（应用数学专业论文）功能梯度压电压磁材料反平面问题.pdf

圭要奎兰堡兰兰堡丝塞! 塞堡矍 摘要 压电，压磁复合材料具有良好的磁电耦合效应，它的每。种单相材料元是没有此性能的某些 情况下，这种磁电耦合效应相比于单相磁电材料而言要高出几百倍正由于这种良好的性能使得 压电压磁材料的研究蓬勃发展本文把功能梯度概念扩展到压电，压磁材料研究中，分析了功能 梯度压电，压磁材料中裂纹在反平面剪切载荷作用下的断裂问题使用积分变换和对偶积分方程得 出了裂纹尖端的应力，电位移和磁通量强度因子 本文共分五部分第一部分介绍了压电f 压磁复合材料的发展及它的广泛应用，并给出了本文 研究的压电压磁复合材料的本构方程第二部分研究了无限大功能梯度压电压磁材料中的断裂 问题第三部分研究了半无限大功能梯度压电压磁材料中裂纹的反平面问题第四部分研究了功 能梯度压电，压磁长条中裂纹的反平l f 日问题 关键词：压电压磁复合材料，功能梯度压电压磁材料，裂纹，对偶积分方稗 耋墨奎耋堡圭兰堡篁兰 茎塞堡至 a b s t r a c t p i e z o e l c c t d c p i e z o m a g n e t i cc o m p o s i t em a t e r i a l sh a v er e m a r k a b l em a g n e t o e l e c t r i cc o u p l i n gc o e f f i e i e n t , w h i c h d o e s n o t e x i s t i n e i t h e r e o u s t i t u e t r a ts o u l e c a s t h e m a 阱e t o e l e c t r i e c o u p l i n g c o e t 最c i e n t i sa ss e v e r a l h u n d r e d s a se i t h e r c o n s t i t u e n t ，j u s t d u e t o t h i sn i c e c h a r a c t e r i s t i c m u c h i n v e s t i g a t i o n h a s b e e n d o n ei nt h er e s e a r c ho f t h ep l e z o e l e c t n c p t e z o m a g n e t i ec o m p o s i t em a t e r i a l s ，i nt h i st h e s i s ，t h ec o n c e p to f f t m c h o n a n yg r a t l i e n ti ss p r e a di n t ot h er e s e a r c ho f p i e z o e l e c t n c p i e g o m a g n e t l cm a t e r i a l s t h eb a h a v l o r s o fac r a c ki nf i m c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n e t mm a t e r i a l ss u b j e c t e dt oa l la n t i p l a n es h e a r l o a d i n ga l ei n v e s t i g a t e d b yu s i n gi n t e g r a lt r a n s f o r m a u o na n dd u a li n t e g r a le q u a t i o n sm e t h o d s ，s t r e s s i n t e u s i t yf a c t o r e l e c t r i cd i s p l a c e m e n ti n t e n s i t yf a c t o ra n dm a g n e t i cf l u xi n t e n s i t yf a c t o ra tc r a c kt i p sa o b t a i n e d t h e r ea i cf i v ep a r t si nt h ep r e s e n tp a p e r t h ef i r s t 州i n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to fp t e z o e l e e - t r l c p l e z o m a g n e t i ec o m p o s t t em a t e r i a l sa n di t se x t e n s i v ea p p l i c a t m n s ，a l s ot h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o no f t h em a t e r i a lf o rt h i st h e s i si sg i v e n t h es e c o n dp a r tf o c u so nt h ea n t i p l a n es h e a rl o a d i n gi na ni n f i n i t e p l a n eo f f u n c t l o n a n yg r a d e dp i e z o e l e c t n c p l e z o m a g n e t l cm a t e r i a l s t h et h i r dp a r ti sa b o u tt h ea n t l 一p l a n e s h e a r l o a d m g i n a h a l f p l a n e o f f u n c t i o n a l l y g r a d e d p l e z o e l e c t r i c p l e z o n m g n e t i e m a t e r i a l st h e f o u r t h p a r t l a y se m p h a s i su p o na n t p p l a n es h e a rl o a d i n gm as m po f f i m c t m n a l l yg r a d e dp l e z o e l e c t n c p l e z o m a g n e t l c m a t e r i a l s k e yw o r d s ：p l e z o e l e c t n c p l e z o m a g n e t l cc o m p o s i t e m a t e r i a l s ， f u n c n o n a l l yg r a d e dp l e z o e l e c 。 t n e p j e z o m a g n e t l cm a t e r i a l s ，c r a c k ，d u a li n t e g r a le x u a t l o n 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：诅时间：彻年j 碉矽日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名 导师签名 时 时 日 日 夕寸 月 月 年 年 吲 问 问 童墨奎茎堡兰堡鎏兰 量三量塑童 第一章前言 1 1 功能梯度压电压磁材料动态问题研究简介 众所周知，压电材料在变形时产生电场，在受电场作用时产生变形；正是由于这种内在的机电 耦合性质，压电材料在声，光，电子，医药，牛物以及智能结构的形状和振动控制等领域有着，“泛 的应用：尤其在高能声纳发射器，机电执行器及j 玉电电源等高新技术中发挥着苇耍作用【1 ，“埘j 。 压电材料的断裂问题已经有了广泛的研究，p a r t r o a n j 研究了j 土电材料和导体间的界面裂纹问题； d e e g s l 用格林函数法解决了压电材料中的缺陷问励：s o s a 和p a k 6 l 对压电材料中的半无限大裂纹 进行了三维本征函数分析；s u o l 7 】系统研究了压电材料中的裂纹，以及压电材料中金属电极或聚合 物基体间的界面裂纹问题；p a k 8 给出了无限人压电介质中的反甲面裂纹问题的封闭解，并进。步 讨论了机电载荷及电荷载对裂纹扩展的影响但以上研究大都以均匀压电材料为研究对象 而对于非均匀各向同性弹性体中的断裂问题。文【9 卜【1 5 】研究了按某种非均匀函数关系变化的 弹性系数对裂纹扩展的影响1 9 8 7 年，为了解决高温环境下材料内部界面处热府力集中问题，e j 本 学者首次提出”功能梯度材料“概念1 1 6 】功能梯度材料由于其材料参数存卒日j 连续变化而能够 用来自效地消除传统复合材料中存存的材料参数存界面的失配问题，因此有利于提高界i f 【l 强度，从 而尽可能充分发挥复合材料的优势，具有厅大的潜在应用价值，并且通过合理地选择某訾非均匀 参数的组合，可以显著降低热应力强度因子 ”卜【删这样功能梯度材料的研究受到广泛关注，l l 和 z o u 2 1 1 一f 2 4 l 通过将a j 题归结为f r e d h o l m 积分方程分别研究了无限大证交备向异惟功能梯度材料 g n f f i t h 裂纹反平嘲剪切冲击问题年i j 硬币型裂纹扭转冲击问题 在现代高新科学技术的发展与摊功下，盘屯，j 土磁和电磁材料及其结构的土电一电磁力学行为 与特征的研究j e 日益受到蓖视但n lj j 上电，瞧磁界1 j 单性介质机电耦合的复杂性，对求解带来了很 大的困难许多学者对j 盘电，压磁和电磁层合板结构作了许多上作，给出了层状j 土电介质空间轴对 称问题的状态空问解以及横观各向阳花l 耐性蛐边简支层状墟电，琏磁和电磁弹性板的基本解，导出 了压电压磁和电磁各向异性弹性介质二缮问题的g r e e n 函数的重要特征，系统地研究了横观各向 同性压电材料的通解【2 3 卜1 2 6 j 压电压磁复合材 是由两种或更多种压电和压磁材料元组成。因而能更好地利用每种材f 的性能，与传统的压电或压龙磁材料相比有更出众的磁电效席磁电耦台效戍是这种复合材料的 新性能它的每一种单相材料元是没有此性能的，某些情况f ，这种磁电耦合效应相比于单相磁电 材料而言要高出几百倍因而，广泛应用于磁探针，电子封装，声纳装置，医学超声成像，传感器和 致动器( 用于磁一电一力之间的能量转换) 【2 3 j 半压电压磁材料使用过程中在力，磁和电载荷作用下， 其制造过程中产生的小孔，裂纹等缺陷会导致这监磁电弹耦合的复合材料过早失效因而，研究 磁一电弹复合材料的耦合作用和断裂行为是非常重要的i 纠一1 2 5 1 压电压磁复合材料的发展源- pv a ns u c h t e l e n l 2 6 的早期上作文献【2 6 1 提 h 压电压磁相的复 合有町能获得新效应一磁电耦合效应从那时丹始。就有很多的学者测试了b a t i 0 3 - c o f e 2 0 4 复合 材料的电磁耦合性能最近，许多学者对磁电耦合效应进行了珲论研究【2 3 卜1 2 5 1 1 2 一1 3 2 1 另一方f l i ， 功能梯度材料的发展证明，此种材料可以减小应力集中并且提高断裂韧性，刊时功能梯度材料的概 念已经扩展到压电材料研究中【2 1 】j ，随后，人们开始研究功能梯度垃电材料的断裂问题【卅一p “， 宁夏大学硕士学位论文第一章前言 w e n g 和l i 4 1 l 首先研究了功能梯度压电材料的静态反平面剪切问题他们发现，功能梯度压电材 科中裂纹尖端的应力和电位移的奇异性与均匀材料中裂纹尖端的奇异性类似，但是，应力强度因子 的大小强烈倚赖于功能梯度压电材料性质的梯度分布把功能梯度概念扩展到压电压磁材料研究 中文【3 】用s c h m i d t 方法研究了无限大功能梯度压电压磁材料中裂纹在反平面剪切应力载荷作用 下的磁电一弹耦合行为【3 j 本文用f o u r i e r 变换一对偶积分方程方法研究了功能梯度压电压磁材料 中裂纹的反平面问题，最终分析了裂纹长度，几何尺寸及表征功能梯度材料的参数觑对应力，电位 移和磁通量强度因子的影响 1 2 基本方程 在直角坐标系。( i - l ，2 ，3 ) 中，线性压电，压磁和电磁各向异性弹性固体的基本方程为： 本构方程： io s 3 = c o k a j e 毋一 。叼月j d ；= e 。k # 。+ o ；。b + 文。日。 ( 1 1 ) l 蜀= q , k ，6 h + 面，b + “。h s 式中，e b ，e ，b ；和且分别为应力，应变，电位移，电场强度，磁感和磁场删度；g ，“岛h q i k ，和叱分别是弹性，j 土屯，雎磁和电磁耦合系数；n 。和m ，分别为介电常数和磁导率材料系数 满足对称性： ic , j k 5 = q m = g m = c k e ”= e l q s v = 吼d ”= d 3 ， ( 12 ) ln 。= n ，。p 。= 如。 和正定性： 2 第0 菘a 0 n ， iq ，s 以k ，p 。s a g 、 式中m ，为非零的任意二阶张量，b ，和g 为非零的任意矢量 梯度方程： 钆= 2 1 、u + ，) ，e = 一妒m h = - ，。 式中，逗号表示对变量的偏导数；玑，妒和分别为弹利位移，电位和磁位 平衡方程： 以”= 0 ，n f i = 0 ，且，t = 0 式中忽略了体力，体电荷和体电流我们假设裂纹中充满空气，那么在裂纹内的电热 下面的方程： v 2 = o ，v 2 妒= 0 2 一 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 磁势应满足 ( 1 6 ) 巨兰巍f ， 魄= u k , k = f 两 。， i ，j = 1 ，2 ，3 e “= d j = 4 ； i 鼠，= 5 ， 最j k 。 g m ，z k = 1 ，2 ，3 ； e t ，k = 4 ，j = 1 ，2 ，3 ； 如”，k = 5 ，j = 1 ，2 ，3 ； e l b ，j = 4 ，k = 1 ，2 ，3 ； q l k 5 ，j = 5 ，k = 1 ，2 ，3 ； ( 11 2 ) - - o r t j ，j = 4 k = 4 ； 一面，j = 4 ，k = 5 ； 一成。，j = 5 ，k = 4 ； - , u t 5 ，j = 5 ，k = 5 则方程( 1 9 ) 可简写为：鼠j k 。巩t t = 0 在式( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 中，小写下标取值为1 3 ，大写下标取值为1 5 ，后面相同，除非另有说明 一3 一 耋墨查耋堡圭兰堡堡兰塞至垂里奎塑矍璧堡里里堡璧丝丝塞型竺堡里 第二章无限大功能梯度压电压磁材料中裂纹问题 2 1 引言 对于无限大功能梯度压电压磁材料中裂纹在反平向剪切应力载荷作用下的磁- 电弹耦合行为， 文【q 用s c h m i d t 方法研究过本文用f o u r i e r 变换对偶积分方程方法进行研究把混合边值问题化 为一对对偶积分方程，进而化为f r e d h o l m 方程进行求解通过对这两种方法进行比较，发现其结论 是一致的但是f o u r i e r 变换对偶积分方程方法的计算量相对小螳最终分析了裂纹长度及表征功 能梯度材料参数优对应力，电位移和磁通量强度因子的影响，这对于此种材料的应用是很重要的 2 2 问题的描述 如图2 1 所示，假设功能梯度压电，压磁材料中有一长为2 f 的裂纹，对于反平f 【f 问题，由于无张 开位移存在，可假设裂纹表面接触，因i 【可假设电势，磁势，电位移和磁通量在裂纹面上是连续的 因此，本问题的边界条件可以描述为： f 矗：( z ，o + ) = 尹( z ，0 一) = 一句，izi l lu ( 1 ( z ，o + ) = u ( 2 ( z ，0 一) “z | f f ( 1 ( z ，o + ) = ( 2 ( z ，0 一) jd 1 ( z ，o + ) = d 5 2 ( z ，0 一) ，zi o o l 妒( 1 ( z ，0 + ) = 妒( 2 ( ，q 一) 【b 5 1 ( z ，o + ) = b 5 2 扛，0 一) ( 21 ) 埘( 1 ) ( 霹，) = 1 f ( 2 ( z ，) = 0 ，( 。2 + y 2 ) 1 2 _ o o ( 2 ，3 ) 其中t 2 ，d 2 和b 2 ，k = ，w ；t = 1 ，2 分别是反平面剪应力，平面电位移和平面磁通量， ( ”， 西( t ) 和妒( t ) 分别是反平面位移。电势和磁势本文中，只考虑丁b 为正的情况i = 1 ，2 分别对应上f 半平面 对于非均匀压电压磁材料的断裂问题而寿，通常，人们为了使问题便于处理而进行某些简化 处理类似于各向同忭非均匀材料的处理方式，假设材料件质的变化形式如下： 瓯= o 沙， q 1 5 = q l s o 毋， e 1 5 = e 1 5 0 沙， d 1 12d n o e 胁， 其中国4 0 是剪切模量，e 1 5 0 是压电系数，0 1 1 0 是介电常数，叽是压磁系数，d n o 是磁电系数， 肛l - o 是磁导率，卢是功能梯度参数 一4 一 但 鼢 却 e e 0 0 n u 口 p = = n n q p 耋墨奎兰堡! 兰堡堡兰 量塞垂矍奎塑璧堡堡堡皇星璧丝丝! 型垒堡矍 y l l 一+ l 一 圉2 i无限入功能梯度压电压磁材料 殷r r 型裂纹问题的本构关系如下 x 2 = a 4 u 譬+ e 。5 譬+ q 。5 妒譬， k = 。，可；z = l ，2( 2 5 ) d 0 = e 1 5 u l 一。- l 譬一d l l 妒譬， k = ? ，y ，l = 1 ，2 ( 2 6 ) b = 口，5 u 警一d l l 譬 反平面控制方程为 k = z ，g ；2 = 1 ，2( 2 7 ) q m ( v 训十卢百o w o ) ) 托s o ( v v ”+ 卢等) 帕”( v 2 妒筹) = 。 e ，s 。( v 训+ 一百o w ( o ) 咄- 。( v 2 + 卢等) 呐t 。( v 2 妒筹) = 。 。( 刚。+ p 警) _ - 。( v 2 扩筹) 啪t 。( v 钞+ 口警) = 。仁- 其彬= 暴+ 嘉是= 维l a p i a c e 鼾 2 3 求解 由于假设几何和载荷的对称性，只考虑0 s z o o ，一o o 瓦1)cos(sx)ds m r r o ，。 。 f ( 2 2 7 ) i 伊8 a ( s ) 7 02 瓦，o f 、。 b z = 0 ，b y = 0 ，d v = 0 y = 一b ，y 。o o ( 3 3 ) 其中q ：，d v ，b ，为反平面剪切应力，平面电位移和磁通量，u ，以妒为位移，电势，磁势 同样为便于处理问题，设材眷p l 生质的变化形式如上章 3 3 求解 为求解上面的方程，采用f o u r i e r 变换技术，利用边界条件( 31 ) 一( 3 3 ) 获得位移，电势及磁势的 表达式如下： u ( o ，y u ( z ，y 扛，y l 一“p ( p t p ：) 6 ) a ( ) “p ( 一p ：”) c o s ( z f ) 武，” 。 ( 3 4 ) e x p ( 一p t ) 一塞e x p ( p t p z ) 6 一p 2 9 a ( f ) c o s ( z f ) 武， 。( 3 ，6 ) 卅。 厂f 州 圭圣奎耋竺兰兰堡篁兰篁三耋耋至堡奎塑璧堂璧堡皇堡璧丝坠鍪垒星兰塑堡矍 f 一l ii l b ，f7 闺31r 无限大功能梯度压电压磁材料 似川= 州( 训) + 0 0 。五 唧( _ p 1 沪凳e x n 咄) b - p 。y 账) c o s ( 蚓武小。 ( 37 ) 此棚= 州( 啪) + o ”石 1 一e x p ( p 咄) 6 ) 眯) e x p ( 嘞小嘶嫩驴0 ( 3 8 ) 妒( z ，9 ) = n u ( 叠) + o 。点 唧( 一p - y ) 一詈e x p ( p t p ：) 6 一m 口】) c ( f ) c o s ( z f ) 武，f 。 ( 3 1 1 ) 亿。( ”) = o 。点 一一“，( 一，- ”) + p - e x p 【扫一抛) 6 一p 。v 】) ( c 1 4 0 - + e 1 5 0 n o + q l a o a l ) a ( ) + e l s 倒讣灿似f ) c 0 8 ( 蚓扼 o( 3 1 3 ) 一1 2 一 薹呈奎量堡圭茎堡尘三里三兰兰圭坠奎丝璧堡壁垒里堡竺丝坠圣垒星兰堡塑矍 。，( z ，”) = j ( ”忐 一，“- ( 一p v ) + p ，“，【加- 一见) 6 一m ，l b o o - a o 知- d l l o a l ) a ( f ) 一q 1 l 。b ( 0 一d 1 1 。e ( f ) 。( 。) 武，” o ( 31 5 ) 晰朋= z ”忐( _ p 1 e x p ( 刊+ p 1 e x p 0 , t 训咄啡q l s o - - d n o a o - p l l o a l ) 帐) 一d 1 1 。b ( ) 一肛l t 。g 幢) 1c 。8 ( f ) d f ， o( 3 1 6 ) 所以： 上”；- ，p i p p 2 。l 1 一“p ( p l - - p 2 ) 6 】) ( a a 。+ e s 。n o + q l s o a l ) a ( ) + e l s o b ( ) + q l s o c ( ) c o s ( 。f ) 武 z 0 。卷 ，一唧刊6 ) ( e 1 5 0 - - o c l l o a o - d l l o a l ) 枨) - a h o b ( f ) - d 22 0 c ( ( ) c 删磷 z ”老 1 _ e 啪t 删吣m 诋n o - - , z l l o a l ) 佻) - d l l o b ( f ) - m l o c ( f ) c o s ( 蚓必 由边界条件( 3 2 ) 知 a ( f ) c o s ( x o = o b ( f ) c c 8 ( x o 西= 0 c ( f ) c o s ( z o 武= 0 由式( 3 11 ) 一( 3 1 3 ) 得未知函数a ( f ) ，b ( ) ，g ( ) 分别满足下面的积分方程 ff 洲粼) j c 嘶淞= 型酱鱼+ 型铲岛 + 型业d 0 0 l 1 3 一 z z z 宁夏大学硕l 学位论文第三章半无限大功能梯度压电压磁材科裂纹反平面问题 ff 州洲( f ) 酬瑚= 型趋业等等鱼二型业d o 一d 1 1 0 c 4 4 0 + d l l o e l s o o o q ，- q l s o e l s o - - q l s o e i i o o - 0 b 0 ，o z f f l 一唧 c o 。一p 2 ) h i “豹。1 怕 ) _ 上 乖尹 对r 上面的对偶积分方程( 32 0 ) 一( 32 2 ) ，我仃j 采用c o p s o n 方法求解， a ( f ) = f 0 1 t 皿( t ) 凡( t ) 出 b ( ) = z 1 垂( ) 由g 功疵 e ( ) = xt a ( t ) 矗( f ) d t ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 32 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 其中山( ) 为第类0 阶b e s s e l 函数 将式( 3 1 7 ) ，( 3 i f ；冰入力稃( 3 1 4 ) ，第个力稃自动满足，要使第_ 个方稗式也成立，则田( t ) 须 由下面的第- 类f r e d h o l m 积分方程控制 吣) + z 1 砷，蝴) d f _ 型血印+ 坐鼍斧出岛 + 型业d 0 0 “f ( 3 2 7 ) 其中，核函数k ( x ，t ) 为：k ( z ，t ) = t 伊臼( f ) 如( 。f ) 而( 蛭) 蜓 剐样，将式( 3 1 7 ) ，( 3 1 9 ) 代入方程( 3 1 5 ) ，第个方程自动满足，要使第二个方程也成屯，则 m ( ) ，a ( f ) 须由下面的第二类f r e d h o l m 积分方程控制 吣) + 1 k ( 0 州) 叩) d f - 业堕塑业等亟型婴垫d 01 h 2 一型堑丝唑嘎笋塑型堡堂刚! 删 ( 32 8 ) 宁夏大学硕十宁位论文第三章半无限大功能梯度压电压磁材料裂纹反平面问题 捌+ o j 0 1k ) 喇出= 业盟竺业唑等1 丝业兰螋盟d 0 1 h 一塑坠地业等鱼堂刚s 州( 3 2 9 ) 3 4 裂纹尖端局部奇异场 将位移，电势及磁势的表达式( 3 5 ) 一( 3 7 ) 代入本构关系( 2 5 ) 一( 2 7 ) 可得口= 0 时的剪应力，电 位移和磁通量的表达式： 化简为 l ，( z ，。，z ) = o 。p 丝l - p ：t 1 一“， 。，一p 2 ) b ( c 4 4 0 - fe l s o a o + q 1 5 0 a 1 ) a ( f ) + e l s o b ( 讣灿似) c o s ( 瑚必，z z 吣) = 上。p 丝l - - p 2 i , ，一刚旷p 2 ) q ) ( e 1 5 0 - - q i i o o o - d n o a 川 _ m t o b ( 沪“o g ( f ) c o s ( 蚓武，z 2 驰，吣) = o 。堂p l - p 2 f ( ，唧训】s 州n o n 。 _ d l 郴( 沪m 眦) c o s ( 蚓，z f 嘶，扣( + + q l s o a a ) f 0 0 c 4 4 0e l s o a oq 1 5 j 0 。+ 水州硼武 l ( z ，z ) = ( + i g ( ) + ( 1 a ( 专) 懈( 茁车) 武 lj + e - ”z ” g ( 。+ f b ( f ) c o s ( 。) 武 + 吼s 。z 。 g 传) + 司e 代) c o s 扛。武，z f ( 3 3 。) 。，。，z ) = ( e 1 5 0 - a l m a o - d n o a l ) f o ”【g ( 。+ 司a ( 。c 。s ( z 甜鹰 z ”+ 恤胁慨，必 咖j ( ”a f t ) + 杷炯心圳 ( 3 3 1 ) i 。 ，。，z ) = ( q l a o - d n o 知- m , o a , ) f o 。 g 心) + 司a ( 。c o s 。) 嘶 砥。o 。+ 恤删蚓武 一肛- 。j ( 。a f t ) + 司g 传) c m 。武，z l ( 3 3 2 ) 其中g ( f ) = f 9 ( f ) 1 5 一 塞圣奎耋矍圭兰堡篁圣 堡三童兰垂堡奎塑墼塑璧里皇星璧丝丝鍪竺星圣堑堡曼 将关系式( 3 1 8 ) 邸2 0 ) 代入式( 3 2 4 ) 一( 3 2 6 ) 可得： 砒吣卜： 照垫拦竽巡+ 丽e t s o ( o ( 1 ) + ； c 怕怕s 帆，【j ( 1 器出 + 丽q ：s o a ( 1 ) )+ 焉矿j j + z 。潞司 帕m z 1 器z 1 器a 1 z 1 器0 1 潞a 1 + ( c o + e 1 5 0 0 + q 1 5 0 a 1 ) t 皿( t ) ，g ( f ) j o ( ( t ) c 0 4 x ( ) c g u t + e 1 5 0 t o ( t ) g ( f ) 而( f t ) s ( 2 f ) d t + q ，s 。z 1 a ( 。z o 。g ( f ) 如( t ) 。s ( z f ) d f d t z f ( 3 3 3 ) 训印，z ) ：一 ( e l s o - a l l o a o - d l l o a l ) 皿( 1 ) 一丽o t l l o q s ( 1 ) 一而d 1 1 0 、( 1 ) ) + 扎。州m 【z 1 游0 1 辫d 一- 。 z 1 器出+ ( 1 器d t 呐z 。f f 1 游出+ 0 1 丽t 2 x ( t ) a t + ( e 1 5 。一a l l 。印一d h o w s ) j o 。皿( 。上g ( ) j 0 ( ) c d 5 ( 。) 必疵 一。1 1 0 1 蚀( t ) ，“g ( ) 矗( 酗) c o s ( ) 武出 j oj o ，1， 一d 1 1 0 n ( t ) g ( ) 而( t ) 5 ( 茹) 出， l ( 33 4 ) 聃，吣) _ - ；11 f ( q v ：, o - d l l 。o a 两o - , u , , o a l ) ( 1 ) 一端一黜) + 牡州m 旷蛐帆， ：1 潞出+ 0 1 鹗a 呐t 。 z 1 潞出+ 0 1 器吲 fr 1 一- 1 1 0 u o+ z 1 器d t ) + ( q 1 5 0 - - d l l o 咖咄螂t ) 卜( c ) z 。砥) j 0 ( 锄嘶嫩出 1 6 宁夏大学硕上学位论文 第三章半无限大功能梯度厅电f f 磁材料裂纹反甲面问题 g ( ) j o ( t ) s ( z f ) 碰d t a ( o j o ) s ( ) 武d t ，z 2 ( 3 ，3 5 ) 裂纹尖端的应力强度因子，电位移强度因子。磁能量强度因子为 k 7 一_ “h m + 钥石i 可嘞( 。，0 ，z ) k d 一_ h 。m 一“、互石可d w 忙，0 ，z ) k 8 一_ “h m + 以i 再_ 玎巩( z ，0 ，z ) 将式( 3 2 4 ) 一( 32 6 ) 代入式( 3 3 0 ) 得 ( 33 6 ) k 7 = - ( c 4 4 0 + e l s o a o + q l s 0 a 1 ) ( 1 ) 一e l s o 圣( 1 ) 一q l s o ( 1 ) k 口= 一e 5 0 o q l o a 0 一d 1 1 0 1 2 1 ) 皿( 1 ) + o ql 0 垂( 1 ) + d 1 1 0 a ( 1 ) ( 3 3 7 ) k b = 一( q 1 5 0 d l , o a o p l l o 1 ) 皿( 1 ) + d n o l ( t ) + g l l 0 a ( 1 ) 其中皿( 1 ) ，垂( 1 ) 与a ( 1 ) 分别为田( ) ，垂( ) 与a ( ) 住裂纹尖端= l 的值 3 5 数值算例与讨论 为了研究应力强度凼子k r ，电位移强度因子d ，磁通量强度因子k b 随梯度指数饼及 裂纹距有限边界的距离b 变化的情况我们假定在裂纹面y = 0 处的材料为b a t l 0 3 c o f e 2 0 4 a 4 0 = 4 3x1 0 0 1 0 , 一2 ，e 1 5 0 = 1 1 6 c m 2 ，q l s o = 5 5 0 n a r e ，a l l o = 1 1 2 1 0 - 9 c 2 n m 2 ，d 1 1 0 = 5 1 0 - 1 2 n c a m 2 ，p 1 1 0 = 5 1 0 - 6 n s 2 c 2 并且假定虑力荷载r 0 = 1 2 1 0 6 n m 2 ，电位移荷载 d o = 0 0 1 c r a 2 及磁通荤荷载b o = o 0 1 n s a m 有关结果可用图3 2 3 7 表示出来 通过观察分析卜述图可以得出如下结论： ( 1 ) 在梯度指数肼一定的情况下，标准化应力强度因子7 随裂纹距自限边界的距离b 的增大 而减小当b 0 1 时，k 7 随b 的增大而减小的快一些，随着b 昀增大，降低的趋势逐渐缓慢，当b 增大到一定数值后，则相当与无限大体中的埋藏裂纹，此时所得k 7 趋于一恒定指 ( 2 ) 在裂纹距有限边界的距离b 一定的情况下，标准化强度因子k 7 随梯度指数觑的增大而减 小 ( 3 ) 在梯度指数觑一定的情况下，标准化电位移强度因子o 随裂纹距有限边界的距离b 的 增大而增大当b 0 1 时，o 随b 的增大而增大的快一些，随着b 的增大，增大的趋势逐渐缓慢， 当b 增大到定数值后，则相当与无限大体中的埋藏裂纹。此时所得k o 趋于一恒定指 ( 4 ) 在裂纹即有限边界的跆离b 一定的情况下，标准化电位移强度因了耳。随梯度指数觑的 增大而增大 ( 5 ) 比较图3 4 3 7 知，杯准化磁通量强度因子k 81 ，电位移强度因子耳。的变化趋势是一杼 的，因为由式( 3 3 7 ) 知道其系数基本l ：相差小大 一1 7 z 上 ) ) p 0 细 n 上 m m d p 一 一 塞曼奎兰堡圭兰堡垒奎量三耋圭垂坚奎望璧堡堡星皇星璧丝墼型竺星兰重坚矍 b 图3 2k 7 随b 的变化 罔3 3k 7 随口f 的变化 一1 8 一 图34k o 随b 的变化 l b 图35k o 随出的变化 一j 9 一 耋墨查耋堡圭兰堡篁兰 篁三童兰垂矍奎塑墼堡堡里皇星璧丝坠堡堡星兰堑堡矍 b 隔36k 8 随b 的变化 1 8 国3 7k 8 随成的变化 2 0 塞塞奎兰堡圭兰堡堡苎 茎塑茎塑璧堡堡里皇里塞篁丝星兰塑望曼 4 1 引言 第四章功能梯度压电压磁长条反平面问题 第：章研究了无限大功能梯度压电压磁材料中裂纹的反平面问题，本章将推广到功能梯度压 电压磁长条材料模型仍然用f o u r i e r 变换对偶积分方程方法研究其裂纹在反平面剪切载荷作用 下的断裂问题，因为本章涉及到的参数较多，所以在这只分析应力强度因子7 随材料几何尺寸及 梯度参数a 变化的情况。这对于此种材料的应用是很重要的 4 2 问题的描述 如图41 ，一横观各向同仕功能梯度压电压磁狭长条中有一长为2 z 的裂纹，受反平面剪切冲击 载荷仵用z 轴和9 轴为j 】二交出标丰轴，我们考虑下述惰形： c 4 4 b ) = c 4 4 0 ( 1 + o l ly f ) ，e 1 5 ( ) = e 1 5 0 ( 1 + n ly 1 ) 口l l ( 可) = o q i o ( 1 + a iy i ) ，q 1 5 ( 可) = q 1 5 0 ( 1 + o l iy i ) ( 4 1 ) d l l ( 管) = d l l o ( 1 + o iy ) ，p 1 1 ( 掣) = p 1 1 0 ( 1 + o l 可i ) 。 其中k 为常数，n 由材料的性质决定 记( c 4 4 0 ，e 1 5 0 ，l l o ，q 1 5 0 ，d t l o ，p 1 1 0 ) 和( c 4 4 ，e 1 5 h ，r l l l h ，q l s h ，d 1 1 ，p l l h ) 分别为【c 4 4 ( y ) ，e 1 5 ( y ) a l l ( y ) ，q l s ( y ) ，d l l ( y ) ，p l l ( y ) 在带犁中y = 0 平面和y = ：k h 平面上的值则 。= ；( kc 4 4 h 一- ) ( 42 ) 由于材料在几何形状上关于轴对称，只考虑$ 0 ，g20 部分就可以了这样本问题的边界条 件如下： 屯v 扛，0 ) = 0 u 扛，0 ) = 0 ， 矗9 ( z ，h ) = q ， ，0 ) = 0 ，妒扛，0 ) = 0 0 z l ! o o o o 口 0 0 l z 0 0 i 九( z ，0 + ) = 醒( z ，o - ) ，0 z f lb ( z ，0 + ) = 鹾( z ，0 一) ，0 z l ( 43 ) ( 44 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 童圣奎兰塑! 兰堡坠塞量塑塞塑墼堡堡里皇堡璧篓叁星圣堡塑壁 第一利情蟛 第二种情形 i 饥( 毛0 + ) = 蝶( 霸0 - ) ，0 i 也( 。，0 + ) = ( ，0 - ) ，0 z 么么么么么 1 f l l 一一t + | 7fff ， 图4 i功能梯度压电压磁长条 ( 48 ) d ”( z ，h ) = d o ，b v ( ，h ) ：b o ，0 z o 。 ( 4 9 ) 毛( z ，h ) = 岛，日h ) = h o ，0 s z o 。 ( 4 1 0 ) 其中n 。为反平面剪应力，d ，为平面电位移，b y 为平面磁通量；w t 妒和妒为反平面位移，电势 和磁势；e 和日分别为电场强度和磁场强度岛为作用在口= 士 表面上的电场，上标c 表示裂 纹内沿$ 方向的电场强度分量 由方程( 2 5 ) 一( 27 ) 得在第一种情形f ： n = h 瓦c 3 w e 5 q q 恕以 风= e 2 5 筹+ n ，日+ d 。吼 b o = q f 5 + d 1 b 十p 1 巩 由方程( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 解得： 一2 2 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 塞圣奎兰璧圭兰堡篁塞量塑茎塑! ! 童堡里皇堡塞篓量星兰塑堡矍 b ：坐h h 气hh 荠o d 掣； h 一! ：! 垒二竺塾垒! 塞：! 些竺二! ! 竺! “。一( d h ) 2 一0 2 。妇 把日，以代入力柙( 4 1 1 ) 得： 仡= 也+ e h + m hd 1 】筹+ n 0 d 0 一。l b 0 在第二种情形下，由方程( 4 1 i ) 得： n = 也筹一e 5 岛一口毛凰 其剪切力为： 第二种情形 反平向控制力程为 奉构方程 r h = ( c 乳+ e h a o + 口 5 n 1 ) 勺+ a o d o 0 1 b o( 4 1 4 ) 靠= 丁0 一e 5 e 0 一口墨巩 ( 41 5 ) v 2 w + 斋等) 帕s 。( v 2 一+ 斋警) 帆( v 2 妒+ 齐筹) = 。 。v 2 t o + 若等) 咄t 。 2 若等) 咖( v 2 妒+ 若等) = 。 一 。( v 2 u 十南筹) “- 。( v 2 一+ 蔫斋警) ( v 2 妒+ 若等) = 。 l k = ( z “u t + e 1 5 q b ，k + 仉5 1 i f i k d = e 1 5 t d 一c 。l l ，一d h 妒， b k = q l s t l ，k d 1 1q b ，i p l l 妒， 2 3 一 ( 4 1 9 ) = ；f ( 1 姗严“帕【( 1 佃) 扣酬脚 ( 1 + 现啷( s 州川t g 似川吣劫+ ；z 。( t + 矿吖b i ( 帕 ( 1 佃) 扣 + 昆( s ) 琊 ( 1 + n ) ： ) c o s ( s 。) d s + 6 2 北加叫瓴卅；z ”( 1 十矿9 ) 如 ( 1 + 鲫) a + 岛( s ) 蜘【( 1 + 刚：nc o s ( s 圳s 十6 3 v f 42 m 这里卢= 生尹；妇，如分别为第一