（应用数学专业论文）由bochnerriesz算子生成的极大多线性交换子的有界性研究.pdf

t h es t u d yo nb o u n d e d n e s sf o rm a x i m a lm u l t i l i n e a r c o m m u t a t o rg e n e r a t e db yb o c h n e r - r i e s zo p e r a t o r h u a n g m i n g l i a n g b s ( h u n a nf i r s tn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 6 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f c h a n g s h au n i v e s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l e g e s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl i ul a n z h e m a r c h ，2 0 1 1 _ _ _ - 。1 。一1 。1 。 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：莲彬日期：冲朗刎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：作 日期：厂年 量具滩l t - 月z 牛日 摘要 本文主要研究b o c h n e r - r i e s z 算子生成的极大多线性交换子磁。在一些 函数空间上的有界性，这些空间有l e b e s g u e 空间、b e s o v 空间、l l 彳o r r e y 空间、加 权l i p s c h i t z 空间。 首先，我们证明了b o c h n e r r i e s z 算子生成的极大多线性交换子b 2 。的m 型 不等式，运用 ，七型不等式得到了磁。在汐( 叫) 上有界，并得到了该算子在 广义m o r r e y 空间汐，妒( 舻，伽) 上的加权估计，其中1 p o 。，叫岛，幻 b m o ( r n ) ，j = 1 ，m 。 其次，证明了b o c h n e r r i e s z 算子生成的极大多线性交换子磁。f i 勺g o o 枞估 计，由此得到了该极大多线性交换子是从妒( r n ) 至：i j l q ( r n ) 有界的，其中1 p 礼m p ，1 p 一1 q = m p n ，此时0 p 1 ，b j ( 舻) ，歹= 1 ，m ，并得 到b 皇+ 为l p ( r n ) 上有界，此时6 j b ! t f o ( r n ) ，j = 1 ，m ，1 p ( 佗一1 ) 2 ，0 p 1 m ，幻入口( 尺n ) ，j = 1 ，m 如果 对任意的1 p 0 0 ，碰在扩( 冗n ) 上有界，则磁+ 是从汐( 冗住) 到入m 口一n p ( 舻) 有 界的，此时n ( m p + 5 ) p n 6 在适当的条件下磋。也是从端瑚( 兄n ) 至i j c l q n l 愚，钇( r n ) 有界的。 最后，证明了当a 1 ( r 佗) ，b l i 舱p ( 舻) ( 即加权l p s c 砒：) 空间时，歹= 1 ，m ，1 q = 1 肋一m z l n ，0 p 1 ，0 g 1 s 0 使得 m a 譬( 磋。( 朋( 孟) c ( 圣) m i l b l l l i p 舢( j l 鼬，。( b 鬈( 埘( 孟) + 鼬，5 ( 硝童) ) 、歹= l 仃9 7 对任意的光滑函数，在圣r n 上，其中 ，1，、1 8 跏( 以z ) 2 泌l 币南厶l m ) m 耖) d 可) 由此得出当6 厶 觚p ( 兄几) ，磁。是驴( ) 至l j l q ( v 1 一口) 有界的，此时a l ( r n ) ， 1 口= l p m 3 n ，0 p l ，1 p q c x 3 。 关键词：b o c h n e r - r i e s z 算子；极大多线性算子；m 南型估计；g o o d 入估计；a 1 - 力口 权；m o r r e y 空间；l i p s c h i t z 空间；加权l i p s c h i t z 空1 1 习；b e s d u 空间；b m 0 空间； h a r d y 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sf o rt h em a x i m a lm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r 磁。g e n e r a t e db yt h eb o c t m e r - r i e s zo p e r a t o ro n s o m ef u n c t i o ns p a c e s ，t h o s ef u n c t i o n s p a c e si n c l u d el e b e s g u es p a c e ，b e s o vs p a c e ，m o r r e ys p a c e 、w e i g h t e dl i p s c h i t z s p a c e a tf i r s t ，w ep r o v et h em k - t y p ei n e q u a l i t yf o rt h em a x i m a lm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r b 爱。b yu s i n gt h em k - t y p ei n e q u a l i t y , w eo b t a i nt h e 磋。i sb o u n d e do n 护( 叫) f o r 1 p o 。a n dw a p a n dw eo b t a i nt h ew e i g h t e db o u n d e d n e s so nt h eg e n e r a l i z e d m o r r e ys p a c e sf o rt h em a x i m a lm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r w h e r el p ，叫 a p ，6 ，b m o ( r 佗) ，j = 1 ，m s e c o n d l y , ag o o d 入e s t i m a t ef o rt h em a x i m a lm u l t i l i n e a rc o n n n u t a t o rs a b 。i s o b t a i n e d u n d e rt h i sr e s u l t ，w eg e tt h eb 皇。i sb o u n d e df r o ml p ( n n ) t ol q ( r n ) f o r 1 p n m ba n d1 p 一1 q = m 1 3 n ，w h e r e0 p 1a n d 幻a z ( r n ) f o r j = l ，m a n dw eg e tb 参。i sb o u n d e do n 护( r n ) ，j = 1 ，仇f o r1 p ( n 一1 ) 2 ，0 p 1 ma n d6 ，a z ( r n ) f o rj = 1 ，m s u p p o s et h a tb ! i sb o u n d e do nl p ( r n ) f o ra n y1 p 。o t h e n 磁幸i sb o u n d e d f r o ml p ( r n ) t o 入m p n p ( r n ) f o ra n yn ( m 1 3 + 5 ) p n 6 ，a n db 2 ，i sb o u n d e df r o m 露蠹。( r 佗) t oc l 一口几一i q 2 , q 2 ( r 礼) w i t ht h ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o n f i n a l l y , l e t a i ( r n ) a n d 如l i p s ，( 冗佗) f o rj = 1 ，m ，1 q = 1 p m 3 n f o r0 p 1 ，0 1 s 0 s u c ht h a t ，铲( b 夏。( 埘( 童) c ( 2 ) m i l b l l 。( m 、，= 1 o c ?j i 跏( 毯d o w - c ) ) ( 毫) + 锄一似岔) ) f o ra n ys m o o t hf u n c t i o n ，a n da e 牙r n ，a n dw h e r e p ，8 ( ，) ( z ) = s u p b z ( b ) 1 一s m b nm ) l s 咖) 句) v s ， a n dw eg e tt h ec o m m u t a t o r 占爱。i sb 。u n d e df r o ml p ( ) t ol q ( 1 , l - q ) ，w h e r e a i ( r n ) ， 1 q = 1 p m p nf o r0 卢 1a n d1 p ot ol ，冗”i 我们将系统地对该多线性交换子进行m k 型估计，g o o d 入估计，a 1 - 力口权 估计，证明了它在l e b e s g u e 空间、b e s o v 空间、m o r r e y 空间，l i p s c h i t z 空间上 的有界性。本课题的创新之处是深入研究t b o c h n e r r i e s z 极大多线性交换 子的有界性。 1 2预备知识 在本文中，q 表示r n 上各边均平行于坐标轴的方体。对于局部可积函 数厂，令厂q = 南尼厂( z ) 出，的s h a r p 函数，带定义为： ，半( z ) 。q s u 弓p zi 南i f q i f ( 可) 一f q i d y ； 另一等价定义： ，孝 ) s u pi n f 1 q i ，( y ) 一c f 匆 设m 为日。r 幻一l 优2 伽d d d 极大算子，即m ( 似z ) 2v s u ，p 工南f qi f ( y ) 咖 记m r ( f ) = 【m ( i f l t ) 】1 r ，0 r ，k n ，记m 七为用算子m 作用k 次之 后的算子，即 m 1 ( ，) ( z ) = m ( ，) ( z ) m 七( ，) ( z ) = m ( m 七一1 ( ，) ) ( z ) 当k 2 设l p 0 0 ，0 p 0 ，l i p s c h i t z 空间记为l i p 口( r n ) ，称函数，l i p 3 ( r n ) ，若，满足： ii，iilip口=。s。，upr。1钭 0 ，使得 妒( 2 t ) d 妒( ) 当t 0 w 为兄几上的权函数( 即叫是尺礼上非负的局部可积函数) ，厂是冗n 上的可积函 数当1 p 0 0 ，其中q ( z ，d ) = 秒咒n ：l z y l d ) - 广义加权的m o r r e y 空间定义为 汐 妒( 舻，w ) = ，l k ( 冗礼) ：i l y l i l ，妒( 叫) 0 ，贝 j l p ，妒( 舻，w ) = 汐，6 ( 舻，硼) ，即为经典的m o r r e y 空间( 见【1 3 】 1 4 】) 定义一个局部可积非负函数属于m u c k e n h o u p ta p ( r n ) 权，其中l p ，当它满足：若存在一个常数c 使得 高厶出，出( 高加硼一击出) p 1 c 对每一个方体qcr n 定义一个局部可积非负函数为a l ( 舻) 权，当它满足： 亩厶( z ) 如c 啉a e z r n , 对每个方体qcr n ( 见【1 5 】) 定义一个局部可积非负函数为a ( p ，g ) 权( 1 p ，q ) ( 见f 2 3 】) ，当它满 足：若存在常数c ，使得 ( 高石巾脚z ) t q ( 南加训叱) 怕c 对每一个方体qcr n 且i p + 1 肋= 1 定义由局部可积函数，构成的加权笆 l i p s c h i t z 空间l i 乃，p 为满足：当l p 。，0 p l 且，a l ( r 佗) ，即 s 字页毒丽 责b 以l ，( z ) 一局陟( z ) 1 。p d z l i p c oi h ( t ) l o o 】，则，磁。( 厂) ( z ) 可看 做是从r n 到日的一个映射，易知 废( ，) ( z ) = i i b ；( ，) ( z ) i i 磋。( ，) ( z ) = l i b , 。( ，) ( z ) | j 引理1 2 1 ( 1 ) 广义h b l d e r 不等式：对任意的 ( z ) l p ( r n ) ，1 i m ，有 厶。鲫删如( 小p 出) 坳1 ( 厶) v 加， 其中1 p i 。，1 p 1 + 1 p m = 1 。 ( 2 ) a l i n k o w s k i 不等式：对任意l p o 。，如果l l ，( ，y ) l l p l ，有 ( lr l ：, i d x l p 咖) v p 五。( 五。i f ( x , y 胪句) v p 如 引理1 2 2 ( 见 1 9 ) 令w a p ，l p o 。则b ! 在l p ( w ) 上有界 引理1 2 3 ( 1 5 ，p 4 8 5 1 ) 令0 p u乜 其中上确界取遍所以可测集e 且0 l e i o 。则 i l f l l w l 。p ，口( ，) ( q ( q p ) ) 1 p l l f l l w r 。 一5 一 第2 章b o c h n e r r i e s z 算子的极大多线性交 2 1符号及引理 换子的m 尼型估计 本章的主要目的是证明b o c h n e r - r i e s z 算子的极大多线性交换子的a ，忌型 不等式，其中6 属于b m 0 ( 舻) 空间。我们通过证明得至u b o c h n e r r i e s z 极大多线 性交换子的s h a r p 估计和在m o r r e y 空间上的有界性。 记：y o u n g 函数为西( t ) = 亡( 1 + t o g t ) r 和壬( 亡) = e x p ( t 1 r ) ，相应的极大函数 的平均记为”i i l ( z 。牡) ，q ，m l ( 1 卵c ) ，” i e x p l t p ，q ， t 卵咖由 4 】 1 3 1 1 4 】，应用广 义h s l d e r s 不等式可知： 高厶l m ) 删d y i l y l l 圣，q l l g l l 毒，q 当n 勺1 ，j = l ，m ，1 7 = 1 r l + 十l 7 m ，对任意z r n ，b b m o ( r n ) ， f f l l l ( t 。9 l ) - r ，q 耽( f d 9 ) - r ( ，) c m l ( t 。9 ) m ( ，) c m m + l ( - 厂) ， l i b 一6 q i i e 印l r , q c i i b l i b m o ， l b 2 k + - q 一6 2 q i c k l l b l l s m o 弓i 理2 1 1 令1 r 1 ，其中1 歹忌，使得i p 1 + + 1 p 詹= 1 ，r 口1 + + r q k = 1 然后分别对相应的指数l 肋l + + 1 p 忌= l 和r 9 1 + + r 饥= 1 ，运用h s l d e r 不等式，即可得证 引理2 1 2 ( 1 4 】)令1 p 。o ，0 0 q ) 。( b l ( y ) - ( b 1 ) 2 q ) f ( y ) ( b 站- y ) - b z ( x o - y ) ) d y l 我们考虑一下两种情况： 情况1 0 d 取5 0b 口( 扎一1 ) 2 南 m i n ( 5 ，m + 1 ) 2 ) ，易知( 见【1 9 】) i ( o l o x ) b f ( z ) l c ( 1 + 一( 6 + ( n + 1 ) ， 所以有 f ：( ( 2 q ) ( b l ( y ) - - ( b 1 ) 2 q ) f ( y ) ( b s t ( x - y ) - c 矿训咖i c t 一佗 i b l ( y ) 一( 6 1 ) 2 q i i i ( y ) i i b 6 ( ( z y ) t ) 一b 6 ( ( z o y ) l t ) d y j ( 2 q ) 。 = = 一 一 一 一 南 一 一 一 一 c t n 一1 1 6 1 ( y ) 一( b l h q i l f ( y ) l l z o z i ( 1 + i z o y i o 一( 6 + ( n + 1 ) 2 ) d y ，( 2 q ) c 厂n - 1 三厶弹。q 1 6 地) _ ( 6 1 ) 2 删们j i x o - - x i ( 1 + | 踟叫) - ( 聃“v 2 切 c ( d 州) 2 也蓥2 州州) 2 也( 南厶。q | 6 l _ ( 6 1 ) 2q l i 地凇y ) c 2 七( n - 1 ) 2 一南( | 1 6 l 一( 6 1 ) 2q l l e x p 厶2 q i i f l l ( 1 0 9 l ) , 2 k + l q ) c 1 l b 】ii 舯，r ) m 2 f 厂) ( 孟1 因此 ( 高加圳r d x ) z r 蚓1 6 1 i | b l b m o m 2 ( f ) ( 就 现在，我们考虑m 2 这种情况当b = ( 6 1 一，6 m ) ，我们得到 b 撕( 加厶。娶舭) _ ( q ) - ( 蛐) - ( 址删( 删匆 =三(_1)m-徘)-(6)2q)盯厶。(6_(6鼬cb(z刊m)匆j=oa e c ， 。 ” = ( 幻( z ) 一( b j ) 2 q ) b 6 t ( f ) ( x ) + ( 一1 ) m b i ( n ( 幻一( 6 j ) 2 q ) 似z ) j = z j = l + 善( _ 1 阳) _ ( 6 ) 2 如小_ ( 6 鼬c b ( z 刊m 胁 j = la e c , ” 。n ” = ( 幻( z ) 一( b j ) 2 q ) b 6 t ( f ) ( x ) + ( 一1 ) 仇b ( n ( 幻一( 幻) 2 q ) ，) ( z ) j = lj = l + ，j ( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) 盯睹( 似z ) ， j 。l 盯叩 因此，当岛= b ! ( 兀凳l ( b j 一( 6 j ) 2 q ) 尼) ( 如) ， i b m , 。( ，) ( z ) 一b ! ( ( 幻一( b j ) 2 q ) f 2 ) ( x o ) l j = l m l = | i f b 驰) ( z ) 1 1 一懈( n ( 幻( y ) 一( 幻) 2 q ) 丘) ( x o ) l l l l j = l l i b e ( ，) ( z ) 一磅( i i ( 幻一( b j ) 2 0 ) f 2 ) ( z o ) l l i = z | | ( 幻( z ) 一( b j ) 2 q ) s ( f ) ( z ) l l 一9 一 + i i ( b ( x ) 一( b h q ) 矿b 孑( ，) ( z ) l l j = l 盯叩 + , i b ( i i ( b j 一( 幻) 2 q ) ) o ) i i + i l 磁( ( 幻一( b ) 2 q ) ，2 ) ( z ) 一b ( i i ( b j 一( 幻) 2 q ) 尼) ( z o ) i i = 1 1 ( x ) + 幻( z ) + 3 ( x ) + 厶( z ) 对，l ( z ) ，我们得到 ( 高加圳r 如) 叫r k 1 q i i ( z ) 如 而1 石li ，黔i ( 矿( 吼q ) | 雠( 似划出 e l li - i ( 一( 幻) 2 q ) l l e x p l i 勺，2 q l b 6 ( f ) i l l o o g l ) r ，2 口 c i ii i b j i i b m o m 仇+ 1 ( b ! ( ，) ) ( 圣) c t l g i i b m o m 2 ( b ! ( 厂) ) ( 圣) x c x z ) ，由引理2 1 2 ，可得 ( 高肛n zl r 丽1 厶，如 m 一- 1 ，1 j f qi ( b ( z ) - ( b ) 2 q ) 叮i i b 跚z ) l 如 i ( b - ( b h q ) 盯l f e ，币l - r j ，2 q i i b m , ：( f ) l l l 0 0 9 l ) r ，2 q c m m + 1 ( b 譬( 埘( 叠) j = l 仃印 c m 。( 咏( ，) ) ( 岔) j = l 矿叩 x c l 3 ( z ) ，由b ! 在汐( 舻) 的有界性以及类似于b ( z ) 的证明，应用引理2 1 2 ，我们 得到 ( 高小) “r 高石狮，如 一1 0 一 凹 一触 c 一 2 雨1 ii b ( i 渊- i ( b j 一( ) 腓) 怖 慨c 耍( b j - ( b j ) 2 q ) f x 2 q ) ( x ) l p d x ) 1 p c ( 南厶i 耍c 幻c z ，一e 哦驯p i 他以胪如) cn i i ( b 一( b j ) 2 q ) l l e ：, c p l l l 勺，2 q i l f l l l ( , o g l ) r ，2 q c li d ii b m o m r e - i - 1 ( ，) ( 童) ：c i i 两1 日 f d f o ( 厂) ( 童) 对于厶( z ) ，类似于c ( z ) 的证明，当m = 1 有 厶 ) = l j b ( ( 幻一( 幻) 2 q ) 尼) ( z ) 一b ( ( 幻一( b ) 2 q ) h ) ( x o ) l l = s u pf ( ：钟娶( 蛐) _ ( 址彬( 删( 弘沪b ( z o - y 删 我们考虑以下两种情况： 情况1 0 d 取6 0 即( 扎一1 ) 2 南 一1 ) 2 ，幻b m o ( r n ) ，j = 1 ，m 当l p ( n 一1 ) 2 ，1 p ，幻b m o ( r n ) 当j = 1 ，m 则 l ib ；。( 删b 妒( 叫) c i i b l i b m o i i f l i l p 。妒( 叫) 证明：在定理2 2 1 中取0 r 1 ，由引理2 1 3 ，得到 l i b 夏。( f ) l l p ，妒( 埘) i i m ( b 至, 。( ，) ) i l l 鼽妒( 叫) i i ( b 2 。, 。) 尹( ，) i l 驴，妒( 加) c i i b l l b m 。( i i m 。( 剧b 妒) + i i m 2 ( b ! ( 川妒( w ) ) c i i b l l b f 。( i l f l l 弘咖) + i i b ! ( f ) ) l l 饥啪) ) o l i k i i b m o ( 1 l f l l l m ( 加) + m b 妒( ) ) c i i k i i b m o i i z i i l p 垆( 加) 定理2 2 3 证毕。口 一1 2 一 黟 一 一 一 一 一 一 = 他 第3 章b o c h n e r r i e s z 算子的极大多线性交 3 1引理 换子f l 勺g o o d 入估计 引理3 1 1 ( 见 2 4 】)令0 p 1 ，1 p o 。，则 6 1 l 口s 字面专而上1 6 ( z ) 一吲出s 挚丽i ( 高丘| 6 ( z ) 一吲p 如) v p s 罗呼赤小圹c 阶s 罗哆南( 高小垆c i p 如) v p 引理3 1 2 ( 见 2 5 】)令0 v 1 ，1 7 p l z 且1 q = 1 p 一，则 3 2定理与证明 a l r ( ) il l a o i l f i l l , 定理3 2 1 令0 卢 1 ，b j 入口( 兄n ) ，j = 1 ，仇 ( a ) 如果1 7 p 0 使得对任意的0 3 a ，l i b l i a 卢a 锄，p ( 似z ) a l c r i x r n ：b 羞，( 厂) ( z ) a ) i ； ( b ) 磁牛是从汐( r 亿) 到l 口( 舻) 有界，其中1 0 ，有 i z 舻：b 朱( ) 叩入) i c ( 叩入) _ r | | b 。b ，x + ( ) i l z ， c ( 7 7 入) 一r 1 l b l l h , 口 幻p ( ，) ( z ) 】r i b k l l 1 r c ( 7 7 a ) 一r a ) r i 瓦i c ( 7 7 ) r i b k l 估计丘令h = h ( r n ) 为舻上与r n 有关的正整数我们考虑以下两种情 况： 情形a d i a m ( ) k ) e h d i a m ( ) k ) 设y ( z ，y ) = ( 6 l ( z ) 一b l ( y ) ) 霹( z y ) ，( 3 ，) 取x o 反使得x o r n u 七仇当z b k ，由 2 5 】，可得 i 磙( 尼) l i ：舢l m ，秒) 叫( 诋y ) f 2 ( y ) d y l + r i y ( m 可) m ) l d y，i o 一可i j r ( z ) + i v ( x o ，y ) y ( y ) l d y + l b 缸e ( ，) ( z o ) i t ，n ( z o ) = i + i i + i i i + ，v 其中r ( 札) = 秒r n ：d i a m ( b k ) l u y i h d i a m ( b k ) 现在我们分别估 计，i i ，i i i 对，我们记 l v ( z ，) 一v ( z o ，可) l = i ( b lc z ) 一6 1 ( y ) ) b ( z y ) f 2 ( 妙) 一( b l ( x 0 ) 一6 1 ( y ) ) 磅( x o y ) a ( y ) i = 1 6 l ( z ) b ( z y ) f 2 ( y ) 一b l ( 耖) b ( z y ) f 2 ( y ) 一b l ( z o ) 霹( x o 一耖) 丘( 可) + 6 1 ) 霹( x o y ) 尼 ) 一b l ( z o ) 磁( z 一夕) 丘( 矽) + b l ( x o ) 霹 一可) 尼白) f i ( 6 l ( z ) 一b l ( x o ) ) ( z 一矽) 丘 ) i + i ( b x ( z o ) 一6 1 ( 夕) ) ( b ( z 一) 一b ( x o 一可) 止( y ) = i i + 尼 对，l ，由引理3 1 1 ，h s l d e r 不等式和下面的不等式，有b a a r n ) 1 6 ( z ) 一6 b i 面1 ，1 1 6 f l 口i 。一秒l s 3 l n d y d 我们取而满足( n 一1 ) 2 _ i ( b 1 ( 。o ) 一b l ( 秒) ) ( b ( z 一秒) 一b ( z o y ) ) f ( y ) l d y 茬ij b 2 l 。( z o ) s 2 ”c ( z o ) c t n 1 6 1 ( 可) 一b l ( z o ) l l i ( y ) l l b 6 ( 一可) ) 一b 占( ( z o y ) t ) l d y ，b 2 v + l c ( z o ) b 2 v ( z o ) c t n 一1 1 6 1 ( ) 一b l ( z o ) li ( y ) ll z o z i ( 1 + i z o y l t ) 一( 6 + m + 1 ) 2 ) d 夕 ，b 2 v + l c ( z o ) b 2 v c ( z o ) c t n 一1 _ 1 6 1 ( 秒) 一b l ( z o ) l l i ( y ) l l x o z l ( 1 + i x o y l l t ) 一( 岛+ ( n + 1 ) 2 ) d y ：j 岛v + l ；( z o ) b 2 v 。( 。o ) 刚伪”圳2 也三0 02 州州) 2 也) ( 南l 如0 ) i 叭沪酬m ) e k 2 七( m 一1 ) 2 一晶l l b l i a 口 幻，p ( ，) ( z ) c i i b l 1 b , 口，p ( 趴z ) sc a 因此j c 入 对i i 幂口，j ，易知，当y 冗( z ) ， f z y i h d i a m ( z 3 k ) ， 由引理3 1 1 ：乖1 h s l d e r 不等式，我们得到 i i c 1 b 1 ( z o ) 一b l ( y ) l l b ( z y ) l l f ( y ) i d y c 1 日啻惫i t ( 厶鼠| 6 。( z 。) 一6 。( 夕) l f d y ) 1 ( 厶反l ，( y ) i p d y ) 1 加 s c1日亩南l一-+口n+-p，+ppnil6。il口(南i，(可)ipdy)17p 1 6 c ii b li a 占 细 p ( ，) ( z ) c 入 类似的方法可得i i i c 入 x r i v ，因为z 譬u 七q 七，则i 硗( 州z o ) i 入对z b j ， s u p i b 如( ，2 ) ( z ) l c 荨入+ a e , d i a m ( b k ) 情形b s h d i a m ( ；k ) 令磁表示与鼠中心相m r b = 类似于情形1 的证明，我们得到 s u p 1 b ：( 丘) ( z ) i c 入+ 入 e d i a m ( b k ) 因此，我们证明了对z b 七， b 驭( ，) ( z ) c 入+ 入 现在，选取o 使得c 如 3 划1 6 1 口岣，p ( ，) ( z ) 入) l i z b k ：b 强( ) ( z ) 2 a c 入) l + i z r 礼：b 缸( 尼)