（应用数学专业论文）关于直觉模糊集的研究.pdf

摘要 内容摘要：本文，主要内容是关于直觉模糊集文中在直觉模糊 集( i f s ) 和直觉模糊特殊集( i f s s ) 2 _ e 建立了联系首先，利用i f s s 的 概念，给出了与之相关的直觉集合套( i n s ) 的概念，并且证明i f s 可以 看作是i n s 的等价类，本结论为i f s 的研究建立了理论基础其次，介 绍了i f s 截集的概念并讨论了i f s 截集的性质再次，文中一一给出 t i f s 的分解定理，表现定理和扩展原理并对重要结论予以证明最 后，研究了关于i f s 的表现定理的两个应用，其一先介绍了直觉模糊关 系的概念利用表现定理给出了直觉模糊关系的合成其二，先给出g 直 觉集合套( c i n s ) 的概念利用表现定理给出了直觉模糊子群的另一种 定义方式 关键词：直觉模糊特殊集；直觉模糊集；直觉集合套；截集； ab s t r a c t c o n t e n t ：t h i sp a p e ri sm a i n l ya b o u ti n t u i t i o n i s t i cf u z z y s e t s i nt h i s p a p e ra c o n n e c t i o nb e t w e e ni n t u i t i o n i s t i cf u z z ys p e c i a ls e t s ( i f s s ) a n d i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s ( i f s ) w a sb u i l tu p f k s t l y , b yt h eu s eo ft h e c o n c e p to fi f s s ，t h ec o n c e p to fi n t u i t i o n i s t i cn e s t e ds e t s ( i n s ) i sp r e - s e n t e da n dh a v ep r o v e dt h a ta ni f sc a nb ec o n s i d e r e da sa ne q u i v a - 1 衄tc 1 嬲so fa ni n s t h ec o n c l u s i o nm a k ea t h e o r e t i c a lb a s ef o ri f s s s t u d y s e c o n d l y , t h ec o n c e p to fc u ts e t so fi f si si n t r o d u c e da n d t h e p r o p e r t i e so fc u ts e t so fi f sa r ed i s c u s s e d t h i r d l y , d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e ma n d e x t e n s i o np r i n c i p l eo fi f sa r e o b t a i n e d f x v a l l y , t w oa p p l i c a t i o n st or e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fi f s t 出ed i s c u s s e d o n ei sa b o u ti n t u i t i o n i s t i cf i 】_ 2 z 可r e l a t i o n ，t h ec o n c e p to f i n t u i t i o n i s t i cf u z z yr e l a t i o ni si n t r o d u c e da n db yt h eu s eo fr e p r e s e n - t a t i o nt h e o r e mt h ec o m p o s i t i o no fi n t u i t i o n i s t i cf i l z z yr e l a t i o ni so b - t a 血e d t h eo t h e ri sa b o u tn t u i t i o n i s t mf u 忍万g r o u p ，t h ec o n c e p to fg i n t u i t i o n i s t i cn 鹤t e ds e t s ( g i n s ) i sp r e s e n t e da n db yt h eu s eo fr e p r e - s e n t a t i o nt h e o r e mn t u i t i o n i s t i cf i l 2 2 万g r o u pi sd e f i n e di na n o t h e rw a y k e yw o r d s ：i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys p e c i a ls e t ；i n t u i t i o n i s t i cf 切s e t ； i n t u i t i o n i s t i cn e s t e ds e t s ；c u ts e t 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别加 以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的 研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：黾疑i椰警方一谚。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅本文授权辽宁师范 大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：彬 指导教师签名：一一耄，确勿 日期： 则惠巧一，万 关于直觉模糊集的研究 1 引言 关于直觉模糊集的研究 k a t e m a s s o v l 9 8 6 在【1 】中引入直觉模糊集( i f s ) 的概念之后，许多关于i f s 的 概念和理论被研究者们相继建立，例如直觉模糊逻辑【2 】，直觉模糊数i s ，直觉模糊代 数 4 1 ，直觉模糊拓扑 5 1 ，直觉模糊聚类【6 】等 众所周知，复杂系统可以表现为一些模糊概念若要对论域x 中的元素做 决策，我们可以对x 中的某些元作出肯定的判断，也可以对x 中的某些元做否 定的判断然而由于概念的模糊性，我们不能对x 中的其他元作出肯定的或否 定的判断若a 1 代表x 中肯定判断的元素，a 2 代表x 中否定判断的元素，那么 可以得到一个系统a = ( 五a l ，a 2 ) 其中a 1 冬x 如gx 卧lna 2 = 移这个 系统由e r d a lc o s k u n 在【7 】中提出，在 7 中a = 五a 1 ，a 2 ) 叫做x 的直觉模糊特殊 集( i f s s ) c o k e r 和c o s k u n 还给出了直觉模糊特殊点，直觉模糊特殊拓扑空间和直 觉模糊特殊盯一代数【7 ，8 】的概念有关i f s s 的数学理论正在建立之中 由z a d e h 在f 9 1 中提出的模糊集与经典集合有着密切的联系，模糊集可以看作 是集合套的等价类【1 0 1 1 1 利用集合套的概念可以定义模糊集合的运算，并且还给出 一个模糊集合的隶属度函数1 1 0 1 ，集合套理论为z a d e h 提出的模糊集建立了理论基 础 本文目的是在i f s 和i f s s 之间建立联系在第三部分，我们提出直觉模糊集 合套( i n s ) 的概念，并且证明了i f s 是i n s 的等价类。通过定义i n s 的运算，可以定 义i f s 的相关运算，并且我们可以利用i f s s 的概念确定z x 的隶属度纵0 ) 和 非隶属度魄( z ) 在第四部分，通过将i f s 的a 一截集考虑为i f s s ，可以给出i f s 截集 的概念，并且证明i f s 的截集与由z a d e h 提出的模糊集截集有类似的性质然后，建 立了有关i f s 的分解定理，表现定理和扩展原理第五部分，给出了i f s 的表现定理 的应用，首先定义了直觉模糊关系，并且研究了直觉模糊关系的合成然后，以本文 的理论为基础研究了直觉模糊子群 1 关于直觉模糊集的研究 2预备知识 2 1 模糊集中的相关理论 定义2 i 1 1 9 1设x 为一个集合，称映射a ：x _ f 0 ，1 】为x 的一个模糊子 集用少( x ) 表示x 的所有模糊子集的集合，称莎( x ) 为x 的模糊幂集 定义2 1 2 【9 l 对a ，b 少( x ) ，则有： ( 1 ) a b a ( x ) 日 ) ； ( 2 ) anb ：( an 召) ( 。) = a ( z ) 召( z ) ，地x ； ( 3 ) a u b ：( a u b ) ( z ) = a ( x ) v b ( z ) ，忱x ； ( 4 ) 小：介( z ) = i a ( z ) ，忱x ； ( 5 ) 。吕a ：( 。吕a t ) ( z ) 2 。吕a ( z ) ，比x ； ( 6 ) 。b a ：( 。b a ) ( z ) 2 。台a ( z ) ，比x 定义2 1 3 【1 t l 设a ：x 一【0 ，1 】是x 的模糊子集，则氐= 扛l a c x ) 入) ，& - - 缸i a ( z ) a ) 分别称为模糊集合a 的入一截集和入一强截集。 定义2 1 4 【1 1 1设a ，b ，a ( 。) d 莎( x ) ，入，m t t ) 【0 ，1 】，则 ( 1 ) 如g 厶 ( 2 ) a 1 其c a l x ，a 2 x 且a lna 2 = d a 1 称为a 的肯定 集，也称为a 的否定集 显然，非空集合x 的每个子集a 都可构成一个形如( x ，a ，介) 的i f s s 定义2 2 4 【8 1设x 为非空集合，x 中的i f s sa ，b 分别为a = ( x ，a 1 ，a 2 ，b = ( x ，b l ，b 2 ) 又设 a ，i 以是x 中的礤s s 族，这里a = ( 五4 ，4 2 ) 那么， ( a ) acb a 1cb i 且如) b 2 ； ( b ) a = b acb 且bca ； ( c ) a = ( x ，a 2 ，a 1 ) ； ( d ) 移= ( 五9 ，x ) 且x = ( 置五9 ) ； 4 关于直觉模糊集的研究 e ) 3 a = ( x ，品4 ，凸4 2 ) ； ( f ) 3 a = 似凸4 ”，品4 2 ) ； ( g ) a b = a n b 定义2 2 5 s l设，：x y 为映射那么， ( a ) 若b = ( v b l ，b 2 ) 是y 中的一个i f s s ，则男在厂f 的原象厂_ 1 ) 是x 中 的i f s s 且定义为厂1 ) = ( 五f - , ( b 1 ) ，f - 1 ( 口2 ) ) ( b ) 若a = 五a 1 ，a 2 ) 是x 中的一个i f s s ，则a 在厂f 的象是y 中的一个i f s s 且定义为：，( 砷= ，( a 1 ) ，f - c a 2 ) ) 这里f ( a 1 ) = ， ) l z a 1 ，- ( a 2 ) = y f ( x a 2 ) = ( ，( a ；) ) 。 3由i f s s 到i f s 的扩展 设f p ( x ) = a i a = ( x ，a l ，a 2 ) 是x _ i = 的i f s s 这里首先给出直觉集合套 的定义 定义3 1 i e 若映射h ：【0 ，1 】一f 尸( x ) 满足： 入l a 2 号h ( a 2 ) h ( a 1 ) 那么称日为x 上的一个直觉集合套( i n s ) 注3 1 设h ( a ) = ( x ，吼( 入) ，巩( 入) ) ，那么有：一 ( 1 ) 点0 ( a ) n 丑0 ( 入) = d ； ( 2 ) a l 入2 兮巩( a 1 ) 2 耳( a 2 _ ) ，巩i 入1 ) 巩( 入2 ) 设彩p ( x ) = 日1 日是x 上的i n s ) ，在中彩p ( x ) 定义运算如下： ( 1 ) 甚日：( 甚马) ( 入) 。甚峨( 入) ，即 ( 甚玛) p ( a ) 2 甚( 皿) p ( 入) ，( 甚峨) - ，( a ) 5 县( 风) y ( a ) ； ( 2 ) 县甄：( 县凰) ( a ) - 7 n r 以( a ) ，l i p 味墨) p ( 入) 2 县( 马) p ( 入) ，( 县峨) y ( 入) 2 甚( 甄) p ( 入) ； ( 3 ) h 。：( h 。) ( 入) = ( h ( 1 一a ) ) 。，即 ( 日。) p ( 入) = 上0 ( 1 一入) ，( 日。) y ( 入) = 上0 ( 1 一a ) 这样可以得到以下结论： 定理3 1 ( 彩p ( x ) ，u ，n ，c ) 是一个完的d em o r g a n 代数， 1 p ( q l p ( x ) ，u ，n ，c ) 是一个完备格，并且： ( 1 ) ( h c ) c = 日； 5 关于直觉模糊集的研究 ( 2 ) ( 甚甄) c2 县( 甄) 。，( 品峨) c 。甚( 巩) 。； ( 3 ) 日n ( 甚皿) 2 甚饵n 皿) ，日u ( 县玛) 2 县( 日u q ) 显然，若定义日1 t t 2 皿( 入) 冬凰( 入) ，枞【0 ，1 】那么是偏序并且日1 玩当且仅当日1u 飓= - 2 ，皿n 日2 = h 1 若在够p ( x ) 中定义关系”一 ： 历一i - 2 营q ，h 1 ( q ) = n 、日2 ( a ) ，v a ( 0 ，1 ，i l l j 日1 日2 营旦a ( 皿) p ( 口) 2 旦( 凰) p ( q ) ，裂a ( 日1 ) p ( 口) 2 品( 日2 ) y ( 口) 那么一是彩p ( x ) 上的等价关系 设旧】= i t i 彩p ( x ) ，h 一日) ，和j p ( x ) = 【刎i - 够p ( x ) ， 设h 彩尸( x ) ，令： f 日：【0 ，1 】一f p ( x ) ah 昂( 入) = q ，日( q ) ，f 日( o ) = x = ( x ，x ，口) 岛：【0 ，1 】一f p ( x ) ah 日( 入) = u 、日( q ) ，日( 1 ) = 口= ( x ，9 ，x ) 那么我们可得到以下结论： 命题3 1 ( 1 ) 兄r ，= f 彩p ( x ) ； ( 2 ) 入1 a 2 = 争三日( a 1 ) 2 f 名( a 2 ) ； ( 3 ) 日昭； ( 4 ) 岛( 入) = 兰如( 口) v a 【0 ，1 ) ；而( 入) 2 旦功( q ) 坝( o ，1 1 ；口7 u 、- ( 5 ) 岛( 入) _ 黼u 岛( 口m 【0 ，1 ) ；f 日( a ) 2 品岛( q ) v 入( o ，1 】 证明：( 1 ) 由定义可知显然成立 ( 2 ) 设入l 入2 和锄( 0 ，1 ) 使得入1 入有日( q ) 日( 入) ，所以兰_ ( 入) = 裂a 日( a ) 日( 入) ；类似 的局，( 入) = n 日( 口) 2 日( 入) 故对v 入【0 ，1 】有互日q ) 日( 入) sb ( 入) 因 此，日如 ( 4 ) 由( 2 ) 知批 入( a 1 ) ，岛( 入) 2 勖( q ) ，可得兰f 日( a ) 岛( 入) 另一” 方面由于u ，翰 ) 2u ，日( q ) = 日( 入) 所以岛( 入) = u 、如( q ) ，v 入【o ，1 ) 口 口 a 7 其余结论的证明与上述类似 命题3 2设日 日7 彩尸( x ) ，那么日一日u - ( a ) = u 日7 ( q ) ，v 入 a ao a 【o ，1 ) 6 关于直觉模糊集的研究 证明：由于日一h 7 n 日( q ) = n 日，q ) 铮乃i ( 入) = 兄r ，( 入) ，故只需证 a a 气 明枞( 0 ，l 】，赡( a ) = 国( a ) 营垓( 0 ，1 ) ，岛( a ) = 岛( 久) 即可 事实上，设赡( = 岛，( ，( 0 ，1 那么对叭【0 ，1 ) 可得岛( 入) = 蹦u 而( 口) ：。u a f 日，( q ) = 日，( 入) 。 另一方面，设日( q ) = 岛，( 口) 那么删入( o ，1 】可得f 日( 对2 复a 岛( 口) = q 、岛( o l ) = f r ，( a ) 口 命题3 3 设甄嘏；( ，y f ) ，日埘7 ，那么县玛，甚易喘q ，日。” h | c 证明：( 1 ) 设五b 一磁h r ) ，即n 日( 口) = 9 、磁( q ) ，v a ( 0 ，1 贝0 a a 甄( q ) _ * 兰码 ) _ 裂a ( 甚玛) ( q ) 对枞【o 1 ) 所以u 皿一u ，。彤 ， r 6 f 。 一y r 。 ( 3 ) 设日一h 7 即u ，日( a ) = u 、h 7 ( 口) ，v a 【0 ，1 ) 则、7 o a 、 口 。 耍a 印( a ) 。尝入旧( 1 一a ) ) c ：( 1 一裂1 一 日( 1 一q ) ) ( 。一a u 。一 h ( 1 一a ) ) 。 _ 3 ( 日，( 1 一口) ) c _ 3 ( 日，) c ( a ) 默以h c h 把 定义3 2 我们在，( x ) 中定义运算： 广1r1 佃u - ，r 5 峙玛j ，县旧】2b j ，旧c = 阻c 】 由命题3 3 知上述定义合理 设a = x ，a l ，a 2 ) f p ( x ) 和h a ( 砷= x ，a 1 ，如) 入i o ，1 】f p ( x ) = 【日a 】i a f p ( x ) ) ，那么( f p ( x ) ，u ，n ，c ) 竺( f p ( x ) ，u ，n ，c ) ，并且f p ( x ) i f ( x ) 设j f ( x ) = ( i f 7 ( x ) 一f p ( x ) ) uf p ( x ) ，这样可以得到一个新的 代数系统咧x ) ，u ，n ，c ) 而且通过代数中的嵌入定理知( j f ( x ) ，u ，n ，c ) f - q 构 于( ( x ) ，u ，n ，c ) 。 定义3 3a j f ( x ) 被称为i f s ，而且a = ( 五a i ，a 2 ) 被称为i f s s 设l = ( q ，矽) i q ，p 【0 ，1 】，a + p 1 ) ，l x = ai a ：x _ l ) 当a l x ， 我们用a 之( 五肛a ，) 表示a 这里纵：x 一【0 ，1 】，v a ：x 一【0 ，1 】是两个函数满 7 关于直觉模糊集的研究 足纵( z ) + ( z ) 1 ，v z x 那么l x 是由a t 觚a 黯0 v 定义的直觉模糊集的类可 以得到以下的公式： 设a = ，纵，) ，b = ( 五p b ，坳) ，a ( 们= ( x ，纵们，( ，) ) 那么， 4 b 亭p a ( z ) ，上b ( z ) ，t 么( z ) l 僵( z ) ，、2 x ； a = b 兮【a ( z ) = p b ( z ) ，v a ( z ) = 坳( z ) ，v 2 x ； 符= ( 五u a ，纵) ； 县a t = ，* a c = x , 7 u f i a ( 1 ) , 县m 这样可以得到以下的定理： 定理3 2 设f ：i f ( x ) _ a = 【刎h ( x ，纵，i a ) 这里纵0 ) = v 入l z 吼( 入) ，v a ( z ) = a 1 一ai z 岳巩( 入) ) ，那么，是满射 证明：( 1 ) 首先证明，定义合理 事实上，设a = 【日】= 【日，】，那a f x ( a ) = 舀r ( a ) 日( 入) 兄f ，( 入) ( 入) ，v a 【0 ，1 】有 ( 至) p ( a ) = 但日，) p ( 入) ( h 九( 入) 曼( 而，) p ( 入) = ( 勖) p ( 入) ( 。e 日) p ( a ) = ( ! e 日，) y ( 入) ( 日) p ( 入) 2 ( ) p ( a ) = ( f 日) p ( a ) 那么v a l z ( 至 日) p ( 入) ) v a i z ( h 7 ) p ( 入) ) v 入i z ( f 1 日) p ( a ) 又设 ai z ( 毋r ) p ( a ) ) ，那么z ( 兄f ) p ( 入) 由命题3 i ( 2 ) 知对v a a 7 ，有z ( ，_ ) p ( y ) ( 量日) p ( 入) 贝0 v 入l z ( 至日) p ( 入) ) v 入i 入 a = 因此v a i z ( 查) p ( 入) ) v l z ( j 日) p ( ) ) 那么v a i z ( ：日) p ( a ) = v 入l 。( h 7 ) p ( a ) ) = v a i z ( _ j ) p ( a ) ) ，贝! i 有p a ( z ) = v 入i z ( 日) p ( 入) ) = v 入l z ( ) p ( a ) 类似的有： a 1 一ai z ( 日) p ( 入) ) ：人 1 一al z 岳( h 7 ) p ( a ) ) 人 1 一入i z 聋( j k ) ，( a ) ) 设 入i 。隹( 。f 日) y ( a ) ) 贝0 由定理3 1 ( 2 ) 知z 隹( f 日) ( 入7 ) ( 日) ，( 入) ，、矿入 1 一 l a i z j e i 0 ( a ) = v a 。簪是0 ( a ) 故存在知使得z 风( 知) 且知 v 入l z 簪巩( a ) ) 由吼( 知) ni - i ，( 沁) = o - i 知z 芒凰( ) ，那么知 v a i z - v ( 入) ) 知 至此得到矛盾，可见假设不成立 ( 3 ) 下面证明 厂是满射 设五纵，玖) l x , 又设( 玩) p ( 砷= pl z 五纵( z ) 之a ) ，( 巩) ，( a ) = zi z x ，u a ( x ) 1 一a ) 令( i - i a ) ( 入) = x ，( i - i a ) p ( 入) ，( h a ) p ( 入) ) ，v a 【0 ，1 】，那 么三h 钐p ( x ) 且v 入i z ( - x a ) p ( 入) ) = p a ( z ) ，a 1 一ai z 芒( 三匕) v ( a ) ) = 妇( z ) ， 那么，( 陬】) = ( 五纵，1 , s a ) 因此，是满射 定理3 3 设a = t t l x f ( x ) ，( x ，m ，l , t a ) = ，( 【日】) 那么 ( 1 ) ( f 1 日) p ( ”= zi z x ，p a ( z ) 入 ； ( 2 ) ( j 日) y ( 入) = 扛i z x ，u a ( x ) l a ) ； ( 3 ) ( 复 日) 弘( a ) = z 。瓦泣a ( z ) a ； ( 4 ) ( 查) p ( 入) = pi z x ，蚴( z ) 1 一入) 证明：( 1 ) 当z ( 殆) p ( a ) 时，有p a ( z ) = v 口i z ( j 1 日) p ( a ) ) 入 又当z 聋( f 日) p ( a ) = 0 、吼( q ) 时，存在咖 入使得z 缉( 伽) 那么对v 入7 伽有z 聋三0 ( a ) 进而纵扛) = v 缸f z 三0 ( 口) 匈 a 表明( 珞) p ( 入) = 扛i z 五纵( z ) a ) ，坝【0 ，1 】 ( 2 ) 当z ( 毋，) p ( 入) = u ，、z 0 ( q ) 时，存在一个锄 1 一久 另一方面 z 譬( j 日) y ( a ) 粕聋( j 1 h ) p ( q ) ，v & a 即 a 1 一口i z 岳( 岛) y ( q ) ) 1 一入) = ( f k ，) p ( 入) ，v a 【0 ，l 】 那么毋，( 入) = b p ( a ) 【0 ，l 】于是日一日7 ，那么【日】= 【日，】因此由定理3 2 知，是 刃r 尉 ( 2 ) 设a = p 引i f ( x ) ，( 们) = 五纵，) 又设f 日】x f ( x ) ，并 且，( 【刎) 2 县( x ，纵，) ) 2 1 。，喘伽l z 五( z ) l 。 2 * ( 晶( ) v ( 入) = ( 县) p ( 入) ，坝 0 ，1 】 故有对枞 0 ，1 ，( 殆) ( a ) 2 味乃) ( a ) 那么， 旧= 陆】2i 县昂m i2 县】- 县a 2 品阻h ) 】2 县a ， 即 f ( 7 2 r a 7 ) = ，( 吲) = 县( x ，心，) = 县，( a 们) ( 3 ) 设a 们= 刚x ，f ( x ) ，i ( a 7 ) = ( 五p m ，m ) 又设【日】i f ( x ) ，可 得，( 旧) 2s t ：( a h ) 2 那么， ) p ( a ) = a ) = 甚。l 。墨纵h ，( z ) 久 。甚( ) ) p ( a ) 5 岛) p ( a ) ，枞【0 1 】 ( 翁) p ( 入) = 。卜五会t “z ) l 。) 喘缸i z x ，c “z ) 1 。， 。县鼢) p ( 入) = ( * 野1 ) ) v ( 入) ，姒【0 1 】 故而【明= 匦】= b 日( 1 ， = * 】= u 州 1 0 关于直觉模糊集的研究 则 ，唱a ( - r ) ) = 甚，) ( 4 ) 设a = 旧】i f ( x ) ，( 吲) = ( 五z a ，) 又设吲j f ( x ) 可得，( 啻 ) = ( k ，纵) 那么， ( f 豆) p ( 久) = zl z x ，v a ( x ) a ) = ( 至1 日) p ( 1 一a ) ， ( j 膏) p ( a ) = zj z kp j 4 ( z ) 1 一a ) = ( ) p ( 1 一入) 所以( 殇) ( a ) = ( x ，( 曼日) y ( 1 一入) ，( 岛) p ( 1 一入) ) = ( x ，( 日) p ( 1 一入) ，( 岛) p ( 1 一入) ) 。 = ( 但日) ( 1 一a ) ) c = 但日) 。( 入) 即【剜= f r 】_ 【( 岛) 。】_ 翰】c = 【日】c ， 因此州刎c ) = 川剧) = ，( 旧) 。 注3 2 由上述定理知：由本文给出的i f s h 与由a t a n a s s o v 提出的i f s a = ( x ， z a ，v a ) 在本质上是一样的，由a t 眦船8 0 v 提出的i f s a = ( x ，纵，心) 可以看 作是i n s 中日的一个等价类因此在下面的讨论中不区分a = 旧和，( 【日】) = 五, u a ，b a ) 4 直觉模糊集的基本理论 4 1i f s 的截集 由定理3 3 ，我们可以给h l i f s 的入一截集的定义 定义4 1 1设a = ( x 纵，) 是x 上的一个i f s , a 【0 ，l 】设 做= i z 五纵( 0 a ) ，a = pi z 五v a ( x ) 1 一a ) 。 然= pi z 五纵( z ) 入，a 甾= 缸l 。五魄( z ) 1 一入) 那么巩( a ) = 和玩( a ) = 分别称为i f s a 的a 一截集 和入一强截集 显然可以得到以下的性质： 性质4 1 1 ( 1 ) 巩，丑么彩p ( x ) ； ( 2 ) 巩魄； ( 3 ) 入1 1 一入t , v a t ( z ) 1 一a 号t , x t 吕( 群) 所以，掣。吕( 群) a ，a 。9 ( 硝) 冈 接下来证明，( 6 ) d p 的h a ( a ) 2 。口n 。h a ( a t ) ，l l p i i e a ：2t b 戤，a l a 2t 吕雒t 】 事实上， 并且有： z t b a 兮v t 正z 戤甘t , u a ( z ) 丸 营u a ( z ) 。吕丸= 口营z 黜 z t 吕锥。】兮弘，( z ) l k 营以0 ) 。台( 1 一九) = 1 一。￥九= 1 t 一口兮。a 锄 t h 所以匙2 。b 畿，铂= 。吕铂 最后证明( 9 ) 中巩c ( a ) = ( h a ( 1 一入) ) 。即证( 介) = 氆型，( ) 凶皇包 1 2 关于直觉模糊集的研究 事实上，z ( ) 芰营心( z ) = 胁0 ) a = 1 一( 1 一a ) z 毡 并且有z ( 小) 洳纵 ) = ( z ) 1 一a z 叫厶 所以) 5 ：= 连) 胬= 如 其余的性质可利用相似方法证明 注意4 1 1由性质4 1 知，i f s 的截集和模糊集的截集有类似的性质 4 2 i f s 的分解定理，表现定理和扩展原理 定义4 2 1设a 2 哆a 1 ，a 2 ) f p ( x ) ，久f 0 ，1 j 定义 c a a - ，如，= 之z x ea a 。a ，c 入如， ，= ：，：二于凡 入a = 施，入a 2 ) 、 性质4 2 1agb 号a a 入b 即( 五a a a ，入a 2 ) 五a b a ，入玩) 显然，由第三部分的结论可以得到下面的定理： 定理4 2 1 ( 分解定理)设a = ( 五纵，v a ) ，上“( a ) ，上逸( a ) 分别为a 的a 一截集 和入一强截集又设日彩p ( x ) 且只丛( a ) h ( x ) z “( a ) ，那么， ( 1 ) a = 删u 砒( 州2 ) 肚a a 玩( a ) ；( 3 ) 肚a 钒ul j a h ( a ) ( a ) 入l 入2 兮日( 入1 ) 2 日( 入2 ) ；( b ) a2 口 a 日( 口) 证明：( 1 ) 设b2 a 爿l l 入巩( 入) 5 x ，球1 】入掣，蚓n o ，1 】a 镪广那么 粕( z ) = ( a