椭圆离心率问题.doc

一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PDL于D，QFAD于F,设椭圆的离心率为e，则e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。题目1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图，e=-1 变形2: 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？BAF2F1PO 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 +=1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，ABF=90，求e?FBAO 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变形：椭圆 +=1(ab 0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆 +=1(ab 0)，过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2BF1,求e?解：设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=题目4：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = = 根据和比性质：= 变形得： = =ePF1F2 =75PF2F1 =15 e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且F1PF2 =60，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=，则F2F1P=120-e= e0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设PF1F2 =,PF2F1 =若tan tan ,求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e= =e eb 0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：设AB的中点N，则2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足12 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0eb 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？MPF2F1O分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 12 =0 ( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c3c2a2 则eb0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角， 探求在C上存在点P，使 的条件。尽量让学生得到：存在点P的条件可相应得到：。(B为椭圆短轴的一个端点) 设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？改动一：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则 的面积等于_。改动二：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则的面积等于_。问题3：改动的依据是什么？（,B为短轴的一个端点）设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。题4：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，求椭圆的面积。解：设，由余弦定理得由椭圆定义得 由得：性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则。继续看题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为则 故当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。如果把图形特殊化，使PF1F1F2,我们可以得到：性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。20090423题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程；这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。【课堂测试】1.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 9（09上海）2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） （09江西）A B C D3.已知椭圆的两个焦点分别为,为椭圆上一点,且,则的值等于 4（选做）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为证明；椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例1 椭圆上一点到焦点的距离之差为2，试判断的形状.解：由椭圆定义：. 又，故满足：故为直角三角形.性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得：由等比定理得：而，。已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2解：(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b椭圆的方程为1(2)设F1PF2，则PF2F160椭圆的离心率则，整理得：5sin(1cos)故，tanF1PF2tan圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题1. 已知点在椭圆 内， 是椭圆的两个焦点， 求的范围. 故 2. 已知点在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，求点 位于何处时 最大？（焦点三角形两个基本关系？）解：设，在 中， ，因为 ，所以 ，即 ，而 ，所以 的最小值是在时取得（在上是减函数），即点P为椭圆短轴上的顶点.3. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.解法一： 解，由上题 ， 所以 ， . 故 解法二：设 ，则 ，则； 在中，即 ，因为 ，所以 ， ，又 故 .4. 已知椭圆 的长轴两端点为、，如果椭圆上存在点，使求椭圆离心率的范围。 5. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.解法一：设 ，则 ，由 得. 而 ，所以 ，故解法二：由 及 即 及 即 联立解得 ，余同上.6. 已知椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使（为原点），求离心率的范围。 设，由，得 ，即 ： .又因为 ，所以 ，所以 分解因式，得 ， 所以 或 因为 ，所以 ，即 所以 . 变式：垂直关系改为 7. 设双曲线的右顶点，轴上有一点，若双曲线上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围是 解：以AQ为直径的圆与双曲线还有除A外的公共点，联立 、，联立解得 此方程一根为 （对应点A的横坐标），由韦达定理另一根为 ，所以8. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交