（应用数学专业论文）二阶反序时滞微分方程和反序φlaplace周期解存在的最优条件.pdf

中文摘要 本论文利用上下解方法和单调迭代法研究了下面的二阶时滞微分 方程和时滞- l a p l a c e 方程在上下解反序条件下周期解的存在性条件 进一步，并说明存在性条件是最优的 考虑下面的二阶时滞微分方程的t 一周期解问题： 鲈”0 ) = ，0 ，( t ) ，y ( t r ) ，y l ( ) ) ，v t r ， 其中，( t ，u ，v ， t o ) ：r 4 叶r 是连续函数，且f ( t + t ，“，u ，w ) = f ( t ，u ， ，) ，t 0 7 0 考虑下面的时滞仁l a p l a c e 方程的t 一周期问题： 一丢删( t ) ) = 邢，( ) ，y ( t r ) ) ，捷r ， 其中，( t ，u ，”) ：r 3 - 冗是连续函数，且f ( t + t ，u ，v ) = ，( ，u ， ) ，t 0 关键词：周期解；存在性；上下解；单调迭代法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es h o wt h a tt h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ep r o - d u c e st w om o n o t o n e s e q u e n c e st h a tc o n v e r g eu n i f o r m l yt oe x t r e m a ls o l u t i o n sf o rt h ep e r i o d i cs e c o n d o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp e - r i o d i cd e l a y 一l a p l a c ee q u a t i o n m o r e o v e r ，w eo b t a i n o p t i m a le x i s t e n c e c o n d i t i o n sw i t hu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si nt h er e v e r s eo r d e r w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 旷( t ) = f ( t ，( t ) ，y ( t r ) ，y l ( ) ) ，v t r ， w h e r e f ( t ，1 1 , ，口，w ) ：r 4 _ ri sa c o n t i n u o u s f u n c t i o n ，a n df ( t + t ，u ， ，w ) = f ( t ，u ，甜) ，t 0 ，7 _ 0 i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es c a l a rt p e r i o d i c p r o b l e m ： 一面d 删( t ) ) ；坤，u ( t r ) ) ，t r ， w h e r ef ( t ，t 正，钉) ：r 3 _ ri sac o n t i n u o u sf u n c t i o n ，a n df ( t + e u ， ) = f ( t ，u ， ) ，t 0 k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ；e x i s t e n c e ；u p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n ；m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：色曼杰、日期：卫! 生，坚：逐 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：农支应、 指导教师签名：j 奎壅；寿 日 期：盈! 丛( ：讶 学位论文作者毕业后去向： 丕i 壁筮莹 工作单位； 互迪叁堂通讯地址：出筮省壅萱直i b 三路2 z ! 墨 邮 编：2 5 7 0 6 1 第一章绪言 1 1 问题产生的历史背景 在八十年代，g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，a s v a t s a l a 等 人用上下解方法和单调迭代法研究了一阶、二阶常微分方程周期边值 问题解的存在性和对解的估计，参见文献”v l a k s h m i k a n t h a m 又 提出了如何把上下解方法和单调迭代法推广到泛函微分方程( f d e s ) 的 周期边值问题和周期解问题上来上下解和单调迭代法已成功的被用于 研究一阶泛函微分方程周期边值问题解的存在性和对解的估计( 参见文 献【7 - 1 1 】) 据作者所知，很少数学工作者利用上下解和单调迭代法研究 二阶泛函微分方程周期边值问题和周期解问题解的存在性和对解的估 计，只是最近，在文献 1 2 】中，d j i a n g 和j w e i 用上下解方法和单调 迭代法在正序条件下研究了下面的二阶泛函微分方程： ”( t ) = f ( g ，可( t ) ，( t 口( t ) ) ) ，t r ， 其中f c ( r 3 ，r ) ，f ( t ，扎， ) = ，( t + l u ， ) c ( r ，【0 ，o o ) ) ，7 ( t ) = t ( t + t ) t 0 ，w ( t ) = 一7 _ ，7 - 当时滞r = 0 时，只有少数数学工作者研究了上下解反序条件即 卢( t ) 口( t ) ( 上下解定义在下文给出) 时，二阶周期边值问题和周期解问 题解的存在性，参见文献【2 ，3 ，5 ，1 3 ，1 4 ，1 6 ，1 7 如果卢( t ) o ( ) ，单调迭代法一般是无效的例如，考虑问题 t ”+ u = c o s t + s i n t ， u ( o ) = u ( 2 7 r ) ，( o ) = 札( 2 7 r ) 尽管a ( t ) = 2 ，卢( t ) = 一2 分别是上述问题的下解和上解，但容易验 证上述方程无解 在文献【5 】中，a c a b a d a 证明了下述结论： 1 当f ( t ，札，v ，w ) 三f ( t ，让) 是c a r a t h e d d o r y 函数，且满足单边l i p s c h i t z 条件： 对t 1 0 ，t ，vu ， i 卢0 ) ，血o ) 札 号f ( t ，u ) + m u f ( t ，们+ m y ， 当且仅当m ( o ，( 孚) 2 】时，单调方法是有效的不难看出这个结果是最 优的，即算子u ”+ m u 在c 孕中是可逆正的充要条件是m ( 0 ，( 享) 2 可以验证当mg ( 0 ，( 享) 2 l 时，我们可以找到一个函数，一个下解。 和一个上解卢使得a 卢，而问题u ”+ m u = f ( t ，钍( ) ) 在陋，】上无 解最近，在文献【1 3 ，1 4 l 中，一些数学工作者在没有时滞的情况下研 究了反序的二阶微分方程周期问题，但得到的结果不是最优的 在文献【2 , 3 ，5 ，1 3 ，1 4 ，17 】中，作者在证明解在区间 卢，】时都利用 了反极大值比较原理，这些比较原理是基本的，确保了可以利用单调迭 代法来证明解的存在性和对解的估计这为我们提供了思路 结合以上文章，本文主要研究二阶时滞微分方程( 1 1 ) 在反序即 卢a 时解的存在性和对解的估计，并给出了最优结果此外，本文并把 上下解方法和单调迭代法推广到了一l a p l a c e 问题上，据作者所知， 最近十年来，当7 = 0 时，咖一l a p l a c e 问题在古典假设即o p 时， 已广泛被研究，参见文献1 4 ，1 5 ，1 8 ，1 9 最近，a c a b a d a 和p h a b e t s 2 1 在反序情况下研究了一l a p l a c en e u m a n n 问题本文主要为了发展和 完善c - l a p l a c e 问题的研究，利用上下解方法和单调迭代法给出时滞 c - l a p l a c e 方程在反序条件下周期解存在的最优条件 1 2 本文的主要工作 本文主要研究二阶时滞泛函微分方程t 一周期解问题 v i t r 、t ) = f ( t ，( t ) ，y ( t r ) ，( t ) ) ，v t r ，( 1 1 ) 2 其中f ( t ，仳， ，叫) ：r 4 - r 是一个连续函数，且， + t ，u ， ，”) f ( t ，u ，v ，训) ，t 0 ，r 0 设c 譬= f i3 c 2 ( 冗，兄) ，y ( t + t ) = ( t ) ，v t r ) 赋予范数 对v y c 孚，i l 引i 毛= m a x l l y l l 。，i i ，。，i l 可”i i 。) ， 其中| l o 。2 t m 叫a j 3 j l y ( 。) l ，则c 譬是一个b a n a c “空间 设c r = ( y l y c ( r ，r ) ，y ( t + t ) = ( t ) ，v t r ) 赋予范数 l l 。，则c ，也是一个b a n a c h 空间 称o ，卢四分别是方程( 1 1 ) 的下解和上解，如果满足 o t ”( t ) f ( t ，( t ) ，a 0 一r ) ，d ( t ) ) ，v t r 卢”( t ) sf ( t ，卢( t ) ，卢0 一r ) ，卢( t ) ) ，v t r 称函数y 僻是方程( 1 1 ) 的解，如果它即是( 1 1 ) 的上解，又 是( 1 1 ) 的下解 为利用单调迭代技巧，我们需要以下假设 假定存在常数m 0 ，n 0 ，k 0 满足下列条件： ( h 1 ) 对任何卢0 ) u 2 u l n ( t ) ，卢( 一7 - ) 口2 1 a ( t 一丁) ，v w r ，有 f ( t ，钍l ，v l ，w ) 一f ( t ，u 2 ，v 2 ，删) 一m ( u l u 2 ) 一n ( v l v 2 ) ，v t r ， 其中n ，卢c r ，卢( t ) q 0 ) ，v t r ( h 2 ) 对任何卢( 亡) 札q 0 ) ，卢( 亡一t ) u a ( t 一7 _ ) ， 9 1 1 ，叫2 r ， 有i f ( t ，札， ，w 1 ) 一f ( t ，u ，v ，训2 ) l g l w l 一w 2 l ，v t r ( 日3 ) 丌m t 2 + 譬芋+ 警1 3 本文还把上下解方法和单调迭代法推广到研究时滞毋一l a p l a c e 方 程问题上，并得到解的最优存在条件 考虑下面的一维时滞西一l a p l a c e 方程： 一面d 删( t ) ) = 坤，荆，y ( t r ) ) ，y t r ， ( 1 2 ) 其中f ( t ，札，u ) ：r 3 一r 是一个连续函数，且f ( t + t ，u ， ) = s ( t ，u ， ) ，t 0 _ r 0 为利用单调迭代技巧，并假定下列条件成立： ( b t ) ：r _ r 是一个递增同胚，且满足( o ) = 0 ( b 2 ) 对每个紧区间【k l ，k s ，存在k 0 ，使得对所有的u ， 【k t ，如】，有( 毋( 让) 一曲0 ) ) ( u 一”) k ( u 一”) 2 ( 岛)对任何z ( t ) t t l t 2sa ( t ) 和卢( t 一7 _ ) l u 2 a ( 一r ) ，存在m ，n 0 ，使得 s ( t ，u l ，u 1 ) 一m u l n v t s ( t ，让2 ，v 2 ) 一m u 2 一n v 2 ，v t r ， 其中o ，芦c i ，z ( t ) d ( t ) ，v t r 称o t ，p c 拿分别是问题( 1 2 ) 的下解和上解，如果咖on 7 c 拿，o 阱，且它们满足 一丢州( t ) ) s 坤，凸( t ) ，n ( 一丁) ) ， 一象( 卵) ) s ( t ，刖，z ( t r ) ) 如果。，卢c 寻，且满足卢( ) 冬a ( ) ，v t r ，记 【口，o 】= 阱l z ( t ) v ( t ) a ( t ) ，v t r ) 在第l 泸，本文利用上下解和单调迭代法研究了问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 在区间【卢，a 】中极值解的存在性。存在性理论基于第球的反极大值比 4 较原理第2 带主要研究了下述t 一周期问题解的存在性： 对给定的q 归，a 】， ”0 ) + m y ( t ) + n y ( t t ) = ( t ，( t ) ) ， ( 1 3 ) 和 一曲( ( t ) ) 一m y ( t ) 一n y ( t r ) = 盯0 ) ，仃c v ( 1 4 ) 因为问题( 1 3 ) 涉及到了时滞和微分项y ，而问题( 1 4 ) 涉及到非线性算 子，所以要得到( 1 3 ) 和( 1 4 ) 解的存在性有一定困难但值得说明的 是，当咖( s ) = 8 时。对m ，的估计是最优的只是条件( b 2 ) 有很大局 限陛，它等价于“- 1 是局部l i p s c h i t z 函数”即使对一维p l a p l a c e 函数咖( 让) = i u | q u ，p 2 也不满足但是，只有这样，上下解反序 和单调迭代法才是有效的，且得到最优条件( 参见文献 2 】) 第二章二阶反序时滞微分方程和反序西- l a p l a c e 周期解存在的最优条件 2 1 预备引理和定理 为方便起见，采用下列符号 “l 1 ( 【o ，? 】) 定义面= 亍1 厶t u ( s ) 如 u 驴( i o ，t 】) ，pe 【1 ，o o ) ，定义删，= ( 上t i 让( ) d ； u c o ，t i ，定义ll u l l 。= s u pi u ( t ) | t e l 0 j j 首先给出下列积分不等式( 参看文献1 2 0 ，2 1 】) 引理2 1 1 设u c 1 【o ，t 】 f a ) 如果錾盂：0 且“( o ) = 札( 丁) ，则l l u 嬷( 挚) 2 i l u l i 5 f ”如果一a = o 且u ( o ) = u ( t ) ，贝4 u 。毛l l u i l 。 弓l 理2 1 2 设u c 1 a ，b 】且u ( o ) = u ( b ) = 0 ，贝0 b i u 俐2 出( 熹) 2j r 6 1 0aj a 让( t ) 陋 为使方程( 1 1 ) 利用单调迭代技巧，我们首先考虑非线性方程 y ”o ) + m y ( t ) + n y ( t r ) = 晶( ，矿0 ) ) ，( 2 1 ) 对每个固定的卵c ，且卢( t ) q ( t ) o ( t ) ，t r 成立 其中 晶( t ，训) ：= ，( t ，q ( ) ，”0 一r ) ，叫) + m 叩( t ) + n u ( t r ) 为了证明( 2 1 ) 解的存在性，首先给出一些概念 设x ，z 是线性赋范空间，l ：d o m lcx _ + z 是一个线性映 射，n ：x _ z 是一个连续映射如果d i m k e r l = c o d i m l m l + 。， 则称映射l 是零指标的f r e d h o l m 映射，且l m l 在z 中是闭的 如果l 是零指标的f r e d h o l m 映射，则存在连续投影算子p ：x - 9 x 和q ：z _ z 满足，m p = k e r l ，k e r q = i m l = i m ( i q ) 易 知l p 三二l d 。l n k 。，p ：( i p ) x _ i m l 是可逆的用k p 表示k 的 逆映射 如果nc x 是一个有界开集，且q n ( f i ) 是有界的，k p ( ，一q ) n ： q _ + x 是紧的，则称在q 上是厶紧的由于i m q 垒k e r l ，所以 存在同构映射j ：i m q _ k e r l 为证( 2 1 ) 解的存在性，首先给出g a i n e s 和m a w h i n 的延展定理 引理2 1 3 ( 延展定理) 【6 】设l 是零指标的f r e d h o m 映射，且 在q 是l 紧的假定 6 f a ) 对每一个入( 0 ，1 ) ，方程l x = a 茁的每一个解xg 0 1 2 ； f b ) 对每一个石a q n k e r l ，q n x 0 且 d e g ( q n ，n n k e r l ，0 ) 0 则方程l x = n x 在d o t a l n q 上至少存在一个t 周期解 命题2 1 1 假定( h 2 ) ，( h 3 ) 成立，则问题p 1 ) 至少存在一个 t 一周期解 证明为了利用引理2 1 3 来证明问题2 1 存在解，令 x = c 昌= z 0 ) c 1 ( r ，r ) i 。0 + t ) = z q ) ，v t r ) ， 定义i i 。i i l = m a x 忙1 1 。，i m i o 。) ，z = c t ，其中c i 在第一节中定 义则嚼，曲都是b a n a c h 空间 另一方面，令 l ：d o m l c x - z ，l y = y ”， ：x z ，( n y ) ( t ) = 一m y ( t ) 一n y ( t r ) + 易0 ，y l ( t ) ) ， ( p ) ( t ) = 可( o ) = ( t ) ，( q 。) ( t ) = ；j ( t z ( s ) d s ，! ，x ，z z ， 其中d o m l = g ( t ) c 拿，圹( ) c r l 则 k e 儿= r ，j m l = tye x ，j ( r 3 ( s ) d s = o ) ， 则i m l 在z 中是闭的，且d i m k e r l = c o d i mi m l = 1 + 。o 由定义知l 是零指标的线性f r e d h o l m 映射 易证p q 是连续投影算子，且满足 ，m p = k e r l i m l = k e r q 进一步，设l p = l a o 。l n 。儿以及l 的广义逆 k p = l t , 1 ：i m l - d o t a l 7 由下式给出 绵( z ) = 一；：t 口一s ) z ( s ) d s + 瓜一s 冲) d s d 。以 显然q n 和k p ( i q ) n 是连续的用a r z e l a - a s c o l i 定理，不难 证明霄虱f 二_ 丽丙而对任何开集qc x 是紧的，而且q n ( f i ) 是 有界的由定义知在q 上是l 一紧的 由( h 2 ) 可知 l f , c t ，伽) 1 sl r ( t ，) 一r ( ，o ) j + i ( t ，o ) j = ；f ( t ，研( t ) ，叼( t r ) ，) 一f ( t ，叼( t ) ，q ( t f ) ，o ) i + l b ( t ，o ) k 1 w i + c 对( 2 1 ) 式从0 到t 积分，可得 ( m + ) 雪= ；z t r ( 咖出 考虑算子方程l y = a n y ，x ，a ( 0 ，1 ) ，即 - y ”( t ) = a ，可0 ) + a n y ( t 一_ r ) 一a 晶o ，可( t ) ) ( 2 2 ) 令u = 一雪，则札x ，面= 0 ，u = 矿因此有 一札”( t ) = m u ( t ) + 钍( t r ) 一a _ ( t ，u 印) ) + 拿f ( ，u ，( f ) ) 积 ( 2 , 3 ) 由引理2 , 1 1 ，知 铆珏嬷，t l t , l l 。治岫 用钍( t ) 乘( 2 3 ) 式两边，并从0 到t 积分，得 z ti 仳( t ) 1 2 出m f o t u 2 ( 。出+ z t i 札( 一r ) i i u 。) l d + k o ti u ( ) i l u ( ) l d t + e z ? i 札( ) i 出 r m 小2 ( t ) 出+ ( 小( h ) 1 2 d t ) j ( f o r l 让( ) + 耳( a “( # ) l d 。) o t 忡) i 1 + c t h u m ( 嘉) 2 i i 札惦+ ( 嘉) 2 i i u j 偿+ k 万t jj 川；+ c t jj 训j 。 = ( m ( 嘉) 2 + ( 嘉) 2 + 孰2 + c 尚叫j 2 ( 卜笨一第一百k t ) 刎畦舞u j j ，、”雨一雨一百川u 郴而j j ：， m t 2i p ，t ，肘p n t 2k t 而十而+ 面 7 + 了+ 了茎1 ， 因此有 又因为 因此 1 1 2 尬 。 吾蝇：= 坞 引。志z 1 岛) 出 s 嘉南o r l y 皿+ 志 杰( 俐+ 南 2 志( 小印铲耐+ 南 ；丝堕+ 生 一z ( 肘+ n 1 m + n ， gj j * s j l u lj 。+ j 驴i + 万k 万m 而1 + 丽c ：= 鸠 9 由于y ( o ) = ( t ) ，则存在t o 0 ，t 】，使得y t ( t o ) = 0 因此 y o ) = ! ，( 。) + 上。可”( s ) d s = z 。掣”( s ) d s ， o ，t 】 ，t， 即可得到 y 1 i 。矿( ) i d t f z tl ( t ) i d t + ：ti y ( t r ) i d t + o t l f ；( z ，7 ( t ) ) i d t ( m + n ) t i | y i l 。+ k ，i 矿( t ) l d t + c t ( m + n ) t i | y l l 。+ k 、t i l 2 + c t ( m + n ) t m 3 + k 亍尬+ c t ：= m 4 取q 1 = t ( t ) 僻1| l b m a x m 3 ，m 4 + 1 ) ，则q 1 是有 界开集，且 l y a n y ，v y a q l ，a ( 0 ，1 ) 令y k e r l n c 拿，则y = 常数r ，因此 ( q n ) ( ) = 刍上t 【_ ( m + ) 口+ ( t ，o ) 】出= o 当且仅当 三熹* - 丙1 0 ”哪1 0 ) 砒且l y l 黑三丌( t ，o ) d t ，且j 订备 取 吣 ”峨儿n 四：。 品+ 1 设qdq 1u q 2 ，且n 是有界开集显然， 且 ( q n ) ( y ) 0 ，v y k e r l n o f f d e g ( q g ，q n k e r l ，0 ) 0 由引理2 1 3 ，算子方程l y = n y 在d o t a l n 晓中至少存在一个 t 一周期解，即( 2 ，1 ) 至少存在一个t 一周期解 为使问题( 1 2 ) 利用单调迭代技巧，我t r 考虑非线性方程 一面d ( 。洲t ) = m 删+ ( t r ) + 盯( t ) ( 2 4 ) 首先给出乒l a p l a c e 微分算子的一些结果 命题2 1 2 设西：r 斗r 满足条件f b u 则算子 a ：d o m a c c o ，t l _ c o ，t 】， 由下式定义 p ( g ) i ) = 一面d ( 咖。，) ( t ) 且 d o m a 7 - - y c 1 【o ，t 】：咖o y c 1 o ，t 】，y ( o ) = ( t ) ，口= 0 ) 有全连续逆算子 进一步，对任何盯c o ，邪，如果厅= 0 ，则y = a 一1 ( 口) 满足 p ( o ) = 矿( t ) 证明首先定义映射乃：e 1 0 ，t 】_ c o ，t 】， 蝴2 ；孔1t 糍t - - 1 彬s z ( r ) d r ) d s 辩v z d c o m t z o 、) + 石- 1 忆一片 ， ，引， 其中妒_ 1 ：r _ r 是的逆映射，且t z 由下述方程定义 z r 西一1 ( 亿一z 5 z ( r ) d r ) d s = ：”( t ) = o ( 2 6 考虑映射正，往证： ( t ) 对每个固定的z c o ，t l ，方程( 2 6 ) 存在唯一的解亿r ， ( i i ) 映射丑在c o ，t l 的有界集上是一致有界且等度连续的， 且 ( 洌) 映射乃在c o ，t 】上是连续的 设z c o ，t 固定，则由叫忆) 的定义知， t 咖一1 ( 亿一l i z l l l ) 茎w ( 亿) 丁曲一1 ( l + l i z l l , ) ， v l r ( 2 7 ) 由于曲- 1 在r 上是连续的、严格增加函数，并且_ 1 ( 一。) = 一。o ， - 1 ( + o o ) = + o o 因此叫也如此则存在唯一的t z r ，使得( 2 6 ) 成 立，( i ) 得证 由积分中值定理和( 2 6 ) 式知，对每个固定的z c o ，卅，存在 f 0 ，丁】，使得 一1 ( 亿一翩r ) d r ) = 0 其中是对应于函数z c o ，t 1 的( 2 6 ) 式的唯一解因此有 i 亿一f o s z ( r ) 圳i z ( r ) 州 n t ， ( 2 8 ) 其中= ，m 。a x l i 。( r ) i 由t x 的定义和( 2 8 ) 式，得知 | ( 孔z ) ( t ) i 2j i 咖一1 ( 一片z ( r ) d r ) i d s 2 t ”! 粤。，i _ 1 ( u ) l ， 0 ，t 】，v z ng f o ，t 】t t 一 一 0 0 ，v t ( o ，刁 由丑的定义，有 ( 丑z 。) ( ) = 一士仃蛞庐- 1 ( 一片z ( r ) d r ) d s d t + 砖- 1 ( h 一片z ( r ) d r ) d s ，n = 0 ，1 ，2 ，- 一， 其中：= n 。满足方程 ：r 一1 ( 一0 sz n ( r ) d r ) d s = o ( 2 6 ) 。 对( 2 6 ) 。，竹= i ，2 ，3 ，和( 2 6 ) o 再次运用积分中值定理，有 硝一广( r ) d r ) 一纠一o h 劫( r ) d r ) = o ， 其中厶【0 ，t 】，佗= 1 ，2 ，3 ，即 一= o h 【z 。( r ) 一知( r ) 】d r 由假设_ z 0 ，礼_ + 0 0 ，v t 0 ，t 】，可知 。l _ + i m 。h 2 因此 。l _ + i m o o ( 丑) ( t ) = ( 乃动) ( ) 一致于【0 ，卅 ( i i l ) 得证 易证噩是算子a 的逆算子进一步，从( i i ) ，( i i i ) 和a r z e l a - a s c o l i 定理，知丑：e 1 0 ，卅_ c 0 ，t l 是全连续的 推论2 1 1 设庐：r _ r 满足条件f b n 则算子 a ：d o m a cc ，- 国 a ( 姘) = 一丢( 。 且 d o m a = 可四：曲o y 7 c 拿，口= o ) 】3 有一个全连续的逆 当右边是线性时，为证明( 1 2 ) 的存在性结果，我们给出比( b 2 ) 更强的条件( b 2 + ) ( b 2 + ) 存在k 0 使得对所有的札， r ， ( 曲( u ) 一( ”) ) ( 一”) k ( u 一”) 2 这种假设是有意义的，如果研究丁一周期问题 y “= q ( y ( t ) ) ，( t ，( t ) ，y ( t r ) ) ， 假定q ， i 1 c ( n ，r + ) 是有界函数，f ( t ，u ，口) c ( r 3 ，r ) 且 f ( t ，钍， ) = ， + t ，u ， ) 事实上，这个问题等价于问题( 1 2 ) ，其中 ( ”) = j ( ”丽d t 满足条件( 磁) 命题2 1 3 设：r _ r 满足假设1 j 和( b 2 + ) 假定 ( m + ) ( 嘉) 2 0 使得对所有u r ，有t j 5 ( ) k v 2 命题仍是对的 2 2 反极大值比较原理 为使问题( 1 1 ) 利用单调迭代技巧，给出下面的反极大值比较原 理 命题2 2 1 设y 僻，且m 0 ，n 0 ，k 0 满足 ( t )”+ m y ( t ) + n y ( t r ) + j 引0 ) l 0 ，t r ， ( i i ，等+ 竿+ 竽g 则y ( t ) 0 ，y t r 证明假定命题不成立，则存在t 0 ，t 】，使得y ( t ) 0 只须考虑下面两种情形： 情形1 ： y ( t ) o ，掣( t ) 0 ， 0 ，t 】 1 6 则存在t o 【0 ，t 使得y ( t o ) 2 蚝m a x l y ( ) so ，矿( t o ) = o ， f ”( t o ) 0 由条件( i ) 知 “( o ) + m y ( t o ) + n y ( t o r ) 0 ， 由此得旷( t o ) = 0 ，y ( t o ) = 0 由假设存在t le 0 ，t 使得 y ( t 1 ) 0 如果t l 0 ，y ( t 2 ) 0 ，则存在n ，b 幢一z + t ) ，使得 b b 0 ，v t ( a ，6 ) 注意到 旷( + m y ( t ) + k ( t ) i - n y ( t r ) 一( f ) ，v t i o ，”( 2 1 1 ) 由h s l d e r 不等式，有 g 嬉) = 一z 6 矿o ) d t ( b - 。 ( z 6 i y l 。) 2 d d 墨( 6 一口) ( z 6 。) 1 2 d t ) 1 7 用y ( t ) 喏，v t 【a ，b j 去乘( 2 - 1 1 ) 式两边，开从a 到b 枞分，廿j 得 f 6 ，d t + m 1 6f 2 ( t ) d t + k 1 6 ( t ) i 7 ( ) l d t 一( ) f 6 ( t ) d t ， j ajd jd j a 即 ，of dr 0r 6 i f 7 ( t ) 1 2 d t m y 2 ( t ) d t + k y ( t ) l y 7 ( t ) l d t + ( f ) y ( t ) d t j 8，o j 口j n ，6十( ，62 w 叫。1 ( b l y ( t ) f my 2 ( t ) d t k y 2 2 d ) 十 ( t l ，5 ，z (2 出) j njn v ” + ( 6 一口) 叫l y ( t ) 1 2 d t ) 6 y ( ) 班 m ( 宰) 2 加。) 1 2 d t + k ( 宰) 加阳 + ( 6 一。) ( 厂l y ( t ) l z d ) ( 6 叭t ) 阳) 旧宰) 2 + k ( 宰) + 掣】上6 l y 阳t ( m 。t z + 了k t + n f t 2 ，止f 6 帅) 1 2 d t 0 ，即存在n 偿一t ，f ) ，b ( ，+ t ) ，使得 u ( 口) = u ( 6 ) = 0 ，u ( t ) 0 ，t ( a ，6 ) ，| b a t 因此 去( ( o u i ) ( t ) 一( 咖o ；) ( t ) ) + m u ( t ) 一n u ( t r ) 一u ( ) ，v t ( a ，6 ) ( 2 1 3 ) 1 9 用u ( t ) = u 1 ( t ) 一珏2 ( t ) ，t 【口，b 乘( 2 1 3 ) 式两边，并从n 到b 积 分，有 詹( u 。( t ) 一“：( t ) ) 盖( ( 曲。u 1 ) ( t ) - ( 。扎；) ( ) ) 嘭+ m c i 钍( t ) 严d t 一u ( ) ci u ( t ) i d t ( 2 1 4 ) 另一方面， c ( 珏1 ( t ) 一u 2 0 ) ) 袅( ( 西。札：) ( t ) 一( o 让；) ( ) ) d t = 一片( u i 一“：) ( ( o “i ) 0 ) 一( 咖。u ：) ( t ) ) d t 一k 芷i 札i 0 ) 一“；( t ) 1 2 d t = 一k 露) 1 2 d t ( 2 1 5 ) 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 可得 k 1 6l u ( t ) j 2 d t mfl u ( t ) 1 2 出+ “( ) f 6l u ( t ) l d t ( 2 1 6 ) j dj nj n 由引理2 1 2 和柯西一s c h w a r t z 不等式，可知 i钍(钏=(6i-一f?煳u(t)d让t，l(t)12dt)a d t ( 21 7 ) ( 6 1 ( c 1 让 i 、 眦妒 _ ( b 湖lb 肭2t 狲1 b a b - _ 盟a ud t ( 2 1 8 ) 0 ，使得l l ：+ 1 m ，i l q ：+ 。l i 。s m 这表明 n ：) 器。和 a ：) 。o o ：。都是有界的 同理， 成) 甚1 和 雕) 墨。也是有界的因此，存在a + ( t ) 和卢+ ( t ) 使 得下式成立： 撬d n ( t ) = ( t ) ，概风( t ) = 卢+ ( t ) ，v t r 与文献 1 】类似方法可证，o r * ( t ) 和矿( t ) 都是问题( 1 1 ) 的t 一周期 解 进一步，如果y 归，o l 】是问题( 1 1 ) 的解，由归纳假设，风( ) y ( t ) o l n 0 ) ，v t r ，礼= 0 ，1 ，2 ，一，因此y ( t ) 【卢+ ，0 4 从而o + ( t ) 和矿( t ) 分别是问题( 1 1 ) 在区间 卢，o 上的极大解和极小解 2 2 定理2 3 1 证毕 用类似方法可得到问题( 12 ) 的解的存在性， 因，( t ，u ，v ) c ( a 3 ，兄) ，且，( t ，札， ) = ，0 + z u ， ) ，则存在c 0 使得l ，0 ，7 1 , ， ) i c ，v t r ，v ue 【卢( t ) ，n ( ) 】，v 卢0 7 - ) ，( 一r ) 1 为方便记( o ，卢) =