（应用数学专业论文）区组长为4组长为3的α可分解可分组设计.pdf

区组长为4 组长为3 的a 一可分解可分组设计摘要 摘要 可分组设计g d ( k ，a ，句t n ) 是酗可分解的，如果它的区组能划分成若干 个类，使得该设计中任一元素在每个类中恰出现a 次可分解可分组设 计存在的必要条件为a t ( n 一1 ) = r ( k 1 ) ，b k = r t n ，k a t n ，口h 对于m 可分解可 分组设计，已经有了一些研究当区组长为3 时，即可分解g d ( 3 ，a ，t ；t n ) ， 它的存在性已经由j u n g n i c k e l ，m u l l i n 和v a n s t o n el d j u n g n i c k e l ，r c m u l l i na n d s a v a n s t o n e ，t h es p e c t r u mo fa - r e s o l v a b l eb l o c kd e s i g n sw i t hb l o c ks i z e3 ，d i s c r e t e m a t h 9 7 ( 1 9 9 1 ) ，2 6 9 - 2 7 7 与z h a n g 和d ui v z h a n ga n db d u ，a - r e s o l v a b l eg r o u p d i v i s i b l ed e s i g n sw i t hb l o c ks i z et h r e e ，jc o m b i nd e s i g n s ，1 3 ( 2 0 0 s ) ，1 3 9 - 1 5 1 】完全解 决当区组长为4 时；若组长为1 ，那么它是口- 可分解的( m 4 ，a ) b i b d ，它 的存在性已由p u r i n o 和m u l l i n 【s f u r i n oa n dr c m u l l i n ，b l o c kd e s i g n sa n dl a r g e h o l e sa n da r e s o l v a b l eb i b d s ，jc o m b i nd e s i g n s ，1 ( 1 9 9 3 ) ，1 0 1 1 1 2 】与v a s i g a ，f u d n o 和l i n gi t m j v a s i g n ，s f u r i n oa n da c h l i n g ，t h es p e c t r u mo fa - r e s o l v a b l e d e s i g n sw i t hb l o c ks i z ef o u r ，jc o m b i nd e s i g n s ，9 ( 2 0 0 1 ) ，i - 1 6 】完全解决；若a = 1 且a = 1 ，则它是可分解的g d ( 4 ，1 ，t i n ) ，它的存在性问题也已基本解决本 文将证明当区组长为4 ，组长为3 时，除了情况n = 4 且a = a = 1 外，该必 要条件也是充分的 关键词：可分组设计，可分解可分组设计，f r a m e 作者：钱燕 指导教师：杜北梁( 教授) “ a - r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sw i t hb l o c ks i z ef o u r a b s t r a c t a - r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sw i t hb l o c ks i z ef o u r a n dg r o u ps i z et h r e e a b s t r a c t a g r o u pd i v i s i b l ed e s i g ng d ( k ，a ，；饥) i sa - r e s o l v a b l ei fi t sb l o c k sc a nb ep a r t i t i o n e di n t oc l a s s e ss u c ht h a te a c hp o i n to ft h ed e s i g no c c u r si np r e c i s e l yab l o c k si n e a c hc l a s s t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs u c ha d e s i g na r ea t ( n 一1 、= r 体一1 ) ，b k = r t n ，露l 耐他a n dq l r a - r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sh a v eb e e ns t u d - i e db ym a n yr e s e a r c h e r sa n df o u n dt oh a v ean u m b e ro fa p p l i c a t i o n s f o ra - r e s o l v a b l e g d ( 3 ，a ，t ；t n ) ，i t se x i s t e n c eh a sb e e ns o l v e db yj u n g n i c k e l ，m u l l i na n dv a n s t o n e 【d j u n g n i c k e l ，r c m u u i na n ds a v a n s t o n e ，t h es p e c t r u mo f a - r e s o l v a b l eb l o c kd e s i g n s w i t hb l o c ks i z e3 ，d i s c r e t em a t h 9 7 ( 1 9 9 1 ) ，2 6 9 - 2 7 7 】a n dz h a n ga n d d u 【y z h a n ga n d b d u ，a - r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sw i t hb l o c ks i z et h r e e ，jc o m b i nd e s i g n s ， 1 3 ( 2 0 0 5 ) ，1 3 9 - 1 5 1 1 f o ra - r e s o l v a b l eg d ( 4 ，九岛t n ) ，w h e nt = 1 ，i t i sa na - r e s o l v a b l e ( n ，4 ，a ) 一b i b d ，w h o s ee x i s t e n c eh a sb e e ns o l v e db yf u r i n oa n dm u l l i ni s f u r i n oa n d r c m u l l i n ，b l o c kd e s i g n sa n dl a r g eh o l e sa n da - r e s o l v a b l eb i b d s ，jc o m b i nd e s i g n s ， l ( 1 9 0 3 ) ，1 0 1 1 1 2 】a n dv a s i g a ，f u r i n oa n dl i n gi t m j v a s i g a ，s f u r i n oa n da c h l i n g ，t h es p e c t r u mo fa - r e s o l v a b l ed e s i g n sw i t hb l o c ks i z ef o u r ，jc o m b i nd e s i g n s ，9 ( 2 0 0 1 ) ，1 - l6 】；w h e n 口= 1a n da = 1 ，i ti sa r e s o l v a b l eg d ( 4 ，1 ，t ；t n ) ，w h o s ee x i s t e n c e h a sb e e na l m o s tc o m p l e t e l ys o l v e d i ti ss h o w ni nt h i sp a p e rt h a tt h e s ec o n d i t i o n sa r e a l s os u f f i c i e n t w h e n 后= 4a n d t = 3 ，e x c e p t f o r n = 4a n d a = a = 1 k e yw o r d s ：g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ；a - r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ；f r a m e i i w r i t t e nb yq i a ny a h s u p e r v i s e db yd ub e i l i a n g l r9 5 7 0 8 1 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创- | 生声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：铱鱼日期：口6 牛a 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：越、垄 目 导师签名：垒兰：喾日 期：。4 = a 期：咿手之 区组长为4 组长为3 的o t 一可分解可分组设计 一引言 引言 设a 是正整数，和m 是正整数集可分组设计g d ( k ，入m ；v ) 是一 个三元组( x ，9 ，廖) ，其中x 是口元集；9 是x 的一个划分，g 的元素叫作 组；b 是x 的某些子集的集合，b 的元素叫作区组，这个三元组满足以下 四个条件： 1 对任意的b b ，都有l b i k ； “ 2 对任意的g 9 ，都有i g i m ； 3 对任意的b b 与任意的geg ，都有b f l g i 1 4 x 中任意两个取自不同组的元素恰包含在a 个区组中 g d d ( x ，g ，1 3 ) 的组型( 或型) 是多元集 i g l ：g 甜，我们常用指数形式 来描述；组型1 2 ，表示有组长为1 的组i 个，组长为2 的组j 个，等等 当k = 耐，m = 矗时，把g d ( 味a ， m ) ；筒记为g d ( k ，a ，m ；) 若每个 b 乒1 3 ，都有i b fek ，记作k g d d 当1 1 0 , = 1 时，c o ( k ，a ，1 ； ) 就是平衡不完 全区组设计( b i b d ) ，记为( ”，k ，a ) b i b d g d d ( 或b i b d ) 称为可分解的，如果它的区组能划分成若干个类( 叫 作可分解类) ，使得该设计中任一元素在每个类中恰出现口次我们将l 一 可分解g d d ( 或b i b d ) 叫作可分解g d d ( 或b i b d ) 在本文中，我们将区 组长为k 的弘可分解可分组设计简记为( c t ；k ，a ) 一r g d d 对于僻可分解可分组设计，已经有了一些研究当区组长为3 时，即 m 可分解g d ( 3 ，a ，岛t , o ，它的存在性已经由j u n g n i c k e l ，m u l l i n 和v a n s t o n e 【1 】1 与z h a n g 和d u 【2 】完全解决当区组长为4 时；若组长为1 ，那么它是可 分解的( 4 ，a ) 一b i b d ，它的存在性已由f u r i n o 和m u l l i n 【3 】与v a s i g a ，f u r i n o 和 l i n g 4 1 完全解决；若口= 1 且a = 1 ，则它是可分解的g d ( 4 ，1 ，鸟t , o ，它的存在 性问题也已基本解决，最新结果是由g e 和l i n g 【5 】中给出，定理如下： 定理1 1 ( 5 1 ) 型为t ”的4 - r g d d 存在的必要条件，即，n 4 ，t n 兰0 ( m o d4 ) 和t ( n 一1 ) 三0 ( r o o d3 ) ，也是充分的，除( t ，哪e ( 2 ，4 ) ，( 2 ，1 0 ) ，( 3 ，4 ) ，( 6 ，4 ) ) 和以 下可能的例外： 区组长为4 组长为3 的q 一可分解可分组设计一引言 1 t 三2 ，1 0 ( m o d l 2 ) ：t = 2 且n 3 4 ，4 6 ，5 2 ，7 0 ，8 2 ，9 4 ，1 0 0 ，1 1 8 ，1 3 0 ，1 4 2 ，1 7 8 ， 1 8 4 ，2 0 2 ，2 1 4 ，2 3 8 ，2 5 0 ，3 3 4 ，3 4 6 ；t = 1 0 且n 4 ，3 4 ，5 2 ，9 4 ) ；t 之1 4 且n t 0 ，7 0 ，8 2 2 t 兰6 ( m o d1 2 ) ：t = 6 且n 6 ，5 4 ，6 8 ) ；t = 1 8 且n 1 8 ，3 8 ，6 2 ) ，3 t 三4 ，8 ( r r w d l 2 ) ：t 8 ，4 0 且n = 1 3 4 t 三9 ( m o d l 2 ) ：t = 9 且付= 4 4 5 t 三0 ( m o d1 2 ) ：t 1 2 ，6 0 ) 且n = 2 7 ；t = j 4 且n 1 3 ，1 7 ，2 3 ) ；t = 3 6 且 n 9 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 7 , 1 8 ，2 3 在g d ( k ，a ，t ；t n ) 中，如果每个点出现在r 个区组中，由文献 6 】知r 不 依赖于点的选择，若记b 是区组数，那么有如下参数关系 因此 b k = r t n a t ( n 一1 ) = r ( 七一1 ) a t ( n 一1 ) 三0 ( m o d ( k 一1 ) ) ， a t 2 n ( n 一1 ) 兰0 ( r o o d 女( 一1 ) ) ( 2 ) 如果该设计要成为酗可分解设计，那么还必须满足下述参数关系： n 伽三0 ( m o dk ) r 兰0 ( m o d a ) ( 4 ) 本文主要讨论区组长为4 ，组长为3 的可分解可分组设计的存在性 我们将证明条件( 1 ) 一( 4 ) 也是充分的，即我们要证明如下定理 2 区组长为4 组长为3 的a 一可分解可分组设计一引言 定理1 2 伽可分解g d ( 4 ，凡3 ；3 n ) 存在的必要条件，即n 4 ，a n ( n 一1 ) 三 0 ( m o d4 ) ，4 1 0 ：n 和o i a 一1 ) ，也是充分的，除了n = 4 且口= a = 1 外 在本节的最后，我们将分析弘可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 存在的必要性条件， 从而减少需要研究的情况 注意到在酗可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 中，条件4 3 a n 必须满足，即4 1 0 l n 必 须满足如果n - - 0 ( m o d4 ) ，那么条件即为1 旧因此，只须解决a = 1 的 情况就可解决所有的a ，因为只要将口个1 可分解类合并成一个可分解 类如果n 三2 ( m o d4 ) ，那么条件即为2 旧因此，只须解决a = 2 的情况就 可解决所有满足2 l 口的d ，因为只要将警个2 _ 可分解类合并成一个酗可分 解类如果n 兰1 ( m o d2 ) ，那么条件即为4 l 以因此，只须解决a = 4 的情况 就可解决所有满足4 i a 的口，因为只要将鲁个垂可分解类合并成一个弘可 分解类从必要条件，我们可以推出a 的最小值，记为a o 同样，只须解决伽可分解g d ( 4 ，a - ，3 ；3 n ) 的存在性就可解决所有满足 a 。i a 的可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 的存在性，因为只要将可分解类重复砉次 这样，我们就可得到a 的最小值，记为下面的引理可由这些必要条件直 接导出 引理1 3 如果存在口z 一可分解g d ( 4 ，a t ，3 ；3 n ) ，那么必有咖i q t 和知m 利用口和a 的最小值，我们可以给出下列引理 引理1 4 如果存在咖可分解g d ( 4 ，a o ，3 ；，且a 和a 都满足必要条件，那 么存在可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 下面的引理说明了在不改变其他参数的情况下，如何从小参数a 产生 大参数a ，这个证明是显然的 引理1 5 如果存在陋可分解) g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 和忙可分解) g d ( 4 ，p ，3 ；a n ) ，那 么存在( 可分解) g d ( 4 ，a + 胁3 ；3 n ) 因此，我们只需要考虑可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 , 0 的最小设计列表如下： 3 区组长为4 组长为3 的o _ 可分解可分组设计 一 引言 n r o o d4蜘和沁 o ( 蛳，a o ) = ( 1 ，1 ) 1 ( 伽，a o ) = ( 4 ，1 ) 2 ( a o ，a o ) = ( 2 ，2 ) 3 ( 蜘，a o ) = ( 4 ，2 ) 表1 从定理1 i ，我们可以知道当n - - 0 ( m o d4 ) 但竹4 时，存在1 可分解 g d ( 4 ，1 ，3 ；3 n ) 当 = 4 时，由必要条件( 4 ) 可得a 1 3 ，那么口= 1 或口= 3 j 当 口= 3 时，从( 4 , 1 ，1 3 ) 一b i b d 出发，去掉一个点，所得到的设计为3 可分解 g d ( 4 ，1 ，3 ；1 2 ) 通过上述讨论，我们可以得出还剩三类情况需要考虑： ( 1 ) 当n 三1 ( m o d4 ) 且n 5 时，4 _ 可分解g d ( 4 ，1 ，3 ；3 n ) 的存在性 ( 2 ) 当扎三2 ( m o d4 ) 且n 6 时，2 - 可分解g d ( 4 ，2 ，3 ；3 n ) 的存在性 ( 3 ) 当n - - 3 ( r o o d4 ) 且竹7 时，4 - 可分解g d ( 4 ，2 ，3 ；3 n ) 的存在性 4 区组长为4 组长为3 的o p 可分解可分组设计二顸奋知识 二预备知识 为建立本文结果，我们需要若干类型的辅助设计及有关的存在性结果 本节我们对此作一介绍 横截设计t 巩( 反曲是型为扩，区组长为k 的g d d 当a = 1 时，通常简 记为t d ( k ，n ) 1 可分解的横截设计简称为可分解横截设计，记为r t d i ( k ，n ) 我们都知道，可分解横截设计r t d ( k ，哟的存在性等价于横截设计t d ( k + i ，n ) 的存在性，t d ( k ，7 1 , ) 的存在性等价于k 一2 个两两正交的n 阶拉丁方的存在 性 关于横截设计，我们有如下已知结论 引理2 1 ( 【7 】) 1 对任意的n24 ，存在可分解横截设计r t d ( 4 ，n ) ，除n = 6 和可能例外 几= 1 0 2 对任意的n25 ，存在横截设计t d ( 6 ，哟，可能除n 6 ，1 0 ，1 4 ，1 8 ，2 2 ) 3 对任意的n 7 ，存在横截设计t d ( 7 , n ) ，可能除竹( 1 0 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，2 0 ，2 2 ， 2 6 ，3 0 ，3 4 ，3 8 ，4 6 ，6 0 ，6 2 4 对任意的n 7 ，存在横截设计t d ( 8 ，n ) ，可能除竹 1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，2 0 ， 2 l ，2 2 ，2 6 ，2 8 ，3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 8 ，3 9 ，4 2 ，4 4 ，4 6 ，5 1 ，5 2 ，5 4 ，5 8 ，6 0 ，6 2 ，6 6 ，6 8 ，7 4 5 对所有的素数幂q ，存在横截设计t d ( q + 1 ，口) 利用可分解横截设计，我们有如下递归构作 构作2 2 如果存在型为h 4 的( a ；4 ，a ) r g d d 和可分解横截设计r t d ( 4 ，m ) ，那 么存在型为( m h ) “的( 弼4 ，a ) 一r g d d 证明设( x ，玩功是型为h “的( a ；4 ，a ) 一r g d d ，其可分解类为p = 尹。，砀， ，a ( 一) ( 轴) ) 对于每个区组b b ，我们以b 磊为点集，“z ) x 磊： z b ) 为组集，构作可分解横截设计r t d ( 4 ，m ) ，记其区组集为玩，其可分 解类为 5 区组长为4 组长为3 的o _ 可分解可分组设计二预备知识 p ( b ) = p ( b ，j ) ：j = 1 ，2 ，m ) 现在，我们构作型为( m h ) 。的( 叫4 ，a ) 一r g d d 如下， x = xx ， 9 ，- gx z 。：g 9 ) ， b i = u b 8 魄 则设计( x ，9 7 ，b ) 即为我们所求的设计，其弘可分解类为 p i , i = u b r p ( b ，j ) ( 1si a ( 一1 ) ( 3 a ) ，1 js ，n ) 这样就完成了证明 i - l 部分弘可分解类是满足下述条件的区组集，x 中的任一元素，要么出 现在n 个区组中，要么不出现在任一区组中在部分可分解类中不出现 的元素集称为这个类的补 ( 州，a ) 一f r a m e 是满足如下条件的g d d ( 蜀g ，棚t 1 a 是x 中部分酗可分解类的集合； 2 所有的区组长为七； 3 a 中每个部分口一可分解类的补是g 的一个组g 与可分组设计一样，我们用指数形式来描述f r a m e 的型因此型为l ； 的f r a m e 包含组长为1 的组i 个，组长为2 的组j 个，等等如果口= a = 1 ， 我们将( 1 ；k ，1 ) 一f r a m e 简记为k - f r a m e 对于4 - f r a m e ，我们有如下已知结论 引理2 3 ( 【5 ) 存在型为h ”的4 - f r a m e 当且仅当“5 ，h 兰0 ( m o d 3 ) 和h ( u 一1 ) 三 0 ( m o d4 ) ，可能除以下例外： 1 h = 3 6 且= 1 2 6 区组长为4 组长为3 的o _ 可分解可分组设计 二蓣套知识 2 h 兰6 ( r o o d l 2 ) 且 ( a ) h 6 ，3 0 u h ：6 6 h 4 3 8 且“( 7 ，2 3 ，2 7 ，3 5 ，3 9 ，4 7 ) ； ( b ) 4 5 0sh 2 1 9 0 且u ( 7 ，2 3 ，2 7 ，3 9 ，4 7 ) ； ( c ) h 4 2 ，5 4 u h ：2 2 0 2 h m 3 8 且t 2 3 ，2 7 ) ； ( d ) h = 1 8 且钍 1 5 ，1 7 ，2 3 ，2 7 ) 利用f r a m e ，我们有如下递归构作第一个构作是文献 2 】中构作4 1 的 一般化 构作2 4 设存在型为t = 他：i = 1 ，2 ，n ) 的( 弼4 ，a ) f r a m e 又设啪且 对每个i = 1 ，2 ，存在型为t t + t 。t 的( a ；4 ，a ) r g d d 那么存在型为t ”的 ( o ；4 ，a ) r g d d ，其中“：1 + 墨t l t i = l 证明设( x ，9 ，b ) 是型为t = t i ： = 1 ，2 ，n ) 的( o ；4 ，a ) 一f r a m e ，其中9 = g t ，岛，瓯) ，且i g i = 南易知，对每个江1 ，2 ，n ，有a t t ( 3 a ) 个补为组 q 的部分酗可分解类由题意，对每个i = 1 ，2 ，n ，设( g i u o o 。，o 。z ， o o t ) ，钳。，a ) 是型为t l + t , 的( 叫4 ，a ) 一r g d d ，且g i n o o l ，0 0 2 ，o 。t ) = 口在这 样的g d d 中有地( 3 个酗可分解类，将这些可分解类和补为组i g t i 的 a t t ( 3 口) 个部分酗可分解类相匹配，就可得到想要的设计构作如下： x 7 = x u ( 0 0 1 ，0 0 2 ，o o t ) ， = u l s i s 。， a = b u ( u l s 噬。a ) 这样，我们就可以得到型为t “的( 口；4 ，a ) 一r g d d ( x ，w ，4 ) ，其中u = n 1 + t , t 口 l = i 第二个构作是文献【8 】中推论4 5 的推广 构作2 5 设存在型为矿的( 媚4 ，a ) 一r g d d ，可分解横截设计r t d ( 4 ，舢) 和型为 ( r a g ) 。的( a ；4 ，a ) 一f r a m e ，其中牡m + 1 ，那么存在型为( m 9 ) ”的( 叫4 ，a ) 一r g d d 7 区组长为4 组长为3 的可分解可分组设计 二预拳知识 证明设陋，毋，卅是型为扩的( 瞒4 ，a ) r g d d ，( v ，“，8 ) 是型为( 脚) ”的( 口；4 ，a ) f r a m e 又设夕= g l ，g 2 ，g 。) ，鼠= m 一1 ) + l ，m ( k - 1 ) + 2 ，i n k ( 1 k 。) 且y = u l 。则我们以x y 为点集，= g ：1si t ，1 k ) 为组集，即可构作我们所需的设计 设4 的可分解类为4 。，凡，a 。，其中r = a g ( u 一1 ) ( 3 。) 日的部 分甜可分解类为8 。，岛，召，其中s = a r n g v l ( 3 a ) 对于每个区组a a ，以 a y 为点集， ( o ) xy ：o a ) 为组集，构作r t d ( 4 ，m y ) ，所得区组集d 可划分成类矾 ，1si m y 设d = u a e a 口 在q y 上构作型为( r a g ) ”的 ( a ；4 ，a ) f r a m e ( g ixy ，7 g l ，8 g i ) 设b x = u g , f e g b g , 易知僻xy ， 厂，u8 x ) 是 型为( m 9 严的( 4 ，a ) 一g d d + 为证明其可分解性，设口= u 甜，这样可得到r u r n v 个可分解类 d 不失一般性，我们设d ，= a y ) la 4 ，y y ) ，1 j 设 n = ) i m 9 ( 3 ，由u m + 1 可知，n 我们将证明8 x u ( u l 。阳口 ) 可划 分成x y 上8 个0 1 可分解类由于刃飞u ， i n d ，包含r 。m 口一n 个可 分解类，则d 4 u b x 包含r u * m , , l l n + s = a m g ( u v 1 ) ( 3 口) 个酗可分解类，这 样就证明了其可分解性 我们在g ixy 上作( g i y ，咒g i ，8 g i ) ，其中1 t ，咒q = g i s l ，gx 岛，g ix ) 易知补为q & ( 1 k ) 的部分弘可分解类有n 个，所 以补为x 最( 1 ks ) 的部分a 可分解类有i - 个设掣= a y ) ia 4 ) ，碍= u y 。s 彤因此，口产= = u - s 脚心，进而u 9 9 ( u t 9 s 。母) = u 。，。口产于是，u 。f 。皆可与补为x 最的n 个部分可分解类相匹 配，则得x x y 上的n 个缈可分解类于是b x u ( u 。，。口产) 可划分成x x y 上8 = 俐个口可分解类这样就完成了证明 口 设a 为一正整数，区组长为的不完全可分组设计( i g d d ) 是一个满足 如下条件的四元组伍，夕，h ，8 ) t 1 9 = g - ，g 。，瓯) 构成有限集x 的一个划分，9 的元素叫作组； 2 h 是x 的一个子集，叫作洞； 。 3 召是由x 的一些子集组成的集合，叫作区组，且组和区组至多相交于 一个点； 8 区组长为4 组长为3 的o p 可分解可分组设计 二 预奋知识 4 来自不同组的任一对元素要么出现在洞日中，要么出现在a 个区组 中，但不同时出现 我们将其记为( k ，a ) 一i g d d ( t ) ，其中t 为型，由多元集“i g 。l ，i g ，nh i ) ： 1 i n 来定义与可分组设计一样，用指数形式来描述当h = o ，型为 ( i g | ，0 ) ：1 n ) 的i g d d 就是型为引g i i ：1 n ) 的g d d ( k ，a ) 一i g d d 称为可分解的，记为( o l ；k ，a ) 一i r g d d ，如果它的区组能被 划分成酗可分解类和部分酗可分解类，每个部分可分解类的补为日我 们将1 可分解( k ，a ) 一i g d d 简记为( k ，a ) i r g d d 在本文中，我们仅用到型为( h ，o ) 一8 ( 危， p 的m 可分解不完全可分组设 计，其中h21 且m n20 因此，我们用 ( ”一) 来描述这种型型为 ( r e , 1 ) 的i r g d d 就是型为护的r g d d 对于弘可分解不完全可分组设计，我们需要下面结果 引理2 6 存在型为3 ( 1 2 , 2 ) 的( 2 ；4 ，2 ) 一i r g d d 证明设点集为( z t 5 l ，2 ) ) u z o ，z - ，z z ，珈，y l ，耽) ，组集由 ( o ，f ) ，( 5 ，i ) ，( 1 0 ，i ) ) ： l l ，2 ) ) 生成，洞为 跏，霉- ，z 2 ，珈，y l ，抛 补为洞 z o ，z i ，z 2 ，y o ，y - ，耽) 的部分 2 - 可分解类可由 ( o ，1 ) ，( 3 ，1 ) ，( 0 ，2 ) ，( 3 ，2 ) ) 生成下面每列的基区组通过对第 一坐标加5 ( r o o d1 5 ) 形成一个二可分解类，然后对所得2 - 可分解类中第一 坐标加1 ( m o d5 ) 即可得到我们所需的设计这里甄+ j = z 州( 。耐3 ) 玑同样 推算 ( 6 ，1 ) ，( 3 ，1 ) ，( 1 0 ，2 ) ，( 1 2 ，2 ) ) ， ( 5 ，1 ) ，( 1 ，2 ) ，( 1 0 ，2 ) ，( 7 ，2 ) ) ， ( 1 4 ，1 ) ，( 8 ，1 ) ，( 3 ，2 ) ，( 2 ，2 ) ) ， ( 6 ，1 ) ，( 1 0 ，1 ) ，( 1 2 ，1 ) ，( 3 ，2 ) ) ， 。 ( 9 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，跏) ， ( 1 ，2 ) ，( 8 ，2 ) ，( 9 ，2 ) ，。o ) ， ( 1 2 ，1 ) ，( 4 ，2 ) ，( 8 ，2 ) ，$ o ) ， ( 1 ，1 ) ，( 1 4 ，1 ) ，( 9 ，2 ) ，。o ) ， ( 5 ，1 ) ，( 6 ，2 ) ，( 4 ，2 ) ，y o ， ( 2 ，1 ) ，( 1 3 ，1 ) ，( 0 ，2 ) ，y o ， ( o ，1 ) ，( 5 ，2 ) ，( 1 ，2 ) ，y o ， ( 3 ，1 ) ，( 4 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，y o 口 利用可分解不完全可分组设计，我们有以下递归构作，这是文献【9 】 中相应构作的推广 构作2 7 设存在型为t = 亿：江1 ，2 ，n ) 的( 口；4 ，a ) 一f r a m e ，又设牝且b 1 9 一 h_一 区组长为4 组长为3 的n 一可分解可分组设计 二 预各知识 若对于每个i = 1 ，2 ，n 一1 ，存在型为t “t + b , b ) 的( 口；4 ，a ) i r g d d ，那么存 在型为6 ，n 7 t + ”的( 口；4 ，a ) 一i r g d d ，其中缸= i 墨= 1 如t 进一步，若存在型为 t n 的( n ；4 ，a ) 一r g d d ，那么存在型为t 6 的( a ；4 ，a ) 一r g d d 证明设( x ，9 ，8 ) 是型为t = t i ：i = 1 ，2 ，竹) 的( a ；4 ，a ) f r a m e ，其中g = g l ，g 2 ，g 。 ，且i g i = t i 易知，对每个 _ 1 ，2 ，n ，有a t | ( 3 a ) 个补为组 q 的部分a 可分解类由题意，不妨设w = o o l ，0 0 2 ，0 0 t ，0 0 ，0 0 配) ， 且g n w = d 对每个江1 ，2 ，n 一1 ，设u ，咒，。) 是型为t ( t 。i t + 6 ，6 ) 的( a ；4 ，a ) i r g d d 在这样的i r g d d 中有a t 。( 3 口) 个可分解类，和a b ( t 1 ) ( 3 口) 个由组g 生成的部分口可分解类则对于1 s 竹一1 ，我们将 由u w ) 构成的a 如( 3 0 ) 个可分解类和a 岛( 3 a ) 个补为组g l 的部分 可分解类相匹配，就可得到a t , ( 3 a ) 个口一可分解类又我们将每个由组 g i ( 1si 佗一1 ) 生成的部分辨可分解类合并，就可以得到补为组( g n u 彬) 的a b ( t 一1 ) ( 3 a ) 个部分弘可分解类，它与补为组g 。的部分可分解类一 起，构成我们所求设计的部分酗可分解类构作如下t x = x u 形 咒= u l n l 他， w ，_ g 。u w a = 8 u ( u i s 。一14 。) 这样，我们就可以得到型为扣+ 6 件吣的( q 4 ，a ) 一i r g d d ( x ，咒，w 7 ，a ) ， 其中t ：量t , t i = l 进一步，若存在型为咖t 舳的( a ；4 ，a ) 一r g d d ，那么存在a ( t 。+ 6 0 一1 ) ) ( 3 0 ) 个可分解类，正好与补为( g 。u w ) 的部分q 可分解类相匹配这样就完 成了证明 口 我们还需要以下基本构作 构作2 8 设存在型为( h m ) 。的( a ；4 ，a ) r g d d 和型为护的( a ；4 ，a ) r g d d ，那 么存在型为 ”的( a ；4 ，a ) 一r g d d 和型为h ( m u , m ) 的( o q4 ，a ) 一i r g d d 区组长为4 组长为3 的o _ 可分解可分组设计 二 预备知识 为了得到本文的主要结果，我们还需要用到一些f r a m e 的结果( 口；k ，廿 f r a m e 的第一个结果是文献【1 0 中构作3 1 的直接推广 引理2 9 设( x ，夕，8 ) 是参数为a l 的g d d ，权函数u ：x - z + u ( o ) 对于每 个区组b b ，假定存在型为p ( z ) ：z b ) 的( o ；k ，儿) f r a m e 那么存在型为 x e g u ( 。) ：g 多) 的( q a l ；k ，a l a 2 ) 一f r a m e 引理2 1 0 ( n ) 若存在型为t 的( a ；k ，a ) - f r a m e 和横截设计t d ( k + l ，n ) ，那么存 在型为n t 的( 弼七，a ) f r a m e ( n t 表示t 中的每个组均加权n ) 引理2 1 1 ( 【3 ，4 】) 当“5 且“为奇数时，存在型为3 ”的( 2 ；4 ，2 ) 一f r a m e 引理2 1 2 当t = 6 和7 时，存在型为铲的( 2 ；4 ，2 ) f r a m e 证明文献【3 】中给出了型为6 6 的( 2 ；4 ，2 ) 一f r a m e 当牡= 7 时，设点集为z 。a 1 ，2 ，3 ) ，组集为( j ，j + 7 ) 1 ，2 ，3 ) ：歹= 0 ，1 ，6 ) 所需的基区组如下： ( ( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，( 3 ，2 ) ，( 5 ，2 ) ) ， ( 1 ，1 ) ，( 4 ，1 ) ，( 5 ，2 ) ，( 1 3 ，2 ) ) ， t ( 4 ，1 ) ，( 1 0 ，1 ) ，( 9 ，2 ) ，( 1 3 ，2 ) ) ， ( 1 0 ，1 ) ，( 8 ，1 ) ，( 6 ，2 ) ，( 2 ，2 ) ) ( 1 2 ，1 ) ，( 9 ，1 ) ，( 6 ，2 ) ，( 1 1 ，2 ) ) ， ( 1 2 ，1 ) ，( 1 1 ，1 ) ，( 8 ，2 ) ，( 3 ，2 ) 这里，我们首先将这些区组( 一，m o d3 ) 得出补为洞 o ，7 ) 1 ，2 ，3 ) 的部分 2 - 可分解类然后将这个部分2 _ 可分解类( m o d1 4 ，一) 就可得到我们所求的 ( 2 ；4 ，2 ) f r a m e ， ， 口 引理2 1 3 ( 【4 】) 当钍5 且u 是奇数时，存在型为6 “的( 4 ；4 ，2 ) f r a m e 区组长为4 组长为3 的o p 可分解可分组设计三主要结果 三主要结果 一- - - ，u ，l 、 本节中，我们将分三种情况n 三1 ( m o d4 ) ，n 三2 ( m a d4 ) 和n 三3 ( m a d4 ) 来 讨论可分解g d ( 4 ，a ，3 ；3 n ) 的存在性我们先作如下记号： l = n ：存在型为3 ”的( 4 ；4 ，1 ) r g d d ， 飓= 馆：存在型为3 ”的( 2 ；4 ，2 ) 一r g d d ， 3 = n ：存在型为3 ”的( 4 ；4 ，2 ) r g d d 3 1 礼三1 ( m 以4 ) 的情况 引理3 1 1 若n ( 5 ，9 ，1 3 ，1 7 ，则州! 1 证明当，l = 5 时，由( 4 , 1 ；1 6 ) b i b d 出发，去掉一个点，所得到的设计即为 4 - 可分解g d ( 4 ，1 ，3 ；1 5 ) 当n = 9 时，我们直接构作如下： 点集：磊 l ，2 ，3 ) 组集：“0 1 ，2 ，3 ：i = 0 ，1 ，8 ) 下面是所需的基区组： ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 3 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ) ， ( o ，1 ) ，( 4 ，2 ) ，( 6 ，3 ) ，( 1 ，3 ) ) ， ( o ，2 ) ，( 4 ，2 ) ，( 3 ，3 ) ，( 5 ，3 ) ) ； ( o ，1 ) ，( 4 ，1 ) ，( 7 ，3 ) ，( 8 ，3 ) ) ， ( o ，1 ) ，( 3 ，2 ) ，( 5 ，2 ) ，( 6 ，2 ) ) ， ( o ，1 ) ，( 7 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 5 ，3 ) ) 这里，通过对位于同一行三个区组中元素的第一坐标加1 ( m a d9 ) 即可得到 一个4 可分解类 对于其余的值，我们在附录中给出构作 口 引理3 1 2 若“5 ，则4 材+ 1 1 证明由引理2 3 知，当t 5 时，存在型为1 的( 1 ；4 ，1 ) 一f r a m e 对于每个 洞，将4 个部分1 可分解类合并成一个部分垂可分解类，即可得型为1 2 u 的( 4 ；4 ，1 ) f r a m e 然后，将引理3 1 1 中的缸可分解g d ( 4 ，1 ，3 ；1 5 ) 应用于构作 2 4 ，我们就可得到结果 ， 口 由