（应用数学专业论文）关于volterra积分方程若干问题的研究.pdf

摘要 本文对一些v o l t e r r a 型积分方程进行了研究，首先利用随机压缩函数证明了 一类以连续鞅为驱动的v o l t e r m 型随机积分方程强解的存在性与唯一性；其次， 对一类带v o l t e r r a 积分核的随机积分方程强解的稳定性进行了研究，得到了随机 稳定性的充分性定理；最后，利用有理h a a r 小波给出了一类v o l t e r r a 型积分方 程解的小波逼近方法和应用实例。 全文分四章： 第一章：介绍随机微分方程的研究背景、预备知识及一些记号； 第二章：给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性； 第三章：给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解随机稳定性和随机渐进稳 定性的充分性定理； 第四章：介绍了小波发展概况，给出一类v o l t e r r a 型积分方程解的小波逼近 方法和应用实例。 最后，总结论文的创新点，提出了改进方向并列出了本文所参考的主要文献。 关键词v o l t e r r a 积分方程；积分压缩函数；存在唯一性；强解；稳定性：有 理h a a r 小波。 a b s t r a c t s o m eo fi n t e g r a le q u a t i o ni sm a i n l yi n v e s t i g a t e di n t h i st h e s i s f i r s t , w ei m p r o v e t h ee x i s t e n c e - u n i q u e n e s st h e o r e mf o rv o l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r a l e q u a t i o nb y s t o c h a s t i cc o m p r a s sf u n c t i o n ；s e c o n d ，t h es t a b i l i t yo fv o l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r a l e q u a t i o ni ss t u d i e da n dt h es u f f i c i e n tt h e o r e mi sg a i n e d ；l a s t ，t h es o l u t i o no fv o l t e r r a s t o c h a s t i ce q u a t i o nb ea p p r o a c h e db yr a t i o n a lh a a rw a v e l e ta n da l le x a m p l ei sg i v e n t h ew h o l et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ： c h a p t e r s1w ei n t r o d u c et os o m eb a c k g r o u n do fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h ep r e l i m i nw h i c hi n c l u d eb a s i ct h e o r ya n ds o m en o t a t i o n s ； c h a p t e r s2w ei m p r o v et h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s st h e o r e mf o rv o l t e r r as t o c h a s t i c i n t e g r a ! e q u a t i o n ； c h a p t e r s3w ei m p r o v et h es u f f i c i e n t t h e o r e mf o rt h es t o c h a s t i cs t a b i l i t yo f v o l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r a le q u a t i o n ； c h a p t e r s4f i r s t , w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n tk n o w n l e g eo fw a v e l e t ；t h e nt h e s o l u t i o no f v o l t e r r as t o c h a s t i ce q u a t i o nb ea p p r o a c h e db yr a t i o n a lh a r tw a v e l e ta n d 锄 e x a m p l ei sg i v e n a tt h ee n do ft h et h e s i s ，t h ea u t h o rs u m m a r i z e st h ei n n o v a t i o n sa n dp r o p o s e st h e d i r e c t i o no f f u t u r ew o r k f i n a l y , r e l a t e dl i t e r a t u r e sa r cl i s t e d k e yw a r d s ：v o l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r a le q u a t i o n ；i n t e g r a lc o m p r a s sf u n c t i o n ； e x i s t e n c e - u n i q u e n e s st h e o r e m ；s t r o n gs o l u t i o n ；s t a b i l i t y ；r a t i o n a lh a a rw a v e l e t v 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名： 日期 焦 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存学位论 文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、 缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下， 学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 指导教师签名： 听净剐 1 1 1 日期：办7 ，厶 醐。叩缸z 哦叼发 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 微分方程是人们刻划客观事物变化的重要工具，它不仅是科学理论中重要 的认知工具，而且还在实际生产生活中发挥着不可缺少的作用，它被广泛应用 于医学，物理，机械，通讯等许多实践领域。 对于确定性微分方程的研究已经取得了丰硕成果，随着社会经济及军事的 发展和科学水平的提高，实践对微分方程自身理论的发展也相应的提出了更高 的要求。实际生活中，事物所处的环境存在大量随机的偶然的因素，对事物的 变化产生影响。有时，这些随机因素并不会对事物的运动产生根本性的影响， 系统建模时，如果对精度的要求不高，我们可以不对这些随机因素加以考虑， 以便使模型相对简化。但有时，随机因素会影响到事物运动的本质，这样我们 就必须对其加以考虑，才能真实完全反映事物运动的实际状态。 一个比较典型的例子就是人口增长模型 了a n ( o = 口( ，) n ( f ) ，( o ) = o ( 1 ) 其中，n ( t ) 表示t 时刻人口数量，a ( t ) 表示t 时刻人口增长率。在考虑到外部环 境随机变化的影响时，t ) 往往不能完全确定下来，因此有口( ，) = ，( ，) + “噪声”， 这里，( f ) 为确定性函数。通过实验研究，模型中的“噪声”项可视为高斯白噪 声，日本学者n o 建立了随机积分定义后，用b ( t ) 表示一维b r o w n i a n 运动，并 于1 9 5 1 年首先提出i t o 型随机微分方程。方程( 1 ) 表为下列随机微分方程 d n ( t ) = r ( t ) n ( t ) d t + o t n ( t ) d b ( t ) ( 2 ) 随机微分方程是介于微分方程与概率论之间的边缘分支，它是两个数学分 支互相渗透的结果，随机微分方程的研究领域极其广阔，在数学以及许多其他 领域有着广泛的应用，它对数学领域的许多分支起着有效的连接作用。自从2 0 世纪4 0 年代兴起以来，它就成为数学中的一个非常活跃的领域，国际上许多著 湖北大学硕士学位论文 名的数学家投入到这一领域的研究并获得了辉煌的成果。 例如：对于如下一般的随机微分方程解的存在唯一性已有一些成果。 出( f ) = 巾，x ( f ) ) 廊+ g ( t , x ( ，) ) d b f f ) f 洲( 3 ) iz ( o ) = 而 a r n o l d ，g a r d ，g i k h m a n ，分别在【1 - 3 】给出了在i 协积分意义下。方程存在唯 一解的充分条件。在以后的很多文献中，如x m a o 4 研究了随机时滞微分方程 解的存在唯一性，x m a o 在【5 】也给出了保证解存在唯一的充分性条件。 再如：对随机微分方程稳定性的研究。1 9 5 9 年b e f t r a m 等人，首先提出用 l y a p u n o v 稳定性的概念和方法来研究随机微分方程的稳定性；随后，由美国的 b u c y , k u s h n e r k o z i n 等人的努力，随机l y a p u n o v 稳定性理论得到了较为迅速的 发展。许多学者利用l y a p u n o v 方法处理了随机微分方程稳定性。对于随机微分 方程解的随机稳定性、指数稳定性、渐近稳定性、p 阶矩的稳定性的研究，获 得了许多成果。h a l e 6 ，r z kh a s 。m i n s k i i 7 ，k o l m a n o v s k i i 和m y s h k i s 8 ，l a d d e 和l a k s h m i k a n t h a m 9 ，文献u o 1 3 研究了非线性泛函时滞的随机微分方程的稳 定性，1 9 9 6 年，x m a o 1 4 建立了应用于随机时滞微分方程的r a z u m i k h i n - t y p e 定理，给出了稳定性的判据。x m a o 1 5 给出了关于时滞随机微分方程指数稳 定的充分条件，并将结论推广到具有多个时滞随机微分方程的稳定性中，关于 随机时滞微分方程稳定性的研究也取得了丰硕成果。 近年来，随机泛函微分方程、随机中立型微分方程、倒向随机微分方程、 随机振子、滤波问题等许多随机微分方程的理论成果不断出现。同时，随机微 分方程的应用也渗透到很多领域，如：边值问题、最优停止问题、随机控制、 数理金融、及最近倍受关注的神经网络中都有广泛的应用。如上这些足以见得 随机微分方程是一个十分活跃的研究方向。由于它的应用太泛，以下只以它在 神经网络中的应用为例说明该方向的重要性。 神经网络是h o p f i e l d 于1 9 8 2 年提出，它的一般微分方程形式如下； 2 第一章绪论 c 训= 一i 1 酶( ，) + 蔷d 弓毋( 叶( r ) ) l 螂d ( 4 ) 其中t 0 ，u l ( f ) 表示第f 个神经元的输入电压，每个神经元是以一个输 入电容q 和一个转移函数蜀( 1 4 ) 为特征，关系距阵中的元素乃取值为十l 玛或 一y 毛( 当第- ，个神经元通过一个电阻与第f 个神经元的输入联系为不可逆或可 逆输出时) ，在第f 个神经元输入时，并行电阻足：l 羔k l ，非线性变换函数 i - l 蜀( u ) 是s 形的、在“= 0 时最大斜率饱和值为5 ：1 ，蜀( u ) 的数学形式是一个非 减的l i p 连续函数。 神经网络总是在一定的物理环境中工作，由于温度、电场、磁场等诸多因 素的影响，神经网络中总存在着随机扰动，这些扰动对神经网络的影响在许多 情况下是不容忽视的。因此，神经网络更为精确的数学模型应为： d x ( t ) = - b x ( t ) * a g ( x ( f ) ) 讲+ 盯( x ( r ) ) 招( f ) t o ( 9 ) 其中口( f ) 是一个埘维b r o w n i a n 运动，盯( x ) = ( 气( 工) l 。，是一个定义在尺4 上取 值为d x m 维矩阵的函数，它刻划了随机扰动的强度，我们总假定盯( x ) 是局部 l i p 连续且满足线性增长性条件，易知此时对任意给定初值x ( o ) = x o r 4 ，方 程( 9 ) 在t 2 0 上存在唯一全局解。 类似的随机微分方程的应用还很多，我们就不一一列举。 尽管随机微分方程在理论和应用上都取得了一定的成果，但毕竟随机微分 方程的发展历史较短，其理论还不够完善，应用还有待进一步的发掘。如本文 就v o l t c r r a 型积分方程的若干问题进行了研究。此类方程在工程、物理、化学、 生物和系统科学等许多应用领域内都有广泛的应用【见1 6 一1 8 】，因此有许多数学 家从事这一课题的研究。尤其是对v o l t e r r a 积分方程数值方法的研究，已得到 了大量研究成果。 湖北大学硕士学位论文 1 、2 预备知识 定义1 2 1 设( q ，) 为可测空间，实可测函数x ：( q ，f ) _ ( r ，b ) 称为随机变 量( 其中b 为r 上的b o r e l 域) 定义1 2 2 称l 为示性函数，若l ( 缈) = ：o ) 芒e ：( 彳c q ) 易知：示性函数l 为f 一可测的营a 是f 一可测的 定义1 2 3 本性上确界设( q ，f ，p ) 为一概率空日j ，h 为非空随机变量族。称 随机变量野为的本性上确界，如果叩满足下列条件： ( i ) 对v f h ，有善玎4 j ( i i ) 设为任一随机变量，使得v f h ，有善矿a s 贝0 有，7 ，7 a , s 。 易知：h 的本性上确界存在，则必唯一。记为e s s s u p he s s s u p 不等式1 2 4 i c r 不等式j ct ，l q + 吼+ + s c r i q l 7 + i 吃r - f o q - i i ) 其中c f n 1 - 。；：；1 r 1 q = a 2 = = 等号成立的充要条件是当r = l时 4 l ，a 2 ，吼同号 0 o 有： 尸 彩：恶阻( 珊酬s 掣 ( i i ) 若p l 且 m 。( q ) ，则 e ( 恶) s ( 西pj pe i m b l 9 不等式1 2 7 g r o n w a l i 不等式】 设r o ，c o ，甜( ) 是在【o ，r 】上有界非负 b o r e l 可测函数，1 ，( ) 是在【o ，丁】上非负可积函数：若 甜( ，) c + f v ( s 弘o ) a s ，o t t 则 “( r ) c e x p ( f v ( s ) o r r 一些记号 盯( c ) 表示由c 生成的盯一代数5 墨表示f o ，o o ) 表示d 维欧氏空间； 表示d 维欧氏空间上的b o r e l 可代数： r “”表示d m 维矩阵； 曰“表示足“”上的b o r e l 一盯代数； l 卅表示向量x 的欧氏范数； 似j ，) 表示向量五j ，的内积，即( x ，y ) = x 7 y ； t r a c e a 表示方阵彳的迹，即t r a e e a = ： i g d 5 湖北大学硕士学位论文 川表示方阵4 的迹范数，b p l a i = 0 乏莉： c ( d ；) 表示定义在d 上的连续r 。一值函数的全体； c md ；r 4 1 表示定义在d 上的辫阶连续可微的旯4 一值函数的全体； ( q ，r 4 ) 表示满足e 例2 t o u r 4 一值随机变量的全体； c 2 , 1r a x 疋；r 1 表示定义在皿上的关于变量x 二阶连续可微、关于变量f 一阶连续可微的实值函数v ( x ，t 1 的全体； z 2 ( 【f o ，r 】；) 表示满足( i x ( f ) 1 2 , i t m 口j 的r a _ 值f 适应的随机过程 z ，t o - t t 的全体； m 2 ( k ，r 】；) 表示满足r l x ( f ) 1 2 毋 m 的2 ( 【f o ，r 】；月4 ) 中的随机过程 一 ，t o - t t 的全体。 本文将从以下三个方面给予讨论 第一、在比l i p 更一般的条件下，给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程强 解的存在性与唯一性；第二、给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程解的稳定性 判据：第三、对v o l t e r r a 型积分方程给出了求解的小波方法。 本文的结构安排如下： 第一章给出了随机微分方程的背景材辩及本文要用到的预备知识； 第二章介绍了现有的随机微分方程解的存在唯一性定理，并在比l i p 更一 般的条件下，给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性； 第三章给出了一类v o l t e r r a 型随机积分方程解的稳定性判据； 第四章对小波的发展进行了简要的概述，对有理h a r r 小波的定义、性质做 了详细的介绍并给出了v o l t e r r a 型积分方程求解的小波方法和应用宴例。 6 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程 强解的存在性与唯一性 本章主要是讨论一类v o l t c r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性。 2 1 关于随机微分方程强解的存在性、唯一性 关于随机微分方程解的存在唯一性问题，是理论研究和实际应用工作的基 础，所以一直是随机微分方程研究的重要课题，从随机微分方程产生以来，已 有一些随机微分方程解的存在性和唯一性结果。我们在此先将已有的相关结论 作简要陈述，这部分内容主要来自文献【5 】。 假设( q ，f ，e ，p ) 是一个带有满足通常条件的滤予 巧，t 墨 的完备概率空 间。b ( f ) = ( 尽( f ) ，岛( f ) ，e ( f ) ) 7 ，( ，o ) 是定义在此空间上的朋维布朗运动， o s r 0 t o o ，而是可测的月4 值随机变量且e k l 2 0 0 ，f ：r 。x t o ，r - r 。 和g ：【f o ，r 卜+ r 棚都是b o r e l 可测函数。 考虑d 维i t o 型随机微分方程 出( ) 。m ( ) ，；) ? + g ( 蚺f ) 拈( r ) 归丁 ( 2 1 1 ) 【x ( f 0 ) - - x o 由i t o 型随机微分的定义，( 2 1 1 ) 等价于下面的积分方程 m ) 2 而+ f m ( s ) ，s ) 凼+ g ( x ( s ) ，s ) 扭( s ) t o t t ( 2 1 2 ) ix ( t o ) = x o 下面先给出解的定义 定义2 1 1 一个值随机过程 x ( r ) i o 。t s t 称为方程( 2 1 1 ) 的一个强解，如果满足 下列性质： 7 湖北大学硕士学位论文 ( i ) j ( f ) 。；，是连续的和只一适应过程 ( i i ) ，( z ( f ) ，f ) ( 【f o ，r 1 ；) 和 g ( x ( ，) ，f ) 2 ( 【f o ，7 】；r “) ( i i i ) 方程( 2 1 1 ) 对于每一个r t o ，t 】以概率1 成立a 7 r y e ( 2 1 1 ) 的解 x ( f ) 称为是唯一的，当且仅当对任何其他解 彳( ，) ) 与 x ( ，) 不 可区分。即 尸 x ( f ) = i ( f ) ，t o f - t = l 定理2 , 1 1 假设存在两个正数髟和霞使得方程( 2 1 1 ) 的系数，g 满足 ( i ) ( l i p s e h i t z 条件) 对所有x ，y r d 和，【l o ) t 】 f 厂( 硝) 一f ( y ，f ) j 2r i g ( x ，) 一g ( y ，f ) 1 2 霞卜y i 2 ( 2 1 3 ) ( i i ) ( 线性增长条件) 对所有( x ，f ) “，o ，丁】 i s ( x , r ) 1 2v 陪( 埘) 1 2 - k ( 1 十i x l 2 1 ( 2 1 4 ) 则方程( 2 1 1 ) 存在唯一解x ( ，) ，且x ( f ) m 2 ( k ，1 ；) 。 引理2 1 2 假设线性增长条件( 2 1 4 ) 成立，如果x ( f ) 是方程( 2 1 1 ) 的解，则 e b 小( - m i 1 2 ) e 婶- f o x h 州 特别地，x ( t ) e m 2 ( 【f o ，丁】；) 定理2 1 3 如果定理2 1 1 的假设成立若工( r ) 为方程( 2 1 1 ) 的唯一解，靠( ) 是 由 矗o ) 2 而+ e ，( 矗- - o ) ，s ) 凼+ g ( 矗。o ) ，s ) d 口o ) 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 定义的p i c a r d 迭代序列，则对所有疗1 e(器)叫，)12)st8cm(t-to)”e8忡吨， 其中c = 2 k ( t t o + 1 ) ( r 一, o ) ( 1 + e l x o l 2 ) ，m = 2 r ( t - , o + 0 定理2 1 4 假设线性增长条件( 2 。1 4 ) 成立。但是l i p s c h i t z 条件由下面的局部 l i p s c h i t z 条件替换，对每个正数行l ，存在一个正常数毛，使得对所有f k ，t 】 和所有墨y r d 且l x l v l y l - ，o ，存在一个正常数坼，使得对v ( x ，t ) e r 4 f 0 ，t 】 x 7 厂( ，) + 扣( 毛，) 1 2 巧( 1 w ) 则方程( 2 1 7 ) 存在唯一全局解z ( ，) ，而且x ( r ) m 2 ( k ，o o ) ；r 。) 。 2 2 一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 本节利用随机压缩函数的方法讨论如下v o l t e r r a 型随机积分方程 工( t ) - - x 0 + f 七( ) 厂( 跗( s ) ) 西+ f g ( 蹦( s ) p m ( s ) ( 2 2 1 ) 其中肘( s ) 是连续平方可积鞅，在较l i p 更一般的条件下得到解的存在唯一性。 压缩函数的概念最早由a l t m a n 在研究非线性算子方程时引进m 1 文献【2 0 】、【2 1 】 借助【1 9 】的基本方法，在讨论随机微分方程和随机差分方程时引进了随机有界 积分压缩函数在比l i p 更一般的条件下得到方程解的存在唯一性，本节将这一 方法应用于讨论如上以连续鞅为驱动的v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在唯 一性。 2 2 1 预备知识 设肘= m ，t o ) 是概率空间( q 只尸， e ) 的e 一适应连续平方可积鞅，文 中我们假设存在非随机增函数4 使d ( m ) ，v 出以，特别的，当为b r o w n i a n 运动时即有凼= 戤，不失一般性，我们还设以= o ，用c ( r ) 表示一个仅依赖 于t 的正数，在相同的场合它可以表示不同的数。 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 考虑如( 2 2 1 ) 由连续鞅为驱动的v o l t e r r a 型随机积分方程( 这荚方程的 背景资料可参见【2 2 】) 我们假设核函数是随机的，即七( f ，j ) = k ( t ，s ，国) 它对国本 性有界：满足条件( h ) ：映射( r ，s ) - - , ( ，s ，国) 是从= ( r ，s ) ，s f 到厶( q ) 中 的连续函数，k ( q ) 中的范数定义为i i k ( ，s ，) 8 = e - e s s 一 们还假设jr 时，肛以，s ，口) 一七( f ，s ，口) 9 j o 关于j f 一致成立( 即在k ( q ) 中七( r ，s ，彩) 关于第一个变量的连续性对于第二个变量在上是等度的) 设r l ( l x ) ，r ：( f ，x ) 为r + r 上的有界b o r e l 可测函数，c o 表示r + 上全体适 应的连续过程。 定义、称r + x r 上的函数厂( f ，x ) 具有有界积分压缩函数( 【，r ：) 若 讥( f ) ，r ( t ) c o 及t v t o ，t t 有 s u ：f ( t , x ( r ) + y ( ，) + f f i ( 蹦( s ) ) y ( s ) 凼- i - f f 2s , x ( s ) ) y ( s ) 跏( s ) ) 一s ( t , x ( ，) ) i c ( r ) 8 u p p ( ，) j ，f 显然，当f ，= r 2 = 0 时，即为l i p 条件。 2 2 2 定理及证明 定理若方程( 2 2 1 ) 满足条件 1 。随机核七( ，s ) = k ( t ，j ，) 是e 一适应的且满足条件( h 2 。v x ( ) c o n 厶( q ) ， 善是r + r j 厶( q ) 中的映射，r f , g 有有界 积分压缩函数( r i ，r ：) 。 则方程( 2 2 1 ) 有唯一的强解x ( ，) c 0 且e s u p i x ( ，) | 2 0 ，7 湖北大学硕士学位论文 引理i 殳k ( t ，s ，) 满足定理的条件，着e 一道j 蔓x 【，) 局吾1 5 有界( 即 v t os u p l x ( f ) l c ( 丁) 口j ) 则 f 后( p ( s ) 凼c o t g t 叫 证明v t o 乙( o ，t 1t 。_ f f r 七( ) 石( s p f 后( 舢) j ( s f 兰f 肥( ) 一后( ) m 蚪一眇( 舢) x ( s ) 凼 刖七( ，s ) - k ( t ，s ) l l l x ( s ) 陋+ c ( r ) l t - 1 s c ( r ) 5 罂l l k ( t ，s ) 一i ( ，s ) 0 + c ( r ) i 一t l - - ) o ( 当j f ) 定理的证明： 建立如下的迭代格式 令x o ( t ) = x o 。( t ) = 矗( f ) 一此( f ) 一f r ( s ，( s ) ) m ( s ) 丞一f r ：( s ，h ( s ) ) 虬( s ) 删( s ) ( 2 2 2 ) 其中 以o ) = ( f ) 一而一f 七( ，f 1 厂( s ，矗( s ) ) 凼一f g ( s ，( s ) ) 删( s ) ( 2 2 3 ) 由弓l 理知矗( f ) ，儿( t ) c o 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 3 ) 有： + - ( r ) = 毛+ 。( ，) 一而一f i ( 舢矿( s ，( s ) ) 幽一f g ( s ，。( s ) ) 埘( s ) ( 2 2 3 ) 叫? 矗( f ) 一儿( f ) 一肌蜗( s ) ) 儿( s ) a s f r 2 ( 嘁( 。) ) 以( 。) 跏( 。) 一一f 七“s 矿0 ，_ + ，) ) 凼一f g ( s ，+ 。( s ) ) c 姒o ) 叫2 = 2 3 ) ( r ) 一 ( r ) 一一f 七( ) ，( ( s ) ) 凼一f g ( s ，( s ) ) 谢( s ) 一fr i ( s ，矗( s ) ) 此p ) a s f r ：( s ，( s ) ) 咒( s ) 锄，( s ) 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 一而一f 七( f ，s ) ，( s ，吒+ 。( s ) ) 凼一f g ( s ，+ 0 ) ，册( 。) = f 七( ，s ) 厂( s ，( 一) ) 一厂( s ，。( s ) ) 凼一f r ：( s ，( s ) ) 只( s ) d m ( s ) 一fr l ( s ，o ) ) 以0 ) 西+ f g ( 最矗( s ) ) 一g ( s ，靠。( s ) ) ，m ( s ) 设r j ，f 2 的界为口，- - 掩j v t o ，f ，- - - t e 磐睇( r ) 1 2 s4 s g p l l k ( ) 1 1 2 小p 粤，( 摊) ) 一确，铂( “) ) | 2 出 + 4 口2 f e s 。u 。p y o ) 1 2 出+ 4 昱磐 f g o ，) ) 一g o ，矗。o ) ) 棚o ) 1 2 + 4 e 詈l f r ：( 蜗( s ) ) 以( s ) 删( s ) 1 2 _ + 厶+ 厶+ l 由毛+ 。( u ) 的定义及积分压缩条件 s u p i f ( 甜，矗 ) ) 一，( “，毛。( “) ) 1 2 c ( r ) s u p 阮( 甜) 1 2 s j 。 “j 于是 ，i c ( r ) fe 罂k ) 1 2 出c ( r ) f e , y y l y ( 甜) 1 2 戤 由于 e 皇f _ ( s ，矗( s ) ) 一g ( 以。o ) ) 谢0 ) 是f 鞅，由鞅不等式 厶c ( 丁) f e i g ( s ，而( s ) ) 一g ( s ，+ ( s ) ) f d ( 吖) ， c ( 丁) f i g ( s ，而( s ) ) 一g ( s ，( s ) ) 1 2 戤 c ( r ) 卜粤阢，( s ) ) 一g ( + 。( 圳2 旭 c ( r ) f e s u p y ( “) 1 2 弛 用同样的方法可得到估计式 c ( 丁) 弘粤i 咒( 甜) 1 2 她f = 2 ，4 于是我们有 e s u q p i y 荆降( r ) f i 翟蜘) 1 2 吼 - 轴 一 0 轧 湖北大学硕士学位论文 ，( r ) f ir e 翟“) 阮啦 盘”( 丁) ff 2 r e s p 。l y o ( “) 1 2 咀吼 ( 2 2 4 ) e u s u p 。n + l k ( 2 = e 激k ( “) 一而一f 后( ，s 矿( 岛) 西一r g ( s ，) 棚( s ) 1 2 2 e 器胁( 沙( ) 幽1 2 + 2 e ：u pg ( 肛( s ) 1 2 = 2 + 以) 由c a u c h r - s c h w a r z 不等式 以s o 。! 罂忙( ”，s ) n r e i ，( s ，) 1 2 西 i s “s 7 。 外s u pi l k ( 叫阿e 圳2 杈= c ( r ) 由鞅不等式，类似地有以sc ( t ) 代入( 2 2 5 ) 中得 下面我们计算 e s u p i y o ( ”) 1 2 c ( r ) s 0 “ j r = f jf 2 r 蚝诅”啦眠 = r 咀h = i 。r p 蚩a 2 咀卜。魄 啪廿争。：卜 1 4 ( 2 2 5 ) 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 代入( 2 2 4 ) 得 ：兰玉兰：业= = ( = 生二旦 7 11 聍17 l ! e 罂叭，) | 2 哔v 懈眨2 射 再由( 2 2 2 ) 式得 s 。u px 一+ t ( f ) 一( f ) i = ：罗j 儿o ) + fr i ( s ，而o ) ) 以o ) 西+ f r ：( s ，矗( s ) ) 只o ) r i m ( s ) i e 攀h ( ，) 一矗( r ) 1 2 s 3 e 磐k ( ，) 1 2 + 3 e s 。u p ifr l ( s ，而( s ) ) 以( s ) 蕊1 2 伽攀f f r ：( ( s ) ) ( s ) 蹦( s ) 1 2 - - 3 ( 墨+ 妈+ 墨) 设r i ，f ：的界分别为q ，由柯西不等式得 局= e 攀f r i ( ( s ) ) 儿( s ) 西1 2 s ，e 警f r 1 ( s ，毛( ，) ) 咒o ) f 2 凼 s q 2 n r e k ( s ) 1 2 d s 利用鞅不等式有 墨= e 警l f r ：( ( s ) ) ( s ) 谢( s ) | 2 s 4 e r l r ：( 文矗o ) ) 儿0 1 2 d 盯) ， 1 5 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 湖北大学硕士学位论文 了1 喜e 眢，) 一( ，) 1 2 s 弘错 。o 等。, e m m a 普( r ) 障1 t ) - x 。t 口jj s u p i + i ( f ) l 7 口j ， 玎 j 喜眢i h ( r ) 一( r ) 降砉专 o o 于是存在x ( f ) 在【o ，r 】上 矗( ，) 寻x ( f ) 疗j ( 疗一o o ) 由( t ) 的连续性知x ( ，) 连续 又由 1 6 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 专眢一而i s u p t ；t k - i ) 吨一( 叫 善磐) 一黾划k 妻js 。u p i 。c o 。 = e 嚣p l x ( ，) 一而1 2 j e 警) 1 2 = e s u p 一而+ f 2 2 e s u p i 工( f ) 一而j 2 + 2 e k l 2 o o t t 为了证明工( f ) 是方程( 2 2 1 ) 的解，我们先证明 e s u p i 矗( t ) - x ( t ) l 专0 ( 当以一。o 时) f 口 因为 e 攀k ( 矿z ( f ) j e s 。u p l i m x + t ( f ) 一毛( f ) j s 西l i m s u p i x + i ( f ) 一毛( f ) | 呻t t f a t o s 坍旧磐e , u p l l i r a e s u p x 。( t ) 一矗( t ) l s 。l 一矗 一 = 1 i m e s u p l x 。( ) 一+ 。一。( f ) + + 。( f ) 一矗o ) i + of s 7 s 磐n 善+ k - | e 普m ，) 一而( ，) i 1 7 ( 2 2 1 3 ) up i 礼 “ 一 硌 一：、 一 k o r l ， 。犁 弛。 。b 。m 肛 一， 而 卜x “：， h 主- 等 湖北大学硕士擘位论文 = 喜e 翠l 粕( ，) 一而( r ) l 1 0 喜斗。( 当甩一o o 时) ( 2 2 - 4 ) 下面我们证明x ( f ) 是方程( 2 2 i ) 的解 e l x ( r ) 一而一f 七( 矿( 蹦( s ) ) 西一f g ( 蹦( s ) x e k ，( t ) - x ( t ) i + e b ( ，) 一而一f i ( l ，( 蹦( s ) ) 凼一f g ( 舭( s ) 肌l ( 2 2 1 5 ) 由( 2 2 1 4 ) 知 e k + 。( f ) 一x ( f ) i 寸o ( 当月辛时，关于f ，一致成立) ( 2 2 。1 6 ) 由( 2 2 3 ) 知 故 矗+ ；o ) = 儿+ ，( f ) + + f 七( r ，s 矿( b x n 。( s ) ) 幽十f g ( s ，+ ( s ) ) 删o ) e h ( r ) 一一f 后( 柚矿( 蹦( s ) ) 凼一f g ( 蹦( s ) 冲( s ) i = e i 以+ 。( ，) + f 七( r ，s ) 厂( s ，矗+ ( s ) ) 一厂( s ，工( s ) ) 幽 + f g ( + ( s ) ) 一g ( 蹦( s ) ) p ( 刮 e h ( ，) h 船，s ) 几，( s ) ) 一巾，x ( s ) ) h + e i f g ( 刷) 一g ( 蹦( s ) ) p ( s ) i = a l + a 2 + a 3 ( 2 2 1 7 ) 由( 2 2 6 ) 知 人l 寸0 ( 当月一o o 时，关于f t 一致成立) ( 2 2 1 8 ) 1 8 第二章一类v o l t e r r a 型随机积分方程强解的存在性与唯一性 又 a ：e 肚( 抽) 咿( s ，铂( s ) ) 一厂( 跗( s ) ) f 凼 兰c ( r ) f e l ，( s ，( s ) ) 一厂( 蹦( s ) ) i 凼 再由( 2 2 1 6 ) 及，的连续性可得 人2 一o ( 当胛一时，关于t s 丁一致成立) ( 2 2 1 9 ) a ，= e j f g ( 荆) 一g ( 蹦( s ) ) p ( s ) 1 2 = e 船( s ，( s ) ) 一g ( 蹦( s ) ) 陬肘) 。 e f i g ( s ，( s ) ) 一g ( 蹦( s ) ) 1 2 以 由积分压缩条件、( 2 2 1 4 ) 及控制收敛定理得 e | f g ( + 。( s ) ) 一g ( 蹦( s ) ) p ( s ) 卜o ( 疗一m ) 故 人，- - ) 0( 当疗寸a o 时，关于f t 一致成立)( 2 2 2 0 ) 由( 2 2 1 6 ) 一( 2 2 2 0 ) 可得： x ( f ) 是方程( 2 2 1 ) 的解。 最后证明解的唯一性 设，( ) 、，( ) c 0 是方程( 2 2 1 ) 的两个解，考虑y ( ，) 的线性方程： j ，( ，) = ，( f ) 一，( f ) 一n “一( ，) ) y ( s ) a s fr 2 ( s ，一( f ) ) y ( s ) 跏( s ) ( 2 2 2 1 ) 由于是线性方程，故必有一强解y ( ，) ，( r ) 一x 。( t ) - - f j i ( ) ( 舭( s ) ) 一，( 蹦。( s ) ) 凼 + f g ( s ，一( s ) ) 一g ( 蹦。( s ) ) p ，( s ) 1 9 ( 2 2 2 2 ) 湖北大学硕士学位论文 由( 2 2 2 1 ) 得 ，( ，) = ，( ，) + y ( r ) + f r 。( 舭7 ( f ) ) y ( s ) 西+ f r ：( 蹦( f ) ) y ( s ) r i m ( s ) ( 2 2 2 3 ) 由积分压缩条件得 e s u p l ( s ，( f ) ) 一厂( s ，o ) ) i s c ( 丁) e 蚰p i j ，( s ) i $ gj g 利用k ( t ，s 1 的有界性及( 2 2 2 2 ) 得 e 磐- x ( r ) 1 2 c ( r ) f e 罂) 1 2 西 再由( 2 2 2 1 ) 及r l ，f 2