（概率论与数理统计专业论文）离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计.pdf

学位论文独创性声明 4 i iiii iil li ii i1 l i tiii 18 9 0 0 7 9 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 弘磊 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：圣凌是 指导教师签名： 期：力怖州7 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 众所周知，风险理论是近代应用数学的重要分支，它利用概率论与数理统计及随机 过程的知识和方法，根据在经营中保险公司的实际问题建立相应的数学模型。而破产理 论是风险理论中的重要组成部分。近年来，破产概率、赤字分布等相关破产量的研究已 成为风险理论中的热点问题。但是，一般情况下我们很难获得破产概率等破产量的显示 解，一个有效的办法是给出它们相应的上下界估计。 本文主要研究普通的离散时间更新模型的破产概率及赤字分布的上下界估计。本文 第一章对相关课题的研究背景、研究动向、目前国内外学者的研究成果进行了综述。第 二章主要研究了普通离散时间更新模型下初始资本为“的破产概率。其中第一小节介绍 了破产理论的一些知识、原理，及普通离散时间更新风险模型的建立；第二小节利用破 产概率及赤字分布所满足的瑕疵更新方程给出了赤字分布的显示解等四个预备性引理； 第三小节利用预备性引理获得了破产概率的下界估计，第四节给出了破产概率相应的上 界。第三章则研究了普通离散时间更新模型下，初始资本为u 的赤字分布。其中的第一 小节获得了关于赤字分布的双边界；而第二小节利用了概率母函数、数学归纳等证明技 巧给出了赤字分布尾的三个上界估计，并且三个上界中后一个都要比前一个更为精确。 本课题的结果补充了现有文献中关于离散时间更新风险的相关研究。 关键词：离散更新模型；破产概率；赤字分布；更新方程；上下界估计 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 t h ee s t i m a t i o no ft h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t y a n dd e f i c i td i s t r i b u t i o ni nt h ed i s c r e t et i m er e n e w a lm o d e l a b s tr a c t a si sk n o w nt oa l l ，r i s kt h e o r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho ft h em o d e m a p p l i e dm a t h e m a t i c s u s i n gt h ek n o w l e d g ea n dm e t h o d si np r o b a b i l i t yt h e o r y ，m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c sa n ds t o c h a s t i c p r o c e s s e s ，w ec a ne s t a b l i s hc o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e la c c o r d i n gt ot h ea c t u a l p r o b l e m si ni n s u r a n c ec o m p a n y r u i nt h e o r yi st h em o s ti m p o r t a n tp a r ti nr i s kt h e o r y i n r e c e n ty e a r s ，s o m ei m p o r t a n tr u i nq u a n t i t i e ss u c ha sr u i np r o b a b i l i t ya n dd e f i c i td i s t r i b u t i o n h a v eb e e nh o ti s s u e si nt h er i s kt h e o r y h o w e v e r , i ti sd i f f i c u l tt og e te x p l i c i te x p r e s s i o n sf o r t h o s er u i nq u a n t i t i e s ；a ne f f e c t i v em e t h o di st o g i v et h e i rc o r r e s p o n d i n ge s t i m a t i o no ft h e u p p e ra n dl o w e rb o u n d s i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h ee s t i m a t i o no ft h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o rt h er u i n p r o b a b i l i t ya n dt h ed e f i c i td i s t r i b u t i o ni nt h eo r d i n a r yd i s c r e t et i m er e n e w a lm o d e l i nt h ef i r s t c h a p t e r , s o m er e l e v a n tr e s e a r c hb a c k g r o u n d , r e s e a r c ht r e n d sa n dc u r r e n tr e s e a r c ho fs c h o l a r s b o t ha th o m ea n da b r o a da r er e v i e w e d t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l ys t u d i e sr u i np r o b a b i l i t yi n t h eo r d i n a r yd i s c r e t et i m er e n e w a lm o d e lw i t hi n i t i a lc a p i t a lu m o r ep r e c i s e l y ，t h ef i r s t s e c t i o ni n t r o d u c e ss o m ek n o w l e d g eo fr u i n t h e o r y ，p r i n c i p l ea n dt h e e s t a b l i s h m e n to f o r d i n a r yd i s c r e t et i m er e n e w a lr i s km o d e l ；i nt h es e c o n ds e c t i o nw eg i v es o m ep r e l i m i n a r y l e m m a sb yu s i n gt h ed e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yr u i np r o b a b i l i t ya n dd e f i c i t d i s t r i b u t i o n ；i nt h et h i r ds e c t i o nw eg i v et h el o w e re s t i m a t i o nb yu s i n gl e n l m a se s t a b l i s h e d b e f o r e ；t h ef o u r t hs e c t i o ns h o w st h ec o r r e s p o n d i n gu p p e rb o u n d so fr u i np r o b a b i l i t y n et h i r d c h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ed e f i c i td i s t r i b u t i o ni nt h eo r d i n a r yd i s c r e t et i m er e n e w a lm o d e lw i t h i n i t i a lc a p i t a lu i nt h ef i r s ts e c t i o nw eo b t a i nd o u b l e e d g eb o u n d sf o rt h ed e f i c i td i s t r i b u t i o n ； i nt h es e c o n ds e c t i o nw eg i v et h r e eu p p e rb o u n d sb yu s i n gt h et e c h n i q u eo fp r o b a b i l i t y g e n e r a t i n gf u n c t i o na n dm a t h e m a t i c a li n d u c t i o n ，a m o n gw h i c ht h el a t e ro n ei sa l w a y sm o r e p r e c i s et h a nt h ep r e v i o u so n e t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sg i v es o m es u p p l e m e n t so f c u r r e n tl i t e r a t u r ef o rt h eo r d i n a r yd i s c r e t et i m er e n e w a lr i s km o d e l k e yw o r d s ：d i s c r e t er e n e w a lm o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y ；d e f i c i td i s t r i b u t i o n ； r e n e w a le q u a t i o n ；e s t i m a t i o no f u p p e ra n dl o w e rb o u n d s i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t 1 绪论。1 2 破产概率的上下界估计4 2 1 引言4 2 2 预备性引理4 2 3 破产概率的下界估计6 2 4 破产概率的上界估计1 0 3 赤字分布的上下界估计1 2 3 1 赤字分布的双边界。1 6 3 2 赤字分布尾的上界16 结论2 2 参考文献2 3 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 5 致谢j 2 6 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 保监会主席吴定富在2 0 0 9 年全国保险工作会议上指出：我国保险业创新能力不强， 创新机制不完善，创新人才缺乏，在重点领域、关键环节、核心技术方面的创新少。突 出表现在产品创新不够，保险产品从国外引进的多，针对我国实际需求自主开发的少， 产品数量多，适销对路的少，同质化现象严重。 众所周知，保险产品创新能力的提高需要保险精算理论有力可靠的支持。而风险理 论是对保险业所面临的各种风险进行数理分析的理论，是保险精算学的重要组成部分， 是保险公司进行保险产品的合理定价、责任准备金的正确计提、再保险的适当安排、偿 付能力的有效管理等工作的理论基础。如今，风险理论已经成为精算界和数学界的研究 热点，是经营者和决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论。风险理论的核心内容 是研究保险公司的破产问题，该问题的研究有其深刻的应用背景。在保险实务中，破产 概率已成为衡量保险公司偿付能力的重要指标，是评估保险机构金融风险极其重要的尺 度。因此，破产理论是风险理论的主要课题，它是防范和化解金融风险的重要理论依据， 是保险公司度量风险的理论基础，对保险公司的稳定经营有着重要的指导意义。 在破产理论中，连续时间更新模型的研究成果非常丰富，由于本文主要讨论离散时 间更新模型，所以对于连续模型的相关结论在此不再赘述。为叙述方便，我们将普通离 散时间更新风险模型的基本结构概括如下： 通篇约定为自然数集，n + = n 一 0 。索赔间隔时间 k ，坎，) 是一列独立同分布 ( f i d ) 正的整值随机变量，且具有共同的分布函数k ( f ) = 1 一k ( f ) 和概率密度函数 尼( f ) ，t n + ；索赔额 五，x ：，) 为i d d 正的整值随机变量序列，且独立于 巧，砭，) ； 到达咒时刻为止的总索赔次数为( 刀) = m a x 辑， ：7 形拧 ；到达n 时刻为止保险公司的 资本剩余过程为u ) = u + n 一 = ”x ，其中“n 为初始资本。 对于普通的离散时间更新风险模型，讨论得最多的是复合二项模型，即假定k 服从 零截尾的几何分布，此时 仞) ，n o ) 为二项随机过程。复合二项模型最早由g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 提出，在该文中作者得出了破产概率以及破产前盈余和破产后赤字的联合分布 的一些结果；s h i u ( 1 9 8 9 ) 推出了最终破产概率的一些计算公式，在模型中索赔金额， 保险费率和初始剩余都假设为整数；d i c k s o n ( 1 9 9 4 ) 则证明了复合二项模型可以近似 估计连续时间复合泊松模型的破产概率，当索赔量为几何分布时研究了复合二项风险模 型的破产概率；w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) 使用概率母函数的技巧得到了有限时间破产概率的显 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 示表达，并且在索赔额为混合泊松分布时探讨了复合二项模型和复合泊松模型最终破产 概率之间的关系；c h e n g 和w u ( 1 9 9 9 ) 讨论了以下事件的概率：保险公司在任意固定 时间k 内不破产的概率以及在时刻k 的的盈余是x 1 ) 的概率；c h e n g 等( 2 0 0 0 ) 研 究了贴现函数f ( x ，y ，“) ，其中u 为初始资本，破产前的剩余是x 破产时刻赤字为y 。这 个函数可以用来计算破产时刻对破产的惩罚。文中得出一个关于f ( x ，y ，0 ) 的一个公式， 然后得出了f ( x ，y ，“) 可以依据f ( x ，y ，0 ) 和一个辅助函数h ( u ) 表示出来，其中五 ) 是某 一特定的递归方程的解并且该函数与x ，y 独立。作为应用，并使用了| z 似) 的展开式获得 了对于f ( x ，y ，“) 的递归公式。p a v l o v a 和w i l l m o t ( 2 0 0 4 ) 考虑了平稳更新模型和普通离 散的更新风险模型，根据普通模型下相应的g e r b e r - - s h i u 函数表示出的平稳更新模型 下的g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数，还详尽研究了没有贴现情形以及复合二项风险模型的 一些结果，后者的情况可以当作古典p o i s s o n 模型的一个离散的类比；龚日朝，邹捷中 ( 2 0 0 7 ) 首先研究了二项风险模型下g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数所满足的瑕疵更新方程，然 后根据离散更新方程理论研究了其渐近解，并得到了破产概率、破产前赢余和破产时刻赤 字的联合分布分布以及其边际分布等的渐近解，进一步完善了p a v l o v a k p 和w i l l m o tge 2 0 0 4 年发表的相关问题的结果。 复合二项风险模型也有各种推广形式。c o s s e t t e 等( 2 0 0 3 ) 在g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 、s h i u ( 1 9 8 9 ) 和w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) 的研究基础上继续探索完善，得出了复合马尔可夫二项风险模型的一 系列结果。复合马尔可夫二项风险模型是基于马尔可夫伯努利过程，这个过程展示了索赔 事件之间的独立性。在文中作者给出了有限时间和无限时间范围内破产概率的递归公 式，同时得到了破产概率的l u n d b e r g 指数界及数值解；c o s s e t t e 等( 2 0 0 4 ) 则证明了复 合马尔可夫二项风险模型的条件最终破产概率是一个复合几何分布尾，基于这个性质， 文中给出了破产概率的一个上界和渐近式，在索赔量服从特殊分布的情况下得出破产概 率的精确表达；而y u e n 和g u o ( 2 0 0 6 ) 则也是在c o s s e t t e 等人研究结果下继续探索， 分析了与复合马尔可夫二项风险模型相联系的两个离散更新( 普通更新和延迟更新) 风险 过程。基于相关的普通更新过程，得到了g e r b e r - s h i u 函数所满足的瑕疵更新方程，文中 还建立了一般更新情况下与在延时更新情况下的贴现惩罚函数的关系。基于这些结果， 得到了有条件的最终破产概率和破产前盈余、破产后赤字联合分布的表达式；y u e n 和 g u o ( 2 0 0 7 ) 则研究了复合二项风险模型下具有时间相关索赔量的风险过程的破产概率， 模型假设每个主要索赔量将产生一个次要索赔，但发生次要索赔可能会推迟。文中给出 了在两种特殊的情况下的有限时间破产概率的递归公式以及最终破产概率的显性表达 式；x i a o 和g u o ( 2 0 0 7 ) 是在y u e n 和g u o ( 2 0 0 7 ) 的基础上进行的相关研究，获得了 辽宁师范大学硕士学位论文 破产前盈余和破产时赤字的联合分布的递归公式，推导出了破产概率的一个上界；t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 研究的是具有红利的复合二项风险模型，当盈余大于或等于一个非负 整数x ，承保人支付概率是吼的股息，作者给出了破产概率的递归公式和渐近估计；b a o ( 2 0 0 7 ) 考虑了t a n 和y a n g ( 2 0 0 6 ) 中的模型，得出了g e r b e r - s h i u 惩罚函数的两个瑕 疵更新更新方程，并且利用已获得的分析解来推导出最终的破产概率，破产赤字分布和 引起破产的索赔量分布的显示表达；l a n d r i a u l t ( 2 0 0 8 ) 贝u 研究保费率为c ( c 是正整数) 的 普通的复合二项风险模型，作者提出了广义的期望贴现补偿函数的概念并且研究了这个 广义分析工具推广了c h e n g 等人的结果。 如果 k ，) 是任意一列f f d 正的整值随机变量，即 0 ) ，n 0 为普通的更新计 数过程( 对应于连续时间s p a r r ea n d e r s e n 模型) ，则因为研究的难度，文献中关于该模型 的结果极少。如果索赔间隔时间k 服从离散的k 。分布，l i ( 2 0 0 5 a ) 获得了g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数的递推公式以及显示解( g e r b e r - s h i u 函数最早由g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 8 ) 提出， 参见文献 1 8 9 ；随后，l i ( 2 0 0 5 b ) 将贴现惩罚函数用一个复合几何分布函数表示，并且 得到了关于各种破产量的显示表达；c o s s e t t e 等( 2 0 0 6 ) 在任意索赔间隔时间的条件下研 究了累积索赔量过程，并且得到了破产概率的上下界估计和渐近表达式；w h 和l i ( 2 0 0 8 ) 获得了任意索赔间隔时间的条件下贴现惩罚函数的递推公式，在索赔额服从一些特殊分 布时得到了几种重要破产量的显示解；b a o ( 2 0 0 8 ) 获得了任意索赔分布下破产发生时赤字 的n 阶贴现因子矩的显示解。 然而，无论是对离散时间更新模型还是连续时间更新模型的研究，文献中基本上都 直接或间接的假设在初始零时刻有一次索赔发生，这种假设通常与实际情况不相符合。 这个问题可以由延迟更新模型解决。所谓的延迟更新模型是指第一次索赔发生的时间k 与随后的时间间隔 ， 相互独立且具有概率密度函数霸( f ) ，而 ，巧，) 为i i m 的 且具有概率密度函数k ( t ) ，k l ( f ) 与后( f ) 可以不同，其它的各种假设均与普通的更新过程 一致。如果毛( f ) 恰好为巧的均衡分布，即为文献中所指的平稳( 均衡) 更新模型；如 果k 。( f ) = 七( f ) ，则退化为普通的更新模型。 文献中关于延迟更新风险过程的研究结果很少。对于连续时间平稳更新模型， w i l l m o t 和d i c k s o n ( 2 0 0 3 ) 将g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数用普通更新模型下的贴现惩罚函数 表示出来；w i l l m o t 等( 2 0 0 4 ) 贝j j 详尽考察了上述模型破产发生时的赤字分布；w i l l m o t ( 2 0 0 4 ) 研究了一类连续时间延迟更新过程，即k ，( f ) 为推广的均衡分布和指数分布的混合，推广 了关于平稳更新模型的结果并且涵盖了k ( f ) 为指数分布的这一重要特殊情况；b a o 和 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 y e ( 2 0 0 7 ) 贝, l j 采用与w i l l m o t ( 2 0 0 4 ) 相同的k ( f ) 研究了一类具有随机保费收入的延迟更新 模型。 在离散时间的情形下，p a v l o v a 和w i l l m o t ( 2 0 0 4 ) 禾l j 用母函数的证明技巧研究了平稳 更新模型的g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数，获得的结果可以看作是w i l l m o t 和d i e k s o n ( 2 0 0 3 ) 所得结果的离散情形的类比，该文还首次获得了关于复合二项风险模型贴现惩罚函数所 满足的瑕疵更新方程。该文不仅首次研究了离散时间平稳更新模型，而且也为研究离散 时间更新模型提供了一种有效的研究思路，自发表以来被多次引用；最近，b a o ( 2 0 1 0 ) 进一步研究了离散时间平稳更新模型，获得了关于最终破产概率所满足的瑕疵更新方程 以及贴现的赤字分布的显示表达。而对于更一般的离散时间延迟更新模型，文献中还没 有相关的研究成果。 本文主要研究普通离散时间更新模型的破产概率和赤字分布。利用文献中获得的关 于这两个破产量所满足的更新方程，我们获得了关于破产概率和赤字分布的各种形式的 上下界估计，补充了文献中关于离散时间更新风险模型的相关结果。本文主要结果的证 明思想借鉴了关于连续时间更新风险模型的相关结论，参见文献 2 9 一 3 2 】。 2 破产概率的上下界估计 2 1 引言 为讨论方便，我们将普通的离散时间更新风险模型的基本结构重述如下： 1 ) 索赔间隔时间 v i ；i n + 是独立同分布( f d ) 且取值于正整数的随机序列，具有 共同的概率函数( p f ) k ( t ) = p ( 巧= t ) 。到达任意时刻咒的索赔次数为 n ( n ) = m a x k ：k + 巧+ + 咒) 2 ) 个体索赔量 五：f + 是f f d 取值于正整数的随机序列，具有共同的 p f 厂( x ) = p ( 墨= 功，分布函数为，( 功= 1 一万( x ) 。假设 五：f + ) 与 k ：f + ) 是相 互独立的。 3 ) 保险公司到达时刻n 为止的资本剩余过程为 “1 u ( 刀) = u + n - 墨，z + i - - 1 这里u n 为保险公司的初始资本。 一4 一 辽宁师范大学硕士学位论文 对于上述普通的离散时间更新风险模型，令t = m i n 甩n + ：u o ) 0 为破产发生的 时间，则破产概率定义为 缈( “) = p t o d i u ( o ) = “) = p i n f u ( n ) y ，t u = 缈 ) 由文献 5 】知复合几何分布是d s n w u 的， 所以有 烈“+ y + 1 ) f o ( u ) e p ( y ) ( 2 6 ) 如果假设e ( r ) 2 办= 伊( ) 令工= o ，则有e ( s ) = 缈( ) ，所以 歹= o 妒( - ，) 兰三二竺二! 缈( “+ y + 1 ) 咖) 缈( y ) = 伊( “) 缈( y ) = 缈( “) e ( s ) j - - - u + l y = oy = oy - - - - o 所以 因此 缈( ) = e ( s ) 一缈( 歹) 烈“) e ( s ) j = u + l j = o h g o ( j ) “) = ( 1 - 4 ) 4 “g ( “) 令 ( “) = 1 一缈( “) = 1 一( 1 - 4 ) 4 川g ”( “) = ( 1 4 ) 4 g “( “) 由2 1 节的讨论知，三为s 的分布函数，似) 是s 的概率函数，且l ( o ) = l ( o ) = 1 一孝 所以有 p s = “) = 取) = ( 1 - 4 ) 4 g “( “) 对其取概率母函数，则有 y z g l ( z ) = z “z ) = e ( z 5 ) = 研z 智i n = n 】p = n = 兀e ( z 五) 】尸 = 咒) = ( 晚( z ) ) “孝“( 1 一善) = ( 1 - 嘱( 讹) 。2 丽1 - 4 因此， 南弛，= 南，嵩2 南 对( 2 5 ) 式取概率母函数，得 芝z 。万( “，y ) ：善o oz “壶万 一f ，y ) g ( f ) + 孝艺z “石 + y ) = 孝z v + t - f i ( v ，y ) g ( f ) + 孝z “石 + y ) = 善z ”万( v ，y ) z g o ) + 孝z “否( “+ y ) = 鼠( z ) z “万( “，y ) + 孝z “否( “+ y ) 即有 争矾川= 上1 - 露c ( z ) 争u - - o 痂训= 去弛) f o o 矾训 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 = 南如喹- 6 ( 训 ：丢争zz“争石(+y一(n_j 1声 - - , w 、7。 j 一5u = o j = o 因此 郦川= 去嘉矾俨硝 在上式中令y = 0 ，则有 缈( “) ：一h ( u ，o ) ：上1 窆石( “一川( n - e 一 7j = 0 所以 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 岳窆石( + y 棚幻) 妻矾+ y 嘲u ) 瓦卜霉赢磊2 蒜 一岛i = 0，= o 若g 是d - n w u 的，则有 万。( y ) 否( y ) 引理2 3 对于“n ，则有 妒( “+ y ) = 伊( “) 驴( y ) + 万( “，y 一，) z ( ，) 证明：为了记号上的方便，我, f r 4 , - z y 是具有支撑r + 且独立于s 的随机变量满足 p z y x ) = 筹胙 ( 2 ” 由上式容易知道， p z y = i 2 帮，f + ( 2 1 0 ) 于是由( 2 7 ) ， ( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 式，知 万( “，y ) = 伊 ) 万。 ) ：岳窆否( y ) 印y “一j p s = 办 = 掣 p z y + s u 州训 辽宁师范大学硕士学位论文 = 辔 尸 9 卅羔邓 u - - j p z y = 舻咖) 】 1 一与 i = 0 = 锷c 等+ 扣卅掣删， = 掣+ 禹扣卅舭护等笋 = 掣+ 志静u + y - 廊一掣字 旺 = 掣+ 巧u 渺+ y 妒m 一掣笋一上i - 孝蜘j = 1 妒m = 等笋+ 巧1m 小氟州) 】_ 学一巧蔷y 缈( u + y - m = 志咖协掣字一南喜缈c u + y - 加 眨 我们继续引入一个符号吮( y ) ：掣，由上式 矽l uj h ( u , y 却鳓= 南咖训一哗笋一南喜缈c u + y - 加 对于上式，左右两边同除以烈“) ，得 鳓= 志等一锷一上l - d j 壹j = l 等铲鲥， = 南删一管一老喜舳棚鲥， 整理，得 吮( y ) ( 1 一孝) 万。( y ) + 善y 吮( y 一歹) g u ) + 孝石( y ) ( 2 1 3 ) 对任意的函数口，用a ( s ) 代表其概率母函数，则由( 2 1 3 ) 式，得 柏邓咱赢( ) ，) + 兢郎) + 善兽 ( 2 1 4 ) 南于z f x l 为s 的概率函数，则由( 2 2 ) 式，得 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 如，= 专 ( 2 1 5 ) 现假设y 是一个独立于s 的随机变量且其为分布函数为日。( y ) ，即 h 。) = p v y ，假设y 的概率函数为v ( 石) ，则有 拍= 害 ( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 式，得 加，：一：掣 ：幽：一1 - 1 ( s ) + 掣轨 = 一= 一十一i i j - 1 一s1 一s1 一s 、。 反演( 2 1 7 ) 式中的概率母函数立知 吮( y ) ：缈( y ) + 羔万。( y 一( n 即有 伊( “+ y ) ：缈( “) 伊( y ) + 壹万( u ，y - - 胱n 推论2 4 对于“n ，若分布函数g 满足d - n w u 条件，则有 缈( “+ y ) 掣 ， 证明：由引理2 2 和引理2 3 即得。 2 3 破产概率的下界估计 定理2 5 对于“0 ，破产概率缈( “) 满足下面的下界估计 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 州嵩 证明：下界的证明很容易从缈是复合几何分布的尾分布的描述中得到。由于 缈( “) = z ( 1 一孝) 孝”g ( ) ， n = l 而 辽宁师范大学硕士学位论文 ，掣l + 吠2 + + 爿。嘶s ，v 1 z 时，v 2s 埘州。s 埘 即 g h ) g “ ) 则有 1 叫炉薹( 1 咱釉弋哪( 1 咱静g 獭) 焉 因此， 矽( “) 1 一旦：盟 一7 1 一筘 ) 1 一乒 ) 定理2 6 对于“0 ，破产概率纵“) 满足下面的下界估计 面( “) + 善2 争j = l 业1 - 参地g ( u - j ) ( 2 1 8 ) 证明：由定理2 5 ，对于j = 1 , 2 ，材一1 ，有 妒( “一胆两善g 丽( u 而- j ) 将它应用于( 2 2 ) 式，我们有 = 喀砌卅鲥m 矾脚2 嘉丽孝g ( u - j ) 坷 嵩+ 一 妒( “) = 孝否( “) + 善伊( “一 j ) g ( j 妒( “) = 孝g ( “) + 善伊( “一) + 善纵“ 户1 j = ；“ 由于伊递减，因此对于1 歹j u 以及j u j “分别有 v ( u - 1 ) 咖卅缈( 兰) ，伊( 兰) 砸卅则) = 孝 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 咖) 厢( 卅脚) g ( 兰) + 知( 弘( 旷g ( 螳，墨 缈 ) 甄石 ) + 妒 ) g ( 兰) + 缈( 兰) ( g ) 一g ( 兰) ) 州盟+ 塑塑竺垒 。 l 一笋( 等) ( i - 笋( 秒 对于“为奇数，将证明过程中的等换成 等 即可。 从上面的证明中，我们可以知道，更紧的界也可以建立起来。只要将上面的 姜】换 成1 ，2 硝3 w 中的任意自然数七，我们就能将( 2 2 0 ) 式变成 矽( “) = 善否( “) + 善伊 一歹) g ( ) + 孝咖一) g ( ，) 2 4 破产概率的上界估计 定理2 8对于u 0 ，假设e ( s ) ，g 有递减的密度函数，则破产概率矽 ) 满 足下面的上界估计 塑型生幽 ( 2 2 1 ) “+ 4 e ( s ) g ( u ) 证明：我们首先证明下面的结论成立：如果厂( x ) ，矗( x ) 在 口，6 上单调性相反，则 一 6 b 们) 一厂( 伽蚴一办( 朋 i = aj = a 不妨设在【口，6 】上厂( x ) 单调递增，办( x ) 单调递减。如果f 歹，则 f ( o 一u ) 0 办( d 一而o 辽宁师范大学硕士学位论文 因而结论成立。i 司理，若i _ ，结论仍然成立。另一方面 【朋) 一厂( 伽一| i z ( 歹) 】 = 厂( f ) | j i ( f ) + 厂( - ，) 办u ) 一厂( f ) 办( _ ，) 一厂u ) ( d o 则 厂( f ) 办( f ) + 厂( j ) 办( j ) 厂( f ) z ( j ) + 厂( 7 ) j 2 ( f ) 因此 2 ( b - a ) y 厂( 啪( f ) 2 厂( f ) ( ) = 2 厂( z ) j i l ( ) = 2 厂( f ) 】【五( f ) 所以我们有 萎厂( 渺( d 击 萎厂( 明 萋联明 以下，令彤) = 础一力，坳= g o 对于自变量j ，显然妒 一) 是递增的；又g 有递 减的密度函数g ( ) ，则g ( ) 是递减的，即f 和h 的单调性相反。 另外，由于g ( o ) = g ( o ) = o ，因此应用( 2 2 1 ) 式，有 喜咖卅鲥) 2 喜咖卅彻击嘉烈州) 砉删= 三g 砉咖棚 令u 一_ ，= f ，则有 扣，扣棚= 掣砉矧 因此 窆烈“一，) g ( ) 掣主烈，) 1 = l “ j - - o 以上结果代入( 2 2 ) 式， 州= 善喜出叫础m 矾膨掣喜砌) + c g ( 炉廊) + 半喜删 i l l j 有 咖) 辐矶) + 掣主砌) 】 ( 2 2 2 ) 再运用引理2 1 的结论，代入得 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 咖埘鳓+ 掣砉删矧硇) + 掣删l 一】) 9 ( “) 塑型螋哆 定理2 9 对于“0 ，假设e ( s ) o o ，g 有递减的密度函数，则破产概率烈“) 满 伊c“，4一g(“，+善29c“，+孝2雾蔓竺二若宁兰琴等；竺乏；姜掣c歹， c 2 2 3 ， 证明：由( 2 2 ) 式有 认“) = 善缈 一歹) g ( 歹) + 善石( 甜) = 善纵“一) g ( 歹) + 勿 一“) g ( “) + 善石( “) 整理，得 f o ( u ) = 善f o ( u - j ) g ( j ) + 4 2 9 ( “) + 4 g ( u ) “j ( 2 2 4 ) 由定理2 8 ，对于j = 1 , 2 ，“一1 有 加胚篙篙群 础) 孝艺坠喾警跫篡掣g ( ) + 翔甜) + 弦( “) 7、7 7 匀( “一j f ) + 乒( s ) g ( “一) 。”7 。、77、7 定理2 1 0 对于甜0 ，删2 e ( s ) o o ，g 有递减的密度函数，则破产概率烈“) 满 妒)孝c否，+蔓塾笔茎磐g。芝u，+善。g。幻一g。ju。，c225， 妒( “) 孝 g ( “) + 鱼_ 生，_ 一g ( ：】) + 善( g ( “) 一g ( ：】) ) 】 ( 2 ) 罢】+ 乒( s ) g ( 白 22 其中 等】表示等的整数部分。 妒( “) = 扣( “) + 善缈( “一) g ( _ ，) + 善缈( 扰一- j f ) g ( ，) ( 2 2 6 ) 户1 j = 1 辽宁师范大学硕士学位论文 由于9 递减，因此对于1 兰，兰 砧有 烈甜一1 ) 伊( “一) 缈( 等) ，烈等) 矽( “一) 缈( o ) = 孝 善烈“一1 ) g ( ) = 善2 烈甜一1 ) g ( ，) 善2 妒 一) g ( ) 孝2 矽【i u ) g ( 歹) ，= o，= l，= li = i z 勿( “) g ( 兰) 嘻缈似一歹) g ( 力勿( 争g ( 争 ( 2 2 7 ) 善童矿( 等) g ( ) 孝羔烈“一) g ( ) 孝主缈( o ) g ( ) 户；“。；“砖- - 知( 扣( 旷g ( 扣善辜? 叫) 刚) 彰 g ( 旷g ( 兰) 】 ( 2 2 8 ) 善否( 卅如( 扣兰) + 善2 ) _ g ( 兰) 】 伊( 罢) 量! 至! 量! ：竺! 兰! ! ! 薹1 2 罢+ 乒( s ) g ( 等 伊，一+参量一g。兰，+孝z。g，一g。jucg(u) ， 伊( “) + 善r _ 生j lg ( 兰) + 孝2 g ( “) 一g ( = ) 】 等+ 乒( s ) g ( 罢) 2一一 、2 “ 对于“为奇数，将证明过程中的薹换成 兰 即可。 离散更新模型破产概率及赤字的上下界估计 从上面的证明中，我们可以知道，更紧的界也可以建立起来。只要将上面的 兰】换 成1 , 2 j ，3 u 中的任意自然数k ，我们就能将( 2 2 0 ) 式变成 伊( “) = 孝g ( “) + 孝矽( “一，) g ( ) + 孝c p ( u - j ) g ( j ) 利用同样方法，我们可以得到上界，即 烈“) 善 g ( “) + 伊( x 一后) g ( 后) + 善( g ( “) 一g ( 七) ) 】 因此，对于任意正整数k ，其中l k u ，我们可以得到相应上界，即 缈c“，孝c否c“，+垒生二等言主兰姜芋；昙三琴妻掣gc后，+善cgc“，一gc后， 又上式与k 是独立的，则可以给出( 1 8 ) 式改进的上界，即 邮厕+ 恶 号臀嵩袢g 坝g - g ( 砌蟛 3 赤字分布的上下界估计 3 1 赤字分布的双边界 定理3 1 对于任意的甜，y 0 我们有 妒( “) 一善g