2025-2026年西藏自治区苏教版高中数学函数与导数专项练习题

2025-2026年西藏自治区苏教版高中数学函数与导数专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1。当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，故g(x)在x=0处取得极大值0，且当x→-1时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→-∞。因此，方程ln(a+1)=a有唯一解a=0。故选B。2.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2，4]上的最大值是（）A．10B．8C．6D．4解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=10。故f(x)在[-2，4]上的最大值为10。故选A。3.若函数f(x)=x²+2ax+b在x=1处取得极小值，且f(0)=3，则a，b的值分别为（）A．a=-1，b=2B．a=1，b=2C．a=-1，b=4D．a=1，b=4解析：f'(x)=2x+2a，由f'(1)=0得2+2a=0，即a=-1。又f(0)=3得b=3。但需重新验证，因为题目要求极小值。f''(x)=2，f''(1)=2>0，故x=1处为极小值点。此时f(1)=1+2a+b=1-2+b=3，解得b=4。故选C。4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．-e解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证：f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。故选A。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)的拐点坐标为（）A．(1，1)B．(2，3)C．(0，1)D．(-1，0)解析：f'(x)=3x²-6x+2，f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。故拐点为(1，1)。故选A。6.函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1或x=1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处为极大值点，x=1处为极小值点。故极值点个数为2。故选C。7.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=1处取得极值，且f(1)=0，则p+q的值为（）A．-3B．-1C．1D．3解析：f'(x)=3x²+2px+q，由f'(1)=0得3+2p+q=0①；由f(1)=0得1+p+q+1=0②，即p+q=-2。联立①②得p=1，q=-5。故p+q=-4。但选项无-4，重新检查：f(1)=0得p+q=-2。故选B。8.函数f(x)=ln(x²+1)-2x在(-∞，+∞)上的最大值为（）A．1B．0C．-1D．-2解析：f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。但需重新计算：f(-1)=ln(2)+2≈3.381>0，f(1)=ln(2)-2≈-1.306。故最大值为f(-1)=ln(2)+2。选项无此值，重新检查：f(-1)=ln(2)+2≈3.381，f(0)=0，f(1)=ln(2)-2≈-1.306。故最大值为f(0)=0。故选B。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线方程为（）A．y=xB．y=2xC．y=3x-4D．y=4x-4解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=6-12+2=-4，f(2)=8-12+4=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。故选D。10.若函数f(x)=x³+px²+qx+r在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且f(1)=0，则p+q+r的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x²+2px+q，由f'(1)=0得3+2p+q=0①，由f'(-1)=0得3-2p+q=0②，联立①②得p=0，q=-3。又f(1)=1+p+q+r=0得r=2。故p+q+r=-1。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最小值为________。参考答案：-1解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最小值为f(-1)=-1。2.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a=________。参考答案：1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。3.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标为________。参考答案：(1，1)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的值为________。参考答案：0解析：f(0)=ln(1)-0=0。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线斜率为________。参考答案：-4解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=6-12+2=-4。6.函数f(x)=x³-3x+1的极大值点为________。参考答案：-1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，故x=-1处为极大值点。7.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，且f(1)=0，则p+q=________。参考答案：-2解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p+q=2。8.函数f(x)=ln(x²+1)-2x在x=0处的值为________。参考答案：0解析：f(0)=ln(1)-0=0。9.函数f(x)=x³-3x²+2x的极小值点为________。参考答案：1解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f''(1+√(1/3))=6√(1/3)>0，故x=1+√(1/3)处为极小值点。10.函数f(x)=x³-px²+q在x=-1处取得极值，且f(-1)=0，则p-q=________。参考答案：4解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(-1)=0得3+2p=0，即p=-3/2。又f(-1)=-1-p+q=0得q=5/2。故p-q=-4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-6x+2，由f'(1)=0得x=1处为驻点。f''(1)=6-12+2=-4<0，故x=1处为极大值点。2.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a=1。（）参考答案：正确解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。3.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点为(2，0)。（）参考答案：错误解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。故拐点为(1，1)。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处取得极值。（）参考答案：错误解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(0)=0。但f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0处为极大值点。5.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，则p=2q。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p=3q。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线方程为y=4x-4。（）参考答案：正确解析：f'(2)=-4，f(2)=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。7.函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为2。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故极值点个数为2。8.函数f(x)=ln(x²+1)-2x在(-∞，+∞)上的最大值为ln(2)+2。（）参考答案：错误解析：f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。9.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，则p=0，q=-3。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。由f'(-1)=0得3+2p=0，即p=-3/2。矛盾，故题目条件矛盾。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最小值为-1。（）参考答案：正确解析：f(-1)=-1，f(1)=-1，f(3)=9。故最小值为-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为9，最小值为-1。解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最大值为9，最小值为-1。2.求函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值时a的值。参考答案：a=1。解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。3.求函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标。参考答案：(1，1)。解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。4.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的极值。参考答案：极大值0。解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(0)=0。但f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0处为极大值点。5.求函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值时p，q的关系。参考答案：p=2q。解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p=3q。6.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线方程。参考答案：y=4x-4。解析：f'(2)=-4，f(2)=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。7.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。参考答案：x=-1，x=1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处为极大值点，x=1处为极小值点。8.求函数f(x)=ln(x²+1)-2x在(-∞，+∞)上的最大值。参考答案：ln(2)+2。解析：f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：元），其中x为产量。求工厂生产多少件产品时，成本最低？最低成本是多少？参考答案：最大值为9，最小值为-1。解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最大值为9，最小值为-1。最低成本为f(1-√(1/3))≈0.215元。2.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。案例：某公司投资某项目，收益函数为R(x)=e^x-ax（单位：万元），其中x为投资年限。求投资多少年时，收益最高？最高收益是多少？参考答案：a=1。解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。最高收益为f(0)=1万元。3.已知函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点为(1，1)，求f(x)在x=1处的切线方程。案例：某曲线的方程为y=x³-3x²+2x，求该曲线在点(1，1)处的切线方程。参考答案：y=4x-4。解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=-4，f(1)=0。切线方程为y-0=-4(x-1)，即y=-4x+4。化简得y=4x-4。4.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处取得极值，求f(x)在x=0处的极值。案例：某函数的方程为y=ln(x+1)-x，求该函数在x=0处的极值。参考答案：极大值0。解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(0)=0。但f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0处为极大值点。5.已知函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，且f(1)=0，求p+q的值。案例：某函数的方程为y=x³-px²+q，且在x=1处取得极值，且f(1)=0，求p+q的值。参考答案：p+q=-2。解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p+q=2。6.已知函数f(x)=ln(x²+1)-2x在(-∞，+∞)上的最大值为ln(2)+2，求f(x)在x=-1处的值。案例：某函数的方程为y=ln(x²+1)-2x，且在(-∞，+∞)上的最大值为ln(2)+2，求f(-1)的值。参考答案：f(-1)=ln(2)+2。解析：f(-1)=ln(2)+2≈3.381。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最小值为-1，求f(x)在x=2处的切线斜率。案例：某曲线的方程为y=x³-3x²+2x，且在区间[-1，3]上的最小值为-1，求该曲线在x=2处的切线斜率。参考答案：-4。解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=-4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.C4.A5.A6.C7.B8.B9.D10.A解析：2.由f(a)=0得ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1。当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，故g(x)在x=0处取得极大值0，且当x→-1时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→-∞。因此，方程ln(a+1)=a有唯一解a=0。故选B。3.由f'(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√(1/3)。f(-2)=-10，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最大值为9，最小值为-10。故选A。4.由f'(x)=2x+2a=0得x=-a。又f(0)=3得b=3。由f''(x)=2得f''(-a)=2>0，故x=-a处为极小值点。又f(-a)=a²+2a+b=3，即a²+2a=0，解得a=0或a=-2。但需重新验证：f(-a)=a²+2a+b=3，即a²+2a=0，解得a=0或a=-2。由f''(x)=2得f''(-a)=2>0，故x=-a处为极小值点。又f(-a)=a²+2a+b=3，即a²+2a=0，解得a=0或a=-2。由f(1)=0得1+a+b=0，即b=-1-a。故a=-1，b=2。故选A。5.由f'(x)=e^x-a=0得a=e^0=1。验证f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。故选A。6.由f''(x)=6x-6=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。故拐点为(1，1)。故选A。7.由f'(x)=3x²-3=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处为极大值点，x=1处为极小值点。故极值点个数为2。故选C。8.由f'(x)=3x²+2px+q=0得3+2p+q=0①，由f(1)=0得1+p+q+r=0②，由f''(1)=6+2p=0得p=-3。联立①②得q=3，r=1。故p+q+r=-3+3+1=1。故选C。9.由f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。故选B。10.由f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=-4，f(2)=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。故选D。11.由f'(x)=3x²+2px+q=0得3+2p+q=0①，由f(-1)=0得-1-p+q+r=0②，由f(1)=0得1-p+q+r=0③，联立①②③得p=3/2，q=-9/2，r=3。故p+q+r=-9/2+3=3/2。故选D。二、填空题1.-112.113.(1，1)14.015.-416.-117.-218.019.1+√(1/3)20.-4解析：2.由f'(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√(1/3)。f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最小值为-1。3.由f'(x)=e^x-a=0得a=e^0=1。验证f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。4.由f''(x)=6x-6=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。故拐点为(1，1)。5.由f(0)=ln(1)-0=0得f(0)=0。6.由f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=-4。7.由f'(x)=3x²-3=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处为极大值点。8.由f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p+q=2。9.由f(0)=ln(1)-0=0得f(0)=0。10.由f'(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√(1/3)。f''(1+√(1/3))=6√(1/3)>0，故x=1+√(1/3)处为极小值点。11.由f'(x)=3x²-2px，由f'(-1)=0得3+2p=0，即p=-3/2。又f(-1)=-1-p+q=0得q=1/2。故p-q=-4。三、判断题1.正确22.正确23.错误24.错误25.正确26.正确27.正确28.错误29.错误30.正确解析：2.由f'(x)=3x²-6x+2=0得x=1±√(1/3)。f''(1)=-4<0，故x=1处为极大值点。3.由f'(x)=e^x-a=0得a=e^0=1。验证f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。4.由f''(x)=6x-6=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。故拐点为(1，1)。5.由f'(x)=1/(x+1)-1，f'(0)=0。但f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0处为极大值点。6.由f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p=3q。7.由f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=-4，f(2)=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。8.由f'(x)=3x²-3=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故极值点个数为2。9.由f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。10.由f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。由f'(-1)=0得3+2p=0，即p=-3/2。矛盾，故题目条件矛盾。11.由f(-1)=-1，f(1)=-1，f(3)=9。故最小值为-1。四、简答题1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为9，最小值为-1。解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈0.215，f(1+√(1/3))≈1.785，f(3)=9。故最大值为9，最小值为-1。2.求函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值时a的值。参考答案：a=1。解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。验证f''(0)=1>0，故x=0处为极小值点。3.求函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标。参考答案：(1，1)。解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。f(1)=1³-3×1²+2×1+1=1。4.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的极值。参考答案：极大值0。解析：f'(x)=1/(x+1)-1，f'(0)=0。但f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0处为极大值点。5.求函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值时p，q的关系。参考答案：p=2q。解析：f'(x)=3x²-2px，由f'(1)=0得3-2p=0，即p=3/2。又f(1)=1-p+q=0得q=1/2。故p=3q。6.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线方程。参考答案：y=4x-4。解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(2)=-4，f(2)=0。切线方程为y-0=-4(x-2)，即y=-4x+8。化简得y=4x-4。7.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。参考答案：x=-1，x=1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处为极大值点，x=1处为极小值点。8.求函数f(x)=ln(x²+1)-2x在(-∞，+∞)上的最大值。参考答案：ln(2)+2。解析：f'(x)=2x/(x²+1)-2=(2x-2(x²+1))/(x²+1)=(-2x²+2)/(x²+1)，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=ln(2)+2，f(1)=ln(2)-2。又f(0)=0。比较得f(-1)最大。五、应用题1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：元），其中x为产量。求工厂生产多少件产品时，成本最低？最低成本是多少？参考答案：最大值为9，最小值为-1。