（应用数学专业论文）几类反应扩散方程的定性研究.pdf

摘要 反应扩散方程( 组) 的定性分析是现代科学技术中的具有重要理论价值和实际应用 背景的研究课题。本文主要介绍和讨论了一类非线性反应扩散方程的爆破问题和几类反 应扩散方程组的平衡态模式 本文讨论的反应扩散方程是一类具有局部反应项的非线型方程作者利用最大值 原理，积分估计和上下解方法得到了径向对称的爆破解的精确的爆破速率估计，改进了 a o k a d a 和i f u k u d a 在文献 5 3 】中的相关结果，并通过细致地构造初值函数得到整 体爆破解和单点爆破解，从而完整地给出了所研究问题的径向对称爆破解的爆破点集的 分类 对于反应扩散方程组的平衡态模式，作者首先考虑了一个具有h o l l i n g - t a n n e r 反应 项的捕食模型作者将猎物种群的增长率作为分支参数，通过运用局部分支理论，整体 分支理论和无穷远分支理论等分析方法，得到了使非平凡正解存在的参数范围 接着，作者研究了一个考虑猎物的非线性增长和食物的种群内竞争因素的响应函数 的捷食模型借助h a r n a c k 不等式和渐进分析技巧得到了正解的正的上下界估计，通过 计算线性化问题的特征值，作者利用拓扑度方法和能量方法研究了正常数解的局部稳定 型和非常数正解的存在性和不存在性 最后，作者分别研究了一类具有特殊交错扩散项的捕食模型和竞争模型对于捕食 模型，作者通过运用锥上的拓扑度理论，细致地分析了使问题正解的存在和不存在情况下 模型中参数的范围，改进了w k o 和k r y u 3 6 】的相关结果而对于竞争模型，作者利用 强耦合椭圆方程组的上下解方法和积分估计方法也得到了该问题的正解的存在性和不 存在性 关键词：单点爆破，整体爆破，爆破速率，局部反应项，分支，正解的结构，椭圆型方 程组，反应扩散方程，捕食模型，平衡态，稳定性，拓扑度方法，能量方法，上下解方法 第i 页 a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a t ，d u et ot h ec r u c i a ls i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n de x t e n s i v ea p - p l i c a t i o n si nr e a l i t y , t h eq u a l i t a t i v er e s e a r c ho fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sb e c o m e sa n i m p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c to fm o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e ri sas t u d yo n b l o w - u pp r o b l e m so far e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o na n ds t e a d y - s t a t ep a t t e r n s o fs o m e r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o ri sc o n c e r n e dw i t han o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o nw i t hl o c a l i z e dr e a c t i o ns o u r c e t h ea u t h o ru s em a x i m u mp r i n c i p l e ，i n t e g r a l e s t i m a t ea n du p p e r - l o w e rs o l u t i o nm e t h o dt og i v et h ep r e c i s eb l o w - u pr a t e so fr a d i a l s y m m e t r i cs o l u t i o n sn e a rt h eb l o w - u pt i m e t h e s er e s u l t si m p r o v et h e i n t e r r e l a t e d r e s u l t so fa o k a d aa n di f u k u d a 【5 3 a n dt h ea u t h o ro b t a i n ss o m eb l o w - u ps o l u t i o n s w h i c ha r et o t a lb l o w - u po rs i n g l ep o i n tb l o w - u pb yc o n s t r u c t i n gs o m es k i l l f u li n i t i a l d a t a t h e r e f o r e ，t h ea u t h o rc o m p l e t e l yc l a s s i f i e sb l o w - u ps o l u t i o n si n t ot o t a lb l o w - u p c a s e sa n ds i n g l ep o i n tb l o w - u pc a s e s i nt h es t e a d y - s t a t ep a t t e r n sr e s e a r c ho fr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s ，t h ea u t h o rf i r s t c o n s i d e r san o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e mc o m i n gf r o mt h ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i f f u s i o n l e tt h ep r e d a t o rg r o w t h - r a t ea sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r ，t h ea u t h o ro b t a i n st h er a n g eo f p a r a m e t e rf o rw h i c ht h e r ee x i s t sn o n t r i v i a ls o l u t i o nv i at h et h e o r yo fb i f u r c a t i o nf r o m i n f i n i t y , l o c a lb i f u r c a t i o na n dg l o b a lb i f u r c a t i o n n e x t ，an o n l i n e a rp r e d a t o rr e p r o d u c t i o na n dp r e yc o m p e t i t i o nm o d e lw i t hd i f f u s i o n i sd i s c u s s e d t h ea u t h o ru s e sh a r n a c ki n e q u a l i t ya n da s y m p t o t i ct e c h n i c st oo b t a i na p r i o r ie s t i m a t e so ft h ep o s i t i v es o l u t i o n a n ds o m ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c er e s u l t s c o n c e r n i n gn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y s t a t e sa r ep r e s e n t e db yu s eo ft h et o p o l o g i c a l d e g r e ea r g u m e n ta n dt h ee n e r g ym e t h o d ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h ea u t h o rc o n s i d e r sap r e d a t o r - p r e ym o d e la n dac o m p e t i t i o nm o d e lw i t h 第i i 页 s p e c i a lc r o s s d i f f u s i o n b yu s i n gt h ed e g r e et h e o r yo np o s i t i v ec o n e ，t h ea u t h o ro b t a i n s t h eo p t i m a lr a n g eo fp a r a m e t e rf o rw h i c ht h e r ee x i s t sn o n t r i v i a ls o l u t i o no ft h ep r e d a t o r - p r e ym o d e lo rn o t ，a n dt h e s er e s u l t si m p r o v et h ei n t e r r e l a t e dr e s u l t so fw k oa n dk r y u 3 6 a b o u tt h ec o m p e t i t i o nm o d e l ，b yu s i n gt h eu p p e r - l o w e rm e t h o do fs t r o n g l y c o u p l e de l l i p t i cs y s t e m st h ea u t h o ra l s oo b t a i n st h ec o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n d n o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：s i n g l ep o i n tb l o w - u p ，t o t a lb l o w - u p ，b l o wu pr a t e ，l o c a l i z e ds o u r c e ， b i f u r c a t i o n ，s t r u c t u r eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，e l l i p t i cs y s t e m ，r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ， p r e y - p r e d a t o rm o d e l ，s t e a d ys t a t e s ，s t a b i l i t y , d e g r e em e t h o d ，e n e r g ym e t h o d ，u p p e 卜 l o w e rs o l u t i o nm e t h o d 第i i i 页 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名：孟昂伊j 缈 日期：方、f 、y 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的 公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 耽生鲐桕咄锄虢现移吼删矿 第一章前言 现代科技的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学等基础学科的成就和 进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证。学科的精确化往往是通过 建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为反应扩散方程( 组) 利用反应扩散方 程( 组) 来研究生物化学模型，已成为偏微分方程研究领域中的一个重要研究方向然而，考 察反应扩散方程( 组) 的长时间性态是一个具有挑战性的数学问题：得到了众多研究人员 的关注和细致深入的研究 爆破问题是研究反应扩散方程( 组) 的长时间性态中的一个重要课题对一些重要的 数学模型的解的整体性态的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整体存在 性为前提另一方面，鉴于反应扩散方程( 组) 解的长时间行为与其相应的平衡态问题密切 相关，因此：确定反应扩散方程( 组) 平衡解的性质有重要的现实意义同时，对平衡态问题 的深入探讨也必将有力地推动椭圆型方程f 组) 的研究本文讨论来自于化学和生态学中 的几类反应扩散模型的解的爆破问题和平衡解的存在性f 模式生成) 问题 1 1研究背景和发展概况 非线性反应扩散方程( 组) 的爆破问题从上世纪七十年代初就引起了广泛的研究兴 趣和深入研究传统的理论侧重于研究解的适定性即解的存在性、唯一性和稳定性而 一些具有丰富的实际背景的数学模型更需要对解的性质进行讨论，弄清问题中的各个因 素对解的影响对爆破问题的研究就是一个典型的例子这一过程最早可追溯到1 9 6 6 年 f u j i t a 型方程被作为基本模型提出来，即考虑这样一个初边值问题： ， i u t = + u p ，z q ，t 0 ， i u ( x ，t ) r - - - 0 ， z a q ，t 0 ，( 1 1 ) l i 钍( z ，0 ) = u o ( x ) ， z q 对该问题的研究很快吸引了w w a l t e r ，f b w e i s s l e r ，d h s a t t i n g e r 和h m a t a n o 等数学家的关注，到了上世纪8 0 年代达到了第一个研究高潮a f r i e d m a n ，y g a g a ，r v k o h n ，h a l e v i n e ，k d e n g ，p s o u p l e t 等研究了解的爆破条件( 临界指数) ，爆破 点集，爆破速率估计，解在接近爆破时刻时的性态( p r o f i l e ) ，并应用到非线性系统的研究 中上世纪9 0 年代人们又把研究扩展到反应扩散方程( 组) 之外，例如f m e r l e 致力于非 第1 页 线性s c h r 6 d i n g e r 和z a k h a r o v 爆破的研究，得到了非常好的结果，他也因此应邀在1 9 9 8 年世界数学家大会上做报告 模式生产问题是描述自然界中几种物质互相作用时物质的结构变化( 生态学问题，化 学反应，基因生成等等) 1 9 5 2 年a 。t u r i n g 考虑了这样一个反应扩散方程组： ( 1 2 ) 其中钍( z ，t ) 和v ( x ，t ) 表示两种化学物质的分布密度函数，这里x 代表空间中的一个点， 亡表示时间：丸，也分别是两种化学物质的扩散系数，( u ，勘) 和夕( u ， ) 是表示两种物质 关系的响应函数，算子表示扩散过程，当然它在生态学模型中则用来表示大的生物种 群的迁徙和漫游t u r i n g 通过研究提出把( 1 2 ) 作为生物形态的基本化学反应模型，并且 指出这一方程组在两个扩散系数之比很大时常数平衡解的稳定性会发生改变，由稳定( 对 常微分方程而言) 变为不稳定( 对相应的反应扩散方程而言) 这一性质和单个物质的反应 扩散方程的解的性质大相径庭这个理论很快得到了科学家们的很大关注，人们把这一 重要发现称为t u r i n g 模式或扩散导致的模式 捕食结构模型是扩散导致甲衡态模式的研究中的一类重要的模型捕食结构模型在 生物种群动力学中称为捕食模型，在化学反应动力学和分子生物学中称为催化抑制模 型从经典的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型开始，e n d a n c e r ，k j b r o w n ，j b l a t ，w m n i ，y h d u ，m x w a n g ，p y h p a n g ，c v p a o ，y y a m a d a ，j p s h i ，j c w e i ， m w i n t e r ，x f c h e n ，s b h s u 等人对多种捕食模型的分支结构，常数平衡解的局部 稳定性，全局稳定性和非常数平衡解的存在性，不存在性，分支结构和稳定性以及参数变 化时非平凡正解的存在性和渐进性质等做了大量的非常深入的且具有广泛影响的研究 工作，该方向也成为应用数学研究中的一个热点 1 2本文的主要工作 本文中，我们在前人研究工作的基础上，做了一些工作，下面来做一个简单的介绍 在第二章中，我们讨论了这样一类反应扩散方程的初边值问题的爆破问题： 第2 页 ( z ，t ) q ( 0 ，丁) ， ( z ，t ) a q ( o ，t ) ， ( 1 3 ) z q ， 移 “p u ， 烈 蛐 蛐 = = 伽 仉 g + 吖、加 “= ， z ， 文 q 伽 ” = = d = 为 u u u ，、l 该模型的具体意义见相应章节中的说明我们利用最大值原理，积分估计和上下解方法 得到了径向对称的爆破解的精确的爆破速率估计，改进了a o k a d a 和i f u k u d a 在文 献【5 3 】中的相关结果，并通过细致地构造初值函数得到整体爆破解和单点爆破解，从而 完整地给出了所研究问题的径向对称爆破解的爆破点集的分类 在第三章中，我们研究了这样一个椭圆型方程组的齐次d i r i c h l e t 边值问题： 我们将猎物种群的增长率作为分支参数，通过运用局部分支理论，整体分支理论和无穷 远分支理论等分析方法，得到了使非平凡正解存在的参数范围 在第四章中，我们考虑了这样一个具有特殊响应函数的捕食模型： x q ，t 0 ， xe1 2 , t o ( 1 5 ) x q ， z a q t 0 我们借助h a r n a c k 不等式和渐进分析技巧得到了正平衡解的正的上下界估计，通过计 算线性化问题的特征值，利用拓扑度方法和能量方法研究了正常数平衡解的局部稳定型 和非常数正平衡解的存在性和不存在性 在第五章中，我们研究了下面的具有交错扩散项的经典捕食模型： 一仳= u ( a u c 秒) ，x q ， p u 一u = u ( 6 + d u u ) ，x q ，( 1 6 ) u = u = 0 ，茹a q ， 其中常数声 0 为交错扩散系数，这里的交错扩散表示的是由于食物的存在引起猎物向 食物的运动我们利用最大值原理得到解的先验估计，然后利用锥上拓扑度理论研究了使 问题正解的存在和不存在下模型中参数的范围，改进了w k o 和k r y u 3 6 的相关结 果。 最后在第六章中，我们将第五章中的交错扩散项引入到经典竞争模型中，即考虑下面 第3 页 g g 锄 焉焉羔 一 + 钍 p l 删 如 q l i = = ， ， 仇而归 2 一m k 护 讹 山 破q = = “ = m 1 u = 巩 酗 蛐 惦地 一 一 u 毗 饥 “ 巩 的椭圆型方程组的边值问题 z q ， x q ，( 1 7 ) x a q 其中常数p 0 为交错扩散系数，而这里的交错扩散表示的是由于种群u 的存在引起其 竞争种群v 远离其的趋势我们利用c v p a o 在文献【5 7 】中发展出的强耦合椭圆型 方程组的上下解方法，得到了正解的存在性的条件，并利用积分估计得到了正解不存在 性的结果 第4 页 盯一 、 砒 铡 一 一 怕 l 如 q l引 卜 | l 让 a t 如 陋 剐 一 一 钍 ，j、i_， 第二章一类抛物型方程的爆破问题 2 1模型的来源和爆破问题的研究背景 在本章中，我们考虑如下类型的抛物型方程： lu t = u + ，( u ) + 9 ( 亡) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， i 铭( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a q ( 0 ，丁) ， ( 2 。1 ) l iu ( z ，0 ) = 咖( z ) ， z q ， 其中q 是r 中以原点为圆心半径为冗的球在本章中，我们假设初值函数咖满足下 面的条件： l 牡o c 2 ( q ) nc ( 丽) ， l ( a ) u o ( x ) = 咖( 7 ) o ，r = m l lu o ( r ) 1 ) 或e q 且g ( t ) 三0 的情况，a f r i e d m a n ，b m c l e o d 和 f b w e i s s l e r 在文献【2 0 ，8 5 】中得到问题( 2 1 ) 的爆破解是单点爆破的 对于，( u ) 三0 ，g ( t ) = u q ( x ，t ) 或e ( 矿，) 情况( 其中z + 是区域q 内的一个固定 点) ，j m c h a d a m ，a p i e r c e ，h m y i n 在文献( 8 】中证明了问题( 2 1 ) 的爆破解是整 体爆破的。他们的结果囊括了该方程的c a u c h y 初值问题，n e u m a n n 初边值问题以及 非径向对称区域的d i r i c h l e t 初边值问题紧接着：p s o u p l e t 在文献【7 5 ，7 6 中系统地 研究了把上面的固定点矿换成一个动点z + ( ) 的情况，这里z + ( ) 是一个在f 0 ，) 为 h 5 1 d e r 连续的函数p s o u p l e t 得出了解的爆破速率，爆破形态以及爆破解的边界层他 第5 页 的结果对有界区域和非对称初值都是成立的 对于非局部问题 m ) = u p “牡篙上础， j b e b e r n e s ，a b r e s s a n 和a ，l a c e y 在文献【3 】3 中证明了问题( 2 1 ) 的解在1 3 且，y l 充分小时，解是单点爆破的最近，q l l i u 和m x w a n g 在文献 4 3 】中，改进了文献 6 】中的结果，证明了只要n 3 ，解就是单点爆破 的同时关于解的爆破速率，他们也得到了一个很有意义的结果，即解在原点和其它地方 的爆破速率是不同的 对于局部化问题f ( u ) = u p ，g ( t ) = u q ( x 4 ，古) ，a o k a d a ，i f u k u d a 和r s u z u k i 在 文献 2 2 ，5 3 】中做了系统地研究他们在径向对称的情况下，得到解的爆破速率，分析了参 数p ，q 对爆破点集的影响特别是在文献 2 2 】中，i f u k u d a 和r s u z u k i 巧妙地通过设 置初值函数构造了一个单点爆破的解，从而让我们认识到初值如何来影响爆破点集 在本章中，我们对，( 札) = e 能，g ( t ) = e 芦牡，d 的情况做进一步的探讨，即考虑下面的 方程 ， i u f = 乱+ e 口“+ e f l t ( 矿，扪，( z ，亡) q ( 0 ，t ) ， i u ( z ，t ) = 0 ， ( z ：t ) o f l ( 0 ，丁) ，( 2 2 ) i l “( z ，0 ) = 铷( z ) ， z q ， 其中o e ，p 0 ，z + q 在文献 5 3 】中，a o k a d a 和i f u k u d a 研究了问题( 2 , 2 ) 的x + = 0 的情况，他们得 到了下面的关于问题( 2 2 ) 解的爆破速率和爆破点集的结果 定理a ( o k a d a f u k u d a ) 假设矿= o 且条件( 4 ) 成立 ( i ) 当0 o t 卢时，偿剀的解是整体爆破的此外，在q 的任一紧子集k 上和时 刻丁附近有下面的估计j g l n ( t t ) 一1 u ( x ，t ) q l n ( t t ) 一1 ( i i ) 当0 1 3 q 时，如果存在一个正常数p 使得 a u o + e 口如+ e 口u o ( o ) p ，z q ， 第6 页 则点x = 0 是唯一的爆破点，且让( o ，t ) 满足 岛l n ( t t ) 一1 “( o ，t ) c 4 l n ( t 一亡) 一1 2 2主要结论和一些预备性结果 p s o u p l e t 在文献 7 6 中指出，对于局部化问题，一般来说，整体爆破的解在q 的任一 紧子集中有一致的爆破速率在本章中，我们根据这个想法，得到了当0 q p ，x + = 0 时解的一致爆破速率在其余情况下，我们也得到了更加精细的爆破速率估计这些结果 改进了上而的定理a 的结论a o k a d a 和i f u k u d a 在文献 5 3 中指出，当x + 0 时，解是否是整体爆破还是单点爆破是一个未能解决的问题本章的另外一个工作就是来 回答这个问题下面，我们先介绍一个后面要用的假设条件： ( 4 + )咖+ e 口加+ e z u o ( 。) 0 ，x q 本章的主要结果是如下定理 定理2 2 1 令x + = 0 并假设条件( a ) 成立 ( i ) 假设( a + ) 成立如果0 p q ，那么问题( 2 2 ) 的解仅在原点z = 0 处爆 破，并且让( o ，t ) 满足： m l i m 甜0 1 ( i i ) 如果0 q 0 ，解也是整体爆破的若假设( a + ) 成立，则u ( o ，t ) 满足： 一t i m 斋等习1 此外如果仳；( o ) 0 成立，则在q 的任一紧子集k 上有下面的估计： n m i n f 甜等甄1 ，n m s u p 茄等圭 定理2 2 2 令x + 0 ，口p 假设条件( 4 ) 和( a + ) 都成立那么问题( 2 2 ) 的所 有解都只在原点爆破，即s = o 】- ，并且u ( o ? ) 满足： m l i r a 甜= 三 第7 页 定理2 2 3 令x + 0 ，口 0 ，存在一个h o 4 a a 2 ，使 得当 ! n d f u o ( x ) h o ， 有t g 第8 页 2 3定理2 2 1 的证明 夕( t ) = e p l l 忙 ”，g ( t ) 2z9 ( s ) d s 西o ( j d ) = 0 ，( r ) 0 ，r ( 0 ：p 】，m 一_ a x o ( x ) 1 ( 2 3 ) x e l 2 0 ：wt。i=兰jxw：咖。z，羹二i：(：嚣， ，m a x ，妒( z ，t ) 1 0 ，t ) e f i ox ( o ，o o ) 以一，一q e 口u j 0 ， ( z ，t ) q o ( 0 ，t ) 第9 页 注意到在a q o ( 0 ，t ) 上( z ，t ) = 0 ，u t ( z ，t ) 0 ：所以我们有 j ( x ，t ) 0 ，( z ，t ) a f r ox ( 0 ，t ) 再利用m a b u o ( z ) = 铷( o ) 和m a x 七h o 如( z ) = 妒o ( o ) ，根据条件( a ) 我们又可以得 到 j ( x ，0 ) = 毗( z ，0 ) 一叩o ( z ) ( e a 瑚 ) + e p t | 0 0 + ) c 一叼妒o ( o ) ( e q u 0 ( o ) + e 卢伽( o ) ， z q o 选取充分小的r l 使得上面的不等式的右边部分为负，那么就推出了 j ( x ，0 ) 0 ， z q o 现在利用最大值原理，即得在f 2 0x 【0 ，t ) 上有s ( x ，t ) 0 ，即 由此可以推出 因而 乱t ( z ，t ) ? 7 ( z ，亡) ( e n u 扛，t + e 卢u + ，) ，( z ，t ) q o 0 ，t ) ( 2 4 ) u t ( o ，t ) 叩( o ，t ) e 口t ( o ，) 叩( o ，丁) e q u ( o ，扪，0 t t ( 2 5 ) t 篱p 甜等三 另方面，直接由问题( 2 2 ) 我们有 从而， u t ( o ，t ) se a u ( o ，。) + e p 乱 + ，。) 2 e q u ( o ， ，；砷f 孝三 这样，由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可以推出 l i m 群等i 1 情形2 ：0 o t 1 这样由( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) ，我们有 旧l i r a 等乩 下面，我们用反证法来证明： t 1 i m tu 刚( x , t ) ，= 1 ，vz q 假设有一点z 1 q ，z 1 0 ，使得 l i r a i n f 帮 1 那么存在一个序列f “，使得t 竹_ 丁且 。磐甜 ， 第1 1 页 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 。1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 令b = z r 川：蚓 l x l l 注葸到u r 0 ：由( 2 1 4 ) ，我们得刽 将地篙咝：。皤塑坚塑篙地业丝 s 。l i ，r a tu g ( ：r ( 1 t , n t ) n ) ， n b 妒( z ) d x + k l i 。r a tu “( 0 【, t t n n ) ) ， b ( z ) d z 1 ，一t“【l 再利用( 2 1 4 ) ，这样我们就得到了( 2 1 5 ) 因为 夕( ) = e 卢t ( o ，。) e a r , , u 9 如， 所以由f 2 1 1 ) 可推出 t 帮t 尝1吾 一 l n 一l ，一 h r a m i n f 甜i n 等t 丢j 一t ( i 。一l 一1 趔l n ( 拦t 竽1 = 孝1 器t j 乏帮删z 一t ) 一1 n ( t 一) 一札( o ，)ng ( t ) 7 r 一 所以由( 2 1 5 ) 和( 2 1 7 ) ，我们得到 t t 酵f 噤t 专j 一tl n 【i 一) 1 这样，由( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 就可以得到 物t尝int ：刍 t 一【l 一l 一1 u 扣lim茹=万1ti n t t i 一l 一1a 牌甜等可1 第1 2 页 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 情形3 ：口= p 利用情形1 中的同样的方法，我们可以得到 旧l i m 品等习1 ( 2 2 。) 利用定理a 和命题2 2 1 ，我们有 1 i mc ( t ) = 0 0 令u ( z ，t ) 是下面问题的唯一解， t 鼍= a v + g ( t ) v ( x ，t ) = 0 ， v ( x ，0 ) = u o ( x ) x q ，0 t z z a q ，0 0 ，u ：( o ) 0 ，那么存在常数0 b q 和0 1 ，使得 u ( r ，亡) 一bl n 虿c b 一石2 l nr + g ( 亡) ，r ( 。，r ) ，亡( o ，丁) ( 2 2 2 ) 这个引理的证明和文献【3 ，t h e o r e m4 5 】类似，这里我们就不证了由( 2 2 2 ) ，我们 有 h 哿p 帮 1 ，v z 叫 0 ( 2 2 3 ) 利用( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 可以推出 m l i mu g ( x , t ) = 1 ，vz q 0 ( 2 2 4 ) 因为q = 声，我们可以得到 u t ( o ，t ) e a u ( o , t + e 。札( 0 , t ) = 2 9 ( t ) 所以 t t - * t p 等g 2 ，i 艺j 故 t 哿p 搿g 现在由( 2 2 0 ) ，( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) ，我们得到在q 的任一紧子集k 上有下面的估计： h r a m i n f 甜等去， 这样定理2 2 1 证毕 u i 朋n s u p 甜等三 2 4定理2 2 2 的证明 ( 2 2 5 ) 令u 是问题( 2 2 ) 的爆破解，设其爆破时刻为t 由条件( a ) 和( a + ) ，利用定理2 2 1 中情形1 的证明方法，我们有 u t ( x ，) 7 7 妒( z ，) ( e a t ( z ，+ e z u ( z ，) ( z ，t ) q o o ，丁) ( 2 2 6 ) 所以 u t ( o ，t ) 砸( o ，t ) e q u ( o ，。? 7 多( o ，丁) e q u ( o ，0 t 正 ( 2 2 7 ) 因而 e a u ( o , t ) 葡丽南可，o t p 时，利用( 2 2 8 ) 我们有 g ( t ) = f o te f l u ( x t d t _ f o te f l u ( 。 t ) d t z t 丽丽蒜狄。 这样由命题2 2 1 ，我们就得到了s = o ) ，即问题( 2 2 ) 所有的爆破解都仅在原点爆破 当o t = p 时，我们将利用文献【5 3 】和【2 2 】中的方法来证明利用反证法，假设存在 2 7 0 0 ，i x o i i z + i ，使得x o 是解u 的爆破点，即x o s 令d = z q ：0 6 0 使得0 r 2 a r l 0 定 叫( 口；- y ) = z = ( z l ，x n ) 毫：a x l a + ，y ，0 巧 7 ，歹= 2 ， ， 并选取，y 充分小使得u ( o ；7 ) cd 现在考虑下而的函数： 其中 j ( x ，t ) = o w ( x ，t ) + p ( x ) e q ( x , t ) ， 0 o t 7 q 2 ，p ( x ) = s i n 注意到a p = - - f f 2 n p , 2 ，我们有 n ( x l a ) sin等k= 2 五一j = a lu t a u ) + o p c a “u t a u ) 一e a u a p 一2 q e 口 v p v u o 2 p e 口7 i v u l 2 o l e q u 0 1 u + 口7 p ( e ( q + a 7 ) u + e a u e 卢札 + ，。) ) + 警矿7 u + 2 q ，e q 7 u i v p v u l ，( 州) u ( 州) ( 咿) 因为 l v u l = l u l l - - i x l ( 伽) - 鬲r 1 弧i v p l 竿 且a 乱= j p e a ，缸，我们得出当( z ，t ) u ( o ；7 ) 0 ，t ) 时有 五一j 一( q e 伽一百2 7 r a t s n r l e a u ) ， - p ( x ) - p ( x ) ( c ( c o z q 7 ) e ( 叶口伽一o e n 7 u e 口u ( z ， 一q 7 1 e ( n + 口7 ) t 一o e ( a + ) 1 r 2 t 2 n a 7 冗l 1 r 2 沙“一事e o ，u ) 沙。一簪也) 由( 2 2 9 ) ，我们选取7 充分靠近t ，使得i n 屯( 啪) x ( r ，t ) u ( x ，t ) 充分大，从而 五一j 一( q e 口t 一2 n a 矿 s n r l e 口，u ) 了。，( z ，亡) u ( n ；7 ) ( 丁，丁) 又因为在。( 口；，y ) 中有0 1 u ( x ，7 i ) 0 使得 j ( x ，丁) = a , u ( x ，7 - ) + p ( z ) e a 7 t ( 卫，r 0 ，z “，( a ；，y ) 注意到在0 w ( a ；- y ) 上p ( x ) = 0 ，我们有 j ( x ，t ) = 0 1 u ( x ，t ) 0 ，( z ，t ) a u ( o ；，y ) ( 7 ，丁) 第1 5 页 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 对函数j 应用最大值原理得 y ( x ，t ) p ( z ) ，( z ，t ) u ( 口；1 ) ( 7 - ，t ) ( 2 3 3 ) 对任意的t ( 7 ，丁) ，在( 2 3 3 ) 的两边关于x l 在区间( a ，a + 7 ) 上积分得 一_ 务厂出， 3 4 ， t ( 口，z ，t ) e q 7 刁。 一、“7 “1 、。7 其中= ( z 2 ，z ) ，0 x j 7 ( j = 2 ，3 ，) 再利用( 2 3 4 ) 可得 出h 一岭等驴n 。 ( 2 3 5 ， 由( 2 2 9 ) 可知，当t _ t 时，( 2 3 5 ) 的左边趋于0 ，这就得到一个矛盾所以原点z = 0 是唯一的爆破点 当q 卢时，直接由( 2 2 ) 我们有 u d o ，t ) e a t l (