（应用数学专业论文）关于一个新的广义非线性变分包含组.pdf

摘要 慨= 裟淼蠹 c6，0。eg危(。u口)，-一ts(。pe(u。u)，,口f。u(v，)，)+-t-m。(g。(。u心)，,，乏i：i；j a b s t r a c t c o n t e n t ：i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo fg e n - e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t ha - m o n o t o n e m a p p i n g si n h i l b e r ts p a c e sa sf o l l o w ： ( a ) l e ts ：皿h 2 _ 日1 ，t ：h i 2 _ 飓，p ：h i _ h ia n d q ：奶_ 凰b ea n ys i n g l e - v a l u e dm a p p i n g s l e ta 1 ，g ：皿_ h ia n da 2 ，h ：2 _ 玩b ea n yf o u rn o n l i n e a rm a p p i n g s ；e ，d 1 ： 皿_ c b ( h 1 ) a n ded 2 ：h 2 一c b ( h 2 ) b ea n yf o u rm u l t i v a l u e d m a p p i n g s a s s u m et h a tm ：皿飓_ 2 h 1a n dn ：h i 马一 2 h 2a l et w os e t v a l u e dm a p p i n g ss u c ht h a tf o re a c hf i x e d 名1 玩， z 2 2 ，m ( ，z 2 ) ：h i 日2 _ 2 阮a n dn ( z l ，) ：玩h 2 _ 2 h 2 a l et w oa - m o n o t o n em a p p i n g sw i t ho ( h i ) nd o r a ( m ( ，勿) ) ga n d m 也) nd o m ( n ( z l ，) ) g ，r e s p e c t i v e l y ( b ) i fe ，ed i ，d 2b ea n ys i n g l e - v a l u e dm a p p i n g s t h a n ( a ) r e d u c e s b yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t ha m o n o t o n e m a p p i n gd u et ov e r m a ，b a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n g ，w ec o n s t r u c ta n i t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gan e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，p r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ran e ws y s t e m o fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h ec o n v e r g e n c eo f i t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m o u rr e s u l t si m p r o v e l l 、，、j 2 1 巩 卜 曲u ， “ 现 m + + 可，：=、 l q u g p z s r 一 一 u ，i，fi、 9 0 0 ，、_， l l 2 己 巩 以 卜 u d o 2 娟 驮 m + + 可，= 妨 “ “ s r 一 一 u 口 9 忍 0 0 ，、【 a n dg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t si nt h i sf i e l d k e yw o r d s ：a - m o n o t o n em a p p i n g ；r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ； c o n t r a c t i o nm a p p i n g ；v a r i a t i o n a li n c l u s i o ns y s t e m ；c o n v e r g e n c e 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过 的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中 做出了明确的声明并表示谢意 粒澈储戤2 獬一： 学位论文版权使用授权书 吱眠7 一s 一| 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的 论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 象译 指导教师签名： 日 期：认n 处 o nan e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e d n o n l i n e a rv a r i a ti o n a li n c l u s i o n s 1i n t r o d u c t i o n v a r i a t i o n a li n c l u s i o na r ea m o n gt h em o s ti n t e r e s t i n ga n di n t e n s i v e l ys t u d i e dc l a s s e so fm a t h e m a t i c lp r o b l e m sa n dh a v ew i d ea p p l i c a t i o ni nt h ef i e l d so f o p t i m i z a t i o na n dc o n t r o l ，e c o n o m i c sa n dt r a n s p o r t a t i o ne q u i l i b r i u m ，e n g i n e e r i n g s c i e n c e r e c e n t t i y , m a n ye x i s t e n c er e s u l t sa n di t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rv a r i o u sv a r i - a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e mh a v eb e e ns t u d i e d f o rd e - t a i l s ，w er e f e rt h er e a d e rt o 【1 2 9 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n i n2 0 0 1 ，v e r m a 【1 3 】i n t r o d u c e da n ds t u d i e ds o m es y s t e m so fv a r i a t i o n a li n - e q u a l i t i e sa n dd e v e l o p e ds o m ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n s o fs y s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s l a t e r ，c h oe ta 1 【1 】i n t r o d u c e da n ds t u d - i e dan e ws y s t e mo fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e s t h e y p r o v e ds o m ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo f n o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h e yd e v e l o p e ds o m ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r a p p r o x i m a t i n g t h eu n i q u es o l u t i o no ft h es y s t e m s o m er e l a t e dw o r k s ，w er e f e rt o 【2 , 6 - 8 ，1 4 1 f u r t h e r m o r e ，m o n o t o n i c i t yt e c h n i q u ew e r ee x t e n da n da p p l i e di nr e c e n ty e a r s b e c a u s eo ft h e i ri m p o r t a n c ei nt h et h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，c o m p l e m e n - t a r i t yp r o b l e m s ，a n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s s o m en e wa n di n t e r e s t i n gp r o b l e m s w h i c ha r ec a l l e dan e wc l a s so fh - m o n o t o n em a p p i n g si nt h ec o n t e x to fs o l v i n g as y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gac o m b i n a t i o no fh - m o n o t o n ea n d s t r o n g l ym o n o t o n em a p p i n g sb a s e do nt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ew e r ei n - t r o d u c e da n ds t u d i e db yf a n ga n dh u a n g 4 】i nar e c e n tp a p e r ，y a he ta 1 2 1 】 i n t r o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo fs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t hh m o n o t o n eo p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c e s b yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rm e t h o d a s s o c i a t e dw i t hh m o n o t o n eo p e r a t o rd u et of a n ga n dh u a n g t h ea u t h o r sd e - v e l o p e dan e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h i sk i n do fs y s t e mo fs e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo fs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h m o nt h eo t h e rh a n d ，a sg e n e r a l i z a t i o n so ft h ea b o v eh m o n o t o n em a p p i n g s ， v e r m a f1 6 】i n t r o d u c e dt h en o t i o no ft h ea m o n o t o n em a p p i n g sa n d i t sa p p l i c a t i o n s t ot h es o l v a b i l i t yo fs y s t e m so fn o n i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a sv e r m ap o i n t e d o u t ：“t h ec l a s so ft h ea m o n o t o n em a p p i n g sg e n e r a l i z e st h eh m o n o t o n i c i t y o n t h et o po ft h a t ，a m o n o t o n i c i t yo r i g i n a t e sf r o mh e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n d e m e r g e sa sam a j o rc o n t r i b u t o rt ot h es o l v a b i l i t yo fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a lp r o b l e m s o nn o n c o n v e xs e t t i n g s ”a sam a t t e ro ff a c ts o m en i c ee x a m p l e so na m o n o t o n e ( o rg e n e r a l i z e dm a x i m a lm o n o t o n e ) m a p p i n g sc a r l b ef o u n di nn a n i e w i c za n d p a n a g i o t o p o u l o s 【1 0 】a n dv e r m a 【1 5 h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si n i t i a t ea n d d e v e l o p e db yp a n a g i o t o p o u l o s 【11 】a r ec o n n e c t e dw i t hn o n c o n v e xe n e r g y f u n c t i o n s a nt u r n e do u tt ob eu s e f u lt o o l sp r o v i n gt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fn o n c o n v e x c o n s t r a i n e dp r o b l e m s w en o t et h a tt h ea - m o n o t o n i c i t yi sd e f i n e di nt e r m so fr e - l a x e dm o n o t o n em a p p i n g sam o r eg e n e r a ln o t i o nt h a nt h em o n o t o n i c i t yo rs t r o n g m o n o t o n i c i t yw h i c hg i v e sas i g n i f i c a n te d g eo v e rt h eh m o n o t o n i c i t y v e r yr e - c e n t l y , v e r m a 【1 8 】e x p l o r e dt h er o l eo fa m o n o t o n i c i t yi nc o n s t r u c t i n gag e n e r a l f r a m e w o r kf o ra - r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，a n dc o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o na n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o ra p p r o x i m a t es o l u t i o no fa n e wc l a s so fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m si n v o l v i n gr e l a x e dc o c o e r c i v e m a p p i n g su s i n ga - r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e i n s p i r e da n dm o t i v a t e db yt h e r e c e n tw o r k s 【5 ，1 2 ，1 7 - 2 1 ，ia i mi nt h i sp a p e ri n - t r o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo fn o n l i n e a ra - m o n o t o n em u l t i v a l u e dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n si nh i l b e r ts p a c e s b yu s i n gt h ec o n c e p ta n dp r o p e r t i e so fa - m o n o t o n e m a p p i n g s ，a n dt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t ha m o n o t o n em a p - p i n g sd u ot ov e r m a ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rm u l - t i v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s w ea l s oc o n s t r u c tan e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o r a p p r o x i m a t i o nt h es o l u t i o n sf o rt h i ss y s t e mo fn o n l i n e a rm u l t i v a l u e dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa n dd i s c u s sc o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o - r i t h m o u rr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z em a n yk n o w nc o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f 【1 ，2 ，4 ，1 4 ，1 6 ，2 1 】 2p r e l i m i n a r i e s l e thb ear e a lh i l b e r ts p a c ee n d o w e dw i t han o r m ia n da ni n n e rp r o d u c t ( ，) ，r e s p e c t i v e l y ，2 日a n dc b ( h ) d e n o t et h ef a m i l i e so fa l lt h en o n e m p t ys u b s e t s a n da l lt h en o n e m p t yc l o s e db o u n d e ds u b s e t so fh ，r e s p e c t i v e l y t h em a p p i n g m ：hxh 一2 i sas e t v a l u e dm a p p i n g i no r d e rt oo b t a i no u rr e s u l t s ，w en e e d t h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n s ，l e m m a sa n dk n o w nr e s u l t s 2 d e f i n i t i o n2 1a m a p p i n gb ：h c b ( h ) i ss a i dt ob e 矗一l i p s c h i t z c o n t i n u o u si ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 0s u c ht h a t d e f i n i t i o n2 2 日( b ( z ) ，b ( 可) ) 钏z 一可l l ， v z ，y 日 l e ts ，p ：h h _ 日b e m a p p i n g s si ss a i dt ob e ( 1 ) l i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt h ef i r s ta r g u m e n t ，i ft h e r ee x i s t sac o 璐t a n tq 0 s u c ht h a t s ( x ，z ) 一8 ( y ，z ) l isq i i 。一可| i ，v z ，y ，名日； ( 2 ) r e l a x e dl i p s c h i t zw i t hr e s p e c tt opi nt h ef i r s ta r g u m e n t ，i ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n t 盯 0s u c ht h a t ( s ( 让) ，z ) 一s ( p ( u ) ，z ) ，u 一口) 一o i i u 一 1 1 2 ，v u ，口，h s i m i l a r l y , w ec a nd e f i n et h el i p s c h i t za n dr e l a x e dl i p s c h i t zc o n t i n u i t yo fsi nt h e s e c o n da r g u m e n t d e f i n i t i o n2 3 a m a p p i n ga ：h _ hi ss a i dt ob e ( 1 ) s t r o n g l ym o n o t o n e ，i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t7 0s u c ht h a t ( a ( x ) 一a ( 可) ，x y ) r f l x 一可| 1 2 ，v x ，y 日； ( 2 ) l i p s c h i t zc o n t i n u o u s ，i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n to 0s u c ht h a t f a ( x ) 一a ( y ) i i n f | z 一可i i ，v z ，y h d e f i n i t i o n2 4a m a p p i n gm ：h _ 2 h i ss a i dt ob e ( 1 ) m o n o t o n ei f ( z y ，札一v ) 0 ，v u ，口h ，z m u ，y m y ； m r e l a x e dm o n o t o n ei ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tm 0 s u c ht h a t ( z y ，u 口) - m l l u u i l 2 ，v u ，u h ，z m u ，y m y d e f i n i t i o n2 5 1 4 】l e ta ：h _ h a n dm ：h _ 2 b e m a p p i n g s t h e m a p p i n gm i ss a i dt ob ea m o n o t o n ei f ( 1 ) mi sm r e l a x e dm o n o t o n e ， ( 2 ) ( a + p m ) ( h ) = hf o rp 0 p r o p o s i t i o n2 1 【2 0 】l e ta ：日_ 日b e7 s t r o n g l ym o n o t o n e ，m ： 日一2 爿b ea m o n o t o n ea n dm r e l a x e dm o n o t o n ew i t hr m t h e nt h eo p e r a t o r ( a + p m ) - 1 ：h hi ss i n g l e - v a l u e d 3 d e f i n i t i o n2 6 【2 0 】l e ta ：h _ 日b er - s t r o n g l ym o n o t o n e ，m ：h _ 2 爿 b ea - m o n o t o n ea n dm - r e l a x e dm o n o t o n ew i t hr m t h e nt h er e s o l v e n to p e r a t o r j m a i sd e f i n e db y 聪( u ) = ( a + p m ) 。1 ( 乱) ，v u h l e m m a2 11 2 0 】l e thb ear e a lh i l b e r ts p a c e ，a ：h _ 日b er s t r o n g l y m o n o t o n e 。m ：h _ 2 日b ea - m o n o t o n ea n dm - r e l a x e dm o n o t o n ew i t hr m t h e nt h er e s o l v e n to p e r a t o r 璐i s 而1 一l i p s c h i t zc o n t i n u o u sf o rp 0 l e m m a2 3 2 5 】l e t 口n t 1 2 0 ， 风) n 2 0a n d ) n ob en o n n e g a t i v es e - q u e n c e ss a t i s f y i n g w h e r e 0 3 o t n + 1 ( 1 一民) q 佗+ 如风+ ， v n 0 ， _ 【如】n 抄c 【0 ，l 】， o 。 o o 三厶= ，熙风= oa n d 0a n d 入 0a r et w oc o n e q u i v a l e n tt of i n d i n ga ne l e m e n t ( 乜，v ) k k 6 0 ，v a k ， 0 ，v b k ，、，、， u 一 一 0 6 ， ， ” u 一 一 u u 十 + 奶妨，i、， f e p 一 m la n dn ：h 1 凰一2 月2b ea 2 一m o n o t o n e ，m 2 一r e l a x e d m o n o t o n em a p p i n gw i t h7 2 m 2 s ：h x 飓_ 研，t ：皿飓一也， p ：h 1 一h ia n dq ：h 2 一飓b ea n ys i n g l e - v a l u e dm a p p i n g sa n dg ：h 1 一日1 a n dh ：2 _ 2b ea n yn o n l i n e a rm a p p i n g sw i t hg ( h ) nd o m ( m ( ，z 2 ) ) 毋 a n dh ( h 2 ) nd o m ( n ( z 1 ，) ) 仍，r e s p e c t i v e l y , a n de ，d 1 ：h 1 _ c b ( h x ) a n d f d 2 ：飓一c b ( h 2 ) b ea n yf o u rm u l t i v a l u e dm a p p i n g s t h e nt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( i 1t h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ( 3 1 ) h a v ea 8 0 l u t i o n ( u ，移) ( h 1 上巴) ，z e u ，y f v ，z l d l u ，z 2 d l v ，w i t hg ( u ) d o m ( m ( ，勿) ) a n dh ( u ) d o m ( n ( z l ，) ) ； ( i i ) t h e r ee x i s t ( 让， ) ( h 1 五己) ，z e u ，y f v ，z l d l u ，7 2 d 2 v s a t i s f y i n g 磁_ ；2 ( a - ( 夕( u ) ) + p ( s ( p ( “) ，可) 一9 ( ”) ) ) ( a z ( 九( ) ) + p 2 ( t ( x ，口( 钉) ) 一 ( 口) ) ) w h e r e 磁a 1 忽a n d , a 钆2 d e n 。t et h er e s 。l v e n to p e r a t o r 。fm ( ，z 2 ) a n d ( 钆) ， r e s p e c t i v e l y ( i i i ) t h em a p p i n gf = ( f 1 ，最) ：日1 日2 一日1 h 2d e f i n e db y 7 、，、， m u ，l，l g 尼 ，-ij(1【 s 丁 仇由以 “+ “+ 一 m 一 佛u u 甜 外 时卅 一 n a 一 a 榴璇 = + l i + r 足 h a saf i x e dp o i n t ( u ， 3 ) ( h 1 吼) p r o o f n o t et h a t ( 3 1 ) h o l d si fa n do n l yi f w h i c hi se q u i v a l e n tt o o nt h eo t h e rh a n d ，砸 h a sa 敝e dp o i n t ( u ，v ) ( 1x 2 ) ，i fa n do n l yi f ( 3 9 ) w h i c hi se q u i v a l e n tt o ( 3 1 ) t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f b a s e do nl e m m a3 1a n dn a d l e r sr e s u l t 2 9 ，w es u g g e s tt h ef o l l o w i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s p r o b l e m ( 3 1 ) 3 2 a l g o r i t h m3 1 a l g o r i t h m3 1l e ta x ：皿_ 日1a n da 2 ：凰一凰b e7 1 ，r 2 一s t r o n g l y m o n o t o n e ，r e s p e c t i v e l y ；m ：h i 玩一2 月1b ea 1 一m o n o t o n e ，m l r e l a x e dm o n o - 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