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第四章定积分3.2简单几何体的体积,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。,计算由区间a、b上的连续曲线、两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。,旋转体的体积,复习回顾,由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底面半径，以dx为高的扁圆柱体的体积近似代替，,从而得到体积元素,所以，所求旋转体的体积,类似地可得，由区间c,d上的连续曲线,两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为,例1给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体.求它的体积.,分析在直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三角形可以看成是由直线y=x，x=1以及x轴所围成的平面图形.,在区间0,1内插入n-1个分点，使,把这个三角形分割成n个垂直于x轴的小梯形，设第I个小梯形的宽是xi=xi-xi-1，i=1,2，n，这个小梯形绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆台当xi很小时，第i个小圆台近似于底面半径为xi的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积近似为,解圆锥的体积为,圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和，这个问题就是定积分问题.,分析：（1）分割;(2)以直代曲；（3）求和；(4)逼近。,求曲线,，直线,，,与,轴围成的平面图形绕,轴旋转一周所得旋,转体的体积。,答案：,1.,练习,例3求由椭圆,解利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(一)绕x轴：选取积分变量为x0,a，,所围图形分别绕,x轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间x,x+dx0,a，,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，,所求体积为该体积的2倍。,在子区间x,x+dx上旋转体的微元为：,于是,dV1=py2dx，,(二)绕y轴：选积分变量y0,b，任取子区间y,y+dy0,b.,在子区间y,y+dy上体积的微元为,则,2.求y=x2与y2=x所围图形绕x轴旋转所成的旋转体体积.,解选积分变量x0,1(两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，,任取子区间x,x+dx0,1，其上的体积的微元为,练习,3.曲线与直线所成的图形的面积为（）,4.将第一象限内由x轴和曲线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积等于(),练习,D,C,课堂小结：求体积的过程就是对定积
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