) 使得，( z ) 在每一个圆d 内取任意的复数。至少( 凹l 乃i ) h 白次，至多除去一些在两个半径 为e 一矽的圆岛，岛内的复数，并且有 坚如= 1 j 。 完成定理2 j 舶g 证明 1 4 第三章无穷级亚纯函数与其导函数的t 方向 3 1定义及主要结果 在本章中，始终假定函数，( z ) 在整个复数域c 上是亚纯的，并且有关亚纯函数值分布 论理论，及其n ( r ，) ，( r ，) ，t ( r ，) 等均为文【2 1 】和第一章中所定义 关于亚纯函数的奇异方向的结果已经有许多，如亚纯函数的。，t 妇方向，b d ”防向以 及亚纯函数的 r e 伽佗如n 纰方向等i 在本文中我们就不赘述了我们主要考虑一个新的奇异 方向，即郑建华【1 6 】在幼年对复平面c 上的亚纯函数