（应用数学专业论文）符号模式矩阵.pdf

2 0 0 1 年1 0 月中国科学技术大学博士学位论文( 高玉斌) v 摘要 亨模式矩阵是组合矩阵论中当前国际上十分活跃的一个研究课题，其 因之一是它在经济学、生物学、化学、社会学、计算机科学等众多学科中 具有广泛的实际应用背景符号模式矩阵的研究起源于研究线性动力系统的 符号可解性与符号稳定性，是由诺贝尔经济学奖获得者p a s a m u e l s o n 在他的 著作f o u n d a t i o n so fe c o n o m i ca n a l y s i s ( 5 7 ) 中首先提出的r a b r u a l d i ， b l s h a d e r 的专著m a t r i c e so fs i g n s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ( f 8 】) 总结了到 1 9 9 5 年为止槲模式矩阵研究中所取得的主要成果，将本课题的研究推向 一个新的层面：，j 本文将研究符号模式矩阵中几个人们所关心的问题 第一章概述符号模式矩译研究的历史，提出本文拟解决的问题，列出所取 得的主要结果 第二章讨论符号模式矩阵的蕴含稳定性和强蕴含稳定性，得到了星符号 模式蕴含稳定的刻划，和星符号筷戛蔼符亨狭瓤零对角元个数不超过 两个的三对角符号模式强蕴含稳定的刻划，同时还列出了阶数不超过5 的全 体强蕴含稳定的三对角符号模式 第三章讨论符号模式矩阵的惯量，证明了一类特殊的反对称符号模式 ( n 2 ) 是惯量任意的，给出了对角元为零但非对角元全正的符号模式的对称 惯量的刻划，研究了对称惯量唯一且具有零对角线的非负对称符号模式中非 零元个数的上界 第四章讨论两类特殊的符号模式矩阵一工矩阵及符号中心矩阵，刻划了 极小符号中心矩阵和l 不可分解极小l 矩阵，给出了符号中心矩阵与l 矩阵 之间的关系，同时也对一些相关问题进行了研究 第五章讨论符号模式矩阵的乘幂，给出符号三幂等模式的刻划，对k 次 幂非正的符号模式进行了部分刻划，特别得到了= 2 时的刻划，也决定了 次幂非正的符号模式中负元个数的最大值 如森 _ 重 2 0 0 1 年1 0 月 中国科学技术大学博士学位论文( 高玉斌) v i a b s t r a c t s i g np a t t e r nm a t r i xi sav e r ya c t i v er e s e a r c ht o p i ci nc o m b i n a t o r i a lm a t r i x t h e o r y ，t l mo r i g i no fw h i c hl i e s i nt i l es t u d yo fs i g n s o l v a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m i t w a sf i r s t l yp r o p o s e db ypas a m u e l s o n ( 5 7 ) ，a n dm a i nr e s u l t sr e l a t e di t b e f o r e 1 9 9 5w a ss u m m a r i z e di n 8 b yr a b r u a l d ia n db l s h a d e r i no u rp a p e r ，w e d i s c u s ss o m ep r o b l e m so nt h es i g np a t t e r nm a t r i c e s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n to nt h es i g n p a t t e r n m a t r i c e s ，o u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ec o n c e n t r a t eo nt h e p o t e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h es t r o n g l yp o t e n t i a l s t a b i l i t yo fs i g np a t t e r nm a t r i c e s w ec h a r a c t e r i z et h ep o t e n t i a l l ys t a b l es t a r s i g np a t t e r n s ，a n dg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n sf o rs t a rs i g np a t t e r n s ，d o u b l es t a rs i g n p a t t e r n s ，a n dt r i d i a g o n a ls i g np a t t e r n sw h i c hh a v et w on o n z e r od i a g o n a le n t r i e sa t m o s tb e i n gs t r o n g l yp o t e n t i a l l ys t a b l e w ea l s og i v ea l ls t r o n g l yp o t e n t i a l l ys t a b l e t r i d i a g o n a ls i g np a t t e r n sf o rd i m e n s i o n sl e s st h a ns i x i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h ei n e r t i a so f s i g np a t t e r nm a t r i c e s w ep r o v et h a t t h enx ( n 2 ) s k e w s y m m e t r i cs i g n p a t t e r ns nw i t he a c hu p p e ro f f - d i a g o n a l e n t r yp o s i t i v e ，t h e ( 1 ，1 ) e n t r yn e g a t i v e ，t h e ( n ，n ) e n t r yp o s i t i v e ，a n de v e r yo t h e r d i a g o n a le n t r yz e r oi s a ni n e r t i a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n o nt h es y m m e t r i ci n e r t i as e to fan o n n e g a t i v es y m m e t r i c s i g np a t t e r ni nw h i c he a c h d i a g o n a le n t r yi s z e r oa n da l l o f f - d i a g o n a le n t r i e sa r ep o s i t i v e f u r t h e r ，w ea l s o c o n s i d e rt h eb o u n df o rt h en u m b e r so fn o n z e r oe n t r i e si nt h en o n n e g a t i v e s y m m e t r i c s i g np a t t e r n sa w i t hz e r od i a g o n a lt h a tr e q u i r eu n i q u es y m m e t r i ci n e r t i a i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt w oc l a s s e so fs i g n p a t t e r nm a t r i c e sw h i c ha r e 工- m a t r i c e sa n d s i g n - c e n t r a lm a t r i c e s w eg i v et h ec o m b i n a t o r i a lc h a r a c t e r i z a t i o n sf o r m i n i m a ls i g n - c e n t r a lm a t r i c e sa n dl i n d e c o m p o s a b l eb a r e l yl m a t r i c e s f u r t h e r ， w eg i v ear e l a t i o nc o n c e r n i n gs i g n c e n t r a lm a t r i c e sa n dl - m a t r i c e s w ea l s od i s c u s s s o m er e l a t e dp r o b l e m s i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h ep o w e r so fs i g np a t t e r nm a t r i c e s w ef i s t g i v ea c h a r a c t e r i z a t i o no ft h enxn ( n 2 ) s i g np a t t e r nm a t r i c e sw h i c ha r es i g nt r i p o t e n t n e x t ，w ec h a r a c t e r i z et h es i g np a t t e r nm a t r i c e sas u c ht h a ta 2 0 ( ki sap o s i t i v e i n t e g e r ) i np a r t i c u l a r ，w eg i v e an e c e s s i t ya n ds u f f i c i e n c yc o n d i t i o no fa 2s0 f i n a l l y ，w ed e t e r m i n e t h em a x i m u mn u m b e ro f n e g a t i v ee n t r i e st h a tc a n o c c u ri na w h e n e v e ra o 面 1 ，面 o 当供需平衡时，有下列方程组 勰：，乏1 0 ， id ( p ，o ) 一z = 。 经济学家预见此时嘉 0 ，貉 0 ，即价格和需求量均随口味上扬 这一结论可用数学的方法加以证明对式( 1 1 ) 关于o l 求偏导数，得 豢c o s 甏c o p 一甏c o z _ o 裙 z ， 把( 1 2 ) 看为关于寡，貉的线性方程组，且把系数及常数项的数值用它的符 = ( 1 3 ) 因每一个与( 1 3 ) 的系数矩阵有相同符号模式的矩阵都有负的行列式，故是可 逆的通过考查，有韶 o ，丽c o t , 0 上述香蕉供需模型可推广到一般情形；设t i ，z 2 ，z 。及n 是n + 1 个变 量。满足以下n 个函数关系 0 1 ，- ，z 。，o ) = 0 ，i = 1 ，2 ，一，n 2 0 0 1 年i 0 月第一章绪论 3 如果已知，t 关于x j 和a 的变化率方向，问能否决定关于a 的变化率方 向? 类似前面的推导，该问题可归结为一个线性方程组在已知增广矩阵的符 号模式的情况下，能否唯一决定其解的符号模式的问题这就是所谓线性方程 组的符号可解性问题 1 2 2 线性方程组的符号可解性 一个实系数线性方程组a x = b 称为符号可解的( s i g ns o l v a b l e ) ，若对于任 意的矩阵彳q ( a ) ，- g q ( 6 ) ，方程组a x = b 都可解，且所有方程组a x ：b 的 所有解的符号模式都相同 设a 为m n 矩阵如果对任意a q ( a ) ，a 的行向量组线性无关，则称a 为l 矩阵( l m a t r i x ) 一个方的l 矩阵也称为符号非奇异矩阵( s i g nn o n s i n g u l a r m a t r i x ) ，简记为s n s 矩阵 一个n 唧+ 1 ) 矩阵b 称为s 矩阵，若通过删除b 的一列而得到的n + 1 个方阵都是s n s 矩阵进一步，若s + 矩阵b 的右零空间包含有正向量，则称 b 为s 矩阵显然，铲矩阵、s 矩阵必为l 矩阵一个s 矩阵可通过用一1 乘它的某些列变为一个s 矩阵 线性方程组的符号可解性已经有：。较成熟的理论，可参见【8 ，3 9 ，4 1 ，4 6 ，6 1 等文献下面列出的是几个比较常见的结果 定理1 2 1 若线性方程组a z = b 符号可解，则a t 是l 矩阵 一般来说，上述定理的逆是不对的，即使对于系数矩阵为方阵的情形这 点可从下面的定理1 2 3 和定理1 2 4 看出现在先给出一个特例情形 定理1 2 2 齐次线性方程组a x = 0 符号可解的充分必要条件是a t 为l 矩阵 定理1 2 3 线性方程组a x = b 对所有b 符号可解的充分必要条件是a 为方 阵，且存在置换矩阵p ，使p a 为可逆对角矩阵 定理1 2 4 设a ，b 分别为给定的n n ，竹1 阶矩阵则线性方程组a x = b 符 号可解的充分必要条件是 为s n s 矩阵，且对任意的i = 1 ，2 ，n ，a ( i + _ b ) 或者为s n s 矩阵，或者有恒为零的行列式( 即它的行列式展开式中每一项均 为零) 定理1 2 4 称为线性方程组符号可解的克莱姆法则定理中的记号a ( i _ b ) 第一章绪论4 表示用b 替换矩阵a 的第t 列所得的矩阵 下面定理是线性方程组符号可解性理论中的一个重要结果，它是由v k l e e ，rl a d n e r ，r m a n b e r 等人1 9 8 4 年得到的( 3 9 】) 定理1 2 5 设a = ( o u ) 。，b = ( b l ，6 。) 丁，z = ( z 一，z 。) 丁是a z = b 的一 个解设卢= dl o ) ，a = ila l j o 对一些j 3 则a x = b 符号可解的 充分必要条件是 n ，纠，一6 】是s + 矩阵，a ( p ) 7 是l 矩阵 推论1 2 6 设a x = b 是一个线性方椎“1 ，且a 无零行则a x = b 符号可解且 定性解类中的向量无零分量的充分必要条件是矩阵【a ，一6 】是s + 矩阵 定理1 2 5 表明研究线性方程组的符号可解性本质上等价于研究s + 矩阵 和l 矩阵f 3 8 ，3 9 】已经证明，s + 矩阵有一个简单的递归结构，从而存在多 项式算法去判别一个矩阵是否是s + 矩阵而对于l 矩阵，一般来说，具有很 复杂的结构，判别一个矩阵是否是l 矩阵的问题是n p 完全的( n p - c o m p l e t e ) ， 也就是说没有多项式算法 1 2 3 条件符号可解与符号不可解 符号可解的概念已经被r a b r u a l d i ，k l c h a v e y ，b l s h a d e r ( 5 ) 和邵嘉 裕( 6 0 】) 推广为条件符号可解和符号不可解 一个线性方程组a x = b 称为是条件符号可解的( c o n d i t i o n a l l ys i g ns o l v a b l e ) ，若存在矩阵a q ( a ) 和b q ( 6 ) ，使得方程组a z = b 可解，且所有可解 方程组a x = b ( 其中a q ( 4 ) ，b q ( 6 ) ) 的解有相同的符号模式换句话说， 线性方程组a z = b 是条件符号可解的，若下面的集合 z l 存在a q ( a ) 和b q ( 6 ) ，使得a x = 6 )( 1 4 ) 非空，且该集合包含在一个单一的定性类中 一个线性方程组a x = b 称为是符号不可解的( s ni n c o n s i s t e n t ) ，若对任 意五q ( a ) 和吾q ( 6 ) ，方程组五z = 畜都不可解，即集合( 1 4 ) 是空集 关于它们的研究进展可参见相应的文献 1 3 1 一个生态学问题 1 3 矩阵的符号稳定性 考虑某生态系统，它由三个种群组成：狼、走鹃( r o a d r u n n e r ) 和蚱蜢由 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论 5 于走鹃是狼的天然捕食物，可以假设狼的数量的增加将导致短时间内走鹃数 量的减少，走鹃数量的增加将导致短时间内狼的数量的增加由于蚱蜢是走鹃 的主要食物，故蚱蜢数量的增加将导致走鹃数量的增加，走鹃数量的增加将导 致蚱蜢数量的减少而狼是一个高度竞争的种群，故当狼的数量超过一定水平 时，竞争将导致狼的数量的减少由这些假设，狼走鹃蚱蜢生态模型能用 f 士= r 一。z ，+ 6 z ： i 2 = r 2 一如1 + g t , 3( 1 5 ) 【圣。 = r 。一，茁z 其中z 1 = z l ( t ) ，z 2 = z 2 ( t ) ，z 3 = x 3 ( t ，分别表示狼、走鹃和蚱蜢在时刻t 时的数 量，n ，b ，c ，d ，是正实数，札r 3 分别表示狼、走鹃和蚱蜢的自然增长率 设z = x ( t ) = ( z 1 ，z 2 ，x 3 ) t ，则( 1 5 ) 可写为 舯 a ：- db ：1 1 0 一，0l 且。e 满足一a x e = ( r 1 ，您，r 3 ) t 对于初值z ( 0 ) = z o ，方程组( 1 6 ) 的解是 z = e a 。( 茁。一z e ) + 。e 如果z o = z e ，则对任意t ，z ( t ) = z e ，从而z e 是该生态系统的稳定值容易检 验，a 的所有特征值的实部均为负的，故。l _ + i m o o e 小= 0 ，从而对任意的初值，向 量z ( t ) 都趋于稳定值z g ，生态学家称向量。日为一个渐近稳定平衡点注意 到我们导出( 1 6 ) 的渐近稳定性仅仅用了矩阵a 的符号模式，没有涉及其元素 一个n 阶实矩阵a 称为稳定的( 正稳定的，或半稳定的) ，若a 的特征值 实部全为负( 正，或非负) 讨论稳定及半稳定矩阵在动力系统的研究中有很 考虑由n 个不同的种群组成的生态系统： j 2 22 ，2 ( 州 ( 1 7 ) l ； 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论 6 其中= ( t ) 表示第t 个种群在时刻t 时的数量，。= z ( t ) = ( z 1 ，x 2 ，。) t 设函数 ，2 ，n 是连续的，且有连续的导数方程组( 1 7 ) 的一个解称为 一个轨道则关于 的上述假设意味着对每一个初值，存在唯一的轨道一 个初值z e 称为是平衡点，若对应的轨道。( t ) 满足z ( t ) = x e ，t 0 一个平衡 点z f 是渐近稳定的，若当初值充分接近z e 时，对应轨道随着t 趋于0 0 而趋 于o e 若( 1 7 ) 是一个常系数齐次线性微分方程组，则它可以简写为 士= a x ( 1 8 ) 其中a = ( a l j ) 是一个n 阶方阵( 1 8 ) 的轨道可以写为 若a 是一个稳定矩阵，则l i r ae 胤= 0 ，故x e = 0 是一个渐近稳定平衡点若 a 有一个具有正实部的特征值a ，则h mi | e 小”| l = o o ，其中”是对应于特征值 a 的任意特征向量故口e = 0 是一个渐近稳定平衡点当且仅当a 是一个稳定 矩阵；z e = 0 是一个稳定平衡点当且仅当a 是一个半稳定矩阵 对于常系数非齐次线性微分方程组( 1 7 ) 的渐近稳定性，可以利用它的线 性部分来研究( 1 7 ) 的接近于$ e 的线性部分是线性微分方程 其中a = ( ) 是一个n 阶方阵，且。玎= ( o i o z j ) ( z e ，t ) 为简单起见，我们 设( 1 7 ) 是一个自控方程组，即a 的元素不依赖于t 则。e 是( 1 7 ) 的渐近稳 定平衡点当且仅当z e 是( 1 7 ) 的线性部分的渐近稳定平衡点，即 是稳定矩 阵相似地，z e 的稳定性也可以由a 来决定从而，( 1 7 ) 的平衡点的渐近 稳定性及稳定性可以由矩阵a 的稳定性及半稳定性来决定 可以看出，矩阵a 的元素反映了微小扰动对生态系统的影响具体来说， 若n ，= a 阮， 0 ，则第，个种群数量的微小增加将引起第f 个种群数量的 增加；若a i f 0 ，则第j 个种群数量的微小增加将引起第i 个种群数量的减 少；若o j = 0 ，则第j 个种群数量的微小改变将不会引起第 个种群数量的改 变并且，矩阵a 的元素的符号通常能由一般的生态学原理来定出，而元素 的具体数值是很难决定的，仅仅能定出一个近似值所以一个自然的问题是t 能否仅从( 1 7 ) 的矩阵a 的符号模式来判定。e 是否是一个渐近稳定( 或稳定) 平衡点? 这就是所谓符号模式矩阵的符号稳定及符号半稳定问题 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论7 1 3 2 矩阵的符号稳定性 设a q 。，若任意b q ( a ) 都是稳定的，则称a 是符号稳定的( s i g n s t a b l e ) ；若任意b q ( a ) 都是半稳定的，则称a 是符号半稳定的( s i g ns e m i - s t a b l e ) 关于符号模式矩阵的符号稳定性以及符号半稳定性已经有很多研究，可 参见 5 3 ，3 2 ，8 ，3 3 ，3 7 ，5 0 ，下面是两个主要的刻划定理 定理1 31 ( 【5 3 ) n 阶不可约符号模式a = ( n 玎) 是符号半稳定的当且仅当以下 条件成立： ( i ) n “0 ，i = 1 ，2 ，一，n ； ( i i ) a i j a j i 0 ，i j ； ( i i i ) a 的有向图d 是一个双f 才 定理1 3 2 ( 3 2 1 ) n 阶符号模式a = ( a 玎) 是符号稳定的当且仅当以下五个条件 成立： ( o t ) o “0 ，t = 1 ，2 ，一，n ； ( 卢) o d q t 0 ，i j ； ( 7 ) 对任意3 ，有向图d a 没有k 圈； ( 6 ) 无向图g 的每一个6 着色都是平凡的； ( e ) 无向图g a 的每一个e 一着色都是平凡的 与符号模式矩阵的符号稳定性对应的还有所谓蕴含稳定的概念 设a q 。，若存在b q ( a ) 是稳定的，则称符号模式矩阵a 是蕴含稳定 的( p o t e n t i a l l ys t a b l e ) 关于蕴含稳定符号模式矩阵，目前仍没有好的刻划其研究进展可参见本 文1 5 1 1 4 符号模式矩阵理论在社会学中的应用 如前所述，符号模式矩阵的研究在经济学、生物学、化学和社会学以及理 论计算机科学中都具有广泛的实际应用背景在上两节中分别给出了符号模 式矩阵在经济学和生物学中的应用实例，本节中，我们再简要介绍符号模式矩 阵在社会学中的应用这里，首先给出定号图的概念 设a = ( a l j ) q 。，a 对应一个n 阶定号有向图( s i g n e dd i g r a p h ) s ( a ) = ( k e ) ，其中v = f 1 ，2 ，n ) ，e = ( i ，j ) la j 0 ，i j ) 规定s ( a ) 中顶 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论8 点i 的符号为o “( 若a i i = 0 ，称顶点i 为零顶点) ，弧( ，j ) 的符号为啦j ，即 若a o = + 或一，则称弧( ，j ) 为正的或负的。记为ijj 或ijj s ( a ) 中 的一条途径w ( w a t k ) 是指一个弧的序列( i o ， 1 ) ，( 1 ， 2 ) ，( t 一1 ，讧) ，简记为 w = ( i o ，i i ， 2 ，i k ) ，k 称为的长度，记为t ( w ) = 若w 包含偶数条负 弧，则称w 是正的，记为s i g n ( w ) = + ；否则称彬是负的，记为s i g n ( w ) = 一 若i o = i k ，称为闭途径( c l o s e dw a l k ) 若i o ，f 1 ，i 2 ，“是互不相同的，则 称p = ( i o ，i l ，i 2 ，i k ) 是一条路( p a t h ) ，特别，当i o = i k 时，称p 为( 简单) 圈( c y c l e ) 长为的圈或闭途径简称为k 一圈或k 一途径规定一个非零对角 元是一个1 一圈如果k 是偶数( 或奇数) ，则相应地称一圈，女一途径为偶的 ( 或奇的) 若一个圈或闭途径仅包含负弧。则称其为全负的；若一个圈或闭途 径仅包含正弧，则称其为全正的 为简单起见，上述关于s ( a ) 的有关概念也对应a 的相应概念如：s ( a ) 的弧也称为是 的弧，s ( a ) 的点也称为是a 的点，y = o 如“凸i ，矿一a i 。一，i 。 是a 的一条从i o 到“的长为的途径，如果子标 i o ，i l ，如) 互不相同， 则7 为一条从i o 到i k 的长为k 的路如果i o = i k ，则，y 是一个长为的( 简 单) 圈一个圈或路称为是奇( 或偶) 的，若它的长为奇数( 或偶数) 设a = ( a i j ) 为n 阶符号模式矩阵，若a i j 0 当且仅当a j i 0 ，则称a 是 组合对称的( c o m b i n a t o r i a l l ys y m m e t r i c ) 进一步，当a = ( 叼) 是组合对称时， 若n t ，b 社0 ，i j ，则称a 是对称符号模式，q ( a ) 中矩阵是符号对称矩阵； 若a i j a j i 0 ，j ，则称a 是反对称符号模式，q ( a ) 中矩阵是符号反对称矩 阵 若a 是组合对称的符号模式矩阵，则当( t ，j ) 是s ( a ) 的一条弧时，( j ，i ) 也是s ( a ) 的一条弧把这样一对弧用i 与j 之间的一条无向边代替，从而得 到一个n 阶定号无向图( s i g n e dg r a p h ) ，仍记为s ( a ) ，其中规定顶点t 的符号为 口“，边( i ，j ) 的符号为a l j 叼 在下文中，定号有向图与定号无向图均称为定号图当a 是组合对称符 号模式时，定号图s c a ) 均指定号无向图 如果定号图s 中每个圈都是正的，则称s 是平衡图，或称s 是平衡的 否则，称s 是不平衡的 很多社会现象可以用一个定号无向图来表示图的顶点可以代表人、团 体、企业、民族、国家和事件等，统称为成员设u 和”是定号图的两个顶 点若u 喜欢与”合作，则u ”是定号图的正边若u 不喜欢与”合作，则u ” 是定号图的负边若u 与之间没有合作关系，则u 与”之间没有边相连 这样就把成员之间的关系用一个定号无向图表示出来我们通常称定号图所 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论 9 表示的社会现象为一个系统如果疋号图是平衡的，我们也说它所表示的系 统是平衡的或稳定的我们可以通过研究定号图的性质来分析一个系统是否 稳定，研究系统中成员之间的关系是否和谐，他们是否能很好地相处如果不 能，则要设法改变他们之间的关系，从而使系统达到平衡，使社会稳定 早在1 9 4 6 年f h e i d e r ( 2 6 ) 就利用定号图来研究一些社会问题平衡图 的概念是d c a r t w r i g h t 和f h a r a r y 于1 9 5 6 年提出的( 【1 2 ) 但当时研究定 号图的人很少直到1 9 7 0 年代，hft a y l o r ( 6 9 ) ，r z n o r m a n ( j 5 2 ) 和f s r o b e r t s ( 5 4 ) 等人才开始进一步研究定号图的性质和平衡理论，使定号图在社 会学中有了广泛的应用 目前，定号图理论在社会学中有着越来越广泛的应用，许多社会问题可以 用定号图方法去研究、解释并找出解决的办法( 3 ，5 5 ，7 1 ，7 3 1 ) 1 5 本文研究的主要问题 本文将主要研究四方面的问题：符号模式矩阵的蕴含稳定性，符号模式矩 阵的惯量，l 矩阵及符号中心矩阵，符号模式矩阵的幂下面分别介绍这四 方面问题的进展情况及本文将研究的问题 1 5 1 符号模式矩阵的蕴含稳定十： 研究实矩阵的稳定性在矩阵分析中占有很重要的地位，它是研究线性常 系数微分方程组稳定性的重要工具，已经有非常成熟的理论判定一个实矩阵 是否稳定可用如下的l y a p u n o v 定理或r o u t h - h u r w i t z 条件( 见 2 9 ) 定理1 5 1 ( l y a p u n o v 定理) 设a m n ( r ) 是给定实矩阵则a 是正稳定矩阵 的充分必要条件是存在一个正定矩阵g m n ( r ) ，使得 g a + a 7 1 g = h ( 1 9 ) 是正定的进一步，若存在实对称矩阵g ，h m n ( r ) 满足( 1 9 ) ，且日是正定 矩阵，则a 是正稳定的当且仅当g 是正定的 设a ( r ) ，记s k ( a ) ( 女= 1 ，2 ，n ) 是a 的所有k 阶主子式之和，即 士e k ( a ) 是a 的特征多项式，( a ) 中a ”的系数，如t r a = e l ( a ) ，d e t a = 磊( a ) ， 2 0 0 1 年1 0 月 第一章绪论1 0 等定义a 的r o u t h - h u r w i t z 矩阵q ( a ) = ( ) m n ( r ) 如下 f l ( a ) = 毋( a ) 1 o e 3 ( a ) 岛( 刖 e 1 ) 1 岛( a ) e 4c a ) 000 0 0 o 点( a ) 其中q ( ) 的对角元为咄t = e i ( a ) 对于q ( a ) 的每一列，对角元咄以上的元 素依次是忧一l j = 最+ 1 ( a ) ，u t 一2 j = 毋+ 2 ( 4 ) ，直到第一行u l i 或到j k ( a ) ， e n ( a ) 以上的元素全为零；对角元岫i 以下的元素依次是吨+ l 。= 噩一l ( a ) ， o j i + 2 , = 噩一2 ( a ) ，e l ( a ) ，1 ，0 ，0 直到最后一行u 。i 定理1 5 2 ( r o u t h - h u r w i t z 条件) 矩阵a ( 冗) 是正稳定矩阵当且仅当a 的 r o u t h - h u r w i t z 矩阵n ( a ) 的各阶顺序主子式全正 在研究经济学、生物学、化学、社会学中一些问题时，经常需要在仅知道 一个矩阵a 中各元素符号( 具体数值未知) 的情况下，去研究它何时可以稳定 和何时必须稳定的问题，即研究符号模式矩阵的符号稳定和蕴含稳定问题 关于符号模式矩阵的符号稳定性已经有很好的刻划( 定理1 3 2 ) 然而， 符号模式矩阵的蕴含稳定性的刻划问题在过去的半个多世纪里一直没有得到 解决，即使对树符号模式矩阵也远没有解决( 3 1 ，3 6 ，3 7 ，5 0 1 ) 一个符号模式矩阵a q 。称为j 寸符号模式( t r e e8 i g np a t t e r n ) ，若a 是组 合对称的，且s ( a ) 为树图树符号模式矩阵也简称为t s p 矩阵 在蕴含稳定性的刻划方面，目前仅有的一些结果也主要集中在树符号模、 式上( 【9 1 0 ，i i ，3 1 ，3 5 ，3 6 1 ) 如文f 3 6 】研究阶数不超过4 的蕴含稳定的树符号 模式，但遗憾的是该文未列出全部蕴含稳定情形( 看【3 5 】及本文第二章最后的 表2 2 ) 下面将列出在符号模式的蕴含稳定性研究方面已取得的主要结果 设a = ( a o ) ，b = ( k ) 都是n 阶符号模式矩阵，如果当b o = 十时a o = + ， 当b o = 一时a i j = 一，即b 是把a 的某些非零元用零代替后所得符号模式矩 阵，则称b 是a 的子模式( s u b p a t t e r n ) 定理1 5 3 ( 【3 6 】) 设b 是n 阶符号模式a 的子模式若b 蕴含稳定，则a 也 蕴含稳定 2 0 0 1 年l o 月第一章绪论 在 3 1 中定义了树符号模式的如下两类分解，同时证明了两个在研究树 符号模式的蕴含稳定性时非常重要的结果 设a = ( a i j ) 是n 阶树符号模式，称 a = s 1 a 为a 的对称分解( s y m m e t r i cf a c t o r i z n t i o n ) ，其中s7 是( 1 ，】) 元素为+ 的调号矩 阵，a ，是对称树符号模式称 a = s 2 a 2 为a 的反对称分解( s k e w s y m m e t r i cf a c t o r i z a t i o n ) ，其中是( i ，1 ) 元素为+ 的 调号矩阵，a 2 是反对称树符号模式不难看出，这两种分解对树符号模式矩 阵是存在且唯一的，而对一般的符号模式矩阵却不一定存在 定理1 5 4 ( 【3 l 】) 设a = s 1 a i 是n 阶树符号模式a 的对称分解若a 蕴含稳 定，则存在对称矩阵b i q ( a ，) 使得 t + ( b 1 ) = 仡一4 ( s 1 ) 定理1 5 5 ( t 3 1 ) 设a = s 2 a 2 是n 阶树符号模式a 的反对称分解，b q ( a ) 若a 2 没有负对角元，则 t + ( b ) t + ( s 2 ) ，i 一( b ) si 一( s 2 ) 若a 2 没有正对角元，则 t + ( b ) i 一( s 2 ) ，i 一( b ) i + ( s 2 ) 研究符号模式矩阵的蕴含稳定性是一项极其困难的工作正如v k l e e 在 【3 7 】中指出，在c j e f f r i e s ，v k e l l 和p v a nd e nd r i e s s c h e ( 3 2 ，3 3 ，4 1 ) 应用图论 方法刻划了符号稳定的符号模式以及给出判定符号稳定性的算法之后，刻划蕴 含稳定的符号模式矩阵是一个难题在1 9 9 1 - 1 9 9 2 年度i m a 的专题讨论会上提 出的8 个公开问题中第一个问题即是v k l e e 提出的蕴含稳定的刻划问题，并 猜想这一问题是n p 的，而且是n p h a r d ( 见t h ei m a v o l u m e si nm a t h e m a t i c s a n di t sa p p l i c a t i o n s ，v o l u m e5 0 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 3 ，p p 2 5 7 2 6 0 ) 在 很多关于符号模式矩阵的综述文章中，都把刻划蕴含稳定的符号模式矩阵列 为首要的未解决公开问题 2 0 0 1 年1 0 月第一章绪论 1 2 鉴于以上原因，c r ，j o h n s o n 等人在【3 5 中引入了蕴含适当定号的主子 式嵌套序列的概念，并对这样的符号模式矩阵进行了部分研究 设a q 。，若存在c q ( a ) 及饨阶置换矩阵p ，使得b = p r c p 满足以 下条件 s i g nd e t b 1 ，2 ，一，) 1 = ( 一1 ) 。，k = 1 ，2 ，- ，n ， 则称以蕴含适当定号的主子式嵌套序列( n e s t e ds e q u e n c eo fp r i n c i p a lm i n o r s ) ) 不难看出，蕴含适当定号的主子式嵌套序列的概念是基于以下事实提出 来的 定理1 5 6 ( 2 ，2 3 】) 设a 是n 阶实矩阵，若对任意k = 1 ，2 ，”，a 的k 阶顺 序主子式的符号为( 一1 ) ，则存在一个对角元全正的对角矩阵d ，使得d a 是 稳定矩阵 所以，在本文中我们称这样的符号模式矩阵为强蕴含稳定的( s t r o n g l yp o t e n t i a l l ys t a b l e ) 由上面定理，下面的定理1 5 7 是显然的，定