（应用数学专业论文）亚式期权及其编程计算.pdf

摘要 本文首先介绍了亚式期权及其分类。在通常假设的无套利、均衡的完备金融 市场中，首先介绍了运用统计方法对亚式期权进行估值，然后运用偏微分方程和 鞅方法对期权的价值进行求解。然后根据文献 5 】中关于随机波动的章节，给出了 亚式期权在有随机波动率情况下的定价模型；并且运用蒙特卡洛模拟法，给出了 模型的数值解。接着根据文献【1 3 】引入了对偶测度，简化了求解具有浮动敲定价格 几何平均亚式看跌期权价值的问题。最后，假设市场有摩擦，根据文献【5 】，【1 2 】，运 用h o g g a r d ，w h a l l e y 和w 1 1 m 傩( 1 9 9 2 ) 的理论，给出了在有与股份成比例的交易费用和 固定交易费用情况下，亚式期权的定价模型，并且以有固定敲定价格算术平均亚式看 跌期权为例，给出了它的数值解。 关键词：亚式期权；鞅：蒙特卡洛模拟法；对偶鞅测度：差分格式 a b s t r a c t i nt h i sm a s t c rd i s s e 眦i o n ，右噶t 、粑i n 吣c ed i f f 色他n tw a y st 0e v a l u a t en l e 嬲i 锄9 p t i o n s b yt l l em e 锄s0 fs t a t i s t i c s ，m 矾n g a l e 锄dp d e s n 朗w ed e v e l o pam o d e l0 fa s i 锄9 面o i l s w i m l e 嘶矗r 眦觚d 吐圮v o l 撕l i t yw h i c h f o l l o ws o m es 咖t i cd i 胁t i a le q u 撕o n s i k n w i 血an o n 删l d o ms 卸p h l gt i m e ih a v ec a l c u l 如dal o w c rb o u n df 6 r 也eg e o m e t r i ca v e r a g e a s i 锄9 叩o n sw 油f i x c ds t r i k ep c e 皿a n l ( st o 廿1 ed u a lm a n i n g a l e ，w ec 柚g e te x p l i c i ts o l u - t i o n st 0t l l eg e o m e t r i ca v e m g ca s i a no p t i o 璐w i m 丘x e ds 仃i k e 研c e t h e n ，ii n c o 叩o r a t et h e s t o c h a s t i cv 0 l 撕l 埘i n t 0t l l e 舡i a i l 叩吐o nm o d e l ，觚db yt h em e 锄so fm o n t ec a n om e t h o d ，i 百v ean u m e r i c a ls o l u t i o nt oi t a tl a s t b 部e d0 nt l l eb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，吣i n gt l l ew o r ko f m o d e l i n g t h ee 行铷! t s0 f 啪s a c t i o nc o s t sw h i c hw 硒d o n eb yh o g g a r d ，w h a u e ya r l dw n m o t t w eh a v ed e v e l o p e dam o d e lf b ra s i 锄0 p t i o 邯w h e r ew eh a v e 也ec o s t sb a t l lp r o p o m o n a lt o 血ev a l u e 觚d e d 锄dc 0 n s t a i l t 锄dg i v ean u m 喇c a ls o l 嘶o n k e y 咖r d s ：舡i 锄0 p t i o n s ； m 0 舭c a l l om e t l l o d ；d u a lp r o b a b i l i s t i cm e a s u f e ； n u m e d c a js o l u t ：i o 璐 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 雅老煞幺乒压睡 作者签名：! 竺! 三 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位 论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：垒垒堡 第一章绪论弟一早珀了匕 金融衍生品，又称金融衍生工具，由于其价值派生于标的资产价格，因此得名。金 融衍生品包括由金融基础工具衍生出来的各种金融合约及其各种组合形式，主要由期 权、期货、远期合约和互换交易构成。其中，场外市场交易工具主要包括远期合约和 互换交易，交易活动不受时间空间及报价规则的限制，难以系统分析研究；场内金融 衍生品主要包括期权和期货交易，其交易是在交易所内进行的，具有标准化合约，除 价格外，合约的品种、规格、质量、交货地点、结算方式等内容都有统一规定。场内衍 生品可分为有关农产品、燃料油、铝等的实物衍生品和有关利率、股指、汇率的金融 衍生品。 从全球的衍生品发展趋势看，金融衍生品的交易量已经远远超过实物衍生品。中 国( 指中国大陆) 目前也在努力发展衍生品交易市场，全国已经有四家期货交易所，其 中中国金融期货交易所刚刚成立，尚未正式运行。根据美国期货业协会( f 队) 3 月1 0 日 公布的最新统计报告，对全球5 4 家衍生品交易所统计结果显示，2 0 0 7 年全球在交 易所内交易的期货与期权交易量高达1 5 1 8 7 亿张，比2 0 0 6 年增长了2 8 0 3 。全球期 货与期权交易的增长步伐有加快的趋势，2 0 0 6 年交易量同比增速为1 9 ，2 0 0 5 年 为1 2 ，2 0 0 4 年为9 。去年的交易增速已经逼近了2 0 0 3 年3 0 的增长水平。2 0 0 7 年， 全球期权交易量达到8 2 1 7 亿张，同比增长2 4 8 8 。其中，成交量居首位的韩国交易所 的k o s p i 2 0 0 股指期权成交量由2 0 0 6 年的同比下降4 6 转为增长9 4 5 ，达到2 6 4 2 6 8 百 万张。其次是c m e 的欧洲美元期货期权、e i 鹏x 的d j e u r os t 0 x x5 0 期权，成交量分别 达到3 1 3 0 3 百万张、2 5 1 4 4 百万张。 2 0 0 7 年，全球期权交易，金融类仍旧占据主导地 位，其中，个股类成交量增速最快，股指类交易量最大。2 0 0 7 年全球股指、个股、利 第一章绪论2 率、和外汇类的期货与期权交易量依次为5 6 1 6 8 2 百万张、4 0 9 1 9 2 百万张、3 7 4 0 8 8 百万 张和3 3 4 7 l 百万张，同比分别增长2 6 1 0 、4 2 2 5 、1 7 1 4 和3 9 。4 3 ；同期全球农产 品、能源、贵重金属、工业金属类的期货与期权交易量依次为“5 6 4 百万张、4 9 6 4 l 百 万张、1 0 5 0 9 百万张、1 5 0 9 8 百万张，同比分别增长3 2 0 2 、2 8 6 l 、2 7 3 、2 9 7 2 。 2 0 0 7 年，中国期货市场快速发展。在按照期货和期权交易量排名的全球前5 4 名交 易所中，大连商品交易所名列第1 7 ，与2 0 0 6 年相同，交易量同比增长5 4 2 3 ；郑州商 品交易所名列第2 4 ，比2 0 0 6 年前进了6 位，交易量同比锐增1 0 0 9 9 ：上海期货交 易所名列第2 7 ，与2 0 0 6 年相同，交易量同比增长4 7 2 5 。另外，台湾期货交易所名列 第2 l ，比2 0 0 5 年下降了3 位，交易量同比微增o 4 8 ；香港交易所名列第2 6 ，比2 0 0 5 年 前进了7 位，交易量同比大增1 0 5 0 7 。 股指期货的即将推出，发出了国家大力发展期货及金融衍生品的强烈信号。长远看， 股指期货的推出将会促进商品期货的发展，将大大推动期货市场知识的宣传普及，引 导更多的人正确认识期货市场；将进一步打通商品期货与金融市场的通道，推动商品 期货市场资金结构和投资者结构的完善；将形成金融期货和商品期货两轮驱动的新格 局，使期货市场在国民经济中的地位进一步提升，使期货市场发展走向新的阶段。这 也为期权的推出打下了扎实的基础。 由上述的事实，我们可以发现金融衍生市场发展迅速。近年来，国际金融市场除了人 们熟悉的欧式、美式期权外，还涌现了大量的由标准期权变化、组合、派生出来的新 品种一一奇异期权，亚式期权就是其中的一种。尽管亚式期权已经在实务界得到应 用，其准确的定价公式仍没有从理论上得到较好的解决。因而探寻其合理的价值估计 方法称为期权理论一个具有重要学术价值的题目，本文从不同角度讨论了对亚式期权 进行定价的问题。 第二章亚式期权定价的不同方法 2 1 亚式期权介绍 亚式期权是一张期权合约，在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内原 生资产所经历的价格平均值。 这里所谓的平均值有两个意义：算术平均和几何平均。假设五是路径变量，它表示从 起始时刻到时刻f 的平均值，那么 算术平均( 五)几何平均( 五) 离散情形厶= j 至s 目以= ( 疗s “) = e ；z 盆t 1 心。 i=1扭1 连续情形五= c s 。d l i 五= p 鼻雠。d 与之相应的亚式期权亦有两类：算术平均亚式期权( a r i l m 砸ca v e r a g ea s i 觚 o p t i o n s ) 和几何平均亚式期权( g e o m e t r i c “e r a g ea s i a l l0 p t i o n s ) 。 亚式期权在到期日的收益可以有两种不同类型： 1 固定敲定价格( 以看涨期权为例) ： 收益= ( 矗一s f 硪e ) + 2 浮动敲定价格( 以看涨期权为例) ： 收益= ，一矗) + 因此与之相应亚式期权亦可分为：具有固定敲定价格的亚式期权( a s i a i l 删o n s w i n lf i x e d 嘶k ep r i c e ) 以及具有浮动敲定价格的亚式期权( a s i 卸0 p t j o n sw 油a o “n g 3 第二章亚式期权定价的不同方法4 s 嗽e 面c e ) 。因此如果不计这个期权是看涨期权还是看跌期权，那么亚式期权可以分 成四类： 具有固定敲定价格的算术平均亚式期权( 撕l m 嘶ca v c r a ，ea s i 卸0 p t i o n sw i t l lf i x e d s t r i k e 曲c e ) 。 具有固定敲定价格的几何平均亚式期权( g e o r n c t r i ca v e r a g e 舡i a i lo 埘o n sw i t hf i x e d s 慨p d c e ) 。 具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权( 撕m m e t i ca v e r a g ea s i 锄0 p t i o n sw i d l 妇o a l j n g s t r i k ep r i c e ) 。 具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权( g e o m 洲ca v e r a g ea s i 勰0 p t i o n sw i t h1 1 0 a i i n g s t r i k e 两c e ) 。 2 2 j 0 h n s o n 分布族 j 0 h n s o n 分布族是用来把一些从实际中得到的数据经验分布通过一定的转换变成 标准正态分布，用公式表示为： x = c + 却( 字) 亿， 日：标准正态分布随机变量，x ：是要转换的随机变量，在这是指资产组合在未来 时期的回报；妒( 力为二单调非减函数。j o h n s o n 建议妒( 劝有三种形式，且每种转换函数 涵盖了许多种经验分布形式 a 妒( 忉= e x p ( 字) ( 日口) ，它涵盖了指数正态分布。 b 妒( = s i n 厅( 警) ( 一 日 + ) ，它涵盖了f 分布、正态分布等无界分布。 c 似印= e x p ( 篇) ( 口 日 口+ 6 ) ，它涵盖了g 猢a 分布族、b e t a 分布族等。 第二幸亚式期权定价的不同方法 由于c 主要用于环境、气候方面的研究。所以我们仅对a 和b 这两类比较常用的函 数进行对亚式期权价值的估计。 对于第一类形式： x 咖( 字) 日( 等) 亿2 ， 实际意味着x 服从对数正态分布。对于第二类形式： x = c 拙叫竽) 营日= 口慨；n ( 等) ( 2 3 ) 由于s i n 矗( 力= ( 矿一p 1 ，推知s i n 一1 ( 曲= l n o + 两i ) ，因而此时的x 不再是通常的 对数正态分布。 由于这两类形式在很大程度上与现实中大量存在的概率分布特征非常接近，所以 我们可以用它们作为期权估价方法中某些不能确定其准确概率分布的随机变量的近 似。这样就存在一个如何选定某个具体形式，以及怎样确定形式中的参数的问题。以 下将不涉及此类技术，而直接在假定形式已经确定的情况下，讨论近似估计亚式期权 价格的途径。 钟表示资产价格的算术平均，其概率分布用j o h n s o n 分布族中的形式近似， 用厂( 神表示概率密度函数，记，( 曲= j ! 八“) d l 为其概率分布函数。则算术平均资产价 格期权的风险中性价值( 以欧式看涨情形为例) 为： c 兰已一厅e 【，l 口石( o ，a 一幻】= e 一盯f 伍一的，( 曲如 ，q x = f 以e x ，愀一xe ，懒一咕一酗，咬 一玎陋一ro 一固埘d 亿4 ， 其中，r 为期权到期日，k 为敲定价格。因为f 7 ( 功= 【j ：， ) 毗】7 = 八力，利用分部积 分，2 4 式可以化为 5 第二章亚式期权定价的不同方法 6 卟跏k + r m d 下面就前面提到的两类常用分布形式讨论期权的具体估价值。 第一类形式： 我们有 a = c + d c x p ( 字) 营日= 口川n ( 等) 这里瘌6 均为正数。所以 r ，c 功出= rm 劝戤= f n 旧 口+ 蛐( 等) ，出 令( 动表示标准正态概率分布函数，甩( 曲表示标准正态概率密度函数。则 r 删血=f n p 衲- n ( 等) 】 f h n ( 等) = 箬r h 竽川唧( 字) 出 芸r 竽c x p ( 孚) 础眦 芸唧( 一善) c m 睁e x p ( 丢) 嘲m 血 芸唧( 焉) 们呱辆嘶，r 拍k 仔唧( 喜) n c 比，捌口 ( 2 5 ) = d r 睁砌) 等一唧( 字) 卜 = c k 训( n ( 等) ) 一d r h 睁咖，唧( 等) 血 = c 置一。( t n ( 等) ) 一d 去c m 辆e x p ( 一譬+ 字) 唧( 字) 妇 o c ) ( t n ( 字) ) 一( 学) 去r 簪e x p ( _ 掣卜 p = c ，n ( 竽肛唧( ) 去r 哆嘶( _ 兰) 血 = c 肛。n ( 字) ) 一d 唧( 学) 卜n ( 字) 一剀 = ic k 一州h ( 等肛f 噼删唧( 字) 妇 = 暖一州0 + 地( 等”一d 去 蛐睁唧( - 萼+ 字) 唧( 字) 血 邓叫n ( 等肛唧( 学) 去f 一唧卜学卜 = 僻制n ( 字肛唧( 警) 去r 峥一唧( 珈 = 暖制一n ( 等) ) 一矗唧( 学) 卜t n ( 字) 一纠 如果资产价格的算术平均值就取为资产价格的到期值，此时的亚式期权就是欧式 期相窬 口= ( 字) 厄 c = o ， ， 1 扫= = 叮t d = s 相应的j 曲n s 。n 分布即为准确描述资产价格变化的概率分布，期权的估价公式也就成 为经典的b s 定价公式的形式。 第二类形式：此时， a = 州咖 ( 竽) 铮日搬脯1 ( 字) 这里d 和扫均为正数。所以 f 懒= i 吣嫩 令( 力表示标准正态概率分布函数，靠( 力表示标准正态概率密度函数。则 第二章亚式期权定价的不同方法 r 删出= d 拍 d 2 易 由上一部分类似可得： 5 i n 一( 竽 s i n - 1 ( 竽 拟功 e x p ( 字) 一唧( - 孚) 】 r m 叫k c w h 泔t ( 等) 】 + 罢唧( 击) g + 强n 圹1 ( 字) + 昙) 唧( 暑“n 扩1 ( 字) ) 】 一罢唧( 击) f ( 口+ 6 咖( 字) 一扣( 一善) 】 即得到该类形式下的算术亚式期权价格的近似估计。 2 3 偏微分方法 现在我们来建立亚式期权定价的数学模型。 设亚式期权定价是 y = y ( s ，五，f ) 形成投资组合 n = y ( s ，z 力一丛 选取适当的，使得在( f ，f + 出) 时段内是无风险的，即 d = m 出= v 一心) 出 由i t 6 公式， 8 第二章亚式期权定价的不同方法 取 d = d y 一趑一留丛嘏 从而可得： 其中 故 a v = 丽 罾+ 箬苦+ 三相z 祭+ c r 一筘芸一，y = o c 2 固 算术平均 几何平均 ( 算术平均) ( 几何平均) 将( 2 7 ) 代入( 2 9 ) ，我们得到亚式期权的定价模型： ( 2 7 ) 算术平均亚式期权的定价模型：在定解区域o s o o ，o ， o o ，0 f r 上，求解 定解问题： 9 s s 心 岱 、吖， - 卜 一 d ，ir， 争曙 + + 塔 出 (、l_l，一：8叮一出 + w uh 坐甜 d p m + 丛 丛 一 一 w 一铲v 一弘 净一a a a 髀 髀 醇 咏 l 一2 l 一2 + + 卯一出w一西 帆加， 凡蚣 如 一i ，_ i 印 ，i-lilfl-iii、 = 五 茹 塑出 第二章亚式期权定价的不同方法 iu 一足) + ，( 具有固定敲定价格看涨期权) 哪朋) = 暖棚+ “具有固定敲定价格看跌期权) ( 2 8 i 哂一，) + ，( 具有浮动敲定价格看涨期权) lu s ) + ，( 具有浮动敲定价格看跌期权) 几何平均亚式期权的定价模型：在定解区域0 s ，0 ， 0 ，卖出 o ) 或者出售( y 0 ) 了价值为 l y 晦的股票头寸，则产生的交易费用总共为尸l s + c 。故在经历西时段后，由i t 6 公 式得，的变化量为： 硼= 艿y 一舔一鸟丛西一天s i y l c = ( 罾+ 三户s 2 象+ 筹苦一删) 西 + 簪) 删 采用有交易费用的亚式期权的保值策略，令 = 箬( 蹦力 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 但是经历西时段后，由于西没有极限趋于零( 西_ 0 ) 的条件，故因子的变化不能 忽略。其变化后的量为 祟l l “s + 6 s l j + 6 d 。 丽q 钏t ，s + 6 s 1 j 6 j ) 为保持中性，这时需要采取保值策略，所以得到相应的交易份额为 第四章有交易费用亚式期权的定价2 5 y = 箬+ 蠡，s + 舔? - ，+ 一筹瓴s ，刀 = 筹力+ 罴田+ 静，+ 罴m 三 窘槲+ 罴叫 一筹，刀+ 。( | f 砰+ 嚣；+ 研| | 2 ) = 嬲最，) + 毋塞小。( 劲 其中， 6 j t = l j l = 靠e ls 籼一、t s 趣 r 驰一 r 汕 = ( r 跗h r 跗“) = 寻厂驰争吼= 另一方面， 所以， 6 j t 芝之f ts 批一f ts 血 = 陆一手) 旷叫= 一志r 跗“ 一争西= ) 1 6 卅d ( 西) ( 4 3 ) 又由于五可以表示成姒= 口( f ，u 的形式，因而酊，d 五= 0 ，d 五d 五= o ，且有 邙，m = o ，d 础= o 再由舔= 筇蠡+ 邸妒俩，并由h o g g 耐，m a l l e y 和w i l m o n 的模型理论，只保留d ( 厕的项，忽略式( 4 3 ) 的高阶项，有y 如豢o ，s ，d 褰( 厶s ，- ，) 订妒俩。我们预先不知道有多少份额的股票会被交易，但是我们可以计算 它的期望值，从而得到期望的交易费用。经过西时段后，期望交易费用为 第四章有交易贵甩亚式期权的定价 删堋= 踟2 矧司胆 其中因子强m 的期望值。现在计算由( 4 2 ) 确定的证券组合变化的数学期望， 包括了通常的b l a c k s c h o l e s 项和新的交易费用项： 新m ，= ( 罾+ 圭c r z s 2 睾+ 箬筹一鼋芸s 一也萋啪2l 豢卜丢) 反 固 结合研册= ，西，可得有交易成本的亚式期权定价模型： 罾+ 三一s 2 豢一船2l 器| + 蓦+ 箬箬+ c r 一彩筹s 一，y = 。h 固 以具有固定敲定价格的亚式看跌期权为例，其终值条件为 y ( f ，s ，d = ( s 护波e d + 4 2 模型的数值解 4 2 1 模型的显式差分格式 为了在s ，f 空间所研究的区域中用差分方法数值解微分方程( 4 6 ) 所对应的 定解问题，剖析该区域得一网格区域， 结点为( s f ，厶，岛) ，s f - 腩，厶= 砌，岛= 础，厶，l ，z 为整数，j l l 为五y 方向步长，七 是f 方向步长，z = m = 刀= 0 所对应的结点为原点。对一阶偏导数、二阶导数离散方 式如下： 第四章有交易费用亚式期权的定价 a y 一= 所 a y a s 萨y 豁2 a y 一= 8 】 1 一 七 1 刀+ l v n + l “1 j ，l，- l 挪 幼 嘴k 一2 1 +l 埘 炉 ：，一! ， 妫 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 我们假设在期权的存续期内股票的头寸只发生了一次变化的情况，即当，硒+ 朝 时，发生交易费用。 当f 幻时， 1 一 七 = r v = 1 + ( g 一厂) s ， + 嘴_ 一瞄k 1 一s 笛1 ：。一 拍 嘿! 。 如+ l 2 1 一= ( 政+ 矿f 2 嘉) v ：= ：1 + 等c 窖 + + ，靠一z 2 + 1 ) ：i + m z 2 加+ 1 ) 一，一矿d k 一等( g 一，+ c r 2 d 喵k 嘿! 。 ( - 一成+ 户咯归一萼臼一矿峨乙 筹幻a r 2 d 吼一赫噶，+ 晶 当f = f o ，且v ：；：= i i k + y 笛k 一2 v 茄1 o 时， ! 。 ，fi-_， 2， s 醇 l 一2 一 第四章有交易贵用亚式期权的定价 譬孚= 吲+ 幻堋，掣庀z，z + 拿+ 舻 + 石+ + 1 一= + + = + l 盟警型 1 一s 搿嘿j 。一嘿! 。 “l 2 一扣( 堕掣型 当f = 幻，且_ + 喵k 一2 1 o 时，同理可得： w= i m + + 1lp 0 2 七【万 4 2 2 数值结果 m a t l a b 程序 f u n c t i o ny = a s i a l l o 曲o n 2 ( s ) 一赫唱2 加+ 1 ) 。棚叫 ，+ 赫噶。1 + 厕y 磊二l 瞄。+ 赫曙。 第四聿有交易费用亚式期权的定价 s o = 5 0 ： j = 5 0 ： s t r i k e = 5 0 ； r = 0 1 ： t = 5 1 2 ； s i 割 1 a = 0 3 ； s m a ) 【= 1 0 0 ： j m a x = 1 0 0 ： h = 2 ： k = 5 1 2 0 0 ； l = r o u n d ( s m x 1 1 ) ； m = f o u n d ( j m 醚加) ； h = s m a ) l ； n = r o u n d a i k ) ； k = 田n ； q = 0 0 5 ； p = o 0 3 ： 船m ； d e l t a = k ； f = 0 o l ： v = z e r d s + 2 ，m + 2 ，n + 1 ) ； 建立偏微分方程的边界条件 f b rn = 1 ：( n + 1 ) v ( 1 ，1 ，n ) = s t r i k e 宰e x p ( 一r 宰k 幸( n + 1 - n ) ) ；设置在s t = o 情况下的边界条件 e n df 醣l = 2 ：皿+ 2 ) f b rm = m ：( 一1 ) ：2 第四章有交易费用亚式期权的定价 v ( 1 ，鸭n + 1 ) = m 戤( s t r i k e - ( s m a ) 【一( m m ) 堍) 0 ) ；设置在t 时刻的边界条件 c n d e n d f o rn = n ：1 ：1 i f n 宰k = t o f b f l = 3 ：l f b rm = 3 ：m v ( 1 ，m ，n ) = ( 1 r 宰k + ( r 宰1 ) 2 幸萨) 宰y ( z ，m ，n + 1 ) 一( 七z 2 ) 牛( q r s i g m 矿) 幸y ( z + l ，辨，n + 1 ) + 七木z 木( q 一厂+ ( s 函z 矿) 幸d 幸y ( z 一1 ，行，乃+ 1 ) 一( 肌一力( 2 宰，z + 2 ) 宰y ( 厶m + 1 ，n + 1 ) + ( m d ( 2 刀+ 2 ) 事y ( z ，m l ，以+ 1 ) ； e n d p ，l d e l s e 扣以= 3 ： 如朋= 3 ：膨 y ( z ，_ r ，l ，以) = y ( z ，m ，疗+ 1 ) 一足木刀如妇一r 十七幸y ( l 小，n + 1 ) 一忌宰p | ：岱函厅舻) ( 萨) 木阳疗( 2 加奉 p d ) 幸动s ( h z + l ，m ，万+ 1 ) + z l ，孔，n + 1 ) 一2 宰y ( tm ，忍+ 1 ) ) 一( 七| | ( q 一，) ( 2 幸力) 幸( y ( z + 1 ，川，l + 1 ) 一y ( z l ，m ，n + 1 ) 一v ( z 一1 ，m ，咒+ 1 ) ) 一( ，咒一d ( 2 幸n + 2 ) 母( y ( z ，m + 1 ，l + 1 ) 一 y ( z ，m l ，n + 1 ) ) + ( 忌枣( s 培，l 口宰矿2 ) 木( y ( z + 1 ，m ，l + 1 ) + y ( z 一1 ，m ，n + 1 ) 一2 奉，( z ，l ，刀+ 1 ) ) ； 口谢 g ，耐 p n d 已，l d 寻找期权价格进行插值 p r i c e = v ( d o o r ( s h ) + l ，丑o o r ( 5 油) + 1 ，1 ) 第四章有交易费用亚式期权的定价 3 l + ( s 一日o o r ( s 1 1 ) 牡) 掌( c e n ( s 加) + l ，c e i l ( s m ) + i ，1 ) 一v ( 丑o o r ( s 1 1 ) + l ，丑0 0 “s 瓜) + l ，1 ) ) h a n s = 2 6 2 1 3 总结与展望 本文首先介绍了亚式期权及其分类。在通常假设的无套利、均衡的完备金融市场 中，首先介绍了运用统计方法，鞅和偏微分方程对期权的价值进行求解。然后根据文 献 5 】中关于随机波动的章节，给出了亚式期权在有随机波动率情况下的定价模型；并 且运用蒙特卡洛模拟法，给出了模型的数值解。接着根据文献【1 3 】引入了对偶测度， 简化了求解具有浮动敲定价格几何平均亚式看跌期权价值的问题。最后，假设市场有 摩擦，根据文献【5 】，【1 2 】，运用h o g g a r d ，w h a l l e y 和w i l i l l 0 牡( 1 9 9 2 ) 的理论，给出了在有与 股份成比例的交易费用和固定交易费用情况下，亚式期权的定价模型，并且以有固定 敲定价格算术平均亚式看跌期权为例，给出了它的数值解。值得指出的是，关于在有 交易费用市场中，对亚式期权的定价还有不少尚待进一步研究的问题，例如：当原生 资产波动存在跳扩散时，如何给出亚式期权的数值解? 如何提高数值解的精确度? 等 等。 3 2 参考文 献 【1 】b l a c kf ，s c h o l e sm ：撇p ，蒯馏矿叩f f o 哪俐矽d m 绍鼬饿胁【m 】j 0 啪a lo f e c o n o m y 1 9 7 3 ，8 1 ( 3 ) ：6 3 7 6 5 4 【2 】m e n o n ，rc ：刀l 阳秽盯阳f d 懈z 印砌np 虎姚叨b e njo fe c o na i l dm a i l a g e m e n t s c i ，1 9 7 3 ，( 4 ) ，1 4 l 1 8 3 【3 】m o g e n sb l a 以豇n ah v 姐r y d b e r g ：a n 口c 础，谊zq 印朋础f d 印砌巧p r f c f 鸭h 恕如，历已 p 枷泐z 脱删您刎w f 加甜撇比f 卿“唧勘舾阴i n s 啦锄c e ：m 础咖a t i c s 卸d e b o n o i i l i e s1 9 9 8 ，2 2 ( 1 ) ：6 5 - 7 3 【4 1 姜礼尚：期权定价的数学模型和方法【m 】高等教育出版社，北京，2 0 0 3 【5 】p a u lw i l i i l o t t ：眈一姐舭塔【m 】t 1 1 en 巧a n d p r a c t i c eo f 五n 柚c i a le n g i n 硎n g ， j o l l l l 晰l e ys 0 n s 1 9 9 8 【6 】d 姗e ud u 伍e ：功彻，l f ca 黜甜p c 嘲劢秽【m 】肺n c e t o nu l l i m b r s 时胁s s ，1 9 9 6 【7 】j 0 h nc h u u ：期权期货和其它衍生产品嗍张陶伟译华夏出版社，1 9 9 9 【8 】张树德：金融计算教程咖清华大学出版社，2 0 0 8 【9 】d u a n eh a n s e l m a n ，b m c el i m e f i e l d 朱仁峰：精通讹鼬7 咖清华大学出版 社，2 0 0 6 【1 0 】戴嘉尊邱建贤：微分方程数值解法咖东南大学出版社2 0 0 l 【ll 】华东师范大学数学系：数学分析【m 】，高等教育出版社，2 0 0 l 3 3 参考文j 献 【1 2 】曲军恒霍颖瑜：浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价模型闭佛山科学技 术学院学报，2 0 0 6 ，2 4 ( 2 ) 【1 3 】金治明：数学金融学基础嗍科学出版社，2 0 0 6 【1 4 】袁震东：近代概率罗论一黻，鞅和随祝貉盼方程【m 】科学出版社，1 9 9 l 【1 5 】魏宗舒：概率论与数理统计教程【m 】高等教育出版社，1 9 9 7 【1 6 】余湄 董洪斌汪寿阳：摩擦市场下的投资纽合与无套利分析【m 】科学出版 社，2 0 0 5 【l7 】b e m to k s e n d a l ：跏曲庇d 卣弦脚砌，口咽s 皿n g e r 2 0 0 5 【1 8 】i o 锄1 1 i s l r a t z 懿s 缺，e n e s h r e v e ：b 加仉f i 铆讹f ：f d _ n 口趔跏幽船咖c 口z c 缸s 耐 【1 9 】田新时刘汉中：用如枷d n 分布蕨- 来计算习黻健眦阴运筹与管理，2 0 0 2 ，1l 【2 0 】许端蔡金绪：亚式期权估