（应用数学专业论文）基于两个振动数的船体线型光顺数学模型.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文研究一种船体线型光顺数学模型，以船型曲线为研究对象，以提高光 顺效率和改善光顺结果为目的。鉴于以往的光顺理论对光顺定义存在的片面性 和不确切，本文通过采用与曲线凹凸相关的第一振动数r 和与曲线膨瘪相关的 第二振动数s 对光顺进行新的定义，使光顺定义有了量化标准并适用于各种样 条函数和一般函数。基于新的光顺准则设计了一种船体线型光顺法。 全文的内容安排是： 第一章概述简单介绍了船体线型放样的发展情况，现状和目前存在一些问 题。 第二章在前人的基础上用曲线的振动数r 和振动数s 提出一种更加合理、 实用的光顺定义和光顺准则。 第三章将在手工放样中用来定出船型曲线的木样条看成是在压点处有集中 载荷的等截面细梁，运用材料力学中等截面细梁受横向载荷的关系式构造数学 模型需要的样条函数。 第四章针对船型曲线的两个振动数的特点，采用回弹法- 直尺卡样降低船型 曲线振动数r ，采用消多余膨瘪法降低船型曲线的振动数s 。 第五章例举了该算法的一些实验结果和分析，并结合其他一些算法进行比 较，并做出结论和展望。 关键词：船体线型，数学模型，光顺，振动数，样条，光顺法 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t 1 l i sp a p e rs t u d i e sam a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fs h i pl i n e sf a i r i n g w h i c ha i m st o i m p r o v et h ef a i r i n ge f i i c i e n c ya n dr e s e t i nv i e wo ft h ef a c tt h a tt h ed e f i n i t i o nf o r f a i r i n go ft h ef o r m e rt h e o r y sa r eu n i l a t e r a l i s ma n di n a p p r o p r i a t e ，w eg i v ea nn e w d e f i n i t i o nb yu s i n gt h ef w s tv i b r a t i o nn u m b e rrr e l a t e dt ot h ec o n c a v e c o n v e xo f c u r v ea n dt h es e c o n dv i b r a t i o nn u m b e rsr e l a t e dt os w o u e n - s h r i v e l l e do fc u r v e t l l i sf a i r i n gd e f i n i t i o nh a v et h eq u a n t i f i c a t i o ns t a n d a r da n di ss u i t a b l ef o re a c hk i n d o fs p l i n ef u n c t i o na n dt h eg e n e r a lf u n c t i o n a tl a s t ，w ed e s i g n e da f a i r i n gm e t h o do f s h i pl i n e sb a s e do nt h ed e wf a i r i n gc r i t e r i a s t h ec o n t e n t so f t h i sp a p e ra r ea r r a n g e da sf o l l o w ： c h 印t e r1g i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ed e v e l o p u m e n ts i t u a t i o n , p r e s e m s i t u a t i o no fs h i pl i n e sl o f t i n ga n ds o m ep r o b l e m si ni t c h a p t e r2p u tf o r w a r dad c i n i t i o na n ds o m ec r i t e r i a so ff a i r i n gb yu s i n gt h e v i b r a t i o nn u m b e rra n dv i b r a t i o nn u m b e rs ，w h i c ha r em o r er e a s o n a b l ea n d p r a c t i c a l i nc h a p t e r3w et r e a tt h ew o o ds p l i n eu s e di nm a n u a ll o f t i n gt od e f i n es h i p l i n e sa sc o n s t a n ts e c t i o nt h i ng i r d e rw i t l lc o n c e n t r a t e dl o a d a n dw ec o n s t r u c tt h e s p l i n ef u n c t i o nf o rm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g c h a p t e r4 ，a c c o r d i n gt ot h et w ov i b r a t i o nn u m b e r so ft h es h i pl i n e s ，w eu s et h e m e t h o do fr e s i l i e n c ea n dl o c a l l i n e a r - i n t e r p o l a t i o nt or e d u c et h ev i b r a t i o nra n d t h em e t h o do f r e d u c es w o l l e n - s h r i v e l l e dt or e d u c et h ev i b r a t i o ns c h a p t e r5g i v e ss o m ee x p e r i m e n tr e s u l ta n da n a l y s i s a n dc o m p a r ew i t ht h e o t h e ra l g o r i t h m s ，d r a w st h ec o n c l u s i o na n dr e m a r k so nf u t u r er e s e a r c h k e y w o r d s ：s h i pl i n e s ，m a t h e m a f i c a im o d e l i n g ，f a i r i n g ，v i b r a t i o nn u m b e r ，s p l i n e ， f a i r i n gm e t h o d 浙江大学硕士学位论文 第1 章概述 众所周知，表达船体外形的传统方法是线型图( 以及型值表) 。当一条船设 计完毕，它的线型图也同时形成。在建造实船之前，还必须对线型图进行光顺， 在此基础上产生后续得制造数据。所以，光顺是连接设计与制造的一道关键工 序。 最开始，放样工人是采用手工线型放样( 光顺) ，按提供给放样车间的比例 线型图，以及设计人员从线型图上量得的数据型值表，在样台上描述出剖面线 上的各型值点，然后用木样条沿着它们弯曲，并在各型值点上用压铁压上，当 用眼睛看样条构成一条光顺盐线时，就沿着样条画上曲线。 1 j 手工放样在速度上和精确性上有很大的局限性。伴随着计算机的运用，为 了减轻劳动强度，并提高放样过程的自动化程度，缩短工时，世界造船工业兴 起了数学放样。以计算机为工具，借助样条函数描述船体外形，用数学光顺的 方法模拟手工光顺。数学放样的经典做法是采用三维线框模型，以三次样条函 数描述船舶线型。随着c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g n 计算机辅助 几何设计) 回的兴起还产生了其它各种曲线样条和曲面样条。1 3 一 9 1 与光顺有关的数学模型属于c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) ，包括光顺设 计和形状设计两个方面。而目前光顺设计落后于形状设计，形状设计国际研究 得到很大成功，满足了生产实际得要求。而光顺设计有基本难点不易解决，虽 有生产实际需要推动，但缺乏正确的光顺定义，形成不了统一的光顺判定标准。 因此造成光顺方法好坏难分的不正常局面。光顺设计和形状设计比之于数学放 样，就好像左右腿比之于人，缺乏哪一个方面都只能瘸着腿走路。事实说明， 我们不应当割裂二者的联系，尤其要加强对光顺理论的研究，使数学放样整体 发展。 光顺设计做法：形状设计中，形状是主要矛盾，顾不了曲线的光顺性。但 非转角处曲线的光顺性也是设计的要求，因此一般做法是，形状设计后，再在 设计曲线上取定许多型值点，引另种( 或同一种亦可) 样条，逼近原形状。 再对型值数据作小修改，使形状基本不变，而修改后的样条曲线在非转角部分 为光顺。 船体线型光顺设计的数学模型主要分三部分： 一1 一 浙江人学硕士学位论文 i 光顺定义： i i 样条； i 光顺法。 本文拟从这三部分出发，设计种算法模型，目的是减少工序和消耗，改 善精度和质量，降低使用复杂性，提高劳动生产率。 2 浙江大学硕士学位论文 2 1 光顺的定义 第2 章光顺理论 光顺的定义是光顺理论的基础。光顺的感性认识即眼睛看起来曲线既光滑 又和顺，其定义是用数学式子来描写眼神经与脑神经的感觉，可见很难。【3 】【1 0 】。【1 3 】 已有的定义分两类： 一类是如有某种整体能量最小，如肛2 ( j ) 办= 1 n i n 成立，则称该平面曲线为 光顺。这种定义把能量最小想为万能，难以令人满意。曲线光顺，不是点问题 ( 光滑是每点问题) ，不是整体问题，而是大局部问题。 另一类是以苏步青，刘鼎元为代表的分段检查是否光顺，即满足下列三准 则的平面曲线叫做光顺曲线： i c 2 连续( 光滑条件) ： i i 没有多余拐点： i 曲率变化较均匀。 其定义肯定了基本方面，但数量化特征仍然不够明确，而且要求曲线c 2 连续不 适用于圆弧样条( c 1 ) 【1 4 】【1 5 】【16 】等。 在这两种方法的基础上，本文采用一种新的光顺定义方式，即曲线连续且 第一振动数露和第二振动数s 均小。 2 1 1 第一振动数胄 例1 ： y = s i n x ( 0 x 6 z ) 3 浙江大学硕士学位论文 、门 2 v 6 v 1 4 v 图2 1 曲线光滑度为c 。，但它却是典型的不光顺例子。如图2 1 ，放样工人站在 o 点用眼看，这条曲线像蛇一样缠绕着x 轴，即凹凸变化太多，看起来很不舒 服。 不光顺的原因数量化特征为振动数且太多，定义振动数r 为曲线的凹、凸 区间数一1 ，也就是曲线每一次凸- 凹或凹 凸变化其振动数r 增加1 曲线c 2 时，振动数r 等于拐点数。 曲线c o 或不连续时，振动数r 定义仍然有效，但是拐点不存在。 2 1 2 第二振动数s 例2 ： y = 半x 2 + s ；n x ( 0 0 0 时) 。因此曲线无拐点，即第一振 动数胄为0 。但是，y ”( x ) 却随着x 剧烈波动，如表2 1 表2 1 工 o 万3 万 ) 万 耳 9 刀l l z r 6 石 一 2 y ”( 功 1 + jj2 + 6占2 + 万占2 + 6l + 占 可见y ”( 曲数量变化太大，数量大引起原曲线为膨( 鼓) ，数量小引起原曲 线为瘪( 平坦) ，数量变化剧烈，即原曲线膨、瘪、膨、瘪变化快，这是曲 线不光顺的原因。 由于y ”( x ) 不是几何不变量，因此转到几何不变的曲率函数： ( x ) ：t ， ( 1 + y 。) _ k ( x ) 变化剧烈，数量特征为曲率振动数多。其中k ( x ) 的凹、凸区间就是样条曲 线的膨、瘪段：在曲率线为正的范围内，其凸( 凹) 区间是样条的膨( 瘪) 段；在曲 率线为负的范围内，其凹( 凸) 区间是样条的膨( 瘪) 段。定义这种曲率振动造成的 膨、瘪变化为第二振动数s 。 上述两个典型的例子导出曲线光顺的定义是曲线连续且第一振动数r 和第 二振动数s 均小。 这种定义可包括三次样条函数、参数三次样条函数、圆弧样条以及其他一 般函数( 不是样条) 等。其中三次样条都c 2 ，其曲率c o ；圆弧样条c 1 ， 曲率线是分段水平线。 在曲线c 2 时即要求拐点数和膨瘪数均小。 定义只是光顺的充分条件，不是必要的，因为有小拐点或小膨瘪，人眼看 不出，仍然为光顺。但是计算机易于判别出来。 第一振动数r 应是更为重要，因为描述曲率质的变化。第二振动数s 是描 述曲率量的变化，相比较而言次要一些。 5 一 浙江大学硕士学位论文 2 2 光顺准则 为了具体应用，应从光顺的定义推导出一些光顺曲线的准则，也就是说必 须具体规定出现在定义中的所有条件。 首先有“连续性准则”，即要求曲线是连续的。 对第一振动数r 和第二振动数s 的要求可分别称为“r 准则”和“s 准则” 即通过光顺使曲线的振动数r 和s 降低到目标值。 此外，还有一个指示结束的“收敛准则”，即当前后两次调整量之差小于某 个数值时结束光顺过程。收敛准则反映了光顺的某种近似性。 2 - 3 船体线型的光顺准则 由于本文采用的光顺法是基于船型曲线的，光顺前后都是三次样条曲线， 故连续性准则自然满足。 首先要定出振动数丑和s 的目标值，目标值按照不同的对象( 船型曲线，飞 机上的曲线，汽车上的曲线) 而有所不同。对船型曲线，如水线，纵割线，站线 等等，都是三次样条曲线，其振动数且的值等于拐点数。船型曲线的设计意图 允许的拐点数通常定为0 ，1 ，2 。仅有特别的船型上特别的线型为3 。容许拐点 数大于3 的船型曲线不存在。 设已知设计意图的拐点数为，实际拐点数为e ，则当 c - sr 且首末端满足给定的弯向要求时，满足月准则。 第二振动数s 的目标值，即容许膨、瘪段数量j 。这里就要讨论光顺指示 函数( 曲线) 的问题。 曲率函数( 盐线) 可以称为光顾的天然指示函数( 曲线) ，因为原曲线的凹、凸， 膨、瘪均可以在曲率线上更为明显的反映出来。由于曲率曲线不论原曲线是函 数形式还是参数形式均是非线性的，因而光顺是一个特殊的非线性问题，这是 难点所在。有什么办法可以降低难度呢? 在小挠度情况下y 。1 ，这时 七( x ) ：之上。y ”，即光顺指示函数可以换成y ”( x ) ，将非线性问题化为线 ( 1 + y 。2 f 6 浙江大学硕士学位论文 性问题。 这样可以将y ”( x ) 的凹凸区间近似的看作曲线的膨瘪片段。造成y ”( x ) 凹凸 变化的原因是集中载荷方向的变化。从光顺的观点来看，相邻集中载荷同号数 越多，则y ”( x ) 的凹凸区间越少，曲线越光顺。但花机时更多。为了避免花时 间太多，去追求意义不大的更为光顺，我们规定做到相邻集中载荷的三同号， 即不再往下做。通过调型值点使集中载荷的单异号( + + + 一+ + + ) 及相邻 双异号( + + + 一+ + + ) 去掉，成为相邻三同号( 但正常拐点的两边符号 看为相互无关。原因在于正常拐点附近，曲线改变弯向为主，集中载荷异号是 次要的) 。这样使使y ”( 功的凹凸区问数减少并均匀，有效去除曲线的多余膨瘪 片段，使满足s 准则。 7 浙江大学硕士学位论文 3 1 样条函数的导出 第3 章样条函数 在手工放样中是用压有压铁的木样条( 或其他样条) 来定出船型曲线的。因 此，模仿压有压铁的木样条而作出样条函数，把木样条看成是在压点处有集中 载荷的等截面细梁。并在小挠度的假定下，导出其数学公式。 在材料力学中，等截面细梁受横向载荷的关系式为： 里：m ，_ d m ：q ，_ d o ：g ( 3 1 ) 口 黜 靠 式中：e 细梁的弯曲刚度： 土曲率，一1 ：七( x ) ：上二了； pp ( 1 + y 2 ) i m 弯矩； q 剪力： g 载荷。 由小挠度的假定y 。1 ，y 。可以略去，| i ( x ) z y ”，得到： 日粤=m，田盟dx4dxd x = g ( 3 2 ) 2 1 、 。 梁端点横坐标为五，当仅有集中载荷时，在非载荷点处g = 0 ，因而 粤：o，4 ” d x y = a 。+ e x + c ：x 2 + d j x 3 ( 3 _ 3 ) 在载荷点x 2 ，矗一。处，y ( x ) ，y ( x ) ，m ( x ) 均连续，剪力q ( x ) 有一等于集 中载荷q 的跃度，因而过( _ ，咒) ( 1 i n ) 的函数三次样条总的表示式可写为： y = 4 + 且x + c t l x 2 + 日x 3 + 巨( x t ) ：，一 月一j ( x 0 ) ( 3 4 ) s o ) 、。 但这一表示式不稳定，计算中会引起大的误差，不宜用于计算。 一8 一 k o 浙江大学硕士学位论文 因此采用分段表示式，过“，m ) ，( x i + l , y + ) 且y ”( 功f ：工= j ，? ， y ”( x ) l 。= y ”m 的y ( x ) 不难得出为： y = 胪y h i + ，l 叫- - y j ( ) 一譬警- 訾( 2 x m - x - x , ) + 争( x ，+ l + x - 2 x i ) t “一薯t + l t o j 记 这时变为 ( 3 5 ) 。= 磊y i + l - y i ，e = 肇0t + 1 一五 y ( x ) ：咒+ ，( x 一薯) 一i 兰二：j 丛：! ! ；二型 q ( 2 x i + 1 - - x - - x t ) + q + 。( t + 。+ x 一2 薯) t t l 一 。 求导得： ( 3 6 ) y ( + o ) = m 。+ l 一( t 。一t ) ( 2 q + c i + 。) y ( 墨。一0 ) = 码，。+ ( + 。一薯) ( 2 q + c i + 。) 由y ( x ) 对t 的连续性y ( 一+ o ) = y ( t o ) 得到： ( _ 一一lc i l + 2 ( t + l - - x i lc a + ( + l - - x t ) c i “= m i h l 一m i 。( 2 i ”一1 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 这称为三弯矩公式。 由于未知系数g ，c 2 ，c n 共有n 个，而三弯矩方程仅有n - 2 个，要完全定 出q ，c 2 ，c n 需要添加二个端值条件。端值条件之一是在两端点处y 。，y ：给定： ( 而一而) ( 2 qq - c 2 ) = 确，：- y ( x n 一一，) ( 一。+ 2 g ) = y 。一m n 吐。 采用用追赶法求样条系数。 由( 3 1 0 ) 有 ”i c 22 骊r n l 2 - y 1 9 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 浙江大学硕上学位论文 记为 即 c l + a l c 2 = b l ， 1 q = 互 6 1 = 碉i i l l , 2 - - y l i 。 将( 3 1 2 ) 4 弋a = 2 的三弯矩方程消去c 1 得： 记为 一般得到： 其中 q + 丽丽x 3 - x 2巳= 筹端 q + 吃q = b 2 ， c i + a i c i + l5 b q 2 可i i x f i + 1 - - i x , 乒雨 包= 惹专黼 类似的由( 3 1 1 ) 得到乞+ c = ，= 丢，6 二= i y 再 ”习- r a n _ l , n 以及 其中 a = b ： c + z c = 耳 x i x p l 不i 瓦f 百丽 m 。一碍- l ，一( 一+ ，- x i ) b t + 。21。(x,+。i。-。x。l。_。l。)。-a。：!。+。l。“1(xt+1-x,) 将( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 代入i = - ，的三弯矩公式，有： 一1 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 浙江大学硕士学位论文 ( x j - - x j 一，) ( 一q 一。c j ) + 2 ( x j 。 因而 再由c i = b t qc f + 。( f _ ，) ，求出所有样条系数勺。 ( 3 1 6 ) 由于函数三次样条不计节点是线性常微分方程g = ov q f # ，因而满足线性 蕊 叠加性质，过( 一，m + 占”) ( 1 i n ) ( 但占m = 5 y , = o ) ，端值导数为yp l + 砂1 y 。+ d 的样条夕o ) 可表为： n - 1 罗( 曲= y ( x ) + 5 y j y 1 x ) + j ) ，l ( x ) + 占_ y 。y ”( x ) ( 3 1 7 ) j # 2 其中y 气x ) 为单位样条函数，2 ，”一1 时，过( ，气) ( 1 f 竹) ， 岛= 忙 ( i = ，) ( f ，) 且y 7 ( 葺) = y o ) ( 矗) = 0 。 ，= 1 时，过( t ，o ) 0 i 即) ，y o ) ( 葺) = 1 ，y o ) ( ) = 0 ，这称为端值单位样 条函数：，= n 时类似。求二阶导数得到样条函数间的关系： n 巨= q + 啊巧力+ 渺：酽+ 渺。( 1 f 玎) ( 3 1 8 ) = 2 单位样条函数系数由追赶法公式导出，显式表示 。，一 尚+ 尚j 中= 丽高葛套淼， 础啤。 南掣 ， ， d 一 p， 聊 = 、10 + 。吩 一 + r ， ，ji、ij0 一 + 巧， ，5 + 勺0 、-t， 一0 一 恭 浙江大学硕士学位论文 西n = 一q 捌 ( f = 1 ，j - 2 ) ， 饿 南掣 ， 4 d = 一西捌( f = j + 2 ，珂) 。 单位样条函数的系数符号有规律为正负相间，中间 o 。 单位样条函数的系数在数量上也有它的规律，因为 q = j 1 ，由q ( f - 2 ，3 ，) 的表达式知。 q 丢， = 互1 ，由群( f = 2 ，3 ，) 的表达式知。 z o ，档 o ， e “的数量关系也是巧2 ，弓”，e 川( j ) 一- - 者数量较大，其他衰减很快。 1 3 ( 3 2 1 ) f 3 2 2 ) 等篡 浙江大学硕士学位论文 第4 章线型光顺法 4 1 单根光顺的说明 船壳设计数据如不经放样( 光顺) 就使用，造出的船水上部分会膨一块瘪一 块，不好看，水下部分要增加阻力，所以需要放样，即每一根水线、纵剖线、 站线均应该光顺，因而最基本的是单根曲线的光顺研究。 单根光顺，给定型值点( t ，y i ) ( 1 i n ) ，设已经转轴使对x 坐标倾角在6 0 。 内，以及固定端给定导数y ，自由端给定曲线是向上弯或者向下弯，整根曲线 给定容许第一振动数r ，要调整y i 为y t + d m ( 2 f n - 1 ) ，端点y 亦可调为 y + 缈，使得达到既光顺又而墨凳j j 咒j 为尽可能小。要求调整量墨器j j mj 小 的原因是，调大了会改变船的性能，例如原设计能装得下机器，调整量大会发 生放不下机器的问题等。还要求端点切线角变动也尽可能小。 4 2 光顺法 4 2 1r 准则方法 光顺法总的出发点r 准则和s 准则，即降低曲线的振动数r 和振动数s 。 其中r 准则是船体线型三向光顺中的主要工作，应此也是光顺法中的重点。由 于船型陷线都是三次样条，三次样条曲线c 2 ，皓线的振动数r 与曲线的拐点 数相等，因此可以采用回弹法和直尺卡样法去曲线多余拐点数来降低曲线的振 动数r 。 回弹法和直尺卡样法主要运用到： 和 nl 互= c i + d 巧2 + t 砂。4 1 + 6 y 。4 ”( 1 f n ) ( 4 1 ) k = 2 n - 1 莓= q + 8 y ；e ；2 搭y l + 6 y 。p ；”( 2 i n 一1 ) ( 4 2 ) k = 2 1 4 浙江大学硕士学位论文 由于一阶线性方程组变量增多时，计算量增大，所以对互或者每提不多于 二个条件，解不多于二个自变量的一阶线性方程组调整一小步，一小步一小步 调整来逐步改善样条曲线的光顺质量。 回弹法 由型值点( _ ，乃) ，( 而，m ) ，( 矗，n ) 与y 。，y 。引样条曲线，当( _ ，乃) 处 勺勺。 0 ，结合( 4 4 ) 知道调整量占”的方向与外力吼的方向相反。 压铁拎起，外力消失，向原有外力相反的方向弹动，故称为回弹。因此弓门可 称为回弹系数。 自然放一般说来型值改动多了一些，例如千吨轮的水线，理论站距约为3 米，自然放掉一个型值点，则在6 米长之内没有压点，压点的分布稀疏了一些， 因而使得弹动多了一些。因此要控制型值调整的数量大小。 研究型值调整的数量界限既定出使二阶导数摆动消失的艿儿的数量。 自然放使e ，勺+ 。 0 化为 弓弓+ - = 0 ( 4 5 ) 浙江大学硕士学位论文 即做到了y ”( x ) 摆动消失，因此自然放是数量界限之。 另一使y ”( x ) 摆动消失的情况是令弓+ ，= 0 ，由( 4 2 ) 得出： 弓+ 。= e j + 。+ 奶粥 ( 4 6 ) 令g ，+ l = 0 得： 昕哥 ( 4 7 ) 这是另一数量界限。 综合上述二种情况得到，单型值j y ，的调整，使得外力消失的较小一个数 量界限是： 盼r n i n 黟爵 ， 这里m i n 指取绝对值更小的一个。 同时减少二个剪力跃度更好的做法是两个型值乃与乃+ 。同时做调整，这就 相当于手工放样的两借借，恰当的办法是取定这两个型值的数量相等，即令 5 y j = 一j 乃+ 1 = q ， ( 4 9 ) 由此以及( 4 2 ) 得到 弓= e j + 奶e 妒+ 蜴+ 。= e j + 吒，( 妒一“) ( 4 1 0 ) 弓+ 。= 巳+ 。+ 奶弓昌+ 5 y j + 。弓等1 = 勺+ 。+ 旺。，( 弓窖一巧等”) ( 4 1 1 ) 由这两式得到，做到外力消失的数量界限是 刊n c 南，矛耘j 四 吒j 一弋挣南j 呓 x j ，_ + 。问由于型值调整使曲率摆动减少时，在其他型值点处曲率有改变， 这一曲率改变可用式子 弓= e j + q ，( 妒一e ) 来计算。至于曲率改变后对光顺性的影响好坏如何，要看具体情况如何而定。 但由，弓川当f 离，较远时的速度衰减性可知，对较远的点影响是很小的。 浙江大学硕士学位论文 具体调整使用数量界限打折扣的办法，制订回弹法( 减少大的曲率摆动) 的几点具体措旋如下： i ，当e j 一1 e j 0 ，勺巳+ l 0 ，e j + 1 e j + 2 0 选取的调整量为 奶= 一8 y j + l = 0 8 a j 1 ( 4 1 3 ) i i ，当勺一j 0 0 ，0 巳+ 】 o ，勺+ j 巳+ 2 0 ( 4 1 8 ) 这是调整的第一步。 第二步的讨论在第一步的基础上进行。不是在调整的数量界限上打折扣， 而是要再调整个数量使多余拐点消失。为写法简单，略去e 上的一，因此 ( 4 1 7 ) ，( 4 1 8 ) 可以写成 q = 0 ( 4 1 9 ) c j l 0 ，c j “ 0 ( 4 , 2 0 ) 取 ：；miil(c)-i,c)+1cj) ( 4 1 2 1 ) 2 j m m l j 一2 1 ) 由( 4 ，1 5 ) 结合( 4 1 9 ) 得： i i = c i + 6 y i ? = 6 yj 由? 媾竭 即 6 y j2 方( 4 2 3 ) 一c 经过这再一次的型值调整，则 l 0 ，而且有弓， o ，弓。 o 这- - d , 波动就完全消失了。 上面做法是：去小波动分为二个型值调整的步骤，第一步调到置= 0 ，第 二步再调到 0 。 一1 8 浙江大学硕士学位论文 为什么第二步要取弓= 三m 啦( 勺。，。+ 。) 昵? 如果系数不取三5 而取得更小，则 x ，附近的小波动虽然去掉，但y ( z ) 曲线在这一小段还是太平了。如果系数不取 而取更大，例如说是丢，则第二此调整可能有弓一， 0 成立，而又使弓大致是在r n i n ( 弓。，弓+ ，) 的j 1 到j i ，比较合适。 如果第一步调整时出现弓一。o 或弓+ 。o ，则仅调整一个型值已不能克服这 - d , 波动，而属于小波动必须扩展为大波动来进行调整的情况，应并入大波动 的情况去讨论。 讨论线型有大波动的情况。q 。q ，勺。勺+ 。的符号为+ 一一+ 。设 屯= o ( f = l ，2 ，一i ，- ，+ 2 ， ) ，8 y j = 妙：= 0 ， 由( 4 1 ) 得： 弓= 0 + 占”+ 奶+ ，哆“ ( 4 2 4 ) 弓十1 _ 巳+ ，+ 啊粥+ t 9 y j + ，嘴” ( 4 2 5 ) 第一步令弓= 弓+ ，= o ，由( 4 2 4 ) ，( 4 2 5 ) 解出a y j ，j 乃+ t 进行调整。如果这时 弓_ 1 ，弓+ ：均不改变符号，则做下面第二步；否则这一波动要扩展，化到更大波 动时的情况去。 第二步，略去，当0 = q “= o ，勺一1 o ，。肿 o 时，由式子 f 弓= c j + 奶巧力+ 占乃+ l 巧”= 6 y j c ；”+ 6 y j + 1 “ ( 4 2 6 ) l 乞+ 。= 勺。+ a y j c s j + 6 y j + 。弓等”= 占乃。簿+ 6 y j + 。啪” 令 c “j ：弓。：l 。m i n ( q + 。+ ：) ( 4 2 7 )2 0 “2 。n i q m 0 + zj 而求解万，6 y j + ，再调整一次型值，则这一大波动消失。 1 9 浙江大学硕士学位论文 上述去大波动的第一步式子( 4 2 5 ) ，就表示歹( x ) 在x ，x x 。间为一直线 段，第二步式子( 4 2 7 ) 就表示歹( x ) 在x ，x x m 为一抛物线段。这一去大波动 的第一步，就相当于手工放样中，遇到线型有一部分特别平坦时，要用木样条 弹动去掉波动有困难，就用直尺沿样条平推，这样来去就去掉波动。不过所用 的直尺及其推广( 成为抛物线) 是由计算决定罢了。因此这样构成的方法可称 为直尺卡样法。这方法逐步推广到可以去掉各种波动：小波动，不适当的大 波动与更大波动。这些波动可以是一般的在线型中间，也可以在固定点及其附 近，也可以在端点及其附近。总之，它是能去掉各种不适当的波动的一般方法。 下面来详谈。 由( ，y 1 ) ，( 屯，y 2 ) ，( 矗，y o ) - 与y 1 ( 或c l = c 2 ) ，y 。( 或矗一。= q ) 作 成样条曲线。对曲线的二阶导数提出三个要求，第一左端的二阶导数c 1 与右端 的二阶导数矗的正负号分别要与指定的正负号相符合，第二由五到矗之间总的 拐点数要不超过指定的数目，第三其中端点二阶导数的正负号可以仅指定一个 或二个都不指定。 如果上述三个条件不符合，就要对线型作较小幅度的调整来满足这些要求 ( 如果小幅度调整满足不了这些要求的话，就要作较大幅度的调整来满足它们) 。 第一，要定出个调整区问来，即是应该改变二阶导数的符号的区间。如 果c l 的符号不符合指定的要求( y ，不确定) 或未指定c 1 的正负号而q 与c 2 异号 也看为符号不符合要求( y j 确定) ，就从而开始定一个区间。如果c 1 已满足符 号要求c n 不满足，就从矗开始定一个区间。当这二者都满足指定要求时，再 看拐点数是否符合要求。如果不符合，则从左到先找小波动，再找大波动，再 找更大波动，这样来定出调整区间，例如说由工，到x k 。 第二，定标准弯向。当，= 1 或七= 行时，标准弯向是外面指定的，当外面未 指定时，以c 2 的符号作为标准弯向。当1 ，七 0 ， 2 0 浙江大学硕士学位论文 否则调整区间要扩得更大。标准弯向记为p t ( p t 为1 或一1 ) 。 第三，调整区间_ 到坼中还可以允许有一个固定点。但当_ ，= 1 ，q 的符号 不对要调整，my 。又为固定时，则在中问不允许有固定点。k = 一的情况类似。 第四，调整哪些型值呢? 当1 0 。进行调整分为j = _ i 即有小波动，以 及_ ， 0 ，p t 0 ，p t - 勺+ l 0 。 当t 非端点，既要去掉小波动而又要做到型值调整量小，取 互= c f + j ”。z 。1 + 啊西力+ t 巧o 。c 。“( i = 1 ，2 ，一， ) ( 4 2 8 ) 啊，= 奶+ ，= 一j 2 奶 ( 4 2 9 ) 鼢：= 胁c t o - ， 1 6 y j + 1 = 7 0 - 其中o - 为待定变量，而 口= y = 1 ，= 一1 5 2 1 一 ( 4 3 1 ) 浙江大学硕士学位论文 当矗为固定点时 取定 则这情况下仍可表为f 4 3 0 ) ，但 当x 。为固定点时 在( 4 3 0 ) 中取定 6 y j = 0 6 y j l = 万乃+ 1 1 2 = ，= 1 ，= 0 6 y h = 0 a = 0 ，r = 1 ，；8 = - 1 5 同法当x j 。为固定点时，取定 口= 1 ，y = 0 ，卢= - 1 5 ( 4 3 2 ) 弭3 3 ) ( 4 3 4 ) ( 4 3 0 ) 代a ( 4 2 8 ) 中i = - ，的情况得 弓= c ，+ o ( o f c ；j - 1 ) + 哆+ r 4 川) ( 4 3 5 ) 第一步，t ! e ( 4 3 5 ) 中令弓= o 而求仃，由此进行调整t - 1 弓+ ，中可能有一个 或二个与p t 异号，这样就化归到大波动情况去了，如果不然，型值调整后( 略 去) 有p t c jl 0 ，p t l 0 ，q = 0 ，做下一步。 第二步，按( 4 3 5 ) 要做到x ，处弯向较好，还要再求盯调整一次型值，使 p t 弓= 0 ，而且调整量要小，使q + ，不改变符号，这可取盯使做到 “=譬曲(icjcj_ l | i ，i c , 十j i ) ( 4 3 6 ) 2 t 咖n + 1 j o o j 按此再调整一次型值，则这- d , 波动消失。 小波动的另一情况，是做类似的第一步与第二步，仅是所用的式子( 4 3 5 ) ， ( 4 3 6 ) 有些变化。 当x ，是左端点即i ，= 1 ，由于端点导数可动时，采用c j = c 2 的条件，因此有 一，一 浙江大学硕士学位论文 近端波动且q 与c 2 异号仅有y j 为固定的情况。在( 4 3 0 ) 中取 口= = 0 ，= 1( 4 3 7 ) 第二步中( 4 3 6 ) 改为下式 互= i 1 乞 ( 4 3 8 ) 右端点情况类似。由于有第三点的假设，因此小波动所有可能的情况就是如上 述。 大波动与更大波动的情况类似于( 4 3 5 ) 的是 e = q + 8 y t c ：o ( i = l ，2 ，以) l = j 第一步要令弓= 弓+ ，一一矗= o 而求8 y j ，奶。，8 y k ，这样做要解多个自变量 的线性代数方程组。如果能避免计算就尽可能避免掉。注意到 弓= 弓+ ，一一五= o 是样条函数歹( 从到矗为一直线段( 这正如手工放样时 用直尺沿型值点平推，作成的样条一段为直线段) ；直线段只要两端点已知，中 间的函数值可用样条插值出来。第二步直线段改为抛物线段，中间函数值仍可 用样条插值来求。避免计算繁复的办法就在此。即更大波动当k j 1 时，删 去中间站号_ 。，一如果这些站号之一是固定点丘( 对应函数记为弘) ，则 这一固定点也被删去。重新求二阶导数，就化归到k = j + l 的大波动情况。因 此只要设k = j + l ，即是仅就大波动考查种种可能发生的的情况以及应如何调 整型值来使它消失即可。 大波动情况，即p t 巳一l 0 ( 当j 1 时) ，p t - q 0 ，p t 。c j + l 0 ，p t c j + 2 0 ( 当j o ，p t c j + 2 0 ，c j = c j “= 0 ，做下一步。 第二步，选奶，魏+ 。使做到 弓：c 一3 + 。：譬幽( 川，叫) ( 4 4 0 ) 勺2 2 m m i i 勺一i ，l q + z i j l 4 4 w 按此再调整一次型值，则这一大波动消失。 大波动其他情况都是做类似的第一步与第二步，仅是所用的式子( 4 3 9 ) ， ( 4 4 0 ) 有些改变。 有固定点的情况用公式 令 互= c t + 占”一1 4 。+ 8 y j c ；+ 6 只+ 1 4 “+ j ) _ 2 4 ”2 ( 4 4 1 ) i d y j 一1 = 似 i 啊+ z2 筇 i 占乃= l 占乃+ ，= 话 f 4 4 2 ) 盯，f 为待定变量，口，卢，d 为按条件取定的常数。为固定点时，规 定d y j = 0 ，即取定 ，= 0 ，万= 1 x j 。为固定点时，规定艿 + ，= 0 ，即取定 并一般的取定啊一，= 啊+ ：，即 y = 1 ，6 = 0 ( 4 4 3 ) f 4 4 4 ) a = = 1 ( 4 4 5 ) 当。为固定点或，= 2 或+ 。为已扩展端点时，规定占乃一，= 0 ，即 口= 0 ，= 1( 4 4 6 ) 当x j + ：为固定点或，= h 一2 或为己扩展端点时，规定奶+ ：= 0 ，即 口= 1 ，口= 0 2 4 一 “4 7 ) 浙江大学硕士学位论文 将( 4 4 2 ) 代入( 4 4 1 ) 得： 叠= q + 盯( 甜4 1 + p 4 “1 ) + r ( ，c + 蹦7 “) ( 4 4 8 ) 由弓= 弓+ = o 解仃，f 做型值调整a 第二步用( 4 4 0 ) ，其他与第一步同。 还有一种有固定点的情况是固定点矗满足_ 矗 0 ，否则要删去站号来处理更大的波动) 当0 是t ，y 可调整，但有固定点_ 0 ( 4 5 8 ) 2 8 浙江大学硕士学位论文 取 得： 即 巳= q ，e j 一1 0 ，巳+ l 0 弓= m i n ( 巳。，巳。) 弓e j + d y j e _ ：j = j y j e ) j 经过这再一次的型值调整，则 氓= 啬 弓 0 ，而且有弓一。 0 ，弓+ ， 0 这一多余小膨瘪段就消失了。 ( 4 5 9 ) ( 4 6 0 ) r 4 6 1 ) ( 4 6 2 ) 如果经( 4 5 7 ) 调整巳_ l ，e j + 。均改变符号，( 4 6 0 ) i 妫 弓= m a x ( ，e j + ，) ( 463)ej 6 3 勺= i m a x i 勺一，“j 一 经( 4 6 1 ) ，( 4 6 2 ) 型值调整，则弓- 1 弓，弓+ 。符号改变为一，可视为正常膨 瘪段。 如果经( 4 5 7 ) 调整e j - 1 ，e j + ，有一个变号，则可以划分到多点膨瘪段的情况。 2 多点膨瘪段 e j _ l e j ，e j + 1 e j + 2 的符号为+ 一一+ ，由( 4 2 ) 只调整”和y j + l 有 i i = e i + 6 y | 专。+ 6 y i + l e 【j - h 蹬6 4 ) 弓+ l = e j + 。+ 占乃粥+ d y j + l 嘴” ( 4 6 5 ) 令弓= 弓+ ，= o 得 妒鞘 s s ， 啡。= 巅篱务 如果这时弓_ 1 ，+ ，均不改变符号，为简写略去，有 浙江大学硕士学位论文 f 弓= 勺+ 矿巧巧川+ 6 y j “巧p ”= 蜴巧力+ 矿吩弓p ” ( 4 6 8 ) h = + 奶蝴+ 啊+ ，蠕”= 啊嘲+ 蜴+ ，嘴” 令 弓= 弓+ 。= m i ne j + e j + ：) ( 4 6 9 ) 勺2 巳+ l2 n _ l ，+ 2j 竹) 求解6 y j ，啊+ ，再调整一次型值，则这一多余膨瘪消失。 如果这