（应用数学专业论文）关于helmholtz方程的第三类混合边值问题解的研究.pdf

彳嚣 硕士学位论文 m a s t e r st t i e s i s o nt h es o l u t i o nt ot h eh e l m h o l t ze q u a t i o nw i t ht h et h i r d m i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s 3 0 rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y a ih a i h u a p o s t g r a d u t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r y a hg u o z h e n g a c a d e m i ct i t l ep r o f e s s o r 跳n a t u r e 耻 a p p r o v e d m a y2 0 1 1 5洲70 998训iii1iy 嚣 、 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s j s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 茧边彳日期：洲年厂月z 尸日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 意华中师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分 内容。 作者签名莹博缉 日期：加f 7 年r 月搿日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程一，同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章翟 中的规定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年；口一年；口二年发布。 作者签名：支妇绎 日期：勿f7 年厂月2 尸日 导师签 日期 ( ，月渺日 一| 垆 肜 a 一 门厂 乡年 轹训 签期师日 导 彳霄 、 硕士学位论文 m a s t e r st h e s j s 摘要 本文主要研究了环形区域上h e l m h o l t z 方程的第三类混合边值问题，即寻找 函数牡c 2 ( d 1 d 2 ) nc ( b 1 d 2 ) ，使其满足如下问题： i nd 1 d 2 o i lo d l o i lo d 2 ( 幸) 其中k 为正的波数，入1 ，入2 ( a 1 0 ) 为边界阻抗系数d 1 ，d 2 是r 8 ( s = 2 ，3 ) 中的有界闭区域，晚cd l ，并且8 d 1 ，o d 2 是俨光滑的，这里p 是o d l 和o d 2 上的单位外法向量 通过位势理论，问题( 率) 可以转化成一个等价的边界积分方程经过仔细计算， 应用f r e d h o l m 定理，我们得到了该边界积分方程解的存在和唯一性，从而可以 得到原问题( 木) 解的存在和唯一性为了求解得到的边界积分方程的数值解，我们 把其中的边界积分算子进行了离散化，最终得到了该边界积分方程的离散化形式， 从而可以应用计算机对相应的问题求其数值解 关键词：h e l m h o l t z 方程，f r e d h o l m 定理，边界积分方程，离散化 o ， g 忙? 一 炉从 执 + + + 缸c蔷一就一加 ，-ii-j、ill 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h et h i r dm i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh e l m h o l t z e q u a t i o ni na n n u l a rr e g i o n ，t h a ti st of i n du c 2 ( d 1 岛) nc ( d 1 d 2 ) s a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： 惫2 u = 0i nd l 岛 i a l u = | o no d a i a 2 u2go n0 0 2 ( 宰) w h e r e 庇i sap o s i t i v ew a v en u m b e r ，入1 ，a 2 ( a 1 0 ) i st h e b o u n d a r yi m p e d a n c e c o e f f i c i e n t d 1a n d 仍a r eb o u n d a r yc l o s er e g i o n si n 牙( s = 2 ，3 ) ，w ea s s u m e b o t h b o u n d a r i e so d aa n d0 0 2a r eb e l o n g i n gt o 俨w h e r e | ，i st h eu n i tn o r m a lv e c t o r d i r e c ti n t ot h ee x t e r i o ro fo d la n da 岛 b ya p p l y i n gp o t e n t i a lt h e o r y , t h ep r o b l e m ( 宰) c a nt u r ni n t oa ne q u i v a l e n t b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n a f t e rc a r e f u l l yc a l c u l a t e d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s so fs o l u t i o nt ot h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o ni se s t a b l i s h e de m p l o y i n gf r e d h o l m t h e o r e m s ow ec a ns o l v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt op r o b l e m ( 宰) i no r d e rt oo b t a i nn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n i ti s n e c e s s a r yf o ru st od i s c r e t et h eb o u n d a r yi n t e g r a lo p e r a t o r sf o rt h i se q u a t i o n ，f i n a l l y t h ed i s c r e t ef o r mo ft h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nc a nb er e f o r m u l a t e d t h u sw e c a ng e tn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e m ( 木) 诵t hc o m p u t e r k e y w o r d s h e l m h o l t ze q u a t i o n ，b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，f r e d h o l mt h e o r e m ， d i s c r e t es i m u l a t i o n i i ffffjjjiffjjliffiijiliiljjliiiljjiliiiililiiii + + + 舭乩一就一渺 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一节引言及主要结果 1 第二节预备知识 4 第三节存在性和唯一性 7 第四节积分方程的离散化1 1 参考文献1 6 致谢1 8 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言及主要结果 在现代物理中，声波和电磁波的散射是一个重要的研究课题它广泛地运用在 医学成像，无损探测和地球物理勘探等方面声波和电磁波的散射主要包括正散射 和逆散射这两个问题所谓正散射问题就是已知入射场和障碍物的相关信息，求解 散射场和散射场对应的远场模式从数学的角度来讲，即利用适当的方程和边界 条件来研究解的相关性质( 如解的存在性，唯一性，稳定性等) 关于这个问题的研 究已经有一百多年的历史了，其间有大量的数学家作出了贡献早在二十世纪初， s o m m e r f e l d 2 0 和m i i l l e r 1 6 就分别给出了声波和电磁波正散射问题的第一个唯 一性结果，随后他们的研究结果被r e u i c h 1 9 ，v e k u a 2 1 1 等人推广经过众多数学 家几十年的努力，正问题的适定性在一定程度上得到了解决，特别是在数值解方 面的研究上取得了一些不错的结果 正散射问题的研究一般有两种重要的方法：变分法和边界积分方程方法变 分法就是将定解问题转化为变分问题来求解这种方法对边界的正则性要求不是 很高，文献7 1 用的就是这种方法；边界积分方程方法就是利用单双层位势理论将 定解问题转化为等价的积分方程来求解它是研究边值问题的重要工具，不仅用 于声波和电磁波散射问题的研究，还在其它数学物理问题的研究中发挥着重要 作用相对于变分法，这种方法更容易让人理解，它可以给出解的具体表示关 于这种方法，文献f 2 忡c o l t o n 和k r e s s 给出了详尽的描述，还可以参考其它文 献( 【1 3 ，2 2 ，2 4 ) 所谓逆散射问题，就是由散射波的远场信息来确定散射体的形状或相关参数 从数学的角度来讲，即由解的部分信息来求定解问题中的其它信息( 如方程的系 数，定义的区域等) 相对于正散射问题来说，逆散射问题的研究要难得多，因为 它往往不仅仅是非线性的，而且是不适定的，即它的解不连续依赖于观测值也就 是说，在实际生活中，远场信息的小小扰动就会引起反演结果的很大偏差基于 这个难点，在很长一段时期内人们都没有注重这类问题的研究，而且有些人认为 研究不具备适定性的问题是没有意义的直到近三十年，由于实际应用的广泛性， 逆散射问题的研究才开始发展起来，到目前为止已经取得了很多丰富的结果逆 散射问题的研究方法有很多，一般采用正则化的方法【17 】，以及其它一些特别的方 法( 1 ，6 】) 一般情况下，声波和电磁波的散射问题的研究涉及到两类问题：一类是不可穿 透的障碍物散射问题假设d 是一个障碍物，它不可穿透，在时间调和的情况下， 声波的散射问题可以归结为h e l m h o l t z 方程关于区域d 的外问题这方面的结果 1 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 很多，可以参考文献f 9 和1 2 ；在时间调和的情况下，电磁波的散射问题可以归结 为m a x w e l l 方程关于区域d 的外问题( 【6 ，1 0 1 ) 另一类是可穿透的障碍物散射问 题对电磁波来说，这类问题很复杂( 见文献f 4 】) ；对声波来说，涉及到障碍物d 的 内部和外部，在边界a d 上还必须要有适当的条件( f 1 3 ，2 2 ) 从可穿透障碍物的声波散射问题中演变出一类相关的问题，即h e l m h o l t z 方 程的混合边值问题这类问题近年来有很多人研究例如，1 9 9 7 年，k r u t i t s k i i ，p a 在f 1 1 1 中研究了二维空间上h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 混合边值问题，作者用边 界积分方程方法解决了该问题的存在性2 0 0 1 年，f i o r a l b ac a k o n i ，d a v i dc o l t o n 和p e t e rm o n k 在f 5 】中研究了h e l m h o l t z 方程关于区域d 的外混合边值问题和 内混合边值问题，作者结合变分法和边界积分方程方法证明了这两类问题解的 存在性和唯一性2 0 0 5 年，东南大学的刘继军在f 13 】中研究了h e l m h o l t z 方程混合 边值问题中d i r i c h l e t t o - n e u m a n n 映射的相关性质，作者分别用格林定理和边界 积分方程方法证明了该问题解的存在和唯一性随后，2 0 0 7 年，王海兵和刘继军 在f 2 2 1 中首先用相同的方法研究了多重非连通区域上的h e l m h o l t z 方程混合边值问 题解的存在和唯一性，然后用n y s t r o m 方法讨论了原问题的数值解解法2 0 0 8 年， 严国政在2 3 1 中研究了环形区域上h e l m h o l t z 方程的混合边值问题解的存在和唯一 性，用的方法也是边界积分方程方法 参考以上文献，本文主要讨论了环行区域上h e l m h o l t z 方程的第三类混合边 值问题，即寻找函数钍c 2 ( d l d 2 ) nc ( d 1 d 2 ) ，使其满足如下问题： i nd l d 2 o no d l o i la 岛 ( 1 1 ) 其中南为正的波数，a 1 ，a 2 ( a l 0 ) 为边界阻抗系数d 1 ，玩是兄5 ( s = 2 ，3 ) 中的有界闭区域，d 2cd 1 ，并且o d l ，o d 2 是俨光滑的，这里是o d l 和o d 2 上的单位外法向量 本文是在文献f 1 3 1 和 2 2 】的基础上，将边值条件作了一些改变，其解题过程要 难一些据我所知，我这个边值条件没人研究过，这也许算是本文的一点创新之处 吧同时我研究的这个问题有很广泛的应用，比如在地球物理勘探中( 见 1 4 ，1 5 】) 在本文中，首先研究问题( 1 1 ) 的唯一性关于唯一性的证明主要有两种方法： 一种方法是运用椭圆方程的唯一延拓原理，另一种方法是运用格林定理来证明本 文采用的是第二种方法，证明思路为：运用格林第二定理和h o l m g r e n 唯一性定 理，通过证明原问题的齐次问题只有零解从而得到原问题的唯一性( 具体证明过程 2 忙 一 一 口o l 2挑m 沈 缸钆一就一抄 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 见定理3 1 ) 需要说明的是，唯一性对波数k 和阻抗系数的要求是很严格的如果 七为复数，它的虚部小于o ；或者a 1 ，a 2 都大于0 ，那么原问题的唯一性是不成立的 关于解的存在性证明主要采用边界积分方程方法关于这种方法的具体运用 也有多种途径一种是用单层位势逼近边界的方法，一种是用双层位势逼近边界的 方法，还有用单双层位势组合或格林公式逼近边界的方法本文是参考 1 3 ，2 2 】中 的方法：先用格林公式把原问题( 1 1 ) 的形式解表示出来，然后用位势理论把它转 化成一个等价的2x2 阶的边界积分方程( i a ) 皿= x 通过证明a 为紧算子， 可知该方程为第二类f r e d h o l m 的积分方程最后应用f r e d h o l m 定理得到了该边界 积分方程的存在唯一性，也就证明了原问题的存在性( 具体证明过程见定理3 2 ) 本文的最后一部分是讨论边界积分方程的离散化，最终目的是求出该边界积 分方程的数值解关键是要将其中的积分算子离散化为了实现这项工作，我们首 先把这些积分算子表示成含参量的积分形式对于具有连续核的算子性质比较好， 我们直接运用引理3 1 进行参数化；对于具有奇性核的算子的参量表示，我们还要 用到核函数的奇性分解式最后参考文献 3 中的非正常积分的近似估计，我们得 到了该边界积分方程的离散化形式，从而可以应用计算机求其数值解在这部分 里，本文没有研究数值计算的结果，只对其积分方程进行了离散化，关于数值计 算的实例可参考文献( 【3 ，1 3 ，2 2 ) 本文的安排如下： 第一部分为引言部分，介绍本文的研究背景和相关的研究结果 第二部分为准备工作，给出一些重要的定义和定理如格林公式，h o l m g r e n 唯一性定理，单双层位势定义等 第三部分是文章的两个主要结果：一是用格林定理和h o l m g r e n 唯一性定理得 到解的唯一性( 见定理3 1 ) ；二是用边界积分方程方法得到解的存在性( 见定理3 2 ) 第四部分是将第三部分得到的积分方程离散化，最后离散化的结果见( 4 x 0 ) 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备知识 为了证明i = - jj 题( 1 1 ) 解的存在性与唯一性，参照文献f 2 】和【3 】给出以下需要用到 的定理和定义 引理2 1 ( 格林第一定理) ：设d 为彤( s = 2 ，3 ) 上的有界区域，o d 俨，y 是a d 上的单位外法向量若乱，口俨( 西) ，则 上c 乱 + v 孔v 秽，出= z 。让幽 引理2 2 ( 格林第二定理) ：设d 为r 3 ( s = 2 ，3 ) 上的有界区域，o d 俨， 是c g d 上的单位外法向量若让，秽轳( d ) ，则 n ( u a v - v a u 肛厶c u 一口 引理2 3 ( 格林公式) ：设d 为r 5 ( s = 2 ，3 ) 上的有界区域，o d c 2 ，l ，是 a d 上的单位外法向量若仳c 2 ( 西) ，且u 在d 内满足h e l m h o l t z 方程，则 巾) = 厶【锱咖h 帮，。 引理2 4 ( h o l m g r e n 唯一性定理) ：设u 俨( 舻西) n c l ( r 3 d ) ，且u 在 r 3 d 上满足h e l m h o l t z 方程若钆在边界o d 上的ca u c h y 值等于0 ，那么让兰0 引理2 5 ：设d 为辟( s = 2 ，3 ) 上的有界区域若边界o d 伊，则对o d 上 的所有z ，可，存在一个正常数厶使得 ( ( 可) ，z 一可) l l l x y 1 2 ，l ( p ( z ) 一( y ) l l i x y i 吣川= 篓蛐： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 7 已知d 为r 8 ( s = 2 ，3 ) 上的有界区域，设a d 俨，妒仁) 是连续 的则 钍( z ) = 妒( 可) 垂( z ，可) d s ( y ) ，o r 。c o d 出) = 厶比) 帮d s ( 趴z 咄m 分别称以妒为密度的单层位势和双层位势，跳跃关系如下： 警= 厶咖) 帮d s ( 可? 呼1 川o d 其中 吐栌f a d 比) 帮似舭刊1 ，z ec o d 等( 小= 脚叫咖r 砌u ( z 士叫硼 啦( z ) ：= l i m b - o + v ( x 士九王，( z ) ) 引理2 8 已知d 为殿( s = 2 ，3 ) 上的有界区域，o d c 2 ，a 是从c ( c o d ) 到 c ( o d ) 的积分算子，一且 ( a c p ) ( x ) ：= g ( x ，y ) q o ( y ) d s ( y ) ，z a d j 8 d 若积分算子a 的核函数g ( x ，y ) 是连续或弱奇性的，则a 是c ( o d ) 上的紧算子， 这里需要说明的是，若核函数g ( x ，y ) 对于o d 上所有的z ，y ，当z 时 是连续的，同时存在常数m ( m 0 ) 和q ( 0 ，8 】使得对o d 上所有的z ，! ，当 z 夕时不等式 l k ( z ，可) l m i x 一可l 口一。 成立，则k ( z ，矽) 是积分算子a 的弱奇性核 在下面的问题中，我们会用到两种基本算子：单层位势算子和双层位势算子， 它们的紧性也是我们要弄清楚的在这里，我们只证明三维空间上这两个算子的 紧性，对于二维的情形可类似证明 首先我们讨论边界a d 上的单层位势算子 r ( s 妒) ( z ) ：= 2 妒( 夕) 圣( z ，y ) d s ( y ) ， z o d j8 d 5 、 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由定义2 6 可知 1 。i k l z - y l 圣( 训) 2 赤两 又因为七 0 ，所以 ，y ) l 。研南，z 可 根据上述定义和引理2 8 可知单层位势算子( s 妒) ( z ) 是c ( o d ) 到c ( o d ) 上的紧算 子下面我们来证明双层位势算子的紧性 (眦)：2fop妒(可)错ds(矾zodd【，工，l 可j 双层位势算子的紧性证明要比单层位势复杂，它需要先证明另一个算子( a 妒) ) 的紧性 、 ( a 妒) ( z ) ：= ( k 妒) ( z ) + ( 妒) ( z ) ，z o d 其中 ( 酬= 2 厶岫) 帮蛐”出川= 南) 由引理2 5 可知，存在常数l 0 ，使得 l 帮| 一| 雠犁 南 由上述定义和引理2 8 可知算子( 娲妒) ( z ) 为从c ( o d ) 到c ( o d ) 上的紧算子， 同理可证( a 7 妒) 0 ) 也是从c ( o d ) 到c ( o d ) 上的紧算子，所以双层位势算子 ( k 如妒) ( z ) 是c ( o d ) 上的紧算子( f 2 ，t h l 4 】) 6 ffjijffjjiijfjjjifijljjiljjlijliiiii 第三节存在性和唯一性 一解的唯一性 在讨论解的存在性之前，我们首先来研究它的唯一性本文采用格林第二定理 和h o l m g r e n 唯一性定理来证明问题( 1 1 ) 的唯一性 定理3 1 ：当a 1 0 时，h e l m h o l t z 方程混合边值问题( 1 1 ) 最多有一 个解 证明设让是( 1 1 ) 的齐次问题的一个解，则u 的共轭面满足下面的齐次问题： i nd l d 2 ， o na d l o i la d 2 因为札，面在d 1 西2 上都满足h e l m h o l t z 方程，所以 t 正西一瓦u = 0 自然下面积分式成立 上，、百：( u - 一- 岫o ， 由于入1 0 ，从( 3 1 ) 可知 2 i a 2 衅d s ( x ) = 0 ， ，别9 2 由入2 0 推出 ui a d 2 = 0 7 = 一 舻以 认 + 一 一 缸魂一端一抄 ，j(1-【 f 雹、 硕士学位论文 m a s 下e r s 丁h e s i s 再由边值条件可得 宴：u ：o ，z o d 2 瓦2 u 5 u ，z 2 由h o l m g r e n 唯一性定理可得到u 兰0 i nd 1 西2 此齐次问题只有零解，所 以混合边值问题( 1 1 ) 最多有一个解定理得证 由定理3 1 可知，如果原问题( 1 1 ) 的解存在，则它一定被( f ，g ) 唯一决定，u l o d ，u l a a 也是唯一的 二解的存在性 现在来证明问题( 1 1 ) 的存在性关于存在性的证明主要有两种方法：一种是 变分法，另一种是边界积分方程方法( f 6 ，1 3 ，2 2 ) 在f 6 】中作者运用位势理论将原问 题转化为第一类f r e d h o l m 的积分方程来证明它的存在性；在【1 3 和【2 2 】中作者用 另一种边界积分方程方法，即用位势理论将原问题转化为第二类f r e d h o l m 的积 分方程来证明本文参考【1 3 】和【2 2 的方法来证明唯一性这种方法运用起来比较简 单，最后得到的积分方程里的算子也相对少一些，为后面作方程的离散化带来方 便在这部分的证明中，我们要用到一个重要的定理，即f r e d h o l m 定理 引理2 9 ( f r e d h o l m 定理) ：设x 为一个赋范线性空间，a ：x x 是一个线 性紧算子如果齐次方程 西一a 圣= 0 只有零解西= 0 ，则对x 上的任意函数，非齐次方程 圣一a 圣= ， 存在唯一解西x ，且这个解连续依赖于， 对应考虑的问题( 1 1 ) ，我们有如下存在性结果： 定理3 2 ：当a 1 0 ，( ，g ) c ( c g d l ) c ( o d 2 ) 时，h e l m h o l t z 方 程混合边值问题( 1 1 ) 存在唯一解。 证明对z d 1 西2 ，我们运用格林公式可得 出) = 厶，【船咖m 帮 一劢锱咖h 错】d s 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 心) = o 氅攀一厶，f 帮州洲岫酬( 3 - 2 ) 谄帮“：圣高，u 黝- r o d 2 g ( y ) 圣( x , y ) d s ( 们。2 o d a ：= z = 2 + h v ( z ) ，z o d l ，h 其中 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s m ( s ，亡) = i i k n ( 幻脚( s ) 一 ( t ) 】帮( 日i = 一硪”) ( s ，t ) = 兰毹1 ( 打( s ，t ) ) ，r ( s ，t ) = i h ( s ) 一h ( t ) l ， 佗( t ) = ( 吃( t ) ，一九j ( t ) ) 2i h ) i ( ) ) 核函数h ( s ，t ) 和m ( s ，t ) 在s = t 处不解析，参考文献【3 】，它们的奇性分解 竺篙竺2甭8-tg(s tl n ( 4 s i n 篡? 心2 ， i ，) = 1 ( s ，t ) 2 等) + 2 ( s ，t ) m ( 8 ，t ) ：善一去n ) 胁( s ) 一九( 功】帮，s 亡， 【0 ， s = t ， 吼( s ，t ) ： 一j o ( 七r ( s ，t ) ) ，s ! ， j 蚴，= 去帮， 1 呦：兰一譬二姜h 掣， c 为欧拉常数有了这些知识准备，下面可以进行我们的主要工作了在积分 方程( 3 5 ) 中，k o d l ，8 d 1 q - i a l s o d l ，8 d 1 ，g 0 0 2 ，a d 2 + i a 2 岛d 2 ，o d 2 ，s o d l ，a d l f 和2 ，a d 2 9 这四个算子是具有弱奇性核的非正常积分，其它都是正常积分我们首先来处理非 正常积分，根据引理3 1 ，假设a d l 和o d 2 的参量方程为： 所以 o d l = z ：= 危( 1 ) ( s ) ，s 【0 ，2 7 r 】 ，0 d 2 = z ：= 危( 2 ) ( 8 ) ，s f 0 ，2 7 r 】 缸( z ) = 札( ( 1 ) ( s ) ) ， z o d l ， u ( z ) = ：u ( h ( 2 ) ( s ) ) ， z 0 d 2 1 2 硕士学住论文 m a s t e r st h e s ! s “同时我们定义 w l ( s ) ：= u ( ( 1 ) ( s ) ) ，w 2 ( s ) ：= u ( h ( 2 ) ( s ) ) ( s ) ：= ，( 九( 1 ) ( s ) ) ，厶( s ) ：= ，( 九( 2 ) ( s ”， g l ( s ) ：= 9 ( ( 1 ) ( s ) ) ，仍( s ) ：= 夕( 九( 2 ) ( s ) ) 基于以上定义和两个算子表达式【4 1 】，( 3 5 ) 中的非正常积分可表示为 ，2 百 ( 1 4 f a d l , 8 d ，+ t a l ，8 d ，) u = 【m 1 ) ( s ，t ) + i a l ( 1 ) ( s ，t ) l 磁1 ) o ) l 】伽1 ( t ) 出， ，2 r ( j r b ，a 现+ i a 2 & 慨，锄) 让= 【坂2 ) ( s ，t ) + i a 2 ( 2 ) ( s ，亡) l 九：2 ) ( t ) i 】t ，2 ( t ) 班， j 0 ，2 霄 踮- 加，2 z ( 1 ) ( 印) 肿) l 九：) ( t ) l d t ， ，2 霄 ：，8 d 。夕= ( 2 ) ( s ，t ) 眈( t ) ) ( t ) l d t ， ，0 这里m 1 ) ( s ，t ) 表示在m ( 8 ，t ) 中另( 危( 1 ) ( s ) ，危( 1 ) ( 亡) ) = ( ( s ) ， ( 亡) ) 的表达形式， 皈2 ) ( s ，t ) 表示在m ( s ，t ) 中令( ( 2 ) ( s ) ， ( 2 ) ( t ) ) = ( ( s ) ，h ( 芒) ) 的表达形式( 1 ) ( s ，t ) 和【2 ) ( s ，t ) 同样如此利用( 4 2 ) 中的分解式地。 ，z 1 0 (ko。，+tals如，)仳：厂孙ln(4sin2下s-t8d 8 dl n ( 4 s i n ) 【 氟1 ) l ( s ，t )d ，+ t a l s 幻，) t 正= 下) 【 氟1 ) l ( s ，) ，0 + i 入1 ( 1 ) 1 ( s ，t ) ) ( 伽伽1 ( t ) 出 + 【m 1 ) 2 ( s ，t ) + t a 2 ( 1 ) 2 ( s ，t ) l 磁1 ) ( t ) l 】伽1 ( t ) 出 ，u ( 4 3 ) ( 硒。，：+ t a 2 。，：) 钍：广下s - t o d 8 dl n ( 4 s i n 2 ) 【m 2 ) 1 ( s ，亡)( 硒。，：+ t a 2 。，：) 钍= _ 广) 【m 2 ) 1 ( s ，亡) - ，0 托入2 ( 2 ) 1 ( s ，t ) 喊2 ) ( t ) l 】伽2 ( t ) 疵 + 【m 2 ) 2 ( s ，t ) + t a 2 ( 2 ) 2 ( s ，t ) ) ( t ) i 】她( t ) 出 加 ( 4 4 ) a d l ，= z 2 ：。i n 。( 4 s i n 2t s - t ( s 蝴凇m 凇( 4 5 ) + ( 1 ) 2 ( s ，t ) f i ( t ) l h 1 ( t ) l d t ： 颈士学位论文 m a s t e r st h e s i s s 8 d t ? 8 d 2 92 h 2 ( t ) l d t ( 4 6 ) 现在我们考虑积分方程( 3 5 ) 中的正常积分离散化通过直接计算，我们得到 r 2 1 r ( ，o d ，+ i a 2 s o d ：，) t 正= 慨0 ，t ) + i a 2 g 2 ( s ，z ) 】叫2 ( t ) 出 ，o ( ，她- 陆蒯u = z 2 霄 i - 1 1 ( 刚) + i $ l g l ( s 出 s 幻：，阳，9 = g 2 ( s ，t ) 9 2 ( t ) d t ， ，2 霄 ，o 这里核函数 锄，= z 孙g 1 ( s 肌) 出 c 1 ( s ，t ) = 三日5 ( k l h ( 2 ) ( s ) 一危( 1 ) ( t 帆，删， g 2 ( s ，t ) = 主日5 1 1 ( kj h ( ，) ( ) 一h ( 2 ) ( 洲 矾) i ， 日1(s，t)=萼n-)【(2)(s)一九(，)】帮， 脚一= 知) e ) ( s ( 2 ) 】帮， 其中 r l ( s ，t ) = l 危( 2 ) ( s ) 一九( 1 ) 0 ) l ，r 2 ( 8 ，t ) = l ( 1 ) ( s ) 一九( 2 ) ) 竹1 ( t ) ，他( t ) 分别表示o d l 和o d 2 上的法向量 ( 4 7 ) 在( 4 3 ) 一( 4 7 ) 中，只有具有核l n ( 4s i n 2 专2 ) 的积分是非正常的，其它都是正常 积分，参考【3 】，下面给出非正常积分的近似估计： 脚“l n ( 4 s i n 2s - t 州驰薯删， i 引1 。2 ，2 乞n - 12 1 钐) 1 4 ( 4 8 ) jljlflljlflfjljliijlflfjljiilijlililljliliilillllililiilii 如文 夕 l ， 现 如 b 舭砭 i 2 嘞 s 一 毛 n 口 ； h 新 知z厂“ f o 、 ： 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 其中 r y ( s ) = 1 薹去( s 刊+ 1 吣刮) ( 4 9 ) 在【4 8 】中，第一个估计式是运用最小二乘法得到的，第二个估计式是梯形公式其 中勺= 鲁，j = 0 ，1 ，2 n 一1 运用( 4 8 ) 和( 4 9 ) ，经过仔细计算，最后我们得到积 分方程( 3 5 ) 的离散化形式 硼1 ( s t ) + 【2 丌霹( s i ) ( m o ) l ( s i ，8 j ) + i a l 8 0 ) l ( s i ，) l ：1 ) ( 勺) l 】掣1 ( 勺) + 。i r 【、，$ t ，勺) + i a l ( 1 ) 2 ( & ，勺) l ：1 ) ( 勺) i 】叫l ( 勺) 一三【皿( s t ，s j ) + i a 2 g 2 ( s i ，s j ) 】t ) 2 ( 勺) 叫2 ( s t ) = 一f 2 丌霹( s t ) m ，) ，( s ，勺) ( 彤) l 危；，) ( 岛) l 】 + 詈g 2 ( s i ，勺) 夕2 ( 岛) 一e 三 叙1 ) 2 ( s t ，勺) ( s j ) l 危；1 ) ( ) i 一【2 7 r 曰( ) ( m ( 2 ) 1 ( s i ，s j ) + i 入2 ( 2 ) 1 ( s t ，勺) 峨2 ) ( 勺) i 加2 ( 勺) - e 嚣 m 2 ) 2 ( 鼠，彤) + i a 2 n ( 2 ) 2 ( 8 i ，勺) i 危：2 ) ( 勺) i 耽( 勺) + e 詈【日1 ( s t ，s j ) + i a l g l ( s t ，s j ) 】伽1 ( s j ) = 【2 7 r 碍( s t ) m 2 ) ，( s t ，岛) 夕2 ( s j ) i 。) ( s j ) i + 蠢m 。) 2 ( s t ，勺) 夕2 ( 勺) j 危：2 ) ( 岛) i 一詈g 1 ( s t ，劫) ( 彤) ( 4 1 0 ) 这里i = 0 ，1 2 2 n 一1 ， 歹= 0 ，1 ，2 2 n 一1 因此问题( 1 1 ) 的解最终归结为求 有限维线性方程( 4 1 0 ) 的数值解给定离散的，和9 ，我们可运用计算机求出 让( z ) i 阳，和让 ) i 锄，然后通过格林公式最终求出问题( 1 1 ) 的解 1 5 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】j , b 1 6 h b a u m ( 19 8 9 ) o p t i m i s a t i o nm e t h o d sf o ra l li n v e r s ep r o b l e mw i t ht i m e - h a r m o n i ce l e c t r o m a g n e t i cw a v e s a ni n v e r s ep r o b l e mi ne l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g i n v e r s ep r o b l e m5 ：4 6 3 - 4 8 3 【2 】d c o l t o na n dr k r e s s ( 1 9 8 3 ) i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d si ns c a t t e r i n gt h o e r y w i l e y - i n t e r s c i e n c ep u b l i c t i o n ，n e wy o r k 【3 】d c o l t o na n dr k r e s s ( 1 9 9 8 ) i n v e r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g t h e o r y ( 2 n de d ) ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy 0 r k 【4 】d c o l t o na n dr k r e s s ( 1 9 9 0 ) t i m eh a r m o n i ce l e c t r o m a g n e t i cw a v e si ni n h o m o - g e n e o u sm e d i u m p r o c i 如y a ls o c e d i n b u r g h1 1 6a ：2 7 9 - 2 9 3 【5 】f c a k o n i ，d c o l t o na n dp m o n k ( 2 0 0 1 ) t h ed i r e c ta n di n v e r s es c a t t e r i n gp r o b - l e m sf o rp a r t i a l l yc o a t e do b s t a c l e s i n v e r s ep r o b l e m s ，17 ：1 9 9 7 - 2 0 1 5 【6 】f c a k o n ia n dd c o l t o n ( 2 0 0 3 ) t h el i n e a rs a m p l i n gm e t h o df o rc r a c k s i n v e r s e p r o b l e m s ，1 9 ：2 7 9 - 2 9 5 【7 】f r a n c kh e t t n c h ( 1 9 9 4 ) f r e c h e td c r i v a t i v ei ni n v e r s eo b s t i c a ls c a t t e r i n g i n v e r s e p r o b l e m 1 4 ：2 0 9 - 2 1 0 【8 】华东师范大学数学系编数学分析，高等教育出版社，1 9 8 4 年第2 版 【9 】金朝蒿求解三维h e k n h o l t z 方程外边值问题的一种新的边界积分方程法重 庆建筑大学学报1 9 9 5 ，0 1 【1 0 w k a n u f fa n dr k r e s s ( 1 9 7 9 ) o nt h ee x t e r i o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e t i m e - h a r m o n i cm a x w e l le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 7 2 ：2 1 5 - 2 3 5 。 【1 1 】k r