（应用数学专业论文）基于中心投影的不变特征提取.pdf

目录 摘詈 i a b s t r a c ：t i i 第一章引言l 1 1 选题的意义。l 1 2 国内外研究现状1 1 2 1 基于轮廓的方法l 1 2 2 基于区域的方法2 1 3 本文的主要工作3 第二章基于中心投影的f o u r i e r 描绘子4 2 1 引言。4 2 2 中心投影及f o u r i e r 描绘子4 2 2 1 中心投影4 2 2 2f o u r i e r 描绘子。6 2 3 基于中心投影的f o u r i e r 描绘子8 2 4 实验结果及分析ll 2 a 1 英文字母识别一l l 2 4 2 汉字识别l3 2 5 本章小结1 4 第三章仿射不变的中心投影小波描绘子l5 3 1 引言1 5 3 2 中心投影的性质1 5 3 2 1 中心投影的仿射变换特性1 6 3 2 2 鲁棒性分析1 9 3 3 中心投影小波描绘子2 l 、3 3 1 仿射不变参数2 l 3 3 2 基于小波的仿射不变特征提取2 2 3 4 实验结果及分析2 4 3 a 1 小波基、采样点对c p w d s 的影响分析。2 5 3 4 2 识别能力测试2 8 3 a 3 鲁棒性测试 3 4 4 与a m i s ，m s a 方法比较3 2 3 4 5 计算复杂度分析。3 2 3 5 本章小结。3 3 第四章总结与展望。3 5 4 1 本文小结3 5 4 2 未来展望3 5 致谢：3 7 摘要 图像不变特征提取是图像处理、模式识别、计算机视觉等领域的热点问题，并有着广泛的应 用。现有算法大体可分为两类：基于轮廓的方法和基于区域的方法。前者只利用目标轮廓，计算 量小且易实现，但一般不适于山多部分组成的物体( 如一些汉字等) ；而后者利用图像上所有像 素，提取的不变量更能反映图像特性，但计算量大且对背景噪声敏感。 本文考虑将区域方法和轮廓方法结合，利用中心投影变换将目标转化为一条闭曲线，对得到 的闭曲线利用轮廓的方法提取不变特征。中心投影变换在某个角度上沿着半径方向对图像进行积 分，能够保留图像在该半径上的局部信息；随着角度的变换，所得闭曲线又能够体现图像的全局 信息。利用中心投影将区域方法和轮廓方法结合，既能减少计算量又可提取有效的不变特征。 主要结果如下： ( 1 ) 提出基于中心投影变换的f o u r i e r 描绘子。原始的中心投影变换仅考虑旋转不变，本 文所构造描绘子将中心投影和f o u r i e r 描绘子结合，使其同时具有平移、旋转、尺度不变的特性。 对5 2 个英文字符及7 0 个相似汉字的实验表明了该描绘子的有效性。 ( 2 ) 证明了图像经中心投影所得闭曲线能保持仿射变换的结论，给出一种基于中心投影的 仿射不变特征提取算法。为建立仿射变换下的点对应，对中心投影变换所得闭曲线进行参数化； 为提取仿射不变景，对参数化后的闭曲线进行平稳小波变换；与此同时也分析了算法的复杂度。 对1 0 5 个商标图像、8 1 个汉字，2 6 个大写英文字母等的实验表明，该算法能有效提取不变特征， 计算复杂度低，与传统方法m s a ，a m i s 等相比对噪声具有较强的鲁棒性。 关键词：不变特征提取，中心投影，f o u r i e r 描绘子，仿射变换 a b s t r a c t t h ee x t r a c t i o no fi m a g ei n v a r i a n tf e a t u r ei sah o tt o p i ci nt h ef i e l do fi m a g e p r o c e s s i n g ，c o m p u t e rv i s i o n , p a t t e r nr e c o g n i t i o ne t c ，a n dh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s n e f e a t u r ee x t r a c t i o na p p r o a c h e sc a nb em a i n l yc l a s s i f i e di n t ot w om a i n c a t e g o r i e s ： c o n t o u r - b a s e dm e t h o d sa n dr e g i o n - b a s e dm e t h o d s n 圮c o n t o u r - b a s e dm e t h o d se x t r a c t f e a t u r e sf r o mt h ec o n t o u ro n l y , a n di t si m p l e m e n t a t i o ni se a s ya n di tt a k e ss m a l lc a l c u l a t i o n c o m p l e x i t y b u tt h e s em e t h o d sa r eu s u a l l yn o ta b l et oa p p l yt ot h eo b j e c t s 、j ，i ms e v e r a l s e p a r a b l ec o m p o n e n t s ( 1 i k es o m ec h i n e s ec h a r a c t e r s ) o nt h eo t h e rb a n d , t h er e g i o n - b a s e d t e c h n i q u e st a k e a l lp i x e l sw i t h i nas h a p er e g i o ni n t oa c c o u n tt oo b t a i nt h e s h a p e r e p r e s e n t a t i o n 硼臆d e 打v e df e a t u r e sc a nr e f l e c ta l lt h ei m a g ec h a r a c t e r i s t i c s h o w e v e r , t h e s em e t h o d sa r eu s u a l l ya tt h ee x p e n s eo fh i g hc o m p u t a t i o n a ld e m a n d sa n ds e n s i t i v et o n o i s ei nt h eb a c k g r o u n do ft h ei m a g e i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s ean o v e lm e t h o db yc o m b i n i n gt h ec o n t o u r - b a s e dm e t h o d s 、析mr e g i o n - b a s e dm e t h o d sf o r i n v a r i a n tf e a t u r ee x t r a c t i o n ac l o s e dc o n t o u rc a nb e d e r i v e df r o mt h eo b j e c tb yc e n t r a lp r o j e c t i o nt r a n s f o r m a t i o n ( c p t ) ，a n dt h e nd i f f e r e n t i n v a r i a n tf e a t u r e sa r ee x t r a c t e df r o mt h i sc l o s e dc o n t o u r b yp e r f o r m i n gp r o j e c t i o na l o n g t h el i n ew i t hs p e c i f i ca n g l e s ，t h i sc o n t o u ri sa b l et or e f l e c tt h er e g i o ni n f o r m a t i o no ft h e i m a g e m e a n w h i l e ，t h eg l o b a li n f o r m a t i o no ft h ei m a g ei sp r e s e n t e da st h ea n g l ec h a n g e s ，n l cp r o p o s e dm e t h o dt a k e sl e s sa m o u n to fc a l c u l a t i o nc o m p l e x i t ya n dc a ne x t r a c te f f e c t i v e i n v a r i a n tf e a t u r e s m a i nr e s u l t so f t h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) p r o p o s ean o v e lf o u r i e rd e s c r i p t o r sb a s e do nc p t t h eo r i g i n a lc p tm e t h o di s c o n s i d e r e dt oe x t r a c t sr o t a t i o ni n v a r i a n tf e a t u r e so n l y n ep r o p o s e dd e s c r i p t o r sa r e i n v a r i a n tt os h i 屯r o t a t i o na n ds c a l i n gw a n s f o r m a t i o nb yc o m b i n i n gf o u r i e rd e s c r i p t o r s w i t hc p tm e t h o d t oc o n f i r mt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dd e s c r i p t o r s ，5 2e n g l i s h l e t t e r sa n d7 0s i m i l a rc h i n e s ec h a r a c t e r sa r eu s e di nt h ee x p e r i m e n t s ( 2 ) 1 1 l ea f f i n ei n v a r i a n c eo ft h ec l o s e dc u r v ed e r i v e db yc p th a sb e e np r o v e d , n a m e l y t h ea j 五m et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt h ec l o s e dc u r v e si st h es a m ea f f m et r a n s f o r m a t i o n b e t w e e nt h et r a n s f o r m e di m a g e s w ea l s op r o v i d ea na l g o r i t h mt oe x t r a c ta f f m ei n v a r i a n t f e a t u r e sm a k i n gu s eo ft h ed e r i v e dc u r v e 1 1 1 ec u r v ei sf i r s tp a r a m e t e r i z e dt oe s t a b l i s ha o n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e np o i n t su n d e ra 丘m et r a n s f o r m a t i o n 1 1 1 e 甜五i l e n i n v a r i a n tf e a t u r e sa r ed e r i v e df r o mt h ec l o s e dc u r v ea f t e rs t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r n l t h e c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yo ft h ea l g o r i t h mi sa l s od i s c u s s e d i nt h ef o l l o w i n ge x p e r i m e n t s ， 10 5t r a d e m a r ki m a g e s ，81c h i n e s ec h a r a c t e r sa n d2 6c a p i t a ll e t t e r sa r eu s e dt oe v a l u a t et h e p r o p o s e dd e s c r i p t o r s c o m p a r e dt om s a a n da m i s ，t h ep r o p o s e dm e t h o dn o to n l yc a n e f f i c i e n t l ye x t r a c ti n v a r i a n tf e a t u r e sw i t hl o w e rc o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yb u ta l s oi sr o b u s t t on o i s e k e yw o r d s ：i n v a r i a n tf e a t u r ee x t r a c t i o n ，c e n t r a lp r o j e c t i o n ，f o u r i e rd e s c r i p t o r s ，a 伍n e t r a n s f c i r i l l i i i 第一章引言 1 1 选题的意义 第一章引言 视觉是人类感觉中最高级的，人们从外界环境获取的所有信息中，8 0 来自视觉，其它2 0 来自触觉、听觉、嗅觉等感觉器官。因此，作为信息重要载体的图像在人类感知中起着重要的作 用，是直观性最强的信息表达形式。于是，随着计算机技术和网络的发展，数字图像处理科学已 经成为计算机科学、信息科学、工程学、生物学、医学甚至社会科学等领域中各学科之间的学习 和研究的对象，并在这些领域中得到成功的应用。 在数字图像处理中，许多问题都可以归结为特征提取和识别问题 1 ，2 ，如图像分类和检索、 人脸识别、目标跟踪和检测、手势识别、姿态估计等等。如果能有效地从复杂的图像中提取出一 些本质特征，就可以极大地简化后续的图像处理问题。而大多数有意义的特征提取问题都是在自 然场景和复杂背景下的，其目标的检测和识别难度很大，因为此类图像信息通常是在不同时问、 不同视角和不同天气条件下获得的，图像存在平移、旋转、尺度和光照变化，在这种情况下，提 取出稳定的、鲁棒性强的不变特征就显得尤为重要 3 。 根据利用信息的程度，图像不变特征提取方法可分为全局不变特征提取和局部不变特征提取 【4 】。全局不变特征提取方法假设背景已经去除掉，图像上仅存在需要分析的物体。而局部不变特 征提取只利用图像局部区域信息构造不变量。本文主要研究图像全局几何不变特征提取算法。在 没有特别指出的情况下，后文中提到的不变特征提取均指图像全局不变特征提取。 1 2 国内外研究现状 从不同的角度考虑，图像不变特征提取算法有许多种分类方式。目前比较认同的分法是根据 特征从轮廓还是整个区域提取，分为基于轮廓的方法和基于区域的方法【5 ，6 】。下面，我们介绍关 于图像不变特征提取的国内外研究现状。 1 2 1 基于轮廓的方法 基于轮廓的方法，首先进行轮廓提取，将图像上的物体用一个二维序列表示，然后进行特征 提取。f o u r i e r 描绘子和小波描绘子是最具代表性的两种方法。f o u r i e r 描绘子通常包含相似不 变的f o u r i e r 描绘予【7 】和仿射不变的f o u r i e r 描绘子【8 】两种。他们的区别在于对轮廓的参数化方 法不同。前者只需进行等弧长重采样，后者需要根据仿射弧长进行参数化。由于基于多分辨分析 1 南京信息工程大学硕十学位论文 的小波能够在粗尺度给出轮廓的全局信息，在细尺度上给出局部信息。许多研究者对轮廓进行小 波变换，构造一系列小波函数【9 1 3 。f o u r i e r 描绘子和小波描绘予都是直接从仿射变换后的轮廓 提取不变特征，还可以先对变换后的轮廓进行白化变换，将其转化为典型形式，这时仿射变换被 简化为一个旋转变换。根据这个思路，提出了一些不变特征提取方法 1 4 1 9 。 基于轮廓的方法易于理解，计算量比较小。同时，也存在一些问题。首先，基于轮廓的方法 非常依赖轮廓提取的结果。其次，该方法只能应用于单一轮廓的物体，极大制约了它的应用范围。 在许多情况下，如许多字符图像，通常由许多部分组成或者外围轮廓是非常相似的。如图1 1 所 示，我们给出了汉字“海”、“国”、“因”的图像及其轮廓。可以发现，“海”字的轮廓由一些闭 合曲线组成，而“国”和“因”的轮廓几乎是一样的。最后，在一些应用中，图像的内容要比轮 廓特征更重要 5 3 。 圈国团 ( a )( b )( c ) 田田口 ( d ) 1 2 2 基于区域的方法 ( e ) ( d 图1 1 汉字及其轮廓 与基于轮廓的方法不同，基于区域的方法利用图像上所有的点提取不变特征。不变矩是最常 用的图像全局特征。在1 9 世纪科学家b o o l e ，c a y l e y 和s y l v e s t e r 工作之上，h u 成功地将矩不变 量应用到图像分析、模式识别领域，并成功提出了7 个几何不变矩【2 0 】。之后，提出了许多矩不 变量，如连续正交矩 2 1 2 3 ，复数矩 2 4 ，2 5 ，小波矩 2 6 ，2 7 ，旋转矩 2 8 2 9 ，离散正交矩 3 0 ，3 1 】 等等，而这些矩不变量很多都不是完全仿射不变的。j a nf i u s s e r 等通过代数不变性理论得到的仿 射不变矩 3 2 3 4 ，以及z h a n g w e iy a n g 等结合解析几何的性质构造的交叉权矩【3 5 】，是完全仿射 不变的。e s ar a t h u 等人利用多尺度自卷积变换的方法提取不变特征，是一种完全仿射不变的特征 2 第一章引言 提取方法 3 6 ，3 7 。另外，有人已经提出一些基于图像投影的不变特征提取方法，但这些方法用到 的投影算法，如r a d o n 变换 3 8 - 4 0 ，t r a c e 变换 4 1 - 4 3 等等，不能保持图像的仿射变换特征。 基于区域的方法有很完善的理论基础，在许多领域得到应用。然而，基于区域的方法由于利 用图像所有像素点，且最终不变量通常由一些低阶不变量组合而得到的，故计算复杂度比较大。 另外，许多基于区域的方法对背景上的噪声点是非常敏感的。 1 3 本文的主要工作 本文主要研究基于中心投影变换的图像不变特征提取算法。中心投影变换由y u a n y a nt a n g 、 y ut a o 等人提出，成功地用于字符的旋转不变特征提取【4 4 - 4 7 】。利用该投影变换，既能实现数据 降维，又能将多部分组成的物体转化为一个闭合轮廓。本文深入分析中心投影变换的性质，证明 其能够保持图像的仿射变换，对噪声有较好鲁棒性，并提出了两种基于中心投影变换的特征提取 算法。 全文内容安排如下： 第一章介绍图像不变特征提取的意义及国内外研究现状； 第二章提出基于中心投影变换的f o u r i e r 描绘子，证明该描绘子具备平移、旋转、尺度不变 性，并通过实验验证其有效性。 第三章深入分析中心投影变换性质，证明其能保持图像的仿射变换及对噪声的鲁棒性。对 参数化后的投影曲线进行平稳小波变换，提取图像仿射不变特征。通过一系列实验 检验了该描绘子。： 第四章总结本文工作，并提出今后研究方向。 3 南京信息工程大学硕：t = 学位论文 2 1 引言 第二章基于中心投影的f o u r i e r 描绘子 中心投影变换是由y u a n y a nt a n g 、y ut a o 等于2 0 0 0 年提出的一种图像降维方法，可以将大小 为m n 维的图像压缩为一条二维闭合曲线，是一种非线性数据降维方法。除了数据降维外， 中心投影变换的另一特点是能将由多部分组成的物体转化为一条闭合曲线。特别的，由于是一种 基于内容的图像投影，它能够比较好的区分图1 1 ( b ) 、( c ) 所示的外轮廓相同的汉字。因此， 基于中心投影的这一特性，我们尝试着将中心投影变换与经典的轮廓表示方法f o u r i e r 描绘子结 合起来，提出基于中心投影变换的f o u f i e r 描绘子，推广原f o u r i e r 描绘子的应用范围。本章2 2 节 介绍中心投影变换算法及f o u r i e r 描绘子，2 3 节介绍基于中心投影的f o u r i e r 描绘子，证明这种 描绘子具有平移、旋转、尺度不变的性质，2 4 节给出实验结果，最后给出结论。 2 2 中心投影及f o u r i e r 描绘子 2 2 1 中心投影 2 2 1 1 定义 考虑定义在区域d 上的某二值图像，( 工，y ) ，d ocd 为待识别的对象，则有： r 1 地卜t o o ，j ，) d o 瓴力诺d o 设目标区的质心为m ( ，y o ) ，该质心可由如下一阶矩计算而得： ( 2 1 ) = 靛誊一业1 1 1 ( x , 塑y ) 出d y 。 包2 ， h 一可丽叫。一。 u 。 目标区中各像素与质心m 的最大距离为r ： r 2 ( 聪i ( y ) 一m ( x o ，圳， ( 2 3 ) 这里l 伍y ) 一m ( ，y 。) i 表示平面上点，n d o 和质心聊的欧几里德距离。进一步，以m 点 为新的坐标原点，根据以下关系将原直角坐标系转化为极坐标系： 4 第章基于中心投影的f o u r i e r 描绘子 ( 2 4 ) 其中，re 【0 ，r 】，秒【o ，2 石卜i eg ( r ，印为原图像在极坐标下的表示。 对任意角度0 ，计算如下积分： 厂( 曰) = r g ( ，o ) d r 。 ( 2 5 ) ( 口) 实际上是角度口上图像各像素的灰度值累加和，上式称为中心投影变换。u ( d ，口) 是在极 坐标系下的一条闭合曲线。需要指出的是，若某个角度上，g ( r ，秒) 恒为1 ，则有厂( 印= r 。此 时中心投影变换的结果即为最大半径。可见，厂( 乡) 是方向o j ：不为零的点组成的线段的总长度。 这个长度可以转为为坐标，这样就建立起灰度值和坐标之问的关系。 当图像上的物体形状是凸的时，中心投影所得的曲线就是其轮廓。于是，我们给出如下定义： 定义l ：x 寸q ：- - 幅图像，称经中心投影变换所得的闭曲线： u ( 口) ，0 ) 0 0 ，2 万】) 为目标图 像l ( x ，y ) 的广义轮廓，记为o l 。 ( a )( b ) ( c )( d ) 图2 1 图像及其广义轮廓：( c ) 、( d ) 分别为字母“a ”、汉字“海”的广义轮廓。 5 而 + + 口口? 5 | r ， = = j y ，l 南京信息工程大学硕士学位论文 2 2 1 2 讨论 实际中，许多不同的目标具有相同的轮廓，另一方面一个目标可能由多部分组成，轮廓类方 法无法直接运用。而中心投影变换可从任何目标中抽取广义轮廓，这样经中心投影后，任何目标 都可进行轮廓分析了。例如图2 1 ( a ) 显示的英文字母“a ”有空洞，而图2 1 ( b ) 是中文字符“海” 是由几部分构成。图2 1 ( c ) 和( d ) 给出了( a ) ，( b ) 的广义轮廓。可以看到目标被转化成为一 个整体模式，提取出一个独特的轮廓。 特别的，在中心投影变换中，从目标质心出发将对半径上的像素进行积分，目标内部的一些 形状信息就可以在广义轮廓中得到保留【4 5 】。这个性质对外轮廓相同的汉字特别有效。我们以下 面2 0 个相似汉字为例，来说明对于这一类汉字广义轮廓较一般轮廓的优越性： 圄圃圆囹囡囤囚固囤囫囝困围圈团图圆园因国 首先，我们提取上述汉字的轮廓，结果见图2 2 ( a ) 。观察发现，这些轮廓菲常相似，有些 甚至只相差一个平移或者尺度变换。相应的，我们对上述汉字进行中心投影变换，提取其广义轮 廓，结果见图2 2 ( b ) 。不难发现，广义轮廓问的差异较图2 2 ( a ) 中的轮廓大得多。为了更好 的观察两组曲线间的差异，分别对2 2 ( a ) 、( b ) 所示的轮廓规范化之后，用主成分分析法( p r i n c i p a l c o m p o n e n ta n a l y s i s ，p c a ) 【4 8 】将所有曲线的维数降到2 ，然后在平面上显示出来，结果见图2 2 ( c ) 。可以发现，汉字轮廓的点被分为2 类，每一类的点都紧密聚在一起。而所有广义轮廓的点 都分散比较开，彼此间差异比较大。 对若当变换( r a d o nt r a n s f o r m ) 的研究可知，积分算子对噪声有较好的鲁棒性 3 9 , 4 0 。在中 心投影变换中，沿径向方向对g ( r ，p ) 进行积分，故较少的受到噪声的影响。然而。在积分过程 中没有考虑像素的坐标信息，必然会造成信息的丢失。因此，在一些情况下，广义轮廓可能会降 低原轮廓的可区分程度。如图2 3 ( a ) 、( b ) 所示的两个明显不同的形状，它们的广义轮廓，如 图2 3 ( c ) 、( d ) 所示，几乎是相同的。 2 2 2f o u r i e r 描绘子 f o u r i e r 描绘子是物体形状边界曲线的傅里叶变换系数，它是物体边界曲线信号的频域分析 的结果 7 。根据f o u r i e r 变换的性质，对变换得到的f o u r i e r 系数进行归一化，就能得到具有 平移、旋转、尺度不变的f o u r i e r 描绘子。f o u r i e r 描绘子建立在成熟的f o u r i e r 分析基础之上， 易于实现 4 9 。实验也表明，在各种典型形状识别方法中，f o u r i e r 描绘子具有最佳的形状识别性 能 5 0 。 6 第二章基于中心投影的f o u r i e r 描绘子 ( a )( b ) ( c ) 图2 2 ( a ) 2 0 个相似汉字的轮廓；( b ) 2 0 个相似汉字的广义轮廓；( c ) 对( a ) 、( b ) 所示曲线 进行p c a 降维之后曲线的分布 0o ( a ) ( c ) ( b ) ( d ) 图2 3 形状及其中心投影曲线：( c ) 、( d ) 分别为图c a ) 、( b ) 的广义轮廓。 7 南京信息工程大学硕士学位论文 在计算图像的f o u r i e r 描绘子前，将目标分割并获得其轮廓坐标序列： 撕) 儿) ) ，t = o ，1 ，2 n - l 。为计算f o u r i e r 描绘子，将轮廓点b ( f ) ，儿) ) 表示为复数形式 弓= 工o ) + 纱o ) ，t = 0 , 1 ，2 n l 。将这些复数进行f o u r i e r 变换，第七个f o u r i e r 变换系数为： 乙= z 。p 2 椭，k = 0 ，1 ，2 n l ， ( 2 6 ) 则f o u r i e r 描绘子由f o u r i e r 变换系数以如下方式得到： q 之= i i 小2 乩 ( 2 7 ) i i i 其中去掉z o 以消除平移影响，取模能够消除旋转变换，系数除以l z l i 能够去除尺度变化 5 1 。 2 3 基于中心投影的f o u r i e r 描绘子 f o u r i e r 描绘子无法应用于带有空洞( 如英文字母“a ”，“b ”等) 或者由多部分组成( 如汉 字中的“识”等) ，而中心投影变换能将这些物体转化为一个闭合轮廓。很自然地想到将它们结 合起来用于不变特征提取。不难发现，基于中心投影变换的f o u r i e r 描绘予依然保持原f o u r i e r 描绘予的平移、旋转和尺度不变性。 命题：由中心投影所得单一轮廓的f o u r i e r 描绘予具有平移、旋转和尺度不变性。 证明：中心投影得到一个二元关系( 口，( 口) ) ，它将任一目标转化为一个轮廓，该轮廓上的点 在以质心为原点的直角坐标系中坐标满足： 髓粥 眩8 ， 当物体是凸状且具有单轮廓即仅由一部分组成时，中心投影曲线即为物体轮廓，此时基于中 心投影的f o u r i e r 描绘子显然具有平移、旋转和尺度不变性。当物体是凹陷或有空洞或由多部分 组成时，其基于中心投影的f o u r i e r 描绘子同样具有平移、旋转、尺度不变性。不失一般性，本 文仅给出有空洞情况下的证明，其余情况类似可证。 为方便描述，平面上的坐标点对( z ，y ) 用复数来表示，即z = x + l y 。如图2 4 所示，假设某 圆形物体上有一个三角形空洞，其中d 为质心，点彳，b ，c 分别对应于：云，云，一z c 。特别 的，若彳，b ，c 三点重合，投影的结果即为通常的轮廓点。设在角度伊中心投影结果对应的点 为乏，则有： ”q 一乙 + 一 一 一8 一乃 第童茎主：堂丝墅笪! 型竺垫丝至 一 一一 jl y 厂 c 衿 、 ，i 图2 4 带三角形空洞的圆形物体 故物体经过中心投影可得一复数列 i ) ，f _ 0 i 1 一，n 一1 。下证由 i ) 计算的f 。u r i e r 描绘子具 有平移、旋转和尺度不变性- ( 1 ) 平移不变性 因为中心投影变换以物体质心为原点，故平移影响被消除。 ( 2 ) 旋转不变性 旋转变换相当于乘以一个模为1 的复数口细，即有云= 云p 佃，一z e 。= 一z b e i ，, 乏= z c e i ，, 其中i ， 乏乏为点彳，b ，c 旋转之后对应的点。则有： 乏；云一乏+ 一。：咿( z c 一一z s + z s ) ：p 坤亏(210)z,t e z 4 z 一= z c z 量+ = 。 一一c 二口 其中云为旋转前的投影点i 旋转之后对应的点，其对应的离散f o u r i e r 变换系数为： 窆( 一z e 以别：e 徊窆一z o e _ 2 砌， 1 , 2 1 1 ) 1 以砌州= e 咿 。2 “州 = m - - - 0 由于l i = l ，因此只需将上式取模即可将旋转因素去掉。 ( 3 ) 尺度不变性 尺度变换可以看作是每个元素都乘以一个常数c ，同前可类似证明a 证毕 我们对图2 5 ( a ) 所示“海一字进行如下变换：平移，旋转，尺度，上述三种变换的结合， 结果如图2 5 ( b ) ( e ) 。计算图2 5 所示图像基于中心投影的f o u r i e r 描绘子，对应结果如图2 6 所示。在每一幅图中，显示了比较大的3 0 个系数。可以观察发现，图2 6 所示的描绘子几乎是完 e - 桐4 的。验证了该描绘子的平移、旋转和尺度不变性。 9 南京信息工程大学硕士学位论文 ( a )( b ) ( d ) ( e ) ( c ) 图2 5 汉字“海”在不同变换下的图像：( a ) 原图；( b ) 平移；( c ) 旋转：( d ) 尺度； ( a ) ( e ) 平移、旋转、尺度变换的结合 ( d ) ( b ) ( e ) ( c ) 图2 6 图2 5 所示各图像的基于中心投影变换的f o u r i e r 描绘子 1 0 第二章基于中心投影的f o u r i e r 描绘了： 2 4 实验结果及分析 本节中，我们进行一些实验来检测基于中心投影的f o u r i e r 描绘子。对图像进行相似变换， 并考虑噪声、遮挡情况下的识别结果。由于中心投影变换将坐标原点移到物体质心，已经去除了 平移影响，故本实验主要考虑旋转和尺度变换。实验中将提出的方法与h u 提出的7 个几何矩不 变量进行对比，并采用最近邻分类器进行识别。7 个几何矩不变晕按如下公式计算而得 5 2 ： 死= ，7 2 0 + ， 九= ( 刁加一，7 0 2 ) 2 + 4 r h 2 , ， 九= ( ，7 一3 r 1 2 ) 2 + ( 3 ，7 2 l - r 0 3 ) 2 ， 九= ( + i 1 2 ) 2 + ( ，7 2 l + ，7 0 3 ) 2 ， 九= ( ，7 - 3 r 1 2 ) ( ，7 3 0 + r 1 2 ) 【( 7 7 3 0 + r 1 2 ) 2 3 ( 刁2 l + ，7 0 3 ) 2 】+ ( 3 刁2 l 一，7 0 3 ) ( ，7 2 l + ，7 0 3 ) 【3 ( ，7 + r h 2 ) 2 一( ，7 2 l + t 0 3 ) 2 】， 九= ( ，7 2 0 一，7 0 2 ) 【( ，7 3 0 + r 1 2 ) 2 一( ，7 2 1 + ，7 0 3 ) 2 + 4 r 1 l ( 叩3 0 + r 1 2 ) ( ，7 2 1 + r 0 3 ) ， 鸡= ( 3 ，7 2 1 - r 0 3 ) ( 7 7 3 0 + 1 1 2 ) 【( 7 7 + r 1 2 ) 2 3 ( 刁2 l + ，7 0 3 ) 2 】+ ( 3 刁1 2 - t 3 0 ) ( ，7 2 l + ，7 0 3 ) 【3 ( ，7 3 0 + ，7 1 2 ) 2 一( ，7 2 l + ) 2 】， 其中，巩为规范化之后的中心矩 2 4 1 英文字母识别 以5 2 个大小写英文字母( t i m e sn e wr o m a n 字体) 为实验对象进行识别。首先用大写字母“a ” 的图像来检验基于中心投影的f o u r i e r 描绘子对旋转、尺度变换的不变性。分别对图像做如下三 种变换： ( 1 ) 变换l ：以l o 为步长，将图像由0 。旋转至3 6 0 。； ( 2 ) 变换2 ：以0 0 l 为步长，对图像进行从0 4 倍到2 5 倍的尺度变换； ( 3 ) 变换3 ：任意旋转口角度、尺度变换c 倍的1 0 0 次变换，其中口【0 ，2 万) ，c 【0 4 ，2 5 】。 我们利用如下相对误差来衡最原图像、变换之后图像问的特征差异： e ( t , , t 2 ) = 锗 q 1 2 l l 南京信息工程大学硕士学位论文 其中，z 。，z ，为原图像、变换之后图像的特征，1 1 4 | 为向景的2 。范数。图2 7 ( a ) 、( b ) 、( c ) 分 别给出了在以上三种变换下，图像间相对误差的大小。可以看出，对于旋转变换。提出的描绘子 是比较精确的，相对误差大部分都小于0 0 3 。而对于尺度变换，当图像比较小时，相对误差是相 对比较大些，最高达到了0 1 。对于较大的尺度变换，相对误差要小一些。对于变换3 的随机变 换，相对误差整体还是比较小的。 下面利用所有的字母进行识别实验。对每个字母进行上述变换3 ，共得到5 2 0 0 幅图像，进行 特征提取并识别。同样考虑噪声的影响，我们对变换后的图像加入噪声密度由0 0 0 5 到o 0 3 的椒 盐噪声。图2 7 ( d ) 给出了对应的识别率。可以看到虽然受到噪声影响，但提出的描绘予依然保 持比较高的识别率，而h u 的几何矩的识别率随着噪声的增大而降低。 ( a )( b ) ( c )( d ) 图2 7 ( a ) 原图像与旋转之后图像问的相对误差；( b ) 原图像与尺度变换之后图像闻的相对误 差：( c ) 原图像与旋转、尺度交换之后图像问的相对误差：( d ) 5 2 个大小写字母图像加入不同噪 声的识别率。 1 2 第章基于中心投影的f o u r i e r 描绘子 2 4 2 汉字识别 以图2 8 所示的7 0 个相似的汉字为对象进行识别。与英文字母识别类似，先对每幅汉字图像 做上述变换3 ，然后加入不同密度的椒盐噪声。实验结果如图2 1 0 ( a ) 所示。可以发现虽然测试 集中包含非常相近的汉字，但是提出的描绘子依然保持比较高的识别率。而不变矩方法对汉字的 结果，比字母图像的识别结果要差一些。 此外，我们还考虑遮挡对图像的影响。首先给出了遮挡率r 的计算方法： ， r = w m d o w ， ( 2 1 2 ) l 孵 其中，拥出为遮挡窗口的长度，k 孵为图像的长度。图2 9 给出了汉字“海”在遮挡率为o 0 5 ， o 1 ，o 1 5 时的图像。实验中，对变换之后的图像进行不同程度的遮挡，遮挡窗口在汉字上随机选 取。图2 1 0 ( b ) 给出了，7 由0 0 2 5 到o 1 5 的识别结果。可以发现不变矩方法对遮挡非常敏感， 当遮挡率为0 0 2 5 ，识别率下降了接近2 0 。随着遮挡率的增大，识别率下降幅度更快。而对于 提出的描绘子，当遮挡率大于o 0 5 后，识别率下降得有些明显。这是因为遮挡会引起质心的偏移， 从而较大程度改变图像的广义轮廓，影响特征提取。 圜圜圜圆圆圜目目日日 目国国圆圆四目目目曰 圜圜圜圜圜圜园圜囝圜 圆圆团圆圆圆圆囫圆囫 圆圆囫囫圆回囫圆圆圆 囫回回圆圆团圆囫圆圆 圆囫囵囫回圆圆圆圆圆 图2 8 实验所用7 0 个相似汉字 1 3 南京信息工程大学硕士学位论文 ( a )( b )( c ) 图2 9 受不同程度遮挡的汉字，( a ) 、( b ) 、( c ) 的遮挡率分别为0 0 5 ，o 1 ，o 1 5 。 ( a )( b ) 图2 1 0 ( a ) 、( b ) 分别为汉字图像在不同密度噪声、遮挡率下的识别率 2 5 本章小结 本章将f o u r i e r 描绘子与中心投影变换相结合，利用中心投影变换将有空洞或多部分组成的 物体投影为一封闭曲线，以该曲线计算f o u r i e r 描绘子，证明其同样具有平移、旋转、尺度不变 的性质，扩大了原f o u r i e r 描绘子的应用范围。用本文提出的方法，对5 2 个英文字符及7 0 个相 似汉字字符进行识别实验，验证了其有效性。 1 4 第三章仿射不变的巾心投影小波描绘子 3 1 引言 第三章仿射不变的中心投影小波描绘子 近年来，图像仿射不变特征提取算法研究引起了越来越多的关注。在计算机视觉、图像处理、 模式识别的许多应用，如基于图像的目标检测与识别、遥感图像几何校正与配准、图像检索等等， 往往需要从多幅不同视点获取的图像中提取相同的特征量，并以此特征最作为后续处理的基础。 当摄像机从不同的视角拍摄时，图像会发生一定程度的几何形变。如果物体到摄像机的距离远远 大于物体的大小，那么图像的这种几何形变可以用仿射变换近似 9 。因此，图像仿射不变特征 提取是众多技术领域的共性问题，同时也成为了解决这些领域其它问题的基础，具有非常深远的 研究意义和广阔的应用价值。 在上一章中，我们将中心投影变换与f o u r i e r 描绘子相结合，提出了一种平移、旋转、尺度 不变的描绘子。然而，该描绘子不是