（应用数学专业论文）基于g函数的多元copula的构造.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 随机变量之间的相依性是概率论与数碧统计学中研究的最广泛的内 容之一。但是传统的相依性指标对相依性的刻画有较大的局限性。近些年 来利用c o p u l a 刻画随机变量间相依性的理论越来越受到人们的关注。事实 上c o p u l a 不仅在相依性的研究中扮演着重要角色，还可以用来构造多元的 分布函数族。如果我们有一族p u l a ，那么根据s l d a r 定理，可以构造出任 何指定边缘分布的二元或多元联合分布函数，而这些分布函数在建模与模 拟方面是非常有用的。 有鉴于此，构造出多元的c 叩u l a 族就非常有意义。然而，多元c o p u l a 的构造是非常困难的。尽管已有不少二元c o p u l a 的构造方法，但是这些方 法均难以扩展到多元的情形。现有文献中多元c o p u l a 的构造方法也有较大 的局限性，要求的前提条件亦相当苛刻。 本文借助于全概率公式的思想，提出了一种新的构造多元c o p u l a 的方 法。这种构造多元c o p u l a 的方法是建立在本文定义过的g 函数之上的。只 要我们找到一族g 函数，就可以求出对应的多元c 叩u l a 。本文首先介绍了 c o p u l a 的定义与基本性质，以及多元c o p u l a 构造的研究现状，然后提出了 构造二元c o p u l a 的方法，并且将该方法扩展到多元c o p u l a 构造的情形。同 时讨论了通过该方法构造的二元c o p u l a 的一些性质，而且多元c o p u l a 的性 质均可以方便的由相应二元c o p u l a 的性质推广。由于这种多元c o p u l a 的构 造方法是基于g 函数的，于是构造c o p u l a 的关键是g 函数的寻找。本文最 后给出了一种基于一维分布函数来寻找g 函数的方法，并且找到了在一定 条件下，占函数与阿基米德c o p l l l a 之间生存元存在的一种联系。 关键词c o p l l l a ；多元c o p u l a ；g 函数；分布函数：相依性 西南交通大学硕士学位论文 第页 a b s t r a c t d 印e n d e n c er e l a t i o n sb c 押c 锄珊d 咖v a r i a b l e si s o n eo ft h cm o s t w i d c l y s t u d i e ds u b j e c c si np r o b a b i l i 哆a n ds t a t i s t i c s b u tm et r a d i t i o n a l c o r r c l a t i o nc o c 伍c i c t sh a v es o m el i n l i t sf o ram e 猫u 亿o ft 1 i cd c p e n d e n c e b e m e e nr 蛆d o mv a r i a b l c s u s i n gc o p u l af o rm e 髂u r i n gd e p e n d e c ct a l 【e sm o r e a t t e n t i o 璐i nr e c c n ty e a r s a c t i i a l l y ，c 叩u l ap l a y s 趾i i 】1 p o n a n tm l ei nt h es t u d y 0 fd e p c n d e n c c ，i ta l s oc a nb el l s c df o rc o n s t n l c l i n gm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n s m c r ec x i s taf 细i l y0 fc o p u l a s ，w ec o u l dc o n s t n l c ta n yb i v a r i a t eo rm u n i v a r i a t e d i s t f i b u t i o nf u n c t i o n so fg i v e m a r 舀n sb ys 】( 1 a r st h e o r e ma n dt h e s e d i s t r i b u t i o n sa r ea l w a y sv e r yu s e f i l lf o rs i m u l a t i o n b e c a u s et h i s ，i ti sm e a n i n g f l l lo f n s t r u c t i n gm u l t i v a r i a t ec o p u l a s b u t c o n s t n l c t i n gn - c o p u l a si sd i 衄c u l t 舢t l l o u g ht h e r ce x i s tm a i i yw a y sa b o u t c o n s t n l c t i n gb i v a r i a t ec o p u l a s ，f c wo ft h c mc & ne x t e n dt om u l t i v a r i a t e 。s o m e m e i h o d sa b o u tc o n s t m c i i n gn c o p u l a si nm 锄yr e f c r e n c c sh a v el i m i t st os o m e d e g r e ea n da l s oc o m p l i c a t ep r e m i t h i sp a p e r 百v e san e wm e t h o do fc o n s t n l c t i n gn - c o p u l a sd e p e n d so nt h e l a wo ft o t a lp t o b a b i l i t y t h em e t h o dt l l a tc 0 船t n l c t i n gn c o p u l a sb a s c do ng 缸碰i o n sw h i c hd e 缅e di nt h i sp a p e r tw ec a ng c tn - c o p u l a si faf 缸m yo fg f u l l c t i o n sc o u l db cf o u n d f i r s n y t l l i sp a p e ri n 仃o d u c e st h ed e f i i l i t i o na i i db a s i c p r o p e n i e so fc o p u l a ，a n ds o m er c s l i l t sa b o u to d n s t m c t i o no fn - c o p u l a si nr e c e n t y e a r s s e c o n d l y ，t h cm c t h o do fc o n s t m c t m g2 c o p u l a sw a sg i v e n ，a n dt l l e n e x t e n d sm cc o n s t n l c t i o np r o c e d u r c st 0n o o p u l a s a n dw eh a v ed i s c i i s s e ds o m e p r o p c n i e so f t h e2 c o p u l a sw h i c h 璐t r u c tb yt h i sm c t h o d m c a n w h i l ea l l p r o p c r t i e so f2 一c o p l l l 弱i t h i sp a p e rh a v en d i m e 璐i o n a l 柚a l o g s s i n c ct h e m e t h o dd c p e n d so ngf i l n c t i o 璐，丘n d i n ggf l l 删o n si st h ek e yt oc o n s t n l c t i n g n - c o p u l a s 融a l l yt h i sp a p c rh a v cg i v am e t h o do ff i n d i n ggf u n c t i o n s d 印e n d s 0 n0 n e - d i m 肌s i o n a ld i s t r i b u t i o n s a n d 也cr e l a t i o 璐b e 锕e e n g 西南交通大学硕士学位论文 第页 a b s t r a c t d 印e n d e n c er e l a t i o n sb c 押c 锄珊d 咖v a r i a b l e si s o n eo ft h cm o s t w i d c l y s t u d i e ds u b j e c c si np r o b a b i l i 哆a n ds t a t i s t i c s b u tm et r a d i t i o n a l c o r r c l a t i o nc o c 伍c i c t sh a v es o m el i n l i t sf o ram e 猫u 亿o ft 1 i cd c p e n d e n c e b e m e e nr 蛆d o mv a r i a b l c s u s i n gc o p u l af o rm e 髂u r i n gd e p e n d e c ct a l 【e sm o r e a t t e n t i o 璐i nr e c c n ty e a r s a c t i i a l l y ，c 叩u l ap l a y s 趾i i 】1 p o n a n tm l ei nt h es t u d y 0 fd e p c n d e n c c ，i ta l s oc a nb el l s c df o rc o n s t n l c l i n gm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n s m c r ec x i s taf 细i l y0 fc o p u l a s ，w ec o u l dc o n s t n l c ta n yb i v a r i a t eo rm u n i v a r i a t e d i s t f i b u t i o nf u n c t i o n so fg i v e m a r 舀n sb ys 】( 1 a r st h e o r e ma n dt h e s e d i s t r i b u t i o n sa r ea l w a y sv e r yu s e f i l lf o rs i m u l a t i o n b e c a u s et h i s ，i ti sm e a n i n g f l l lo f n s t r u c t i n gm u l t i v a r i a t ec o p u l a s b u t c o n s t n l c t i n gn - c o p u l a si sd i 衄c u l t 舢t l l o u g ht h e r ce x i s tm a i i yw a y sa b o u t c o n s t n l c t i n gb i v a r i a t ec o p u l a s ，f c wo ft h c mc & ne x t e n dt om u l t i v a r i a t e 。s o m e m e i h o d sa b o u tc o n s t m c i i n gn c o p u l a si nm 锄yr e f c r e n c c sh a v el i m i t st os o m e d e g r e ea n da l s oc o m p l i c a t ep r e m i t h i sp a p e r 百v e san e wm e t h o do fc o n s t n l c t i n gn - c o p u l a sd e p e n d so nt h e l a wo ft o t a lp t o b a b i l i t y t h em e t h o dt l l a tc 0 船t n l c t i n gn c o p u l a sb a s c do ng 缸碰i o n sw h i c hd e 缅e di nt h i sp a p e r tw ec a ng c tn - c o p u l a si faf 缸m yo fg f u l l c t i o n sc o u l db cf o u n d f i r s n y t l l i sp a p e ri n 仃o d u c e st h ed e f i i l i t i o na i i db a s i c p r o p e n i e so fc o p u l a ，a n ds o m er c s l i l t sa b o u to d n s t m c t i o no fn - c o p u l a si nr e c e n t y e a r s s e c o n d l y ，t h cm c t h o do fc o n s t m c t m g2 c o p u l a sw a sg i v e n ，a n dt l l e n e x t e n d sm cc o n s t n l c t i o np r o c e d u r c st 0n o o p u l a s a n dw eh a v ed i s c i i s s e ds o m e p r o p c n i e so f t h e2 c o p u l a sw h i c h 璐t r u c tb yt h i sm c t h o d m c a n w h i l ea l l p r o p c r t i e so f2 一c o p l l l 弱i t h i sp a p e rh a v en d i m e 璐i o n a l 柚a l o g s s i n c ct h e m e t h o dd c p e n d so ngf i l n c t i o 璐，丘n d i n ggf l l 删o n si st h ek e yt oc o n s t n l c t i n g n - c o p u l a s 融a l l yt h i sp a p c rh a v cg i v am e t h o do ff i n d i n ggf u n c t i o n s d 印e n d s 0 n0 n e - d i m 肌s i o n a ld i s t r i b u t i o n s a n d 也cr e l a t i o 璐b e 锕e e n g 西南交通大学硕士学位论文第m 页 f l l n c t i o n sa n dt h eg e n e r a t o r so fa r c h i i n e d c a nc o p u l aw e r ef o u n do ns o m e c o n d i t i o n s k e yw o r d s ：c o p u l a ；m u l 曲a r i a t ec o p u l a ；gf i l n c t i o n ；d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ； d e p e n d e n c e 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1c o p u i a 的发展过程 在概率论与统计学中，随机变量之间的相依性是研究得最多的内容 之一。迄今为止，已有多种讨论和测度相依性的方法，其中应用最广泛的 有k c n d a l l r 和s p e a 珊a i l p 以及传统的相关系数p 。传统的相关系数p 是 对随机变量间线性相关性的度量。如果随机变量x ，y 之间的相关系数为 卢。，当i p 。i 较大时，我们说丑，y 之间的线性相关性较好，当i 卢。l 较 小时，称x ，y 之间的线性相关性较差。而在实际中，随机变量之间的相 依性并不总是线性的，而且，很多情况下，p 并不能如实地反应出随机变 量间的相依关系。例如： 设x 的分布律为 x一101 p 1 31 31 3 令y z2 ，显然z 与y 有密切的相依关系，但是由 e ( j 盯) - e 僻3 ) 一e 暖) - 0 ( z 归) - o 4 p - o 可见，传统的相关系数p 对相依性的刻画是极其片面的。 近些年来兴起的关于c o p u l a 的理论使得对相依性的刻画逐渐精细起 来。尽管c o p u l a 的发展还处于萌芽时期，但是相对于相关系数p 来说， c o p u l a 理论对予相依关系的刻画已经取得了长足的进步。 c o p u l a 是一个拉丁词。意思是“连接”、“联合”。1 9 5 9 年，a b es k l a r 西南交通大学硕士学位论文第2 页 在以他的名字命名的定理中，第一次将c o p u l a 这个词引入到统计学中。 该定理描述了联合分布函数日似y ) 与它的一维边缘函数f ) ，g ( ) ，) 之间 一定存在唯一的c o p u l a c ，使得日y ) 一c ( f ( 砷，g ( y ) ) ( 本文定理2 2 1 ) 。 但是c o p u l a 隐含地出现在有关相依性的文章中是更早的时候。最早是在 h o e 尉i n g 的文章中，在进行“标准化分布”( 即c o p l l l a ) 的基本性质的研 究时，h o e 删i n g ( 1 9 4 0 ，1 9 4 1 ) 用它们来研究非参数和谐测度，例如 s p c 锄衄p 和他提出的“相依指标”。随后，d c h c u v e l s ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 a b ，c ) 利用“经验相依函数”( 即经验c o p u l a ，类似于c o p u l a ) 来估计总体c o p u l a 以及构造各种非参数的独立性检验。 c o p u l a 引起概率论与统计学界的关注源于三次国际学术会议：1 9 9 0 年在罗马举行的“关于给定边缘分布的联合分布函数专题讨论会”；1 9 9 3 年在西雅图举行的“给定边缘分布的联合分布函数、双随机测度、马尔可 夫算子”；1 9 9 6 年在布拉格举行的“具有给定边缘分布的联合分布函数和 矩闻题”的讨论会。这些会议的主题表明c o p u l a 是与给定边缘的联合分 布函数的研究密切相关的。 1 2c o p u l a 的研究意义 那么，什么是c o p u l a ? c o p u l a 就是连接多元分布函数与其一维边缘 分布函数的一个函数。实际上c o p u l a 是一个多元分布函数，它的一维边 缘是区间( o ，1 ) 上的均匀分布。本文的第二章将给出c o p u l a 严格的数学 定义。为什么c o p u l a 能引起如此广泛的关注? f i s h c r 在统计学百科全书 的一篇文章中是这样回答的：“统计学家对c o p u l a 感兴趣主要有两个理由： 第一，它是研究相依性非数值测度的一种方法；第二，它作为构造二维分 西南交通大学硕士学位论文第5 页 第2 章c o p u i a 的定义与基本性质2 1 二元p u l a 的定义 引言中介绍了oopllla就是连接多元分布函数与其一维边缘分布函数 的一个函数，或者是一维边缘为区间( 0 ，1 ) 上均匀分布的多元分布函数， 但是这些叙述都不是copilla的定义，这里给出二元copula的数学定义。 定义2 1 1 一个= 元函数c “口称之为c o p u l a ，如果c ：，2 一- 【o 1 ， 并且满足： ( 1 ) 对于j a 嚣i 魏 鼙蠢i 螽r 塞；南l 薹；蕃? 贫襄鎏氆* i i 墓匿萏i 同； 割墨引耋耋j 囊 j ! | _ l ? ! ：? i ! ：| ；囊l ；雾 藿薹：i 矗i i 一差囊 j 雾i 一毪豢f 。醛；蠢琶妻i i ；l 辇 珠灌i i ! 贮静缉蠼名带j 幔冈i 嘲蠢g i 冈哺； x 西南交通大学硕士学位论文第6 页 法。而且，通过s k l 盯定理我们可以知邀c o p u l a 在多元分布函数族与共一 维边缘分布的关系中扮演了重要的角色。 定理2 2 1 ( s h 盯定理) 若随机变量x ，l ，的联合分布函数为h 0 ，y ) ，边缘 分布函数分别是f ，g ( y ) ，则存在一个c o p u l a c 使得鼠万一f 一* ，+ m 】) 中 任意的毛y 满足 h 0 ，) ，) - c ( f ( 砷，g ( y ) ) ( 2 1 ) 若f ，g 是连续的，则c 是唯一的。否则，c 在砌，l f r 口捍g 上是唯一确定 的。反之，若c 是一个c o p u l a 且f ，g 是分布函数，则由( 2 1 ) 定义的h 是 一个具有边缘分布f ，g 的联合分布函数。 定理的证明见文献【1 】中定理2 3 3 的证明。 如果设随机变量x 和y 的分布函数分别为_ f ) 和g ( y ) ，联合分布函 数0 ，_ ) ，) ，则f 0 ) - p 【x 工】，g ( y ) - h y s y 】，日以y ) - 尸【x 五y s y 】 那么，根据s k l a r 定理，我们有c 妒0 ) ，g ( y ) ) 一研j 工，y ) ，卜 下面，我们将给出一些在已知联合分布函数的情形下，根据s k l a r 定 理求得c o p u l a 的例子，但是在此之前先给出一些定义。 定义2 2 2 令f 是一个分布函数，则f 的伪逆是定义在j 上的任意一个 函数f ( “) ，使得 ( 1 ) 如果f 在f 的值域中，则f 一”是瓦中任意一个使得f o ) 一f 的数， 即鼢疗f ，有_ f ( f 。1 ( f ) ) - f 。 ( 2 ) 如果t 不在f 的值域中，即则f 圣舷艚， f 一o ( f ) - i f 协i f g ) f 一s u p z i f ( 刁s f 如果f 是严格增加的，则其伪逆是唯一的，这也是通常意义下的逆， 此时用f 。1 表示。 西南交通大学硕士学位论文第7 页 推论2 2 3 令h ，f ，g 是定理2 2 1 中定义的函数，且f 一1 ) 和g ( 1 1 分别是 f 和g 的伪逆，则v ，v ) j 2 c 0 ，v ) 一日( f ( - 1 0 ) ，g ( - 1 o ) ) ( 2 2 ) 当f 和g 是连续函数时，上述结论也是一种从联合分布函数出发构 造c o p u l a 的方法。下面，我们将通过一个具体的例子来说明构造c o p l l l a 的过程。 例2 1 若给定联合分布函数日为 坼。阵毒莽1 荆啡一，惜 工一1 z 卜1 1 】 x 1 g 叫刚- 仁。一，鬻 f 和g 的伪逆分别是f 1 0 ) 一勉一1 ，g 一”o ，) - l n ( 1 一y ) ，其中扯，v j ， 因为砌n j f j k n g - j ，由( 2 2 ) 可得c o p u l a c 为 c 0 ) ，兰l ( 2 3 ) 例2 2g 啪b c l 二元指数分布【2 1 】 着随机变量x ，y 的联合分布函数为 哪一r 巾”咖嚣”。 这里口是区间【0 ，1 1 上的参数，称之为g u m b c l 二元指数分布。容易求得其 西南交通大学硕士学位论文第9 页 提出。 定理2 3 1v 0 ，v ) ，2 ，对于任意的c o p u l a c 0 ，y ) ，有 m 强 + v 一1 ，o ) 5 c ，v ) m i n 0 ，d 成立，记m i n 0 ，v ) - 肘 ，y ) ，m 觚 + v 一1 0 ) 矽 ，v ) ，称以，v ) ，m “v ) 为f r e c b l e t - h o e 删i n g 界 证明：设随机变量z 和y 的分布函数分别为f o ) - 研xs 工】， g ( y ) - p y l ，它们的联合分布函数为h o ，) ，) 一h z x ，】，s ) ，】，于是， 根据s 1 【l 村定理，我们有c ( f ) ，g ( y ) ) 一h 置x ，y y 】。那么 p 【xs z ，】，s y 】s 尸【xs 五，y + 】_ 尸【xs z 】= f ) p 【x 工，y i y 】蔓p 【x + ，l ，sy 】尸【y s y 】i g ( _ ) ) 即c ( f o ) ，g ( y ) ) sm i ( f ) ，g ( ) ，) ) 。 令h f ( 力，v g ( ) ，) ，于是有c ，v ) s m i o ，v ) 。 下证c “v ) m a x + v 一1 o ) p 【zs z ，y _ ) ，1 研z 工】+ p 5y 】一1 + 尸【x 工，y y 】 p l r i x 】+ p 【y s y 】一1 蠢f ( x ) 十g ( y ) 一1 且p 【xs x ，1 ，y 】苫0 ，于是 c 陋 ) ，go ，) ) m a 】【( f o ) + g ( y ) 一1 ，0 ) 即c 0 ，v ) 乏m a x m + v 一1 0 ) 。 综上所述，m a x 如+ y 一】，o ) c 0 ，v ) m i n 趣，e 证毕 容易验证m “y ) 和 ，p ) 都是c o p u l a 当随机变量x 和y 独立时，p 降z ，y y 卜研工s 叫邓s y 】，于 是c 怛 ) ，g o ) ) 一p 【工s x ，y _ ) ，】- h x j 】p 旷y 】，令“f 0 ) ， 西南交通大学硕士学位论文 第1 0 页 v g ( y ) ，则c ，v ) “v ，通常记 ，v ) t v ，称之为乘积c o p u l a 。反之， 如果两个随机变量的c o p l l l a 是乘积c o p l l l an “v ) ，则这两个随机变量一 定相互独立。 记连续型随机变量x 和y 的c o p u l a 为c 。，c 0 动态地刻画了随机 变量x 和l ，之间的相依性。如果分别对工和l ，作严格的单调变换之后，它 们的c 叩u l a 将怎样的变化? 也就是说x 和y 之间的相依性将发生怎样的 改变? 我们可以证明对盖和y 作严格单调交换之后，z 和】，的c o p u l a 要 么不变，要么有规律的变化。 定理2 3 2 设z 和l ，是连续随机变量，其c o p u l a 为c 。，且和卢分别 是舶，和舶冗l r 上的严格单调函数，则 ( 1 ) 若口和卢均严格增加，则c 。( x ) ，( r ) ，v ) 一c 日 ，v ) ，记 c 。( z ) 声( r ) 0 ，v ) ic 1 1 似，y ) ； ( 2 ) 若口严格增加，卢严格减少，则c 。( z ) ，( r ) ，v ) 一“一c 。0 ，1 一y ) ，记 c 。( x ) ，( r ) ，y ) 一c 1 0 0 ，v ) ： ( 3 ) 若口严格减少，卢严格增加，则巳( z ) ，( r ) ，v ) - v c 。( 1 一“，v ) ，记 c 。( z ) 一( y ) ，v ) 摹c 毗 ，v ) ； ( 4 ) 若口和卢均严格减少，则巳( 工) 口叮) “v ) - “+ v 一1 + c “( 1 一 1 一v ) ，记 c 。( j ) 芦口) 似，v ) _ c 0 ，v ) 。 且变换后的q ( z 垆( 即0 ，v ) 均为p u j a 。 证明：只证明( 1 ) ，其他类似。 令e ，g 1 ，2 和g ：分别表示z ，y ，a 僻) 和p ( y ) 的分布函数，因为口和卢 均严格增加，e 0 ) 一研口暖) 工】一p 【石口4 0 ) 】一e 1 ( 砷) ，同理， g ：o ，) 一p 【户口) s y 卜印墨卢。1 ( ) - ) 】一g l 1 ( ) ，) ) ，于是坛，y 尺，有 西南交通大学硕士学位论文 第1 0 页 v g i ；! j 则c ，v ) “v ，通常记 ，v ) t v ，称之为乘积 毳p u l a 。反之， 如果两个随机变量的 p ；a 是乘积 p i i i an “v ) ，则这两个随机变量一 定相互独立。 记连续型随机变量x 和y 的 n n l a 为c w ，c 0 动态地刻画了随机 变量x 和；! 之间的相依性。如果分别对工和；! 作严格的单调变换之后，它 们的c 叩u l a 将怎样的变化? 也就是说x 和y 之间的相依性将发生怎样的 改变? 我们可以证明对盖和y 作严格单调交换之后，z 和；! 的 n n i i 要 么不变，要么有规律的变化。 定理2 ；| ；l 设z 和；! 是连续随机变量，其p u l a 为c ，且和卢分别 是舶，和舶冗；l 上的严格单调函数，则 ( 1 ) 若口和卢均严格增加，则c 。( x ) ，l ) ，v ) 一c 日 ，v ) ，记 c 。( z ) ，1 2 ) 0 ，v ) tc 1 1 似，y ) ； ( 2 ) 若口严格增加，卢严格减少，则c 。( z ) ，( r ) ，v ) 一“一c 。0 i i y ) ，记 c 。( x ) ，( r ) ，y ) 一c i 女0 ，v ) ： l ) 若口严格减少，卢严格增加，则巳( z ) ，| g ) ，v ) - v c 。i l 一“，v ) ，记 c 。( z ) 一( y ) ，v ) 摹c 毗 ，v ) ； l ) 若口和卢均严格减少，则巳( 工) 口叮) “v ) - “+ v 一1 + c “l l 一i i v ) ，记 c 。( j ) 芦口) 似，v ) _ c 0 ，v ) 。 且变换后的q ( z 垆( 即0 ，v ) 均为b b j a 。 证明：只证明( 1 ) ，其他类似。 令e ，薹! ，囊i 和g ：分别表示z ，y ，a 僻) 和p ；霎) 的分布函数，因为口和卢 均严格增加，e 0 ) 一研口暖) 工】一霎l 石口4 0 ) 】一e j j ( 砷) ，同理， g ：囊i ) 一蓁! 户口) s y 卜印墨卢j j i i ! ) 】一蓁! j ；i i ：i i ，于是坛，y 尺，有 西南交通大学硕士学位论文 第1 1 页 c 。( x ( f 2 ) ，g z o ) ) 一h 口( x ) 墨x ，卢口) y 】 一珂x 墨a 4 ( x ) ，y 卢1 ( y ) 1 一c h ( a 。1 ( x ) ) ，g ，( 卢。( y ) ) ) 又e 。0 ) ) 一b ( 力，g i 垆。1 ( ) ，) ) 一g ：( ) ) 于是c 。，( y ) ( e o ) g ：( y ) ) 一c “( f 2 ) ，g 2 ( y ) ) 。 因为x 和y 是连续的，砌，l f 2 一舭，l g 2 一，由此可见在，2 上， c 。f ) ，口) 以，v ) - c 日“a 显然c 。( z ) ，) 0 ，d 是0 0 p l l l a a 证毕 因此，在对随机变量做严格单调变换之后，它们之间的c o p u l a 要么 不变，要么有规律的变换。在很多文献中表明，c o p u l a 的这种性质在非参 数统计的研究中是非常有用的。 2 4 生存c o p u l a 在很多实际应用中，随机变量有时表示个体的寿命，个体的生存时 间超过x 的概率是由生存函数f o ) 一h x ，z 】一1 一f o ) 表示的，这里f 仍然表示x 的分布函数。当x 表示寿命时，它的定义域往往是【o ，m ) ，但 是当芹取值在豆上时，仍然可以称尸【x ) z 】为生存函数。 设随机变量x 和y 的联合分布函数为日0 ，_ ，) ，则它们的联合生存函 数记为厅0 ，_ ) ) 一p 【工 z ，y ，) ，】，其边缘生存函数分别为 f ( y ) 厅0 ，+ * ) - h x ) z 】，虱) ，) 一厅( + m ，y ) 一p 【l r ，_ ) ，】，即一维的生 存函数。事实上，联合生存函数和它的一维生存函数间具有与联合分布和 一维边缘间的关系类似的联系，即s h a r 定理中( 2 1 ) 式所示的关系。 定义2 4 1 设随机变量j ，y 的生存函数分别为f ( 砷，百( y ) ，联合生存函 数为厅0 ，_ ) ，) ，一个二元函数e 称之为生存c o p u l a ，若e ：j 2 一，且 j 7 b ，) ，) 一0 ( f ) ，虿( ) ，) ) ( 2 4 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 2 页 定理2 4 2 若随机变量z ，y 的c o p i l l a 为c 0 ，v ) ，且生存c o p u l a 为0 “y ) ， 则对妇，y ，有 e 0 ，以一“+ v l + c ( 1 一h 1 一v ) ( 2 5 ) 生存c o p u l a 0 也是。叩u l a 。 证明：设随机变量z 和y 的生存函数为j ；融，_ ) ，) ，则 日0 ，y ) - 研z z ，y y 】- 1 一h x z 】一f 【y ) ，】+ p l y j 并，y s y 】 t 1 一f ( x ) 一g ( ) ，) + c ( f ( 石) ，g ( ) ，) ) 一1 一，0 ) + 1 一g ( y ) 一1 + c ( 1 一f ( x ) l g ( y ) ) - ，0 ) + g ( ) ，) 一1 + c ( 1 一f o ) ，1 一g ( y ) ) - c ( f o ) ，g ( y ) ) 令f o ) - “，如) - y ，于是0 ，v ) - “+ v 一1 + c ( 1 一h ，1 一v ) 。 下证0 0 ，v ) 是c o p l l l a ，即验证它满足c o p u l a 定义的两条性质。 ( 1 ) 边界条件 0 ( o v ) 一o + v 一1 + c ( 1 一o ，1 一v ) - v 一1 + 1 一v t o ，同理，0 ( m ，o ) - o e m v ) 一1 + y 一1 + c ( 1 1 1 一v ) - v ，同理，e ，1 ) 一m ； ( 2 ) 2 一增性 ( m 1 ，2 】【v 1 ，v 2 】) - c 0 2 ，q ) 一c 0 2 ，p 1 ) 一c l ，v 2 ) + c 0 1 ，v 1 ) - 2 + v 2 1 + c ( 1 一2 ，1 一v 2 ) 一“2 一v 1 + 1 一c ( 1 一h 2 1 一v 1 ) 一“1 一v 2 + 1 一c ( 1 一“l ，1 一p 2 ) + “l + v 1 1 + c ( 1 一1 ，1 一v 1 ) 一c ( 1 一“2 ，1 一v 1 ) 一c ( 1 一曩2 1 一h ) 一c ( 1 一耳l 1 一v 2 ) + c ( 1 一砰l ：l h ) _ y 0 ( 【1 一球2 ，1 一“l 】x 【1 一p 2 ，1 一v 1 】) o 故e 0 ，y ) 是c o p u l a 。证毕 由于生存c o p u l a 也是c o p 血，所以它也具有与c o p l l l a 相同的性质， 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 关于推论2 2 3 也有生存p u l a 的形式，即 推论2 2 3 令厅，f ，虿和e 是定理2 4 1 中所定义的函数，如果声( - 1 和 虿( _ 1 分别是乒和虿的伪逆，则对v 0 ，y ) ，2 ，有 0 ，v ) 一厅伊4 ) ，百一”o ) ) 证明：由( 2 4 ) 式可知 h 0 ，) ，) 一c 伊0 ) ，g ( y ) ) 若令“- f 0 ) ，v - 虱y ) ，可知工一f “ ) ，y - 虿( ”( v ) 代入上式即得。证毕 例2 4二元p 舡e t 0 分布【捌 若随机变量x 和y 的联合生存函数为 。o ，y ) 一 ( 1 + 算+ ) ，) 一9 ， ( 1 + 曲一， ( 1 + y ) ， l 石之0 ，y 0 x 苫o ) ，( o x o y 苫o x 0 ，y ( o 这里日) o ，称之为二元p a r e t o 分布。易知边缘生存函数f 和百是 f c x ，。 + z 8 ：，虿c y ，。 + y 一。；： 根据推论2 2 3 ，可得生存c o p u l a 为 0 。 ，v ) 暑 - 1 坩+ y 以伸一1 ) 一 例2 5 在例2 1 中我们求出c o p u l a 为c 以) 一l 一，利用( 2 5 ) ，可 以求得 o o ) 。垒辈 西南交通大学硕士学位论文第1 4 页 2 5 多元c o p i l l a 本节将把前面章节描述的二元c o p i l l a 的部分定义与定理扩展到多元 的情形，而这些定理及其证明均可以参考文献【2 】我们先介绍一些新的 定义与符号。 对任意的正整数一，矛表示扩展的栉维空间豆x 瓦x 瓦，用向量 表示f 中的点，即a 一( 口。，口) 。若对于所有的七，有6 i 成立时， 记a b ，若所有的4 。t 以成立时，记a t b 。当a b 时，我们用 a b 表示“栉维矩形”b - 【口，以】【口：，6 2 】x 【口，虬】，即 个闭区间的笛卡 儿积。该“捍维矩形”口的顶点是向量c 一( c ，c ：，c 。) ，其中c 。一吼或以； n 维实函数日是这样一个函数：定义域d o 棚是矛的子集，值域j k h 日是 夏的子集。 定义2 5 1 令s ，s ：，s 是面的非空子集，设日是一个定义域为 d 撕圆- 墨s 2x x 鼠的n 维实函数。设b - a ，b 是顶点在d 村内 的“撑维矩形”，则b 的“日体积”为 p ) - s g n ( c ) 日( c ) ( 2 6 ) 这里的和取遍口的所有顶点c ，其中s 弘( c ) 为 s 弘( c ) - f 三裳= 勰二2 事实上，“珂维矩形”口 a ，b 的“日- 体积”是圩在母上的n 阶差 分 ( 丑) - t h ( t ) - 畦屹心咄日( t ) 这里我们定义n _ 维实函数( 例如h ) 的第七个一阶差分为 唑日( t ) 一日q l ，气1 ，k ，f m ，) 一日瓴，气。，吼，f m ，) 西南交通大学硕士学位论文 第】8 页 第3 章多元c o p u l a 构造的研究现状 本章总结了当前文献中与n c o p u l a 构造相关的一些问题与技巧，大 部分描述是基于3 c o p u l a 的，方便时给出相关定理的，l 维情形。 2 c o p u l a “连接”或“组合”了一维分布函数，从而构成了二元分布 函数。那么，我们容易想到利用类似的方法来构造多元c o p u l a ，也就是通 过2 c o p u l a “连接”或“组合”其他的2 c o p u l a ，从而构成多元c o p u l a 。 先看下面的例子： 例3 。l k “：q “：，f ) 晶o ，f 净 - j ：雪- o t ，f ) 磊o t ，f ) 蜃t + t 一，f ) g t + z q “z ，f ) 晶 。，t 渺 综上所述，( 4 6 ) 式成立。证毕 定理4 4 3 叙述的只是对前m 个随机变量作严格单减变换的结果。事 实上，对( 五，j ：，z ) 中任意个随机变量作严格单减变换后，相应的结 果也是成立的。定理4 4 2 是定理4 4 3 的特殊情形。 本章介绍的这种构造多元c o p u l a 的方法优点在于容易由构造二元 p u l a 的方法扩展，讨论c o p u l a 的性质时可以转为讨论对应g 函数的性质。 尤其在多元的情形下，直接讨论p l l l a 的性质比较繁琐，如果只用讨论 一族二元函数占函数的性质则比较方便而且，多元c o p u l a 的性质也可以 由二元c o p u l a 的性质推广。 西南交通大学硕士学位论文第3 7 页 9 0 ，f ) 一e x p 一a - 1 0 如“0 ) ( 5 2 ) 是满足定义4 2 1 的g 函数，其中h ，f ，。 证明：对于如f j ，只需证明占0 ，t ) 满足定义4 2 1 的三条性质即可