（应用数学专业论文）基于copula对随机元间相依性的研究及其应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文以c o p u l a 为基础，通过对随机变量间相依的机制特征和相依关系的 强弱描述，从定性和定量两方面来实现对相依性的研究；从而突破了目前依 赖于独立和线性相关，这仅有的两类相依关系的局限。将随机元之间相依关 系的刻画范围进行了拓展，对相依强度的整体和局部度量得到了精度上的提 高；且从数值上展示了相依关系强、弱的动态演变过程。 文章分两部分来研究随机元问的相依理论。在第2 章，首先从c o p u l a 本 身所蕴涵的相依机制出发，确定了随机变量之间具有最强相依关系时的 c o p u l a 形式。其次以排序的手段将和谐相依关系的强弱加以比较；且在阿基 米德族中，以参数的变化展示了相依性强弱的动态演变过程。此外，借助于 概率积分变换，总结了c o p u l a 分布函数特点及其对应的相依关系；丰富了随 机变量之间的相依机制。最后一节，尝试将c o p u l a 理论渗入可靠性理论中， 定义了几类新的c o p u l a 。 在第3 章中，主要借助于指标，从数值上对随机变量相依性进行了有效 的刻画，论述了和谐性指标f 对于相依性刻画的改进；分析了二维指数分布 下与相关系数的数值一致性。同时还给出了随机向量之间相依关系的指标表 示形式，总结了各类指标具备的综合特征及其相互关系。本文还根据尾相依 参数在a ，卢族中随参数变化的特性，得到了依赖于相关系数所无法完成的， 从已知联合分布出发寻找给定指标值所对应的联合分布的方法。 相依性理论的研究最终要转向于它的应用。最后一章中，将基于c o p u l a 的相依理论应用于可靠性理论中，得到了在相依部件组成的寿命系统中，新 的各类可靠性指标评定方法及可靠度相对于独立情形下的改进规律。通过系 统可靠度的c o p u l a 表达组合形式，还可以反推出各部件之间的串、并联结构。 在4 2 节中给出了两类特殊系统的c o p u l a 表示形式，说明了c o p u l a 的相依理 论在可靠性研究中的实际可操作性。 关键词：c o p u l a ，相依性，阿基米德族，和谐序，相依指标，k e n d a l l f ， 寿命系统，可靠度函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第n 页 a b s t r a c t t h ep a p e rh a sr e a l i z e dt os t u d yo nt h ed e p e n d e n c er e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o m v a r i a b l e sb a s e do nc o p u l a si nt e r i l l so fd e t e r m i n i n gt h en a t u r ea n dq u a n t i f i c a t i o n ， r e s o r t i n gt ot h ed e s c r i p a t i o n so fd e p e n d e n c ep r o p e r t i e sa n da s s o c i a t i o ns t r e n g t h t h e r e f o r e ，b r o k et h r o u g h t h el i m i t a t i o no f s t u d y w i t h o n l yd e p e n d i n g o n i n d e p e n d e n c e a n dl i n e a r d e p e n d e n c e ，a n d b r o a d e n e dt h em e a s u r e r a n g e o f d e p e n d e n c e r e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e s f u r t h e r m o r e ，t h em e a s u r e p r e c i s i o nh a s b e e n i m p r o v e dw h o l l ya n dp a r t l y , i th a sd e m o n s t r a t e d t h ed e v e l o p i n g c o i l r s eo ft h e s t r e n g t h o fa s s o c i a t er e l a t i o n s b y m e a n so fn u m e r i c a lv a l u e v i g o r o u s l y 1 1 l ep a p e ri sd e v i d e di n t ot w o c h a p t e r st os t u d yt h ed e p e n d e n c et h e o r y i nt h e s e c o n d c h a p t e r , f i r s t ，w eb e g a nw i t h t h ed e p e n d e n c ei n f o r m a t i o n s i m p l i e di n c o p u l a , d e f i n e dt h e i rc o p u l a sw h e nt h er a n d o mv a r i a b l e sh a dt h em o s tp o w e r f u l d e p e n d e n c er e l a t i o n s s e c o n d l y , t h ec o n c o r d a n c es t r e n g t hh a sb e e nd i s t i n g u i s h e d a n dc o n t r a s t e db e t w e e nd i f i e r e n td e p e n d e n c er e l a t i o n s ，a n dw eh a v ed e m o n s t r a t e d t h ec h a n g e a b l er e g u l a r i t yo fs t r e n g t ho nd e p e n d e n c er e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o m v a r i a b l e sb ym e a n so ft h ec h a n g eo fp a r a m e t e r si na r c h i m e d e a nc o p u l a s f i n a l l y , w em e a s u r e dt h ed e p e n d e n c es t r e n g t hh a v i n gt h e a i do ft h ed i s t a n c eb e t w e e n i n d e p e n d e n c ea n dd e p e n d e n c ef r o ma n o t h e ra n g l e m o r e o v e r , d r a w i n gs u p p o r tf r o mp r o b a b i l i t yi n t e g r a lt r a n s f o r m s ，w eh a v e s u m m a r i z e dt h ec h a r a c t e ra n dc h a n g e a b l er e g u l a r i t yo ft h ed i s t r i b u t i o nf i t n c t i o n s o fc o p u l a s s oi te n r i c h e dt h ed e p e n d e n c em e c h a n i s m i no r d e rt o s e e pc o p u l a t h e o r yi n t or e l i a b i l i t yt h e o r y , w ed e f i n e ds e v e r a ln e wc o p u l ac l a s s e si nt h el a s t s e c t i o n i nt h et h i r d c h a p t e r , r e s o r t i n gt o t h en u m e r i c a lm e a s u r e ，w eh a v em a i n d e p i c t e dt h ed e p e n d e n c er e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e sv a l i d l y , a r g u e dt h e i m p r o v e m e n to i ld e p i c t i o nd e p e n d e n c em a d eb yt h ec o n c o r d a n c em e a s u r ef a n d a n a l y s e di t w a sc o n s i s t e n tw i t hc o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n ti nb i v a r i a t ee x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n ；w e a l s os u m m a r i z e dc o m p r e h e n s i v ec h a r a c t e r sw h a ta l ls o r t so f m e a s u r e sp o s s e s sa n dm u t u a lr e l a t i o n s i na d d i t i o n s w eh a v ei l m s t r a t e dh o w 曲e t a i ld e p e n d e n c ep a r a m e t e r sa c c o m p a n i e dw i t hv a r i a t i o n so f a ，卢i na r c h i m e d e a n c o p u l a s ，s ow e c a l lo b t a i nt h em e t h o dm a tw ew a n tt of i n dt h ei o i n td i s t r i b u t i o n f u n c t i o n sg i v e nd e p e n d e n c ep a r a m e t e r sb e g i n n i n gw i t hk n o w nj o i n td i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s t h eu l t i m a t ea i mo ft h es t u d yo fd e p e n d e n c et h e o r yi si t sa p p l i c a t i o n s s oi n t h el a s t c h a p t e r , w ep r a c t i c e di nr e l i a b i l i t yt h e o r yb a s e do nc o p u l a sd e p e n d e n c e t h e o r y ；o b t a i n e dt h en e wp r o d u c e dm e t h o d so fa l ls o r t so fr e l i a b i l i t ym e a s u r e si n l i f e s p a ns y s t e m sw h i c hw e r ec o m p o s e do fm u t u a ld e p e n d e n tc o m p o n e n t s ，a n d 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 i m p r o v e m e n tr e g u l a r i t yo fr e l i a b i l i t yf u n c t i o n sc o m p a r e d t oi n d e p e n d e n tc o n d i t i o n r e s o t i n gt oe x p r e s s i o nf o r m so fs y s t e mr e l i a b i l i t yf u n c t i o n sb a s e d 0 1 1c o p u l a s ，w e c a nd e d u c et h es y s t e ms t r u c t u r ew h i c hw a sc o m p o s e do fs e r i e sc o n n e c t i o no r p a r a l l e l c o n n e c t i o nc o m p o n e n t s i n4 2s e c t i o n ，w eh a v e 西v e no u tt h ec o p u l a e x p r e s s i o n f o r m so ft w ok i n d so f p a r t i c u l a rs y s t e m s ，s h o w e d t h e p r a c t i c a l f e a s i b i l i t yi nr e l i a b i l i t yt h e o r yb a s e do nc o p u l a s d e p e n d e n c et h e o r y , t o o kf u r t h e r s t e p s t o p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ：c o p u l a ，d e p e n d e n c e ，a r c h i m e d c a nc o p u l a s ，c o n c o r d a n c e o r d e r , d e p e n d e n c em e a s u r e ，k e n d a l l sf ，l i f e s p a ns y s t e m ，r e l i a b i l i t yf u n c t i o n s 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 引言 本文在第1 章中阐述了c o p u l a 产生背景、定义及其基本性质；为以后的 章节中关于相依性的探讨提供了必备的理论基础接下来，从定性和定量两 个方面，以c o p u l a 为基础来挖掘随机变量间的相依关系。 在第2 章中，从c o p u l a 本身所蕴涵的相依机制出发，首先得到了在随机变 量具有最强相依关系一单调函数关系时，c o p u l a 的确定形式其次为了比较和 谐相依的强弱，找到了c o p u l a 和谐序；更进一步，在阿基米德参数族中，以参 数的变化，通过c o p u l a 序的关系，展示了随机变量相依性强、弱动态演变的 过程在2 3 节利用对独立关系的平均距离来反映和谐相依性，便得到关于 c o p u l a 的和谐性算子因为c o p u l a 本身亦是一个分布函数，便可研究经概率 积分变换后，c o p u l a 的分布函数特点；找出其包含的相依性特征为了更方便 的将基于c o p u l a 的相依理论应用到关于产品剩余寿命研究中，从生存分布的 角度出发，本文在2 5 节重新定义了几类特殊c o p u l a , 并理清了这几类c o p u l a 的相互关系和在随机变量单调变换下的规则性 在第3 章中，主要借助于指标，从数值上对相依性进行了有效的刻画， 重点论述了和谐性指标r 对于相依性刻画的改进；分析了二维指数分布下与 相关系数的数值一致性；为了客观全面地反映随机变量之间的相依关系，在 3 2 节中介绍了如：s p e a r m a np 等已有的其他指标，且论证了p 与相关系数等 值性的条件同时本文给出了度量随机向量之间相依性的指标表示在数值 上说明了这些指标绝对值愈大，则和谐相依性愈强还总结了各类指标具备 的综合特征及其相互关系3 3 节论述了尾相依参数在。，卢族中随参数变化的 特性，从而得到了从已知联合分布出发，寻找给定指标值所对应的联合分布 的方法这是依赖相关系数所无法完成的 相依性理论的研究最终要转向于它的应用最后一章中，将基于c o p u l a 的相依理论引入可靠性理论中，得到了在相依部件组成的寿命系统中，各类 可靠性指标薪的评定方法，以及可靠度相对于独立情形下的改进规律通过 系统可靠度的c o p u l a 表达形式，还可以反推出各部件之间的串、并联结构 在4 2 节中给出了两类特殊系统的c o p u l a 表示形式，说明了c o p u l a 的相依理 论在可靠性研究中的实际可操作性：从而全面推广至实际应用 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章( 基础知识) c o p u l a 的定义及其基本性质 1 1 问题提出的背景 1 1 1c o p u l a 产生的背景 传统的概率统计理论对二维及多维随机变量之间的相依性是利用相关 系数p 来刻画的；但是我们知道用相关系数p 来描述随机变量之问的相依性 总是不尽人意的因为p 只髓反映随机变量之间具有线性相关性或不相关两 种情形；其针对面是很狭隘的同时相关系数p 的大小并不能如实地反映相 依性的强弱；并且利用p 不能展示相依性的动态演变特性，如：给定随机变 量x 。y 的边缘分布和其相关系数p = a ，如何能找出x ，y 的联合分布函数 圩( z ，y ) ，使得在此分布下相关系数p = a 呢? 同样给定p ，；0 5 时的联合分 布函数日，( x ，) ，) ，如何变化生成另一种分布h ：o ，) | ) ，使得p 2 = 0 8 呢? 概率论还有这样一个例子：x 服从标准正态分布n ( o ，1 ) ，y = x 2 ；根 据相关系数9 = 1 筌垡磐，计算j d 的值 v a r 【x ) 、v a r ( y ) c o v z ，y ) 一e ( x r ) 一e x e y = e x 3 一e x e x 2 ， 一f 2 e x 3 。f _ t x 3 去j 如o 且麟= 0 4 p 4 0 说明：x ，y 是不相关的，但是x ，y 明显具有很强相关关系的函数关系 另外，我们已知独立一定不相关，不相关不一定独立；那么在什么条件下， 不相关就一定独立呢? 由这些问题可以看出，用相关系数p 来刻画随机元之间的相依性是很片 面的，显然是对相依机制缺乏深刻的认识要想完全反映随机元之问相依性 是不现实的，充其量不过是从相依机制的某个角度进行了局部的描述 相依理论的薄弱严重地制约了概率论和随机过程理论的发展，令人欣慰 的是，国外这几十年对此进行了大量的研究和拓展，找到比较有效的解决手 段：主要在概率积分变换、脆弱模型和c o p u l a 三个方面的研究有了很大的突 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 破其中c o p u l a 理论是相依理论研究的基础，从而使得逐渐精细的相依机制 的刻画在c o p u l a 的作用下得到了一个质的飞跃 1 1 2 c o p u l a 的问世 c o p u l a 引起概率统计界关注源于最近十几年的三次会议：1 9 9 0 年在 罗马召开的，主题为“给定固定边缘分布的分布函数”1 9 9 3 年在底特律 召开的，主题：“固定边缘的分布，二重随机测度和马尔可夫算子”1 9 9 6 年在布拉格召开的，主题为“给定边缘分布的分布和当前问题” 作为这些问题的主题，c o p u l a 是关于给定边缘的联合分布函数 从某种意义上说：c o p u l a 是连接多维分布函数和它们的一维边缘分布函 数的函数正如f i s h e r 在统计科学百科全书1 2 4 1 q b 所说：“c o p u l a 对概率统 计的研究有着质的推动作用；其中在统计领域的应用主要体现在：一、是研究 相依性测度的一种方法二、是作为构造二维分布族的起点，可用于多元分 布建模和随机模拟 c o p u l a 是一个拉丁语名词意思是：连接，系，捆绑等涵义c o p u l a 最早 出现在1 9 5 9 年，s k l a r 将其文章寄给f r e c h e t 时，临时给定的表示：将多维分 布函数与其一维边缘分布函数联接起来的函数 目前对于c o p u l a 及其在概率论、数理统计和随机过程中所扮演的角色的 研究还是处于萌芽期 1 2c o p u l a 的定义 在1 2 ，1 节中我们给出c o p u l a 的准确定义及其存在的范围在1 2 2 节中 阐明关于c o p u l a 研究理论最重要的定理一s k l a r 定理 1 2 1c o p u l a 定义及f r e c h e t 界 首先给出二维c o p u l a 的定义，对于多维情形可类似推广得到若无特殊 说明均指二维c o p u l a 定义1 2 1 1 1 c o p u l a 是一个函数c ： 0 ，1 】2 - - - 0 ，1 】；且满足： i c ( h ，o ) 一c ( 0 ，v ) 一0 ， ( 1 2 1 a ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 c ( u ，1 ) = h ，且c ( 1 ，v ) = v ( 1 2 2 b ) i i 对v0 s n l s h 2s l ，0 v 1s v 2s 1 ，有：二重差分牮c ( u ，v ) 一 c ( u 2 ，v 2 ) 一c 0 2 ，b ) - c ( u 1 ，v 2 ) + c ( u 1 ，h ) 芑0 ( 1 2 2 ) 可以验证c o p u l a 本质上是个二维分布函数，故存在着自身的值域范围 定理1 2 2 f 1 j 令c 是一个二维c o p u l a ，对于d o mc 中的每个( u ，v ) ，有： m a x + v 一1 ，0 ) c ( m ，v ) 墨m i n ( “，v ) 证明：见1 1 p 8 9 记：m ，v ) 一m i n ( u ，v ) w ，v ) = m a x ( u + v l o ) 从而有 矽 ，v ) sc ，v ) sm ，v ) ( 1 2 3 ) 且各参考文献称w ( u ，v ) 为f r e c h e t - h o e f f d i n g 下界；m ( u ，v ) 为f r e c h e t h o e f f d i n g 上界 不难知m m ，v ) 的支撑集完全集中在u v 的主对角线上， ( 雎，v ) 的支撑集完全集中在u v 的次对角线上 1 2 2 s k l a r 定理 c o p u l a 最原始的起源是联系多维分布函数和它们的一维边缘分布的函数 下面的s k l a r 定理f l l 是c o p u l a 理论的核心部分，是c o p u l a 于概率论。统计领域 的应用基础 s k l a r 定理阐明了c o p u l a 在多维分布函数和它们的一维边缘分布的关系 中所扮演的角色 定理1 2 3 1 1 】令h 是一个联合分布函数，其边缘分布分别是f o ) ，g ( y ) 那么 存在着一个二维c o p u l a ，使得对所有的x ，y 有： h ，y ) = c ( f ) ，g ( _ ) ，) )( 1 _ 2 4 ) 若f 0 ) ，g ( y ) 是连续的，则c 是唯一确定的；否则c 是被唯一地确定于 r a n ( f ) r a n ( g ) 上，反过来，如果c 是一个c o p u l a ，且f , g 是一维分布函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 则由( 1 2 4 ) 式确定的h 是一个联合分布函数，其边缘是f ( x ) ，g ( y ) 当随机变量x ，y 是独立时，这时它们的联合分布函数h ( x ，y ) = f ( x ) g ( y ) 由 s l d a r 定理立即得到：此时x ，y 的c o p u l ac r ： ，v ) tu k 反之也是成立的 记，独立时的c o p u l a 为万m ，v ) = u v 1 3 给定联合分布求c o p u l a 的方法 由s k l a r 定理可以看出：给定联合分布，总可以找到相应的c o p u l ac 0 将 联合分布与其边缘分布联系起来在定理1 2 3 中若设u = f ) ，v ；g ( y ) 易 得f 和g 的拟逆f 。1 ) ，g r 1 ( v ) 这里对拟逆作出解释：如f 是一个分布函数， 那么定义域为【0 ，l 】上的拟逆f 。1 满足： i t e r a n f ，则f 一1 o ) = 工，3 1 x e r ；满足f ) = t ，即f ( f ( 一1 1 0 ) ) = t i i t q r a n f ，贝u f + ”o ) 一i n f x i f ( x ) f ) ；s u p x i f ( x ) s f ) 若f 是严格单增，拟逆就是通常意义下的逆函数了 从而我们可借助于如下的性质得到构造c o p u l a 的方法 性质1 3 1 若h ，f ，g ，和c 等同于定理1 2 3 中的符号，且令f ( - 1 和g ( 。1 是 f , g 的拟逆，对于任意d o m c 中的 ，v ) 有： c ，v ) = h ( ，4 0 ) ，g - 1 p ) )( 1 3 1 ) 例1 1 设h 是如下的分布函数 日 ，y ) = 错一川【_ 圳 0 , c o 】， 1 - e ， ( 马y ) e ( l * 】【0 ，叫， 易得 0 ，其他 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 黼荆协誊聪叫一弗 故对于“，v e 靖：f _ 1 ) = 2 u l 且g 卜1 v ) i - 0v ) 根据( 1 3 1 ) 得v ) ：生一 “+ v 一“p 例1 2 g u m b e l s 二维指数分布1 2 1 1 ：联合分布日。给定如下 1 “l e “m ”蚓，舱0 , y 苫o ， l 0 ，其他 这里0 是【0 ，1 】中参数，边缘分布是指数分布，相应的边缘分布的拟逆分别是 f 一1 一- n o - u ) ，g 一1 m ( 1v ) 由性质1 3 1 的得到x ，y 的c o p u l a c x v 是 c au ，v ) = u + v 一1 + 0 一m ) ( 1 一v ) e 一曲a 叫如1 州1 众所周知，给定联合分布可得其边缘分布；反过来，仅仅给定边缘分布尚 不能唯一地确定一个联合分布若给定c o p u l a 和边缘分布，则借助于s k l a r 定 理，可以唯一确定与之对应的联合分布 1 4c o p u l a 在随机变量单调变化下的规则性 c o p u l a 在非参数统计中的广泛应用来源于c o p u l a 具有这样一个性质：对 于随机变量的单调变化，其c o p u l a 或者保持不变，或者按事先预知的方向变 化 定理1 4 1 1 1 若x ，y 是连续型随机变量( r v ) ，对应的c o p u l a 是q ，如果a ，卢 分别是j 谊，砌n y 上的严格单调增函数；有e 拉捧( ，) ；c 0 即c o p u l a c 0 在x ，y 严格单增变化下是不变的 证明：令x ，y 的分布函数分别是0 ) ，g 1 ( ) ，) ：d ( z ) ，( y ) 的分布函数分别是 删舶卜氇搿格数一潞二嚣 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 c 2 ( 卫k 卢( ( f d x ) ，g 2 ( y ) ) = p l a ( x ) s 石，f l ( r ) sy 盒p x s 6 r - 1 ) ，ys 声一1 ( y ) = c 。( e 。1 ) ) ，g l ( 卢。1 ( y ) ) ) = c 。( 最o ) ，g ：( y ) ) 一 c 。( z ) 口 y ) u ，v ) = c ( “，v ) 若d ，芦中至少有一个是严格单调减时，得到的q 。坝，) 仅仅是由c 0 简单变化 而成 定理1 4 2 若x , v 是连续型的r v 且卢分别是r a n x r a n y 上的严格单调 增函数：相应地有： ( 1 ) 若d ，卢，则 c 。( z ( y ) 0 ，y ) = “一c w ( u , 1 - v ) ( 2 )若“，芦，则 c 。( j ) 芦( y ) u ，v ) _ v c 删( 1 一，v ) ( 3 ) 若口，卢， 则 c 。( j ) p ( y ) ，v ) = “+ v 一1 + c 口( 1 - u , 1 - v ) 证明：只证明( 1 ) 其余仿之c t ，卢一e ) = e 。1 0 ) ) ：且 g ：( y ) 一e ( f l ( y ) s y ) 一e o z 卢4 ( y ) ) = 1 一只s 声- 1 ( y ) ) - 1 - g 1 侈1 ( y ) ) c 。( z ( r ) ( e ) ，g 2 ( y ) ) 2p a ( x ) z ，卢) y ) _ = p xs 口_ 1 ) ，y 卢- 1 ( y ) ) = p ( 疋妄a - i ( x ) ) 一p ( x s 5 - 1 ( x ) ，ys 卢。( y ” f 2 ) 一c 。印， 4 0 ) ) ，g 1 够。1 ( y ) ) ) 一 c 。( z ) ，( y ) ( “，v ) = u c m r ( h ，1 一v ) 其实定理1 4 1 和1 4 2 中的严格单增可换成几乎严格单增即放宽到可 以包含性质不成立的勒贝格零测度的子集 由上述定理可以看出：c o p u l a 的形式是不依赖于口，卢的具体选择的，说明 x ，y 相依关系全部蕴涵于c o p u l a 之中 1 5 一类特殊的c o p u l a 族一阿基米德族 阿基米德c o p u l a 族的广泛应用主要是由以下性质决定的：关于这一族 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 c o p u l a 可产生许多变化这族c o p u l a 中一些成员拥有的一些美妙性质 何种情形下可以构造这类c o p u l a 1 5 1 阿基米德族的定义及生成元 令函数妒：【o ，1 】- - , o ，m 】，是连续的，严格单减的，凸函数；且妒( 0 ) 一鸭 妒( 1 ) = 0 ，而平是函数妒组成的集合 定义1 5 1 【1 3 l 对v 妒掣，存在逆函数妒一1 ：【o ，叫一【o ，1 】且每个妒均可生成一 个c o p u l a 也即生成一个具有固定边缘分布是服从【0 ，1 】上均匀分布的二维分 布函数： c o ，v ) - 妒- 1 ( 妒( ) + 妒o ) ) 0 s ，y 1 ( 1 5 1 ) 文献中称这样的c o p u l a 是阿基米德族( a r c h i m e d e a n ) c o p u l a 可以验证，由 ( 1 5 1 ) 式得到的c 0 ，v ) 确实满足( 1 2 1 a ) 和( 1 2 1 b ) 即，满足c o p u l a 的定义 其中妒被称作c 的生成元 例1 3 令9 ( f ) 一( ) 一1 ，显然9 l l 通过( 1 5 1 ) 式易得： c ( u ，v ) 伊一 似) + 驴( v ) ) ；竺一 十y 一“v 其实，上述阿基米德族定义中对生成元妒的范围可以放宽；垆( 0 ) 不必为* 若妒( 0 ) 是个有限值时，这时由妒生成的阿基米德族c o p u l a 如下： c ( 1 l ，v ) 一妒1 ( 9 ( h ) + 妒( v ) ) 0 s “，v 1 这里妒- 1 p ) - 妒_ 1 ( f ) ，y t 【0 ，舻( o ) 】；而令尹( 1 ( f ) = 0 ，y t ( 0 ) ，* ) 我们在实际中遇到的阿基米德族，大多数都是由带有单参数生成元构造 的c o p u l a 族，相应地称这样的c o p u l a 族为单参数阿基米德族 例1 4 令( f ) = , r n ( 1 一o i n t ) ，对v o ( 0 ，1 】因为( o ) = o 。，是严格单调的； 且；1 0 ) ；e x p 【( 1 8 我们用c 。表示由生成的阿基米德族， 则有： c 。 ，v ) = u v o x p ( 一o l n u l n v ) 也就是g u m b e l 二维指数分布的生存 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 c o p u l a 族 1 5 。2 阿基米德族的基本性质 由阿基米德c o p u l a 族的定义，可以显而易见地得到：这样一族c o p u l a 所 具备的如下性质 性质1 5 2 【1 】如果c 是一个阿基米德c o p u l a ，其生成元是妒则： i c 是对称的，即对所有的u ，v 【o ，1 】，有c ( u ，v ) = c ( v ，u ) 1 1 c 是可结合的，即对f ，v ，w 【0 ，1 】，有c ( c ，v ) ，w ) = c ( w ，c ( u ，v ) ) i i i ，如果a 是大于零的任意常数，则a 妒亦是c 的生成元 由上述性质i i 的结合性，我们可递归地定义u 的c 一幂： ：；u ， “。2 - c ( u ，u 1 ) “；“一c ( u ，“；) 这样就可以得到下面的第二条性质 阿基米德公理是述：对v 两个正实数a , b ，一定存在着一个整数使得 n a ，b 考虑到对于阿基米德c o p u l a ，也有满足此公理形式的性质即 性质1 5 3 1 1 j 对，v ( 0 ，1 ) 有：一定存在着整数n ，使h c n g ( y ) 】 利用s k l a r 定理：日g ，y ) = c x 2 ) 尸口，y l x ) x 1 ) 即对任意y p o r ) y i x x ) 是关于x 的不减函数故有 尸( y y l x x ) p y i x 一o 。) 一p 0 ，y ) j e z ，y y ) p ( x x ) e f f y ) 静 1 一f ) 一g ( y ) + p ( 工5 x ，y s y ) ( 1 一f o ) ) ( 1 一g ( ) ) ) c ( f o ) ，g ( y ) ) ，f 0 ) g ( y ) 一c 。 ，y ) 玎 ，v ) 反之，如果随机变量x ，y 之间没有这种和谐相依关系；相反，随机变量y 会随着x 的增大而呈现减小的趋势也即尸，y i x ，屯) c j p ( 1 ，y i x ，x 1 ) 一e ( r ，y i x ，石) 是对任意y 关于x 的单调减函数一 p ( r y l x x ) y i x 一。) = p ( r y ) 曹c ( f ( z ) ，g ( y ) ) f ( 工) g ( y ) 即c r z ( u ，v ) - ”表示更强的和谐相依关系称由“ _ ”关系连接的c o p u l a 序为c o p u l a 的和谐序 由f r e c h e t h o e f f d i n g 界的定义知道，m 和w 分别是和谐序中最大和最 小的c o p u l a 事实上，由2 1 节中x ，y 在它们的c o p u l a 分别是m 和w 下的相 依关系也可以验证如此结果但是两个随机变量完全和谐以及完全反和谐都 体现了极强的相依关系；因此单独通过和谐序，只能反映x ，y 的和谐性强弱 关系而不能断言相依性的强弱 本文在此建议：用l c 一玎i 的大小序关系来表示x ，y 相依关系的强弱更加 合理当然这只能从整体上对x ，y 的相依关系进行度量 若要更准确、更细致地反映x ，y 的相依强度，还需探讨x y 在各个点( x ，y ) 处的具体情形即，用数值l c ( ( ，o ) ，g ( y ) ) 一f ) g ( ) ，) j 的大小就可以如实的体 现x ，y 在点( x ，y ) 处的相依关系强弱了 2 2 2 参数变化对阿基米德族相依强度的决定作用 其实任意给定两个c o p u l ac 1 ，c ：时，未必可以以和谐序关系来排列 侧2 1 c ，一妄矽 ，v ) + m ( “v ) 】，c ：= 巧 一方面c 。( i 1 ，i 1 卜万i 1 ，i 1 ) ；但另一方面c 1 弓，i 3 ) c 万【, i 1 ，i 3 ) ， 说明，既不qc 石；也不c 】，万 但是对于阿基米德c o p u l a 族，和谐序可以由其生成元性质所决定；从而情形 变得简单根据1 5 节中阿基米德族的定义，容易得到下面的性质： 性质2 2 1 若妒平，且令d 一【妒p ) r ；则对v 芦z 1 ；o ) 平。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 若妒1 王，且令( f ) = 妒g 。) ；则对v 口( o ，1 】；纯0 ) 掣 如果驴在( o ，1 ) 上存在二阶连续导数，且妒) c o ；矿( f ) o 对v t e ( o 1 ) 记这类妒集为1 i ，a c 2 令伊平n c 2 ，满足却( f ) 在( 0 1 ) 上不减，则有 c p 。( t ) e 妒o 。) ，且哪n c 2 对任意a o 文献中称由中妒。( r ) 通过芦变化生成的c o p u l a 族为卢族；由中( f ) 通过a 变化生成的c o p u l a 族为d 族 阿基米德族中的口族和芦族在和谐序方面有着如下简单且美妙的性质： 性质2 2 2 ( 1 ) 令尹v ，o ) ；o ) 】9 且设c ，表示由生成元，声2 1 生成的c o p u l a ；则如果卢22 卢l ，一定有c 口22c ( 2 ) 如果妒( 睁 - l l ( f ) r ) 对所有口e ( o ，1 ) 是次可加的，则如果a 。，口：爿，这里的 a 是( 0 ，* ) 子集且含有( o ，1 ) 的区间，如果口：t 口。一c 。：芑乞， 证明：在证明( 1 ) 、( 2 ) 之前我们先引进【1 】中的两个引理 弓l 理2 2 曩1 】如果c ，c ：分别是由生成元妒。，妒：生成的嗣基米德族，则q