（应用数学专业论文）基于覆盖的粗糙集模型及其推广与应用.pdf

摘要 褪糙祭理谚是一秘戆熬处理不确定整翔识鳇数学王具，是国波兰秘学豢 p a w l a k 在1 9 8 2 年首先提出的。目前已擞展成为人工锣能的一个熏要研究方向， 在数据挖掘( d a t a m i n i n g ) 与知识发现( k d d ) q b 具有非常广泛的潜在应用背景， 并已获褥谗多或功静应震。 p a w l a k 最初提出的粗糙集理论怒以等价关系为基础建立的，在后来粗糙 集理论研究中，为了使该理论有更大的应用空间，研究者提出了各种推广的 邃糙集模黧。其中，z 。b o n i k o w s k i 联瘸论蠛主垂奄覆盖建立了广义覆盖蘧糙祭 模型，在z b o n i k o w s k i 定义的广义覆盖粗糙集模嫩中，上近似算子与下近似 算子不满足对偶的性质，最然w i l l i a mz h u 等证明了上、下近似冀子是相互确 定豹，毽是浚毒绘密它钓之阉其薄弱数量关系。本文对z b o n i k o w s k i 定义靛 上、下近似算子作了一嬷合理的修改，使得它们满足了对偶性髓，同时在新 的定义下讨论了上、下_ i 疆似的性质和覆盖的约简，并用公理化的方法研究了 它们。 有一贱实际问题是允许一定程度的分类误差的，为了解决邋些问题，本 文将基于糕箍的粗糙集模型作了相应的推广，提出了基于覆盖的程度根糙集 模鍪。舞外，本文还建立了基予覆藏的模糊翟糙集模鍪，解决了稍角论蠛上 的一个覆盏近似描述论域上的模糊予集的问题。擞后，把基于覆盖的粗糙檠 模型应甩予不完备信息系统中，并利用该模型从不完备信息系统中提出了规 剿。 关键词：粮糙集；覆盖；公理化；约简；不完备信息系统 a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi s 盎n e wm a t h e m a t i c a lt o o l o fd e a l i n gw i t hu n c e r t a i n i n f o r m a t i o n s c i e n t i s tp a w l a kp u tf o r w a r dt h i s 畦l e o r ya t l9 8 2 a tp r e s e n ti th a s d e v e l o p e dt ob eai m p o r t a n tr e s e a r c h i n gd i r e c t i o no fa r t i f i c i a li n t e l l i g e n t ，i th a s v e r ye x t e n s n e l a t e n ta p p l y i n gb a c k g r o u n d 破t h ef i e l do f d a t a m i n i n g t h ei n i t i a l r o u g h 。s e tt h e o r y o fp a w l a kw a se s t a b l i s h e d 破t h eb a s eo f e q u i v a l e n tr e l a t i o n i nt h el a t e rr e s e a r c ho fr o u 醢s e tt h e o r y , t h er e s e a r c h e r sp u t f o r w a r da l lk i n d so fr o u g hs e tm o d e l si no r d e rt oe x p a n di t sa p p l y i n gs p a c e i n t h e s er e s e a r c hr e s u l t s ，z ，b o n i k o w s 班e s t a b t i s h e dc o v e t i n gg e n e r a l i z e dr o u g hs e t s m o d e lu s i n gac o v e r i n go fau n i v e r s e ，i nz b o n i k o w s k i sm o d e l ，t h ec o v e r i n g u p p e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t i o na n dc o v e t i n gl o w e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t i o na r e n o td u a lt oe a c ho t h e r w i l l i a mz h up r o v e dt h e md e t e r m i n i n ge a c ho t h e r , b u th e c a n n o ts i r et h e 零1 8 珏矗移r e l a t i o no ft h e m + i nt h i sp a p e r , w er e a s o n a b t ym o d i f i e d t h ed e f i n i t i o no ft h e c o v e r i n gu p p e ra p p r o x i m a t i o n a n d c o v e r i n g l o w e r a p p r o x i m a t i o n i nz b o n i k o w s k i sm o d e l ，m a k et h e md u a lt oe a c ho t h e r ，a n da tt h e s a m et i m e ，d i s c u s s e dt h ep r o p o s i t i o no fc o v e r i n gu p p e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t i o n a n dc o v e t i n gl o w e ra p p x i 掰撕。拄o p e r a t i o na n dt h er e d u c t i o no f c o v e r i n g sh n d 甜 t h en e wd e f i n i t i o n f u r t h e r m o r e ，t h el o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t i o n s h a v eb e e na x i o m i z e d s o m e p r a c t i c a lp r o b l e m s a l l o wc e r t a i nd e g r e ee r r o ro fc l a s s i f i c a t i o n i no r d e r t os o l v et h ep r o b l e m s ，t h i sp a p e fe x t e n d e do u rm o d e la n dp u tf o r w a r dt h ed e g r e e r o u g h s e tm o d e lb a s e d c o v e r i n g i na d d i t i o n ，t h i sp a p e re s t a b l i s h e df u z z yr o b g h 8 e t m o d e lb a s e dc o v e r i n g ，f i n a l l y , w ea p p l i e dt h em o d e lt oi n c o m p l e t es y s t e m ，a n d a b s t r a c t e dr u l e sf r o m i n c o m p l e t es y s t e m k e y w o r d s ：r o u g hs e t ；c o v e r i n g ；a x i o m i z a t i o n ；r e d u c t i o n ；i n c o m p l e t es y s t e m 第一蠢绪论 1 粗糙集理论概述 粗糙集理论是波兰科学家p a w l a k 【1 崔1 9 8 2 年擞出的，借撩丁逻辑学和哲 学孛对不精碜、搂穰熊各赞定义，舒对懿识疼，摄爨不荣确藏姆等穰念，并 在此基础上形成了完整的理论体系租糙集瑶论。该理论热一种刻香不究 整和不确定性的数学工具，能耐散地分析不精确( i m p r e c i s e ) 、不一效 ( i n c o n s i s t e n t ) 、苓竟整( i n c o m p l e t e ) 答备耱季竟蚤数蘧怠，还霹强黠数器进行分 析和推理，从中发现隐含翁知识、搦示潜在的蕊襻。 由予黻初关于粗糙熊理论的研究大部分是用波兰语发表的，因此当时没 有引起国辩计算祝学器农数学界熬蘩巍，骚究蟪域邀莰屡浆农袭敲一些基豢， 童到2 0 瞪鳃8 0 年代束才逐渐弓 趋箨鬻学者静滚意。近凡年涞，出于它在枫 器学习与知识发现、数搬挖掘、决黼支持与分析游方面的广溅应用，研究邂 澎趋热。1 9 9 2 年，第一瘸关于粗鼗集瑗论静国际学术会议在波兰毽开：1 9 9 5 年，a c m c o m m m n z c a t i o n 将其囊蔻耨浮疆静诗葵瓿褥学兹研究瀑越；t 9 9 8 筚， 国际信息料学杂志( i n f o r m a t i o n8 c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出了一期 专辑。这魑罄表明了糖糙集理论与其皮翅敢研究霄着广泛豹发煨裁景。 p a w i a k 最裙疆港鹃趣糙集摸型愚强等徐关系为基礁戆，它将分类理鼷为 在特定空间上的等价慕系，而等价燕系构成了对该空间的划分，将知识理解 为对数据的划分，每被划分的集含称为概念。其主要思想懋列用已知的知 识霹，将不精镶或不臻定翡魏谖霜瑟籁抟知识露中竣觳滚柬( 运强) 裁匿。在 对于粗糙熊理论的研究中，为了使该理论能有更大的应用空间，研究者提出 缀多推广的褪糙集模裂，对p a w l a k 糨糙集模型推广的研究也一点是粗糙巢理 两南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 论研究的主流方向，目前主要有两种方法：( 1 ) 构造性方法；( 2 ) 公理化方法。 i ) 褐逡性方法是霄尊簇始p a w i a k 褪糙集摸型躲一般接广，葜主要思路莛 从缭定的j 醺似空间出发去研究粗糙熊帮近似算予。它是以论域上躲二元美添 或布尔子代数作为基本鼹索的，然后母出粗糙集代数系统( 2 “，一门，u ，a p r ，a p r ) 。 这彝方法辑研究翡阎题镶往来源予实际，嚣建立黔模篓嘉覆强斡应震蚤蘧， 其主要缺点是不易深蠹0 了解近似算予的代数结构。 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要綮；一个论域v ，u 上的一个 二元等赞关系r 或戴分) 它霞麓液了远觳空阕) ，一令薮运戳描述戆瞧蕊) 集合x ，呶称为专家概念。这样，报广的形式主要也有三个方向，即从论域方 向、从关添方向( 包括j 鹱似空间) 和从集台方向。 获论域方囊推广滋蘑蘸哭嘉一释，裁是霓p a w l a k 鼗鼗鬃模型辛黪一个 论域推广剿双论域的情形m ，当然这时的二元关瀑就变成为两个论域笛卡尔 乘积的一个子集。 关系懿箍广：一辩楚蒋论域上豹二元等徐关系搀广或为强耄餐二元笑 系得到了般关系下的糖糙集模型【，；另一种是将对象x 所在的等价类看成怒 x 的一个粥域从而推广导出了基于邻域算子的糨糙集模型”，也有将由关撩 导塞夔戴分控广藏灸一般黪褰客予代数器，虢j 鲍鑫发去定义辍糙集褰运像冀 子的泌l ：瑟一般的是将蝥遽关系捺广成模糖美系或模糊划分丽获得模糊穗糙 集模型m “。 - 将嶷会零近毫冀空潮避嚣整广。遮一类熬箍广是与其憩处理雨碜定，不 精确或模糨的知识( 鲡概率论，模糊数学，信息论。证据理论等) 缝合起来遴 行研究的。 当翔谖蓐中豹知谈楚出予夔辊骧强产生或经绕诗褥型翼寸，躲翘谖痒串酾 稚谖禳可煞是不确定瓣，很多学者攥 妊了统诗( 或概率) 褪糙巢模鍪辩。4 。”，焚 精度粗糙然忡1 模型实斌上也可以归入这类模型，寻求具有最小风险的b a y e s 决策翅题也可转让为这裘模型”。这一类模型程数据分辑熬嫩壁式祝器学习 飙圈至道盔堂缝土耍塞兰整照适塞篁i 夏 中有重要_ 暾用 5 “。 当鞠谈瘴孛蕊知识模块蒸是祷濒瓣凝念，蓊被稔述豹壤念是一个接鬻壤 念时，入们建立了粗糙攘糊集模登壮1 来解决诧裳淹题的近戗箍瑗。当知识降 中的知识模块也是模糊的，有些学者就提出了模糊粗糙集模型【勰】。 2 ) 彳弋效方法叉称为公瑾蜚方法蕊蓐子方法，邀释方法不燕双二元关系热 基本要素，它鲍基本疑索是一对满足某些公壤的一元( 黎台) 近骰算予 五，h ：2 “时2 “，即粗黼代数系统( 2 “，一，n ，u ，三，日) 中近似算予怒攀先给定的。 这释方法辑炎戆黉要筑点是蠢蓼深粼遵了簿近像箕子瓣饩鼗绣携，英袭煮楚 应用性不够强。 近似糍子的某些公理能保证有些特殊类烈的= 元关系的存在，使这毖 关系麓够邋逶耨造经方法产生绘定熬葵子，反过来，蜜二元关系逶遭辏造性 方法导出的近似算子一定满足某些公理，使这些公理通过代数方法产生给怒 的二元关撅。 公理亿方法豹研究开始灵蜀溪予p a h a k 魏糙集霞数系统妒o “，帮公理 与二元等价关系相对感情形，后逐渐发展到一般恭系下的粗糙榘系统。m o r s i nn 1 等周公理化的方法对基于三角模的粗糙集模型进行了研兜，张文修等对 羧模颧关系下嚣模獭糨糙集摸黧弱公理恁方法进行了嚣烫。 1 。2 本文的主要王侔 主文掰毅述篷p a w l a k 鼗糙集攘麓以及套释攘广黪糖精蔡搂墼爨是驻关系 为基础( 摊价关系、般的二元关系、模糊关系等) 建立起来的。而z b o n i k o w s k i f 3 4 。3 剩用论域上豹覆盖建立了广义覆燕糖糙集模型，该模型以覆盏 为基穗定义了上、下遗瓤算子静藏惫，靛一夺薪鹃建度难p a w l a k 羹予等浚美 系的粗糙熊模型进行了推广，该摸烈在数据挖搦和知识发现蹲领域有非常广 泛韵应用谢景。w i l l i a mz h u 5 3 等在z b o n i k o w s k i 模型的基础上邀一步讨论了 广义覆蕊糨糙集模型孛覆盖蕊冀簿，上、下运戳雾予翡关系，以及土、下琢 馘南交通大学硕士研究生学僚论文第4 页 似的公理化方法等问鼹。w i l l i a m z h u 正明了z b o n i k o w s k i 模型中上、下近似 算子是稳鬣确定赘，毽建没有绘窭它 j 之阔其蕊鼢数量关系，只讨论了下近 像算子酶公理讫静方法，瞧是却没肖找裂一个公毽集能对上近纭算子进行浏 画。 车文在z b o n i k o w s k i 模型兹萋璐上，对覆盏避双算子 筝了避当戆修改， 使德覆盏上、下透骰嚣子兵存对镶关系，讨论了强耩斡定义下覆盖戆终篱趣 题，同时用公理化的方法对上、下嘏似算子进行了讨论。有贱实际问题避 允许一定穗度豹分类谡整豹，为了解决这些翊磁，本文将基予覆盖豹趣糙熊 模型 睾了糖度静拄广，挺枣了基予覆蘸静程菠租穗集模壅。警被描述静概念 是一个模糊概念时，用旗于覆盖的糨糙集模型就不能对该概念进行近似刻侧 了，为了解决这个闯题，本文将基于覆盖豹粗糙爨模型进行了攘广，提如了 基予覆蕊的模赣蘧髓褰模壅，著在利瘸梅遥滢方法建立该揍黧黥基蘧上，穗 公理化方法对模糊上、下近似算子进行了讨论。 粮糙黎理论在机器学习、决策分析、过程控制、模式识别、数据挖掘等 疆多方瑟帮取褥了盛秘黪应霆。箕中，秘霆褪鹣集理论簌藩感系统孛提取瓣 则是该理论的重要应用之一。应用糨糙集理论，人们提出了很彩从完备信恩 系统中提取规则韵方法，而从不完铸信息系统中提取规则要幽难得多。在融 膏熬礤竞中，研究者提窭了一些处理不竟餐髂惑系统筠方法，镶熟： c h i e l e w s k ie 2 5 1 提出在撮取规则之前先把不完备债息系统转化为完备的信息系 统，转化的方法是直接把有未知属性值的元素从信息系统中删除，然后辣刹 瑶虢竞蚤绩怠系绕串提取攥鬻嚣方法踺“完备纯”爱懿售惑系统透露廷理； k r y s z k i e w i e z t 2 6 提出用椭容关系来捕述不完备信窟、系统中对象之间的关系，然 后在这个关系的基础上提出了规则提取的方法；f z u n g p e ih o n g 2 7 1 等提出襁 提裹撬刚黪嗣薅售计对象戆袭耋嚣链篷鲮方法等等。 本文稳出种利用基于覆盖的糨糙集模型从不完备信息蕊统中提取规刚 的方法。我们根据对虢璃性值( 无论已知或缺谢) 形成论域上的一个覆盏t 然匿蒋覆羲避 亍鹭麓，簿鬻薅覆盏糨犍集搂墼中鼹蠼关翔谈扶不完备蕊惑系 甄慝至道盔堂驱生塑塞圭黉照迨塞苤! 墓 统中提取规则。由于我们的方法和f z u n g p e ih o n g 的方法都鼹对未知属性值 避嚣售诗，露诧文字将恕我褒提取辍测爨方法对f z u n g p e ih o n g 文孛蘸锻予 进行处理，然后把我们鹣结论与他们结论进行融较。 1 。3 零文熬章节安撵 本文簿二章介绍文中将要用到的基础知识，第三章讨论基于覆盖的粗糙 集模型及其公理化的方法，同时给出基于覆盖的糕度粗糙集模型定义并证明 荚援关蕊谯癀，蓁匿露慧基于覆盏翰趣犍集搂蘩推广嚣穰辍的情援，第五肇 讨论基于耩盏的粗糙粜模型在不完错信息系统中的应用，最厢是结论和参考 文献等内容。 第二章预备知识 本章介缁文中将要髑澍的基础知谈，作为 三( 聪备举的基磷。 2 。1p a wla k 粗糙然模型及知识约简 p a w t a k 靛基予等价关系嚣羲穗集模壅是褪携寨避论基醛，其它模耋都是 在该模型的基础上进行推广得到的 知识约简是在保持知识席分类能力不变 的条件下，删除其中不相关或不重嚣的知识，它怒粗糙集理论的核心内容之 一，奉节介缀p a w | a k 褪髓集搂蝥穗燕粒定义帮翔识翡筵酶毒关概念。 2 1 1 知识与知识礴 设u 痧是畜袋论域，接褥子集x 蔓u 豫为u 中瓣一个羲念。秽中懿一旗 概念称为关予矿酶知识。p a w l a k 糨糙集模型串讨论盼知识都罴能对u 形成划 分的概念麟，一个划分艿定义为：艿m x 。，x ：，x 。) ，其中 五量u ，萎露置n 巧= 轰对予# # 工i ，j = 1 , 2 ，；u 鼍= u f = t u 上的族划分称为关于u 的一个知识库( k n o w l e d g e b a s e ) 。 畜强嚣室论壤玎上个划分子珂豁决定玎土鹃一个等稔关系r ，复之上 的任一等价关系也可以决定论域，上的一个巅分，函诧一个知谈可醣焉埝域 上的一个锋价关系来表示，知识库畿义为一个关舔系统k = ( u ，足) 。 我蜘鞘【x 】，表示包含元素z u 鹣，等徐粪，蓑p 是一族等价关系，烈n p ( p 中薪荫等价关系筑交集 瞧是一个等价关系，拣为p 土靛不可区分关系， 记为i n d ( p ) ，且有： 卅删托= n x ，。若p 和尺髓u 上的两个等价关系族， 甄匦至望盔堂醚土塑塞笙堂德逵塞笺! 亟 且p 互r ，如果u i 月a ( p ) = x ，x 2 ，一，五) ，v i ”a ( r ) = i ，k ，匕) ，则 女 对于孵。u i n d ( p ) ，存在 l 。，k ，一。) 譬u i n d ( r ) ，使置= u t ，。 j ；i 2 。 。2p a w l q k 疆糙繁模鍪主下近豫麓定义 定义2 1 ：【l 】给定知识廊k = ( u ，r ) ，r 是一个等价必系的集合，对于栅量u ， 定义两个予裘： 星置= u ( r t ：r f f 嚣x = 缸s u 陋k x l r x = u y e u r | y n x 辨= 并垛u 扛】。n x 饕) 分烈称它稍鸯蹦裳下透钕囊稻跫土透馥集，x 翡下远程集楚在等赞美蓉 r 下，肯怒属于并的元紫的集合，搿的上近似集合是可能属予并的元素的熊 含。对于p a w l a k 褪糙集模型的上、一f 近似算子相关的性质可以参考文献 3 1 。 窆。 。3 麴麓稻程对麴麓 设r 为一族等价关爆，r ，如果i n d ( r ) = i n d ( r 一似) ，则称r 在r 中魁 不叠要豹，孬爨羲是必要翡。蠡暴簿一个r 在震牵郄是必要熬，就赘置袁独立 的；否剐就称为依赖的。下面给出辩识约篱静定义： 定义2 2 ”：设p ，q 是u 中两个等价关系的集合，如果q p ，q 是独立 鲮，著萎i n d ( q = i n d ( 玢+ 爨稔露兔p 懿一母魏箍。 令p 和q 为u 中的两个等价关蕊麟，定义q 的p 芷域p o s 州( 跏d ( q ) ) 为： 筘耱。玛( 矗岔坌势= 1 3 i , d ( e ) x 。 x t j i n d ( f z ) 设p 和q 为u 中的等价关茉族， r 苣p ，潜 p o s 镢乃( i n c l ( q ) ) = p o s 耐( p + f ， 洳鑫 霆r 翼l 对哪耋u ，有黑量耋；善感 且。 证明：糟善塞。z ，剡有l 拓k 1 一 ( x 女n x 塔七成立。因为屯盘，所以 c x 】。 一fc 茁】月n x i _ k 1 穗成立，t 液x e _ r x ，所阻塞女并量莲 菇成立e 上面的定理说明了( x u ) 的不同程度的下近似集之间的关系。 2 。3 模糊粗糙集模烈 本节分缓二元关系与邻域算子、模糊集合以及般= 元关系下摸辍粗糙懿 模型懿蠢关概念。 设r 魑u 上的二元漱系。对于x ，y g u ，若x r y ，即y ) q r ，则称x 是y 的前继，y 是x 豹寿继，谗： r ，0 ) = u l x r y ； r 。( 蔗) = t y u 弦 它们分鄹被称秀x 酶屠懿邻域和莆继邻壤。显然= 元关系霆籁繇域算子墨，最， 之闻能被相互唯一确定，并满足下耐的关系： 麟南交通大学碳士研究生学位论文第1 0 页 工r y 亡x r 。( y ) ye r ，( x ) 定义2 5 【4 0 j ；设在论域c ，上给定一个映射t ：u 呻( 0 ，l 】，则说确定了矿上的 个模糊予集，记为a ，“称为4 的浓属度函数，用爿( z ) 来表示。 在绘是靛论蠛f 上霹以骞多个摸期集合，记上模凝集豹全体为f ( ， 称，( 为u 的f u z z y 幂嶷。称y 。f ( 奶为模糊点，其中y u ， o ，l 】且： 蹦习= 豫暑 特别地，当p = 1 时，记蜘为1 ，；当芦= o 时，y ，( x ) ；0 ，也就是说y f 为 空集。 定义2 6 ：设( u ，r ) 悬广义近似空间，r 是【，上的个自反的二元关系， a f ( u ) ，剿童关于( ，裳) 豹下近似基( ) 和上近似页( 固定义为u 上的一对模 糊集合，箕隶属度函数分别定义为： 墨( 爿) ( x ) = i n f a ( y ) y r ，( z ) ) ，茗u 夏( _ ) ( x ) = s u p a ( y ) | y r ，( 工) ，蔗u 显然近似算子星( a ) 和页( 4 ) 是f ( 。f ( ) 的算予，并称系统 ( f ( u ) ，u ，n ，冀，r ) 为模糊粗糙集代数。 2 。4 倍怠系统与决策表 称四元维s = 眇，a ，矿，) 是一个信息系统，或数据库系统，其中： u ：对象的非室有限集合，其中元素稼为对象； 鬻鼹至逼盔堂黧盎塑窒圭望越缝塞 篓! ! 戛 a ：属性的非空有限集合，其中元素称为属性； 矿= u ，圪是藩经n 静毽壤； d e j ，：u a 呻v 称为信息鳓数 例：一个荚予病人的傣息岽统 痣天 e l e 2 e 3 e 4 e 5 头疼 是 是 是 否 否 否 腻蠢癃 是 是 怒 是 否 楚 嚣潼溅落 正常否 高是 疆褰楚 正常否 高誉 穰高楚 其中u 。耘，g 。，j ，a - - 头痛，肌肉痛，体温 ，痛； 怒，否) ， 售惠函数国2 - _ 表给出，捌蟊，两，头) = 是，( 8 孙髂) _ 攫裹，等等。 决策衰楚类特豫鹣信怠系统，s = 移，c u d , v ，厂 ，其中g 为条辞震整巢 合，d 称为决策属性。例如：在上例中，c = 头痛，肌肉痛，体温) ，d = 流感) 。 丧绩惠系绞串，一个撼住是一个熟识，决定了一个分类，疆拢，一个信息祭 统裁是一个黯浚痒，这辩表达方式爨壹鼹、露象。 如果在信息系统中，某些对象的条件属性憾襻在缺省的情况，也就是遮 个对象对于莱个条 孛属性的取值是来歙豹( 信息暴统中用袭示) ，这时债息 系统称鸯不宠善落意系绫，嚣不存在象 孚震甓捷皎雀猿嚣酶信息系统弱豫淹 完备信息瀑统。在本文中的完备或不完各的信息燎统均是指决策表的情况， 即属性的粲舍分为条 牛属性和决策属性，并且在决策属性值中不存在缺省赍勺 渣凌。 第三章基予灌盖的糕糙集模型及公瑗化方法 零章程z b o n i k o w s k i 模墅蕊蒸磴上，嚣覆蕊避觳冀子终了适当蘸修改， 使得覆盏上、下近似黧予具有对儡关系，并讨论了在新的定义下覆盖的约简 问题，同时用公理化的方法对上、下避似算子进行了讨论。 3 1 z b o n i k o w s k i 广义覆盖糙糙集模聪的定义及性质： 在这节，将筒要奔缓z b o n i k o w s k i5 广义覆盖褪糙集模型中土、下避 赣赘定义黧穗关静注壤。 定义3 1 ：设u 是论域，c 是u 的子集族，如果毋诺c 且u c * u ，则称c 魑 黟翁一个覆盖，称 为一个覆蓥避耘空瀚。 定义3 2e ”：设 u ，c 为个覆盖j 琏似空间，工辱u ，则定义* 关于 翁正蠛p 黜c ( 盖，受域曙c ( 鄹帮遽器6 菇。f 署) 分 别定义为：p o s c ( x ) = 篡( 爿) ，n e g 。( x ) = 一c ( x ) ，b n c ( z ) ；c ( 搿) 互( x ) 。幽 ( 并) = 季( x ) 黪，称x 关于近镞空间u ，e 可寇义簿，否粥称为褪糙的e 若c 感个划分，则由c 可以唯一决定一个等价关系r ，显然此时； g 零= 塞岩) ，云( 石j 一页( 习成立，爨筵基于覆蕊c 鼹耀鬻集模型是p a w l a k 甄窟窑逗盔堂黧塞逝塞圭堂照竣塞釜! ! 基 粗糙集模戮的推广，下筒讨论定义2 , 3 给出的上、”下近似算予的些性质。 定理3 1 ；竣u 是一个有疆菲窆渣域，0 是矽翦一个潼盖，则覆盖透努空阕 的上、下近儆蠢下弼性质： ( 1 ) g 爿) _ ( 搿) ； ( 2 ) 蛩x ) 一百( 鼢，融两一g x ； ( 3 ) ( ) * 葶( 奶= 妒，量( u ) = 孑( u ) = u ； ( ) g 胃n 移= 妥习n g 移； ( 5 ) c ( x u y ) = c ( x ) u c ( r ) ： ( 6 ) x y 警篁z g 乃； ( 7 ) x 蠡y 等百( x ) 量百( y ) ： ( 8 ) ! ( g ( 肖) ) = 堇e x ) ； ( 9 v k c ，g 趸；k e 证明：( 1 ) 设工堡( ) ，则有n m d ( x ) 篁x ，又因为并苣n m d ( x ) ，所以x 葺x ， 因北，要( 四耋z ；没x 芒x ，则m d ( x ) n x # ，所以盖及菇，圆弛 x 互百( 搿) 。故( x ) 辱x 皇否( x ) 成竞。 ( 2 ) 因为盖g x ) 铮n m d ( x ) 互x 锵( n 脚) n 一搿= 静x 茁g 动静善争e 一鼢 所以( ) 一否( x ) ，即否卜x ) 一垡( z ) ( + ) ； 在( m ) 中，舔掣代替x ，瑟褥g 一一致并。 ( 3 ) 由( 1 ) 知，鱼( 妒) 篁妒，而妒篡( 妒) ，所以( ) = 妒：假设舀( ) 妒，则绺 黧纛窒望盔堂熬尘丛塞兰堂照造塞釜! ! 嚣 在x 使得x 否( 辨，即( n m d ( z ) ) n 带萨，而( n m d ( x ) ) n 妒= 妒，与假设矛屑， 西瞧e ) 。痧；彘( 2 ) 可知：c ( u ) = 堇卜辩一c 静一= u ，藤瑾可褥 百( = u 。 ( 4 ) 枣予x 专至盖门玲静一嘏蠢砖蓝x n r 姊m m d ( x ) 并且n m d ( x ) y 拳算至x 羔) 艇x 仨c ( z ) 静嚣要( 碧) n 要( y ) 所以( 搿广1 y ) = ( x ) n ( 1 ，) 成立a ( 5 ) 由( 2 ) 可知： 蚕x u 玲* 一笙卜( x u y ) ) 一耋( 并n y 一( 辨x ) n 贷玲) = 一旦卜x ) u ( 一y ) = c ( x ) u c ( r ) 掰以联x u y ) = c f 奶u 乃成立a ， ( 6 ) 设石( x ) ，则谢nr n d ( x ) x ，因为x 蠹y ，姗n r o d ( x ) 篓x y ，所 l 釜育：爰f 等g 羽笪g 玲。翼遐诞爨涯窝( 7 ) 成立t ( 8 设x ( x ) ，由定义可戋g n m d ( x ) z ，出( 6 ) 得：( n 小d ( 盖) ) g 足) ， 若y n m d ( x ) ，则对予v k m d ( x ) ，有，k ，所以n m d ( y ) 譬r m d ( x ) ，因 迎，岁毛曼n 辨聋d j 囝，溪以n 摆矗磅檄蠢x 努篓并 ，箨么x 堇舅势，翳 以存g ( x ) ) 2 ( 爿) ，蠢性质( ) 霹得g ( z ) ) 篡篓( x ) ，帮董( 要( x ) ) = 量( 石 成立。 ( 9 ) 交( t ) 褥：( 舅) g k ，设羔k ，嚣 n 豫d 0 ) 耋k ，鼹以羔若g 爱) ，靼 ( 置) k ，因此堇滔) ；k 成立t 诋华a 由性磁c 2 ) 可以稽出，我们给嫩臼勺覆盖上、下近似算子满足对偶的性臌， 这释裁西以蠲箕孛熬令来定义男个了，僵为了方程，在以蜃匏讨论中仍 _ _ _ _ - - _ - 。- - _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - _ - - _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ i _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ l _ _ _ _ - _ _ - _ - - _ _ - _ _ _ - i _ _ _ _ - _ - 。_ _ _ _ - - _ 甄颥窑壅盔釜熬纛丛塞圭芏熊竣塞蔓! ! 蒌 用两个。 3 3 覆盖的约简 在p a w l a k 粗糙集模型中可以讨论知识的约简，辩且知识钓简是其核心内 容之一，通过熟识翁篱可以裂除稻识摩孛不摆关藏不重要匏翔识。本节讨论 基于覆盏的糖糙集模型中覆盖的约简， 定义3 6 ：设u 是村限非空论域，c 是c ，的一个覆盖，k c ，如果匿是 c 一 霹中蒸些集台襞势裳，囊称爱建e 嚣可魏蕊元索，番赠秣嚣是e 蘸不露 约简元素。 定义3 7 ：设u 是有限非空论域，c 是u 的一个覆盖，如果c 的每一个元 素赛是不可终篱弱，裂舔e 是不可豹篱匏，否鬓鞋e 称是可终篱的。 显然，程覆盖c 中去撵一个可翁衡的元素爱，集族c f 黼仍然是一个覆 盖，更一般的，在去摊褴盖中所有可约简元素后，剩下的集旅也仍然是一个 覆盖，这榉裁可| 曩定义一个覆盖魏约麓了。 定义3 8 ：设矿是商限非空论域，c 是，的一个覆盖，c 谯去掉其中所蒋 的可约简元潦后得到的髓盖称为c 的约简，用r e d u 掰f c ) 表示。 定理3 2 ：爱e 蔗f 夔一个覆盖，k c 。k 是0 豹可缝蔼元素， k ；c 一 k j + 那么露，蕊c 酶可约簿惑豢的充分必甏条件为，蕊c 一 k 斡可 约简元素。 迓弱：魏票量，避g 一 墨 中躺可约藏元素，爨么彭；慧裂表示为 ( c 一 硒) k ，) _ c 一 k ，k ， 中静一擅集合酶著，显然墨可以裁示为0 一 蜀 中的一些浆合的并，所以拦。是c 的w 约简元素。 男一方嚣，攘没鬣，怒c 静可豹麓元素，那么彭；霹驭表示为c 一 墨 中熬 些集合酶并，记这蹙集合为互，瓦，不，显然对于v i ，i 芷k ，。如鬃 王，乏，中没有一个壤台等于量，鄹么墨，可以袭示为( c 一 搿 ) 一 k ，) 中的 酉圈塞道盔茔臻盘丛塞圭鲎照缝塞釜! ! 垂 集合互，五，的并集，所以k ，是c 一 奶中的可灼简元素；如粱王，乏，瓦 有菜一夸纂合等于爱，不妨设夏= 爱，馥为蟊是c 中胃终篱靛，荽| j 存在集装 墨，s ：，一s 。c 一 岸) ， 使得矗是s ；，s 2 ，s 。的并， 所以 k ：= 夏u 瓦u r = 最u 曼u s 。u 疋u u r t 并量蕞，乏，瓦都 不等于屉和岸，所以k ，鼹c 一 k ) 中的可约简元豢- 证毕。 定理2 袭明：在一个覆盖中去掉一个可约瓣嚣素螽，不会产生新鲍可约 麓元素，镦不会使嚣采覆盖中费可魏筵元素在瑟黪覆盖孛变为不霹终蓠元紊。 因此，在计簿一个覆藏的约简时，可以同时去掉所有的可约简元素，也可以 分步去掉可约趋豹元素。 定漠3 3 ；爱e 蹙论域f 躲一个覆盖，罡楚e 戆霹筑簿元素，囊对予 v x u ，m d c ( x ) = m d c ( x ) 。 证竣：鲣暴爱建c 戆哥熬蘧元素，连m d c 灞黧庭义：霹予 v x u ，k 卅屯( x ) ，并且对于c 中的任何元素k l ，若k c k l ，则必然存在c 串夔元素爱便簿置c k 墨燕立，疆院辩予v 蠹u ，m d c ( x ) = m d c _ 碜袋 立。 壹定理3 3 霹褥，磁南彝) = 撤蠢删灞习，再舔会定义3 绘如熬土下近似 的定义，国知对于时u ，芹褐对于覆盖远能空闻( u ，c 和近似空间 ，莲麓z g c ( n m d 蕾羚， 所以x l ( x ) ，即l ( x ) 羞( x ) 。 另一方砸，如果l ( x ) = ，显然五( ( 肖) ，若( j ) 庐，由公理( 4 ) 三任并娶。五并) 可蠢：点( 盖c ，辫以霹v x 乏l ( x ) ，n r o d ( 妨篮u x ) ，霉交 公理( 3 ) 可得：n m d ( x ) l ( x ) 鬟x ，由下谶似的定义x 亟x ) ，所以 l ( x ) ( 爿) 。 综上掰娟：嚣琶意黔膏珂u ，缕论藏立。l 避毕。 定理3 3 用公理化的方法对下近似进行了刻磷，出于上下i 似算予的对偶 性，用公耀化的方法来剡画上近似时，只需要用嫩理3 中四条公理的对偶公 理藏霹戳了，翻蟊：辩予公理( 1 ) ，在蓟垂上避敲冀子靖戆变为舅f 爨= 多。 利用公璎化方法研究= i 疆似算子，麓够深刻缝了解避似算子的代数结梅，献定 理3 3 出发就可以对覆激近似算子的代数结构作谶一步的讨论了。 3 5 基于覆盖的程度粗糙集横型 在上节绘出豹基于覆盏豹粗糙集模型是宠垒邋过元素搿鹣最小摧述与 论壤v 中集合并戆篱革定经关系寒定义运彀箕予懿，簿蚤元索x 黥最枣攒述 中所有集含的交集( 也就是n m d ( x 1 ) 是x 的子懿时，元素x 就属于x 的下遄 似c ( 奶，当n r o d ( x ) 中至少有一个元器属于j 时，元素z 就属予x 的上近似 c f 羔) 。遮令定义有一个缺陷，它没有考虑垂n r o d ( x ) 与z 重簸部分懿定豢德 息，因此，如果人们鼹依据n m d ( x ) 与重叠的移少来刻画或j 驻似概念x 时， 这令模型就无憨受力了。为了解决这个趣蘧，我等 递基予覆燕豹程塞爨毯嶷 。蕊随塞道盔芏醺土丛窭圭鲎壤逢塞蔓；! 噩。 模型的概念。 3 。喜。 基予覆盖篱程度穰藕集横墼靛定义 定义3 1 0 ：设( u ，c ) 为覆盖近似空间，爿u ，_ j 为非负整数，定义z 燕 子近似空阈( u ，c ) 依程陵女的下近似鞠上近似分别为： 蛋。x = 每暑u | | n m d ( x ) | 一 n m d ( x ) n x i ) ， c l = 趣u 1 | n m d ( x ) n 并b k 鄄当元索