（应用数学专业论文）基于偏微分方程的掌纹图像增强与去噪.pdf

摘要 掌纹识别和鉴别是新兴的生物特征识别技术，掌纹相对于其他生物特征有着其独 特的优势掌纹识别的实现一般采用统计模式识别方法，其过程大致分为：图像采集、 预处理、特征提取和选择、分类决策四个部分准确提取掌纹图像特征纹线是掌纹图 像识别的关键，在对掌纹图像进行匹配之前要对采集到的掌纹图像进行预处理，去除 噪声，提取细节特征 掌纹图像的面积大，线条多，使得数据量大，而且其中各种纹线相互交错，有着 不同的方向，长度和宽度，凹凸对比度低，容易受噪声影响，且掌纹是一种纹理图像， 有其自身的纹理周期，其细节信息正是特征识别的基础低通滤波方法虽能够去除掌 纹图像部分噪声，但是产生了掌纹图像脊线和谷线间对比度下降的问题 偏微分方程( p d e ) 方法是图像去噪中的一种主要方法，其高质量的处理结果已引 起了人们广泛的关注基于偏微分方程的去噪方法能通过扩散系数的作用，使模型自 动地在图像的光滑处有较大的扩散作用，而在图像的边缘处有较小的扩散作用，并尽 量保证在图像的边缘处沿边缘方向进行扩散，因此能较好的解决边缘保留与去噪的矛 盾p e r o n a 和m a l i k 在1 9 9 0 年提出了基于热传导方程的非线性异向扩散模型，奠定 了p d e 模型用于图像处理的理论基础，开辟了一个图像处理应用研究的新领域许 多学者对p 酬模型进行了改进，试图建立起更有效的保边缘平滑滤波器，并取得了一 些进展 本文主要研究了基于偏微分方程模型( p m 模型) 的掌纹图像的去噪与增强，并 根据掌纹图像特点及掌纹识别后续工作对图像质量的要求，提出了一个新的扩散系数 函数对p & m 模型进行改进，在扩散系数函数中我们引进二阶导数，由梯度信息与二阶 导数共同决定扩散速度该改进的模型扩散特性，更适合掌纹图像的处理，在增强图 像和保持掌纹图像纹路信息方面表现更优 理论和实验结果表明，这种改进的p & m 模型的确能够保留p & m 模型在图像的光滑区 域去噪的优点，增强图像边缘，保留图像细节信息，并且较好的保留了图像中奇异点 的信息，可获得较为理想的预处理图像该模型处理图像时符合图像处理的两个方面 的要求：一是消除噪声，二是增强( 或保护) 图像的细节特征 本文也是首次将偏微分方程方法应用在掌纹图像预处理中 关键词：图像增强；图像去噪；p 跚模型；各向异性扩散方程；掌纹图像 a b s t r a c t t h ep a l m p r i n tr e c o g n i t i o na n di d e n t i f i c a t i o nb e c o m e st ob ean e w l yd e v e l o p e d b i o m e t r i ei d e n t i f i c a t i o nt e c h n o l o g y , s i n c ep a l m p r i n tp r e s e n t sl o t so fu n i q u ea d v a n t a g e s t h e mo t h e rb i o l o 西c a lc h a r a e t e r i s t i c s t h ep a l m p r i n ti si d e n t i f i e dt h r o u g hs t a t i s t i c a lm o d e l g e n e r a l l y , a n dt h ep r o c e s so fp a l r n p r i n ti d e n t i f i c a t i o nf o l l o w st h es t e p s ：i m a g ec a p t u r e ， p r e - p r o c e s s i n g ，f e a t u r ee x t r a c t i o na n dc h o i c e ，c l a s s i f i c a t i o na n dd e c i s i o nm a k i n g i t s c r u c i a lt oe x t r a c tt h et e x t u r eo fp a l m p r i n ti m a g ep r e c i s e l y t h ec a p t u r e di m a g e ss h o u l db e d e n o i s e da n dt h ef e a t u r es h o u l db ee x t r a c t e db e f o r em a t c h i n g t h ed a t a b a s eo fp a l m p r m ti m a g ei sv e r yl a r g eb e c a u s et h ei m a g eu s u a l l yc o v e r t sa l a r g ea r e aa n dh a sn u l t l e r o u st e x t u r e 。a n de a c ht e x t u r eh a si t so w nl e n g t h ，d i r e c t i o na n d w i d t h , t h et e x t u r ei n t e r s e e t si na ni r r e g u l a r l yw a y a nt h e s em a k et h ei m a g eh a sal o w c o n t r a s ta n de a s yt ob ei n f l u e n c e db yn o i s e s t h ei m a g ei sak i n do ft e x t u r ei m a g ew h i e h h a si t so w n p e r i o d i ct e x t u r e a n dt h ed e t a i li n f o r m a t i o no ft h ei m a g ei st h ef o u n d a t i o nf o r i d e n t i f i c a t i o n t h em e t h o do fl o w - p a s sf i l t e rc a nd e n o i s ep a r to fn o i s e si nt h ei m a g e b u t t h ec o n t r a s tb e t w e e nr i d g e sa n dv a l l e y si np a l m p r i n ti m a g ei sd e c r e a s e ds i m u l t a n e o u s l y t h em e t h o db a s e do np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) t u r no u tt ob eag o o dc h o i c e f o rd e n o i s i n gi m a g e ，w h i c hc a ns m o o t hp a r to fa ni m a g ei nag r e a ts c a l ea n dt h ee d g ei na s 1 t i a l ls c a l eb yc h o o s i n gd i f l u s i o nc o e m c i e n ts u i t a b l y ，a n dm a k e $ u r et h a tt h ed i f f u s i o n f o l l o w st h ed i r e c t i o no fe d g e ，s ot h em e t h o dc a ns o l v et h ep r o b l e mw h e t h e rt ok e e pt h e e d g eo rd e n o i s ei t p e r o n aa n dm a l i kd e v e l o p e dan o n 1 i n e a ra n i s o t r o p i cd i f l u s i o nm o d e l b a s e do nt h ee q u a t i o no f t h e r m a lt r a n s m i s s i o nw h i c ho p e n san e wf i e l df o rr e s e a r c ha n dt h e a p p l i c a t i o no fi m a g ep r o c e s s i n g al o to fr e s e a r c h e r si m p r o v e dt h ep & m m o d e lb yt r y i n g t oc o n s t r u c tm o r ee f f e c t i v es m o o t h 矗l t e rw i t he d g ep r o t e c t i n ga n do b t a i n e dl o t so f a c h i e v e m e n t s t h cm a i ne 肋r t so ft h i sp a d e l a r ct h ed e n o i s i n ga n de n h a n c e m e n to ft h ep l a m p r i n t i m a g eb a s eo np d e m o d e l a n dp r o d u c i n gan e wd i f l u s i o nc o e f f i c i e n tt oi m p r o v et h ep & m m o d e la c c o r d i n gt or e q u i r e m e n t so f t h ec h a r a c t e r i s t i co f p a l m p r i n ti m a g ea n dt h ed e m a n d s o fp r e - p r o c e s s i n gt h ei m a g e 1 1 1 ed i f f u s i n gs p e e di sd e t e r m i n e db yt h eg r a d ea n ds e c o n d d e r i v a t i v ew h i c hi si m p o r t e db yt h ed i f f u s i o nt o e m c i e n tf u n c t i o n t h ei m p r o v e dm o d e lh a s b e t t e r d i f f u s i n gc h a r a c t e r i s t i c 。a n dp e r f o r m s t h ec o h e r e n td i f f u s i o nb a s e di m a g e e n h a n c e m e n ti ns t r u c t u r ei n f o r m a t i o n p r e s e r v a t i o n t h et h e o r ya n dt h eo u t c o m e so ft h ee x p e r i m e n ti n d i c a t et h a tt h ei m p r o v o dp & m m o d e lc a ns u c c e s st h ep & mm o d e l sa d v a n t a g e s ，s u c ha sd e n o i s i n gi nt h es m o o t h e rp a r to f t h ei m a g e ，k e e p i n gt h ed e t a i l so ft h ei m a g ea te d g e , a n dk e e p i n gt h ei n f o r m a t i o no f s i n g u l a rp o i n ts i n g u l a r i t yo ft h ei m a g e ，s ot h ei m p r o v e dm o d e lc a ne x p o r ta np e r f e c t p r e - p r o c e s si m a g e t h er e q u i r e m e n t so fi m a g ep r o c e s s i n gi nt w oa s p e c t sa r em e tb yu s i n g t h ei m p r o v e dm o d e l ，t h ef i r s to n ei sn o i s er e m o v a la n dt h es e c o n do n ei st oe n h a n c et h e c h a r a c t e r i s t i ce n h a n c e m e n to f t h ei m a g e i t sa l s ot h ef i r s ta p p l i c a t i o no fam e t h o db a s e do np d e si np r e p r o c e s s i n go f p a l m p r i n ti m a g e k e yw o r d s ：i m a g ee n h a n c e m e n t ；d e n o i s i n g ；p & mm o d e l ；a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n e q u a t i o n ：p a l m p r i n ti m a g e n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 揖鳋 日期： 选2 ：61 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：工童l 巡鑫指导教师签名： 日 期：2 蝈6 。1 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 在信息化的当今世界信息安全不管是对企业还是个人都越来越重要生物特征 识别技术是一种可靠且有效的身份识别方法，在信息安全身份认证领域占据着重要地 位“1 ，且在科学研究与实际应用中具有十分重要的应用目前，应用最为广泛的人体 生物特征是指纹 传统的指纹鉴别系统已经商用化，但由于目前的指纹自动鉴别技术主要是基于指 纹细节特征嘲，指纹特征十分细小，对于采集设备的分辨率要求很高导致设备成本居 高不下，另外指纹自动验证系统的应用往往就局限于指纹质量较好的人啪，而大约有 4 的人由于指纹磨损而提取不出指纹特征( 如一些老年人和体力劳动者) ，所以人 们把目光投向了分辨率要求不高且有可能实现低成本与大范围应用的掌纹鉴别领域 掌纹识别和鉴别是新兴的生物特征识别技术，经过几年的研究已经达到了商用的 要求( 在低分辨率条件下识别率高于9 9 “3 ) 作为一种新的人体生物特征，掌纹相对 于其他生物特征有其独特的优势：( 1 ) 终生不变性和唯一性；( 2 ) 定位旋转不变性和 唯一性；( 3 ) 掌纹中的细节特征和各类线特征都具有唯一性和稳定性；( 4 ) 掌纹的主要 特征明显，不易被噪声干扰；( 5 ) 在获取掌纹的同时还可获取手掌的几何特征；( 6 ) 不易仿造；( 7 ) 由于对掌纹图像的分辨率可降低要求，采集设备成本较低；( 8 ) 掌纹识 别的被测试者可接受程度较高；( 9 ) 识别系统的硬件标准化程度也高；( 1 0 ) 识别速度 较快同时掌纹识别的适用范围广泛，从特定领域来说可以广泛应用在银行、法院、 刑侦、监狱等需要保密性要求比较高的部门，从大众领域来说住宅小区和生产车间是 重要的应用场合因此掌纹识别是一种很有发展潜力的身份识别方法 掌纹识别的过程主要包括2 个步骤嘲，即掌纹图像的预处理，和掌纹特征的提取 与匹配因为即使是同一个手掌，也会因采集状态的不同而产生位移、旋转和形变， 所以需要消除原始图像之间的这种差异，将手掌图像包含信息最丰富的中心部分剪切 出来，以对其进一步作特征提取获得的掌纹图像由于受硬件、环境、人为等因素的 影响，图像总是不可避免地存在噪声，这些噪声在较大程度上影响了图像细节的真实 情况，使图像质量降低这就需要在消除噪声的同时保留边缘重要信息，增强图像对 比度和清晰度，提高图像质量，使图像达到后续处理的要求，以便于掌纹特征的提取 和匹配，可见图像的预处理至关重要 图像处理技术的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法的不同可以分为三个层 次嘲：图像处理，图像分析和图像理解其中图像处理又被称为低层图像处理，主要 在图像像素级上进行处理，处理的数据量非常大低层图像处理有两个非常重要的内 容：图像增强和图像还原图像还原通常用来处理受到噪声干扰的图像，图像增强根 据图像的模糊情况采用各种特殊的技术突出图像中的重要信息，削弱或消除无关信 息，达到强调图像的整体或局部特征的目的，改善图像质量、丰富信息量，加强图像 l 判断和识别效果在图像处理领域，我们可以把图像增强和图像还原统称为滤波在 图像去噪领域中通常交叉使用去噪、滤波、光滑、平滑这四个术语，本文中也不加区 别 在过去的2 0 年中，图像处理与分析吸引了许多数学家的注意基于偏微分方程 ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 缩写为p d e ) 的图像处理方法得到了广泛的重视， 因为它在平滑噪声的同时，可以使边缘得到保持现在，源于交分方法和形变模型的 偏微分方程方法已经成为图像处理与分析中的一个重要工具 源于约束最优化、能量最小化和变分方法的p d e 方法的基本思想是将所研究问 题归结为一个泛函极小问题( 带约束条件，或不带约束条件) ，然后应用变分方法导 出一个或一组偏微分方程( 有时需要初始条件或边界条件) ，最后用数值计算方法求 解此偏微分方程( 组) ，得到所要的数值解这个数值解或者是一幅图像( 图像增强， 图像恢复) ，或者是一幅图像和它的边界( 图像分割) 在对变分方法应用于图像处理 的思想充分了解之后，也可以不用变分方法而直接提出p d e 模型 本文主要研究了基于偏微分方程模型( 主要是p & m 模型) 的掌纹图像去噪与增强， 提出了一个新的扩散系数函数对p m 模型进行改进同时本文也是首次将偏微分方程 方法应用于掌纹图像预处理理论和实验结果表明，本文改进的p & m 模型能够保留 p m 模型在图像的光滑区域去噪的长处，并在边缘附近保留图像细节，符合对于图像 处理的两个方面的要求：一是消除噪声，二是增强( 或保护) 图像的特征，获得较为 理想的预处理图像 2 第一章传统的图像噪声滤除技术 图像噪声滤除是图像前期处理的一个重要内容，其目的在于滤除影响视觉的信 息，获得真实和保存有用信息的图像然而，图像的平滑和边缘细节的保持是一对矛 盾关系：图像的低通滤波在降低噪声的同时，产生了图像边界的模糊，而图像的大部 分信息存在于边缘和轮廓部分一个较好的平滑噪声的方法应该是既能消除噪声，又 不使图像的边缘轮廓和线条变模糊 图像的噪声主要来源于图像的获取过程和传输过程图像传感器的工作情况受到 各种因素的影响，如图像获取过程中环境条件和传感器自身的质量等均会对图像质量 产生影响图像在传输过程中主要由于所用的传输信道的干扰而受到噪声污染最常 见的噪声有高斯噪声和椒盐噪声去噪方法也种类繁多。许多滤波技术已用于图像去 噪与恢复，然而，仅仅使用线性滤波技术不能得到较好的结果，虽然线性滤波能有效 滤除噪声，但同时区域边界被模糊污损作为补救手段，非线性技术成功地协调了图 像滤噪与边缘的处理，成为一种非常有效的技术手段” 传统的图像去噪算法如：均值滤波、中值滤波和高斯滤波等都是采用空间域滤波， 主要是将图像的高频成份滤除，由于图像细节如边缘等也分布在高频区域，所以在去 噪的同时也模糊甚至破坏了图像的边缘 1 1 中值滤波 中值滤波是最早提出的一种非线性滤波算法n ，对椒盐噪声图像作用效果较好 此算法假定在窗口内的噪声具有局部极值，将含有奇数个( 通常是3 * 3 或者5 奉5 ) 像 素的窗口内的中间值像素代替窗口中心的像素值 ，o ( 啊，栉2 ) = m e t ii ( x ，y ) i ，( x ，) ，) b ( n l ，露2 ) 其中b 是以o 。，n ：) 为中心的滤波区域，i ( x ，力表示在占区域所有的像素值，m e d 表 示中值计算，l o 表示中值滤波以后的新值 这种非线性滤波具有保护边缘和有效去除脉冲噪声的作用，并具有很好的稳健 性尽管如此，中值滤波远非完美的滤波方法因为在滤噪的同时，图像的细节，棱 角和细线被模糊或去除，其主要原因是窗口内的排序处理破坏了空间相邻信息和结 构 h a m z a 嘲等折中考虑了图像细节保护和噪声的去除，对中值滤波作了改进，特别 利用偏移向量场改进实现了偏移中值滤波其优点是使卷积核偏离可能的边缘，以避 免边缘被模糊、破坏，并得到较快的计算速度 与中值滤波相似的是均值滤波，不过它是用窗口内各像素的平均值来代替窗口中 心的像素值 3 1 2 高斯滤波。1 在图像处理中，高斯噪声是一类常见的噪声，与之相对应的高斯滤波器由于具有 优异的性能而被广泛研究，w i t k i n “”进一步提出了尺度空间理论，实现了对图像从粗 到精的处理，目前已有不少基于多尺度的滤波和边缘检测方法，但由于传统的高斯滤 波器是各向同性的，滤波时对图像平滑区和边缘过渡区进行了相同的处理，这样就会 导致滤去噪声后图像边缘变模糊甚至边缘消失 在图像处理时，常将噪声看成一个高频信号，图像去噪可以由下面的线性卷积实 现 u ( x ，力= i g ( x 一刁，y 一善) “o ( 叩，f ) d 叩d f 矗 其中，q 代表整个图像平面， ( 工，y ) 是图像的像素坐标，“0 ，力是去噪后得到的图 像， ，y ) 是含有噪声的图像，g ( x ，y ) 是滤波算子 对于各向同性高斯滤波，其在工，y 平面上的投影区域为一个沿原点对称的圆，高 斯滤波算子的表达式为 g = 寺e 印h 1 孚) 在x 和y 方向上选取不同的尺度即可以得到各向异性高斯滤波器“”，它在x , y 平 面上的投影为椭圆，滤波算子表达式则为 g o ( x , y , 砷= 去唧b 畴+ 剥 高斯滤波、中值滤波以及他们的改进均具有小计算量的优点，这在计算机计算处 理工作中是不可缺少的 1 3 其他滤波 n i t z b e r g 等“”提出增强图像的一种非线性滤波，在边缘和角点保护方面优于一 般非线性扩散方法，其核心技术即为“偏移滤波”他们在模型中引入偏移项，使得 卷积核中心偏离可能的边缘，以增强图像并避免边缘污染然而，这种技术并不是对 任意图像都能取得较好的结果特别对具有多尺度边缘特征图像，偏移滤波并不能充 分发挥其良好作用，要使用迭代技术弥补其不足 基于局部统计特性的l e e “。删和f r o s t “”滤波器是用滑动窗口内像素的均值以及 方差作为参数。按一定的估计原则进行滤波f r o s t 算法是在假定噪声是乘性噪声的 条件下，假定图像是平稳过程，依据最小均方差( 删s e ) 准则来估计该滤波算法是 局部统计的自适应滤波算法，滤波参数由局部方差系数决定事实上，y uy o n g j i a n 等“”的研究表明，在离散情况下，f r o s t 滤波器和l e e 滤波器在迭代形式上并无根本 的区别，也就是说，在实际处理离散图像像素的时候他们的实质是一样的 传统的图像模型假设图像是一块广义的平稳区域，因而在有些滤波算法中，图像 4 的统计参数是由图像整个区域，而不是局部的统计参数得到但是这样定义的滤波算 法对于图像强度的突变不敏感，在平稳模型不适用的区域会导致边缘被平滑基于此， k u a n m l 提出一种非平稳均值，非平稳方差的图像模型，它是基于局部的线性最小均方 误差的滤波器 根据噪声的乘性表现形式发展出的同态滤波，则是利用对数的形式将原乘性噪声 变成易于滤波的加性噪声，从而降低滤波难度 第二章基于偏微分方程的图像增强与去噪方法 图像处理中采用偏微分方程的思想是随着计算机科学与技术、数学和物理学的发 展而逐渐产生、成熟起来的，现在仍然存在大量的理论和实际问题需要解决 近年来，非线性扩散和基于扩散的二阶偏微分方程的图像处理方法已经被成功地 运用于图像增强、图像分割及尺度空间分析等领域这类方法的主要特点是能够在消 除噪声的同时锐化边界，增强图像的细节信息很多数学家系统地研究图像处理中偏 微分方程模型的理论问题例如，r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i “”提出b v ( b o u n d e d v a r i a t i o n ) 空间代替s o b o l e v 空间来刻画图像函数的性质；c r a n d a l l ，i s h i i 和 l i o n s “”利用粘性解理论论证模型方程的适定性等 偏微分方程方法近几年开始大量应用于图像去噪，其发展主要沿三个方向进 行第一，由线性扩散到非线性扩散的转变，而非线性方程又以p m 扩散“”为代表； 第二，由简单的一类方程到多类方程综合成一个复杂方程的转变，包括低阶与高阶的 综合“，正扩散与逆扩散的综合啪“，以及实扩散与复扩散的综合“2 1 等；第三，由偏 微分方程的一步实现到多步实现的转变，如各向异性扩散方程“1 先用线性方程对边 缘定向，再用非线性方程实现沿边缘方向的扩散，实现了线性方程与非线性方程的结 合各向异性扩散模型中，选取扩散系数使图像在平坦处扩散较大，而在边缘处尽可 能沿边缘方向扩散，因此能较好地解决去噪与边缘保护的矛盾目前，偏微分方程去 噪研究的重点仍放在多类方程的综合和偏微分方程的多步实现上但是，由于多类方 程的综合往往会增加约束参数的个数和模型的复杂性，给处理带来较大的麻烦，所以 其前景较偏微分方程的多步实现方法差 2 1 各向同性扩散方程 早在1 9 8 3 年，w i t k i n “”就尝试用原始图像与不同尺度仃( 0 r ，q c r z , 掰。( 五力为原始图像求解方程 ( 2 1 ) 得到 u ( x ，y ，f ) = f 卜 ，y ，o ) g ，) ，y ，f ) 血d y 。 其中a ( x ，一，弘) ，f ) = - 7 ；芋e ” 是格林函数核由此可知，方程( 2 1 ) 的解 、4 ，d 拉 “弘f ) 是以尺度因子( 或称时间) f 为光滑参数，并由原图像k y ) 经过 g ( x ，一，y ，少，f ) 滤波后的结果该滤波过程对图像起到了平滑的作用，但是其缺点是 它在平滑噪声的同时也模糊了图像重要的特征，如边界、端点等，即g a u s s i a n 滤波 是各向同性扩散，在去除噪声的同时模糊了边界改进滤波技术，使得在去除噪声的 同时保护重要的边缘信息一直是这一领域不懈努力的目标 2 2 各向异性扩散方程b m 模型 为了克服同向扩散方程的缺点，p e r o n a 和m a l i k “”在1 9 9 0 年提出了基于热平衡 方程的非线性异向扩散模型，并成为这一领域富有影响的工作模型使用具有保护边 缘特性的定向扩散替代具有高斯一光滑核的同质扩散，奠定了p d e 模型用于图像处理 的理论基础，开辟了一个图像处理应用研究的新领域 将热传导方程( 2 1 ) 写成更一般的形式 i g u ( 面x , y 一, t ) = d i v ( g ( x , y , t ) v u ) ( 2 2 ) a ( ) i u ( x ，y ，0 ) = u c ( 五y ) g ( x ，儿f ) 被称为扩散系数，t f i v 是散度算子，取g ( x ，弘f ) = l ，即为方程( 2 1 ) p e r o n a 和m a l i k 指出，选取合适的g ( x ，y ，f ) ，可以克服全局低通滤波致使图像细节连同噪声 一起被平滑的缺陷，同时满足尺度空间所必需的几个性质 ， 假设g ( x ，y ，t ) 与t 无关，并且已知图像的局部细节区域边界如果设定在内部均 匀区域g ( x ，y ，) = 1 ，而在边界g ( x ，y ，f ) = 0 ，哪么平滑将仅在均匀区域进行，使得棱 边变得更加清晰锐利为了实现这种效果，需要有一个准则来估计图像的局部细节区 域边界 设e o ，y ，f ) 是这样的一个估计：它是定义在图像之上的矢量函数，并且满足以下 性质： ( 1 ) 在均匀区域内e “y ，f ) = 0 ； ( 2 ) 在边界点上e o ，y ，t ) = i r e ( x , y ，f ) 。e ( x ，y ，f ) 是垂直于边界的单位矢量；k 描述边界 两侧图像灰度的对比度合理地对e 进行估计后，相应地确定为g ( 五y ，f ) = g ( 0 e l | ) 根据以上图像平滑策略的分析，g ( ) 必须满足以下的条件：其中g 是光滑减函数， g ( o ) = 1 ，g ( 力0 ，g ( x ) _ 0 ，当善斗o o 时 p e r o n a 和m a l i k 给出了g ( 的经典选择 g ( v “) 2 i ：觋1 或者g ( v u ) = e x p ( - - ( l ：出2 ) ( 2 3 ) 其中七是图像边界阈值参数梯度算子可有效的检测到图像的边缘信息，如果 7 f v u b 七，对应于图像边缘细节，则有g ( i v “i ) 一0 ，( 2 2 ) 式演变为低通滤波器，但 不保留细节；如果i v u i k 在研究中，为了减小不必要的扩散，将阈值参数k 作为时间t 的递减函数， 可以随着迭代的进行取得的七值随之减小 对掌纹图像中的线条边缘点的处理，上述扩散函数满足图像平滑的两条原则，但 对掌纹图像中具有较多的三角点、奇异点等这些大曲率点的平滑效果并不是很好，而 曲率是和二阶导数成正比的嘲，考虑在扩散系数中引进二阶导数，由梯度信息与二阶 导数共同决定扩散速度，增强图像的细节信息 令f 为垂直于梯度方向的单位向量，”。为二阶方向导数，具有表达式 妒亟专挚选 它反映出在方向善上，当前点与两侧点的灰度差异对于线条上的点来说，掌的方向 和线条方向是相同的，因此其中心点与两侧点的灰度差异不大而对于奇异点来说， 在孝方向上，其中心点与两侧点的灰度差异比较大 由上述分析，本文仍采用p g d d 模型 掣：a i v ( c ( i v u i ) v “) 讲 u ( x ，y ，0 ) = u o ( x ，y ) ( 3 4 ) 呈i ：o ( n 为图像边界外法向) o n l r 但对扩散速度进行改进如下 ( 1 ) 如果：l v u 区i 一a k ，扩散系数为 c ( i v ui ) = e x p ( - 胛7 乩 + t ( i u ui ) ) ( 2 ) 如果后一a k 蚓v u 峰k + a k ，扩散系数为 c ( i v u i ) = 口e x p ( 一( 警+ r ( i u u i ) ) + 酬掣m 刎 ( 3 ) 如果i v u 除k + z u k ，扩散系数为 ( 3 5 ) ( 3 6 ) c ( iv ui ) ：e x p ( 一殍) + r ( i i ) ) ( 3 7 ) 对于线条上的点，其中心点与两侧点的灰度差异不大，甜嚣的绝对值较小，令丁( j j ) 趋于0 对于奇异点来说，在善方向上，其中心点与两侧点的灰度差异比较大，的 绝对值也较大，令r ( 1u 嚣1 ) 趋于一，此时，扩散速度趋于o ，也就是说，在方向孝上不 进行扩散，它符合原则( i i ) 因此，保留了奇异点的信息 具体来说，设o 毛，乞l ，当i “嚣p 七+ 岛时，r ( i “嚣1 ) = ，当i “劈i 七一岛时， 丁( i u 嚣i ) = 蜀在i 甜拦降k 两侧占：邻域内进行光滑逼近为了保证扩散速度的一阶导数 l i p s c h i z 连续。”，只要二阶可导即可因此，在区间【七一岛是+ 毛】使用三次多项式逼 近便可满足光滑性要求 3 3 模型选取的合理陛 在噪声图像中，尤其当噪声呈随机分布时图像的背景变得很不连续因此在算法 中，增强均匀区域和噪声的对比度的同时，还要考虑如何获得尺度空间上的连续背 景从式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 不难看出，当工 1 时e x p ( - 形2 ) - i ) ，p m 模型 ， 不能够消除小尺度区域的噪声和梯度很大的突变，而式( 3 1 ) 则能够较好的抑制噪 声的影响：当 v u 喀k 一j 时，虽然( 3 1 ) 的扩散速度比p & m 模型更明显，但是扩散 系数( 3 1 ) 有效地消除了“噪声边缘”和抑制了低频噪声，同时使得均匀区域得到 了较好的连接；当l v u 喀七十七时扩散系数式( 3 3 ) 等同于p & m 模型的扩散系数( 2 3 ) ； 当k a k q v u l s 七+ 七时，( 3 2 ) 给出了一个过渡过程，其目的是使最终处理结果 在尺度空间上保持连续性双i i ) 的选取对奇异点来说，喙的绝对值较大，t ( 1u 髫i ) 趋于一，此时扩散速度趋于0 ，使得对图像奇异点的平滑较弱，保留了图像中奇异点 的信息 3 4 模型参数的选取及算法分析 对方程( 3 4 ) 采用有限差分法计算，这里只介绍方程 o u _ ( x _ , y , t ) = d i v ( c ( iv ui ) v u ) ( 3 8 ) o u 的具体算法，边界条件算法可仿照设计 将图像区域剖分成矩形的并集，取时间步长为f ，空间步长h = = 如，对于任 意正则内点埠，取对偶剖分的网点， 1 4 一1 o dc 1 )。s 图 o p l ) 险 过1 b d a ( i _ 1 ，_ ，一三) ，丑( “三，一圭) ，c ( i + i 1 ，+ 三) ，? o j 1 ，_ + 尹1 ，用j 匝厄面表示以 a ，b ，c d 为顶点的矩形，g 为其内部区域 于g 积分方程( 3 8 ) 两端，并利用g r e e n 公式，得( 3 8 ) 的积分守恒形式 赡蚴= k c 9 ) 式中罢表示“沿石菘葫的外法向导数，用中矩形公式代替重积分和沿矩形四边的线 积分，用中心差商代替方向导数，并除以h 2 ， 警= 吉。“+ u 一+ q 飞) + 。 勺t 一) + 钆一。饥一 取时间步长为出，用向前差分格式则得方程( 3 8 ) 的离散形式 ( f ，力= ，( f + 1 ，力一l ，( f ，动+ e 。o 一1 力一矿g 力) + 掣7 ( 3 1 1 ) e “l f g 歹+ 1 ) 一矿g 动+ p ，。( f ，_ ，一1 ) 一l ，( f _ ，) ) ) + 矿( f ，力 其中，：尝为网比 本文改进的扩散系数涉及的变量较多，下面对模型的相关参数进行分析 ( i ) 梯度阙值k 对于图像中目标提取和边界保持起着非常关键的作用由于k 是随 时间递减的，因此初始的k 值可以采用c a n n y l = 的直方图估计法：先求i v ”l 的直方图， k 取累计直方图面积占总面积8 0 _ 9 0 9 6 处的iv “l 值，迭代一定次数后重新选取k 值， 继续对图像进行处理可多次进行实验取值，选取使得实验结果较好的k 值； ( i i ) a k 与噪声水平有关，通常取值较小，为了提高扩散的性能，可以采用多次试验 的经验值； ( ) 已知k 和越的情况下，利用式( 3 5 ) 和( 3 7 ) 的函数关系，通过简单的曲线 插值，可以建立光滑连续的扩散系数函数曲线，从而确定盯和； ( ) 迭代次数行，时间步长f 都是控制扩散方程收敛性的变量，时间步长很难取定， 厶f 取得足够小有助于收敛到全局最优解同时也增加了计算复杂度，从另一方面来看， 取步长址足够小同时也能够保持图像中的细节边缘对于二维图像w e i c k e r t m l 给出 了步长应满足的条件： 1 a t 音 午瑶 这里，是方向d 上的空间步长通常取= 1 此时a t o 2 5 3 5 实验结果及分析 本文采用的掌纹图像是通过数码相机采集的，属非接触式采集 取初始k = 2 ，a k = 0 1 5 ，a t = 0 0 5 ，= 0 4 5 8 ，厶= 0 1 5 ，迭代”= 1 0 次后，取 k = l ，a k = 0 1 ，a t = o 0 5 ，毛= 0 3 ，乞= 0 1 2 ，迭代月= 1 0 次 由实验所得的图像与中值滤波，均值滤波所得的结果进行比较，可以看出改进的 算法不仅很好地实现了各向异性的保边缘平滑，而且保证了图像的连续性和图像细节 不被丢失，图像的对比度得到显著提高，增强了图像的细节效果 为了客观、定量地比较几种图像滤波算法的效果，利用图像香农信息熵作为衡量 图像质量的客观标准1 ，图像信息熵越大其信息量越多，图像细节越丰富 本文改进模型p i 模型迭 滤波方法原图中值滤波均值滤波 迭代2 0 次代2 0 次 信息熵 5 4 6 0 0 5 3 1 9 3 5 4 2 7 26 8 6 0 86 8 1 7 8 表1 各种滤波的信息熵 i 可”i ( p 酬模型的扩散系数为g ( i v 甜i ) = e x p ( - ) ，k = 2 ，a t = o 0 5 ) 斤 由表1 中的信息熵可以看出，利用本文改进的模型处理后的掌纹图像信息熵最 大，同时在图3 一图1 2 中给出了原掌纹图像，各种滤波处理后的图像及其灰度直方图， 从图中可以看出，用本文算法处理后的图像避免了直方图上灰度级过于集中，使直方 图在整个显示范围内较为均匀的分布，获得了较好地增强效果 本文算法处理后图像与p & m 模型处理后图像结果进行对比，迭代相同的次数 由图5 与图6 明显可以看出，本文算法处理后所得的图像对于细小的纹理保留较 好，且噪声去除较好；而图6 中的细小纹理都已经模糊，对于边缘的保留并没有达到 较好的结果 1 6 图3 原掌纹图像 图5 中值滤波处理后图像 图4 均值滤波处理后图像 图6p & 1 4 模型迭代2 0 次图像图7 本文算法迭代2 0 次图像 1 7 图8 原掌纹图像灰度直方图图9 均值滤波处理后图像灰度直方图 图l o 中值滤波处理后图像灰度直方图 图1 1p 蹦模型迭代2 0 次图像灰度直方图图1 2 本文算法迭代2 0 次图像灰度宜方图 1 8 第四章总结和展望 数字图像处理技术已广泛应用于众多科学与工程领域借助这一技术，人们可以 欣赏月球背面的景色，观看地球遥远的伙伴，如木星、土星、天王星等美丽的光环及 其卫星：层析成像( c t ) 、核磁共振( 躲i ) 、正电子断层成像( p e t ) 在医学上已成为重要 的诊断手段；在无损探伤、自动识别目标等中也有重要的应用图像处理与分析技术 包括：图像预处理、边缘检测、图像分割、图像校准、特征选择、目标识别、运动检 测与跟踪以及可视化技术等 在图像形成与传输过程中，由于设备的不完善及物理限制，所获得的图像通常达 不到期望的质量，因而原始图像的恢复是非常必要的许多滤波技术已用于图像去 噪与恢复偏微分方程方法是近年来一种新的信号处理技术，实施各向异性平滑，其 在图像分割，图像重建，边缘检测，图像恢复与增强等领域得到了广泛的应用，这是 一个新的领域，在国际上许多发展改进的工作正在广泛研究中 本文的主要工作如下： 1 系统的总结介绍了传统的滤波技术包括中值滤波，g a u s s i a n 滤波，l e e 滤波， f r o s t 滤波等 2 分析和介绍了基于偏微分方程的各向同性、各向异性的扩散方程应用于图像滤 波的原理和机制，以及已有的对于p & m 模型的改进的主要成果 3 本文首次将偏微分方程处理图像的方法应用于掌纹图像预处理研究 ( 1 ) 分析实际问题的背景：不同的应用问题有不同的特点和专业知识，这些是 研究者应该首先掌握的本文分析了掌纹图像的特点及掌纹识别后续工作的需要； ( 2 ) 改进p & m 模型：根据掌纹图像的特点对r 酬模型进行改进，采用新的扩散 系数，使得改进的模型对掌纹图像增强与去噪的处理取得更好的效果： ( 3 ) 数值计算：应用有限差分法求解本文改进的各向异性扩散模型； ( 4 ) 编程实现：本文用m a t a b 实现文中算法，并将结果与应用中值滤波，均值 滤波去嗓