（计算数学专业论文）几类约束矩阵方程及其最小秩解的研究.pdf

摘要 约束矩阵方程问题在结构设计、系统识别、自动控制理论、有限元、振动理论、线 性最优控制等领域中有着广泛的应用，至今已取得很多研究成果研究约束矩阵方程解 的秩的分布问题，对于丰富和完善约束矩阵方程理论有着极其重要的意义 本篇硕士论文主要研究以下两个问题： 问题i 给定矩阵a r p ”，b r 删，c r p ”，集合sgr “”，记 s = xx e s ，a x b = c ) ，肌= 埘娶。r & a n k ( x ) ， m 2 罂厂( 彳) ，s o - - x l x s ，r a n k ( x ) = 所) ( 1 ) 求m 、m 的值，及中元素的一般表达式； ( 2 ) 给定x r 雕一，求x s ，使得 i i 贾一x 0 = 哦i i 彳一彳。| | 问题i i ( 1 ) 给定矩阵定彳，b ，d c ”，记 s 2 = ( x ，】，) ix a + y b = d ，x ，y g c s c 职一) ， 求是中元素( x ，j ，) 的一般表达式及最佳逼近其中g c s c “”表示全体广义中心对称 矩阵的集合 ( 2 ) 给定矩阵a c “p ，b c 私“，d c ”，记 s = ( x ，】，) l 似一馏= d ，x c ”，】，c ”9 求s 中元素的最大、最小秩及最小秩元素的一般表示式 主要研究成果如下： ( 1 ) 对于问题i ，主要利用矩阵对的奇异值分解、商奇异值分解、矩阵分块、矩阵 结构、高斯消去法及秩的有关理论等得到了当s 分别为中心对称、反中心对称、对称、 双对称时，s 中元素的最大最小秩、& 中元素的般表达式及其最佳逼近 ( 2 ) 对于问题i i ，利用矩阵的广义奇异值分解、三矩阵的奇异值分解及有关秩的理 论得到了s 2 中元素( x ，y ) 的一般表达式及最佳逼近，s 3 中元素( x ，y ) 的最大、最小秩，及 其最小秩元素的一般表示式 关键词：矩阵方程；秩；奇异值分解；商奇异值分解；最佳逼近 a bs t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e mh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d ss u c ha s s t r u c t u r a ld e s i g n ，s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ，a u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y , f i n i t ee l e m e n t s ，v i b r a t i o n t h e o r y , a n dl i n e a ro p t i m a lc o n t r o la n ds oo n s o l v i n gc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n sf o rf i x e d r a n ks o l u t i o n sh a sg r e a ts i g n i f i c a n c et op e r f e c tt h et h e o r yo fc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n t h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r ec o n s i d e r e ds y s t e m a t i c a l l yi nt h i sm s t h e s i s ： p r o b l e mig i v e na r ，”，b r ”，c r g ，s r “”，l e t s = xx s ，a x b = c ，聊= i l l i n x 。r s a 础( x ) ， m = m x ；a 西x ，_ ( x ) ，s o - - x l x s ，r a n k ( x ) = m d e t e r m i n em , ma n dg i v et h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ee l e m e n t si ns oa n dt h eo p t i m a l a p p r o x i m a t i o nt oag i v e ne l e m e n t p r o b l e m ( 1 ) g i v e na ，b ，d c 脓p ，l e t 是= ( x ，y ) x a + y b = d ，x ，y g c s c “”) d e t e r m i n et h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ee l e m e n t si n a n dt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o nt oa g i v e ne l e m e n t w h e r eg c s c “”i sag e n e r a l i z e ds y m m e t r i cm a t r i c e ss e t ( 2 ) g i v e na c 肌。p ，b c 9 。”，d c 掰。”，l e t 墨- - ( x ，r ) f 趔一y b = d ，x ec 删，y ec 9 d e t e r m i n et h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n ko fe l e m e n t ( x ，即i n 墨w h e nt h er a n k r e a c h e st h em i n i m u m ，g i v et h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h ee l e m e n t s ( x ，y ) i n 墨 n l em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) f o rp r o b l e mi ，w h e nsi sc e n t r a ls y m m e t r y ，a n t i - c e n t r a ls y m m e t r y , s y m m e t r yo r b i s y m m e t r i cm a t r i xe t c ，t h em a x i m a lo rm i n i m a lr a n k o fe l e m e n txi nsa n dt h e r e p r e s e n t a t i o n so f t h ee l e m e n t si n s o i so b t a i n e db yu s i n gs i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n 、 q u o t i e n ts i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，m a t r i xp a r t i t i o n ，m a t r i xs t r u c t u r e ，g a u s s i a n e l i m i n a t i o na n dr e l e v a n tt h e o r i e so fr a n k t h eo p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o nt oag i v e n e l e m e n ti so b t a i n e d ( 2 ) f o rp r o b l e mi i ，b ym a i n l yu s i n gt h eq u o t i e n ts i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，t h e r e s t r i c t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( r s v d ) ，t h er a n ki n e q u a l i t i e s ，w eo b t a i nt h eg e n e r a l e x p r e s s i o no fe l e m e n tx ，yi n 是a n dt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o nf o rag i v e ne l e m e n t t h e m a x i m a la n dm i n i m a lr a n k sx ，yi n s ja n dt h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ee l e m e n t si ns o a r e o b t a i n e d k e y w o r d s ：m a t r i xe q u a t i o n ；r a n k ；s i n g u l a r - v a l u ed e c o m p o s i t i o n ；q u o t i e n ts i n g u l a r - v a l u ed e c o m p o s i t i o n ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：钟点宏 日期：加f d 年1 - , 9 矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：钟志- 宏 日期：知o 年岁月7 日 导师签名：穹镪日期：加o 年j 月少日 第一章绪论 1 1 课题研究背景 约束矩阵方程是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解不同的约 束矩阵集合，或不同的矩阵方程，就得到不同的约束矩阵方程问题 约束矩阵方程广泛应用于系统工程、系统参数识别、自动控制、统计学、经济学、 网络规划、土木工程、振动理论、结构设计、主成分分析，勘测，遥感、生物学、电学、 分子光谱学、固体力学、结构动力学、振动理论、循环理论，线性规划与非线性规划理 论、有限元、线形最优控制等【l 一0 1 ，研究约束矩阵方程解的秩及定秩解问题，对于丰富 和完善约束矩阵方程理论有极其重要的意义矩阵方程最大秩解的问题【3 】1 3 1 已成功地应 用于大系统的固定模与分散控制问题的研究中。矩阵方程最小秩解【】3 】也广泛应用于广义 系统中的脉冲膜的消除，特征结构配置问题与动态阶配置问题中，且此类问题的研究对 矩阵理论本身也是有重要意义的 至今，约束矩阵方程问题涉及的约束集合类主要有( 次、反、中心、双) 对称矩阵、 ( 非) 对称半正定矩阵、正交( 对称) 矩阵、非负矩阵、三对角矩阵、中心( 反) 对称 矩阵、t o e p l i t z 矩阵、h e s s e nb e 培矩阵、j a c o b i 矩阵等，( 反) 自反矩阵、对称次反对称 矩阵、( 半) 正定矩阵、可对称化矩阵、广义对称矩阵等谢冬秀2 1 、周富照【3 1 、张磊【4 l 、 胡锡判5 1 、彭振赞 6 1 、廖安平【7 1 、邓远北【8 1 、张忠志【9 1 等在文献中对约束矩阵方程问题 有深入研究线性矩阵方程的一般解、约束解及其最佳逼近有大量研究见文【2 6 4 2 】。 有关矩阵秩的方面，x i exk 【1 1 、张国山，张庆灵运用有关秩的等式研究了矩阵束 a + b k c 最小、大秩，矩阵方程的定秩解及最佳逼近方面取得了不少成果3 0 4 们y o n g g e t i a n 2 1 - 2 2 用广义逆等方法解决了矩阵表达式4 一日五c l 一岛t c 2 、a b x c 、三对角块 矩阵、矩阵d - c g b 、s c h u r 补的最大最小秩问题等q i n g w e nw a n g 3 4 】研究了四元数矩 阵方程极小范数解的秩，y o n g h u il i u 3 1 - 3 2 1 研究了矩阵方程a x b = c 的最小二乘解的最大、 最小秩及矩阵方程a r c + y b = c 的一般解的秩问题，c e c i l i ar o s a r i of e r n a n d e z 、 p e r d i g a 0 1 4 0 给出了矩阵的最小秩及等价类图；x i a nz h a n g ，c h e nm e i y u 4 3 给出了线性矩 阵方程翻7 ；b 、方程组a x a ：胎，c x c = d d + 的对称正定最大最小秩解，林玲【2 6 。2 7 】 用商奇异值分解等方法讨论了一类逆特征值及最小二乘问题的定秩解、矩阵方程 a x ：召的定秩解及最佳逼近；刘瑞娟，周富照【2 9 】研究了几类约束矩阵方程的定秩解 问题，得到了矩阵方程从= b 的中心对称、对称、双对称最小秩解、a x a7 1 = b 的一般、 对称、中心对称定秩解的结论等。更多相关文献见【2 “7 1 但现有文献对更多约束矩阵方程还未涉及到如何进一步求解集合有关秩的问题，特 殊解的定秩问题及其最佳逼近问题这些仍有待我们进一步研究，使这类问题更加系统， 更加完善 1 2 主要工作 本硕士论文主要针对以下问题进行研究： 问题i 给定矩阵彳r 胛，b r 删，c r p 。q ，集合s 三r “”，记 s = x i x s ，脚= c ) ，册= n ：l i n 硒r a 础( x ) ， m 2 暇，( x ) ，s o = x l x s ，r a n k ( x ) = m ( 1 ) 求m 、m 及品中元素的表达式； ( 2 ) 给定x r 一一，求x s o ，使得 0 j x 0 = 豫i | x x 0 问题( 1 ) 给定彳，b ，d c “p ，集合s c “”记 s 2 = ( x ，即lx a + 晒= d ，x ，y g c s c “”) 求是非空条件、其中元素( x ，】，) 的表达式和最佳逼近 ( 2 ) 给定矩阵a c ”，b c 删，d c “”，记 墨= ( x ，】，) i 魃一馏= d ，x c p ”，】，c m 。q 求其元素的最大、最小秩，及最小秩元素的一般表达式 本文第二、三章讨论问题i ，利用奇异值分解、矩阵对的商奇异值分解、高斯消去、 有关秩的理论研究了当集合s 分别为中心对称、反中心对称、对称、双对称、广义对称 矩阵时，集合s 中元素x 的最大秩、最小秩，以及最小秩元素的表达式 第四章讨论问题i i ，第一节利用有关引理及矩阵对的广义奇异值分解、商奇异值分 解、矩阵结构、高斯消去法等研究了岛非空的充要条件、其元素( x ，y ) 的一般表示及最 佳逼近问题并给出了求解算法和算例，第二节利用三矩阵的奇异值分解及有关秩的理论 研究了集合s 3 中元素( x ，y ) 的最大秩、最小秩，以及最小秩元素的一般表达式 2 1 3 符号定义 i n q 最 彳r 彳+ r ( a ) 尺( 彳) 【x 】 i i 1 l r ”埘 歙“” c s 对” 爿c i 欢“” ( ) 足” b s 对” c 棚 船阶单位矩阵 ，l 阶单位矩阵的第i 列 刀阶反序单位矩阵 矩阵么的转置 矩阵彳的m o o r e p e n r o s e 广义逆 矩阵4 的秩 矩阵彳的值域( 列空间) 不大于x 的最大整数 空集 矩阵f r o b e n i u s 范数 全体m x n 实矩阵的集合 全体，z 以实对称矩阵的集合 全体n xn 实中心对称矩阵的集合 全体n x 刀实反中心对称矩阵的集合 全体m x ，l 实正交矩阵的集合 全体1 1 甩实双对称矩阵的集合 全体m x n 复矩阵的集合 第二章矩阵方程a x b = c 的中心对称类定秩解及其 最佳逼近 对于矩阵方程允r = b 、a x a 7 = b 的最大、最小秩解问题、最小二乘定秩屠竿f q 趑已分别 在文献【2 4 】、 2 9 】、【3 3 】中给出了很好的结果但对于矩阵方程似b = c 的定秩解问题很少讨 论，本章将继续文献【3 3 】的工作，在几个不同矩阵类约束条件下，i , - t i 仓其r x r d 、秩解问题第 一节讨论矩阵方程a x b = c 的中心对称定秩解及最小秩解的最佳逼近；第二节讨论其反中心 对称定秩解问题描述如下： 问题2 1 给定么r p 一，b r 嗍，c r 朋，ssr “刀，记： s = xi x e s ，似b = c ，册= n f i n x ；r s a n k ( x ) ， m = n j l 。a s x ，( x ) ，s o = x i x s ，r a n k ( x ) = m ( 1 ) 求集合s 非空的充要条件及其元素的一般形式； ( 2 ) 求m ，m 及s o 中元素的表达形式 问题2 2 给定x r 删，求j s o ，使得 l i 贾一彳。9 = 熙l | z x 8 本章将用到如下引理： 引理2 1 【1 8 1 矩阵x c s r “一的充分必要条件是x 可表示为 x = 蛾( 舌曼 风，x 1 e r ( - k ) x ( - t ) , 五“，七= t 州2 ， 引理2 2 口z r l 矩阵x a c s r 删的充分必要条件是可表示为 a i = = j ，_ ( ? ：。吾 j 鼍- ，x 1 r ( n - k ) k , a j ：e ；尺。x ( n t ) 当刀= 2 k 时， 巩= 撒甜 当刀= 2 k + l 时， ( ik 0 s t 、 卧挑弩对 弓i x2 3 3 9 设m ( = 眭之l 4 z 删是已给的州, s 2x t , s 2 t 2 的矩 阵，墨，是置t 2 的任意矩阵，则： 4 警州c 剐，= 碰n “纠悔蚴蝎) 此时 五：= 置：+ 4 。颤4 ：+ 4 。丘。v + w e 4 2 ，4 2 ( 2 ) 哮叫( 引一州锄叫 此时 五z = 4 t 如a 2 2 + 4 。y + 吼。4 2 其中矿，w 是任意矩阵，毫：满足 ，( 毫2 ) = m j n r ( e g ) ，( 日) = 州( 钔一，唑) ，2 + 能。一( 纠) g = 4 ，丘。，h = 。2 ( 3 ) 1 3 0 1 若矩阵d r m x m 分块为 。= l m ：p gm g 则 m a x r ( d ) = m i n m ，m + p - q 其中a ，b ，c 均仟取 2 1 当s 为中心对称矩阵集合时问题2 1 、2 2 的解 定姐1 1 设x = ( ) r ，若x 的元素满足 勃= 毛+ l 一，l + i - j ( 而2 一矗+ h j l + i ，) ，( i 、j 2l ，n ) 则称x 为中心对称矩阵( 反中心对称矩阵所有n 阶( 反) 中心对称矩阵的全体记为c s r “ ( a c s r “”) 记 彳风= ( 4 ，4 ) ，圮曰= ( 主) ( 2 - ) 其中 4 r ，( 月一，4er v ，骂r ( 脯) ”，垦er ，七= e - t 1 据引理2 1 ，求彳c s r 删使集合s 非空，等价于求五r ( n - k ) x ( n - k ) 五r k x k , 使 4 x i 骂+ 4 砭垦= c( 2 1 2 ) 成立 令 f ( 墨，置) = 4 x 1 且+ 4 彳2 垦一c ， 则显然有： 方程( 2 1 2 ) 有解铮m 秽i n r 州( f 州( x ，秽t , x 2 ) ) = 设矩阵对【4 ，4 】， 届7 ，岛r 的商奇异值分解分别为： 4 = m z u7 ，4 = m z 呜矿7 ，群= 岛尸r ，霹= n z 岛o r ( 2 1 3 ) 其中m 、n 分别为p 阶、q 阶可逆矩阵， u 、尸是( n - k ) 阶正交阵，y 、q 是k 阶正交阵 耻 0 一墨 其中，懿= d i a g ( a l ，a 2 ，) o ，黾= a z a g ( b , ，6 2 ，吒) 0 ，九，么，如，为 相应阶数的单位矩阵 令 = ，( 4 ，4 ) ，乞= ，( 骂7 ，垦7 ) ，：1 = l 一，( 4 ) ，屹= 乞一r ( b z ) ， 焉= r ( a ) + r ( a d f l 是= r ( 骂) + r ( b z ) 一，2 将u r 五尸、y r x 2 q 、m 一1 c n 一7 分别分块为 【，r 五p = ( ) ，3 ，v r 五q = ( 巧) ，x 3 ，m 一1 c n 一7 = ( q ) ，。， ( 2 1 4 ) 五l ，x l ，c l l r 1 “，五2 ，砭2 ，c 2 2 r 黾“，墨3 ，匕3 ，c 3 3 r 产1 一而脚- - 纠 定理2 1s = c s r 肼“时，s 非空的充分必要条件是： c 1 3 = 0 ，c 3 l = 0 此时s 中元素可表示为 其中 x = 圮跏 6 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) j 蕾 旷 胪 o o 墨o o 吒 么o o m ， 、 = 肛 如 ! 。 1 墨 一 叫 p l、，一十 0 0 么七 黾 一 0 0 o ，。一一 l i 4 z r 屯 r 乞 2 g 、，一 叱叫乩mo o 是 么o o q ，11 q 岛 乞 p 吃是 一、 ：叫刊 0 k o 吃 墨= u 篓差耋 ，置：y 季巴芦乏c c 芝2 2 - x 2 ：，鹾，篓 纪 ， 这里五。，五：，五，置。，五：，也。，一，e ，e 。，e ：，e ，是任意矩阵 证明：将( 2 1 3 ) 代入f ( 五，置) 得 f ( 五，x 2 ) = m z 4 u r x l p 三r + m z 鸣v 7 x 2 q z r n r c = m ( u7 x l 尸夏+ 如v 7 x 2 q 夏一m 刁c n 刁) 矿 由m 、n 的可逆性及( 2 1 4 ) 式可得 ，( f ( 五，五) ) = ，( u r x 。尸夏+ v7 x 2 q 乏一m 。1 c n 寸) f ，x 。一c ；。砭一q = ，1 只：e 。一g 。，如+ 蜀：一 l 。一q 由，巧( f = l ，2 ，3 ) 的任意性知 当且仅当 m i n r ( f ( x ) ) = 0 只一 q ，屹一g 瓦一g c l s2 0 , g = o ，k - 2c l ，x z = c l ：，e = 蹦c 2 t ，y 2 2 = s 二j ( c 2 ：一五：) ， x 2 3 = c 2 3 ，墨2 = c 3 2 ，也3 = c 3 3 将( 2 1 8 ) 代入( 2 1 4 ) ，结合引理2 1 1 ，可得s 非空，且s 中元素的 ( 2 1 8 ) 表达形式为( 2 1 6 ) 、 ( 2 1 7 ) 式，证毕 定理2 1 2 当s = c s r “时，若集合s 非空，则s 中的元素x 的最小、最大秩分别为 其中 肌御州耻r ( c 3 ，c 3 2 ) + 倒叫咖( c l 。+ ，陋 m = m a x r ( x ) = m i n n ，a ，b ) ， x e & l 一，( g 。) ) 口= 2 刀一p g + ，c 墨，+ ，c 岛，+ ，( 4 ，4 ) 一，c 群，霹，一，c 4 ，一，一c 4 ，+ ，( 芝：) + ，( 皂：) b = 2 n - p - q 一，( 届) 一，( 岛) 一，( 彳，) + ，( 矸，磅) + ，( 4 ) + 厂( 4 ) + ，( c 3 ，c 3 2 ) 4 - 厂( c l 。，c 。：) 且s o 中元素可表示为式( 2 1 6 ) ， 其中 7 ，o 五= u l0 1 0 0 ) 1个 c 2 3i 尸7 ，x 2 = v 1 j t - - - 3 3 ) c l ： 蹦( c 2 ：一置z ) 蹦 0 ( 2 1 9 ) 置：任取 证明：由( 2 1 7 ) 中凡，匕的任意性，故当墨。，五：，五。，五。，五：，托。，墨，e 。，巧。，匕：，e 。都 取零矩阵 x = 亿 = h n 记 则 五的秩达到最小此时 o o 1 寸 经适当行列变换以后可化为 由引理2 3 知 m 工。i ，_ n ，c c ，= ，( 3 f ，c l 。 y is 2 q 。 l o c 毒= o c l ：吲 剐( q ：一五：) 蹦 0 o c 1 2 c 2 ：一五： 0 c 2 2 m 而i ，巧n ，( x ) = m i ，n ，( c ) ， f ，g ， 0 、11 0 c l ：川巴。 10 8 2 c 2 ：一五：j fr 一，l 3 f 0 h ， 州峨 。托o s o 如 、o 0 g z 0 0 o ，_ 时 u o 。o蹦o ，o o ，。一 矿 0 3 3 o q g o o 0 q e 0 ，。l o o o 0 o o ，。一 0 o ， o o 蹦o ，o o ，。l 矿 u o 丝 o o 硝 2 2 q o t o o o q g o o 3 3 岛o o o o ，f-_-_一 2 0 g o 0 ，。_ c 、 o g 一、， 0 q o q 2g o o q 此时 = ，( c 3 ，c 3 ：) 其中y ，形是 + ，( c l l , + 倒+ ，眨) _ ，( c 3 3 ) 一，( c 1 1 ) c 2 ：! 置：) = 4 。如4 ：+ 4 。吒矿+ 吼。4 ：， 三： ，4 。= ( 3 三。) ，4 ：= ( 2 乏) 由引艘3 得c 幸的最大秩r 为 ，= 警们) _ 幽 ，( 设 一t 倒 l 0 l l k ， 2 l 0 i i e ， 由( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 式则 由引理2 3 知 + 2 ，( 4 l4 2 ) + 2 毛) + ，( 芑： + 2 ，( c 3 ，c 3 ：) + ，( g 。，c l ：) + 2 而 c 2 。， ，乙 ( x l 3 2 lo 一，暖 五2 o 17 一f ，0 0 y 3 2 黾j 一3 一l e 。 m j 。a s x ，( x ) = t + r n i n n 一，刀一t + n p q 墨一是+ r ) = r a i n 以，2 玎一p q - - s i j 2 + f ) 结合( 2 1 1 0 ) ，定理得证 此时记 则 其中满足 靠= ( 专2 0 ) i c 2 ：一置：j k = 矗+ 4 。肖4 2 + 4 。以。v + w e 如。4 2 g = 4 死，h = 瓯。4 ： 9 4 4 、， 0 匕 0 鼍。疋o 、一、 互乙 2 1 2 问题2 1 2 的解 解集合s 中，只有最小秩解集合& 是一个闭凸集，则问题i i 必存在唯一最佳逼近解 将见肖只、u 7 墨。p 、v r 置：9 分别分块为： 乜x 。( 元) ：u7 1 置- 尸= ( ) ，y 7 丘：g = ( 巧) ，。， 其中置- r 押以砖。，丘：r 脚，后= 争，葛阶数同q 定理2 1 3 若条件( 2 1 5 ) 式成立，则问题2 2 存在唯一解j ，贾可表示为( 2 1 6 ) 其中 ，o oo1 f c l t c l ：吲o 五= u l0 疋g ，i 尸7 ，五= 矿i 剐c 2 。砭0 l q ( 2 1 1 2 ) t , oc 3 zg ，j i o0 0 j 证明：由于以，u ，v ，只q 均为正交矩阵，且圻1 = 乜，根据正交矩阵对f l r o b e i l i u s 范数的 不变性和范数基本性质，对x s o 由式( 2 1 6 ) ( 2 1 1 1 ) 得： o x 一0 2 = 0 亿( 孝羔) 乜一r l | 2 = i l l ：。2 ) 一以x 以f | 2 = 心1 轰h m 。u 2 帆u 2 慨u 2 惦埘 故 怯一别2 = 烯l j 2 + 0 矗j | 2 + | j 矗j j 2 + 悴。j 1 2 + 0 五2 一疋1 1 2 + 峙一毛j | 2 + 峪| | 2 + 恢一矗| | 2 + b 一瓦j j 2 m i n l l x 2 一如i | 2 铮吲( g ：一五：) 蹦= 砭 将( 2 1 1 3 ) ( 2 。1 1 4 ) 式代入( 2 1 1 1 ) 式即得( 2 1 1 2 ) ，证毕 数值算法： ( 1 ) 输入矩阵彳，b ，c 按式( 2 1 4 ) 计算得q ，g ，； ( 2 ) 若满足条件( 2 1 5 ) ，转第( 3 ) 步，否则，问题i 和问题i i 无解： ( 3 ) 根据式( 2 1 3 ) 计算矩阵对 4 ，4 】， 尽7 ，岛r 的商奇异值分解， 问题i 的解； ( 4 ) 输入矩阵r + ： l o ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 代入式( 2 1 7 ) 即得 砭 一一 胪0 一 置 蓦 理同 ( 5 ) 将以x 乜、u ，置。p 按( 2 1 1 1 ) 分块得e ， ( 6 ) 按式( 2 1 6 ) 、 ( 2 1 1 2 ) 求得问题i i 的解 数值实例略 当b ：a r 时，为以上问题的特解，见文 2 2 】 2 2 当s 为反中心对称矩阵集合时问题2 1 、2 2 的解 采用2 1 中的记号，则有 定理2 2 1 给定a r p ”，b r 嗍，c r 刖，当s = a c s r “”时s 非空的充要条件是： c 4 广0 ，g 4 = o i ，= 1 ，。4 ，c l l = 0 ，c 3 3 = 0 当式( 2 2 1 ) 成立时，其元素可以表示为 x = 见( ! ：讲 其中 f 墨：c l ：c l ，1f ，墨p耀嚣 五= u i 墨1 ) 墨? g ，i f t9 五= v lc 2 。 ( c 2 ：一麟黝人。1 墨； i 墨：墨?捌 j【c 3 。 c 3 ：人1巧； 式中研：，墨：，墨? ，雹乳w ；，x t t ，碟，曩：，墨? ，曩 是任意对应阶数矩阵 程 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) e r ( 2 2 3 ) 证明：由引理2 3 可知，若s 非空，则其元素可表示为式( 2 2 2 ) ，其中五和五满足方 4 五骂+ 4 五岛= c 将( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 代入式( 2 2 4 ) 可得： 礤x t 3 0 1 碟茹掣蚓。l - - ( c o ) 0 0 。 墨；人 4 “ 000j 比较式( 2 2 5 ) 的两端得式( 2 2 1 ) 成立并且此时 碟= g ：，硝= c l 。，墨：= c 2 ，墨 = s - l g ， 墨；) - c 3 。，墨尹= c 3 ：人，墨尹= ( c 2 ：一跚? ) 人一， 墨? r 即是，研：，墨1 ) ，墨 ，墨；，研扎耀，碟，霹：，墨? ，墨 为任意矩阵 故s 的元素可以表示为式( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 的形式 反过来，若式( 2 2 1 ) 成立，取 l l ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 0雹墨0 ，。l f ，0c 1 2g ，1f ，0 001 五= u l 00 s - l c 2 ，l f r , 五= vjc 2 l ( c 2 2 一渊? ) 人1 0 l e r ( 2 2 6 ) 1 0 0 0 jic 3 。g 2 人_g 3 j ，0 c 1 2 g ，0 1 脚础匕舻嘲州辑m 旧乏刮儿c l l0 000j u r m o f ，v r 厶e 分块分别为： ( 坞) ，( 乞) ， 记k 表示为( 2 2 2 ) ，其中五r ( 柑) ，五r k ( n - k ) , k = 【刍 历= m 肖。i 函n r ( x ) = r ( ( j ：，c 。，+ ，( 乏) 一，c g ，+ ，( ( j ：，c ：，+ ，( 芝：) 一，c ( 毛。， m 2 麟r ( x ) = m i n n ，口，6 ) ， 口= 2 刀一p g + ，c 且，+ ，c 垦，+ ，( 4 ，4 ) 一，c 群，霹，一，c 4 ，一，c 4 ，+ ，( 罢曼 + ，( 芝：) ， 6 = 2 n pq，( 垦) 一，( 岛) 一，( 4 ，a 2 ) + r ( b r ，霹) + ，( 4 ) + ，( 4 ) + ，( c 1 2 ，c 1 3 ) + ，( c 3 2 ，c 2 3 ) s o 中元素可表示为式( 2 2 2 ) ，其中五、五如式( 2 2 6 ) ，墨? 任取。 ( 2 ) 若么致和风b 如式( 2 1 1 ) 所示，矩阵对 4 ，4 】， 蜀r ，垦7 】的商奇异值分解如式 ( 2 1 3 ) 所示，且条件( 2 2 1 ) 式成立，则问题i i 存在唯一最佳逼近解j j 可表示为( 2 2 2 ) f ，m 。c l ：c l ，1f ，厶 厶： 厶，1 五- - u i 鸠l x 2 2s - i c 2 3i f r ，置= y lc 2 。砭 厶。i e r 坞。坞：坞，ji c 3 。c 3 ：人。1 厶。j 1 2 第三章矩阵方程a x b = c 的对称类定秩解 利用奇异值分解及商奇异值分解，本章第一节讨论矩阵方程a x b = c 的对称最小、最大秩 解及最小秩解；第二节讨论其双对称定秩解第三节讨论了广义对称定秩解，给出了最小秩 解的记 a x b = c ( 3 1 1 ) 引理3 1 3 5 】给定a r p 一，b r 州，则存在实正交矩阵u o r p ，m o r 嗍及非奇 异矩阵v r q 。q ，使得 a = u z 4 m r ，b = m z b v 7 ，( 3 1 2 ) 其中 ilr 邑2 l 三 ， 七= ，( 彳b ) r ，= 七一，- ( b ) ，s = ，- ( 彳) + ，( b ) 一k ，= d i a g ( q ，吒) o 用引理3 1 中u ，m ，v 对u7 c v 、m7 x m 分别分块为c ：f ，、 ( 3 1 4 ) 引理3 2 1 2 7 1 ( 1 ) a b s r 删的充分必要条件为 a = 最么最，a = a 7 ( 2 ) 若x b s r ，则x 可表示为式( 2 1 1 ) 其中五，墨s r 奴； 3 1 当s 为对称集合时问题2 1 、2 2 的解 定理3 1 1 若矩阵么，b 的商奇异值分解如( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 式，u 7 c v ，m r x m 按 ( 3 1 4 ) 式进行分块，则集合s 非空的充分必要条件是 q ，= 0 ，c 2 。= 0 ，c 3 。= 0 ，c 3 ：= 0 ，c 3 ，= 0 ，墨1 c 2 2 是对称阵 ( 3 1 5 ) 此时，s 中元素x 可表示为 f ，五。 c l ： 憎。器r ly ty r 。1 4 2 4 其中，五。，置，乩为任意对称阵， 证明将( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 代入 五。，五。，五。为任意阵 1 3 ( 3 1 6 ) 3 p j一 七 r s 厂 一 一 挖 后 、llrj吖 q r o 0 _ o 七 0 l o o s后 0 0 o 0 一 = + 口 g s r s 厂一 p 七 o o 0 ” o 0 o rso & o 七 m 4 4 4 4k 如比如粥如霸 j 。( 义) = c a x b = c u _ m7 x m z 占v r = u ( u r c v 一一m7 x m z 占) y r 故 ，( f ( x ) ) = r ( u 1 c v 一爿m 。x m z b ) ( 3 1 7 ) 将( 3 1 4 ) 式代入计算得 f ，c l 。 c l ：一五：c l ，一五，、l “旷舢沪，b - c 3 s ：2 如- c 3 s ，2 如j 叫) q + r k sk r - s 易见集合s 非空必须且仅须 c l 。= 0 ，c 2 l = 0 ，c 3 l = 0 ，c 3 2 = 0 ，c 3 3 = 0 ， 此时 五：= c l ：，五，= c l 。，五：= 1 c 2 ：，五，= 1 c 2 ，( 3 1 9 ) 将( 3 1 9 ) 式代a ( 3 1 4 ) 式即得( 3 1 6 ) 式 定理3 1 2 若集合s 非空，且根据( 3 1 2 ) ( 3 1 4 ) 式定义的符号，则s 中的元素x 的 最小秩，最大秩分别为 m i n r ( x ) = ，( c ) x & 嘴厂( x ) = m i n n ，2 n - r ( a ) - r ( b ) + r ( c ) ( 3 1 1 0 ) 且& 中元素x 可表示为 其中置，k 任取 证明：记 x ：m f ( 要q ：，c 1 3 ，g ： ，( 乞娄1 ( 孑) 、1 j 一。m r ， 【( ko ) v ，p , z 。1 k c = ，列= o 膈剐n 隧x 如3 4 ) ，爹卜( k 咖一j ( 3 1 - 1 2 ) 2 4 7 tk - r t 及广义奇异值分解 尸( 三曼喜曼 y r2 ( 吾tk 一，- - ：! ) ，+ t j 一，( 乏萎毫) = 尸r ( 三娄。 ( 曩) ( 3 ，3 ， 1 4 将( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) 代入( 3 1 6 ) 式，变形得 其中 故 利用高斯消去可得 = 陋户 j = o 0 j t 巾3 0 k ，k 州陛 r ( m r x m j ) = tk r t ( 3 1 1 4 ) 0、f 最 ir - , - s - t ，( 3 1 1 5 ) 一日i 1 k 玎一，一s 由引理3 1 知， 所= r x o a 。s n ，c x ，= ，c ，= ，( c ) = ， 善曼善! = ，c c ， m = m 蝎a x ，( x ) = ，( c ) + r n i n r l - r ( c ) , n - r ( c ) + n - r - s - ( k - r - f ) ) = m i n n ，2 n - r ( a ) 一，( b ) + ，( c ) 由( 3 1 1 5 ) 式知当x 的秩最小时 k = o ，忍屯x = 日i 1 v l ， 将上式代入( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) 得 ( x , , 圳x 1 4 ( 三 再代入( 3 1 。1 4 ) 可得( 3 1 1 1 ) 式 默玎謦跏州矿i 磁蜀j v1 3 2 当s 为双