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摘要 基于效用函数的投资组合研究 摘要 首先，本文研究当证券市场不允许卖空时，“均值嘲r 模型的求 解问题。如果风险资产收益率服从正态分布，则在效用最大化原则下的“均 值一方差模型的两种解法是一致的。并且可以证明“均值一c v a r 模 型的有效前沿是“均值一方差”模型有效前沿的一部分。从而用“均值一 方差模型的有效前沿表示出“均值一a 由r ”模型的有效前沿，使其直 接可以用计算机来求解。由于效用函数的引入，因此可以求得满足不同风 险偏好投资者的资产配置。 其次，在事先不假定收益率分布的情况下，利用收益率的实际样本， 推导出期望效用的离散表达式，并且结合r o c k a f e l l e r 构造的f 函数，建 立一般的“效用氓r 模型，并指出此模型的求解思路。 最后，本文研究谱风险测度，介绍谱风险测度与v a r 和c v a r 的关 系。通过引入指数效用函数，推导出谱风险度量在指数效用函数下的表达 式，并建立“指数谱风险”投资组合模型，且指出此模型求解的困难之处。 关键词：c v a r ；有效前沿；指数效用函数；资产组合；谱风险 英文摘要 r e s e a r c ho np o r t f o l i o sb a s e do ne x p o n e n t i a i 。 u t i u t yf u n c t i o n a b s t r a c t a tf i r s t ，a ne x p o n e n t i a lu t i l 姆f u n c t i o nh a sb e e nd e v i s e db ym a k i n gu s eo ft h e m e a n q 厂a rm o d e l 锄di t se f i c i e n t 仃o n t i e r s u b s e q u e n t l y ，u s i l l gt h ep 血c i p l e o fm a x i m 娩i n gu t i l i t y ，t h em e a n c v a rm o d e lw 笛c o i e n e dt oam o d e lt h a t c a nb ed i r 。c t l ys o l v e db yc o m p u t e ri na ne q u i t ym a r k e tw h e r es h o n i n gs a l ei s p r o h i b i t e d b ya p p l y i n gt h i se x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o n ，p o r t f o l i o st os u i ta v a r i e t yo fd i 纸r e n ti l e s t o r sc a nb eo b t a i n e d s e c o n d l y ，i nt h ec a s eo fn o ta s s u m i n gt h ed i s t r i b u t i o no f t h ey i e l d ，t h e e x p e c t e du t i l i t ya p p r o x 油a t ee x p r e s s i o ni sd e r i v e db y u s eo ft h ea c t u a ls 锄p l e r a t eo fr e t u m ，a n dt h e ”u t i j i i t y c v a r m o d e lu n d e rn o 加a lc i r c u m s t a n c e si s e s t a b l i s h e dw i t hf u n c t i o nfw h i c hw a se s t a b l i s h e db yr o c k a f e l l e r ，a n dt h 龃 t h es o l v i i l gm e t h o do ft h em o d e li sp o i n t e do u t f i n a l l y ，t h i sp a p e ri n t r o d l l c e st h es p e c t r a lm e a s u r e o fr i s ka 1 1 dt h er e l a t i o n s h i p a m o n gt h es p e c t r a lm e a s u r eo fr i s k ，v a ra n d ( a r b yi n t r o d u c i n g t h e e x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o n ，t h ee x p r e s s i o no ft h es p e c t r a l m e a s u r eo fr i s k u n d e re x p o n e n t i a lu t i l i t yi h n c t i o ni sd e r i v e d ，a n dt h e “e x p o n e n t i a ls p e c t r a l 英文摘要 r i s km e a s u r e ”p o r t f o l i om o d e l i se s t a b l i s h e d ，锄dt h a nt h ed i f ：f i c u l t yo f s o l v i n g t h i sm o d e li sp o i i l t e do u t k e y w o i m s ：a 内r ，e f c i c i e n tf r o n t i e r ，e x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o n ，p o n f o l i o ， s p e c t r a lm e a s u r e o fr i s k u i 符号说明 符号说明 v i 瓜v a l u ea t 硒s k 简称，是指处于风险中的价值 c 垤rc o n d i t i o n a lv a l u ea t 础s k 的简称，是指损失超过v a r 的条件均值 置信水平 e ( ) 投资组合x 的期望收益率 仃也) 投资组合z 的收益率的标准差 证券组合的协方差矩阵 ( 口) 标准正态分布的分布函数 垆口标准正态分布的密度函数 【，效用，心理的满足程度 七 风险厌恶因子 e 【， 期望效用 v i 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者魏垂车 日期翌呈选妊 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 自二十世纪八十年代以来，由于受经济全球化与金融一体化、现代金融理论及信 息技术、金融创新等因素的影响，全球金融市场发生了基础性和结构性的变化，金融 市场在提高运作效率的同时，金融市场的波动也变得更加剧烈，工商企业、金融机构 面临着日趋严重的金融风险。为了分散金融风险【1 】的需要，金融衍生工具便应运而生 并得到迅速发展。到九十年代中叶，它的名义市场价值已远远大于股票市场的市值。 然而，为规避风险而产生的金融衍生工具却越来越多地被用于投机而不是保值，因此， 金融衍生工具本身也具有极大的风险。如国际上名声显赫、辉煌一时的几大商业银行， 如英国巴林银行、法国兴业银行，它们的破产倒闭或严重危机都与金融衍生工具有关。 这些金融机构的没落，敲响了全世界金融监管的警钟。因此，如何有效地控制金融市 场风险越来越成为全球工商企业、金融机构、政策当局以及学术界关注的焦点。 所谓金融风险，是指企业未来收益的不确定性或波动性，它直接与金融市场的波 动性相关。一般而言，收益的不确定性包括盈利的不确定性和损失的不确定性两种情 形，而现实中人们更关注的是损失的可能性。具体而言，金融风险是指由于金融市场 因素发生变化而对企业的现金流产生负面影响，导致企业的金融资产或收益发生损失 并最终引起企业价值下降的可能性。例如，利率、汇率或者商品价格的波动，以及由 于债务人财务状况恶化而导致违约的可能性等，都会给企业的资产价值和收益带来风 险。因此，对金融风险进行及时的预测和估计是非常必要的。 然而，我国的金融市场，相对不完善，其证券价格的波动比国外的证券市场更为 剧烈，面临的金融风险也更大。近期的上证a 股指数已由0 7 年1 0 月的六千多点跌至 现在( 0 8 年4 月) 的三千多点，跌幅超过百分之五十，一这样的跌幅也是历史罕见的。 在我国加入w t o 后，随着金融市场的进一步开放，投资者面临的风险更加复杂，因 此，他们的投资理念也更趋于理性化。所以，投资者迫切需要科学的数量化投资方法 来提高自身对市场风险的有效分析和管理的能力。 1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 发表了投资组合选择一文，详细地论述了“投资组合一 的基本原理，奠定了对现代投资组合理论的基础。在m a f k o w i t z 的“均值一方差模 型1 2 。j 中，以方差为风险函数，模型在期望收益水平一定的条件下，追求方差最小。由 于模型中需要求出所有风险资产之间的协方差，这就带来了计算上的困难。为此，人 们一直试图改进该模型的风险度量方法。然而，采用不同的方法来度量风险，得到的 结果并不一致。1 9 6 4 年，s h 泖e 以“均值一方差模型为基础，提出了著名的值( 表 北京化工大学硕士学位论文 示单个证券相对于整个证券市场的易变程度) 模型1 4 1 ，即用值度量单个证券投资的 系统风险1 4 j ，并以此为基础形成了资本资产定价理论。这两种理论到2 0 世纪8 0 年代， 成为证券投资风险度量的两种基本理论，在实际中得到广泛的应用。 为了弥补m a r k o w 沱的“均值一方差模型的许多缺陷，j p m o r g 姐【5 7 】公司于1 9 9 3 年提出了v a r l 8 l 方法，它能比较全面地量化复杂证券组合的市险风险。v 出( v a l u e a t r i s k ) 的含义是“处于风险中的价值一，简称风险价值，指在正常的市场波动下，某一金融资 产或证券组合的最大可能损失，即在一定的概率水平( 置信度) 下，某一金融资产或证 券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失目前，金融市场中主要采用v a r 方法 进行风险测量，但该方法不是孤立的市场风险计量方法，它具有广泛的应用空间将国 际上正蓬勃兴起的v a r 方法应用到投资组合领域是对现代投资组合理论的拓展。 然而，研究发现，v a r 存在重大缺陷，这也就意味着，用该模型来进行风险测度 有可能遭受没有预见到的损失。这类风险带来的损失的破坏力都是致命的。因此，理 论界提出了许多对己方法的修改方案，而其中以r 0 c k a f e l l e r 为首的诸多经济学家 提出的c v a r 【吼1 4 j 模型极具代表性和可操作性。c v a r 方法是指损失超过v a r 的条件 均值，也称为平均超额损失，它代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过v a r 阀 值时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之v 状更能体现潜在的风险价值。c v a r 满 足一致性风险度量标准的四个公理，因此是一致性风险度量。僦的计算可以通过 构造一个功能函数而转化为一个凸函数的优化问题，在数学上易于处理，并且在计算 c v a r 的同时，相应的r 值也可同时得到。 后来，p a l m q u i s t 、岫a s v 、l i 油l 【l l 哪a l ( 1 9 9 9 ) 探讨了关于c v a r 的约束问题，并对 投资组合最优化问题进行了研究。a n d e r s o n 、m 卸s s e r 、r o s e n 、u r y a s v ( 2 0 0 2 ) 【删，将a 内r 方法引入信用风险度量，拓展了a ，a r 风险度量的应用框架。 一般来讲，投资者对于风险的偏好程度是不同的。因此，对于只依靠v a r 或僦 等风险度量工具求得的投资组合未必能够满足所有投资者的风险规避要求。所以，引 入一个用来刻画投资者风险偏好的效用函判1 5 以6 】是有必要的。当然，不同投资者的效 用函数也有所差异，但是研究表明，一般人的效用函数都是上凸型的保守型效用函数。 因此，在投资组合中引入效用函数，可以在一定程度上体现投资者对风险的规避要求。 2 0 0 2 年，由a c e 而i 提出的谱风险度量( s p e c t r a lr i s km e 弱u r e s ) r 卜1 9 j 引起了金融风 险管理人员的广泛关注。这种度量方法可以把风险度量和投资者的主观需求结合起 来。简单来说，谱风险度量就是投资收益的加权平均值，收益的权重可以根据投资者 的需求做出相应调整。 1 2 本文的主要工作 2 第一章绪论 ( 1 ) 引入指数效用函数，以c v a r 作为风险度量工具，假定投资收益率符合正态分布， 通过模型的转化，构造出可以用m a t l a b 工具箱直接求解的“效用c ，抿 模型。 ( 2 ) 在不假定投资组合收益率分布的情况下，推导出指数效用函数的期望效用表达 式，并且构造出一般的“效用c v 娘 模型。 ( 3 ) 利用引入的指数效用函数，推导出谱风险度量的表达式，进而建立“指数谱风 险 模型。 ( 4 ) 通过选取美国证券市场的四只股票，对“效用v a r 模型做出实证。 3 第二章v a r 和a ，a r 风险度量方法 第二章v a r 和c v a r 风险度量方法 本章首先引入一致性风险度量( c 0 h e r c n tm e 弱u r 髓0 fr i s k ) 【2 0 i 公理，然后介绍煅的 概念及性质，并指出、，a r 的缺点。接着介绍c 妇r 的概念和性质，及其相对于汛的优 点。 2 1 一致性风险度量 一致性公理是由a n z n e r 等人提出的，对于某一风险度量工具砂：x 呻尺，若满足以 下性质，则称为一致性风险度量工具， ( 1 ) 正齐次性妒( a x ) = a 妒( x ) ，v a 苫0 ( 2 ) 平移不变性缈( x + c ) = 缈( x ) 一c ，c 是常数 ( 3 ) 次可加性妒( x + d 妒( x ) + 妒( y ) ( 4 ) 单调性若z 苫】，则妒( z ) s 妒( y ) 在以上四条性质中，正齐次性说明风险资产的风险大小跟资产头寸成正比；平移 不变性说明在投资组合中若增加无风险资产的头寸，组合的风险将随着无风险头寸的 增加而减少；次可加性说明了投资组合的风险应该小于单个投资的风险之和；单调性 说明若一个资产优于另一资产，则前者的风险至少不大于后者。 2 2v a r 方法 通常而言，v a r 是对资产或资产组合的可能损失的总括性与单一数值的统计测度。 具体来说，在大多数情况下，人们都采用了j p 摩根的r j s k m e t r i c s 中对v a r 的定义：v 报 是按照预定的置信水平，对所持有头寸在某一间隔期上可能遭受最大损失的一个估 计。在这里，v a r 实际上是满足收益分布的某一指定概率的分位点。这个概率常常是 9 5 或9 9 。v a r 概念简单，易懂，操作方便，并成功地将各种风险，特别是主要的 市场风险进行了量化。正是由于v a r 模型相对于以往模型的诸多优点，因此它被巴赛 尔委员会确认为市场风险的标准测量工具。 2 2 1v a r 的定义及性质 定义1v a r ( v a l u e - a t r i s k ) 是一定置信水平下，一定持有期中，金融资产可能遭受 4 北京化工大学硕士学位论文 的最大损失。 设口( 0 ，1 ) 为给定置信水平，为随机收益率，则在置信水平口下的v a r 定义为， 忱一一i n “y i p r 【，s ) ，】苫1 一口 由v a r 的定义，可以得到v r a r 的如下性质【8 】， ( 1 ) v a r 满足正齐次性，即砌暖( 硼= 桃，v a 苫0 ( 2 ) v a r 满足平移不变性，坛r ( y + c ) ；玩吃( y ) 一c 2 2 2 计算v a r 的主要方法 ( 1 ) 历史模拟法 历史模拟法假定收益率服从独立同分布，即市场因子的未来波动是历史波动的重 演，其核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券投资组合的未来收益分布。因 此，利用分位数，可以给出一定置信水平下的v a r 估计，它的缺点在于需要有大量的 历史样本来精确估计分位数。 ( 2 ) m o n t ec a l l o 模拟法 m o n t ec 盯l o 模拟法是一种随机模拟方法，它用市场因子的历史波动参数产生市场 因子未来波动的大量可能路径，虽然正态分布是m o n t ec a r l o 模拟法中最常用的分布假 定，但它无需假定市场因子都服从正态分布。这种方法的缺点是计算效率较低。 ( 3 ) 分析方法 利用证券投资组合的价值函数与市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布 ( 协方差矩阵) 来简化v a r 的计算。根据证券投资组合价值函数形式的不同，分析方 法大致可分为两大类：d e l t a 类模型和g a l i 衄a 类模型。分析方法的不足在于在大多数情 况下正态假设与实际不符，但通过人工智能方法和分布拟合方法可以对其进行改进。 2 2 3v a r 的主要缺点 ( 1 ) v a r 不满足一致性公理 若v a r 不满足次可加性，它就不是凸性的风险计量，我们也就不能通过优化来求 得最小风险投资组合。而且，当v a r 不满足次可加性时，投资组合的v a r 值会大于投 资组合中各项资产的v a r 值的和，这将产生一个错误的风险规避策略：一个包含多个 部门的金融机构只要将其资产分别划分给其下的各个部门，由各个部门分别计算v a r 再求和，就能实现整个金融机构的风险降低。显然，违背次可加性将有可能给金融监 管系统带来系统漏洞。另外，我们可以证明，当且仅当投资组合的损失呈正态分布时 5 第二章v a r 和咖风险度量方法 v a r 才满足次可加性，进而满足一致性要求。但是许多文献已经给出证明，无论是在 国内或是国外的证券市场，投资组合的损失分布都是厚尾和有偏的，即不满足正态性。 这也意味着，用v a r 来衡量投资组合风险是不满足次可加性的，不符合一致性公理的 要求。 ( 2 ) v 根尾部损失测量不充分 根据定义1 ，v a r 是指在给定的置信水平和投资期内投资组合可能遭受的最大损失。可 见v a r 本质上只是对应于某置信水平的分位点，故又称为分位点v a r 。因此它无法考 察分位点下方的信息，即所谓的左尾损失，这就是浓尾部损失测量的非充分性。v ：汛 方法的这一缺点使人们忽略了小概率发生的巨额损失事件甚至是金融危机，而这又恰 恰正是金融监管部门所必须重点关注的。让我们来形象地认识一下v a r 尾部损失测量 的非充分性。 假设有两个投资组合x ，y ，它们的投资收益分布如下图所示： lf m j e 一么 y 、 9 5 锄y a r 图2 1 投资组合x ，y 的收益分布图 n 9 2 l1 n h ef i g l l r co f 陀t 啪d i s 仃i b u t i t 0t h cp o 晌l i o sx 柚dy 显然这两个投资组合的风险是不同的。组合y 发生极端损失的概率远大于投资组 合x 发生的概率，即组合y 的风险更大。然而用9 5 置信水平的瓜来衡量两个投资 组合的风险状况时，两者是相同的，这就给投资者一个错误的风险信息，进而可能误 导投资者选择高风险的投资。 2 3c v a r 方法 6 北京化工大学硕士学位论文 正是因为v a r 方法越来越为人们所熟知和认可而广泛应用于金融系统的风险度量， 但其本身又有着上述的缺陷，故研究界纷纷试图对v a r 进行改良，找到一个既具有可 操作性又满足一致性公理，特别是考虑到了左尾损失极值的风险测度。其中， r o c k a f e l l e r 等学者在1 9 9 7 年提出的c 垤r 这一概念引起了证券界金融风险管理人员的 重点关注，并得到了越来越多业界人士的认可。 2 3 1c v a r 的定义 定义2c = v r a r ( c ( m d i t i o n a lv 射u e a t 硒s k ) 是指损失超过i r 的条件均值。表达式为， c 玩兄a 研，o ，y ) i 三o ，) ，l 玩兄】 其中 ，) ，) 是损失函数，z 是决策向量，表示资产的头寸大小，随机向量y 表示市场 因子( 如资产的收益率，价格等) ，它的概率密度函数为p ( ) ，) 。 从数学上来看c v a r 实际上是一个条件期望值。由此不难发现与v a r 的区别： 首先( a r 不是一个单一的分位点，而是尾部损失的均值，只有将所有大于v a r 的损失 值都考虑到才能计算，因此它对尾部损失的测量是充分的。 则对任意的6 尺，预期损失的分布函数可以表达为 妒( x ，6 ) 一，p ( y 渺 工恤j 6 它是关于6 的非增、右连续函数。则对于任意置信水平a ( 0 ，1 ) 。玩r ；m i n 6 尺：妒o ，6 ) 2 口) 于是 c y a 心= e 【 ，y ) l 三0 ，y ) 砌凡】 一( 1 一a ) 以 r ，y ) p ( y 协 2 3 1c ，a r 的性质 由c v a r 的定义，可以得到c v a r 的如下性质【9 1 ， ( 1 ) c 、内r 满足正齐次性，即c 兄( 胛) = 肥妇r ( y ) ，v a 苫0 7 第二章v a r 和c 、，a r 风险度量方法 ( 2 ) a 内r 满足平移不变性，c 砌兄+ c ) = c 坛兄) + c ( 3 ) c v a 。r 满足次可加性，c 砌吃僻+ y ) 互c 妇凡( x ) + c 玩凡( y ) 因此，c v a r 是一致性风险度量。不论投资者的回报是否是正态分布，c 瓜满足胁e r 等人提出的一致性公理，符合现代金融理论中的基本常识。又由于它的凸性，使它的 优化问题计算操作简单、能够处理大样本事件，且存在最优解。a 内r 同样用货币来 计量损失的大小，概念简单，便于投资者直观理解。 然而c v a r 模型也并非完美无缺，它仍处在发展之中。由于c v a r 计算的是超过 v r a r 的尾部损失的均值，因此，尾部损失分布估计的准确性将直接影响到c v a r 的计 算精度；另外，c v a r 的计算也同样依赖于历史数据，而事实上尾部小概率事件的数据 资料更难得到，所以对历史数据的选择同样会影响计算的结果。 第三章投资组合模型及其有效前沿 第三章投资组合模型及其有效前沿 3 1m a r k 洲i t z 的“均值一方差一投资组合模型及其有效前沿 对于一个由以种证券组成的证券组合，毛，屯，分别为各证券的投资权重， x 。 ，。q ) 掣i 善而暑1 为投资组合集设表示第f g = 1 ，2 ，”川) 种证券 的收益率，假设它服从正态分布( 下面的证券收益亦为此假定) ，则证券组合的收益 率向量为厂t = ( ，厂2 ，：i ) 。对任意的z x ，设一石t r - 鼍为投资组合x 的收益 面 率e 纯) 和仃( ) 分别为投资组合x 的期望收益率和收益率的标准差期望收益率 e 纯) 一e ，刀个证券的期望收益率向量为尺t = e ( ，t ) = ，恐，兄) ，t g 1 ，1 ) 为刀维单位向量，为证券组合的协方差矩阵，则“均值一方差 投资组合模型1 2 1 - 2 2 1 m i n 仃2 ( ) = ，班， s t e ( ) 一x t r 一云( 3 1 ) 荟畎_ 1 1 于模型( 3 1 ) 由拉格朗日乘子洲4 1 可解得盯与i 的关系式， 告一安掣乩3 2 ) z ”v 叫 且得最优投资组合：x ，旦二竺- ，+ 旦型一- r 式中彳一，t 一1 r ；口一r 您- 1 尺c = j 您- 1 ，；d = b c 一彳2 ，( 3 2 ) 式图像如图3 1 所示。 9 北京化工大学硕士学位论文 以 c 二 口 运 图3 1 “均值一方差”模型的有效前沿 f i 9 3 ln ee f f i d e n t 丘0 n t i e fo ft h em e a m r i a n o en 1 0 k l 显然，当云= 昙时，口2 取到最小值吉。而“均值一方差刀模型的有效前沿为曲线 上点畴，罢) 以上的部分。 3 2 “均值c v a r 一投资组合模型及其有效前沿 上面介绍了“均值一方差模型及其有效前沿的相关表达式，接着下面介绍由 c v a r 作为风险度量的投资组合模型。 3 2 1 “均值c f a r 投资组合模型及其有效前沿 a n z n e r 、a c e r b 等都通过不同方法证明c v a r 是满足次可加性的，即对于任意的随 机回报总能有下式成立： c 玩r ( x + y ) sc 砌r 僻) + c 幽。) 其中，口表示置信水平，因此，不论回报是否服从正态分布，c v a r 都是一致性的风 险计量。最后，我们还可以从上式发现是凸性的风险计量，因此基于c v 抿的投 资组合优化必定存在最小风险的解。 当市场因子y 为证券收益率随机向量时，o ，y ) 一r y 。此时，假设风险资产服 从正态分布，则损失函数l o ，y ) 一r y 口( 一e ( ) ，仃2 ( ) ) ，则c v 状的表达式为i 嬲】 1 0 第三章投资组合模型及其有效前沿 c 帆_ ( 1 一口) 。1 ，三 ，y ) p ( y ) 西，= 丁( ) 一e ( ) 工o ，) z 地毛 其中，z ；掣，妒( 口) 表示标准正态分布，伊口表示标准正态分布的密度函数。 l 一口 由此“均值一c 玩r 模型可以建立如下： m i n c 眦- r 仃( ) 一e s t e 纯) = ，r = e( 3 3 ) fl1 1 将式c 砌尺一勋纯) 一e 代入( 3 2 ) 得， 哗乒一辔乩。q丁2 cd c 2 r 其中，彳：，喳一1 r ，口。r 您一恹，c ，t 一1 j ，d 一占c 一彳2 ，式( 3 4 ) 图象参见图3 2 。 c 眦 图3 - 2 “均值c ，a r ”模型的有效前沿( 1 ) f i 9 3 - 2n e 丘璐te 伍c i e n t 矗伽t i e fo ft h em e a i 卜- c v a rm o d e l 显然，当c 砌r 取到最小值时，坚掣；o ，对式( 3 4 ) 两边求关于云的偏导可得， a 面曲。兰+ c 蹴c 砌r 胨一争厩旷均值咄咖有效 前沿为曲线上点( c 坛氏抽，e 血。) 以上的部分。 定理1 ：在仃一e 坐标系中，“均值c v a r 的有效前沿是“均值一方差 有效 北京化工大学硕士学位论文 前沿的一部分。 证明见附录。 3 2 2 置信水平对“均值c v a r 模型有效前沿的影响 在本文3 2 1 中曾讨论了置信水平与c v a r 的定量关系，在这里主要讨论当置信水 平口变化时对均值嘲r 模型有效前沿的影响。 已知口( o ，1 ) ，现在讨论当口趋近于0 、0 5 和1 时，z 的变化情况。容易看出， h m 丁；l i m 业：! 塑虬。 口咖口_ o l 一口 e mz ；l i m 幽；胆 口一o 5 a n - 5 1 一口 f 石 l i m 丁；l i m 坐：堑虬+ 口- 1a 一1 1 一口 那么相应的a ，a r 情况为： h 理c 帆= l i 里【丁仃( ) 一e ( 乞) 】= e ( ) 口o”口o 。 斤 l i 观c 玩兄s1 i 婴。【r 口纯) 一e ( ) 】| 1 e 吒一e ( ) 口- o - 5 口- o 5 。 y 万 h 哩c 玩r = l i 里【丁口瓴) 一e 纯) 】= + 口+ i口l 由以上讨论可知，当口从。增加到。5 再增加到1 时，r 单调从。增加到亨再趋于+ 。 所以，当口呻0 时，“均值c v r a r 模型的有效前沿趋于斜率为1 ，且通过原点的 一条直线，当口呻1 时，“均值v a r 一模型的有效前沿趋于“均值一方差模型 的有效前沿。如图3 3 所示， 第三章投资组合模型及其有效前沿 jl 占 | 口= 0 5 ， 图弼“均值c v a r ”模型的有效前沿( 2 ) f i 9 3 - 31 k c o n de 伍d t 五m 嘶e ro ft h em e a n _ c v a rm o d e l 1 3 第四章效用函数 4 1 效用和效用函数 第四章效用函数 比如有一件脏且累的工作，完成它后可得5 0 元的报酬。这对收入低的人是一项 不错的工作，但对收入较高的人( 如月收入过万的人) 可能就不会接受此任务。因此， 同是5 0 元，在收入高和收入低的人的心目中的价值是不一样的。 在此，我们把钱在人们心目中的价值称为效用1 1 6 1 。若用m 表示钱，用表示效用， 那么效用应是钱的函数，即u u 伽) ，这个函数u 伽) 称为效用函数。假如一个行动口 可能有两种收益鸭和m ，并以概率口获得收益删，和以概率1 一口获得收益研：，那么此 行动的期望效用是指 口u ( ) + ( 1 一口) u ( 优2 ) 4 2 常见的效用函数曲线 效用函数曲线的形状很多，但常见的效用函数曲线有如下几种。 4 2 1 直线型效用函数曲线 如图4 1 所示，此效用函数曲线表明：收益与其效用成线性关系，他对任意的 口( 0 a 1 ) ，有 u 【口+ ( 1 一a ) 所2 】一口u ( ，1 1 ) + ( 1 一乜) u ( 聊2 ) 其中，l l 和册，是任意给定的两个收益值，上式表明：收益期望值的效用等于收益 效用的期望值。收益效用期望值最大的行动也必是收益期望值最大的行动。因此，此 持有直线型效用函数曲线的决策者，是对风险无所谓的人，这种人对风险大小在态度 上表现无所区别。所以对这类人就没有必要去寻求效用曲线了，他可直接用效用期望 值来选择最优行动。 1 4 北京化工大学硕士学位论文 o 一 坞_ 图4 1 直线型效用函数 f 唱4 1 m l i n e 盯u t i l i t y f i l 】叼晒n 4 2 2 上凸型效用函数曲线 图4 - 2 上凸型效用函数 魄4 21 h eu p p 盯咖v e xu t i l i t yf l l i l c t i 如图4 2 所示，此类效用函数开始时效用值增长较快，随后增长速度越来越小， 根据上图函数的性质，对任意的a ( 0 口 a u ( ) + ( 1 一口渺伽2 ) 其中m 1 和朋，是任意给定的两个收益值。 根据两不等式两端的含义各构造一个行动： q ：以概率口获收益吗，以概率1 一口获收益历，； 岛：肯定获收益6 一口强+ ( 1 一口咖，。 那么此不等式表明：持有上凸型效用函数曲线的决策者总是选择行动吼，因为行 动口，的效用总是高于q 的效用。容易看出，口1 是有风险的行动，口，是无风险的行动， 决策者往往对无风险的行动感兴趣，而对有风险的行动是厌恶的，他对亏损特别敏感， 而对较大的收益反应迟钝，所以这类曲线又称为保守型效用曲线。人们作过调查，大 多数普通人在大部分时间里都是持此类效用函数曲线。 4 2 3 下凸型效用函数曲线 如图4 3 所示，此类效用函数曲线开始时效用值增加较慢，随后增加速度越来越 大，根据下凸函数的性质，对于任意的口( 0 口 1 ) ，有， 口+ ( 1 一口砌2 】 0 ，称为风险厌恶因子，表示投资组合x 的 收益，根据文献【