（岩土工程专业论文）电磁场有限元法在gpr正演模拟中的应用.pdf

塑窭查篓登圭兰垫篷壅! ! 量 摘要 _ i 琏十几年，一场大规模的公路建设熟潮正在全国各地蓬勃兴起，公路检测和 评价将面临嚣蕴繁羹豹任务。原有豹链芯取样或开挖抽榉的爆度质霪检查方法不 仅效率低，代表性羞，精度不高，而且对已建成的公路有损坏，已经满足不了发 展豹嚣要，为照极嚣发漫袄速、德便、裔精度、菇效搴楚公鼹无损捡测鼓零。l 霆 = 十年发展起来的路用探= i 甄雷达就是这样一种公路质氨检测设备。 路用探地雷达怒一种工作于近地面状态下矛u 用超宽带脉冲电磁波进行路面 结橡瑟攘铡爨仪器，其工馋原理类似予探空霉达：当鬟达发射天线发射垂勺逛磁波 在路面结构屡中传播时会在介质电性性质突变处产生反射和透射，反射回来的波 经由接收天线接收势转化为数字信号褚存起来，通过分析探遮雷达露波信号来嵇 计路面结构层的性质、状态和位置等特征。作为一种非接触、非破损的路面检测 技术，它不仅检测糟度高、费用低、裣测内容丰富，而且检测速度快，能在高速 公路时速下，实时逑续收集公路僚息，缀由相应的计算机软件处理，在很短的时 间内，可得出有关现测路面使用状况的资料，为道路使用状况评价和维护提供必 要的俄握和资料。 但是，目前g p r 图像解释的自动化程度述比较低。为此，急需开发系统的 自动分析较伟。开发系统软件，酋先必籁建立冀正演计算模型，邵建立电磁波程 路面介质中传播的数学模型。模型建立的是否正确，用正演模拟进行检验，因为 难演模拟是研究高频电磁波在地下介质中传播规律的有效途径，其体做法为：利 用已建好斡模型模拟诗算霉达匮波，攘模拟熬波形与实测波形进行慰毙以检验模 型建立的是否正确、是否满足精度要求，从而达到检验已建模型的目的。掇然曾 有不少学者露姥进行过大量研究，然恧结论并不完全统一，存在一定分歧。锌对 目前这种模型多样化的情况，有必要研究、对比各种模型或熏新建立一种模型， 通过芷演模摈分析，攘出最精确、最适合我簪公路情况的模裂，为软件开发提供 理论依据和计冀模型。这墩是本文进行电磁场有限元计算的蔗要最的。 有限元法在电磁学中的应用已有3 0 年的历史了。有限元法电磁计算的广泛 应麓及广凝熬菠震赣最，曾先来交予工程应磊发展豹嚣力，翔产鑫稍造窥模蘸不 断扩大，即设备的大型化；产品设计制造的复杂性和难度的不峨增加，即设备的 集成经；对产品性能指标要求的不断提离，即设备的高技术禽量；以及产品应用 范围静不断扩充，即产品种类的多样化。这些都要求对电气设冬或其郄徉进行嘉 精度的定量计算和优化设计。对于路用搽地雷达，就需要研究电磁场在雷达天线 及层状路面孛豹分意阕题。 由于电磁信号在路面介质中的传播过程非常复杂，所以通过雷达信号反演路 郑州大学硕士学位论文 面各层参数的方法还处于探索阶段。国外，探地雷达正演计算主要集中在三维模 型的研究上。1 9 9 3 年，中国地质大学应用地球物理系的邓世坤教授曾作过这方 面的工作。中国电波传播研究所，西安交通大学、西安电子大学和煤炭部煤科院 等单位也曾针对正演模拟过程中出现的各种问题进行过研究，但有关道路正演模 拟方面的文献较少。河南省道路检测技术研究中心也曾用快速傅立叶变换法做过 正演模拟尝试。近几年来，有人提出在反演计算的基础上进行正演模拟，大大提 高了正演模拟计算的精度和实用性，但目前，因模型的多样性和复杂性，计算结 果千差万别，很难统一，适合于我国道路状况的模型还有待进一步研究。 针对上述情况，本文系统阐述了电磁场有限单元法的基本原理，然后采用二 十节点、四节点等参单元分别对p u l s e 雷达实体及三层路面系统进行了静态场和 时变场的有限元分析，初步建立了电磁波在三层路面中传播的正演模型，同实测 波形相比，模拟效果较好，并用f o r t r a n 9 0 语言编制了相应的三维、二维有限元 程序，具有较好的可读性和可移植性。 关键词：探地雷达，电磁场，有限元法，正演模型 郑州大学礤圭擎裁论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，a l a r g es c a l eo fh i g h w a yc o n s t r u c t i o nbb o o m i n gi n w h o l e 珊豫譬t i l ei n s p e c t i o na n de v a l u a t i o no fh i g h w a yw i l lf a c ei n c r e a s i n g l yo n c r o 牡g 螺妓s t h e r e f o r e , t h eo l di n s p e c t i o nm e t h o d so f t h i c h ：c s sq u a l i 鲰s u c ha sb o r ea n d s a m p l i n g , o 蘸专s a t i s f y t h e d e v e l o p i n gr e q a i r e m e x , t , n o to 撼yf o rt h e i r 酶we f f i c i e n c y , b a dr e p r e s e n t a t i o n , p o o ra c c u r a c y , b u ta l s of o rt h e i rd e s t r u c t i o nt ot h eb u i l th i g h w a y s o ，t h en o n d e s t r u c t i v e t e s t i n gw i t hs i m p l eo p e r a t i o n , h i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c y , n e e d r a p i dd e v e l o p m e n t s g r o u n d p e n e t r a t er a d a ri ss u c ha n d t , w h i c h h a sa t w e n t y - y e a r s h i s t o r y 翻艟p r i n c i p l eo f g p r i ss i m i l a rmt h e o r d i n a r yr m a r i tw o r k s n e a rt h es u r f a c eo f t h er o a da n dt r a n s m i t sd e c t r o m a g n e f i c 疆麓w a v et ot h ep a v e m e n t l a y e r s ，w h e nt h e e t e c t r o m a g n e ! i ew a v ep r o p a g a t e si nt h ep a v e m e n tl a y e r s ，i tw i l lb er e f l e c t e da tt h e i n t e r f a c eo ft w od i f f e r e a uk i n d so fm e d i m ，a sw ek n o w , d i f f e r e n tm e d i u mh a v e d i f f e r e n td i e l e c t r i cc o n s t a n t 骶l er e f l e c t e dw a v ew i 珏b er e c e i v e db yt h er e c e i v e a n t e n n aa n dt r a n s f e r r e dt od i g i t a l 螽瓶w ec a l l 爨a l y z et h ed a t at h a ts a v e db yt h e c o m p u t e ro f g p rt od e d u c et h em e d i u m $ p r o p e r t y , s i t u a t i o n , l o c a t i o na n ds oo n 。 b e i n g 辑k i n do fn o n d e s t r u e t l v e ，u n t o u c h e dm e t h o d ，i t 氧鼯m a n ya d v a n t a g e ss u c ha s 撼盛p r e c i s i o n ，t o wc o s t , a b u n d a n tc o n t e n t , n o n - d e s t m c t i o na n dr a p i d n e s s i tc a l l c o l l e c td a t a 戢t h es p e e do f s 0k m h 。t h ed a t ac a l lb e p r o c e s s e db ys p e c i a ls o f t w a r ea n d t h eg p rc a l lo f f e rc o l o ri m a g e sa n di n f o r m a t i o no fm a ds e r v i c el e v e l + w e 粼t a k e s o m em e l t g u r et or e h a b i l i t a t er o a d a c c o r d i n g t ot h ed a t at h a tg p r p r o v i d e s ， b yn o w ；g p rd a t ai n t e r p r e t a t i o nc a l l tb ea u t o m a t e de v e n t u a l l yd u et om a n y a r t i f i c i a lr e s p e c t s ，t h er e s u l ti ss u b j e c t i v ea n di n c o r r e c t , t h e r e f o r e , w en e e dm a k e a u t o n m t e d - a n a l y s i ss o f t w a r eq u i c k l y m a k i n gs o f t w a r ei sb a s e do n a l g o r i t h m , n a m e l y , t h em a t h e m a t i cm o d e lo fe mw a v e p r o p a g a t i o n t h e ne c h ow a v es i m u l a t i o ni su s e d t oe x a m i n et h em o d e l ，b e c a u s ee c h ow a v es i m u l a t i o ni so 黼o ft h ee f f e c t i v ew a y s t o e v a l u a t et h ep r o p a g a t i o nt h e o r y , t h e r e f o r e , w ec a nm o d e lt h ee c h ow a v eo ft h e p a v e m e n ts t r u c t u r et h a tw e h a v ea l r e a d yk n o w na n d c o m p a r e i tt ot h ea e t l t a lw a v e 瑾 t h e y d on o t m a t 醍v e r yw e l l ，w ec 然a d j u s ts o m ep a r a m e t e r st oi m p r o v ei t 。ht h ep a s t , m a n ys c h o l a r sh a dw o r k i n go ni t , b u tt h e yd i d n ta g r e e 静e a c ho t h e r t h ed i f f e r e n t e a n o n gt h e m i ss ob i gt h a tw ed o n tk n o ww h i c ht oc h o o s e t oa n a l y z et h er o a d si n0 1 1 1 c o u n t r y , t of i n do u tt h e p r o p a g a t o nt h e o r yt h a ts u i t st or o a d si n0 1 1 t c o u n t 3 r , 逄m e t h o d o f e mf i n i t ee l e m e n t si sd i s c u s s e di n 氆i s d i s s e r t a t i o n 塑塑查登璧圭黧燕笙奎一一垒! 测 t h ea p p l i c a t i o no f 薮n i t ee l e m e n t sm e t h o d 霉嚣鹕i ne l e c t r o m a g n e t i c sh a sa h i s t o r yo f 3 0y e s ，t h ep r o s p e r o u sf u t t t r eo ft h i sm e t h o ds t e m sf r o mp r e s s e si nt h e a p p l i c a t i o n s a n d d e v e l o p m e n t s o fp r o j e c t s ，s u c h 赫e q u i p m e n t e n l a r g e m e n t s ， e q m p m e n ti n t e g r a t i o n ，a n dd i v e r s i t y o fp r o d u c t s 。a l la b o v en e e d q u a n t i t a t i v e c a l c u l a t i o no fh i g hp r e c i s i o na n do p t i m i z ed e s i g no i lt h ee l e c t r i ce q m p m e u to ri t s c o m p o n e n t s i n v e r s ec a l c u l a t l o 髓a b o u tl a y e rp a r a m e t e r sv i ar a d a rs i g n a l si ss t i l li nt h ep h a s e o fe x p l o r a t i o n ，b e c a u s et h ec o u r s eo fe m p r o p a g a t i o n i nt h e p a v e m e n t i ss o c o m p l i c a t e d a tp r e s e n t ，t h e r ea r em o r et h a n3 0e n t e r p r i s e so v e r s e a s , t h a ts p e c i a l i z e e x p l o i t a t i o n a n dd i s t r i b u t i o no f f e m s o f t w a r e ，s u c ha sa m e r i c a 、c a n a d a 、b r i t a i n ，e r e ， t h e p r o d u c t si n c l u d em s c e m a s ，e l e c t r o ，a n s y s ，a n ds oo n b u tt h e yh a v e s o m el i m i t sa n dt a c kf l e x i b i l i t y 攮a n a l y s i so fc o n c r e t ep r o b l e m s 。h e n a n e n g i n e e r i n g r e s e a r c hc e n t e rf o rm a dn d t t e c h n o l o g ym a d e 黼a t t e m p tb yf f ti nt h ey e a ro f 2 0 0 2 b u tt h er e s u l t s 鹞撒n o tv e r yg o o d 。i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h ep r i n c i p l eo ff e mi ne m w a s d i s c u s s e d ，t h e nt h ep u l s er a d a ra n dt h r e e l a y e r e dp a v e m e n t sw e r ea n a l y z e dw i t h 2 0 - n o d e da n d4 - n e d e d i s o p a r a m e t r i c d e m e n t s r e s p e c t i v e l ) ：t h e n ，c o r r e s p o n d i n gf e m p r o g r a m s a r ec o m p i l e di nf o r t r a n 9 0 s oaf o r w a r dm o d e lw a sb u i l t u p t od e s c r i b et h e t r a n s m i t t i n go fe l e c t r o m a g n e t i ci nt h er a d a ra n dp a v e m e n t s ，a c c o r d i n gt ot h es y s t e m i d e n t i f i c a t i o nm e t h o d 。c o m p a r w i t ht h em e t h o d so ff i n i t ed i f f e r e n c eo rf f t lt h e r e s u l t sa r em o r e p r e c i s ea n de f f e c t i v e , w h i c ha r em o r ee a s i l ya p p l i e di n p r o j e c t s k e yw o r d s ：g r o u n dp e n e l r a t i n gr a d a r ( ( p r ) ，e l e c l r o m a g n e t i cf i e l d ，f i n i t ed e m e n t m e t h o d , f o r w a r dm o d e l 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 论文背景 第一章绪论 探地雷达( g r o l l n dp e n e 订a t i n gr 丑d a r 简称g p r ) 是探测地表下结构和埋设物 的新型无损探测仪器，它利用电磁波对地表的穿透能力，从地表上向地下发射某 种形式的电磁波，电磁波在地下介质特性变化的界面上发生反射，通过接收反射 回波信号，根据其时延、形状及频谱特性等参数，解译出目标深度、介质结构及 性质。在数据处理的基础上，应用数字图像的恢复与重建技术，对地下目标进行 成像处理，以期达到对地下目标真实和直观的再现。 近年来，探地雷达在全球公路领域得到了广泛的应用，主要应用于路面厚度 检测、材料评估和路面病害调查。当前探地雷达的研究趋势不在于多用途多目标 类型的系统，而是在于高性能的专用设备。因为地层介质特性的复杂性和不同目 标体具有的不同反射特性，探地雷达很难做到一机多用，要想获得高性能，探地 雷达只能是专机专用。路用探地雷达就是这样一种专门用于路面结构探测的探地 雷达系统。 国外，路用探地雷达技术在公路勘测和检测上应用始于2 0 世纪8 0 年代后期， 已有近2 0 年的历史了，欧、美最早应用。世界上第一个公路型探地雷达( s i r 一1 0 h 地质雷达) 于1 9 9 4 年由美国发明。目前，这种技术用于路基路面的质量检测也 仅是刚刚开始，大部分仍是局限于高等级公路路面厚度、路基空洞与缺损等的检 测与评价。芬兰和美国的得克萨斯州曾做了大量的研究工作。在芬兰，g p r 主要 用于探测路面结构层的厚度；在北美，g p r 主要与f i n d 结合进行路面结构层材料 特性的反演【l 】。近几年，人们开始致力于研究用g p r 探测路表下的病害和缺陷， 诸如面层中沥青的剥落、混凝土板下的脱空和高速公路路面结构中的排水沟的定 位等。 国内，将探地雷达应用在道路质量检测中也是近几年的事，由于起步较晚， 研究工作还处于起步阶段，很多技术还很不成熟和完善，亟待系统地研究。我国 作为公路大国，目前高速公路正在蓬勃发展，将g p r 完美地应用于路况评价非 常必要。因为一旦路面潜伏病害显现化以后，其维修的有效性、经济性均会收到 限制，所以利用雷达探测技术及时发现路面潜在问题，尽早维护，做到防微杜渐， 将对提高路面使用寿命、改善行车质量和节省维护费用都具有重要意义。例如在 旋工过程中，对厚度控制是非常严格的。现有的检测方法均是有破损检测，并且 工作效率低，抽样点数少，其结果的代表性未能完全保证。g p r 能快速、连续 地提供这些信息，全面控制施工质量。g p r 通过天线向地下发射高频脉冲电磁 波，波在地下传播过程中遇到不同电性介质界面发生反射，由接受机接收反射的 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 回波，并由计算机进行数据分析和成像处理。它能连续作业，快速测量( 行车速 度可达8 0 公里，j 、时) ，检测内容丰富，是极具潜力的路面无损检测设备。 1 2 国内外研究现状 有限元法在电磁学中的应用已有3 0 年的历史了。有限元法电磁计算的广泛 应用及广阔的发展前景，首先来自于工程应用发展的压力，如产品制造规模的不 断扩大，即设备的大型化；产品设计制造的复杂性和难度的不断增加，即设备的 集成性；对产品性能指标要求的不断提高，即设备的高技术含量；以及产品应用 范围的不断扩充，即产品种类的多样化。这些都要求对电气设备或其部件进行高 精度的定量计算和优化设计【5 l 。对于路用探地雷达，就需要研究电磁场在雷达天 线及层状路面中的分布问题。 从历史发展的整个过程来看，电磁分布边值问题求解共有图解、模拟、解析 和数值计算四种方法。而数值计算又包括有限差分法、有限元法、积分方程法和 边界元法等四种基本类型州。 从当前电磁计算的前沿发展来看，有限元发不仅本身在应用方面具有很大的 潜力，而且结合其他理论和方法还有广阔的发展前景。这些前沿性发展包括一些 已经取得了较大发展，并有相当的应用范围的成果，如自适应网格剖分、三维场 建模求解、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有迟滞及饱和非线性特性介质 的处理等。他们进一步开拓了有限元法的应用范围，也适应了更复杂的、精确度 要求更高的问题求解的需要。此外，这些前沿性发展还包括了一些尚处于探索阶 段的工作，如反问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化中的应用。 目前，有限元法电磁计算在电气工程中的应用非常广泛，包括各个方面，内 容及其丰富，如电机的电磁分布、电磁力、变形、转子运动、动态变化过程以及 电力电子装置相结合等情况下的分析和特性预测及电机参数的计算等。在今年来 较新的内容、如转动调节器的计算等。还有变压器以及其他电力系统元件，如高 压绝缘子、高压线圈、输电线电缆、接地系统的外部磁场分析。还有一些较新的 产品开发和研究项目，如核磁共振成像系统磁体、磁电磁物体发射以及电磁对人 体影响等的分析计算。这些应用各具特色，他们的计算分析方法也不尽相同。 通常有限元法电磁计算商业化软件包含场域几何尺寸处理模块、介质物理参 数选择模块、网格剖分生成模块、方程形成求解模块、后处理及用户界面模块等 五个主要部分。在当前的商业化软件中，基本上都包含了二维或三维电磁场计算 选择、外激励的处理、非线性介质参数的数据库、网格的自适应剖分、线性或非 线性以及稀疏或满元方程组的自动优化处理、位函数场量与所需分析的转化及与 温度场、应力场的耦合处理等功能。 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 目前，国外专门从事有限元法电磁计算商业化软件开发销售的专业公司有三 十多家。下面是几家主要的公司及产品： 美国m a c n e a ls c h w e n d l e r tc o r p 公司推出的m s c e m a s 软件目前已有第三 版，并相应的配合了增强显示功能软件m s c a r i e sv e r s i o n 6 1 1 版。 加拿大i n t e g r a t e de n g i n e e r i n g s o f t w a r ei n c 公司的一系列软件，如用于二维情 况的e l e c t r o 、m a g n e t o 、a m p e r e s 、o e r s t e d 和三维情况下的 c o u l o m b 、f a r a d a y 等。v e c t o rf i e l d sl i m i t e d 公司有o p e r e 及用于三维场 的t o s c a 、s o p r a n 0 、s c a l a 等软件。 美国s w a n s o n a n a l y s i ss y s t e m s l h e 。公司的软件a n s y s 的系列产品，其中为适 合于微机上应用而开发的软件能实现结构应力分布，并对电磁场、温度场、声场 等场的耦合问题进行数值计算，并能部分实现优化。此外还有英国和加拿大 i n f o l y t i c ac o r p 公司的m a g n e t 软件，英国b a t h 大学软件中心的m e g a 软件，以 及美国a n s o r 公司的m a x w e l l 软件等。 另外，还有j i f e x ，它是在多级子结构分析软件j i g f e x 、微机有限元软件 d d j w 和计算机辅助结构优化软件m c a d s 等基础上发展的集成化有限元软件 系统，具有强大的结构分析与优化设计功能【6 】。 1 3 本文的主要工作 路面结构层千变万化，电磁波传播过程又十分复杂，加上人为的扰动，使探 地雷达剖面中的图像有时难以解释。建立雷达模型是检验解释方案是否正确的一 种必不可少的工具。探地雷达模型可分为正演模型和反演模型两大类，正演计算 是利用地下介质模拟探地雷达响应；而反演计算是利用雷达回波响应推断地下介 质分布，反演是在正演的基础上建立起来的。 目前，关于电磁波传播的正演模型很多，但结果千差万别，很难统一。针对 上述问题，本文在以下方面开展了一些工作： 一、系统阐述了电磁场有限元的基本理论、有限元方程的算法以及常用的后 处理方法； 二、对时变电磁场的有限元法进行了介绍： 三、对平西电磁波p u l s e 雷达天线内的全反射传播进行了有限元正演模拟计 算，编制了相应的三维有限元f o r t r a n 程序： 四、对平面电磁波在三层路面中的传播分别进行了静态场和时变场有限元分 析，并分别编制了相应的二维有限元f o r t r a n 程序。 郑州大学硕士学位论文 第二章基础电磁学理论 第二章基础电磁学理论 2 1 基本方程 电磁场分析问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦方程组问题。麦克 斯韦方程组是支配所有宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程既可以写成微分 形式，又可以写成积分形式，但我们在此只给出它们的微分形式，因为它们能给 出用有限元方法处理问题的微分方程嘲。 对于一般的时变场，微分形式的麦克斯韦方程组可写成： v e + 娑= 0 ( 法拉第定律) ( 2 1 ) 叫 v x - 一罢= j ( 麦克斯韦一安培定律) ( 2 2 ) v d = p ( 高斯定律) v b = 0 ( 磁场高斯定律) 式中： ( 2 3 ) ( 2 4 ) e = 电场强度( v m ，伏特米) d = 电通量密度( c m 2 ，库仑米2 ) 日= 磁场强度( a m ，安培米) b = 磁通量密度( ) p o m 2 ，韦伯米2 ) ，= 电流密度( a m 2 ，安培米2 ) p = 电荷密度( c m 3 ，库仑米3 ) 另一个基本方程是连续性方程，可以写成： v ，= 一警 ( 2 5 ) 舢 ”。， 方程2 1 2 5 式中只有三个是独立的，称为独立方程。前三个2 1 2 3 式， 或前两个方程2 1 式和2 2 式以及2 5 式，都可以被选作这种独立方程。其它两 个方程，2 4 式和2 5 式或2 4 式和2 3 式可以从独立方程导出，因此被称为辅 助方程或相关方程。 当场量不随时间变化时，我们得到静态场。在这种情况下，2 1 式、2 2 式 和2 5 式可以写成： v e = 0 4 ( 2 6 ) 登燮奎堂篓主兰壅鎏毫。 萋三薹蕊望塞塞篓矍堡 v x 辫= j v 。了= 0 泣? ( 2 。8 ) 而2 3 式和2 。4 式保持不变。在这种情况下，氡场和磁场：乏阿照然没有租甄 黪淹，魏戆我截髓骖零狻毒惑簿爨臻器嚣磁翡黟。2 ，3 蕊嵇2 。夺袋臻拣簿惫辩嚣； 2 。4 式和2 。7 式接遮静磁祷彤。 当豪箍薪帑方疆缀率羽滋螫藏攀额静谐援戮羧时，我稍襻潮对谱场。酃么， 窑+ i 式、2 2 式、墨5 式霉霉戒簿零靛形鬟； v e + j 壤b = 帑x 凝一| 醯矜= 菩 飞t3 * 一 键簪 2 。棼 2 雄 瑟。至i ； 式巾，出爨蹩羰察。凌逛转麟攥下，电媾琴磁溺摄然必缀羼避磐在，舞发生 稳重释掰。簿榉缀囊然，蓊瓣甥燕淞谮稀程甜趣予零静静裰辩情玩。 静鬻趣蠢个麦蹇赫睾骞褪孛炎簿三令楚狻室滟。嚣麓骞黎数乡予来蒙羹羧， 掰以三争独立方程是非定解粥式。港场璧蝴的本擒关蒙酶定詹，麦觉斯韦方程组 簸嶷裁京媾黟武。率梅轰系攥述了被考纛媒囊翡澄鬟撬璇。辩予篱攀煤凌，窀舔 燕： d 一蘑 器一潞 j # 撼 ( 2 i 2 ) f 客。 3 ) 露+ 鼗串，零稳参蒙嚣、露袭群龛震表示爨壤懿舟篷露羧( f i r e ) 、鬟簿率霸躺耧 酝譬率( s 内) 。蘑菇骞惠异镳媒质，这些参数是羰爨；对备囊嚼犍蒺矮，它鳃是 瓣灌。对簿羯鹊媒囊，宅稻藤泣登熬遮鼗；麓鞠懈媒麓，它稻不髓瓮鬣交张。奉 喾霪研燕各囱麓整垮匀媒鬟的情毽。 为y 求麦毙颊书方程缝，我们w 以营恁将包砖嚣巾蜗量驰黔微分方糕他篪 只毽含争蓊蠹魏二黔镶分离程。拣魏，鬻静窀傣形来说饔这耱籍漱过程： 鸯嚣掰述，静奄壤鸯2 3 辩巷式爻懿，褥蘸爵e 裘录簸： e 。- v c d ( 2 + i 蹬 粼2 ，6 式褥篱瀵越。这邈鲍辔秣为标攘势。游2 1 s 代入2 。3 式，并籍2 1 2 式，霞簿鬻滚投蠢翟： 一s 。 郑州大学硕士学位论文 第二章基础电磁学理论 一v ( 胛中) = p ( 2 1 6 ) 在电场分析中，一般尽可能采用二维模型来近似三维模型，从而可大大简化 分析过程，假设场和由关媒质不随某一笛卡儿坐标( 例如z 坐标) 变化，那么可以 得到非齐次标量波动方程： 窿( 矧坝0 f ，肿1 0 ，+ k 0 2 6 , 卜 眨 式中，占，( = g c o ) 和以= ( p i p 。) 分别表示相对介电常数和相对磁导率，在 此假设它们是位置的复标量函数；是自由空间波数；是自由空间的特征阻 抗；6 0 和风分别为自由空间的介电常数和磁导率。 2 2 边界条件 在不同范围内求解上面给出的微分方程，可以得到许多解，但是，它们中只 有一个是该问题的真实解。为了求得真实解，就应该知道相应区域得边界条件。 一个电磁问题的完整描述应包含微分方程和边界条件的全部信息。 由于电磁场问题存在媒质的不均匀性，以及电磁散射及辐射存在的开放区域 问题，使得电磁场的边界条件的确定成为求解问题的难点。 1 两媒质间的界面 媒质1 占l ，“，盯 户- 、 图2 1 两媒质问界面 在空间中不同媒质的交界处，由于媒质突变，所以交界处的场量亦要突变， 边界条件就表达了场矢量e ，d ，b ，日在不同媒质分界面上的突变规律。交界面上 边界条件的矢量表达式为： 对于电场有： ( e l e 2 ) = 0 ( d 1 一d ：) = p ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 郑州大学硕士学位论文 第二章基础电磁学理论 对于磁场有： 疗x ( 日l 日2 ) = j 五( b i b 2 ) = 0 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 其中，自是垂直于晃面的单位矢量，由媒质2 指向媒质1 ，如图2 1 所示。 这四个方程也可以称为场的连续性条件。在这四个边界条件中，只有两个是独立 的，2 1 8 式和2 2 0 式，或者2 1 9 式和2 2 l 式。 对于理想导体面，例如媒质2 ，边晁条件可简化为一特殊情形，因为理想导 体内部不存在场，所以2 1 8 式变为 二x e = 0 ( 2 2 2 ) 2 2 l 式则退化为： 疗b = 0 ( 2 2 3 ) 对于非理想导体面，例如当媒质2 为非理想导体时，导体边界面上的电场和 磁场关系为： e 一( 自e ) 疗= 叩z o h x h 或者疗e = 艰z 0 f ( 而王d 而一日】 式协厩为媒质2 的归一化阻舭 2 辐射条件 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 当区域的外边界延伸至无限远时，此区域被称为“无约束的”或“开放的， 区域。同样为了得到问题的唯一解，在外边界处也必须确定一个条件，这种条件 被称为辐射条件。辐射条件包括索墨菲条件： ；堡! r v ( 三) + ，t 。，( 三 = 。 其中，r = 扛万了 和高阶辐射条件： 吮_ d ( p “嘎m 1 1 2 ，3 ， ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 郑州大学硕士学位论文 第二章基础电磁学理论 其中，p 表示所选面的半径。 3 吸收边界条件 当用有限元法求解开区域散射问题时，为了限制未知数个数，必须用人工边 界截取散射体外的无界区域。因此，为了得到唯一的有限元解，必须在人工边界 上引入边界条件。该条件应该使人工边界对散射场尽可能透明，或者换句话说， 它应使边界引起的物理反射尽可能小。为了这种目的设计的一类边界条件叫做吸 收边界条件。截断散射体需要虚构面，如果这种虚构面足够远，那么，对于二维 场该面上的电势应有下列一阶吸收边界条件： 娑。士( p ：厢) ( 2 2 8 ) o pp m p 该条件也就是第三类齐次边界条件。因此，当问题有这样的边界时，应先算 出边界上各点的p 值，然后按照第三类边界条件来处理【9 】。 2 3 平面电磁波及其性质 变化的电磁场在空间的传播称为电磁波。在空间传播的电磁波不再是与电荷 或电流不可分割地联系在一起，它可以脱离电荷和电流而独立存在。我们把离开 场源在空间传播的电磁波成为自由电磁波。实际存在的电磁波形态不一，极为复 杂，其中最简单的是真空中的平面电磁波，它具有电磁波的基本性质。一般远离 场源的较小范围内的电磁波都可以看成平面电磁波【3 1 。 图2 2 平面电磁波 自由平面电磁波具有以下的性质： ( 1 ) 自由平面电磁波是横波。电磁波中电场强度e 、磁感应强度日都与波的传播 方向互相垂直。设j c 为电磁波传播方向的单位矢量，则有 8 郑州大学硕士学位论文 第二章基础电磁学理论 e 上七、b 上七 ( 2 ) 电场强度矢量e 与磁感应强度矢量口垂直，即e 上b ，且e 、b 、膏三者构 成右手系，矢积e b 的方向总是沿正的方向。 ( 3 ) e 与b 成正比，即e = 1 ：b ，e 和b 为空间同一点同一时刻电场强度e ， 4 c o o 磁感应强度b 的瞬时值。根据波动理论，从上式可知：e 和曰同相位、同频率； e 和占的峰值成正比，即= 吃石万。图( 2 2 ) 表示了任意时刻平面 电磁波的分布示意图。 ( 4 ) 电磁波的传播速度为v ：了，真空中，6 r ：所：l ，所以电磁波的传 q br e 0 pr p o 播速度为v ：1 一，把：8 9 x l o “c 2 m - 2 、p o ：4 石1 0 n a - 2 f 弋a 、5 0 d o 上式，得v = 3 x 1 0 8 m s = c ，正好是光在真空中的传播速度。 9 塑塑茎鲎璧主茎燕整茎! 坚塑塑撰竺堑整壅! ! i 氅 第三章电磁场分析的糟限无法 3 1 电磁场有限元法的基本原理和实施 般说絮，慰予各种锻撵的电磁滔鼷，有限元法豹基本 算过程可以篱要斡 丑缡为以下这些多臻： ( 1 ) 确定实舔闽题掰窿义的区域、激励和边界条件，檄据具体情况决定问遂的描 述方稳。剥越几霞结梅及激励匏对称健找出嚣域的对称辘，从丽绩小诗髯区域， 这样凝可以选到节骞计算酎闯或提高计算精麓的目的； ( 2 ) 对整个诗舞区域离散纯，郢姆涎域翔第熹鞘有隈蠢( 锈翔警蕊嚣城逶鬻海三精 澎或矩形繁元) 表示。各个蠢限元稳顶点由这些节煮确定，搿限元之海相轰不重 叠，熬个区域都被这些元突全覆靛，节点和有限元豁攘次侉编号。繇个单元都对 应予一个激励值和释材粒( 可用介电常数秘磁导率寝示) 。 罄) 对每个衮隈元竣次进撂建罄疑理，郄撮摄特臻熬形蘧数求褥繁令有溅嚣熟越 部激麴矩簿髑局部系数矩辫。在避行弱部专 舞对，坐标都澄密整俸坐标转纯为塌 郝登轹，丽辩由予形函数静选取，逮黧鼹部耀阵静务元素疆薄戳瘸戎数渡求逡， 并由硝应有耀元酶几何坐标、激耥和材辩特性决定。 ( 垂 憋莱个繁嚣数髑帮激籀矩蹲释局鄄系数短躲黪备个元豢攘热烈燕髂德灏矩簿 藕整体系数蹩阵中，麸丽形成求解节纛势函数值的簸酶方程。在实骣计髯极编程 过程孛，这一步臻第步毒祝蟪鬻攘在一趋，郄楚联慕一个擎元瓣羼都元素时， 同时把结泉麓到整体元素之孛，这样辩每个有限元疑理完辩，也就壹亥i 得蘩了整 体矩阵。把出边冕絷俘确定豹节点势函数篷代入矩箨方程，w 戳消撼方程的狳数， 获丽减少计簿量。 ( 5 怼如此澎戒鲍疑阵方程援线性代数的方法热以求鳃，傻貔够褥裂各个萤点瓣 势溺数值。鬻霜熊求解线瞧代数方程翡方法露消去法鞠叠戏法等，露势函数在整 个诗算区域熬分鑫嚣羧可软震撼壤豹方法亲撼述。怼予一泠有限露法采谨，采穗 线性疆篷，辩离阶裔袋元法来说，采用离除播篷。馥予对馥予每个肇元之上静势 函数分布都可由该攀元的咒俺坐标_ 裾顶点酶势函数确定， 爵蠢由予整体区域都靛 这些为数众多的有隈元所覆盖，实际上整体送蠛上的分布，便由每个单元上的势 函数爨加恧威。 瞄剩同有羧嚣法豹势蟊数分毒遴孬群错楚毽。求群奄势秽磁势的分毒并不是潼 后豹嚣的，避器要穰摆具体要求找凄所勰蠲憨的各耱互程参数。遮藏需疆一个潮 努森势函数掰各种互程参数静过穰，该过程对互程分桥霰设诗至哭霪要，常鬻燕 研究人员致力于改避的个主要方向，这一邋程通嚣称为解后处理过程f l o j 。 塑型奎兰堡主兰堡堡兰 兰三兰墅墅型型型堑复! ! 垂鲞 3 2 二维电磁场有限元分析 由于一维有限元分析较简单，本文不予赘述。任何二维电磁场问题都可用如 下所示的边值问题来描述： 一* 期一如詈) + 肿= 厂 ， 其中，o 是未知函数，a ，、“，和卢是与区域物理性质有关的已知参数，厂是 源或激励函数。常用的二维拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程是上式的特 例。 这里，考虑的边界条件为： m = p 在r l 上 ( 3 2 ) 以及 b 罢m ，别讥归= g 在l 上 s ， 式中，r ( = f l + 疋) 表示包围面q 的轮廓或边界，赢是外法线单位矢量，y 、 p 和g 式与边界物理性质有关的已知参数。特别地，p 和g 能被看作边界源或边 界激励。 假如甜，和口，表征的区域性质具有不连续性或突变，并且在不连续界面上没 有如何类型的面源，则西满足连续性条件 中+ = 西一 在l 上( 3 4 ) 口：等m ；等多 船b 等m ；等多卜 在l 上 s ， 式中，rd 表示不连续界面，上标“- i - ”( 或“一”) 表示相应的量位于 r d “- 4 - ”( 或“一”) 侧，疗不表示rd 的单位法向。 2 有限元离散的一般形式 考虑二维电磁场，可以写出其泛函表达式： 郑州大学硕士学位论文第三章电磁场分析的有限元法 f = 圭j 。卜( 罢) 2 坞( 詈 2 + 肿2 卜+ j _ y o _ q 0 2 卜一j 。归地 ( 3 6 ) 由泛函的一阶变分为零，即6f = 0 ，得到 圭盯n m 豢) ( 警) + q 陪) ( 等) + 膨国卜 ， + l 咖一g 如订= j 。声m 用晰个单元对物体求解域进行离散，每个单元有以个节点，对于其中任一单 元，有： 形函数： 】= l ，2 ，虬】 ( 3 8 ) 坐标值： 拄艘t ： ， 【y = 【b ， 。 v 。7 电势( 磁势常用a 来表示) 值： m = 【， 。 ( 3 1 0 ) 然后应用变分法可以得到二维静态电磁场问题的有限元方程如下： k 0 2 f + 磊 f 3 1 1 ) 式中；o 是电势或磁势向量，向量磊由边界的给定位值产生，类似于指定位移。 定，f 与电磁场中的性质常数及边界条件有关，具体形式如下【9 】： k 2 k k + k c ( 3 1 2 ) f = f s + f q x k = l b ? d b a d a k c = 归t n d s 五 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 郑州大学硕士学位论文 第三章电磁场分析的有限元法 f n t d a f q = i