（应用数学专业论文）保险资金投资组合方法比较.pdf

独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 括为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名：奎：! ：鲞日期：唑渺砑 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：塑导师签名：兰缀日期：量里望z 渺习 摘要 保险资金的投资是保险业经营的主要内容之一，保险投资的成效对保险公 司的经营与保险业的发展有着重要的影响。近年来，研究保险资金的最优投资 组合已成为一个热点问题。我们知道任何投资都是有风险的，因此，如何选择 一个有效且风险小的投资组合方案显得尤为重要。关于保险资金投资组合的研 究主要有马可维茨的均值方差理论，随机控制理论以及v a t 方法，这些方法的 评价准则主要有三个：一是m a r k o w i t z 的均值方差准则；二是最大化期望效用 准则；三是最小化破产概率的准则。 贝叶斯统计与经典统计的区别是：经典的统计学派进行统计推断是依据两 类信息：模型信息和样本信息：而贝叶斯学派除了利用以上两类信息外，还利 用了样本的先验信息，即总体中未知参数的分布信息。 本文首先介绍了在均值方差理论下选择最优投资组合的三种方法：一是一 定收益率水平下最小化投资组合的风险；二是一定的风险条件下最大化投资组 合的期望收益；三是最大化投资组合的期望效用其次，我们讨论了一定收益 率水平下最小化保险资金投资组合风险的方法，还建立了相应的模型，并用极 大似然法求解了模型中的参数。本文的重点是讨论了保险投资组合的期望效用 最大化方法，我们先构造了保险效用函数，求出了保险资金最优投资组合的权 重，并对权重中的未知参数采用两种不同的先验( 无信息先验和共轭先验) 信 息，得到两种不同先验下权重的贝叶斯估计，即得出贝叶斯理论下期望效用最 大化的最优投资组合。最后，实证分析部分选用锐思数据库上披露的指数年收 益率的相关数据，根据均值方差的有效前沿准则对几种方法进行了比较。 关键词：保险投资组合，效用函数，风险资产的比例，投资组合的权重，贝叶 斯估计 a b s t r a c t t h ei n v e s t m e n to fi n s u r a n c cf u n d si so n eo ft h em a i nt h i n g sf o rt h ei n s u r a n c e t h e e f f e c t i v ei n v e s t m e n to fi n s u r a n c ef u n d sh a sv e r yi m p o r t a n te f f e c to ni t so p e r a t i o na n d d e v e l o p m e n t i nr e c e n ty e a r s ，s t u d y i n gt h eo p t i m a lp o r t f o l i oo fi n s u r a n c ef u n d sh a s b e c o m eah o ti s s u e w ek n o wt h a ta n yi n v e s t m e n th a si t sr i s k y s oh o wt oc h o o s ea l l e f f e c t i v ea n dl o wr i s kp o r t f o l i oi sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t n cr e s e a r c hm e t h o d so ft h e i n s u r a n c ep o r t f o l i om a i n l ya r em e a nv a r i a n c et h e o r yo fm a r k o w i t z ，s t o c h a s t i cc o n t r o l t h e o r ya n dv a rm e t h o d f o rt h e s em e t h o d s ，t h e r ea r et h r e em a i nc r i t e r i a ：n ef i r s ti s m a r k o w i t z sm e a nv a r i a n c ec r i t e r i a ；t h es e c o n di st om a x i m i z et h ee f f e c t i v e n e s so f i n v e s t o r ；t h et h i r di st om i n i m i z et h ep r o b a b i l i t yo fb a n k r u p t c y t h ed i f f e r e n c eo ft h ec l a s s i c a ls t a t i s t i c sa n dt h eb a y e s i a ns t a t i s t i c si s ：t h ec l a s s i c a l s t a t i s t i c si n f e rb a s e do nm o d e li n f o r m a t i o na n ds a m p l ei n f o r m a t i o n b e s i d e st h et w o i n f o r m a t i o n ，t h eb a y e s i a nt h e o r ya l s ou s e su n k n o w np a r a m e t e rp r i o ri n f o r m a t i o n i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h r e ew a y so ft h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o nb a s e d o nt h et h e o r yo fm e a nv a r i a n c e ，t h cf l s ti st om i n i m i z ep o r t f o l i o sr i s k ，f o ra g i v e n m i n i m a l ( r e q u i r e d ) r e t u r n ；1 n h cs e c o n di st om a x i m i z ep o r t f o l i o se x p e c t e dr e t u r n , f o r ag i v e nm a x i m a lr i s k ；t h et h i r di st om a x i m i z ei n v e s t o r se x p e c t e du t i l i t yf u n c t i o n t h es e c o n d ，w ed i s c u s sm i n i m i z i n gp o r t f o l i o sr i s ko fi n s u r a n c ef u n d sf o rag i v e n m i n i m a l ( r e q u i r e d ) r e t u r n ，f r a m et h ec o r r e s p o n d i n gm o d e la n de s t i m a t e t h e p a r a m e t e r so ft h em o d e lw i t ht h em a x i m u ml i k e l i h o o dm e t h o d t h ee m p h a s i so ft h e p a p e ri st h et h i r dm e t h o d ，w ef i r s tc o n s t r u c tt h eu t i l i t yf u n c t i o no fi n s u r a n c ep o r t f o l i o n en e x tw es o l v e dt h ei n v e s t m e n tw e i g h ti nt h ec o n d i t i o no fm a x i m i z i n gi n v e s t o r s e x p e c t e du t i l i t yf u n c t i o n a n dw ee s t i m a t et h eu n k n o w np a r a m e t e r sw i t hb a y e s i a n t h e o r yi nt h et w od i f f e r e n tp r i o r s ( d i f f u s ep r i o ra n dp r o p e rp r i o r ) l a s t ，w es e l e c tt h e y e a ry i e l do fi n d e xi nt h ed a t a b a s eo fr u i s i ，a n dc o m p a r i n gt h e s em e t h o d sa c c o r d i n g t ot h ee f f i c i e n tf r o n t i e rc r i t e r i ao fm e a na n dc o v a r i a n c e k e y w o r d s ：i n s u r a n c ep o r t f o l i o ，u t i l i t yf u n c t i o n ，r i s ka s s e t sr a t i o ，p o r t f o l i ow e i g h ， b a y e s i a ne s t i m a t i o n i i 目录 摘要1 a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 选题背景及意义l 1 2 国内外研究现状3 1 2 1 国外研究现状3 1 2 2 国内研究现状4 1 3 本文主要研究内容及框架5 第2 章投资组合方法及贝叶斯理论简介7 2 1 马可维茨的均值一方差投资组合理论7 2 2 贝叶斯理论简介1 0 2 2 1 未知参数似，) 的无信息先验分布1 0 2 2 2 未知参数( c l ，z ) 的共轭先验分布1 0 2 2 3 未知参数似，z ) 的后验分布1 2 2 2 4 预测密度函数1 3 第3 章保险资金投资组合方法1 5 3 1 保险资金投资组合风险最小化方法1 5 3 1 1 保险资金投资组合模型1 5 3 1 2 模型的求解1 5 3 2 保险资金投资组合效用最大化方法1 8 3 2 1 常用的效用函数1 8 3 2 2 保险二次效用函数的构造1 8 3 2 3 投资比例和权重的确定一1 9 3 3 未知参数( ，) 的估计2 1 3 3 1 未知参数( 芦，z ) 的经典估计2 1 3 3 2 未知参数( ，) 的贝叶斯估计2 1 3 4 均值一方差的有效前沿2 4 第4 章实证分析2 6 4 1 数据选取2 6 4 2 均值一方差的有效前沿准则3 2 i i l i v 4 5 6 o 1 3 o 3 4 4 望 一 一 一 一 展 一 一 一 一 与 一 一 一 一 结 一 一 一 一 总 眺 渖龇教籼和 第致参附附 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 选题背景及意义 第1 章绪论 在二十世纪后半期，华尔街发生了两次数学革命，使数学规划和随机方程 等数学工具和方法在金融实践中的应用得到了很大的发展。1 9 5 2 年马可维茨发 表了著名的论文“投资组合的选择”，标志着华尔街第一次数学革命的开始，这 是一篇里程碑性的论文，被公认为“现代投资学 的开端。马可维茨注意到， 投资者不仅要求“高回报率 ，还要求“回报率是可以确定的 。这意味着寻求 最大的预期回报和最小风险的投资者进行决策时，有一对相互矛盾的目标必须 得到平衡。这两个矛盾的目标导致一个有趣的后果，即投资者应该改变选择一 种证券的做法去选择购买多种证券。 我国保险业起步较晚，发展较迅速。长期以来，我国保险公司只重视承保、 理赔业务的发展，而忽略了保险资金的投资以及资金的运用。我国的保险资金 一般是存入银行或购买国债，而对于收益率较高的基金和企业债的投资较少， 保险资金的运用率低于5 0 ，这样的投资结构导致保险资金投资收益率低下( 低 于规定的保险资金年收益率3 的底线) ，有时收益率甚至为负。若不及时采取 措施将会导致保险公司亏损、破产。在国外，保险公司的投资领域却十分广泛， 包括：政府和公司债券、股票、共同基金、抵押和海外投资、不动产、公共投 资和风险创业投资等。其保险资金的运用高达9 0 。因此，我国的保险投资方 式亟待改进，保险投资的渠道急需扩展。保险资金只有进行多渠道的投资，才 能获得较高的收益，才能解决保险资金目前的困境l l l 。投资能获得的巨额回报， 这足可以弥补保险公司赔付金的支出。大量事实证明保险公司利润的主要来源 是进行投资，而不是保费的收取。保险资金的投资是保险业发展的重要内容， 也是其存在和发展的重要前提之一，我国保险公司的不断发展和壮大，获利也 越来越多，总的保险资产也越来越多。而保险公司最大的收益就来自于保险投 资。但是，过去我国对保险公司只允许投资债券、基金等，不允许保险公司直 接进入股票市场。这些限制虽然能减少保险公司面临的风险，但同时也造成了 资金积压和浪费。因此，为了顺应社会的发展，2 0 0 4 年政府出台了新的保监 法，其中明确规定保险资金进入资本市场的方式可以多种多样，资本市场的主 导力量是保险公司为主的投资机构。2 0 0 5 年保险公司开始投资股票，这标志着 武汉理工大学硕士学位论文 保险公司投资又向前迈进了一步，这也是非常重要的一步，但是如何选择投资 策略又成为了它们目前所面临的重要问题。近年来，随着保险公司的入市特别 是保险投资渠道的拓宽后，保险业面临着前所未有的新局面，研究保险资金的 最优投资一度成为一个热点问题。我们知道，一个好的投资方案能给保险公司 带来巨大的收益；而不好的投资方案，公司不但不能从中获益，还可能加快公 司破产的步伐，但任何投资都是有风险的，因此，在这种情况下，如何选择一 种有效且风险小的投资方式显得尤为重要。 保险投资是保险业经营的主要内容之一，保险投资的成效对保险公司的经 营与保险业的发展具有重要的影响。2 0 世纪8 0 年代，我国保险业才刚刚起步， 随着改革开放，我国的保险业发展迅猛，保险业的投资领域不断拓宽，逐渐形 成了日益完善的市场体系，保险公司的整体实力大大增强。我国保险公司的投 资虽然已取得了巨大的成就，但我国的保险业与世界发达国家还有很大的差距， 特别是保险投资方面的差距更大。1 9 9 5 年新的保监法规定保险资金除了用 于银行存款外，还可用于投资股票、基金和企业债券等1 9 9 9 年，保险公司被 批准可以间接进入资本市场的保险资金不超过总资产5 。1 5 。2 0 0 4 年又规定 保险资金可以直接进入市场，但对保险公司投资者投资股票的比例有所限制。 2 0 0 6 年，保监会发布了保险资金间接投资基础设施项目试点管理办法，规定 对具有投资资格的保险机构，可通过受托人间接投资国家级重点基础设施项目， 如能源、市政、环保等方面。 保险投资渠道的拓宽，保险资金投资收益率不断上升，这无疑给保险公司 的发展带来了新的机遇，同时也带来了许多新的挑战，一些保险公司盲目追求 高的利润，不顾一切地将保险资金投资于资本市场，但是保险投资是一把“双 刃剑 因为高收益也会带来高风险。如果投资失败，则造成的损失也是相当大 的，不仅投资得不到回报，有时甚至可能导致保险公司破产。正如两会中强调 的，保险资金的投资应注重安全性和流动性，当前我国保险资金投资运用的关 键问题是如何建立有效的投资决策方案。国内外保险公司破产的大量事实告诉 我们，保险投资不能一味只求高收益，一定要注意投资的安全性。 随着我国加入w t o 以及市场经济的不断完善和发展，外国保险公司纷纷 进入中国市场，这一方面带动了我国保险业发展，但另一方面也面临着与外资 保险公司的竞争，因此，要想在和外国保险公司的竞争中获胜，选择一个科学 合理的投资方案特别重要。为此，一方面，保险公司出台了一些新的制度，其 2 科 关于保险资金投资组合理论的研究中，具有突出成果的是马可维茨的“投 资组合理论【2 】 ，这一理论对金融界产生了深远的影响，成为解决投资组合问题 的重要理论和方法。但是，m a r k o w i t z 的理论只能解决静态的数学模型，而对于 动态的投资模型却显得无能为力。因此，如何选择最优的投资组合问题一直是 一个重要的课题。近年来，国外学者利用随机控制理论( s t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y ) 来研究保险投资组合问题，其理论基础是动态规划理论，假定收益率波动是几 何布朗运动或跳跃扩散过程，建立了目标函数，约束条件为一定的投资收益率。 其求解方法主要有：解m b 方程和数值模拟法。还有的学者用v a r 模型来研究 保险投资组合问题。归纳起来，主要有三种方法；一是基于马可维茨的均值方 差方法【蛉”】，但这种方法里面的方差却只描述了收益偏离期望值的程度，而偏 离的方向却无法得知，连人们最关心的损失以及损失究竟有多大等问题都无法 解决。二是期望效用最大化方法1 3 。9 l ，这一方法的缺点是选用效用函数时具有极 大的主观性；三是最小化破产的概率。研究破产概率最小时，通常假定索赔过 程服从p o i s s o n 分布【1 1 - 1 6 】或指数分布【协捌，而且学者们选用这种方法研究保险投 资组合问题时，他们都得不到最优投资策略的解。 1 2 1 国外研究现状 国外，对保险公司投资组合的研究很多，其中有突出贡献的有l a m b e r t 2 2 l ， k r o u s 2 3 1 ，k a h a n e | 2 4 1 、b r i y s | 笛1 等的研究。近年来，对保险公司投资的研究又成 为一个热点问题，许多学者作出了突出的成绩，如1 9 9 5 年b r o w n e 冽采用连续 的几何b r o w n 运动来模拟保险公司的盈余，研究了保险公司的最大化生存策略 ( b r o w n e 2 7 1 ) 。1 9 9 7 年b r o w n e 【2 7 】研究了在固定债务下保险公司的最大化生存概 率，但他在这两个研究中都没有涉及再保险问题。至今，对保险公司投资的研 究归纳起来主要有以下三个准则：一是m a r k o w i t z 的均值方差准则，这一准则 研究了在风险和收益之间如何实现均衡。但是，许多研究者发现：这一准则把 3 武汉理工大学硕士学位论文 高于期望收益的部分也划作风险进行限制，方差测度风险是一个双侧风险，这 一点与投资者的愿望是相悖的；二是期望效用最大化准则，近年来，利用效用 最大化的准则来研究保险投资的很多，如k r o u s 2 3 】，k a h a n e 2 4 1 、b r i y s 2 5 1 ， b r o w n e 2 6 , 2 7 1 ，y a n g 与z h a n g 2 剐，但这种准则选择效用函数时带有很大的主观性， 当选择指数效用函数作为效用函数来研究时，发现得到的最优投资组合与一般 投资组合的没有明显的差别，这种方法的不足有下列三点：( 1 ) 不考虑承保的 风险；( 2 ) 只考虑保费收取和赔付间时滞的投资；( 3 ) 保险公司的保费收取和 赔付( 赔付强度和赔付量) 与投资策略无关，这不合实际。2 0 0 5 年b r o w n e 2 6 , 2 7 、 y a n g 与z h a n g 嬲l 选用指数函数作为效用函数，将这一问题里的时间推广到了连 续时间的条件下，并且得到了最优投资策略的解，他们考虑了索赔过程和承保 风险问题，但他们还是不能解决其中的第三个不足；三是最小化破产概率准则， 如2 0 0 0 年h i p p 与p l u m 2 9 ，3 0 l 等研究了在c r a m e r - l u n d b e r g 模型下，以最小化破产 概率为目标的最优投资策略的存在性问题，2 0 0 3 年h i p p 与p l u m 又研究了在最 大化效用目标下，选用一个递增、有界且连续可微的效用函数下可得到最优投 资策略的解析形式。保险公司和其他的投资者一样，除了注重投资风险和收益 外，还更注重投资的整体风险，包括投资风险和承保风险。这一准则考虑了风 险，却没有考虑收益，而且模型很难求解，所以实用性不强，后续研究也少。 近年来，一些关于下侧风险的测度方式开始引起人们的注意，如v a r 3 1 1 、c a r 3 2 1 、 c v a r 、e a r 3 3 】以及安全第一的准则【3 4 1 等，其中v a r 最受关注。 1 2 2 国内研究现状 国内，对保险资金投资决策的研究还处于起步阶段，而且很多文章都是 讨论保险投资渠道的拓宽问题和保险资金投资的存在问题，讨论了保险渠道 拓宽的必要性和可行性。而对于保险资金的最优投资方面研究很少，2 0 0 1 年， 荣喜民 3 5 , 3 6 】等对这一问题做了很多研究，2 0 0 4 年，荣喜民和李楠【3 7 , 3 8 】在均值 方差的模型基础上，考虑了保费，并利用保费的收取与赔付之间的时滞来研 究保险资金的投资问题，在各资产现在的收益率和波动率已知的条件下，求 出了最优投资组合方案，但这个最优也只是使现在的风险最小，收益率最大， 4 武汉理工大学硕士学位论文 而没有考虑其它方面的问题。2 0 0 4 年，崔斌【3 9 】在m a r k o w i t z 的均值方差模型 基础上研究了保险资金的投资组合问题，他在期望收益一定的条件下最小化 投资风险，还构造了保险资金的前沿组合证券，并对文中的三种方案分别求 出了风险和收益，但这个投资方案并不一定是最优投资方案，而且这种方法 不能解决动态的投资组合问题。2 0 0 8 年，高建伟【加】利用破产理论和随机控制理 论研究保险基金最优投资策略，将破产概率最小化的目标函数转换为最大化生 存概率，并利用解h j b 方程得到了保险最优投资策略所满足的随机微分方程： 在初始准备金逼近0 时得到保险资金的最优投资策略的显示解；并采用递推算 法，得到初始准备金为任意值时的最优投资策略。张笑伟【4 1 l 应用现代投资组合 理论建立了保险公司投资组合模型，用规划求解方法解出保险公司最优风险资 产组合，同时引进了保险公司的效用函数，以效用最大化得出保险公司的最优 投资组合。最后，将理论结果与保险公司实际投资组合进行比较分析，提出政 策建议。 1 3 本文主要研究内容及框架 本文在m a r k o w i t z 均值方差理论基础上讨论了保险资金投资组合的方法， 选用一定收益率水平下方差最小投资组合方法和效用最大化方法，通过构造保 险二次效用函数，求出了保险资金最优投资组合的权重，并用贝叶斯理论估计 了权重中的参数，得出两种不同先验下权重的贝叶斯估计值，并作了实证分析。 全文分五章，各章节内容安排如下： 第一章：介绍了本文的研究背景及意义、国内外研究现状。 第二章：介绍了均值方差理论下选择投资组合的三种优化方法以及介绍了 贝叶斯相关理论。 第三章：首先讨论了一定收益率下最小化保险资金投资组合方法及其求解， 重点讨论了保险资金投资组合的期望效用最大化方法，构造了保 险效用函数，确定了风险资产的最优投资比例，并求出了投资组 合的权重，对权重中的参数作了经典估计和贝叶斯估计，贝叶斯 估计选用了两种先验形式得到。 5 武汉理工大学硕士学位论文 第四章：实证分析部分介绍了数据的选取及用m a t l a b 编程计算出结果，还 采用均值方差的有效前沿准则比较了这几种方法。 第五章：总结与展望，指出了本文的不足之处及今后的研究方向。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章投资组合方法及贝叶斯理论简介 2 1 马可维茨的均值- 方差投资组合理论 m a r k o w i t z 在1 9 5 2 年的论文里下过一个定义，这个定义现在十分流行且被 称为“现代投资组合理论”，并对金融业产生了深远的影响。在这之前，个别投 资的选择主要依赖于标准的投资实践。随后，重点转向投资的多样化和评价个 别资产在投资组合中的风险和收益的大小，均值方差理论取决于某种假设，这 种假设要求理性的投资者在投资组合的期望回报和风险( 由投资组合的方差衡 量) 的基础上选择风险资产的投资。 但是这种古典的投资组合模型使从业人员在执行上遇到了许多困难，由此 投资者对投资组合权重，特别是期望回报极其敏感，而且这些权重常常代表无 意识或极端的分配，使投资者暴露于无意识的风险中。这些因素( 包括期望回 报，方差和协方差) 都满足估计误差，运筹学者能选择和运用这些因素。例如。 c h o p r a 和z i c m b a 在选择最优权重时，考察三组对误差有影响的参数变量，发现 均值中的误差能达到1 0 倍或1 1 倍以上，比方差中的误差更重要。 然而，风险估计必须是综合方法中投资管理过程的一部分，核心是使投资 组合选择问题更加稳健。在古典均值方差框架理论上解决这类问题的几个拓展 理论已经得到了研究，它们是对目标的拓展，其中有参数估计，因子模型，强 大的优化技术和投资组合的抽样，所有这些有助于解决参数估计中的内在误差。 因子模型通过少量的( 相对于古典的投资组合来说) 因子( 风险的来源) 来描述资产回报行为。它们在资产收益的协方差矩阵中尤为有用，可以急剧减 少误差估计的维数，也可以在协方差的估计中加入先验信息，还可以通过预测 协方差来预测它。 稳妥的投资组合方法是在投资组合优化过程中直接加入了误差估计。稳妥 的投资组合优化方法更加注重于均值的误差估计而不是协方差矩阵的误差估计 ( 可能是由于均值的误差相对重要些) 。在最简单的形式中，我们的想法是将投 资组合的优化问题看作一个两阶段问题。在第一阶段，对于一定的期望收益下 期望效用最小化。在第二阶段，对于一个给定的风险厌恶系数，求投资组合期 望效用最大化时的组合权重。 这种稳健框架的拓展用来修正除了期望回报之外的其它参数的误差估计， 7 武汉理工大学硕士学位论文 并解释模型存在的风险。投资组合的抽样已经成为一种部分地捕捉误差估计的 启发式方法，它有赖于m o n t ec a r l o 模拟，从历史的回报分布中获取大量的样本， 并将此样本参数看作真实的样本参数，其有效前沿是计算每个样本由此得到的 平均边界。基于抽样的投资组合前沿比基于传统的均值方差的投资组合前沿更 具多样化，从而解决了均值方差方法的一个主要缺陷。然而，参数估计( 正态 假设下的均值和协方差) 的误差是在样本基础上进行的。 均值方差理论假定所有投资者在进行组合选择时考虑了回报和风险( 由 投资组合的均值和方差衡量) 。因此，对一个给定的风险水平，一个理性的投资 者将选择较高预期收益的投资组合。均值方差理论的一个等效表达方式是：对 一个给定的预期收益水平，风险最小的是较优的投资组合。在这两个等效的形 式中最优投资组合组成了有效前沿。理性的投资者不会投资于一个低于有效前 沿的投资，因为这意味着对一个相同风险的投资组合，将得到较低的回报( 也 就是说，对相同的预期回报，将会承担较高的风险) 。我们如何获得有效前沿呢? 我们已经证明：在某些条件下，投资组合的均值方差理论中的三种方式同样提 供了最优的投资组合方案，这在实际中能使我们满意。 更一般的，普遍被人们接受的是均值方差理论基于下列两个条件：资产回 报能用多元正态分布或者是投资者的偏好可以用二次效用函数刻画。 m a r k o w i t z 投资组合模型的基本思想是如何选择资产，使在期望收益一定 的情况下最小化投资组合的风险；或在所能承受的风险水平下最大限度地增加 投资组合的收益( 而投资的风险和收益分别用方差和期望来度量) ；或是期望 效用最大化。 接下来，我们讨论基于m a r k o w i t z 均值方差理论上选择投资组合的三种最 优方法。 我们从一些初步的投资组合选择开始。假设一个投资者可以投资1 个资产， 用碍表示在r 时刻第刀个资产的超额收益，r r1 似i , t 尺：p 霸r ) ，并假设它 们服从多元正态分布：p ( r r i j c l ，) - n ( f t ，) ，其中均值为n x l 维向量，协方差 为，l 力维矩阵。投资组合的权重是投资到每个资产的比例，由1 1 维向量给 出，1 ( q ，0 3 ：，。) 。可以得出投资组合在丁时刻的回报： 荟吼，r = c o r r r 它的期望和方差分别为： 8 武汉理工大学硕士学位论文 疗 矿酗j c l - 仃；一z 鸭c 0 v ( r v ，r j r ) 一窆 其中，是风险资产的期望，o r ；是风险资产的方差，“是第砸一1 2 ，甩) 个风 险资产的期望回报，c o v ( r , t , r ) 是第f 个资产和第个资产的回报的协方差。 研究保险资金的投资，常用有下列三种方法： 假设投资者拥有一个期限为f 的投资组合。我们假定投资者的目标是他的 财富在期末t + f 达最大。这里丁是投资组合的时间( 也就是说，回报的最后期 限给定了) 。 ( 1 ) 一定收益率水平下最小化投资组合的风险 均值方差准则可以通过以下的双投资组合来描述： o r ；窆r ” “，( 2 1 ) 7 + f k 。， o ；i - 1 其中ii 【扎 1 】：是投资组合可得的最小回报。 ( 2 ) 一定风险条件下最大化投资组合的期望收益 p 矿咖， s r 2 7 + f 仃“ ( 2 2 ) 【 以_ 1 这里仃是投资组合可接受的风险最大值，我们在期望回报和协方差的记号 中添加了下标丁+ f ，以此强调它们是还未观测的资产回报。 ( 3 ) 最大化投资组合的期望效用 保险资金投资组合的最优问题可以表述为： m a x e u ( o y r r + ，) 】p ( 仅r 竹) p 7 + ，( r 7 + ，i d , ) d r r + ， s j c o i - 1( 2 3 ) 期望效用最大化用预测密度函数办+ ，和效用函数的积分来表达，我们可以 把它看作计算投资组合回报的期望效用总和的权重，用未来资产回报的概率作 权重。 投资组合问题的这三种方法各有各的特点，投资者可以根据自己的实际情 况来灵活选择，而且它们都在均值方差理论的有效范围内。经常会在这三个优 化问题中给出更多的限制。例如，许多机构投资者不允许采取空投，在这种情 9 2 2 1 未知参数( p ，) 的无信息先验分布 无信息先验是先验分布的一类，即是指未知参数没有特定信息时，参数所 满足的先验分布，通常是采用j e f f r e y 先验。因为风险资产的收益率r 服从多元 正态分布m 似，z ) ，则其密度函数为 器旭例 ( 2 4 ) ( 2 - 4 ) 具有多元正态分布的位置尺度函数形式令z1 + a y ，得此变换的 j a c o b i n 行列式为h ：1 ( 此处“+ 表示取矩阵行列式的绝对值) ，则随机变量的 分布密度函数为 簪舾- l ( m ) ) 我们对参数作了这样一个变换 ( 姜d ，：) _ ( ：。) + ( ：三) ( g ) 这一变换相应的h a r r 不变测度为i i 1 肛，所以参数( ，z ) 的无信息先验分布 的密度函数 石( p ，z ) 筐丽1 r 一，跏0 ( 2 - 5 ) 2 2 2 未知参数( 卢，) 的共轭先验分布 共轭先验分布是贝叶斯理论中的另一类重要的先验分布，下面我们给出共 轭先验分布的定义如下： 定义：设口是总体分布中的参数( 或参数向量) ，万( 日) 是口的先验密度函数， 假如由抽样信息算得的后验密度函数与刀p ) 有相同的函数形式，则称石徊) 是秒 的共轭先验分布。 以下是多元正态分布的未知参数口1 ( 弘，) 满足的分布 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 如果k ，e ，匕是来自m 维正态分布坍( ，) 的样本，肛，以均为未知 的参数，则参数( ，z 。1 ) 的共轭分布族为正态w i s h a r t 分布，即对给定的，p 服从正态分布，而以的边缘分布为w i s h a r t 分布。 若记参数日- ( j c ， r - 1 ) ，s 。一罗( z e ) 2 ，e - 土罗z 筒刀筒 则样本似然函数为 i ：i 八胁z - 1 阶。卉e x p 卜善 - z ) ，f 1 “- z j 其中 黔唧协r m 驰b 固蛩 - g 。( s 。，z 4 ) ( 墨，匕，l ) 姒驰- 1 ) 毒e x p p ( 咿m 川娜1 ( 成) 3 ( k ，e ，匕) - 万 ( 幼) 。2 若取p p ) 。阿1 ，则 f o g ( t , 0 印 矽卫丽帮 雁r 1 z 1 o ，i o i 唧h h m 蹦z 瓤瑚耳郴d 2 ( 椭) i s 。r 斛2 鹏 2 1 23 9 ( 2 ”一用一1 ) 4 z二垦兰三筹exp一三，rcs。，一-，】d一-z ，o2 ”+ 册+ 2 村7 2 万”朋- 1 7 2 。“p 【 2 ”。” 7 j ”。 a 1 肾唧净驰国p 笔2 裂筹l ! ) r c 坐2 塑， 耽石( 2 肛加1 ) ，4 乓，u 7 它是一个常数，下面的集合 武汉理工大学硕士学位论文 11 v 。k z 。1 ) i 石肛以。了：；i i 了三j i i 丽g s n z 以p 。1 x 拧1 是m 维正态分布朋( 肛，z ) 中参数 ，z 。1 ) 的共轭分布族，可以看出 g 。( s 。，以) p 似_ 1 ) 可以分解为正态- w i s h a r t 分布密度函数的形式，对给定的 ，服从正态分布，而。1 的边缘分布为w i s h a r t 分布，所以，参数似，。1 ) 的 共轭分布族为正态w i s h a r t 分布族。 假设投资者对超额回报的均值和协方差矩阵有一个先验认识。下面我们考 虑共轭先验的情形。 正态分布的协方差矩阵的共轭先验是w i s h a r t 分布的逆分布，而多元正态分 布( 在的条件下) 的均值向量的共轭先验是多元正态分布 l1 l z 一研，二z ) if z o r ( q ，) ( 2 - 6 ) 参数f 的先验决定投资者的置信力量，着眼于r 的值，而，则反映了q 的置 信，z 和 ，的值越小，那些值的不确定性越高。当v = 0 时，x 的方差是无穷的， 并且它的先验分布变得完全平坦，也就是投资者没有均值的先验信息，并且让 它的取值一律从一到+ 。( 这是在先验分布中加入无信息的一种方法，这种 方法能使先验协方差( 决定因素) 变大) 要注意到( 2 6 ) 的共轭先验中的j e 和不是独立的，这与无信息先验不同， 如果投资者相信高风险会带来高期望回报的话，这个先验的依赖性也许并不合 理。 2 2 3 未知参数( p ，) 的后验分布 后验分布是贝叶斯统计推断的关键所在，而对于一般参数的先验分布，其 后验分布都相当的复杂，所以难以归为目前已知的统计分布类别中。 给定样本分布p ( x l o ) 和先验分布万 ) ，则由贝叶斯公式得到0 的后验分布 万( 日i x ) 一丛控堕( 2 - 7 ) 、。7 p ( x l o ) z r ( a ) ( 1 ) 若未知参数( c l ，z ) 取无信息先验，则 万( 卢，) 阿胂1 m ( 2 8 ) 由贝叶斯理论，参数( ，) 的后验分布密度与似然函数三( ，) 和先验分布密度 的乘积成正比，又 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 工c-l，x：，xtl，。卉exp【一丢妻cx，一肛，7。1cx，一，】 设x - ( 置，x ，) ，得参数( 肛，) 的后验分布密度函数为 嘶矧m 嵩等裟黑箍 i 云南e x p 【一壶妻( x 。一) 。1 ( x ，一) 】( 2 - 9 )i 云五鬲z 谭萨e x p 【一。芝善( 叉j 一) j “( 叉i 一j ( 2 ) 若未知参数似，z 。1 ) 为共轭先验分布，由前面2 2 2 节知它的共轭先验分布 为正态- w i s h a r t 分布，似，z 。1 ) 的后验分布的密度函数与样本似然函数和参数先 验分布密度函数之积成正比，设p o 是的均值 又 x ( u ，z 。1 ) 一x ( u x 一1 如g 一1 ) 筐l 一1 l ；( k , v - m ) c x p ( 一丢f ，【( 肛一p 。) 彳( 弘一芦。) + o l x 一- ) ( 2 1 0 ) cx-，r：，j，i，。卉exp【一三套cjl一，1cj，一，】c2-11) 则参数似，) 的后验分布密度函数为 万( ，z 。1 i x ) 万( 肛，一1 ) 三( x i ，z 一1 ) i - 1 i ( t + v * k - m ) 1 2e x p f i 1 护【d + ( h - l t o ) 彳( 比- h o ) + ( x ，一) ( 五一j c l ) 译4 ( 2 1 2 ) 2 2 4 预测密度函数 预测密度就是根据以往的经验数据，得出关于协方差的先验分布密度，并 用它来预测下一阶段的协方差分布密度。设随机变量x p ( x 矽) ，现抽取随机样 本x 。，x 2 ，x 。，x - 1 ，2 ，刀) 是独立同分布的，且五一p ( x i 口) ，设 x 。，x ：，x 。的观测值分别为x 1z ：，x 。，如果参数0 未知，要对x 的未来观测 值作出推断。 根据x 得观测值x 一( x 1x ：，x 。) ，结合后验密度万( p l x ) 能得到未来观测值 的分布，又设样本密度函数为厂( x i 口) ，由此能预测下一时间的密度函数为 f ( x + 。i x ) - f f ( x + 。1 日净( 口l x ) d 日 设样本的历史观测数据d ，l i i l l l l l ( 蜀，r ，) ，由贝叶斯公式可以算出参数的后验分布 1 3 武汉理工大学硕十学位论文 为p ( 弘，z i p , ) ，则在r + 1 时刻资产收益率置+ 。的预测密度为： p ( 蜀+ ，l q ) - j = ，z p ( 蜀+ 。l ，) p ( ，id f ) 懈 ( 2 - 1 3 ) 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章保险资金投资组合方法 3 1 保险资金投资组合风险最小化方法 3 1 1 保险资金投资组合模型 保险公司的投资有其自身的特点，方面，保险资金不能全部投资，需要 预留一定的资金以用来支付随时到来的赔付和再保险等。另一方面，对于保险 公司的投资，安全性是第一，这样我们就可以建立一个有约束条件的二次规划 问题，即建立一定收益率条件下风险最小的保险资金投资组合模型 m i n o ；一t o 艺o j s j 段- a ；e ( r ) + t o o r o ( 3 1 ) + 善鸭。l ，q o o 1 ，2 ，刀) 其中_ 【q ，：，峨】，蚴分别是无风险资产和第f 种风险资产的投资比 例；r - r i ，尺：，r 。】，j i c ，是第f 种风险资产的期望回报率；一【】嗍是刀种 风险资产的协方差矩阵，p 。是投资总收益的期望，仃；是风险资产的方差。 3 1 2 模型的求解 设e ( r ) i 但( 尺。) ，点( r 。) ) 表示风险资产的期望收益率，协方差矩阵为， zi v a r ( r ) - e ( r e ( r ) ) ( 尺一e ( r ) ) ip “) 斗研，ii ( u 山，心为期望达到的 投资组合收益，选择( 以x 1 ) 来使投资组合方差o r ：笠达