（应用数学专业论文）关于违约时间的一种新模型.pdf

a七 5 汀 别 比11 一 粇 . . . .，_ ab s t r s d hith eli te 口 tu r e ， th ere 暇 幻 刀 。 即 p r o a c h e s tom o d e l cr edit ri s k : 5 。 ” c tu la l a p p r o ach 胡d r educ edfo n n a ppr o a c hhithe s tr u c to ia 1 app r o a c 叹th e d e fa 旧 lt ti m eis d 的n edas th e 6 rst ti m e th atth e as 城 valueh itss o r n e t h r e s h o l d b e c a u s e the as s etv a 1 u e p r o . ce ssfo u ows a geometric b rowiuanm 0 t i o 残 山 。 de伽lt e v en t isp r ed ic 翻 面 le.the p re . d i c ta b i l ityofde血 u l t 石 m e l e a d s toz 七 r 0s b 0 rtcr edit s p re a d whi chish ardlyco叻rmed by e m p 沉 c alobs 。 ， a t io ns. tom ak e the s 打 ” ot ura l m ede l in g moren 翔 l i stic ， one c an as s ulne the as s etva】 u e p r 以 笼 ssfo l l o w s s ome j u m p 一月 汕 s ion p ro ce ssora 此vy p n 卜 c ess. b uttheseu 力 p r o v e m ent s m ake c a 】 c u l a ti o nsb e c o r 口 e v e rycom p lex. hi而s p aper， we l m p ro v 亡 t b e s 七 u c to ra l app ro a c b ina d o th e r w ay. w 七 颐 v e a new d e fi ni ti onofde- 几u itti meandd 的n eitas t h el a s t t i met h 以as哭t val 朋 isa bov es o r o e l 坛e s h o l d.t 七 1 5 d 峨n iti o n i s v e rym e ani n 咖l inth e fi n anc i alm a r k e 仁助d m ake s th e 血血 u lt eve n t no 拓 n g e r p r edi c t a b l e. m ， wed ed u c e th e di s tribut i o n 五 in ct 1 0 n 助d d e n s ityfo n c t i o n ofth e n . w defa u l t t lm e . 丁 七 e m su it forthe d e n s ity 加 n c ti o n isv e rys 汕p l e， w b i chisan- 。 山 e r 翻v a n t a g e oft hi s n 日 w de台 u l t t im e. f in a l 坑we g ive s o r o e app l i ca 石 o n s of面s n 口 界 d e 自 u l t t i m e :te st 吨 p r o pert i e s ofs b o rtc r 目i t s p r e adand v a lu in g cred it 户 r i s ky五 nan ci al p r odu c ts 一in血 c t ， th ere are r 口 o r e app l i c at io nsof面s d 口 w ds自 u l t t i m e . w 七 can di s cus s th尸 r nl ， 甘 尸 r k e y w o r d s: cr edi t ri s k ， c re d i t s p r e ad 叩p r o ach ， d e 肠 旧 it t l m e ， p r e d i c 枷 lb il ity， short 汀 w- 大 学 学 位 论 文 电 口予片 反 授 权 使 用 协 议 ( 请将此协议书装订于论文首页 ) 论 文 粉勃 ， 喻 司 外种 fi 株 l 系本人在 南开大学工作和学习期间 创作完成的作品，并己通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者 ( 第一作者)，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于 “ 南开大学博硕士学位论文全文数据库”。本人承诺:己提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本 人完全了解 南开 大学图 书 馆关 于保存、使用学 位论 文的 管理办 法。同意 南开大学图书馆在下述范围内 免费使用本人作品的电子版: 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务 ( 论文前1 6 页) 。公开级学位论文全文电子版于提交1 年后， 在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注:本协议书对于 “ 非公开学位论文”在保密期限过后同样适用。 院 系 所 名 称 : 参 0y t . 闭刻。( 补 工匀月 、红j卜“1 工牙.冲年 才下口丫 作者签名 学号: 日期: 加 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文;学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : f .4 ” 叮年 了 月 补 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 本授权书。 年解密后适用 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间: 年月日 各密级的最 长保 密年限 及书写格式规定如下: f3f$ 5 1 m m * 1 0 l #l e, * 2 0 ( 最长5 年， 可少子5 年) ( 最 长1 0 年，可少于1 0 年) ( 最 长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名: g of月3 。日 第一章 引言 第一章引言 1 . 1 有关 信用风险 的模型 金融风险是 指在金融头寸 ( 例如: 股票、 期 权或者其它衍生物) 的 市场价值 上发生的不利变化。 根据导致价格变化的原因， 我们可以将金融风险分为市 场风 险和信用风险. 市场风险是由 标的的市场价格或者利率的波动而引 发的。 例如对 于一个债券， 它的市场风险可能是由 无风险利率的波动所引发的。 信用风险是由 合同另一方信用质量的变化而引发的。 对债券来 讲， 它的发行者的 信用质量影响 着债券的 价格， 因为发行者是否有能 力偿还他的 债务是不确定的 。 乍一看， 信用风险似乎可以看成是市场风险的一部分， 因此也就可以将市场 风险的建模方法用于信用风险。 但实际上， 由于信用风险具有自己的特性， 从而 使得信用风险的 建模方法不同 于市 场风险。 第一， 具有信用风险的 头寸 可能 是不 流动的， 例如银行贷款， 所以头寸的市场价格是不能确定的。 另外， 由 于破产事 件是不常发生的， 所以 相对于市场价格和利率的 历史数据来说， 违约事件的 历史 数据是比 较稀少的。 最后一点就是信用风险分析 所需要的信息通常与具体的合同 有关， 而不像价格和利率可以 广泛的 应用。 所以 我们需要新的方法来对信用风险 进行描述。 信用风险分析的关键一步是如何描述发行者或者合同另一方有可能发生的信 用事件。 信用事件包括无法偿还到期的 债务、 破 产、 延期偿付以 及 信用评级的改 变等。 前三种情形我们称为违约。目 前主要有两种不同的方法来描述违约事件。 一种是结构化方法。 在这种方法中， 我们给出了 关于公司资产的动力学， 资本结 构、 以及债务和股份持有者的假设。 然后假定当资产不够用来偿付到期债务的时 候， 公司发生违约。 在这种情形下， 公司 债务可以看作是以公司资产为标的的不 定权益。 当我们认识到了公司完全可以 在债券到 期日 之前发生违约， 便可以 假设 当公司资产价值低于某个较低的界限时， 公司 破产。 虽然结构化方法在经济上比 较有优势， 但是信用利差的性质却很难被实际数据所证明。 这点主要是由 于在结 构化的框架下， 违约是否发生是可以 被债券投资 者所预料的。 描述信用风险的另一种方法是简约方法。 在这种方法中， 违约的随机结构直 第一章 引言 接由 密度或者补偿过程来描述。 由 于在这种模型中， 违约的 发生是完全不可预料 的， 所以 隐含的信用利差的性质与实际数据比较相符。 本文 主要介绍信用风险的 结构化方法以 及通过重新定义违约时间 来改 进的结 构化方法。 1 . 2 一些重要的引理 为了 后面证明的需要， 我们 介绍 三个引理 1 e 考虑 定义在( n , f , p ) 上的 标 准 布朗 运动 b ( t ) , t _ 0 ， 并 且 过 滤 f t 由 b 产 生 。 用 x ) = ( 2 x ) - 1 / 2 e .2/ 2 代 表 标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 ， 而 () ( x ) = 几 0 ( v ) d v 代 表标准正 态分布的分布函数。 由 于 b 闭服从期望为零， 方差为 t 的 正态分布， 所以 p (b (t). 0 ) 并且满足。 o 到 达1 的时间。 当界限 是 确定的， 我们可以 假设几=k e k ( t - t ) ，其中 k e r 是折现率， 即界限由 t 时到期面值为k 的债务的 折现值给出。 作为 例子， 我们 来 计 算一 下v 的 动 力学由 式子 ( 2 .6 ) 给出 而界限 是 不随 时间改 变的常数即d t =d , t _。 的 情形下的 违约概率。 首先定 义连续的 最小 对数资产过 jr m=( m t ) t - o 为: m t 一 曾加+ 叫 即 m 是一系列资产价值的 对数的 历史 最低点. 根据式子 ( 2 . 1 2 ) 的 定义， 我们可以算 出违约概率。 p t 月 = p m m v , 列 p 噜( y o e + o w , ) d 第二章 信用风险的结构化 方法 = p m t l n ( d / v o ) 即t 之前发生违约等价于连续的最小对数资产过程在t 时的值低于经过调整的违 约界限 1 n ( d / v o ) 。 通过引 理1 .2 . 3 可得: p t t l + r 1 1 , 二 ) 1 e z t k ( 1 一 ( 1 一 r ) 1 1 * t ) 所以 b 0t 二 k b o 一 e z t k ( 1 一 r ) l l * _ n 即面值为 k 的无风险 贷款的 价 值减去违约损失折现值的 风险中 性期望 司。 如果我们假设违约、 无风险利率与回收率是相互独立的， 则 ( 2 . 1 3 ) 当然， b 0t = k b o ( 1 一 e 1 一 r p t 71 ) 所以 为了 得 到 可 违 约 债 券的 价 值 我 们需 要无 风险 债 券 的 价 格 b o 的 风 险 中 性 期 望 e 因以 及 风 险 中 性 违 约 概 率 p t t , ( 2 . 1 4 ) = f z t 1 ， 回 收 率 结构化模型具有一个共同的特征， 称做违约事件的可预料性。 因为投资者在 任何时间都可以 观察到资产价值与违约界限接近的 程度， 所以只要资产价值过 程和界限过程是连续的， 那么当违约即将发生时， 他们会预先得到警告。 换句话 说， 在结构化模型中 违约不是完全的突发事件。 这个性质会带来一些结果。 首先， 债券的价格在违约时不会发生下跳， 而是连续地收敛到违约时的价值。 第二， 金 融市场是完全的:即违约总是可以通过分别在债券和股票市场上持有头寸来进 行( d e l t a ) 对冲。 第 三 也可能是 最重要的 一点， 短期 信用 利差( 即 到期日 趋于零时的 信用利差) 是零: h m s (t , t + h ) = 0 ( 2 .1 5 ) 第二章 信用风险的结构化方法 上式的 极限 是 几乎 处 处成立的。 g i e s e c k e ( 2 0 0 1 ) 9 证明了， 在所有的 违约事 件是 可料的模型中， 短期信用利差都会是零. 短期信用利差为零意味着债券投资者在 假设发行者具有违约风险的前提下， 只要距离到期日的时间足够短， 那么他们就 不要求风险滋价。 但是实际数据很难证明 对于短的到期日 信用利差 就会消失. 解决这个问 题的一个方法就是假设资产过程存在跳点。 那么公司的价值就有 可能突然 地降 到 违 约界限以下。 z h o u ( 2 0 0 1 ) 1 0 研究了 资产过程服从 有 跳点的 扩散 过 程 情形 下的 信 用 利 差， 而h i lb e r i n k 和 r o g e r s ( 2 0 0 2 ) 1 l 分析了 资 产 过 程由 l 一 零 )t 石 令 b 二 拜 一 譬则 s t =s e x p a b t +b t 设a s 为正实数， 是我们的常数违约 界限。 新定义违约时间为资 产过 程最后高于 违约界限的时间。 数学表达式如下: l a =s u p t t: s t e ( a , + -) ( 3 . 1 ) 约定s u p 0 =十 00。 这样 违约事件在某 个时间是否发生将取决于这个时间之后的 资产价值过程的轨迹， 所以也就不再是可以预料的。 3 . 2 新违约时间的 分布函数以及密度函数 我们首先给出本文的 两个重要定 理。 一个是关于新违约时间的 分 布函数， 另 一个是关于新违约时间的 密度函数. 然后我们给出这两个定理的 证明。 定理3 .2 . 1 l a 的分布函数为 p (l , t ) 一 ， ( 1 (in a; 7 t 8 一 bt ) ( 3 . 2 ) 第三章 结构化方法的改进 其中id o为标准正态 分布的分布函数。 当0三t t 时， p ( l . t ) = 27 e ip ( u i ( t , f x ) ) d x -e u o (t,f m )- =2 侧 州、 其中， 4)5)6)7)8) (3(3(3(3.(3 u l ( t , x )= u , ( t , x ) u , ( t , x ) =2 b ( i n e 一 娜 口 z l ( t )= i n- + n t一2 t ) x 一- 竹 ， 万 弃 = = 犷 一 十一 万 汗 = 共 avl 一 l v 1 一 l i ii 号 一b t o 沂 通过将分布函 数对t 求导， 我们得到了新定义的 违约时间的 密度函数。 定 理3 . 2 .2当 。 t t 时 ， 几的密 度 函 数 f ( t ) 为 : a t) 一 冬expl - (,n 妥 b ,)2 1 。 ( - b t - t o v 2 7 r t t2 o t j 一 、。/ 1 ( 2 b i n 一b 2 t 1( ( i n -_ ) 2 1 + - 一 一 下 于 二 井 = 于e x p 一 下 二 ; 一 - -t e x p s 一 帐提于卜 g 7 f v不 气 丈一不 )l 口 一)l z o - zj 从定理3 .2 .2 中我们可以 看出新违约时间的 密度函 数比 较简单， 这点也是新模型的 另一个优点。 下面给出 两 个定理的证明。 定理3 . 2 . 1 的证明. p ( l . 乃 二p ( s t a ) p b t : 1 (h aa ( s 一 二 ) 。 b t _ 二 二月 尸 戈 - - 弋 二 二 、 t 甲t 一雀( in a 一 b t ) 口v1沙 因为b t 服从期望为零， 方 差为 t 的正态分布， 所以 1 3 p (l . t ) 一 ， ( i (in a; 7 t 8 一 6t) 第三章 结构化方法的改 进 当0 t 时， p ( 几 t )= p ( iit s u a ) e p ( tm a t s e x p a b u + b u l l a lf t ) 1 e p ( m a x s ts i s e x p o b u + b u l lt u t a lf t )1 e p ( m a x s t e x p o (b ut_ u t一 b t ) + b ( u 一 t ) a if t ) 一e p ( x 。 m a x ， e x p o ( b ut u t一 b t ) + b (“ 一 t ) a lf t )z = s ,1 因为当 t u t 时， b u 一b t 与f t 是 独立的， 所以 1 4 , p (l , !， 一 e ip (二 -c-(“ 一 ，+ “一 ，、 x ) s j 一 f p cd m - texpo (b t+u 一 b t) + bu ll !5 a 一 e i p cexp 。 m ax (o b u + bu)l dut-t、 z=s 最后可以 得到l a 的 分布函数的表达式如下: p (l q t) 一 i p (0 m ax (o b u + bu) in a l x- j (3 .9)lll dut-t jse 为了 计 算 这 个 期 望， 根 据引理1 .2 .3 , 即 当 玖约= a t + a b 闭时， p (y (t ) 、 b , m y (t ) 、 c ) 一 ， 仁 - a tf- 、 一 。 ， 一 。 ( b - 2 c - tt l avj /口v注/ 在我 们 的 情 形 下 ， b = 。 =i n 呈 ， 而 k= b t 十 。 及， 所以 我 们有: p ( m a x : (o b ud u t - t + ) 、 in 呈 ) - p ( ym t _ c a- )x p (y t - t 岭m yt - c 畔) 一 ， ( in z - b(t - t)o t - t ) 一 7b ln ic z ( in y - b(t - t)e ( o t - t ) 0 f ( t , x ) 因 为 s t = s e x p a b t + b t ， 所以 f ( t , s t ) 经 化简后 可以 得到: f ( t , s o = 吞 ， ( in g - bto v t-一 b tb tt - t) - e2- 2b,;bt， ( - in b - b(t - 2t)o t - t+ b tt - t) 9 ( t , b t ) 第三章 结构化 方法的改 进 因 为 s t 、 a ,所 以 b t 竺 冬 竺 - w (t ) .0 根 据定 理 3 .2 . 1 中的 记号， g ( t , x ) 可以 写 成 : g ( t , x ) = 4 ( u l ( t , x ) ) 一 e u o (t ,z ) l ( u 2 ( t ， 二 ) ) ( x w ( t ) ) ( 3 . 1 0 ) 由 式子( 3 .9 ) , 得: p ( 几 t )=s o b t ) 厂一 g (t, z)dz 畔 一 (i (ul(t, z)dz 一 ,(t)j o0 一 ill(u2(t, z)d.j -一- 令 71 二 毛 得 : p ( l . t ) = 7 2 ;! (t)lvrte _,2 t (ul(t, lt-x)dxif, y一 f (on t-w., 户 (t， 向一c u 2 ( t , v t x ) ) ( 3 . 1 1 ) 根据式子 ( 3 . 7 ) 的记号， 得 副 而 p ( l . t ) = 孚 薪盼一 4,(ui(t, f x)dx -e u o ( t,f ts ) 一 甸( u 2 ( t , 口 定 理 3 .2 .2 的 证明 . 当 0 t t 时 ， 要 得 到 l a 的 密 度函 数 f ( t ) ， 只需 将 分 布函 数 ， 即 式子( 3 .3 ) 关于球导数. 所以 1 dr l “ _ s 21 d t (0_ _ 二 、 、 . dl t (t ) ， ， ， 二 _ 、 ， _ _ _ _1 f ( t ) =弓 弃 1 于 l e- - ( u( t , fx ) 、 d 二 一共 l e u o (t ,j t z ) - 号 $ ( u , ( t . fx 、 ) d x 了 交 菇l d t . - 一- 一 、 一 玉 、 一 ， 一 ， j 一d t 1 _ -一 、 一 、 。 ， ， “ 一 j ， 一i ( 3 . 1 2 ) 下面计 算式子( 3 . 1 2 ) 右方的第一 个导数. d 1(t)dt , 二 - 2 p (u i(t, f.) 二 i -, / 2 ? r j 一 二 飞 ， 1 _ ,_ f in s - b t _ t j2 ( 7 一t ) s f z l q价 e x p i 一 擎飞 l) exp 一 .t p l 2 一 u 1 (t, f x )2 ,b (u i (t, w (t) dd ) + i n 誉 一b t 2 ( t一 t ) 3 / 2 2 a o f t ( t )(护+u 2 ( t , fix ) )， 1 e x p 5 一一二 二 叫 一. 于 此 j - - l) t 2 ( t 一 t ) 3 / 2 侧 2 , t崖 x ex p - x 2 + u 12 ( t , 诉x ) 2 “ ( 3 . 1 6 ) 为了简化地计算式子 ( 3 . 1 6 ) 右 侧的 两个积分，我们引 入下面的 函 数: a l ( t )= b l ( t )= i n 号 一b t o 斌t一t tt - t ( 3 . 1 乃 ( 3 . 1 8 ) 则 u l ( t , 沂x ) =a l ( t ) 一 b 1 ( t ) 二( 3 . 1 9 ) 所以有: y 2 + u ? ( t , 沂x )=护 + ( 1 + ( a ， 一 b l y ) 2 公+ ( 1 + a , b , 2 二 ， 代 二 布 1 十 1十i i / a 2 1 +b ; 第三章 结构化方法的改进1 9 所以 我们 可以 算出 式 子 ( 3 . 1 6 ) 右侧的 第一 个 积 分. 崖 exp - x 2 +u 1 ( t , f t x ) 2 dx a i 2 ( 1 +衅) f i(t)呷 - ( ， + b i ) (x - +i a ) 2 2 令 “ 一 了 1 + b i ( x 一 a b11 b ) ， 相应的积分上限变为: 1 + b 1 (l (t) - a 1 b 1 1 - t - t in e1 + b 22 q t t “ “ ， 则上面的积分变为: _ _ _ 厂欢飞 训 2 ir / 0 (t) 1_ _ _(y 2 1 ， 一 c - y 1 一 2 (1 + b i ) 了 ,7 = + b , l oo 2 ; y 飞 一 万 了 ” 所以: (t)exp - x 2 + u 12 ( t , 币x ) 2 1_(a ? )、 魔 牙 d x=mo t - 一 )l .4 k 1 +0 i 1 1犷1 +万 犷 ( n ( t ) ) ( 3 . 2 0 ) 同 样我们也可以 算出 式子( 3 . 1 6 ) 右侧的 第二个积分。 f t ( t )(x 2 +u 2 ( t , 沂x ) 、 1 x e x p s一? a x j - o o lj a 2 1产)f 2 (1 + b i ) 了 j 一 x e x p_ 飞 - ( 1 + b 2 ) (x 一 撼 ) ， 令 一 撼 = y ,则 城变 为 : (a 2 1 f 1(1) 一 箫a , b , 、 =e x p t - 2 ( 1 + b i ) j j . 一 1 y + 1 + b 2 ) 飞 - ( 1 + b i ) y 2 2 、 exp - exp - a 2 1,1_ _f ( 1 + b i ) y 2 i i 或 1 + b 3 ) 了 c a p 飞 一2 了 i (t) 一 精 a 2 、f l(” 一 精1 2 ( 1 + b i ) 了 j _ , e x p 飞 - ( 1 + 川) y 2 2 、 最后结果为: f l ( t )(x 2 + u 2 ( t . _.i t- x ) 、 1 x e x p s一 a x j - o olj 第三章 结构化方法的改进2 0 一 不b;2 (a ? n 2 ( t ) 1 2 i a , b ,(对、_. ex p t 一 2 (1 + b 12 ) 一2 了 十 (1 + b 2 )3/2 0 飞 一 2 (1 + b 12 ) 了 ,r (n (t) ( 3 .2 1 ) 将式 子 ( 3 .2 0 ) 和 ( 3 .2 1 ) 代 入到式子 ( 3 . 1 6 ) 中 ， 得: dat 崖 exp 一 争(u .(t, f x)dx 一 二 - 12(t) (11(, w (t) dl(t) ) t 2 ( t 一 ， ) 3 / 2 2 - t ( 1 + b 2 )1 _ _(a i n 2 ( t ) 、 e x p、一言 兀 一尸 二1 .一 -) l l t 1 十刀训 ) 2 a a 12 i t a , b , 2 ( t 一 。 ) 们下可2 ( t 一 t ) 3 / 2 ( 1 + b 12 ) 3 / 2 fi ( n ( t ) ) ( 3 . 2 2 ) r.es已1 + 将a 1 和b , 的 值 代入， 所以 a , 2 ( t 一 : ) 斌 1 + b i t a , b , 2 ( 1 +b 2 ) 3 / 2 ( t一 t ) 3 / 2 沂 i n 登 一b t 2 o (t 一 )， (二 一 。)tt - t -t - .in ! - b t 9.( 二、 。 / o 斌1 一 亡y1 一 亡 1 ( t 一 t ) 3 / 2 祷 _ in 号 一 b t i n 誉 一 b t 2 v ( t 一 t ) v i t 0 2 v ( t 一 t ) 万 t 2 ( t 一 t ) 3 / 2 寸 2 , r t ( 1 + 衅) 1 一 2 2 a t ( t - t ) 所以我们有: dt 崖 exp 一 争(u 1 (t, f x)dx 二 一 鄂,t (u j(t,w (t)ddtt) + 2 y rt(t - t) exp ( 一 2(1 + 18 ) 一 。 _ (in e - bt)22a 2t， ( b t - t) ln a + bta ) 2v (-,it-)3 1 +， ， ， ， 气 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 二 2 -, / 2 7 r t ( t一t ) f 2 b 1 n - 一 b 2 t j( 1 n - ) 2 1 e x p、一. - q - - - l -p s一- 又 甲 于 尸 宁 l 。 一1气l a - t) 现在开 始计算 式子( 3 .3 ) 右侧第二个积分 关于t 的 导 数。 df l ( t )( 石 二 i ex pi “ j - -l 。、 x 2 u n 吸 艺 ， vt x， 一 二 二 z t ( u 2 ( t , v t- x ) ) d x 第三章 结构化方法的改进 一 ex p u o(t,w (t) - 1 2 2(t) (u 2(t,w (t) d (t) + 崖 exp - 2 exp u.(t,t x) d u , ( t , 诉x ) d t 到u z ) d x 十 厂 (s) ex p 万 一 凳- p s u o (t, f x )冬 粤e x p 万 一 戮d u z (t 1 f x ) d x (3 .2 4 ) j - o o“，vl 7 f l )哪 为了简化记号， 可以引入下列函数: a o ( t )= 2 b (i n 号 一 b t ) 砂 ( 3 . 2 5 ) a 2 ( t )= 一 i n 登 + b ( t一2 t ) o 创 t一云 ( 3 .2 6 ) 从而 = a o ( t ) = a 2 ( t ) 2 b v /t- 一-x 口 +b l ( t ) 二 ( 3 . 2 乃 ( 3 .2 8 ) 所以 d u o ( t , fx ) d t 上 价o 2 b 2 b x = - q 2 一 7t a x ( 3 . 2 9 ) d u , ( t , v -t x ) d t d a 2 ( t ) d b , ( t ) =- - 六 丫 - -十 - -x 口艺口艺 一 i n 0-, + b ( 3 t 一2 t ) 2 o ( t一 t ) a / z t 2 诉( t 一 t ) 3 / z a 2 ( t )= b 2 ( t )二 一 i n a +b ( 3 t一 2 t ) 2 a ( t 一t ) 3 / 2 t 2 否 ( t一 t ) 3 / 2 ( 3 . 3 0 ) ( 3 . 3 1 ) 所以: d u 2 ( t , 币 x ) d t =a 2 ( t ) +场( t ) 二( 3 . 3 2 ) 第三 章 结构化方法的改进 将式子( 3 .2 9 ) 和( 3 .3 2 ) ft入式子( 3 .2 4 ) 中， 得: d_dt 刀 - p s u. (t, f-) - 争(u 2(t, f x)dx 一 二 u o(t,w (t) - 122 1) d (u 2(t,w (t)ddt ) f l-(t) c一 vi a ) exp j u.(t, f x) - 2 d (u2(t, f x)dx + 碧攫 exp i u.(t, it-x ) u 2 (t, f x2 ) 一 x22 卜 + 碧崖 x exp s u .(t, f x ) - u 2 (t, f x )l 2一 x 22 卜 为了简化， 我们将上述积分写为以下形式: d ft(t) - - ( 忿 二 i ex p、 “ j - - l 二、 x 2 v o l t , vt x ) 一 二 二 z 4 ( u 2 ( t , fx ) ) d x =i o 塑+ i , 十 缨 、塑 i 3 a t寸2 a斌2 7 r ( 3 . 3 3 ) 下面分别计算i o , h , i 2 和i 3 - 经过化简， ( in a 一bt ) 2 、_l = b 、 / t-t 1 0 =e x p 5 一 弓污; 厂 ? ，i i lz u 一 ajv/ 所以， _ d l ( t )( in a 一b t ) 2 1_i - 石 t-t ) n a- +b t 1 0 -=一expi 一 代卜二一李 ，i ! : - 争井 二 哪l 叮 一 石)口/2 q l 丫右 ) 。 h = 、 ，一 2bf _ x 2 ( _ _2bfo x 2 ( o 一 x) 1, (u 2(t,、 )、 41 (u2(t, f x)d exp i a o(” 一 2bf 一 x21o x - jj2 b , d (u 2 (t , f x ) ) - p s a o (t) 一 2 b f 二 一 x 2 avt叮z b f l(t ) ( ， ， 八 2 b t x 2 1 1 一一 - 万 了e x p、月 0 吸 u 一 二一 下 二1 口v不j - o o口 )vz 汀 1t(s)l i- 、 _ _u 2 _d u 22 d x d x 、.户.碑 t)一 b ,; t (u 2 (t ，二 (， ) ， u o (t, , (t ) - 吓v ul b 。 寸2 1 r ( t一 t )崖 - p u .(t,、 x 2 u 2 ( t , -,i t- x ) 2 2 “ 第三章 结构化方法的改进 所以， 叼、.1/习司刀 几，一22门j肉，内j 月j了凡jfjfj b _b 1 1 =甲 l o 一一 一 万 一 于 示 = =, 1 2 口vav6 7 r k 1一t ) 为了计算1 2 , 首先要进行下列计算: x 2 嘴( t , 沂x ) 2 2 才2 公 一 ( a 2 + b l x ) 2 2 _ - 1 (12 + b 12) ix + a 2 b 1 + 2 b 沂/ 。 1 +b 1)( ( a 2 b 1 +2 b 柳 a ) 2 令 a ( t )= m( t )二 a 2 b 1 +2 b 柳 a 1 +b 1 ( 将a o , a 2 , b 1 的值代 入， 可以 得到a ( t ) , ( a 2 b 1 + 2 b f / a ) 2 1 +b 1 m( t ) 的 表达式。 a ( t )= t 一 t i n 号 + b ( t 一 勿 t( a jt一t 沂 创 t一t) ( t 一 约 否 t i n 号 一b t o ( t一t ) - 了了几、 所以 a ( t ) = ( ln -, 一 二 ， 一 - p i i o vr l a o)o/ 1 一 2 2 irt (t 菊e x p b 2 2 b in 号 一 护 t 2 a 2 1( in - ) 2 1 l七 x p、一气 井 二 式 ，t 夕lz o - t) ( 3 .4 3 ) 将式子 ( 3 .2 3 ) 和式子( 3 . 4 3 ) 代 入 到 式 子 ( 3 . 1 2 ) 中， 可以 得出 l a 的 密 度函 数 a t ) . f (t， 一b p - (in e - bt)2o 27rt 2o2t。 ( - b t - tlj 0 1 ( 2 b l n a 一b 2 t 1( 1 n -_ ) 2 1 十 2 r t (t - t ) e x p 气 一向 2 0, 2 一 一 了 e x p 飞 一 飞 萨 犷 3 .3 新违约时间的应用 3 .3 . 1检验短期信用 利差的 性质 我们可以利用上面求出的分布函数来计算信用利差， 这样便可以检验短期信 用利差是否为零。 下面只是给出 计算所需要的公式， 具体的 计算过程有待以 后来 进行。 为了简单起见， 我们可以先计算零时刻的短期信用利差。 s (0 , t) 一 番 (in b o 一 、 (k b o) 其中 b o=k b o 一 e ( z , k ( 1 一 r ) 1 (, _ t) ) k b o ( 1 一 e ( 1 一 r ) p ( t t ) ) 然后fi t - + 0 , 便可得到零时 刻的 短期信用 利差。 第三章 结构化方法的 改进 3 . 3 . 2 计算具有信用风险的金触产品的价格 因为在具有信用风险的债券、股票或者其它衍生物 ( 例如:抵押债务凭证 ( c d o ) 、 信 用违约 互 换( c d s ) 1 5 ) 的 定价中 都 会用 到 违 约时 间 的 分 布函 数， 所 以我们可以利用新违约时间的分布函数来给出具有信用风险的金融产品的新价 格。 除了以 上两个方面， 还有许多方面可以用到新违约时间的分 布函数， 这些方 面有待于今后进一步的探讨。 第四章 结论 第四章结论 信用风险是指因 合同另一方信用质量的 变化而导致金融头寸的市场价 值发 生不利变化。 目 前描述信用风险的方法有结构化方法和简约方法。 结构化方法中 假设资产价值过程服从几何布朗运动， 然后将违约事件定义为公司无法偿还到期 的 债务。 所以 公司只可能 在债券到期日 发生违约。 但是实际上公司也有可能 在债 券到期日 之前发生违约。 所以在结构化方法的首次通过模型中将违约时间定义为 资产价值首次达到某个界限的时间。 由于资产价值过程和界限过程都服从连续过 程， 所以 违约事件是可以 预料的。 违约事件的可料性导致了短期信用利差为零的 结果， 这点与实际数据不符， 而且用首达时定义的违约时间使得相关计算变得比 较复杂. 本文改进了 结构化模型: 提出了 违约时间的 新定 义。 将违约时间定义为 资产 价值最后高于违约界限的时间。 这样违约事件在某个时间 是否发生将取决于 这个 时间之后的资产价值过程的轨迹， 所以违约事件不再可以 预料。 进一步我们还推 导了 新违约时间的分布函 数和密度函数的 公式。 我们得到的密度函数的结果比 较 简单， 这也是新违约时间的另一个优点。 然后我们可以 利用新违约时间的分布函 数和密度函数来检验短期信用利差的性质和计算具有信用风险的金融产品的价 格。 实际上， 新违约时间还有许多更广泛的应用， 这些有待于今后进一步的探讨。 致谢2 8 致谢 时同过得真快， 三年的研究生学习转瞬即逝。 在毕业论文即将完成之际， 我衷 心地向 在我学习期间特别是本论文撰写期间给予我帮助的老师， 同 学和朋友们表 示我最诚挚的感谢。 首先要特别感谢我的导师陈典发老师。 本文在写作过程中得到了陈老师的大 力指导。 陈老师治学严谨， 知识渊博， 对金融数学 领域以及保险精算学有着深刻 的理解。 在学习 上我跟陈老师学到了 很多， 而且陈 老师在今后的职业选择上还给 了 我很多宝贵的建议和无私的帮助。 另外还要感谢金融数学系的李 静老师， 耿薇 老师， 张效成老师以及姜作廉老师在我于南开大学求学的七年间给予我的指导和 帮助。 其次要感谢已 经毕业的冯建芬师姐， 孙磊师兄， 王硕玉师姐， 李荣丽师姐等， 他们在学习上和生活上都给予了我很大的帮助和关怀。 还要感谢与我同一年级的 减丽丽， 唐涓， 李阳， 他们给过我很多学习上的启发以及帮助。 最后还要感谢我的父母这些年来一直为我默默地奉献， 他们的支持与鼓励是 我前进的动力。 由于水平有限， 文中难免疏漏。 敬请各位老师， 同学批评指正。 参考文献 2 9 参考文献 1 1 e i l l i o t r o b e r t a n d p k o p p , m a t h e m a t i c s o f fi n a n c ia l m a r k e t s ,