（应用数学专业论文）具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究.pdf

学位论文独创性声明 l i i ii ii iii11 1 11i ii11 11； y 18 9 0 212 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：廑整盐 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 莨量壶 指导教师签名： 、 1 ， 孓鬯 签名日期：年月 一 - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ 。_ 。- 。_ _ 。1 。 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 近年来随着科学技术的发展和社会的进步，人类对自然的无止境探索使得无论是海 洋生态系统还是大陆生态系统，均遭到极大的破坏，其中人类不合理开发自然资源是主 要诱因。生物数学的快速发展使得越来越多的生态及自然资源的开发与保护问题可以通 过建立数学模型来进行分析和研究。本文以脉冲微分动力系统为基础，首先在近海污 染日益严重的背景下，建立了海洋渔业资源捕获与管理模型；其次考虑到人类在农 业方面对杀虫剂的不合理利用造成的环境污染及资源浪费，建立了合理的害虫治理 模型。 首先详细介绍了本文的研究背景。 第一章考虑到污染环境下脉冲扩散对种群的影响，建立了一个在连续污染环境 中具有最优捕获策略的近海捕鱼模型，给出了正周期解存在性及平凡周期解和正周 期解全局渐近稳定性的充分条件：进一步给出了近海连续污染下的最优捕获策略， 得到了最大持续产量和相应的捕获努力量。 第二章考虑到近海受到严重的污染的情况下，在脉冲污染环境中研究了不均衡 脉冲扩散现象对远海渔业资源的影响。基于最优捕获策略，对在不同固定时刻具有 脉冲污染和脉冲扩散效应的l o g i s t i c 远海捕鱼系统进行了分析，得到了系统正周期 解的存在性及平凡周期解和正周期解的全局渐近稳定性的充分条件，并进一步给出 了远海捕获的最大持续产量及相应的捕获努力量。 第三章以农业害虫治理为背景，当害虫的成虫和幼虫总数达到一定的临界值时，通 过释放天敌和喷洒农药使得害虫的数量不超过经济危害水平，建立了一个状态依赖的害 虫治理模型。利用半连续半动力系统以及微分方程定性理论定义了后继函数，讨论了阶 一周期解的存在性与吸引性。 此外，在每章最后都用m a t l a b 和m a p l e 等数学软件进行了数值模拟，进一步证明 了本文理论结果的正确性。 最后，对本文进行了总体的总结。 关键词：渔业捕获模型；害虫治理模型；脉冲扩散；污染；阶一周期解 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 m a t h e m a t i c a ls t u d yo nt h em a n a g e m e n to f e c o l o g i c a l r e s o u r c e sm o d e lw i t hp u l s ee 艉c t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h es c i e n t i f i ca n d t e c h n o l o g i c a ld e v e l o p m e n ta n ds o c i a lp r o g r e s s ， b o t hc o n t i n e n t a la n dm a r i n ee c o s y s t e m sh a v eb e e ns e r i o u s l yd e s t r o y e d ，a n di t si m m e d i a t e c a u s ei su n r e a s o n a b l e e x p l o i t a t i o n o fn a t u m lr e s o u r c e s 、m t ht h e r a p i de x p a n s i o no f m a t h e m a t i c a lb i o l o g y , m a t h e m a t i c a lm o d e l sa r eu s e dt os t u d ym o r ea n dm o r ep r o b l e m so f p r o t e c t i o n a n dd e v e l o p m e n to fe c o l o g i c a la n dn a t u r a lr e s o u r c e s b a s e do n i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m ，i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , d u et ot h ef a c tt h a to f f s h o r ep o ll u t i o ni s g e t t i n gm o r ea n dm o r es e r i o u s ，a c q u i s i t i o na n dm a n a g e m e n tm o d e l so fm a r i n ef i s h e r y r e s o u r c e sa r e e s t a b l i s h e d s e c o n d l y , t a k i n ge n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o na n dt h ew a s t eo f r e s o u r c e sb r o u g h ta b o u tb yc h e m i c a lp e s t i c i d e si n t oc o n s i d e r a t i o n ，w ee s t a b l i s hr e a s o n a b l e p e s tm a n a g e m e n tm o d e l s f i r s t , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g e i nc h a p t e rl ，w ec o n s i d e rt h ee f f e c t so fi m p u l s i v ed i f f u s i o no nt h es p e c i e si nap o l l u t e d e n v i r o n m e n ta n dc r e a t ea no p t i m a li n s h o r e f i s h e r ym o d e li nac o n t i n u o u sp o l l u t e d e n v i r o n m e n t t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o na n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fb o t ht h et r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o na n d t h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n m o r e o v e r , i nac o n t i n u o u sp o l l u t e de n v i r o n m e n t ，t h eo p t i m a l h a r v e s t i n gp o l i c y i s g i v e nf o rt h ei n s h o r es u b p o p u l a t i o n ，w h i c hi n c l u d e st h em a x i m u m s u s t a i n a b l ey i e l da n dt h ec o r r e s p o n d i n gh a r v e s t i n ge f f o r t i nc h a p t e r2 ，c o n c e r n i n gt h ep o l l u t e de n v i r o n m e n ti ni n s h o r ea r e a sa n dt h ee f f e c t so f u n b a l a n c e di m p u l s i v ed i f f u s i o nb e t w e e ni n s h o r ea n do f f s h o r ea r e a so nt h es i z eo ff i s h p o p u l a t i o n ，b a s e do no p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c y , al o g i s t i co f f s h o r ef i s h e r ys y s t e mw i t h i m p u l s i v ep o l l u t a n ti n p u ti ni n s h o r ea r e a sa n di m p u l s i v ed i f f u s i o na td i f f e r e n tf i x e dt i m ei s f o r m u l a t e d ，a n dw ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so fs u c has y s t e m t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e o b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fb o t ht h et r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n m o r e o v e r , t h e m a x i m u ms u s t a i n a b l ey i e l da n dt h ec o r r e s p o n d i n gh a r v e s t i n ge f f o r ta r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，i no r d e rt oc o n t r o la g r i c u l t u r a lp e s t s ，w ee s t a b l i s has t a t e - d e p e n d e n tp e s t m a n a g e m e n tm o d e l w h e nt h en u m b e ro fb o t hi m m a t u r ea n dm a t u r ep e s t sh a sr e a c h e da d a n g e r o u sl e v e l ，t h en a t u r a le n e m i e sa r ed i s t r i b u t e d ，m e a n w h i l e ，t h ep e s t i c i d e sa r es p r a y e d w em s e a r c ht h ee x i s t e n c ea n da t t r a c t i v i t yo fo r d e ro n ep e r i o d i cs o l u t i o n b yu s i n g s e m i d y n a m i c a ls y s t e ma n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o nq u a l i t a t i v et h e o r y m o r e o v e r , a tt h ee n do fe a c hc h a p t e r , b yu s i n gm a t h e m a t i c a ls o f t w a r es u c ha sm a t l a b n 辽宁师范大学硕士学位论文 a n dm a p l ew eg i v e s o m en u m e r i cs i m u l a t i o nr e s u l t sw l a l c l 2c o n i l r mt h em e o r e u c a 1 c o n c l u s i o n s f i n a l l y , w eg i v e a no v e r a l lc o n c l u s i o n k e yw o r d s ：h a r v e s ti n g m o d e lo ff i s h e r y ；p e s t c o n t r o lm o d e l ；i m p u l si v e d i f f u si o n ： p o l l u t i o n ；o r d e ro n ep e r i o d i cs o l u t i o n i i i 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 目录 摘要i a b s t r a c t i i 弓i言l l 在连续污染环境中具有最优捕获策略的近海捕鱼模型的动力学性质4 1 1 模型和引理4 1 2 有界性及其周期解的存在性与稳定性。6 1 3 最优捕获策略l0 1 4 讨论及数值模拟1l 2 在脉冲污染环境中具有最优捕获策略的远海捕鱼模型的动力学性质1 4 2 1 模型的建立及相关引理14 2 2 系统( 2 1 5 ) 的动力学性质一1 6 2 3 最优捕获策略2 0 2 4 讨论及数值模拟2 1 3 状态依赖的害虫治理模型的动力学性质研究2 4 3 1 模型的建立2 4 3 2 定义及引理2 5 3 3 系统( 3 1 2 ) 的阶一周期解的存在性2 9 3 4 系统( 3 1 2 ) 的阶一周期解的吸引性3 2 3 5 讨论3 5 结论3 6 参考文献3 7 攻读硕士学位期间发表学术论文情况4 0 致谢4 1 i v 辽宁师范大学硕士学位论文 己l吉 j _ 口 数学建模是当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查 研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和 语言，把它表述为数学式子，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实 际的检验而微分方程模型是数学模型的一个重要分支，我们利用它来建立种群动力学 模型并研究种群与种群以及种群与环境之间关系；利用它来研究一些生态现象，从 而达到对某些生态问题的控制随着科学技术水平的发展，人类生存所依赖的大自 然却正一点点的被啃食，这导致出现了越来越多的生态问题，比如说时而爆发的虫 灾，日益严重的环境污染等都不断困扰着人类本文根据海洋不同情况的污染对渔业 资源开发利用的影响及虫灾爆发的不同特点，建立了具有脉冲效应的可再生资源管 理与利用和害虫治理模型 目前，由于现代工业的快速发展，使得海洋环境受到严重的污染，这已经成为一种 重要的海洋生态问题大量的污染物排放到海洋当中，使得许多海洋生物濒临灭绝或是 已经灭绝例如墨西哥湾的石油泄漏事故，这是历史上最严重的一次泄漏事件，导致像 稀有的鸟类和哺乳类等海洋生物濒临灭绝环境污染与生物种群和需消耗环境资源的生 产活动紧密相关因此，在环境污染下，基于最大持续产量的可再生资源管理已经成为 研究生物种群动态的一个重要分支【l 2 j 管理的目的就是要生物资源可以提供持续的生 产，不应该被过度的开采当然，我们希望生产力能够处于一个较高的可持续发展水平 渔业资源是一种重要的可再生资源，为了追求渔业资源的最大产量和最高经济效益，这 需要系统的有效的管理【3 1 在生物学和社会经济学领域，除了追求最大产量外，也有一 些新的目标被提出来渔业资源管理的预期目标包括生物产量的供应，鱼类种群的保护 和经济效益的提高等等尽管我们已经了解鱼类种群的动力学行为，但是要把高产量的 目标付之于行动仍是非常复杂，非常困难的。但是其中的一些进展还是被广泛地应用到 了经营控制理论中在可再生资源管理方面，c l a r k | 4 捌已经提出了丰富的理论知识，这 就是资源保护理论的根源。关于单种群鱼类系统的最优捕获策略已经被广泛的研究【s 7 】 通常鱼类种群的模型都是逻辑斯蒂模型【引，关于逻辑斯蒂模型，无论是连续的捕获 g j o 】还 是脉冲的捕获i n - 1 3 】，它的最优捕获策略都已经被大量的学者所研究，在理论上得到了最 大持续产量和相应的收获努力量但是，在近年的海洋环境污染日益严重的情况下，在 这些工作中，鱼类的空间分部与迁徙均被忽略 1 4 , 1 9 】 事实上，当我们准备建立数学模型来对海洋渔业资源的开发策略进行理论研究时， 为使模型的描述生长在海洋中的某种鱼群的生长规律，我们应该将该种鱼群分为近海和 远海两部分讨论【4 16 1 近海鱼群分布密度是明显有别于远海鱼群的正是由于近海鱼群 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 的开发成本低于远海鱼群的开发成本，导致了近海鱼群被过度捕捞然而近海与远海鱼 群仍然是存在一定的联系一个显著的特征是远海鱼群经常要浮游到近海来产卵繁殖， 这是近海鱼和远海鱼之间的一种扩散现象这使得鱼类种群的动力学行为变的更加复 杂我们在安排海洋渔业资源的开发方案时，有必要建立近一远海模型进行讨论 4 j 5 1 特 别地，文1 4 1 曾对近远海渔业开发模型进行了研究，但是在该模型中假设迁徒运动是连续 不断发生的，且扩散系数是相同的但是在实际中，种群的扩散常常是季节性的或是有 规律的脉冲式的所以，模型中的连续扩散项将被脉冲项取代又由于当今，海洋环境发 生了巨大变化，近海海域污染非常严重，导致了远近海的扩散系数也是不同的事实上 每个应用科学领域内都能找到这类方程在b a i n o v 和他合作者的书中有大量的例子和 相关理论0 7 j s l 最近，脉冲扩撒方程被引入到种群生态学【1 9 1 ，接种疫苗 2 0 1 和疾病的化 学疗法【2 1 】等动力学系统中陈和董【1 3 】建立了无污染环境中的近一远海渔业模型，该模型 考虑的是脉冲扩散和捕获，并且假定近海和远海的扩散系数是相同的他们获得了近海 鱼的最优捕获策略，包括最大持续产量和相应的收获努力量在本论文中，首先研究的 是在近海中带有脉冲扩散和连续污染物排放的近海鱼模型然而，由于近海鱼群的开发 成本低于远海鱼群的开发成本，导致了近海的过度捕捞，使得近年来近海鱼群的数目和种 类急剧减少因此，在第三部分，把近海污染引入到具有脉冲扩散的远海鱼模型中，研 究污染物对鱼类种群持续生存的影响 2 2 1 为了使模型更合理，假定近海和远海鱼的扩散 系数是不同的为了获得最大的捕获量并且保持鱼类种群的持续生存，在第二、第三部 分，研究了怎样控制污染物的排放量和对鱼类种群的捕获量，污染和扩散系数对系统的 动力学性质的影响以及由于大量污染物的排放会导致鱼类种群的数量发生什么样的变 化 昆虫是动物界中无脊椎动物的节肢动物门昆虫纲的动物，所有生物中种类及数量最 多的一群，是世界上最繁盛的动物，已发现10 0 多万种它们分布密度差异极大，在一湿 土中昆虫可多达4 0 0 万只，但在同一范围内也许只能偶尔见到一只蝴蝶、熊蜂或甲虫等 大昆虫从沙漠到丛林、从冰原到寒冷的山溪到低地的死水塘和温泉，每一个淡水或陆 地栖所，只要有食物，都有昆虫生活有许多生活在盐度高达海水的1 1 0 的咸淡水中， 少数种类生活在海水中有的双翅目幼虫能生活于原油池中，取食落入池中的昆虫自从 地球上有了人，由于人要从自然中获得生活资料，要改造自然，必然会出现同昆虫争夺 资源的问题；因此昆虫同人类的关系是十分复杂的，构成复杂关系的主要因素之一是昆 虫食性的异常广泛根据前人的估计，昆虫中有4 8 2 是植食性的；2 8 是捕食性的， 捕食其他昆虫和小型动物；2 4 是寄生的，寄生在其它昆虫动物体外和体内g 还有1 7 3 食腐败的生物有机体和动物排泄物这个为我们大致划出了昆虫的益害轮廓在这里， 主要研究的问题是对人类农业发展有害的昆虫，我们称之为害虫多数害虫繁殖速度极 2 辽宁师范大学硕士学位论文 快，大量的啃食农田，对农业生发展造成了很大影响因此，害虫的人工控制是非常必 要的在第四部分，讨论了害虫治理问题 在害虫治理当中，许多方法能够控制害虫的数量，比如喷洒杀虫剂和释放天敌在 二十世纪末，由于化学控制害虫方法影响深远，使得传统的和生物的控制害虫的方法复 兴在众多的方法当中，化学方法仍然是控制害虫的最主要的方法近几年来，大量的 学者利用连续微分方程研究害虫治理的生物动力学系统，建立了各种阶段结构的模型并 研究其动力学性质刮然而，在喷洒农药时，害虫的数量急剧减少，这是一个不连续 的脉冲作用因此，在此种情况下，用脉冲微分方程可以对这种生物现象做个自然的描 述关于脉冲微分方程的理论已经有大量的数学家研究 1 7 , 1 5 , 3 5 】，其中包括三种类型的脉 冲微分方程：( 1 ) 固定时刻的脉冲系统；( 2 ) 在变化时刻的脉冲系统；( 3 ) 脉冲自治系统【3 3 1 最近几年，关于第一种类型的脉冲微分方程系统已经有大量的文献研究【3 】在本文 中，建立了关于第三种类型的害虫治理模型，我们利用新的方法来证明相关结论 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 1 在连续污染环境中具有最优捕获策略的近海捕鱼模型的动力学性质 1 1 模型和引理 近几年，渔业资源的过渡捕捞使得海洋渔业资源急剧下降，近海尤为突出除此之 外，近海生态系统遭到了严重的破坏，每天都有各种各样的污染物进入海洋这使得近 海渔业资源更加是雪上加霜然而我们都知道，渔业资源是一类最要的可再生资源，在 实现渔业资源可持续开发的前提下，我们要追求最大可持续产量( m a x i m u ms u s t a i n a b l e y i e l d ) h 1 考虑到上面的生物背景，在污染环境下建立具有l o g i s t i c 增长的单种群捕获 模型： 警毒小) ( 1 一警一e n ( f ) _ 州蝴) ， 丁d c o ( t ) = 蜒o ) + 七。o , a 一瞩( f ) 一册c o ( f ) ， 掣：甜o ) 一乃( f ) ， 讲 其中( f ) 表示在f 时刻的种群数量；，是无污染时种群的内禀增长率；k 是环境容纳量； e 为收获努力量；e 9 ) 表示f 时刻环境中的污染物的浓度：c o i o ) 表示f 时刻生物体内的 污染物的浓度本文中假设污染物通过环境与食物链两种途径影响种群，七e ( r ) 表示f 时刻个体对环境中污染物浓度的吸收率；设资源中污染物的浓度为常数0 ，每单位质量 的生物体对食物平均摄入率为夕，k 。= - q - ：- ( q 为一正常数，r c l 0 ，则d x ( n ) o ； ( 2 ) 若0 0 ，或者l i mx ”n = 0 0 或者存在一个的 非零定点g 在后一种情况，对于每一个n o ( 0 ) ，q 0 ，有l i m x ”= g 若x ( o ) 0 ，则或者对于每一个n 0 ，l i r a x ”n = 0 或者在x 中存在唯一的非零 定点g 在后一种情况，q 0 且对于每一个x o ( 0 ) ，l i r a x ”n = q a 口 引理1 1 2 ” 若l i m “( f ) = 甜存在，则系统( 1 1 1 ) 有如下结论： ( 1 ) 陋e ( f ) = 车= q ； ( 2 ) l i m c o ( f ) ：_ k o o _ f l h _ + k ：= _ u ：q l 。4 h ( g + m 1 1 2 有界性及其周期解的存在性与稳定性 虽然系统( 1 1 3 ) 是一个四维系统，但是由于后两个方程是可解的并且极限存在， 所以根据引理1 1 2 ，系统( 1 1 3 ) 动力学性质等价于如下的二维系统： l 掣= 郴) ( 1 一警) - 川妒口c o n 。( t ) ， 掣叫蜥 ia n i ( t ) = d i ( n 2 0 ) 一l ( f ) ) ， ia n 2 ( t ) = 吃( l ( f ) 一2 0 ) ) ， 其中g = 笔等，= 等 t w l , 7 z + ， t = i 2 v g ，刀z + ， ( 1 2 1 ) 定理1 2 1系统( 1 2 1 ) 的满足正初始条件的每一个解是一致最终有界的 证 明令 y ( r ) = 畋l ( f ) + 匾2 ( f ) ， 当t 所 时 6 1j、， _ _ 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ 。_ _ 。_ 。_ _ 。1 。1 。1 。1 。1 。 辽宁师范大学硕士学位论文 掣+ 吃y ( f ) = 一畋6 1 。研+ 吐( + 眨) l 召 其中r i ae - o t c o ，6 l ，= i a ，讲 一 k 占：垒蟛当f ：艚，显然有矿( 丹广) ：y ( 舸) 因此，根据【- ， 4 0 , l 。、。 。 y o ) 旦+ ( 矿( o ) 一旦) p 叫成立，且有l i m s u p 矿( f ) 旦，由y ( f ) 定义知，存在一个正常 卜瑚 数肘 0 ，对于足够大的r ，有l ( f ) ，2 ( f ) s m 证毕 在f ( 刀f ，+ 1 ) f 】上系统( 1 2 1 ) 的解为： 卜=上(口-e-塑aco)+紫b,(a-e 1 ) n l ( n r ， ”7l 刮弦一 + ) 【n 2 ( t ) = 2 ( 盯+ ) p 1 0 训 令l ( 舸+ ) = l 2 ( 胛+ ) = 2 。，有 卜- = ( 1 卅瓦( 磊a - e 百- a c 而o ) e ( 4 鬲- e - 玩) n l , 瓦啡唧， 卜。邓硼p 叫+ 老蔫兽 。2 2 显然，系统( 1 2 2 ) 存在平凡平衡点( o ，o ) 下面分析差分方程( 1 2 2 ) 在平凡平衡 点( o ，0 ) 的稳定性，系统( 1 2 2 ) 在平凡平衡点( 0 ，0 ) 的局部动力学行为： ”纷心_ d o e ( o 稚- e - * c ；弦。嚣 其中4 为系统( 1 2 2 ) 在( o ，o ) 的线性化矩阵，n f ( n 。，2 ) 1 一吼+ d e t 4 0 ，( 1 2 3 a ) l + 眠+ d e t 4 0 ， 1 + d e t 4 0 ， ( 1 2 3 b ) ( 1 2 3 c ) 则4 的特征根的模小于1 ，从而系统( 1 2 2 ) 的平凡平衡点( 0 ，0 ) 是局部渐近稳定的 显然，咏= ( 1 一吐) p “”+ ( 1 一吐弦吨t o ，d e t a o ：( 1 - ( 4 + 砘) ) p 弼咄因此，若( 1 2 3 a ) 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 成立，则( 1 2 3 b ) 必然成立若e ( 盯一口q f + l i l q 兰等i 三铲) 口岛则 ( 1 2 3 a ) 成 立 ； 若 4 + 吐l 或者 当 碣+ 破 ! 【( a - a c o 一吒) f + i n ( 1 一( 吐+ 吐) ) 】口巨，则( 1 2 3 c ) 成立如果 4 + 吐 巨，因此可得女i ! l 下结论： 定理1 2 2 如果e 毛，则系统( 1 2 2 ) 的平凡平衡点( 0 ，o ) 是局部渐近稳定的 下面考虑差分系统( 1 2 2 ) 的正平衡点( 吖，m ) g - 在性与稳定性，令 i 。= l 。= 研，2 肿。= 2 。= m 则有 卜圳老焉雾岛坤唧畦 n 2 川 im _ ( 1 卅p 叫；+ 瓦d 而, ( a _ 石e _ a 丽c * o ) e 鬲o - e - 瓦c o ) n 丽? 由( 1 2 4 ) 得： 定理1 2 3 如果0 e z o ，那么系统( 1 2 2 ) 存在唯一的正平衡点( 吖，m ) ， 其中 卜堂蜘鼍笛等糟搿幽 卜而答篙警器 一 利用j u r y 判据可以类似讨论正平衡点( 研，m ) 的局部渐近稳定性方程( 1 2 2 ) 在点( 吖，从) 邻域内的动力学性质可以通过m + = 彳，m 来研究，其中 a p 2 4 e 一吃7 n h 当0 o 若d l + d 2 1 或 8 生坷 i 【 ! 辽宁师范大学硕士学位论文 。e【(口一口q+吒)f+ln(1一吐一d：)+2ln里二兰粤1专铲e 】三最( 吐+ 以 o 进一步，如果吐+ 以 l ，则毛 巨因此得到。 定理1 2 4 如果0 e 民，则系统( 1 2 2 ) 平凡平衡点( 0 ，0 ) 是全局渐近稳定的； 如果o o ，则d x ( n 。，2 ) 0 ； ( 2 ) 当o ( l ，n 2 ) e o ，则五 o ， 当e e o ，l i 剐mx ”( l ，2 ) = ( 0 ，0 ) ； 当e e o ，系统( 1 2 2 ) 存在唯一一个正平衡点( 吖，m ) 且是全局渐近稳定的 定理1 2 6 如果0 e 毛，则系统( 1 1 3 ) 存在唯一一个全局渐近稳定的正f 一 周期解( 吖( f ) ，m ( f ”，( 吖( f ) ，m ( f ”可以表示为 小，：美蒹一，吲州川瑚， 一口絮等) + y 小4 黼耵啡1 ) 吖托又肘d 叫 其中( 吖，m ) 见定理1 2 3 1 3 最优捕获策略 在本节中将讨论在环境污染下远海近海最优捕获问题根据定理1 2 6 ，系统( 1 1 3 ) 在条件0 e e o 下有正f 一周期解( 吖( f ) ，m 1 3 f ) ) ，且是全局渐近稳定的由此说明通过控 制环境的进一步恶化，实行最优捕获策略，海洋资源可持续发展是可行的 在一个周期内鱼群的可持续产量】，( d 为： 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 ( 口一e 一口k o e p h + k u ) 研p ( 口- 叫铬) f 十三巫嚣爹焉磊h 由( 口一e 川塾业玛+ 旦，e 1 嚣争一1 ) 吖 、( g + 朋) 7k 、 7 1 f 矿川一口百k o o f l h + k u + 纠川一4 铬) ，一l 川 = 等l i l 竺羞巫_ 二 = e 口k ( a t 一历一口墨筹mf + - n 塑二号兰专 铲， 口 力i2 +)1 一f 1 一以、p 。 肚1 - - ! - ( a r - a 2 r 譬h ( g 鲁什l n 蝤娑1 - ( 1 铲料m+ m ) 一以1 2 。 一 ” 。 。，k(口f一口生!h旦(垡g竺#等f+ln!：圣立1三譬三铲d2 ) 2 ， + m ) 一( 1 一) p 。 e=j2r一(口f一口墨建h璺(堡g等f+-n望二!生1三丢三d学2)e ) 、 + m ) 一( 1 一 。1 棚) ( ( 俨印扎盟篇铲m 鲫 具有脉冲效应的生态资源管理模型的数学研究 群灭绝 为了证明本章理论结果的正确性，在下面将给出一些数值模拟令 a = 1 ，k = o 7 ，口= o 5 ，r 2 = 0 2 ，k = l ，k o = 0 4 ，= o 3 ，矽= o 3 ，g = 0 2 ，m = 1 ，“= o 1 ，4 = o 3 ，哎= o 5 ， r = 0 8 ，则通过计算可得晶= 0 5 ，u o = 0 5 5 若取e = o 1 ( u o ) 且其它参数同图1 1 ，则系统( 1 1 3 ) 趋于灭绝( 见图1 2 及图1 3 ) 这说明 恶化的近海环境导致了鱼群的迅速减少，若不加以控制污染，则渔业资源趋于灭绝此 外，污染物的增加也导致了最大持续产量及捕获努力量e 的减少( 见图1 4 ) 图1 1 系统( 1 1 2 ) 鱼群持续生存 其中口= l ，k = o 7 ，e = o 1 ，口= 0 5 ，吃= o 2 ，k = l ，k o = o 4 ，p = o 3 ，0 = 0 3 ，g = 0 2 ，m = 1 ，u = 0 1 ， h = o 5 ，吐= o 3 ，畋= o 5 ，f = o 8 ( a ) 种群- n i c t ) 的时间序列图( 6 ) 种群2 ( r ) 的时间序列 图 图1 2 系统( 1 1 2 ) 鱼群灭绝 1 2 辽宁师范大学硕士学位论文 其中e = 0 7 ，其它参数同图1 1 ( 口) 种群l ( f ) 的时间序列图( 6 ) 种群2 ( ，) 的时间序列 图 图1 3 系统( 1 1 2 ) 鱼群灭绝 其q e u = o 6 ，其它参数同图1 1 ( 口) 种群l ( f ) 的时间序列图( 6 ) 种群2 ( ，) 的时间序列 图 图1 4 污染物输* l u 对持续产量】，( e ) 及捕获努力量e 的影响 其中口= 1 ，k = o 7 ，c e = o 5 ，吃= o 2