（应用数学专业论文）具有非单调响应函数的食饵捕食者系统分歧分析.pdf

摘要 本文是主要介绍具有h o l l i n g - i v 型非单调响应函数的食饵一捕食者系统分歧情况 的综述报告。分别介绍了响应函数不具有时滞的食饵一捕食者系统 圣( t ) = r x ( 1 - - 昙) 一孺x y 荆= y ( a # x 一d ) 和响应函数具有时滞的食饵捕食者系统 宕( t ) = r x ( 1 - - 昙) 一口十x y z 2 绯) = 可( 躺一d ) 以及 。、，$ 、 茹( 一r ) ! ， 士( t ) = r z ( 卜云) 一旦a + x 2 ( t - r ) 卵) = 可( 嬲一d ) 中h o p f 分歧，b o g d a n o v t a k e n s 分歧的情况 文中对如上三个系统的h 叩f 分歧和b o g d a u o v - t a k e n s 分歧进行了分析比较，并介 绍了分歧分析中的中心流形约化和规范型计算方法及方法在其它系统中应用的可能 关键词：食饵一捕食者系统；h o p f 分歧；b o g d a n o v - t a k e n s 分歧；时滞 i a b s t r a c t l h ed i s s e r t a t i o ni sas u r v e yo i lb i f u r c a t i o na n a l y s i si np r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hn o n - m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e t h ed i s s e r t a t i o ni n t r o d u c et h es t u d ya b o u tap r e d a t o r - p r e y s y s t e mw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e 圣( t ) = r z ( 1 一昙) 一而x y 主 雪( t ) = 可( 南一d ) 。 a n dt w od e l a yp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e 圣( ) = r 。( 1 一云) 一而x y 虿 鲍) = ! ，( 骗一d ) 宕( t ) = 雪( t ) = a l lt h em o d e l sa b o v ee x h i b i th o p fb i f u r c a t i o na n db o g d a n o v t a k e u sb i f u r c a t i o n i nt h ed i s s e r t a t i o n ，w em a k eac o m p a r i s o nf o rt h eb i f u r c a t i o n s ( i e h o p fb i f u r c a t i o na n d b o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n ) w h i c ha r ee x h i b i t e di na l lt h es y s t e m sa b o v e a n dt h e nw e i n t e r p r e tt h em e t h o d su s e di nt h eb i f u r c a t i o na n a l y s i s ，i e ，t h ec e n t e rm a n i f o l dr e d u c t i o na n d n o r m s lf o r mc a l c u l a t i o n i nf a c t ，t h em e t h o da l s oc a nb eu s e df o rt h eb i f u r c a t i o na n a l y s i so f s o m eo t h e rd y n a m i c a ls y s t e m s k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；h o p fb i f u r c a t i o n ；b o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n ； d e l a y i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签钒銎! 遮期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东：i l ：n 范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 飙产 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日 瓤与衄 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1历史背景与问题的提出 随着当今社会科学技术的高速发展，在许多科学领域的研究中，微分方程( 包括： 常微分方程，泛函微分方程等) 理论得到了广泛的应用，例如，自动控制、生态系统、 遗传学、经济学、物理学、通讯理论等等其中分歧理论一直是微分方程理论研究中 的重要分支，受到了广大数学工作者的高度关注，尤其是近三十多年来这方面的研究 取得了实质和全面的发展，其研究成果相当丰富，许多文献和著作都总结和收录了这 方面的工作同时，由于数学生态学的迅速发展，研究食饵与捕食者之间的诸多动力 学性质已成为生物学家和数学家共同关注的一个重要课题这一问题，自从二十世纪 初期由l o t k a 和v o l t e r r a 开创以来，由于它广泛的应用性和重要的理论与实际意义， 已经得到了长足的发展特别是晟近十几年，国内、外发表了大量关于l o t k a - v o l t e r r a 系统的文章，这方面的专著也在陆续出现 食饵一捕食者系统主要描述自然界中不同种群之间存在着既有依存又有制约的生 存方式：种群甲靠丰富的自然资源为生，种群乙靠捕食种群甲为生如食用鱼和鲨鱼、 美洲兔和山猫都是这种生存方式的典型种群甲为食饵，种群乙为捕食者，两者共同 组成该系统食饵捕食者系统的一般形式为 圣5 踟( z ，k ) 一卯( z ) ( 1 1 ) 雪= y ( - d + 9 0 ) ) 其中z ( t ) 和g ( t ) 表示在时刻t 食饵和捕食者各自的种群数量，k 0 表示环境可以容 纳的食饵数量，d 0 表示捕食者独自生存的死亡率，函数g ( x ，k ) 表示食饵在没有 捕食者的环境下自身增长率，p ( x ) 为捕食者的响应函数，表示捕食者对食饵的捕获能 力，q ( z ) 表示食饵对于捕食者的供养能力 一般说来，响应函数p ( z ) 是一个连续、可微的函数，且z 0 ，+ o 。) ，并且有 p ( o ) = o ，( z ) o ，熙p ( z ) = m 0 ，k 0 ，有 g ( k ，k ) = 0 ，g ( o ，k ) = 0 ，灿9 ( o ，k ) 0 为了建立这个模型，还得假设存在一个常数m 0 ，使得 北，三量孑m 且在( 1 1 ) 中假设口( z ) 和p ( z ) 有相同的性质，且存在正常数c 有：口( z ) = 印( z ) 故 以z ，：量孑m 第2 页 东北师范大学硕士学位论文 为了清晰的研究食饵捕食者系统( 1 1 ) 的分歧情况，考虑采用l o g i s t i c 函数作为 g ( x ，k ) ，用简化的h o l l i n g - i v 型函数作为p ( z ) ，且有q c x ) = 印( z ) ，令m 在第一个方程 中为度量常数，在第二个方程中令p = c m 就得到了本文讨论的系统( i i ) 的基本情形 圣( t ) = r z ( 1 一云) 一再x 虿y i j ( o = 可( 羔+ x 2 一d ) 1 2本文主要工作与结构 为了详细讨论系统( 1 1 ) 的分歧情况，具体研究具有非单调响应函数食饵捕食 者系统的第一种情形 未( t ) = 佗( 1 一壶) 一而x yi 荆2 秒( 羔一d ) 这是一个常微分方程系统，其中r ，k ，d ，肛皆为正常数根据生物学观点，x ( t ) o ，y ( t ) 0 ，因此系统只在( z ，y ) 平面的第一象限有意义 b u s h 和c o o k 2 1 改进了上面的系统，即捕食者种群的数量变化依赖于食饵数量变 化后丁单位时间的情形这就是要论述的第二种情形 癣( t ) = r z ( 1 一云) 一而x y 虿 i j ( t ) = 爹( 煮；筠一d ) 其中r ，k ，d ，p 和f 皆为正常数，且系统只在第一象限有意义 进一步考虑，这种时间的滞后不仅影响捕食者的种群数量，且对食饵的种群数量 也存在着影响把这种时间滞后的影响也体现在系统中，即要论述的第三种情形 圣( t ) = r z ( 1 一晏) 一型a + x 三2 ( t 盟- - t ) i j ( t ) = y ( 煮等专一d ) 其中r ，k ，d ，p 和丁皆为正常数，且系统只在第一象限有意义 通过对以上三种情形的介绍，归纳总结研究问题使用的方法，分析当系统从不包 含时滞到逐步包含时滞后，解的分歧行为的变化情况，其中存在的联系和区别 本文共分四章，第二章主要介绍具有h o u i n g - i v 型非单调响应函数食饵一捕食者 系统的分歧情况，其中包含三种情形，即系统为常微分形式时的一种情形和系统包含 时滞时的两种情形，并对系统分歧的情况进行比较第三章介绍在分歧分析过程中使 用的方法第四章分析这些方法在其它具食饵捕食者系统中应用的可能，提出在这 种分析基础上进一步思考的问题 第3 页 东北师范大学硕士学位论文 第二章具有简化的h o l l i n g - i v 型非单调响应函数食饵捕食 者系统的分歧分析 2 1系统中不具有时滞的情形 近几年来有很多学者相继研究了系统( 1 1 ) 具有非单调响应函数的形式为 p ( z ) = 而m x 时h o p f 分歧和b o g d a n o v - t a k e n s 分歧的情况，对于这个响应函数为常微分方程形式 时，系统可以记作 浆夏霉：乎 仁1 ， 雪( t ) = 妙( 羔一d ) 卜“ 其中，r ，k ，n ，d ，p 皆为正常数，由于系统中仅当x ( t ) o ，y ( t ) 0 时，在生物学才有意 义，所以我们主要关注系统( 2 1 ) 在第一象限内分歧的情况显然，系统( 2 1 ) 至少存 在两个平衡点，即原点( o ，0 ) ( 双曲鞍点) 和z 轴上的点( k o ) ，但是这两个点都在第 一象限的边界上，下面寻找第一象限内部平衡点 系统( 2 1 ) 如果存在第一象限内部的平衡点，那么方程组 缁( 卜越砭x y ( 2 2 ) ! ，( 羔一d ) = o 卜一 有正根解方程组，根据其中的第二个方程有 ( 羔一d ) = 0 口+ z 2 ，一 即 d x 2 一p z + a d = 0( 2 3 ) 有正根，因此，必须要求 p 2 4 a d 0( 2 4 ) 在这个条件下，设方程( 2 3 ) 存在一个解矿，把这个解带入方程 r z ( 1 一云) 一而x y 虿= o 得到当z = 矿时，y 的解为 矿= r ( 卜鼍) ( 口+ ( z ) 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 这里为了确保y + 0 ，那么必然要求 矿 0 ，系统( 2 1 ) 最多有四个平衡点，( 0 ，o ) ，( k ，0 ) 和两个第一象限内 部平衡点( x l , y 1 ) ，( z 2 ，y 2 ) ，其为方程组( 2 2 ) 的两个正根，即 z 。= - - v # r 2 - - 4 a d 2 , y l = - r ( 1 一嚣) ( 口+ z 2 1 ) z 2 = # + _ # r 2 _ 4 a d 2 ，耽= r ( 1 一嚣) ( n + z 1 ) 为了说明问题方便，记 。1 = 2 # - _ x , # 历2 - 4 一a d 2 ，0 2 = 2 # + v 瓦# 2 厂- 一4 a d 2 引理2 1 1 1 2 1 如果4 a d 2 p 2 学n d 2 且k = 0 1 ，那么平衡点( x l ，y 1 ) 是系统( 2 1 ) 重数为1 的不稳定焦点如果肛2 = 学o d 2 且k = 0 1 ，那么平衡点 ( x l ，y 1 ) 是系统( 2 1 ) 重数至少为2 的焦点 从引理2 1 ，可以看出当4 a d 2 p 2 学n d 2 且z 1 k d 1 时，平衡点 ( z 1 ，y 1 ) 是系统( 2 1 ) 稳定的焦点，而当4 a d 2 肛2 d 1 时，平衡点 ( x l , y 1 ) 是系统( 2 1 ) 不稳定的焦点系统( 2 1 ) 存在上临界h o p f 分歧，上临界h o p f 分 歧面为 一 h 1 ：k ：d 1 4 a d 2 掣n d 2 且z 1 k 1 8 _ + 2 v r 6 。d 2 特别的，系统( 2 1 ) 存在退化的h o p f 分歧面 h 0 ：k ：。1 ，p 2 ：1 8 i + 2 v 伍n d 2 第5 页 东北师范大学硕士学位论文 2 1 2 b o g d a h o y - t a k e a s 分歧 当矿一4 a d 2 = 0 ，方程组( 2 2 ) 的解为：x 0 = 茜，y o = r ( i 一静) + z 3 ) ，其中 _ 2 l d ( p + 、 t t 2 - 4 a d 2 ) 2 d ，系统在第一象限内存 在两个平衡点，一个焦点( z 1 ，y 1 ) 和一个双曲鞍点( x 2 ，秒2 ) 首先，给出条件使得( x l ，y 1 ) 是系统( 2 1 ) 中稳定的一重焦点，并且其中不含有任何非平凡闭轨 引理2 4 【2 1 1 若4 a d 2 p 2 訾o d 2 ，k = ( 2 p v # 2 - 4 a d 2 ) 2 d ，那么系统( 2 1 ) 在第一象限内部有稳定平衡点( 口1 ，剪1 ) ，并且没有任何非平凡的闭轨( 既没有周期轨， 也没有同宿轨) ，此时有 一# - v 学t t 2 - ，饥= r ( 1 一) ( 。+ z i ) 在上述情况f = ，对于系统( 2 1 0 ) 有 引理2 5 若4 a d 2 0 ，那么系统( 2 1 1 ) 存在h o p f 分歧系统由原点和 z ，= 0 分支出的周期轨道满足 小m = 、一詈+ d ( 吐e ( t , v ) 一2 k 丌t + o ( i 胪) 且有 ( i ) 如果c l c 2 o ) ，当口 o ( 或v 0 也都不稳定 2 2 2b o g d a n o v - t a k e n s 分歧 时滞不会改变系统平衡点的数量和位置，所以，系统( 2 1 0 ) 在第一象限平衡点的 情况相对系统( 2 1 ) 而言没有发生变化系统( 2 1 0 ) 仍然存在两个边界上的平衡点：一 个双曲鞍点( 0 ，0 ) 和z 轴上的平衡点( k 0 ) ，并且，当且仅当p 2 4 a d 2 = 0 ，p 2 k d 时，系统( 2 1 ) 在第一象限内存在唯一的平衡点( z o ，y o ) ，进一步有，当p = k d ，平衡 点( z o ，y 0 ) 是一个b o g d a n o v - t a k e n s 点在系统( 2 1 0 ) 中，当参数( 肛，k ，a ，d ) 满足条件 肛2 4 a d 2 = 0 ，p = k d( 2 1 2 ) 1 a = g ( 卜1 ，0 】；r 2 ) 由 - 1 ，o l 到r 2 的连续映射所构成的b a n a c h 空间，其范数定义为1 1 妒1 12 口并譬o 】i 咖( p ) l ， - x - l | 1 为冗2 上的桌一向量范数 第9 页 东北师范大学硕士学位论文 时，点( z o ，珈) 仍然是唯一的第一象限内部平衡点下面证明( x 0 ，y o ) 为第一象限内部 的b o g d a n o v - t a k e n s 点 记z o ，k o ，a o ，d o 满足方程( 2 1 2 ) ，代入系统( 2 1 0 ) ，得到系统 黧i 溪摹，鲫) = 掣( 卷篆乌一d 0 ) ( 2 1 3 ) 其中r 为正常数，系统处于相空间c ：= c ( 【_ r ，o 】；r 2 ) ，系统( 2 1 3 ) 经过时间尺度的调 麓曩娄高 江 鲫) _ r p ( 者舞与一驯 一 名1 = z 2 如= a z + p z l z 2 + p 4 ( z l ，z 2 ) 口：r v i 2 一d 2 0 ，卢：一r r d o + r v 2 d 2 因此，我们选取系统( 2 1 2 ) 中的参数k ，d 作为分歧变量，即取得击+ 入l ，d o + a 2 ， 其中入l ，入2 在( 0 ，0 ) 的小邻域内变化，考虑到系统( 2 2 ) 中a l ，入2 对其的影响，我们得 未二一_ 仁埘 绯) = 丁虹巷篆一玩嘞 一 z 12 钇 ( 2 1 6 ) 庇 = 7 1 + 丫2 2 2 + q z + p z l z 2 + r ( z l ，z 2 ，一y l ， 7 2 ) 、 第1 0 页 东北师范大学硕士学位论文 其中饥= l r t 2 z o 入2 ，7 2 = 一7 - a 2 + 竽( r 7 - 2 d o - 4 ) a 1 为变换后的参数，r = o ( i ，y1 2 ) + o ( i ，y z1 3 ) 因此，当丁2 r d o 4 时，上述参数变换是非奇异的，故系统( 2 1 5 ) 存在b o g d a n o v - t a k e n s 分歧 定理2 4 p 1 当r 2 r d o 4 ，存在唯一的同宿分歧曲线h l h l = n 糊；忱一导一罟- 0 ，讯 o ) 和唯一的h o p f 分歧曲线日 h = n 糊；7 2 一p 一詈= 0 ，7 1 0 ) = ( 入1 ，a 2 ) ；一p 、一号= ， 2 南鳄z i ( t 一1 ) l t + j i j ： j l c 丁，c 妒，= r q ( p l ( 0 ) - q 9 2 ( 0 ) - p 妒“一l ) 吼：丁( 矽兰荔淼1 ( 1 2 ) i ( _ 1 胤) 卫勺 ；暴。奇蟛锘( - 1 ) 弼( o ) 东北师范大学硕士学位论文 这里妒= c o l 1 ，妒2 ) 给出新的参数a = 丁一，系统( 2 2 3 ) 可以表示为 其中昂( 妒，a ) = l ) 妒+ f ( 妒，+ q ) 线性系统2 ( t ) = l ( r k ) ( z t ) 定义了其相空间 c ( 【_ 1 ，0 】，r 2 ) 上的强连续半群，其无穷小生成子记为a o ，那么a o 有一对共轭的纯虚 特征值士盯七，g k = 2 栅且记 b ：f 衍奄 o 1 0 卅吼 圣= b x + 毒建 ，o ，q ) + 未露 ，o ，q ) + 0 t ( 2 2 6 ) 这里醍，霹表示二次项和三次项，h o t 表示高次项利用恰当的坐标变换，可将( 2 2 5 ) 的规范型表述为极坐标( p ，f ) 形式 它2 1 q p + 克2 矿+ d ( 2 p + l ( p ，。) 1 4 ( 2 2 7 ) 其中k 1 ，k 2 为新参数，依赖于( 2 2 5 ) 式关于变量和参数的t a y l o r 展开式 定理2 6 f 2 3 1 ( i ) 当k l k 2 0 ，h o p f 在系统( 2 1 0 ) 中，当p 2 4 n d 2 = r k 去时，有z o = 括，y o = r ( 1 - 嚣) ( 口+ z 3 ) ， 且( x o ，y o ) 为第一象限内部唯一的平衡点，当p = k d 时，平衡点( z o ，y 0 ) 为b o g d a z i o v - t a k e n s 点同样可以证明，在上述情况下，系统( 2 1 7 ) 中第一象限内部的平衡点( z o ，y 0 ) 在系统( 2 1 7 ) 中，当参数p ，口，k ，d 满足方程p 2 4 a d 2 = 0 ，t t = k d 时，系统 ( 2 1 7 ) 处于相空间6 1 ：= d ( 一丁，0 】；r 2 ) 中，为讨论问题简单，通过调整时间尺度，令 黧蔓一 辩) = 下虹端一d p 一叫 利用t a y l o r 公式展开系统( 2 2 8 ) 令x l ( ) = x ( t ) 一z o ，z 2 ( t ) = 掣( t ) 一蜘，系统( 2 2 8 ) 州幻= r _ 孺x 0 剐磊刍嘏1 州卅磊2 丽1 危9 2 z i ( t - 1 ) ( t ) | ( 2 2 9 ) 酬= 丁 ；毛。丽1 踟( t 一) 翻 东北师范大学硕士学位论文 其中 h ( 1 1 ) = r z ( 1 一晏) ，h ( 1 2 ) = 一而x y ， ( 2 】= 秒( 南一d ) ， 珊) = 警卜黔o + j h ( 1 2 ) ，弘o i + j h ( 2 ) i 系统( 2 2 9 ) 可以改写为如下系统 讹一( 一寺现 ) ， 吼一p 黧1 主础_ ) 。磊面危溯( 。) 岛( o 也l 2 2 + o ( 1 ( u l ，u 2 ) 1 3 ) ( 2 3 1 、 其中a ：乏堡，p ：一r t d - f r r 2 d 2 ，通过规范型可以得到 z “ 禁蓑t 墓t o x ( t - ；1 ) 篇p 2 仁 荆= 丁秒l n o + z 。( t 一万一d a z 。 东北师范大学硕士学位论文 其中饥= r 7 2 z 。a 2 ，倪= 一嘉( 4 d - - r 2 t r 2 t 2 d + r 2 r 3 d 2 ) 入2 一r 7 z 。( 2 + r 7 - ) a l 为变换 后的参数，r = o ( 171 2 ) + d ( 17 z1 3 ) 这样就有如下结果 定理2 8 2 3 1 在( a l ，a 2 ) 平面上，分歧在原点的小邻域内，存在唯一的同宿分歧曲 线h l h l = 入z ) ；3 2 - - 拿 一詈一o ，饥 0 ) 和唯一的h o p f 分歧曲线h 日= ( a i , a 2 ) ；倪一卢一詈- 0 ，饥 o ) 当参数位于h 和h l 围成区域内，系统( 2 3 2 ) 存在惟一的稳定极限环 2 4具有简化的h o l l i n g - i v 型响应函数系统分歧情况比较 对于非单调的响应函数为 p 【z j2 - a + x 一2 的食饵一捕食者系统在( 2 1 ) ( 2 1 0 ) 和( 2 1 7 ) 三种情形中，分别给出了h o p f 分歧和 b o g d a n o v - t a k e n s 分歧在三个系统中依据生物学的观点，只有在第一象限内部的点才 有意义，所以对于三个系统来说，都在第一象限内部进行研究首先，为了满足这种情 况，在常微分系统( 2 1 ) 中得到，平衡点要在第一象限内部必须满足条件： p 2 4 a d 0 z + k 其中矿为方程( 2 2 ) 的一个解由于时滞的引入并不影响平衡点所满足的方程，所以 这个条件是系统( 2 1 0 ) 和( 2 1 7 ) 也必须满足的因为，若肛2 4 a d k ，此时有 y = r ( 1 一) ( o + ( 矿) 2 ) 0 ，此时，在系统( 2 1 ) 中，在第一象限内部有两个平 衡点，分别为( z 1 ，y 1 ) ( 焦点或结点) 和( z 2 ，y 2 ) ( 双曲鞍点) 以k ，d 为分歧变量，得 到平衡点( z l ，y 1 ) 的稳定性在不同情况下发生改变，因此得到系统( 2 1 ) 的上临界h o p f 分歧面为 h 1 ：k ：。1 ，4 a d 2 矿 1 8 _ + - 2 v 一佰n d 2 o 第1 5 页 东北师范大学硕士学位论文 在系统( 2 1 0 ) 中，根据引理2 4 和引理2 5 ，明确的给出平衡点( x l ，y 1 ) 的情形， 得到当7 _ = 0 时，即系统( 2 1 ) 的情形，平衡点( z l ，y 1 ) 为稳定的，而当0 。 第1 8 页 东北师范大学硕士学位论文 显然，特征方程( 3 4 ) 没有实根，且( 入，丁) = 0 只有一对共轭的纯虚根+ i v 4 设当 7 0 时，特征方程( 3 4 ) 的根的形式为入= 仳+ i v ，有 h 1 ( t 上，u ，7 - ) = “2 一口2 + q e 一1 盯c 0 8 t ，7 = 0 h 2 ( ，t ，r ) = 2 u v q e 一何s i n v r = 0 根据隐函数定理，存在u = u ( r ) ，t ，= t ，( r ) ，使得在丁= 0 的小邻域内有 让( o ) = o ，钉( o ) = 锕，石d 让( 7 ) l o 从而，当r 0 时，有( 7 - ) 0 经过上面的论述，得知存在 亿：粤，七：o 1 ，2 亿= 7 ，尼= u ，l ，z 使得特征方程( 3 4 ) 具有一对共轭单复根u ( r ) - - 锄( r ) ，并且这两个复根在丁= 亿处穿 过虚轴， t 正( ) = 0 ，秒( ) = 盾，仳7 ( ) 0 且( 3 4 ) 在r = 处没有其它纯虚根因此，在7 - = r k 处出现h o p f 分歧 选取7 - 作为分歧变量，根据【1 9 】中的规范型理论，在住的小邻域内计算系统( 3 2 ) 规范型当7 0 ，改写( 3 2 ) 为 鳓= 十南狲) + 嘞5 2 。面1 是字x i ( t ) 鳓 立( 亡) = 7 帮剐) + ；晷。面1 驷( ) 碹 一 故系统( 3 5 ) 对应的线性系统为 宠( ) ：一j 丐x 2 ( t ) 础) = 鬻噩( 卜1 ) 3 6 ，口、 () 记a 是线性系统( 3 6 ) 定义的强连续半群的无穷小生成子当丁= 亿，a 仅有一对单 的纯虚特征值：t ：i 2 k ，r ，其余特征值不具零实部引入新的变量z ，= - 一亿，将系统( 3 5 ) 改写为 戈，( 。= 一考备恐( 砷一考篙( 功+ ( + 川；毛。面1 危0 x i ( 碹( t ) 础) = 帮剐) + 黼剐) ( 3 7 ) + h + 川；磊。赤孵霸。一1 ) 硝( t ) 东北师范大学硕士学位论文 一_ 一 这个系统可以简单记为 都，= ( 杂一予忡跏， 艾 2l 墨搿j z 2 j ( 羔：弓) + 凰( 五，l ，) 对任意，系统( 3 7 ) 存在平衡点( o ，o ) 相空间为q ：= c ( 【一1 ，o j ；r 2 ) 令七：1 ，2 ，3 ， 定义a = - i 2 m r ，i 2 k ，r ，对( 3 7 ) 应用 1 9 中的规范型理论 利用a 将相空间q 分解为q = p oq ，其中p 是与a 相应的广义特征空间考 盅( t ) = 一掣b x 2 ( t ) 础) = 静a 砌- 1 ) 国 i 十z ；) - 相应的双线性形式( ，) 令p 和p 的基底为圣，霍，有( 圣，霍) = f 在g ：c ( 【一1 ，o l ；c ) 中考虑系统( 3 7 ) 易知西= c b ，b = d i a g ( i 2 k 7 r ，- i 2 k 7 r ) 为对角矩阵事实上西，皿均为2 2 阶矩阵 悱；) ，纵垆e 锄彻沪“= 确一划 其中乱，秽都是c 2 中的矢量，且有如下表示 u = ( ：) = ( 一) ， 口= = ( 孛) 将相空间研扩展为b q ，即b q = ： 一1 ，0 】叶r 2 ；在区间f - 1 ，o ) 内连续，且0 点为跳跃 间断点) 则b q 可作如下分解 其中耳表示b q 到p 的映射令托= c z ( t ) + y t ，名c 2 ，仇k e r 霄nd ( a o ) ：q ，系 统( 3 7 ) 分解为 篙a q ，仙y - t - 黔们渖-