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区间数排序方法的新探讨 摘要 区间数的排序是不确定性多属性决策的基本问题，也是不确定性决策 分析的重要研究课题。本论文对区间数的排序进行了研究，主要工作以下： 1 指出基于区间关联系数的排序方法由于基准区间选取等原因，造成 有些区间数到基准区间的距离都是相同的，从而无法分辨这些区间数的优 先顺序。针对这一不是，提出了最大、最小参考区间数的概念，并以其作 为基准区间，提出了采用相对关联系数作为的刻画区问数优先顺序的排序 指标。 2 在新的距离测度的基础上，提出了一种新贴近度作为区间数的排序 指标。基于这一新贴近度对区间数排序与基于传统贴近度对区间数排序得 到的结果是一致，但是其分辨率更高。 3 指出目前一些区间数比较的可能度定义，对一些区间数比较的优劣 刻画不够细致，导致由其构建的模糊互补判断矩阵的一致性难以保证的不 足。为了克服这一不足，在比较两区间数优劣时，采用间接比较的思想， 即两区间数分别与同一参考区间进行比较。结合这一思想提出了一种新的 优先度概念，用于刻画区间数两两比较的优先度。新优先度定义，能在一 定程度上克服可能度定义的不足，减少区间数排序的误差。 关键词：多属性决策，区间数，排序 1 翻匣n e wr e s e a r c ho nr a n k d 呵g 匝 王o d so f d t t e r v a i 。n u m b e r s a b s t r a c t t h er a n k i n gm e t h o d so fi n t e r v a ln u m b e r sa r eo n eo ft h eb a s i cp r o b l e m si n u n c e r t a i nm u l t i p l ec r i t e r i a sd e c i s i o nm a k i n g a n di ti sa l s oa l li m p o r t a n tt o p i c o fu n c e r t a i nd e c i s i o na n a l y t i c n ep a p e rh a sm a d eas t u d yo ft h er a n k i n g m e t h o d so f i n t e r v a ln u m b e r s m a i n l yw o r k sa r cs h o w na sf o l l o w s ： 1 p o i n to u tt h a tt h er a n k i n gm e t h o d s ，w h i c hi sb a s e do ni n t e r v a lc o r r e l a t i v e c o e f f i c i e n t ，h a v et h es a m ed i s t a n c e sb e t w e e ns o m ei n t e r v a ln u m b e r sa n d c o m p a r i n gd a t u m , d u e d t ot h ec h o o s i n go fr e f e r e n c ei n t e r v a ln u m b e r sa n ds o m e o t h e rr e a s o n i tl e a d st ot h ef a c tt h em e t h o di sd i f f i c u l t yt od i s t i n g u i s ht h e s e i n t e r v a ln u m b e r s p o i n t e dt ot h i ss h o r t c o m i n g ，an e wc o n c e p ts o - c a l l e d “t h e b e s ta n dt h ew o r s tr e f e r e n c ei n t e r v a la sad a t u mi n t e r v a l sa r ep r o p o s a l a n d r e l a t i v ec o r r e l a t i v ec o e f f i c i e n ta sar a n k i n gi n d e xm e a s u r ei n t e r v a ln u m b e r s p r i o r i t yd e g r e ei sa l s ob r o u g h t i n 2 b a s e do nan e wd i s t a n c em e a s u r e ，an e ws i m i l a r i t yd e g r e ea sr a n k i n g i n d e xo fi n t e r v a ln u m b e r si sp r o p o s a l i n t e r v a ln u m b e r sp r i o r i t yr e l a t i o n s h i p e d u c e db yt h en e ws i m i l a r i t yd e g r e ea c c o r d sw i t ht h a to ft r a d i t i o n a ls i m i l a r i t y d e g r e e ，b u tt h en e ws i m i l a r i t yd e g r e eh a sb e t t e rd i s t i n g u i s ha b i l i t yt h a nt h eo l d o n e 3 p o i n to u tt h a tf o rs o m ei n t e r v a ln u m b e r s ，t h ep r i o r i t i e sm e a s u r e db ys 蛳e p o s s i b i l i t yd e g r e ed e f i n i t i o na r en o td e l i c a t ee n o u g h , a n dt h ec o n s i s t e n c yo ft h e f u = rc o m p l e m e n t a r ym a t r i xb u i l tb yt h e s ep o s s i b i l i t yd e g r e e sc a n n o tb e g u a r a n t e e d f o rc o v e r i n gt h es h o r t a g e s ，a ni n d i r e c tc o m p a r i n gi d e ai sa d o p t e d , n a m e l yc o m p a r i n gw i t l lt w oi n t e r v a ln u m b e r sb ym e a n so fc o m p a r i n gw i t ht h e s a m er e f e r e n c ei n t e r v a lr e s p e c t i v e l y c o m b i n i n gt h ei d e a , an e wc o n c e p to f p r i o r i t yd e g r e et om e a s u r eh o wo n ei n t e r v a ln u m b e ri ss u p e r i o rt oa n o t h e ri s b r o u g h ti n t h en e wd e f i n i t i o nc a l lo v e r c o m ep o s s i b i l i t yd e g r e e ss h o r t c o m i n g s a tac e r t a i ne x t e n ta n dr e d u c ee r r o r s k e y w o r d ：m u l t i p l ec r i t e r i a sd e c i s i o nm a k i n g , i n t e r v a ln u m b e r , r a n k i n g 广西大学学位论文原刨性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 亩q 年占月桫日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文盼规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间： 印p 时爱布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：纠廊导师签名：i e q 矽弋哕年彳月咱 墨问羲蜂序力 蝴新期l 骨 第一章绪论 1 1 选题的研究意义 在决策科学领域，多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和 方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中有着广泛的应用如：投资决策、 项目评估、工厂选址、投资招标、维修服务，产业发展顺序以及经济效益综合评价、 供应链管理、教师质量评定、干部选拔、产品改造和虚拟企业领域中合作伙伴的选择 等。在多属性决策方法决策中，其主要工作有两个方面，一是获取决策信息，包括各 方案在各属性下的评价值所构成的决策矩阵，各属性的权重信息二是决策方法，即 依据一定的结集方法对信息进行综合，根据综合的结果对方案进行择优、排序，为最 终决策提供依据在经典的多属性决策方法中，评价值和权重值都是确定的实数但 在实际应用中，由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，决策者对 事物的评定很难给出确定的数值作为评价值，而是通常以区间数的形式给出评价值的 可能取值范围，从而得到的决策矩阵是区间数决策矩阵，有时属性的权重信息也以区 间数的形式给出从而多属性决策问题通常转化为区间数的排序问题区间数不同于 实数，有自然的大小关系，因此需要借助一些方法才能进行排序，因此区间数的排序 问题具有十分重要的研究意义本文在总结和分析目前已有的成果基础上，拟从关联 度、贴近度和优先度等方面，探讨区间数捧序方法 1 2 国内外的研究现状 由于不确定性多属性决策问题通常转化为区间数的比较与排序，所以国内外学者都 十分注重对区间数排序方法的深入研究，取得了不少研究成果。从目前取得的成果来看， 国内外学者提出的区间数排序方法大致可以分成以下几类。 第一类是基于区间中点或者区间宽度的区间数排序方法。如y o u n g ”、m o o r e r 2 一、 曾文艺【4 】等人最初提出利用区间数的某一个端点或中点的数值，作为评判区间数优劣的 标准。这一标准描述如下： 设区间数a - - - 【口l , a ”】，占= p ，矿1 ，若满足以下两种情况之一，则称a 优于b ，记 为a b ， ( 1 ) 下a l + a v - b l + r b u ； ( 2 ) 下a t + a u = 下t t + b u ，且4 口一4 但从直观上有一l b ，故方法 的排序与直观判断不符 从( 3 - 3 ) 、( 3 - 4 ) 式，我们可以看出由于距离的非负性，选取的最优区间，对区间数 排序指标的大小产生直接影响若以最优区问【，= 【7 5 9 5 】为参考区间，则l i - 【6 5 ，9 5 】 与如- 【7 5 ，8 5 】到最优区间的距离相等，这样就没有办法把这两个区间数给区别开来 为了改进此排序方法，本文重新定义了最优参考区间和最劣参考区间，将最优参考区间 和最劣参考区间同时作为区间数比较的参考区间 3 2 最优参考区间和相对关联系数的概念 我们先讨论两个区间数的情形 定义3 3 设口= k ，扩】，6 = p ，b u 】是任意两个区间数，称肘= r m ，m 。】为区闻数 口= 【口，扩】，6 = b l ，】的最优参考区闻，其中 m ”= m a x a u , b ” ，膨= m 缸“，b u 。矿t b 、 肘”j ) 特别地，当m ”= m 时，射退化为实数，仍记为肘= 【材，m ”1 定理3 1 设口= 瞳，】，扫= 妒。b u 】是任意两个区间数，m = 【j i f 。m ”】为区间数 4 n l ，a ”1 ，6 = 陋，b u 】的最优参考区间，则m 4 ，m 6 证明先证m 4 ，只要证明4 工s 肘l , g “j i f ”由肘”的定义有s m ”，只需证明 a s m 即可 若 ，则的定义知n = 矿，= m i n a t - b u ，易知a 1 1 。， 若a = ，则的定义知“= m i n b u , ，扩 ，显然易知a ”n ” 综合知4 ，同理可证6 。 最优与最劣参考区间的定义可以知道，被比较的区间数应该会落在最优参考区间与 最劣参考区间之间的范围如果区间数与最优参考区间更接近，与最劣参考区间越远， 则该区问数越优，依据这种准则，定义相对关联系数作为度量区间数优劣的一个指标， 相对关联系数的定义为 定义3 5 设4 - - - - a l ，】，6 = 【矿，b u 】是两个区间数，m = 【膨，肘”】，= 【工，】分别 为区间数a = a l t 】，6 = 陋，b v 】的最优、最劣参考区间，则区间数口与6 的相对关联系 数分别为： l 口一i 一i m a i 兀。1 万矿 l b n i i 膨一6 l 5 币二丽 上述定义的相对关联系数具有以下性质： 性质3 1 兀，兀【- l l 】； 性质3 2 当4 = 肘时，兀= l ，扎= - 1 ； ， 当4 = 时，兀- - - - 1 ，兀= l ； 满足兀+ 万= 0 兀越靠近l ，表明区间数a 与最优参考区间的相对关联系数越大，区间数n 就越优； l l 曩湘囊o 序力唁啪新咐 越靠近l ，表明区间数a 与最劣参考区间的相对关联系数越大，区间数a 就越劣，劐通 过比较相对关联系数的大小就可以对两个区间数进行排序为了方便应用，将两个区间 数的相对关联系数推广到一组区间数的比较中，得到更一般化的基于相对关联系数的区 间数排序方法 3 3 基于相对关联系致的区同敦捧序方法 定义3 6 设4 ，= 时。】，f ej 为一组区间数，称肘- - - m l , m ”】为 区问敦组 q = 【砰。砰】的最优参考区间，其中 m 。2 警 衫 ，m = 警“印，彳j 、 膨。 7 ( 3 - 5 ) 定理3 3 设q = 时，彰】，i ej 为一组区间数，m - - m l , m ”】为区间数组q - - 4 。衫】， j f 的最优参考区间，则j i f 2 q ，i 毫j 证明任取七e i ，先证j i f 只要证q l a k s j l f ，a k u 肘。由肘。的定义有吒。s 肘”， 因此只需证明吼肘即可 若q ” 兀，则有托 兀，f ，k e j 证明由乃 乃，乃 托，f ，工t j 有 ! = 丝! 二! 丝= ! ，! 生：翌! 二! 丝二生! l a k - n i - i m - a # ! i m n i i m n l i m 一l 显然有行 芘 由此得出的一种新的区间数排序方法 设珥= r e ，衫】，i g ，为一组区间数，对该组区问数的排序按以下步骤进行： s e e p l 根据( 3 5 ) ，( 3 秭式确定最优，最劣参考区间膨= 【膨l , m ”】和- 【。n u s t e p 2 根据( 3 7 ) 式计算各区间数的相对关联系数z ，i ej 的大小 s t e p 3 依据托，j e ，值的大小对区间数组q ；【硭，】，i e ，进行排序 3 4 算倒 对于前面例1 ，四个区间数q = 【6 5 ，9 5 】，如= 【6 5 ，7 5 】，d 3 = 【7 5 ，8 5 1 ，口4 = 【5 ，9 】进行排 序，利用本法排序的过程如下 m e p l 根据( 3 - 5 ) ，( 3 - 6 ) 式确定最优、最劣参考区间 m = 【材l , m ”】= 【9 ，9 5 1 ， = 【，n ”】= 5 ，6 5 】 s t e p 2 根据( 3 - 7 ) 式计算各区间数的相对关联系数力，i e i ，1 = 1 , 2 , 3 ，4 托- o 3 4 2 ，携= _ o 3 4 2 ，为= 0 5 6 0 ，托= - o 6 1 0 s t e p 3 根据光的大小捧序的结果为：码 q 如 口4 消除了以( 3 2 ) 式作为排序指标时，q 和如无法排序的情况 ，1 | ，叫鼻碍【一e 尊唾嘴文 3 5 本章小绪 本章首先总结分析基于关联系数的区间数捧序方法的关键因素，在此基础上引进了 区间数组最优参考区间和最劣参考区间的概念，提出一种基于相对关联系数的区问数捧 序方法所提出的区间数排序方法能克服文献【3 3 】排序方法的某些的不足，而且计算工 作量小，算例结果表明所提出的排序方法是可行的 第四章基于新贴近度的区间数排序法 理想解法洲又称为t o p s i s ( t c c h n i q u ef o ro r d e rn 蜘b ys i m i l a r t yt oi d c 缸 s o l u t i o n ) 是一种较为有效的多属性决策方法这种方法通过构造正理想点和负理想点， 并用贴近度( 又称相似度) ，来衡量靠近正理想点和远离负理想点的程度，越靠近正理 想点同时远离负理想点的越优一般贴近度的定义口5 矧都是基于距离来定义的对于区 间数来说，常用的区间数距离有绝对距离、几何距离、p 距离、h a u s d o r f f 距离等文 献【2 6 】在改进文献【3 7 】距离的基础上提出了另一种距离测度t r a n 和d u c k s t e i ni 弼则提 出了一种新的区间数距离的测度，这一测度方法不仅考虑区间数两端点的距离，还将区 间内每一点的距离都考虑进去，这使得区间数的距离刻画更全面、细致，信息的利用率 大大提高，给区间数排序提供了一个有益的思路但该法定义的距离并不完全满足距离 的定义，对该距离测度进行修正后，可以得到一种新的距离测度，本文在此新距离的基 础上定义了一种新贴近度，并在此基础上提出一种一种区间数排序方法 4 1 区同致的距离 通常距离测度的定义为 定义4 1 p 司设e 是一个非空集合，v x , y ee ，若实数p 似) ，) 满足如下条件： 烈五力o ，且当尹似力= o 当且仅当x f f i y ； ( 参p ( 而y ) = p ( y ，； p ( 五y ) 茎p ( 五z ) + 户( z ，) ，) ，z e e ； 称p ( x , y ) 为x 与y 的距离 文献【2 6 】指出文献【3 7 】定义的距离，在区间数a 扩，a “】 b f f i b l , b u 】退化为实数时， 不满足e u c f i d 距离定义，并对其进行改进，提出了一种的区间数距离的新定义 定义4 2 嗍设4 = 【4 ，a ”】，b f b l , b ”】，令 d 2 ( 4 ，6 ) = 去【( 4 - b ) 2 一( d p - b u ) 2 】 称d 2 ，6 ) = 以2 ( 4 6 ) 为区间数a ，b 之间的距离 为了进一步度量区间数的差异t r a n 和d u e k s t e i n1 3 ”提出的区间数距离定义表述如 下： 定义4 3 t 3 s 设有两个区间数分别为4 = ，a ”】，b = b l , b “】，定义 d 2 ( a 沏：立立 【! 竿嘶”，6 ) = 丘丘 【! 二等+ 瓤 22 - = ( 二a l r 4 - a t 一b t + 2 b v ) 2 + ； 称d ( d ，6 ) = = 丽是区间数4 ，6 的距离 - a ) 】一 + y ( 矿一扩) 】 2 出匆 【( 一口) 2 + ( 铲一矿) 2 】 但是这一定义自身也存在不足之处，对任意的区间数4 ，b ，上述定义的距离并不满 足距离定义的条件，对任意的区间数a , b ，由a = 6d ( a ，6 ) = 0 ，但反过来 d ( a ，b ) = o ；口= 6 ，在a ，b 均为实数的情况下才成立其实区间数的意义来看，上限表 示决策者乐观的判断，下限表示决策者表示悲观判断，要衡量两区间数的a ，b 差异，应 该是乐观的判断和乐观判断比较，即a 的上限和b 的上限比，下限和下限比，对应点和 对应点和对应点比，最后把所有盼距离进行累加，但是上述公式中的比例系数x , y 不是 向一个数值，使得求得的距离不是对应的点，对这一定义进行改进，得到下列定义 定义4 “捌设有两个区间数分别为4 = 陋，】，扫= b l ，b u ，定义 = 虐f 华+ 舻。) 】一声芋+ x ( b u - 咖1 2 出 =二芷一鱼生乌2+土【矿一矿)一(be221 2 6 ) 】2侮1 )，、， 。 ，j、， 称d ( a ，b ) = 以2 0 ，6 ) 是区间数口，b 的距离 可以很容易验证( 4 - 1 ) 式满足距离定义的条件、条件 ，下面验证满足条件 设 a = a t , a ”】，b = b l , b ”】，c = p ，】为任意三个区间数，验证满足条件 ，即 d ( 4 c ) s a ( a ，+ d ( 以c ) 记以= l ( a l + a u ) + 顶- a l ) 也= 三缈+ 矿) + 砌”一矿) q = 三( c + ，) + 善( c u c l ) 舯廿挣由c a u c h y 不等式瓜磊腼4 以9 2 ( x ) d a d ( a ，c ) = s 辱i + 厍i = d ( a ，6 ) + d ( 6 ，c ) 故由( 4 1 ) 式定义的距离是区间数a ，b 之间的距离 当区间数a = 【4 ，】，6 = 渺，b v 】退化为实数时，定义4 4 就是欧几里德距离，这 与定义4 2 相同 4 2 基于新贴近度的区问数捧序方法 基于( 4 - 1 ) 式定义的区间数距离，结合第三章提出的最优参考区间和最劣参考区间采 用t o p s i s 的思想，我们给出一种新的区间数排序方法即区问数与最优参考区间的距 离越小，与最劣参考区间的距离越大，则该区间数越优设q = 【砰，彰】，i gj 为一组区 间数，对区间数进行排序步骤如下 s t e p l 根据( 3 - 5 ) ，( 3 6 ) 式确定最优参考区间m = 【肘l ，m “】与最劣参考区间 n = ，n ”】； s t e p 2 利用( 4 - 1 ) 式分别计算各区间数与最优参考区间、最劣参考区问的距离 d 2 ( a t ，m ) 幕l d 2 ( 4 i ，v ) ； s t e p 3 计算各区间数的贴近度 丘= 赢沥d z 两( a l , n 雨) 而，- 则 s t e p 4 根据最，i j 的大小对区间数进行捧序，j i 越大，则对应的区间数就越大 所提出的排序方法与传统的t o p s i s 方法嗍主要区别在 1 最优和最劣参考区间的选择不同； 2 采用的距离测度不同； 3 贴近度的计算公式不同，传统t o p s i s 采用的贴近度计算公式为 r i ，0 尊蜴【士曩4 t 论：t区问囊日序力哮的新蝈l 骨 啦= 瓦，旭j ) d ( q ，肘) + d ( 岛，) 。 下面证明当参考区间、距离测度一定的情况下，由降2 ) 式和( 4 _ 3 ) 式计算的贴近度得 到的区间数序关系是一致的 ( 1 ) 若口f = ，则由( 4 2 ) 牟d ( 4 - 3 ) 式均可得到e = q = o ，两种方法得到的序关系显然一致； ( 2 ) 若q ，则d 2 心，) o ，1 由( 4 - 2 ) 式可得 f 2 ，肘) + e d 2 “，聊气d 2 ，) 整理得 同理由( 4 - 3 ) 式可得 把陆5 玳入( 4 _ 4 ) 得 y d 2 ，n ) 9 0 ，则 即 两边对磁求导得 ( 4 - 4 ) 侮5 ) 等= 揣川 则最随着磁单调递增，综合( 1 ) ( 2 ) 知( 4 也) 和( 4 - 3 ) 得到的区间数序关系是一致的但( 4 - 2 ) 式的分辨率比( 4 3 ) 式更高 ( 4 7 ) 式两边再对求导可得 生互。兰l ! = 墼巡丝= 墼：2 ；垫二兰鱼坚= g = 堡塑 d 嘶2【( 1 一q ) 2 + 砰1 ，【( 1 一q ) 2 + 彳r 令鍪= o ，得喁= o 5 或1 压又由( 钙) 知嘶宣【o ，1 】，因此嘶= 0 5 当啦( o 5 d 时，苦 。，图像是上凹的 由睁6 ) 式，做出函数e 关于自变量珥的函数图像，如图4 1 所示 正 00 51 图4 1 函数五关于自变量q 的函数图像 从图像上看，当啦 o 5 时，图像是下凹的，当q 4 码 q 2 采用传统的t o p s i s 方法进行捧序，计算过程从上述s t e p2 开始如下 s t e p2 利用( 4 - 1 ) 式分别计算各区间数与最优参考区间、最劣参考区间的距离大小为 d 电，m ) = o 6 0 0d 魄，肠) = o 1 1 5d 地，膨) = 0 4 5 ld 瓴，m ) = 0 a 1 6 d ( q ，n ) = o 0 5 0d ( 吒，) = o 5 5 7d ( 吗，) = 0 2 0 7d 瓴，柳= o 2 8 8 s t e p3 采用伟3 ) 式计算贴近度结果为 q = o 0 7 8呸= 0 8 2 4吗= 0 3 1 6瓴= 0 4 0 9 - s t e p4 根据贴近度大小对区间数排序的结果也为 吒 4 4 吗 q 算例表明新贴近度对区间数进行排序的结果与传统的t o p s i s 方法排序结果相一致， 但从数据结果上看，新贴近度分辨率更好 4 a 本章小结 本章依据区间数距离铡度的新定义，结合第二章提出的区间数组的最优参考区间和 最劣参考区间，根据t o p s i s ，即与最优参考区间越接近，与最劣参考区间越远的区问 数越优的思想，提出了区间数的新贴近度，以其作为度量区间数优劣的捧序指标依据 该排序指标对区间数进行排序的结果与传统的t o p s 瑙方法排序结果相一致，但所提出 的排序方法具有较高的分辨率 第五章基于优先度的区间数排序方法 基于可能度 1 9 - 2 叼( 又称包含度、优势度等) 的区间数排序方法是目前使用比较广泛 的方法之一这一方法根据不同的可能度的定义刻画区问数a 优于b 的程度，在此基础 上建立区间数两两比较的模糊互补判断矩阵，再使用模糊互补判断矩阵的排序向量公式 求解出排序向量，以捧序向量作为区间数捧序的指标对区间数组进行捧序基于可能度 的排序方法是一种比较好的区间数排序方法，但该方法也存在一些不足：例如，对不相 交的区间数，某些可能度刻画不够细致，建立的模糊互补判断矩阵的一致性较差，从而 使得依据排序向量对区间数排序的合理性降低 为了克服这两个不足，本文在上一章距离定义的基础上，定义一种新的可能度在此 称为优先度，用以建立模糊互补判断矩阵，并在此基础上提出一种新的区间数摔序方法 s 1 模糊互补判断矩阵及其一致性 模糊互补判断矩阵采用两两比较的方法确定矩阵中的元袭，为了使得由此确定的矩 阵与人类决策思维的一致性吻合，不至于出现逻辑的混乱，模糊互补判断矩阵应该具有 某种一致性，即加性一致性或者乘性一致性，这模糊互补判断矩阵及其两种一致性的定 义分别为 定义s 1 嗍设矩阵r = ( 啊) 。，若o l ，则称震= ( _ ) 。是模糊判断矩阵 定义5 2 t 删设模糊判断矩阵r = ( 曙) 。，着 吩+ = l ，r u = o 5 则称r = ( ) 。为模糊互补判断矩阵 定义5 【蜘设模糊互补判断矩阵为尺= ( 嗜) 。，x t 于v i ，j , k e i ，i f l 2 , ，拜l ，i j ， 有 ，= 似飞一7 k ) + o 5 ( 5 1 ) 其中口孚，一般口= 孚，则称r = ( ，) 。具有加性一致性 定义$ 4 1 4 0 设模糊互补判断矩阵为r = ( 咕) 。，对于v i ， 七e ，i f l 2 , 。 l 且 i j k ，有 力岱 前 殂 啼 ，冒大葺啊曩士曹埽t 建i 走 盔搠鼻o 序力 的新时 则称r = ( 珞) 。具有乘性一致性 设，r = ( w l ，) r 是模糊互补判断矩阵矗= ( 龟) 。的律序向量，其中 m o f e ，m = l ，根据文献【4 l 】的结论，加性一致性模糊互补判断矩阵的排序向量 ，= ( w l ，w 2 ，m ) 7 的计算公式为： 嵋= 去喜 + 二1 一磊1 ，f e ， 其中口2 _ n - r 1 ，一般口= _ n - r 1 乘性一致性的模糊互补判断矩阵的排序向量w = ( m 。w 2 。嵋) 7 的计算公式嘲则为 m = 了一，f ej (5-4) 萎专叶 模糊互补判断矩阵对于不具有一致性的模糊互补判断矩阵，求出的排序向量与真实 值之间会存在误差，可以采用以下指标嗍来检验、度量其偏差程度 加性一致性e d = 杰l 喜【勺一似m 一) 一o 5 ) 】2 口孚，一般盯= 孚(5j5)ml i一j - 乘性一致性历= 佑私一嘲r ) l “ 若模糊互补判断矩阵满足加性一致性，则e d = o ，偏差越大，e d 越大，一般当 e d o 1 时，认为矩阵加性一致性偏差比较大； 若模糊互补判断矩阵满足乘性一致性，则一e d = o ，偏差越大，历越大，一般当 i 西 o 1 时，认为矩阵乘性一致性偏差比较大 5 2 基于可能度的区问数捧序方法 定义s 5 【1 明设区间数a 一- - a , a ”】，6 = 【6 ，】，则区问数a 2 b 的可能度p 2 功为r 加孙) = r a i n m a x 吭毫鲁t o ，l l ( 5 - 7 )- 达庆利，刘新旺闭利用模糊约束满意度，求解目标函数和约束条件的系数均为区间数的 线性规划问题时，给出了两个区间数排序的可能度为 丝 定义5 6 捌设区间数4 = 【4 ，】，b = b l , b u ，g u 区间数a b 的可能度p ( 4 为： p ( 4 = m a x ( o , b e - 可b t - + j a u i _ a f t - _ m 孑a x o , b u - a t ( 5 8 ) 徐泽水、达庆利【2 1 1 给出了两个区间数优劣比较的可能度定义为 定义5 7 1 2 1 设区间数a - - a t , a u ，b = b t - , 矿】，则区间数4 6 的可能度p ( 4 为： ( 1 ) 当4 、6 均为实数时，a 6 的可能度为： p = 诧：；： 佗) 当mb 不全均为实数时，a b 的可能度为： p ( 口 6 ) = m a x o , l m a x o , f ( 5 9 ) 文献已经证明( 5 - 7 ) 一( 5 - 9 ) 式是等价的 文献 2 2 1 贝i j 给出了另一种可能度公式的定义为 定义5 8 嘲设区间数4 = a t - , a ”】，b = b t - , 矿】，则区间数4 2 6 的可能度p ( 4 6 ) 为 p ( a 6 1 = 1 4 ”一b ”b ”一口4 一b 1a ”一b b ”一口 4 ”一4 。4 。一口扫”一b 。2b ”一b a ”一a a ”一b ” 1b ”一6 一b 2a ”一4 0 b ”2 口 6 6 的可能度p 为 ( 1 ) 当风b 均为实数时，称a 6 的可能度为 p 0 6 ) = ia b 三口= 6 2 0a 6 的可能度为 广1 夫孽日翼士尊q 盘嘲瞄e 棚l 濞葛力嘲寺新彝i 错 p ( a 6 1 = 当矗芝三时 当考b ub l 貉a u 1 由上述定义的可能度，可以证明满足下列结论成立 定理5 1 嗍设区间数4 - 【4 ，】，矗= 陟，b ”】，则 ( 1 ) 0 主p ( a 6 ) s l l ( 2 ) p ( a 6 ) = l ，当且仅当a 矿； ( 3 ) p ( a = o ，当且仅当b a ”i ( 缈p ( 4 坊+ p 伪 4 ) = 1 ，特别地当a = b 时，尹( 4 = n 5 ； 对于三个区间数4 、趴c ，若p 0 2 0 5 ，且p p c ) 2 0 5 ，则p 0 c ) 2 0 5 设q = r e ，砰】，f e ，为一组区间数，根据可能度定义所提出的区间数排序方法的一 般算法如下： s t y l 将区间数进行两两比较，利用( 5 - 7 卜( 5 1 1 ) 可能度公式求得相应的可能度，并简 记助= p ( a 1 2 a ) ，建立可能度矩阵p = ( n ) 。，由定理5 1 知矩阵尸；( 凡) 。为模糊互 补判断矩阵； s t e p 2 根据( 5 - 3 ) 计算矩阵的排序向量作为区间数的排序指标嵋，i 毫j ； s t e p3 按照排序指标m ，f ef 的大小对区间数进行排序 文献 1 9 - 2 3 定义的可能度存在的不足有： 1 ( 5 7 ) - ( 5 - 1 0 ) 定义的可能度对于不相交的区间数优先程度的刻画不够细致例如 4 t = 【8 ，9 1 ，吒= 【7 ，8 】，呜= 【6 7 】，q = 【5 ，6 】，上述定义的可能度为 p ( q a 2 ) f f i p 魄 码) = p ( q 码) = 1 但