（信号与信息处理专业论文）针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究.pdf

针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 摘要 带乘性噪声系统的最优估计理论在石油地震勘探、水下目标探测、语音处理 等诸多领域都有重要的应用价值。本文主要针对多通道带乘性噪声系统的最优估 计方法作进一步研究。 过去多传感器系统由于自身的复杂性及待处理数据过于庞杂而难以在实际 中广泛应用。以往针对带乘性噪声系统最优估计方法的研究大多集中在单传感器 观测的情形下。近些年来，计算机技术飞速发展，高度复杂的数据处理已经成为 可能。多传感器系统由于高精度及高可靠性在众多领域受到人们的关注。另外， 以往对带乘性噪声系统的研究考虑的均是一维系统，而二维系统在图像处理等许 多领域具有重要的应用价值。基于这两点，本文针对多传感器观测下的带乘性噪 声系统和二维带乘性噪声系统，对其最优估计方法进行了研究探讨。本文所说最 优均是建立在线性最小方差意义上的。 本文主要工作如下： 第一，本文回顾了带乘性噪声系统的最优估计理论的发展和现状，并简单介 绍了多传感器数据融合技术及二维系统理论。 第二，本文针对多传感器观测下多通道带乘性噪声系统，推导出两类最优估 计融合算法：常规最优估计融合算法、逆向滤波融合及单向反褶积算法。本文通 过建立针对整个多传感器系统的全局观测方程，将单传感器观测下的常规最优滤 波、固定域平滑及固定域反褶积算法，以及逆向最优滤波、单向固定域反褶积算 法推广至多传感器观测下的情形。根据融合策略的不同，本文提出了集中式与分 布式两种滤波融合算法，其中分布式融合算法又分为带反馈与不带反馈两种实现 形式。 第三，本文首次引入了带乘性噪声的2 - df m m i i ( t w o - d i m e n s i o n a l f o m a s i n i m a r c h e s i n i sm o d e li i ) 数学模型。利用斜割支线法，通过定义新的变 量，巧妙地将带乘性噪声的2 df m m i i 模型转化为一维带乘性噪声的状态空间 模型。从而利用一维系统的估计方法，推导出带乘性噪声的2 df m m i i 模型的 最优滤波、最优固定域平滑及最优固定域反褶积算法。 第四，通过仿真实例，验证了上述各算法的有效性。 关键词：秉性噪声，多传盛器数据融合，2 - d 系统，线性最小方差，最优估计 f u r t h e rs t u d i e so f e s t i m a t i o nm e t h o d s f o r s y s t e m s w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e s a b s t r a c t s i g n a l e s t i m a t i o nt h e o r yf o rd i s c r e t es t o c h a s t i c s y s t e m s w i t hm u l t i p l i c a t i v e n o i s e s ( s m n ) i sv e r yi m p o r t a n ti nm a n ya p p l i c a t i o n ss u c h a so i ls e i s m i ce x p l o r a t i o n ， u n d e r w a t e rr e m o t et a r g e t sd e t e c t i o na n ds p e e c hs i g n a lp r o c e s s i n g t h ep r e v i o u sr e s e a r c h e si nt h ee s t i m a t i o nt h e o r yf o rs m na r ea l m o s tf o c u s e d o nt h ec a s eo fs i n g l es e n s o ro b s e r v a t i o n i nr e c e n ty e a r st h er a p i dd e v e l o p m e n to f c o m p u t a t i o nt e c h n o l o g yh a sm a d ei tp o s s i b l et op r o c e s sd a t a 晰t lk g hc o m p l e x i t y , a n dm u l t i - s e n s o r s y s t e m s a l em o r ea n dm o r ec o n c e r n e db yr e s e a r c h e r si nm a n yf i e l d s f u r t h e r m o r e ，i nr e c e n ty e a r st w o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) s y s t e m s e , a nf i n dm o r ea n dm o r e a p p l i c a t i o n si nm a n y f i e l d ss u c ha si m a g ep r o c e s s i n g ，b u ta l lt h ep r e v i o u ss t u d i e si n s m nc o n s i d e r e do n e - d i m e n s i o n a l ( 1 一d ) s y s t e m s c o n s e q u e n t l y , i ti s n e c e s s a r yt o s t u d yt h ee s t i m a t i o na l g o r i t h m sf o rs m n u n d e rm u l t i - s e n s o ro b s e r v a t i o na n d2 - d s m n o nt h eb a s i so ft h et w op o i n t s ，f u r t h e rs t u d i e so fe s t i m a t i o na l g o r i t h m sf o r s m na r em a d ei nt h i sd i s s e r t a t i o n a l lt h ep r o p o s e d a l g o r i t h m si nt h i sd i s s e r t a t i o na r e o p t i m a li nt h el i n e a rm i m m u m v a r i a n c e n em a i nc o n t e n t so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea s f o l l o w s 1 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ed e v e l o p m e n ta n ds t a t u sq u oo fs i g n a le s t i m a t i o nf o r s m ni sr e c a l l e d m o r e o v e ld a t af u s i o nt e c h n o l o g yf o rm u l t i s e n s o r s y s t e m sa n d e s t i m a t i o nt h e o r yo f 2 一ds y s t e m sa l ei n t r o d u c c ds i m p l y 2 f o rs m nu n d e rm u l t i s e n s o ro b s e r v a t i o n , t w ok i n d so fe s t i m a t i o nf u s i o n a l g o r i t h m sa l ep r o p o s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n o n ei sc o n v e n t i o n a le s t i m a t i o nf u s i o n a l g o r i t h m n eo t h e ri s r e v e r s e d - t i m ef i l t e r i n gf u s i o na n do n e - p a s sd e c o n v o l u t i o n f u s i o na l g o r i t h m ，b yc o n s t r u c t i n gt h eg l o b a lo b s e r v a t i o nf o r m u l a , t h ec o r r e s p o n d i n g e s t i m a t i o na l g o r i t h m sf o rs i n g l es e n s o rs y s t e m sa r ee x t e n d e dt om u l t i - s e n s o r s y s t e m s 3 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a t h e m a t i cm o d e lo fs t o c h a s t i ct w o - d i m e n s i o n a l f o m a s i n i m a r c h e s i n i sm o d e l1 1w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e si si n t r o d u c e df o rt h ef i r s t t i m e b y t h el i n eo fc r o s s c u t t l l e2 - df m m1 1w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s e si s t r a n s f o r m e di n t ot h ef o r mo f1 - dm o d e l ，t h e nt h ep r o p o s e da l g o r i t h mi so b t a i n e do n t h eb a s i so f s t a t ee s t i m a t i o n t h e o r yo f t h el ds y s t e m s 4 u s i n gt h e s i m u l a t i o ns o t t w a r em a t l a b ，s o m ee x a m p l e sa r e g i v e nt o i l l u s t r a t et h e v a l i d i t yo f t h ed e v e l o p e da l g o r i t h m s k e yw o r d s ：m u t t i p l i c a t i v en o i s e s ，m u l t i s e n s o r , d a t af u s i o n ，2 - d s y s t e m s ，l i n e a r m i n i m u m - v a r i a n c e ，o p t i m a l e s t i m a t i o n 针对带乘性喷声系统的最优估计方法的进一步研究 1 1 选题的意义 最优估计理论是现代控制理论的一个重要分支，也是随机信号处理的一个重 要课题，即从受到噪声污染的信号中提取有用信息。对随机信号处理的一个重要 方法是建立实际系统的数学模型，并根据模型进行信号的最优估计。目前发展最 为成熟的是经典线性随机系统的最优估计理论。这类系统由于其处理简单而得以 在控制、通信、空间目标跟踪、水下目标探测、地震信号处理、模式识别、语音 处理等诸多领域广泛应用。许多最优估计理论，如k a l m a n 滤波理论【i 1 4 1 都是基 于这一经典模型： x ( k + i ) = a ( k + l ，k ) x ( k ) + 口( 七) h ，( j i )( 1 1 1 ) z ( 七) = c ( _ i ) 工( t ) + v ( _ j )( 1 1 2 ) 其中：z ( 七) 为系统状态向量，w 和v 为噪声向量，彳( 抖1 ，翰、觑功和a 均为 具有适当维数的确定性矩阵。在该模型中，随机干扰的影响被视为加性噪声，即 系统的动态噪声w ( d 和系统的观测噪声，( 磅。 而事实上，在许多应用领域中，纯粹的线性模型并不能很好的描述实际系统， 因此将实际系统近似简化成上述经典线性系统模型从而得到的估计结果有时是 不能令人满意的。例如：在石油地震勘探1 1 5 】、水下目标探测【1 6 】、通讯工程1 1 7 l 、 语音处理【墟】等应用领域中，由褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪声 的干扰，而且当进一步考虑系统的时变性、非线性时，还应该加上各种线性与非 线性畸变、能量衰减等复杂的甚至是不确定的因素。这在数学上可近似地归结为 个乘性随机因子，即乘性噪声【l ”。这类观测模型中含有乘性噪声的随机系统 称作带乘性噪声的随机系统，简称带乘性噪声系统( s y s t e mw i t hm u l t i p l i e a t i v e n o i s e l s m n ： z ( _ j ) = u ( 的c ( 七) x ( 七) + v ( 七)( 1 1 3 ) 其中：船为乘性噪声。 显然，乘性因子的引入，使系统形式上更为复杂，处理上也更为困难。在实 际中，关于这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计、信号反褶积估计及其 参数辨识估计问题又是十分重要的，特别是反褶积估计理论在石油地震勘探、信 号处理等应用领域有着十分重要的意义。随着当前计算机高速度，大存储，并行 化技术及相应并行算法的发展，使得研究更为精确复杂的数学模型及其处理方法 针对带乘性噪声系统的最优估计方法的进一步研究 不会导致应用上大的困难。相比之下，基于经典系统模型的估计理论对复杂实际 过程描述和处理的不精确则成为突出问题。 1 2 带乘- 胜噪声系统的特点及应用背景 下面将带乘性噪声系统的数学模型重写如下： x ( k + 1 ) = 彳( 七+ l ，七) x ( 七) + b ( k ) w ( k )( 1 1 1 ) z ( 女) = u ( | | ) c ( | ) z ( | ) + v ( k )( 1 1 3 ) 由上述数学模型可知，带乘性噪声系统有如下特点： l 、由于乘性噪声从劫和系统状态“的均为随机量，在观测方程中出现了两 个随机量的乘积，观测方程已不再是线性的。因此，对于带乘性噪声系统，其动 态方程仍然为经典的线性方程，但观测方程则为非线性的。 2 、乘性噪声往往是由于信号的传输特性不理想而产生的干扰，在观测方程 中，乘性噪声与系统状态( 信号) 是乘积的关系，所以乘性噪声随着信号的消失 而消失。但加性噪声始终存在。 3 、当乘性噪声恒为1 时，带乘性噪声系统( i 1 1 ) 和( 1 1 3 ) 退化为经典的线性 系统( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 。因此，经典的线性系统是带乘性噪声系统的一个特例。可 见，带乘性噪声系统模型描述了更为广泛的一类实际过程。 带乘性噪声系统有着广泛的实际应用背景，下面举例说明： 例1 石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性、及传播时的扩展 损失与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性噪 声的褶积模型更能反映实际情况【2 0 1 z ( r ) = m ( t ) f ( t ) + 以f ) + n ( t ) 其中，r e ( t ) 为乘性噪声，n ( f ) 为加性观测噪声，f ( t ) w ( t ) 为理想地震道，这 里为褶积运算符。 例2 水下目标探测。海洋信道在本质上是随机时变和空变的非理想声信道， 这种随机性用乘性噪声来描述，海洋中还存在着多种加性噪声源，因此海洋信道 可看作为一个带乘性噪声系统。水下目标反向散射系数包含有目标本身的重要信 息，因此可以通过估计目标的反向散射系数来实现水下目标探测。而这一反向散 射系数在数学模型中可以归结为海洋信道这一带乘性噪声系统的动态噪声，因 此，可以通过对带乘性噪声系统的反褶积运算，即估计带乘性噪声系统的动态噪 声，来实现对目标反向散射系数的估计【l “。 例3 在目标跟踪问题中，当传感器对目标进行观测时，有时会发现被跟踪 2 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 目标随机消失的现象。当乘性噪声为0 、1 分布时，所对应的带乘性噪声系统即 可描述这种情况【2 0 】。 1 3 带乘性噪声系统最优估计理论的发展及研究现状 经典的随机线性系统其观测模型中仅含有加性噪声，对于这一类随机系统， 最优滤波、平滑及反褶积问题都已经有了大量的研究成剁o h 】。自从k a l m a n 5 1 、 b u c 3 f 1 6 j 等人提出了状态最优滤波的递推算法以来，在各种加性噪声条件下的状态 最优滤波算法、带有k a l m a n 滤波器的最优控制算法、自适应滤波算法【l0 “】、滤 波算法的稳定性研究【】、数值稳定性问题的研究 3 , 4 , 7 , 2 1 2 2 】，以及基于k a l m a n 滤 波的各种平滑算法以及反褶积 1 2 - 1 4 】的理论成果层出不穷，并在空间技术、通讯、 导航和石油地震勘探、水声信号处理等许多领域得到广泛的应用。 与之相比，带乘性噪声系统的估计理论与应用研究成果还不够完善。由于石 油地震勘探、水声信号处理、目标跟踪等许多实际应用问题的需要，带乘性噪声 随机系统的信号估计问题日益受到研究者的重视。已有的研究成果主要集中在两 个方面，分别是针对离散型和连续型的乘性噪声而展开的。 一关于乘性噪声取值为离散值的随机系统的研究 1 9 6 9 年，n a h i l 2 习首先对离散型乘性噪声为0 ，1 两值序列的情形，在乘性噪声 为独立同分布的条件下，推导出了最小方差意义下的最优滤波递推算法，当乘性 噪声取0 的概率为零时，该滤波器退化为k a l m a n 滤波器。1 9 7 1 年，j a f f e r 等人【2 4 筇】 对乘性噪声为两值m a r k o v 序列的情形给出了状态的b a y e s 估计算法，但由于存 储量大，该算法并不实用，后来的改进形式降低了存储量，但当系统维数大时仍不 实用。后来，n a h i 的工作被推广，m o 舾n g o 【矧进一步讨论了状态固定域平滑递 推算法，但算法中要求对矩阵求逆，使其应用受到了限制。1 9 7 9 年，h a d i d i t 27 】等 人又将n a h i 的结果推广到乘性噪声为非独立同分布的情形，但在一般情况下，状 态最优滤波不能表达为递推形式，例如乘性噪声为m a r k o v 链时。1 9 9 4 年，c a r a z o 2 8 l 等人又把n a h i 的工作推广到了动态噪声和观测噪声相关的情况，并 推导出了预测算法的一般表达式。此外，a k a s h i 等人【2 9 】还研究了观测噪声的均 值和方差以m a r k o v 转移概率变化的状态滤波问题。 二关于乘性噪声取值为连续值的随机系统的研究 1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n 1 9 1 等人首先对乘性噪声为独立非平稳白噪声的情况进行 了研究，推导出了在线性最小方差意义下为最优的状态递推滤波算法和非递推的 平滑估计算法，同时还给出了连续系统的最优状态估计器。1 9 8 1 年，t u g n a i t 3 0 】 定义了带乘性噪声离散系统的能观性和能控性，还引入了在线性最小方差意义下 滤波等价的经典系统，讨论了r 旬雒e k a 啪状态滤波算法的稳定性。1 9 8 9 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 年，c h o w t 3 1 j 在乘性噪声为有色噪声的情形下，将其滤波算法推广到了噪声均值 非零的情况。1 9 9 3 年，褚东升1 2 0 1 针对离散系统，将r a j a s e k a r a n 的工作推广至动态 噪声与加性观测噪声同时刻相关时的线性最小方差递推滤波器，还给出了白噪声 情形下固定域平滑估计的直接算法和间接算法。另外，在m e n d e l 0 4 所提出的针 对一般线性状态空间模型的反褶积理论的基础上，褚东升【2 0 】提出了带乘性噪声 系统的反褶积理论，给出了独立白噪声条件下的最优反褶积算法。并对定常系统 给出更简单实用的次优反褶积算法，还推导出有色噪声时的反褶积算法，且把固 定域，固定臂长的反褶积最优算法推广到动态噪声和观测噪声同时刻相关的更一 般的情形。1 9 9 9 年，张文林【3 3 j 针对带乘性噪声系统，基于s v d 分解进一步给出 了具有数值稳定性的最优估计算法，并基于极大似然准则提出了一种自适应滤波 算法。2 0 0 0 年，王昕1 3 4 】建立了可用于并行处理的带乘性噪声系统的分布滤波算 法及分布平滑算法，并给出了基于分布平滑的反褶积算法。2 0 0 1 年，王远【35 】建 立了加性噪声在有限时间段上相关时的最优滤波、平滑及反褶积算法。以上的研 究均是针对乘性噪声为标量的情形下做出的，这一假设暗示了各观测通道的加性 噪声虽然可以互不相同，但乘性噪声却完全相同，因此，这种模型并不是真正意 义上的多通道系统。由此，2 0 0 1 年，韩慧口6 j 在褚东升所做工作的基础上，将标 量乘性噪声推广至对角矩阵的情形，建立了多通道s m n 的最优滤波、平滑及反 褶积算法。2 0 0 2 年，李玉全e 3 7 又将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的 最优滤波算法推广至多传感器观测下的情形，基于极大似然准则提出了多传感器 观测下的逆向滤波融合算法及单向反褶积算法。2 0 0 2 年，陈希信【i6 】在水下目标 探测的应用背景下，将海洋信道看作为一个带乘性噪声系统，进一步丰富完善了 带乘性噪声系统的最优估计理论，针对加性色噪声及乘性色噪声的情形给出了最 优状态滤波器及最优状态平滑器，并且给出了多种情形下的噪声估计器，包括： 动态噪声估计器、观测噪声估计器及乘性噪声估计器。 1 4 多传感器数据融合技术简介 多传感器信息融合是指对来自多个传感器的数据进行多级别、多方面、多层 次的处理，从而产生新的有意义的信息【3 引。该信息是基于多个传感器所提供的 有用信息综合得到的，因此它是任何单一传感器所无法获得的。容易知道：使用 单一传感器对目标进行观测所得到的信息往往是单一的，不全面的，而多传感器 系统则可以在多个层面上提供被观测目标的有用信息，因此由多传感器的观测所 得到的估计往往具有更高的精度。另外，在多传感器系统中，一个或几个传感器 出现故障，不会引起整个系统的故障，多传感器所提供的冗余信息使得多传感器 系统较之单传感器系统具有更高的可靠性。但用多传感器系统所获得的观测数据 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 又过于复杂，以前由于计算技术的制约，使多传感器技术的发展受到限制，近年 来由于计算机技术的飞速发展，已经使得对高度复杂的多传感器数据的处理成为 可能。目前，多传感器数据融合技术在许多领域已成为十分活跃的热门研究领域 3 8 4 2 1 。 目前，针对经典的线性系统，已有了较为成熟的基于k a l m a n 滤波器的数据 融合估计算法。融合策略一般分为集中式与分布式两种，但分布式较集中式具有 诸多优势【5 2 】。h a s h e m i p o u r 等人【4 6 】曾讨论了并行k a l m a n 滤波的分布式结构。除 集中式与等级分布式结构，r a o 等人驯又提出了一种完全分布式结构。g a r d n e r l 4 3 j 和p a l k l 4 4 1 则先后提出了基于k a l m a n 滤波器的增益融合算法。有关状态估计的多 传感器融合算法方面的研究还有很多，但几乎所有的算法都是针对一般线性系统 模型的，对于带乘性噪声系统的多传感器融合估计的研究成果尚不多见。李玉全 p 7 l 曾针对带乘性噪声系统提出了一种基于极大似然准则的多传感器观测下的融 合估计算法。 1 5 二维随机系统的最优估计理论简介 对于一维系统，我们可以简单的把它看成是一根时间轴，系统的运动是沿着 时间轴进行的。面对于二维系统，最直观的理解就是一个平面，二维系统的运动 不再局限在一条直线上，而是在平面上运动。二维系统已在许多领域诸如：信号 与图像处理，地震数据处理中找到其实际应用价值。近些年来，二维系统理论越 来越多的受到研究者的关注。目前已出现了多种描述二维系统的数学模型，如 2 da r m a 模型吲，2 - d 状态空间模型【5 4 - 5 7 】。在2 d 状态空间模型中，2 df m m i i ( t w o d i m e n s i o n a lf o m a s i n i m a r e h e s i n i sm o d e li i ) 模型是最具有代表性的一 类模型，其他几种模型几乎都可以转化成2 df m mi i 模型【5 5 】。但以往有关二维 系统的研究大多集中在确定性二维系统上。事实上，所有的实际系统都是在有噪 声干扰的环境中运行的。陈雪如等【蚓曾给出随机二维f m m i i 模型的最优状态估 计算法，但该随机模型是完全线性的，它只包含加性噪声，不含乘性噪声。 1 6 本文所做的主要工作 本文针对多通道带乘性噪声系统，主要在以下两个方面进行了进一步研究： 一是给出了多传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优估计算法；二是给出 了带乘性噪声的2 一df m m i i 模型的最优估计算法。本文所说的最优均指线性最 小方差意义上的最优。本文主要工作如下： 一、本文针对多传感器观测下的多通道带乘性噪声系统，给出了两类最优估 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 计融合算法：常规最优估计融合算法、逆向滤波融合及单向反褶积算法。 1 、多传感器观测下的s m n 常规最优估计融合算法包括： 夺多传感器观测下的s m n 常规最优滤波融合算法： 集中式最优滤波融合算法( 两种实现) ； 分布式最优滤波融合算法( 带反馈与不带反馈两种) ； 多传感器观测下的s m n 常规最优固定域平滑算法( 两种实现) ； 夺多传感器观测下的s m n 常规最优固定域反褶积算法( 两种实现) ； 算法主要推导思路为：首先通过定义全局变量，将多个局部传感器所对应的 局部观测方程合成为一个全局观测方程，从而建立起对应于整个多传感器系统的 全局数学模型，然后在此全局数学模型的基础上，将单传感器观测下的最优滤波 算法直接推广至多传感器观测下的情形，得到集中式最优滤波算法。对集中式滤 波公式进行等价变换，将全局滤波结果及其对应的误差协方差分解成各个局部滤 波器所对应的局部滤波结果，从而得到分布式最优滤波融合算法。并且，根据是 否将全局最优滤波结果反馈回各局部滤波器，分布式融合算法又可分为带反馈与 不带反馈两种实现形式。在全局最优滤波结果的基础上，进一步给出全局最优固 定域平滑及固定域反褶积算法。 2 、本文又给出了 夺多传感器观测下的s m n 逆向滤波融合算法： 集中式最优逆向滤波融合算法( 两种实现) ； 分布式最优逆向滤波融合算法( 带反馈与不带反馈两种) ； 夺多传感器观测下的s m n 单向反褶积融合算法； 与常规最优估计融合算法的推导思路类似，首先将单传感器观测下的最优逆 向滤波算法推广至多传感器观测下的情形，得到集中式与分布式融合算法。并在 全局最优逆向滤波结果的基础上，进一步得到全局最优的单向固定域反褶积算 法。 二、本文推导出了带乘性噪声的2 df m mi i 模型的最优估计算法： 带乘性噪声的2 df m m i i 模型的最优滤波算法； 夺带乘性噪声的2 df m m i i 模型的最优固定域平滑算法： 夺带乘性噪声的2 - df m mi i 模型的最优固定域反褶积算法。 首先，本文首次引入了带乘性噪声的2 df m m i i 数学模型。然后，利用斜 割支线法，通过定义新的变量，将带乘性噪声的2 df m mi i 模型转化为一维带 乘性噪声的状态空间模型的形式。在此一维模型的基础上，利用一维系统的估计 方法，推导出带乘性噪声的2 df m m i i 模型的最优滤波、最优固定域平滑及最 优固定域反褶积算法。 三、本文对上述各算法进行了仿真研究，仿真结果验证了各算法的有效性。 6 针对带乘性噪声系统的最优估计方法的进一步研究 2多传感器观测下s m n 最优估计融合算法 2 1多传感器观测下s m n 数学模型 基于多传感器的带乘性噪声系统的数学模型如下： 石( 七十1 ) = d ( k + l ，七) z ( 七) + b ( 七) 以七)( 2 1 1 ) z ，( ) = u j ( 女) c f ( k ) x ( k ) + v ，( ) ( i = 1 ，f )( 2 1 2 ) 其中：x c k ) 为系统n 维状态向量，w ( 妨为系统口维过程噪声，z ，( 助、呱d 、以分 别为第j 个传感器的r i 维观测向量、n 维加性观测噪声向量及r i x r ，维乘性观测噪 声矩阵，a ( k + l ，翰，b ( 七) 和c ，为具有适当维数的系数矩阵。并且假定上述系统满 足如下假设条件： a 1 e h ，( 七) ) = 0 ，c o v w ( k ) ，w ( 肼= q ( k ) 6 0 ； a 2 e 哆 ) ) = 0 ，c o v v ，( 七) ，v j ( 1 ) ) = r ，( 七) 爵以； a 3 u i ( 七) = d i a g ( u n ( 七) ，”，2 ( 七) ，u 。( 七) ) ， e u ，( | j ) ，= m ，( 露) = d i a g ( m “( 毒) ，m t 2 ( t ) ，m 。( 七) ) ， 辱( k ) = c o l ( u i l ( 七) ，i 1 f 2 ( 七) ，“( 七) ) ，c o v 告( 七) 亭，( ，) ) = n i ( 七) 占f 占“， e 毒( 七) = 毒( 七) ，善，( 七泻。( 七) = g ，( 七) ； a 4e x ( 0 ) ) = 硒，v a r x ( o ) = p ( 0 ) ； a 5c o v x ( o ) ，以七) = 0 ，c o v x ( o ) ，叶( d = 0 ，c o v w ( k ) ，巧( 素) ) = 0 ； a 6 【硒 统计独立于 x ( o ) ，w ( q ，v 文妨) 。 其中，驮曩) ，月妨，a 西，脯( 七) ，以o ) 和t o 均为已知的噪声统计特性。 2 。2 多传感器观测下s m n 常规最优估计融合算法 这里的最优估计算法包括最优滤波算法，最优固定域平滑算法以及最优固定 域反褶积算法。若记 = c o l ( z ( o ) ，z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( 七) ) ，l ( z i ) 为z ( 0 ) ，= ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( k ) 张成的线性 空间，而p r o j 为投影算符，则 x ( k k ) = p r o j ( x ( k ) i z 。) 表示最优滤波值，即j ( 移庄三( 功上的投影，或称x 在l ( z i ) 上的线性最小方差估计； x ( k 9 = p r o j ( x ( k ) i z ，) 表示最优固定域平滑值，即x ( 回在三( 们上的投影； 针对带乘性噪声系统的最优估计方法的进一步研究 w ( k n ) = p r o j ( w ( k ) z 。) 表示最优固定域反褶积，即w ( p 在三( 们上的投影。 以上的最优均是建立在线性最小方差意义上的。 2 2 1 最优滤波融合算法 基于多传感器系统的数据融合策略一般分为两类【5 2 】：集中式融合策略和分布 式融合策略。事实上，这两类融合算法在数学上完全等价的，均在线性最小方差 意义上是最优的，只是两者在算法的具体实现上有所不同。二者均是基于单传感 器系统的最优估计算法进一步发展得到的。作为算法的基础，下面以引理的形式 给出单传感器系统的最优滤波算法。 引理m 1 2 2 i t 考虑多通道带乘性噪声系统( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 及假设条件a 1 a 6 ， 基于第i 个传感器的最优滤波算法为： x ，( 七+ 1 七) = a ( k + 1 ，k ) x ，( 七七)( 2 2 1 ) p ( | + l k ) = 一( 七+ l ，k ) e , ( k k ) a 7 ( 后+ l ，k ) + b ( k ) q ( k ) b 7 ( 七) x ，( j | + 1 k + 1 ) = x i ( i + 1 k ) + k i ( k + 1 ) 瞳，( | i + 1 ) 一m i ( 七+ 1 ) c ，( k + 1 ) 一( 七+ 1 k ) 】 只( k + 1 k + 1 ) = 【，一k ，( k + 1 ) m ，( + 1 ) c j ( k + 1 ) 】只( k + 1 k ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) k ，( 七+ 1 ) = 只( 女+ 1 ，k ) c f ( + i ) m , r ( + 1 ) r l ，一1 ( + 1 ) ( 2 2 5 ) r l ，( k + 1 ) = m i ( k + 1 ) c ，( | + 1 ) 鼻( k + 1 k ) c , 。( k + i ) m ，。( k + 1 ) + e i ( k + 1 )( 2 2 6 ) e j ( k + 1 ) = ，( 后+ 1 ) 【c j ( k + 1 ) s ( k + 1 ) c ，。( k + 1 ) 】+ r ( 七+ 1 )( 2 2 7 ) s ( k + 1 ) = 彳( _ j + 1 ，k ) s ( k ) a 7 ( 女+ l ，k ) + b ( k ) q ( k ) 8 7 ( 七)( 2 2 8 ) 初始条件为： x ，( 0 0 ) = o只( 0 0 ) = 岛s ( o ) = p o + 。2 其中，运算符 表示矩阵的h a d a m a r d 积运算，即两个矩阵的对应元素相乘。 由矩阵反演公式，( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式还可以写成： p ( k + l k + 1 ) = 只( k + l k ) + g 7 ( k + 1 ) m j 7 ( j + 1 ) e 一1 ( 七+ 1 ) m ，( | + 1 ) c ，( 七+ 1 ) e ( i + 1 ) = f ( 七+ 1 k + 1 ) c ，7 ( 七十1 ) t7 ( | i + 1 ) e 一1 ( i + 1 ) ( 2 2 9 ) r 2 2 1 0 ) 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 2 2 1 1集中式最优滤波融合算法 基于多传感器系统的集中式最优滤波融合算法的基本思想是：首先由各传感 器的子系统构造出针对整个多传感器系统的全局数学模型，将其视为一单传感器 系统，运用引理2 1 1 对其进行最优滤波，从而得到集中式的最优滤波融合算法。 定义如下全局变量： z ( 七) = z , t ( 七) ，z 2 t ( 七) ，g f t ( | | ) 】7( 2 2 1 1 ) v ( 七) = 【v 1 7 ( 七) ，v 2 7 ( ) ，。v f t ( 七) 】7( 2 2 1 2 ) c ( ) = c l r ( 七) ，c 2 r ( 七) ，c f r ( ) 】7( 2 2 1 3 ) u ( k ) = b l o c k d i a g ( u l ( 七) ，u 2 ( ) ，u f ( 七) )( 2 2 1 4 ) m ( k ) = e u ( 七) ) = b l o c k d i a g ( m l ( 七) ，m 2 ( 七) ，m f ( 七) ) ( 2 2 1 5 ) 善( 七) = 茧7 ( 七) ，岛7 ( i ) ，靠7 ( 七) 】7( 2 2 1 6 ) 由上节给出的假设条件a 2 和a 3 知，各传感器的加性量测噪声之间和乘性 噪声之间互不相关，因此有： r ( k ) = z a r v ( k ) ) = b l o c k d i a g ( r 1 ( 七) ，r 2 ( | ) ，r f ( 七) )( 2 2 1 7 ) n ( k ) = v a r 善( 后) ) = b l o c k d i a g ( l ( 七) ，n 2 ( 七) ，n f ( 七) )( 2 2 18 ) 由上述定义( 2 2 1 1 卜( 2 2 1 6 ) ，可构造出基于多传感器系统的全局观测方程： z ( 七) = u ( 七) c ( 七) x ( 七) + v ( 七)( 2 2 19 ) 从而得到全局系统的数学模型： x ( k + 1 ) = a ( k + l ，k ) x ( k ) + b ( 七) w ( 七) ( 2 1 1 ) z ( i ) = u ( 七) c ( i ) 工( i ) + v ( i )( 2 2 19 ) 针对由( 2 1 1 ) 和( 2 2 1 9 ) 所构成的全局系统，根据文献 3 6 】，容易得到如下基 于多传感器系统的集中式滤波融合算法，因此不再给出证明过程。 定理2 2 1 ：考虑定义在条件a i a 6 及( 2 2 1 l 卜( 2 2 1 6 ) - 的多传感器系统 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，有如下集中式滤波融合算法： x ( k + l 七) = a ( k + l ，k ) x ( k k ) ( 2 2 2 0 ) p ( k + l k ) = a ( k + l ，k ) p ( k k ) a 7 ( 后+ l ，t ) + b ( k ) q ( k ) b 7 ( 七)( 2 2 2 1 ) x ( k + 1 k + 1 ) = x ( k + 1 七) + k ( k + 1 ) 【z ( 七+ 1 ) 一m ( k + 1 ) c ( k + 1 ) x ( k + l 七) 】 9 针对带乘性噪声系统最优估计方法的进一步研究 p ( k + 1 k + 1 ) = i k ( k + 1 ) m ( k + 1 ) c ( k + 1 ) 】p ( i + 1 k ) k ( k + 1 ) = p ( k + 1 k ) c 7 ( 七+ 1 ) m 7 ( 七+ 1 ) r l 一1 ( 七+ 1 ) r 。( 走+ 1 ) = a z ( 是+ 1 ) c ( 七+ 1 ) p ( k + 1 k ) c 7 ( 露+ 1 ) 五万( 未+ 1 ) + e ( k + 1 ) e ( k + 1 ) = n ( k + 1 ) 【c ( | i + 1 ) s ( 七十1 ) c 7 ( 七+ 1 ) + r ( k + 1 ) r 2 2 2 2 ) r 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) 陀2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) s ( k + 1 ) = a ( k + l ，k ) s ( k ) a 7 ( 七+ l ，t ) + b ( k ) q ( k ) b 7 ( t ) ( 2 2 2 7 ) 算法的初始条件为； x ( o o ) = op ( o o ) = 晶s ( o ) = r + 。2 由于上述算法的( 2 2 2 2 卜( 2 2 2 6 ) 是采用全局变量z ( d 、拟d 和c ( 七) 进行运算， 由这三个全局变量的定义( 2 2 1 1 ) 、( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 5 ) 可知，当传感器的数目较多 时，参与运算的矩阵维数会很大，且矩阵m 七) 中有较多的零元素。因此，可对 ( 2 2 2 2 ) 式和( 2 2 2 3 ) 式稍加变形，以进一步简化运算。由此得如下定理： 定理2 2 1 ：考虑定义在条件a 1 _ 6 及( 2 2 1 l h 2 2 1 6 ) 上的多传感器系统 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，有如下集中式滤波融合算法： x ( k + 1 七) = a ( k + l ，k ) x ( k i ) ( 2 2 2 0 ) p ( k + 1 k ) = a ( k + 1 ，k ) p ( k k ) a 7 ( 七十1 ，七) + b ( k ) q ( k ) b 7 ( 女)( 2 2 2 1 ) x ( k + 1 k + 1 ) = 工( 七+ l 七) + k ( 七+ 1 ) 2 ，( i + 1 ) - m ，( 七+ 1 ) c ，( 七+ 1 ) x ( k + l k ) i = l f 2 2 2 8 ) p 一1 ( 七+ 1 t + 1 ) = p 一1 ( t + 1 k ) f + k 7 ( t + 1 ) m 7 ( 七+ 1 ) e j 1 ( 七+ 1 ) m ( 七+ 1 ) c ( 后+