（应用数学专业论文）基于正交有理函数的求积公式.pdf

c o n s t 蜘to fc o r r e s p o n d i n gr a t i o n 柏l a g r & n g ei n t e r p 0 1 “i c mi sa 】s oe s t i m a t e d t h ei a s tc h 印t e ri sd e v o t i 斑t oas p e c i a lk i n do fr 砒i o n 础q 1 1 8 d r a t u r ef b 瑚u l a s t h e yt a k et h er e a lp a 矗8o fz e r 0 8o fp a r 扣o r t h 0 9 0 n 面r a t i o n 出f u n c t i o n sa sn o d e s t h i se x t e n d ss o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rc l a s s i e 8 lp o l y n o m i 8 lc 8 s e k e yw o r d s ：o 吡0 9 0 n a lr a t i o n m 如n c t i o n s ，r a t i o n 以g 枷sq u a d r a t l l r e 胁 m l l l a s ，r a t i o n a lg a u s 争l 0 b a t t oq u a d r 8 t u r e 妇m u l 8 s ，r a t i 0 丑a lg 8 u s 8 _ r a d a uq u a d r 廿 t u r ef j r m u l 雠 第一章前言 1 1 综述 工程与物理上，人们经常要遇到某类积分的近似计算问题。通常情况下，我 们采用如下形式的近似求积公式 小咖塾胞) ( 1 - 1 ) 即用被积函数在某些特殊点上的函数值的线性组合逼近积分。这里p ( z ) 是区间 【_ 1 ，1 】上的权函数。所谓构造求积公式就是适当选取节点组 。) 警，和求积系数 a ) 坠，使公式( 1 1 ) 对尽可能广的一类函数精确成立。对经典g a u 8 b 型求积公 式的构造，正交多项式起着至关重要的作用，当节点取作关于权函数p ( z ) 的n 次 正交多项式的零点时，求积公式( 1 1 ) 即为g a u s 8 求积公式，它具有2 n 一1 次代数 精度。 虽然经典的g 聃s s 求积公式具有形式简单，代数精度高等优点，但是对被积 函数具有极点的情况却不是最有效的，如对= 生这样简单的带极点函数也不能 精确成立。已经有许多文献把正交多项式推广到了具有固定极点的正交有理函 数 3 1 1 5 【l3 3 ，因此自然可以把经典的g a u s s 求积公式攉广到被积函数具有固定极点 的情况，从而建立有理g a u s 8 型求积公式。本文将讨论有理g a u s s 型求积公式的构 造，以及这些求积公式的性质，与有理s 2 西求积公式的关系，如何更有效地计 算求积节点和求积系数等问题。 与经典g a u s s 型求积公式类似，要讨论有理g a u 镕型求积公式自然先要讨论 正交有理函数。设凤酞，l 像i 1 且互不相同，作为对经典c h e b y 8 h e v 多项式的 一个推广，1 9 9 4 年p b o r w e i n 等人引进了有理系统i 8 p 8 “ 1 ，五百，i 瓦 ，1。l 中的广义c h e b y 出e v 多项式， 去 k = 1 ，2 ，n ( 1 2 ) 剐栌些掣，z = 竿 ：1 给定一列实数芦： 风，p l ，院，风，t c ，其中岛= 。如果给定有限 个实数 岛，风，岛，风) ，那么可以在后面添上适当的实数使之成为实数列，如 取凤：。，= m + 1 ，m + 2 ，由实数列卢定义两列实数。= ( d ) 墨。和画5 瓯) 茫。，它们满足： 0 _ o ，堕芸壁：风，= l ，2 ， 西o = 0 ，a 2 一1 = d 2 = “女，k = l ，2 ， 在j 上定义b l a s c h k e 乘积 1 2 】 b 。( o ) = z 。( z ) z 1 ( 霉) - - z 。( ) 其中而( ) = 1 ，磊( z ) = 赢，= 1 ，2 从而可以定义有理函数空间 c 。= s p 口礼 ( z ) 、b t ( z ) ，- k t ( z ) 若用r 表示次数不超过祀次的实系数多项式的集合，记7 r n ( g ) 2 县( 风一万) 则 显然有。= 凳：m 扛) r ) 类似地，在丁上定义b l a s c b k e 乘积和有理函数空间 玩( z ) = 白( z ) e t ( z ) 厶( z ) 瑶= s p n 虬( b 0 ( z ) ，日- ( z 卜4 ，取( z ) ) 其中( b ( z ) 2 1 ，矗( ：) 。考器，2 1 ，2 若记”。( z ) = n ( 1 一a z ) ，则c ：= 甓：p ”( z ) r ，- 特别地，相应手薮列 占) 釜。的b l a s c h k e 乘积稻有理函数空同分别记作 百。( z ) 和磊易知反。( z ) = ( b 。( z ) ) 2 ，b ：n + ，( z ) = b n + ，( z ) b n ( z ) 另外，对任意函数，( z ) 定义拟h e r m i t 共轭( 下星共轭) 矗( 。) 一，( 1 乏) ，对函 数，c c 定义上星拭轭，。( z ) = 风( z ) ( z l ，进而定义函数空间 = 唧n b o + ( 。) ，b - + ( z ) ，鼠+ ( z ) 7 ( 2 1 ) 对，瑶c & 一，) 。精确成立，其中k = 捌券鸶u ( 日) 啪，= 1 ，2 ，n ul 幸月 s z e 静在其经典著作“o r t h o g o n a lp 0 l y n o m i a l s ”中研究了区间一1 ，1 1 上 的正交多项式与圆周t 上的正交多项式之间的联系。2 0 0 0 年，p 、，a ng a u c h t 等人 在文献【1 2 1 中把这些结果推广到具有固定极点的正交有理函数，讨论了【一l ，1 上 关于权函数 c 。，= j j i ；磊c 一。2 ，p c 嚣， 的正交有理函数妒。( z ) ( 即基函数组 缸( z ) ) k 1 按内积 。正交化得到的 第n 个正交有理函数) 与单位圆周t 上的正交有理函数如( z ) 之间的关系 州堀赢祟 协z ， 其中厶+ ，( z ) = 芒i ：繁，蛲( z ) = 目k ( z ) ”( 。) ，g 是规范化常数a 正交有理函数( z ) 有n 个零点 ) k l 且都在区间( 一l ，1 ) 上。下面建立以 z 女) z ：1 及 跏一一1 ，。+ 1 = 1 为节点组的有理g a u s s l o b a t t o 求积公式。 定理2 1 设 z ) k 1 是正交有理函数( z ) 的零点，印= 一l ，z 。+ l = 1 ，则积 分公式 m ) 肛( z ) d 。一k m t ) ( 23 ) 对，c n + z c n 精确成立，其中k = 。靠( 。m ( 。) d z ，段( z ) = 删h 睾嚣 詹= o ，1 ，2 ，一，n ，礼+ 1 证明： 设，( 。)= 丛里翌c 佴+ 1 c 。 靠( 。) = ! 三c 。+ l 其中+ 1 r + hp n ，r n + 1 r + 1 易知 1 0 八。k 。脚 啪目 “勺 b ，j 三新 式公积求 他 = 和川m 州脚 点。如果已经求出正交有理函数的零点，那么求积公式的系数就可以用前面的 公式计算。但是下面我们将给出几个更易于计算的求积系数公式。从中可以发 现，这三类求积公式实际上都是经典gau88-lobatto求积公式的推广。我们还发 现文献【8 】中的广义c h e b y s h e v 多项式实际上是关于权函数u ( 。) 的正交有理函 数。因此，我们可以用这些结果更有效地计算2 1 中的耄? 毒二琴i 删毒霪蘩 壅毳? 雾；f 嚣i1 、- _ 巷? ! ；i 雾垂翥i g 趸黟篓建第盘罄粪颡萄嚣行獭鬻蠢l 蜒芦堑 蠹垂l 妻墓穹一毒墓霉囊嚣童i 薹孽慧矍塞辇粪鬻移其， 积茆眩当一f 薷蕊斌州妻碡邃商爱毯墼影量一婪朝驯辩私鲷删竭荔! | ? 囊啵叫昂嚣， 美蠕。磁鼎：算赭紧i ；! ；j ! g ：! ；承；* i ! 秘篡笱莶苗 酿i 一瓣i l 黧簿i 积黼崩 = 熹上黼高等络础出 ( 2 5 ) 证明：构造拟h e r m i t e 插值如( 2 4) 所示，结合定理2 2 的证明，有 r 1 e 。( ，) = ，( 。) 一h j (】3 x 因为风( ，f z ) c n + - 厶，所以不妨记风( ， z ) = 菇鲁器易知， 尸2 一l ( ，1 z ) 是( 。) n + ( 。) ，( z ) 的拟h e r m i t e 插值多项式。因而，由多项式插值 理论【9 】可得 ”n ( 。) 7 r 。+ l ( 。) ，( z ) 一p h + 1 ( ，z ) = 熹z 等鬻哥鬻盟岩巡m2 7 r c ( 1 一t 2 ) 0 一。1 ) 2 ( 亡一o 。) 2f 一霉 一u 两边同除以丌竹( 。) + - ( z ) 并关于权函数p ( z ) 积分即可得( 25 ) 式 口 2 2 与有理s z e 9 6 求积公式的关系 这一节讨论区间 一1 ，1 】上的有理g a u s s l o b a t t o 求积公式与单位圆周t 上的 有理s z e 9 6 求积公式( 2 1 ) 之间的关系，这是对文献 1 7 中有关结果在有理函数空 间上的一个推广。主要结果有： 定理2 4 设( z ) 是j 上的权函数，丁上的权函数“，( 口) ：肛( c 0 8 目) ls i n 既正 交有理函数( 。) 和拟正交有理函数西2 ”z ( g ) 圭元。( z ) 一两。+ 。( z ) 的零点分别 记作 。k ) 毛。， 讯 ：茹1 ，则可以通过适当排列，使得 韧一l ，+ = 1 ，“= 磊m 巩= 华 并且在这样的排列下，下面的两个命题等价 ( a ) 积分公式 去厅( e i 瑚硎，( 1 ) + 2 州_ 1 ) + 函 ，( 卅胞) ( 2 6 ) ；l 对，；。+ 1 c 。+ 1 ) 。精确成立 ( b ) 积分公式 _ 1 m ) p ( z ) d z “2 7 r a ，( 1 ) + 2 丌b ，( 一1 ) + 2 7 r ，( ) ( 27 ) j 一1_ 。、 对，c 。+ 1 厶精确成立 证明： 由 1 3 ，t h l 6 1 】，并注意到当z = 士1 时，( n + l ( z ) 一岛+ 1 ( z ) = o ，定理前半部 分即可得证， 下证等价性部分先证若命题( a ) 成立，则命题( b ) 也成立 对任意，n + ，c n ，若记z = j ( 。) = ( z + ) ，则有，。j 色。+ ，龟。，) + 则 2 ”a ，( 1 ) + 2 7 r b ，( 一1 ) + 2 ”，( ) = ” 2 a ( ，。j ) ( 1 ) + 2 b ( ，。j ) ( 一1 ) + ( ，。j ) ( 勺) + ( ，。j ) ( 弓) 】 = ；z 2 ”( ，。j ) ( e 坩) “( 口) d 口 = m ) 出) d z 再证若( 2 7 ) 对，c n + l 厶成立，则( 2 6 ) 对，雹。+ l 龟。+ 1 ) + 成立 一方面，设1 叶t ( 。) 2 凸( 1 氟。) ，则 嘲) 罂古1 是雹。+ - 的一组基函 数因此，只需证明( 2 7 ) 对，( z ) 一丽弄币南南，。，j = o ，1 ，2 礼+ l 精确成 立 下证j 的情况，对t m ，从而对 m 有a n + 1 o ，( z ) ：蜉( 1 一z 。) 芦( z ) 2 3 有理l o b a t t o 公式节点和系数的计算 这一节主要讨论如何更有效地计算某些特殊有理g a u 8 s _ l o b a t t o 求积公式的 系数，并利用这些结果给出了文献【8 1 1 6 l 中求积公式的系数计算公式。 首先给出关于下面三个权函数的正交有理函数的显式表达式 粤( $ ) = 乎( 。) = 糟( z ) = 磊( 刮 镶磊( ，刮i ( 犀。一z ) ( 卢。+ 1 一茁) 1 7 怨磊( 暑) 5i ( 艮一z ) ( 风+ 一。) l l + 。 把这三个正交有理函数分别即作妒g ( z ) ，i = 1 ，2 ，3 ，则有 定理2 5 在前述定义和记号下有 砖( z ) = 去( 蹦卅丽) 州= 存杀杀刍卜州m ，一萧 煳一钙杀杀击卜州眦卜等 1 6 证明： 只计算妒妒( 。) ，其它两个可以类似计算易知 应用文献【2 】中定理2 6 的修正形式，有 赡) ( 2 去( 1 + 娶) ( 晰) + 丽) ( 2 1 0 ) 其中e 是规范化系数。它使下式成立 圳2 嬲( - 。产虹- ( 2 1 1 ) 下面不妨假设阮 0 ，当风 0 时可类似讨论，记z ：e w ，则有 ( 舭) ) 2 豁( 1 彳产d z = 掰等杰黪茅磊”c o s 1 。忡 2 。2 ”l + f j 。l 焉( z ) 风i 。丽。一”洲川8 1 n 9 f 删 = 筹鬻z 2 ”碥硼2 ”1 + 行。2 厶磁( 。) ( z 一口n ) ( 1 = 丽” = 筹案z 打 鼢( 蕊) + 赤卜 这里积分号内第一项在d u t 上解析，第二项在d 内只有一个极点z ：q 。 所以有 ( 则瑚2 需”固屯。 结合( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 得 g = 篙去 # 1、o ， 1 + na 2 1 o 二 ( ，+ 垂) 5 1 7 磷。 代入( 2 1 0 ) 得 螋( 垆去( 玩( 卅剥 口 当所有的极点都取作o 。时，正交有理函数妒( z ) ，t ：1 ，2 ，3 分别就是第 一、二、三类经典c h 哪8 h e v 多项式。因此，上述三个正交有理函数可以看作是经 典c h e b y s h e v 多项式的推广，不妨称之为c h e b y 8 h e v 正交有理函数。我们知道， 第一类经典g h e b y s h e v 多项式的零点可以用显式表达式 。女：c 。( 掣。) ：1 ，2 ，n z = c 0 8 【1 f 丌) 七= 1 ，2 ，n 给出。但要计算一般的正交有理函数砂。( z ) 的零点是比较困难的。由于定理2 5 给 出了c h e b y s h e v 正交有理函数硝( 。) ，t = 1 ，2 ，3 的显式表达式，我们当然可以用 牛顿迭代法求它们的零点。下面讨论如何更有效地计算正交有理函数妒妒白) ，z ： l ，2 ，3 的零点： 定理2 6 设 z 器t ，t = l ，2 ，3 是c h e b y 8 h e v 正交有理函数妒( z ) 的零点 z 2 = c o s 赡，则 目) 楚1 满足 a 骞删a n 蠢曲硝k 叫” z 喜a r c t a n 磊；羲十a r c t a n 蔫一n 一乎= e ” a 喜蠢c t n 茹邶坶地” 惫= 1 、2 ，。，n 证明：只证 = 1 的情况设 z 譬) k 。是妒9 ( z ) 的钆个零点， z 1 1 ) 怨。满足 。 x 又 白( z ) ：e 2 a r 。勰一盯，。：。 所以 t 砉a r c t 蛐蠢嘞= 叫” 口 先用牛顿迭代法求解 p ：i ) 砧。，然后用公式z = c o s 口求解妒( 。) 的零 点，这样要比直接用牛顿迭代法求硝( z ) 的零点要有效。事实上，这是因为牛顿 迭代法更适合于求单调函数的零点，而 晶( a 喜兰地a ) 。4 善f 赤_ 2 n 之轨击q 吣o 1 2 n jc o s 目+ a i。l + “ 7 。 其中1 i q k l 血 。 口 。o 由定理2 7 及文献 5 中定理4 32 知，当( 1 一i d ) = o 。时，求积公式( 2 2 ) 是 岳= l 数值稳定的，即对任意连续函数，有求积公式( 2 2 ) 收敛事实上，若记 则有 磷( 1 ，) = 聪”，一塾机 “，) _ 咖虮塾m t ) 推论3 1 e 。( ，) = o ( 1 ) 碟( ，) 3 2有理l a g r a n g e 插值的l e b e s g u e 常数 上面的求积公式实际上都是插值型求积公式。gm i n 在文献 8 】巾研究了有 理系统中基于广义c h e b y 8 h e v 多项式( 刃) 的零点的l a g r a n g e 插值公式，得到相 应l e b e 8 9 u e 常数的一个估计。在这一节，我们指出对基于正交有理函数滞( 茹) 的 零点的l a g r a n g e 插值公式，其l e b e s g u e 常数也有类似结果。 建立基于妒g ( 。) 的零点 矾 2 ：。的l a g r a n g e 插值公式 。斟 z 蹬n 、k z ， 。脚 | i o ，0 n l 其中等式左边两撇表示对。求导，右边撇表示对z 求导 又毗) = 刚沪，】奈赫+ 净器 峨( 乏) = 心( z ) = 心( 亨) = ( z 一。n ) 2 b n l ( z )k q 。) 8 b 。一1 ( z ) r 一1 ( z ) 风一1 ( z ) 玩一l ( z ) 1 一a 。名。( 1 一口。z ) 2 一 垦= ! 堕 ( z o 。) 2 马。一l ( z ) ( z a 。) 2 日。一l ( g ) z 0 一。) b 。一l ( z ) 结合i 咒一1 ( 。) l t 机一1 ) 及 7 】中的