（应用数学专业论文）均匀设计的组合性质及其构作.pdf

塑塑堡盐塑望盒壁重丛基塑堡 塑墨! 摘要 试验设计和组合设计之间的联系有着久远的历史本文的目的在于讨论几 种常用偏差下均匀设计的组合性质，并由此采用一些已知的或新给出的组 合构型来构作所需的均匀设计 根据三种不同类型的偏差，即离散偏差，可卷三z 。偏差和中心化l 。一偏 差，本文的主要部分可以被分成三章第2 章推广了现有的关于离散偏差下 均匀设计的组合性质，并利用组合设计理论中一些常用的组合构型，包括可 分解部分成对平衡设计，可分解填充覆盖及 设计等来构作离散偏差下的 均匀设计第3 章和第4 章则分别介绍了可卷l 。一偏差及中心化三。偏差均 匀设计下的组合性质与组合构作方法我们精确地给出了两种偏差的一系 列下界以及到达下界所需要的条件同时我们也定义了包括完美的可分解 平衡不完全区组设计在内的一些特殊的组合构型来构作相应的均匀设计 最后，我们在第5 章还给出了一种平衡趋向性算法来搜索给定偏差下的均匀 设计这个算法结合了前面几章中所讨论的组合性质，从而相对比较有效 通过这个新算法，我们找到了许多比铰满意的低偏差设计 关键词：均匀设计，偏差，组合设计，构作，算法 作者：唐煜 导师：殷剑兴教授方开泰教授 。塑笪塑过丝堑盒缝堕壁基塑堡赵煎嚣! ! c o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e sa n dc o n s t r u c t i o n so f u n i f o r md e s i g n s a b s t r a c t t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ee x p e r i m e n t a ld e s i g n sa n dc o m b i n a t o r i a ld e s i g n sh a sa l o n gh i s t o r y t h ep r e s e n tt h e s i sa i m st oi n v e s t i g a t ec o r r e s p o n d i n gc o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e sf o ru n i f o r md e s i g n su n d e rs o m ef r e q u e n t l yu s e dd i s c r e p a n c i e s 。i ta l s op r o v i d e s c o n s t r u c t i o nm e t h o d sf o ru n i f o r md e s i g n sb yu s i n gv a r i o u sk n o w no rn e w e s t a b l i s h e d c o m b i n a t o r i a lc o n f i g u r a t i o n s ， a c c o r d i n gt ot h r e ed i f f e r e n tt y p e so fd i s c r e p a n c i e s i e 。 t h ed i s c r e t ed i s c r e p a n c y , t h ew r a p - a r o u n dl 2 - d i s c r e p a n c ya n dt h ec e n t e r e d 岛一d i s c r e p a n c y , t h em a i np a r to ft h e t h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e r2g e n e r a l i z e st h ek n o w nc o m b i n a t o r i a l p r o p e r t i e sr e q u i r e df o ru n i f o r md e s i g n su n d e rt h ed i s c r e t ed i s c r e p a n c ya n du s e sw a x i o u s c o m b i n a t o r i a lc o n f i g u r a t i o n si n c l u d i n gr e s o l v a b l ep a r t i a l l yp a i r w i s eb a l a n c e dd e s i g n s ， r e s o l v a b l ep a c k i n g sa n dc o v e r i n g sa n dt - d e s i g n st oo b t a i nc o r r e s p o n d i n gu n i f o r md e - s i g n s i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w ed e a lw i t ht h ec o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e sa n da l s o c o n s t r u c t i o nm e t h o d sf o ru n i f o r md e s i g n su n d e rt h ew r a p - a r o u n dl 2 - d i s c r e p a n c ya n d t h ec e n t e r e dl 2 一d i s c r e p a n c y ，r e s p e c t i v e l y as e r i e so fl o w e rb o u n d sf o rt h ed i s c r e p a n - c i e sa z l dc o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n sf o ra c h i e v i n gt h e s e l o w e rb o u n d sa r ee x p l i c i t l yg i v e n s o m es p e c i a lc o m b i n a t o r i a lc o n f i g u r a t i o n si n c l u d i n gt h ep e r f e c tr e s o l v a b l eb a l a n c e di n - c o m p l e t eb l o c kd e s i g na r ed e f i n e dt oc o n s t r u c tu n i f o r md e s i g n s 。i nt h el a s tc h a p t e r ， w ea l s op r o p o s eab a l a n c e dp u r s u i ta l g o r i t h mt os e a r c hl o w - d i s c r e p a n c yd e s i g nu n d e r a n yg i v e nd i s c r e p a n c y t h i sa l g o r i t h mi sc o m b i n e dw i t ht h ec o m b i n a t o r i a lp r o p e r p i e s d i s c r i b e di np r e v i o u sc h a p t e r sa n ds e e m st ob ee f f i c i e n t a s & r e s u l t ，i nm a z l yc a s e sw e c a nf i n df a i r i ys a t i s f a c t o r yd e s i g n sb yi m p l e m e n t i n gi t k e y w o r d s ：u n i f o r md e s i g n ，d i s c r e p a n c y , c o m b i n a t o r i a ld e s i g n ，c o n s t r u c t i o n ，a l g o - r i t h m w r i t t e nb yt a n gy u s u p e r v i s e db yp r o f nj i a n x i n g p r o f f a 辩gx 蕊i 第一章绪论均匀设计简介 1 1 1 均匀设计简介 第一章绪论 作为试验设计的一种重要方法，产生于二十世纪七十年代末的均匀设计已 经被广泛应用于工业生产，系统工程，制药及其他自然科学中正如当时系 统工程中的三个项目所要求的那样( 见 1 2 】和 5 7 】) ，均匀设计成功地应用于 实际的最主要原因在于它可以用相对较少的试验次数来确定出多个高水平 因子的比较好的水平组合在这一点上恰好弥补了传统试验设计，包括正交 试验设计的不足随着均匀设计的应用不断被推广和深入，相应有关均匀设 计的理论也不断被建立和完善特别地，h i c k e m e u 于【3 7 】和 3 8 】中提出了一 系列改进偏差之后，围绕均匀性度量以及相关设计构作的讨论不断见诸 文献粗略地讲，目前关于均匀设计的理论性工作主要可以分为两个部分 第一部分是关于衡量均匀性度量的性质的讨论，而第二部分是关于特定均 匀性度量下的均匀设计的构作事实上，这两个部分本身也是相辅相成的 均匀设计的提出就是为了实际应用，从而如何来构作具有良好性质的均匀 设计是有关理论工作的根本出发点但只有当我们对均匀设计的各种性质 把握非常清楚的前提下，才有可能通过特定的构作方法有的放矢地得到满 足要求并且能达到实际效果的均匀设计 在王元院士和方开泰教授提出均匀设计之初，均匀性度量是采用数论 ( 伪蒙特卡洛) 方法中常用的三，一偏差但正是在文献 3 7 】和f 3 8 1 中，h i c k e r n e l l 教授指出了l ，偏差的一些缺陷，并相应地提出了一系列改进l ，偏差，其 中包括我们后面几章会着重介绍的可卷工。一偏差和中心化工。一偏差等一般 来讲，全面而系统地评价不同均匀性度量的优劣是很难的，但经验表明，一 个好的均匀性度量应该满足以下性质： 1 容易计算，便于实际应用； 2 有比较直观的几何解释； 3 对不同的设计敏感，能较大程度地加以区分； 4 考虑到低维投影的均匀性； 5 对于试验点排列的置换和因子排列的置换保持不变； 第一章绪论预备知识与记号 2 6 下界容易推导； 7 满足k o k s m a - h l a w k a 不等式 这些性质的具体含义及讨论可以参见文献 3 7 】，f 3 8 】和f 2 1 当然，这些性质并 不是一成不变的随着我们对均匀性度量的进一步研究，我们可能会提出更 为合理的性质与要求但从目前来看，以上这些性质都是相对比较合理的 而对于下面我们将要讨论的几种偏差，它们都能满足以上性质中的几条特 别是中心化工。一偏差，被认为是目前最有效衡量设计均匀性的一种偏差，也 正因为此，均匀设计主页“h t t p ：w w w h k b u e d u h k u n i f o r m d e s i g n ”上的大部 分设计都是以中心化l 。偏差作为均匀性度量的 对于均匀设计的构造方法，现有文献中已经涉及了不少比如，好格子 点法( 见 57 和【2 8 】) ，拉丁方法( 见f 2 5 】) 及正交设计扩展法( 见 2 9 】) 等但这 些途径只能看作是构作均匀设计的近似性方法，因为它们并没有从性质上 保证所导出的设计一定是均匀设计，而仅仅是提供了一种直观上简单可行 的替代性构作近年来，通过对各种偏差下均匀设计的组合性质的讨论，进 而采用相应的组合构型来导出均匀设计的做法不仅切实可行地构造出了特 定类型的均匀设计，而且也使得组合设计理论又一次与试验设计理论紧密 地走到了一起，从而为组合设计的进一步发展提供了可能。众所周知，组合 设计是一个很古老的学科但正是由于1 9 2 0 年f i s h e r 把正交拉丁方成功地 应用于农田试验设计中，才使得现代组合设计理论得到了蓬勃的发展从这 个意义上说，组合设计理论与试验设计理论在先天上就有着千丝万缕的联 系。通过适当的组合构型来得到具有良好性质的试验设计不仅是可行的，而 且还应该是非常自然的而本论文的主要目的就是希望通过对各种偏差的 组合性质的讨论，提炼出相对应的组合构型，进而利用组合上现有结果或构 作技巧来得到不同类型的均匀设计 1 2 预备知识与记号 首先我们来给出均匀设计的定义设p 是某区域口上的n 元点集用m ( p ) 来表示衡量点集p 的均匀性的某种度量，使得m 值越低，点集p 越均匀 则均匀设计就是在区域d 上的所有可能的n 元点集中具有最小胁值的点 集这个区域口通常被取成单位立方体c t m = 【0 ，1 ) “或其子集 从定义可以看出，均匀设计的概念是十分一般的不同的区域口的选 燕= 堂莹迨涸鱼塑望皇蟹复 i 取，不同的均匀性度量的采用都能产嫩不同类型的均匀设计在本论文中， 我秘将对繇选取酶区域移及对所采焉酶均匀毪度爨攘一定的限镂。 正如许多已有文献中所指出的那样，几乎所有的均匀设计都是构作在 所谓的g 型设计集上的所以我们先来介绍一下u 型设计的概念。 一个嚣m 矩阵x ，若其第j 一l ，2 ，m ) 藏酶元素取鑫囊合= l ，2 ，彩) ，麒这鲫个元索出现的频率相等，均为q = z , q j 次，则该短阵称 为是一个u 型设计( 见 1 6 】) ，记作u g k ，) ，显然，这里n 必须被所有 的弼整除，其中j = 1 ，m 一个u 熬设计被称为是对称酶，如果q ，一：q m ；否剡，设计被 称为是非对称的所有这样的u 型设计u ( 弼吼，) 形成的集合被记作 材( 弼g 小。，) 。为了方便，当一些劬相弱时，我们将采用记号u 扮曰，卵) 及掰( 弼g ；1 ，q f , ) 来表示糕应鲍u 黧设计及u 毽设计囊，这里；：，r j = m 而当设计是对称时，我们就简单地记其为u ( n ；q m ) 对于一个u 型设计u ( 啦鼋1 ，) ，我们定义映射，= ( ，小，南) ，其中 秀：1 畸( 2 1 一1 ) ( 2 茹，江l ，。，姑，j = 1 ，m ，翔u 型设计的嚣个嚣裁被映射 成中的舡个点在这个意思上，整个u 型设计集b t ( n ；q 小，) 可珏技 瓣成是c m 的一个子集从而对于给烧的均匀性度量，如果“( 嘲q ”，) 上 的菜令设计使褥度量这到了最小，则这个设计将被称为是材( 弼吼。，鼋m ) 上 的均匀设计，并记作u 。( 譬l ，) 。巍一些姑耜阉时，其德静诧号也可镟次 类推另外对午第2 1 节及第2 2 2 小节中将要提到的拟u 型设计集也可以 通过类似的1 - 1 映射，雨被看成是g m 的一个子集 需要稳蠢盼是，u 燮设计毫霹淡被蓍佟是一鹈| 部分嚣予设诗f f f d ) 虽 然这里并不象部分因子设计的a n o v a 模型一样米考虑u 掇设计的各个列 之闻的交互作用，但我们仍然可以采粥f f d 中的概念和记号在本论文中， 行数强剜数m 班及出现在筹j 列中酶嚣素令数铅将分别等溺于郝分因子设 计中的稽应概念，鄂设计的试验次数，设计的因子个数及第j 个因子的水平 数 均匀性度! 蠹在均匀设计概念中熬着举足轻整的传用，详细的讨论可参 阕f 2 嘲稷f 1 3 】漩及它耱静参考文献。掰史上，由公式 岛( 耻 乙掣一删【0 埘d 茁r ( 1 ) l 。v 。 j 绘蹬酶矿镝楚被频繁魅建芋数论( 镑蒙特卡瀚方法孛，这墼双霉) 表拳越 第一章绪论 预备知识与记号 4 立方体 0 ，。t ) 0 ，。) ，n ( p ， 0 ，z ) ) 表示点集p 中落入 0 ，霉) 的点数，而 v o l ( a ) 则表示a 的容量( 体积) 对于l 。一偏差， 5 8 给出了下列解析表达式 1oj m nm 1 “nm ( d 。( p ) ) 2 = 击一= i 一i i ( 1 一z 刍) + 嘉i i 1 一”a x ( x k l ，t ) ， ( 2 ) o = l k t ，女= 1 j = l 1 = 1 这里霉t = ( ，z t 。) p ，从而大大简化了计算然而，一偏差仅仅考虑 m 维空间上的均匀性，而忽略了任意低维子空间投影所产生的差别同时， 在衡量z 点处偏差，即f 业警剥一v o t ( o ，茁) ) l 时，原点0 均起着十分重要的 作用这些缺点使得五，偏差的敏感度较低为了弥补这些不足，h i c k e r n e l l 在 3 7 和 3 8 中提出了许多改进型岛一偏差，比如可卷三：一偏差( w d 。) ，中心 化工。一偏差( c d 2 ) 等 可卷l 。一偏差的定义由下式给出 w 谚= 三二。五j 迎掣舶忱( 蝙) ) 卜蛾， 这里乱是指坐标集 1 ，2 ，m ) 的任意非空子集，表示u 的阶，c “是指 坐标限制在u 上的m 维单位立方体，( rn a ) 表示点集p 投影到c “上 而落入集合a 的点的个数，霉。是指p 中的点霉在子空间上的投影，而 m l ( 一，茁) = 0 凡( 弓舟) ， j = l 这里。表示k r o n e c k e r 乘积， 州一，= 雾咄鬻妻耄 对于w d 。， 3 8 】给出了一个解析表达式： w 谚= 一( ；) 去喜妾鱼 ；一j x k l - z j i m k t 一翰i ) 】 ( 3 ) 中心化l 。一偏差的定义由下式给出 e 谚= 乏厶。 掣c 枷卜， 这里u 是指坐标集 1 ，2 ，m ) 的任意非空子集，l u l 表示钍的阶，c “是指 坐标限制在u 上的维单位立方体，( 吼na ) 表示点集p 投影到c ”上 第一章绪论 预备知识与记号 5 而落入集合a 的点的个数，茁。是指p 中的点在子空间c “上的投影，而 l ( z 。) 则是c u 中包含介于茁。和c u 的最近顶点之间的点的超立方体 对于e d 2 ， 3 7 】给出了一个解析表达式： 删= 嘉耋耋垂( t + 扣一拟1 卜1 一扣刮 一丢。z ! 。；i 亘i ( - 一互1l z “一；i 一；i 。托一；1 2 ) + ( 笔) ” c s ， 从定义我们不难看出，岛一偏差以及一些改进型偏差包括可卷z 一偏差 与中心化。一偏差等都有很清楚的几何意义它们都衡量了点集的经验分布 函数与均匀分布函数之间的差别事实上，这些偏差都可以通过在特定的 h i l b e r t 空间中定义相应的核函数而得到由核函数来导出一般偏差的详细 讨论可以参见【3 8 】及其引用的文献在这里，我们仅作一个简单的介绍 定义1 2 1 设z 是上妒上的可测子集而咒是一个定义在z 上的实函数 h i l b e r t 空间咒的核函数是指z z 上的函数k ( x ，! ，) ，其满足以下两个 条件： j 对于所有y z ，有耳( ，y ) 7 ； 2 对于所有，7 1 及y z ，有，( 掣) = 耳 核函数k ( ， ) 关于其参数满足对称性及非负性，即 对任意霉，t l ，z ，有k ( 茹， ) = k ，霉) ， ( 6 ) 对任意啦，a j r ，爿，有a l a ：i k ( a c ，一) 0 ( 7 ) i d = l 记只为z 上的均匀分布函数，p = 名 ，石。 z 是设计的点集，而用r 来记p 的经验分布，其中 f n ( 茹) = s 霉：名p ) - 这里石= ( 钆，z m ) 霉= ( 茹”，z 。) 表示对所有j ，有巧文献 3 7 1 指 出，对于给定的核函数( ，t t ，) ，尹的偏差由下式给出 d ( p ；k ) = 厶：k ( 茁， ) d 【f ( z ) 一r ( 霉) d 【e ( 加) 一r ( ) b 5 第一章绪论预备知识与记号6 厶：k ( 霉，切) d 只( z ) d 只( ) 一；暑五( z ，石) d 凡( z ) + 1 名关p 邮ir 在公式( 8 ) 中取 m k ( z ，t 廿) = 【1 + | z 一w , l ( 1 一l 锄一叫i l ) i = l 和 k ( ， ) = 重 1 + i x i - - j l l + 互1 i 叫；一百1 l l l 。, i - - x i l 就分别得到了公式( 3 ) 和( 5 ) 容易看出，c d 2 和w d 。都是定义在单位立方 体上，且采用连续型变量来衡量均匀性的对于离散型变量， 3 9 】中提出了 所谓的离散偏差 对于给定的一个n 次试验，m 个因子，且第i 个因子的水平数取q ；的 部分因子设计来说，试验区域z = 1 ，q - ) 1 ，) 由m 个因子 的所有q t 中不同的水平组合所构成。类似于u 型设计情形，定义映射 ，= ( f l ，m ) ，其中矗：z + ( 2 l t ) ( 2 q j ) ，l = 1 ，毋，j = 1 ，m ，则一个有佗 个试验次数的部分因子设计就被映成c “中的礼个点对于x j ，y j ( 1 ，) ， a b 0 ，记 k j ( 蛐) 。 ；襄笼 及对所有z = ( z 一，z 。) 与| ，= ( y ”一，y m ) z k ( z ，耖) = i i 巧( ，协) ， ( 9 ) i = l 则k ( z ，) 是一个核函数，其满足条件( 6 ) 及( 7 ) 此核函数导出的相应偏差 就称为是离散偏差，记作d d 下面一些基本概念也是本文中所需要的对于一个u 型设计u ( 礼；q 小，) 来说，如果其任意两列中所有可能的水平组合均出现相同次数，即任意两列 是正交的，则这个设计被称为是强度为2 的正交设计定义 8 = ( 田一1 ) ( n 1 ) ， 第一章绪论 主要结果 7 则对于强度为2 的正交设计来说，必有8 1 当8 = 1 时，设计被称为是饱 和的，当8 i 时，设计将不可能是正交的，这个时候，我们就称其为超饱 和设计 1 3 主要结果 本文的主要目的在于推导各种偏差下均匀设计的组合性质，并由此建立各 种组合构型与相应均匀设计之间的联系，进而通过组合方法来构作特定的 均匀设计主要结果可以分成以下三个部分 第一部分：均匀设计组合性质的推导 关于这部分的内容主要包括以下几点： 定理2 1 2 设住，m 和q 是正整数，而n = a t + r ，o r q 1 x 是一个n 试验行m 个因子的g 水平拟u 型设计，z 是其诱导矩阵记( 如) = z z 。， 弘= 鼍梁铲及7 = m j ，这里h 表示茹的整数部分则 。2 = 一耍 掣 + 等+ 万b r a 汀塞鲥( ；) h ， 彬一亟 业产卜等+ 掣卜刊( 扎c ，( 上式右边的下界达到当且仅当矩阵z z 的所有非对角线元素均取同一值，y ， 或者仅取两个值7 及7 + 1 定理2 1 2 把现有的关于离散偏差下均匀设计在u 型设计上的组合性质 推广到拟u 型设计上，从而使得构造更任意参数的均匀设计成为可能 定理3 1 4 对于水平数q 为偶数和奇数f 眄种情况，司卷l 2 偏差在u 型设计 集上的下界分别由下面两式给出 工展：+ 警( 幻渊( ；) 尚( ；一警) 耥( ；一4 q 2 、 耥； l b 删：+ 譬( 3 ) 渊( ；一警) 抵( ；一芈) 耥， 这里= 一( ；) “+ 去( ；) ”如果对于所有的t j ，叼分布都一样，则这样 的一个u 型设计矾弼q “) 是均匀设计在这种情况下，可卷l 。一偏差达到以 匕下界 第一章绪论 圭墨笙墨； 偏差的下界及下界达到时的相 定理31 。4 建立了任意水平口下可卷l 。 应的组合条件 定理4 1 4 对于u 型设计矾啊q m ) ，中心化l 。偏差c d 。有下界 g 谚( 篙) ”心一。( ；) ”+ 等 定理4 1 4 建立了任意水平q 下中心化l 。一偏差的下界 定理4 1 6 对于矿型设计职3 记p = 【；m ，7 = 等等；孚f ，以及定 义= + 1 ) 扎一2 m 厂n 和n ，= h + 1 ) 丛型一掣如果满足，( p ) ，( o ) ，则 g d ；( 蓦) 一2i i n ，、 1 。0 ， 一十( 竹一) ( 萼) ”+ 1 1 + 拈( 辨姻时1 + 杀h ( ；产c 掣刊( 1 以上下界达到当且仅当个m 取值为似竹一个m 取值为p + 1 ，同时礼， 个取值为，y ，鸣丑一砷个均取值，y + 1 定理4 1 7 对于u 型设计u ( n , 4 m ) ，记p = 【i m j 和= ( p 十1 ) 孔一m - v n 如果 ，+ ( ，( o ) ，则 c 明( 磊) ”一昙卜f 坐1 2 8 1 “( 蓑) ”+ ( n 一) ( 蒜) “、，1 4 。3 ， 、时1 + 矛1 瞰；) ”( 苦) 9 + ( n - ( 瓤1 1 + 号。 以上下界达到当且仅当，2 t t 个m 取值为p ，佗一个仉取值为肛+ 1 ，同时， 所有的m ；取值为 定理4 1 6 和4 1 7 分别建立了三水平和四水平下中心化l 。偏差的更好 下界及下界达到时的相应的组合条件 箜三鹜坌! 型旦塑金塑型塑堡堕望塑盐 以下定理建立了各种不同类型的组合构型与相应偏差下均匀设计之间 的关系 魁= 垦鱼堡圭墨熊墨j 定理2 2 。5 热祭一个类型为好堙纷的( k l ，k 2 ，。 ；a l ，a 2 ) 一 t p p b d 满 鼹条斧国一a 。| l ，戴森其鲁窭酶试验设计是一个离散穰差下懿均匀设计 k ( ( n a t ) ”* ( n k 。) 5 ) 定理2 2 。3 0 设k ，a 程m 均为正整数，惹鼹兰r ( r o o d 女) ，这里r 弛i ，k i r 剐由一个r m p ( k ，天限m ) 冬戈i 磊m c ( k ，a ；n ，嘲，所静出酶试验设计是一个离散 偏差下的均匀设计( 矿) ，这里q = 【c 扎一k + 1 ) k j 十1 定淫2 2 。4 7 魏鼍麓分t - ( v ，k ，1 ) 设诗警感静u 墼设计瑗弼晕m ) 是离散镶菱下 的均匀设计 定理2 3 。4 带巍然投重的类一致可分麟加投平衡设计导出的u 越设计职删q a ) 是一个在耱技簿数壤差下的均匀设计。 宠理3 2 7 由( 竹，k ，土；“) - p r b i b d 得到的u 型设计州州q m ) 是可卷l 2 一偏蒸下 懿均匀设计。 糍耀4 2 2 姗槊存在满足性质f 叫的平衡不完金酝组设计b ( k ，a ；3 k ) ，则存柱 中心化如偏麓c d 2 下的均匀设计u 3 ( 3 粼) 第三部分：买体均匀设诗的梅作 通过构傺特定类型，特定参数的缀合构型，我们得到了樱应的一系列均 努设计另外，在论文的羧后一部分，我彳 j 提出了一种被称作为“平德趋向 秧”盼算法来搜索各种鸯每缝度量下静低镳差设计。实验表秘，这令算法蹙 比较有效的邋过实现这个算法，我们找到了许多新的或者撼优于已知结果 的设计 璺兰童塑墼堡慧互塑塑塑墼进瑟基塑鱼蝗缝 一堡垒丝煎一四 第二章离散偏差下的均匀设计及其组合构作 2 1 组合性质 离敝偏差是夜文献f 3 9 】审曾先被提高。由于萁棱瓣数篱葶方便，离散壤豢被 广泛地得封了讨论现有文献已经诫明，离散偏菠与衡量部分因子设计及超 饱和设计优良性的许多准则是等价的，比如，最小广义变懿( 见【2 1 ) ，广义 最、变差冕羚l 】) ，暑( s 2 鼹鳓，a v e ( x 2 ( 冕鎏2 】) 零嚣a v e ( f 2 ) ( 觅【1 8 ) 等。许多 文献讨论了离散偏差或箕等价准则下的均匀设计的组合髓质，并利用这些 性质来构作均匀设计这方面的例予可参见 4 4 】，【4 7 ，f 17 】， 1 4 】及 1 5 等然 麓，这些结果大多粥仑不阕行之闻的整合指数是个常数的憾形，并且同时 要求设计是一个u 型设计在本蒂审，我弼将在几个方面避行推广，绘斌 鼹为一般的离散偏差下均匀设计的缀合性质 设x ；( ，茹。) 是一个具有犯试验行m 个因子的试验设计，各个 嚣子豹承平分燕i 是q l ，瓢。定义一个矩阵 z = ( z ( ，z ( m ，z ( m ) ， 这整三) = 髫) 是一个嚣鲐子矩降襞缮 艘： 1 ，橐恩子哟在第珩取水平。； ( 1 0 ) 一10 ，否则 w z 髂为是x 煞诱导瘫降 设( b ) = z z7 则如( i j ) 表示设计x 的第i 和j 行对应位置取相同 元素的个数，即两行的黧舍指数。下面关于离散偏差的解析液达式及其猩 v 蹩设诗集材( 珏l q t x ) 上酶下器戆结果禽予【l 翻和 l 震中。 定理2 1 1 设x 是一个u 型设计叫q l q m ) ，而z 是冀诱导矩阵记 ( 抽) = z z ，弘一显警及7 ；m l 这里b 袭示z 的煞数部分则 d d 2 ；一曼【掣】+ 譬+ 第谢塞肖( ；) b ， ( 1 1 ) ；。( 炉嚣( n - - t m 十l 一眯) 7 + ( 弘一7 州】， ( 1 2 ) 盥兰童塞墼熊夔工塑塑鱼塑盐腿塑垒塑堡塑坌堂煎娶 以圳式右边的“f 界达到当魅仅当短降z z 4 的所露非对角线元索均取同一值 7 ，或者仅取嚣个僵7 及7 + 1 。 对于对称设计来说，给定参数n ，m 和q ，一个具有扎试验行m 个因子的 g 水平对称部分透子设计辩应手一个犯m 鲍矩跨x 。热暴我嬲把它的缀蕾 戚q “中的赢，这里q = l ，2 ，蠢，剜均匀设计u 。( 矿) 酶褥作就等价予程 q m 中分布n 个点，使其尽可能均匀很自然地，我们首先让这些点在每个 1 维子空间上分布均匀。嬲珏是口的个倍数时，这个要求就是使彳寻没汁成 为一个u 登设诗在这种情漉下，q 审酶任意元豢在x 酶每一臻孛邕褒耀 同的次数当不能被q 羧除时，可以记乃= q t + r ( 0 t ，出蠹定义一薪的越量y = ( l + ，y 2 + ，+ ) ， 这燕妒= 磊1 ，妒= 蠡十1 ，蔫黠予，j ，y t 乳燕熬，矿戆垒羲i 麓燕嚣 负攘数，并髓也满足e 赫ykc 餐f ( y ) ，( 霸) ，与假设矛瓣 ( 1 5 ) 结合e 冬。蛴= c 傺证了分中定有8 + s t c 个坐标取值为t 而余下 懿c 一露令熊标取蠹老t t ，掰瑷萝( 奶= 彝s t 一国矿+ e 一戚) 扩1 ，弓l 理缮 涟 d 毙理2 ，1 2 的谢明 等式( 1 3 ) 虫离教镶蓑鹣定义壹搂褥赘； 注意到嚣是x 酶诱辱矩阵，雨( 妇) = 嚣，所以两蟪为非负整数，并 恩满足e 恻b = m t ( n q + r ) 于是臌用引理2 1 3 即得结论 a 2 2 组合梅俸 许多文献都制用现有的缀合构型来构作离散偏熬下的均匀设计在本节中， 我嚣j 将窝熏更多是翔粪漤敬爱薪搀佟魏象舍搀型寒褥蘩离擞镰差下骛均匀 设计这些结暴将推广蠛有的梅佟方法。 熟知的一些组合构粼，包括各种可分解设计醴经在【4 9 】艘其引用的豁考 文献孛被广泛庭焉予橡律离散骧差下勰均匀设诗。在这一节中，拽窘 将拳要 窿下嚣是个方薅捶广这个方法。耋巍程梅器上效捡裰异行褥魏蓑舍据歉分布 的限制，其次将原来的u 型设计构作推广到拟u 型设计来处理任意参数， 最后采用扣设计构作突皱了原来局限乎可分解设计上的限制，从而可以樽 裁更多参数组合懿篱鸯浚诗+ 莫舔懿淫沦舞予下巍晁枣节+ 墨三童曼塑堡差工塑塑塑塑生壁基垄鱼塑堡 2 2 3 可划分t 设计构作 组合构作3 5 首先我们再给出一些组合设计构型及相关术语 一个t - ( v ，k ，1 ) 设计是指一个点对( v 日) ，这里y 是一个n 元点集，而b 是 y 中一些k 元子集( 称为区组) 的族，使得y 中每个t 元子集恰好出现在一个 区组中一个2 - ( u ，k ，1 ) 设计实际上就是一个平衡不完全区组设计( b i b d ) 简 单的计算表明，一个“”，t ，) 设计恰好含有g ) ( ：) ，即等三名矧 个区组 例2 2 4 5 设点集v = z 7 u 。l ，o 。2 ) 取如下1 2 个基区组： j24 ) 563 ) o 。1 j5 ) 0 0 226 ) 0 彳3 ) 0 3 123 ) o c 245 ) 0j6 ) 。l46 ) ( 0 0 2j3 ) 025 ) o 。l0 0 20 对以上j 2 个基区组作用7 阶自同构群( 0 1 2 3 4 5 6 ) ( 0 0 1 ) ( o 。) ，得到鲋个区组， 形成一个3 - ( 9 ，3 ，1 ) 设计 一个t - ( v ，k ，1 ) 设计被称为是可划分的，如果其区组集可以被分成若干 个( t 1 ) ( ”，1 ) 设计一个可划分2 - ( ”，k ，1 ) 设计实际上就是一个可分解平 衡不完全区组设计( r b i b d ) 在例2 2 4 5 中所列的1 2 个基区组本身形成一个 2 _ ( 9 ，3 ，1 ) 设计，从而作用自同构群之后所得到的8 4 个区组可以被分成7 个 2 - ( 9 ，3 ，1 ) 设计，因此这个3 - ( 9 ，3 ，1 ) 设计是可划分的简单计算可以知道，一 个可划分t - ( v ，k ，1 ) 设计恰好应该被划分成釜= 。；三 个。一1 ) 一( ”，1 ) 设计， 其每一个均含有( t ：1 ) ( 。一k 。) ，即眷三暑壬个区组 。，、f j _ 1 设8 ) 是一个可划分t - ( v ，1 ) 设计现记竹= ( 1 ) ，m = j 若 及q = 吾等三爿篇若口= b u b 。u u ，这里每个琏5 屿 嘞) ， i ：1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，g ，表示一个( t 一1 ) 一( u ，k ，1 ) 设计的区组集则我们可 以通过采用以下的步骤来得到一个u 型设计u ( n ；矿) 1 对每个鼠，i = 1 ，2 ，m ，我们给其q 个区组作自然定序； 2 对每个甄，i = 1 ，2 ，m ，相应地构作一个n 维向量使得如果( t 一1 ) 元子集 f 。，f 。，l 出现在岛的第j 个区组中，则向量的标号为 ( f 。，1 2 ，f t - 1 ) 的位置取值为j ，这里l l ，f 2 ，l t _ l 为v 中的t 一1 个不同 元素， 第二章离散偏差下的均匀设计及其组合构作组合构作3 6 3 合并所有这些形成一个札xm 的矩阵x 例2 2 4 6 表2 的u 型设计研3 6 ；1 2 7 ) 是由例2 2 4 5 中的可划分3 - ( 9 ，3 ，1 ) 设 计通过以上的构作而得到的 表2 ：u 型设计u ( 3 6 ；1 2 ii i ( 0 ，1 ) ( 0 , 2 ) ( 0 , 3 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 5 ) ( 0 , 6 ) ( 0 , 7 ) ( 0 , 8 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 ，4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) ( 1 ，7 ) ( 1 , 8 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) ( 2 , 7 ) ( 2 , 8 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) ( 3 ，7 ) ( 3 , 8 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 ) ( 4 ，7 ) ( 4 , 8 ) ( 5 , 6 ) ( 5 ，7 ) ( 5 , 8 ) ( 6 ，7 ) ( 6 , 8 ) ( 7 , 8 ) 一。m，3 8 8 3 m 6 。n 4 u 6 4 5 2 2 5 6 如7 9 5 9 7 2 n 3 7 8 9 4 挖挖垤 一6 l n 4 u 1 6 4 5 2 2 5加6地7 9 5 l 9 7 2 n 3 3 7 8 8 9 4 8抱挖3加挖 v 一5 2 2 5 6 6 m 7 9 5 1 1 9 7 2 u 3 u 3 7 8 8 4 9 4 8 u 挖挖1 3 如6 4 心 一7 9 5 1 l 5 9 7 2 n 3 n 2 3 7 8 8 4 2 9 4 8 n 5心地1加3加6 6 4 6 m 他 m 一2 n 3 u 2 7 3 7 8 8 4 2 9 9 4 8 n 5 5挖地1加1 3 加6 1 6 4 5 6 加9 7 挖 8 8 4 2 9 2 9 4 8 u 5 5 n 挖抡l 加1 3 3 如6 l n 6 4 5 2 6 均7 9 7 3 7 他 8 n 5 5 n 8他挖l m 1 3 8 3 加6 l n 4 6 4 5 2 2 6 如7 9 9 7 2 3 7 9 4 拢 行一，o o 4 o o ，o o加n他坞m：2碣均弧船站丝筋弱卯船凹札黝弘踮5； 廛兰童塞墼堡麓正丝塑塑塑城蕊基堡金鱼堡 堡垒塑堡塑 进一步地，我们可以涯嚼 定理2 2 4 7 内可划分t - ( v ，1 ) 设计爵出的u 型设计联n i q ”) 是离散偏差下 的均匀设计 证明哭蔫涯骥任意两个裰笄行之霹鹣壤合指数敢糨霹僮或玻蓠个连续豹整 数值考虑两个不同的行，分别标号为( f n f ，f 里。) 及( 酽，f 字，e l 翌，) 把这两个标号看作是点集y 的两个子集，则他们的并，记作s ，至少包含t 个不翼夔轰建毒_ 溉k ，1 ) 设诗酶定义翔，痒鸯个整体，s 最多凄璜在一个 酝组中驮丽任意两个栩髯行之间的蘸合指数熙能是0 或者1 0 定理2 2 4 7 使得我们可以通过现有的或新构作的可划分t 设计来得别均 匀设计。丙关予霹趣分i 设诗酸菜篓 譬謦薅 莩形，组会设计理论曩经佟了译缨 的讨论。特别地，我们有以下已知结柒 窥理2 2 4 8 - v 列结论成盘： 1 当封三3 ( m o d6 ) 时，存在一个可辎分2 一扣，3 ，1 ) 设计拶明； 磐当”- - 4 ( m o d1 2 ) 时，存在一个可划分2 - ( ，4 ，1 ) 设计似倒? 3 当蟹兰1o * f3f r o o d6 时，存在一个胃翔努3 一池3 ：1 ) 设计黪舔4 岛多劝 4 对所有溅熬数 ，存在一个可划分3 - ( 4 v ，4 ，1 ) 设计r l e v i ) ； 5 对所有疆整数掣，存谯一个可翘分3 - ( 2 7 ”+ 2 ，4 ，1 ) 设甘拶谚j 6 对所有磁整数”，存在个可划分3 - ( 2 3 l ”+ 2 ，4 ，1 ) 设计彰 作为定理2 2 4 7 和定理2 2 4 8 的直接结果，我l 有 意理2 2 4 9 如果参数满足下述条件之一，则存在均匀设计既( 口m ) j 杯三3 ( m o d6 ) ，m = 峄，q = j 落靠三4 ( m o d1 2 ) ，m 一警，q = 孚? 3n = ( ；) ，m = ”一2 ，q * 出产，这凰甜兰1 或3 ( m o d6 ) j g 肄= ，m 一学，g 一警笋，这里瞽篓0 ( r o o d 扩) ，丽m 势一蓬整数； 塑三童壹墼照熬工塑堕塑塑盐尴基塑盒塑堡塑墼壹塾女女燕互塑塑塑选迎基塑金堕熊塑 5 扎= ，m = 字，q 一避笋，这里# 兰2 ( m o d2 p ) ，雨m 为一歪整数； 6n = ( 巍f p , = 警，q 一她1 堕2 ，这里 兰2m o d2 - 3 1 ”) ，而m 为一正整数 2 3 加权离散偏差下的均匀设计及其组合构作 对于非对称试验设计，文献f 6 3 】等提磁了一种x 2 ( d ) 准则用来衡量设计的优 馥性用d 稍表示一个部分因子设计的任意两列，而用记号n 蠕) 裁示 ( ，奶列中( 扎，。) 一对出现的次数。显然，黧，饕；n 。( i ，j ) = 犯定义 2 ，“ms 善。r n 。( i 。j ) 一n ( 蛾姑) l x 2 ( ，) 2 善善竖矛k 2 1 & ，u = l 口掣i ，- 4 j ， 鼠 x 2 扫) =妒( ，) 。 ) ( 。( 功准则就是要求设计的妒( d