（理论物理专业论文）玻色爱因斯坦凝聚体中的混沌与孤子.pdf

中文摘要 玻色一爱因斯坦凝聚是近几十年来被广泛关注的课题它不仅提 供了一个研究量子力学基本问题的宏观系统。而且在原子激光，量 子计算等领域有着光明的应用前景本文在乎均场理论的框架下以 g r o s s p i t a e v s k i i 方程为主耍模型，讨论了光格中b o - e i n s t e i n 凝聚体的 空间混沌和时空混沌以及物质波孤子的动力学行为。同时利用o g y 负 反馈方法对其中的混沌控制作了简单讨论 全文共分为六章第一章简单介绍了平均场理论以及b o s e - e i n s t e i n 凝聚领域中有关混沌和孤予的研究进展，现状及应用第二章分析了 在静止弱光学晶格中拉长的b o - e i n s t e i a 凝聚贩子云的空间结构，秘用 直接微扰方法研究了该系统的空间m e l n i k o v 混沌特征从理论上得出 在适当的边界b o s e - e i n s t e i n 凝聚原子分布的情况下，定态凝聚体在空阿 呈暗孤子形状，同时证明了相空间中有限混沌吸引子的存在另外， 凝聚体粒子数密度的空问演化反映了系统的分析不可解和数值不可算 性。进一步说明了系统在坐标空间具有m e l n i k o v 混沌性质通过理论分 析为我们得到了物理有效的系统演化范围。从而为舍去数值计算中因 效值不稳定性造成的无效结果提供了可靠标准在一定程度上提供了 一种控嗣数值不稳定性的方法此外，我们还简单讨论了凝聚体中超 流速度的混沌性质 第三章主要讨论了在强光格中b o s e - e i n s t e i n 凝聚体的空间混沌分 布利用紧束缚近似的方法将连续g r o s s - p i t a e v s k i i 方程化为离散的非线 性s c h r 6 d i n g e r 方程，在定态情形下可以进一步将其转化为一个非线性 的= 维映射从此二维映射出发我们得到了凝聚原子在空间各格点上 的分布是混沌无序的为了控制凝聚体的这种空间混沌分布，我们在 强光格上附加一微弱的高聚焦的激光束，并将其作为控制信号采用 o g y 的反馈控制方案，我们发现当在适当的格点位置加上适当强度的 控制信号就可以将系统驱动到目标态上，从面得到一空间规则的凝聚 i i 体分布结构 第四章中我们主要研究了在运动光格中的b o s e - e i n s t e i n 凝聚体的 时空演化性质在这一章我们重点讨论的是系统的类b l o c h 解的时空 混沌性质在不考蜷瞻尼效应时，我f 波俯肇描述了系统从规则运动到 混沌的状态的转变过程。并指出光格运动速度的提高黔棍沌出现的抑 倒作用当考虑刭阻尼效应，我们在分析上讨论了系统的m e l 血i k o v 混 沌，井给出了系统的混沌参数区域同时通过散值分析我们还研究了 系统的瞬态混沌特征，并模拟了由瞬态混沌向定态混沌的转变过程 我们发现在这一过程中瞬态混沌的最终吸引子经历了一系列的倍周期 分叉另外。在阻尼情形下，光格运动速度以及阻尼对系统进入混沌的 抑制作用同样存在由于在实验中光格的运动速度可以方便而又准确 的加以控翻。3 所以这种抑制作用爿我们握侠了实验控制凝聚体混沌状 态的可能途径 在对物质波孤子的研究中我们主要讨论了冒茄塑古时谐振子囚禁 势巾的b o s e - e i n s t e i n 凝聚的类孤子动力学行为在准一维情形下通过引 入一标度参数，我们给出了系缫的亮单孤子，j i | 【= 孤子，和多孤子解， 研究了因蘩势的变化颚率和几何形状对这些物质波孤子演化，传播的 影响结果表嚼，当囚禁势的纵向囚禁强度和横向西禁强度之比值较 小，并且囚禁势的纵向调治频率较高时，物质渡类孤子的形状几乎保 持不变近似于一纯粹的孤粒子同时它们几乎是匀建单向传播然 两，当囚禁势的纵横比稍大，纵向囚禁随时闻变化较慢时，物质波类孤 子的演化刚表现出明显的呼吸行为，物质波波包呈现周期性的塌缩与 恢复同时，物质波在单向传播的过程中还出现显著的振荡特征 最后，第六章中我们对本文做了简单的总结，并对该领域前景作 了一点展望本文中，作者的研究工作主要集中在第二，三，四。五章 美蝴；玻色一爱因斯坦凝聚l 混沌；混张控制；物质波孤子 a b s t r a c t i u b o e e - e i m _ ac o n d 矗嘣蛔h a r db e e na n 。a t t r a c t i v es u b j e c t si nr e c e n td e c a d s t h e yn o to n l yo f f e rt h ep e r f e c tm a c r o s c i o p i cq u a n t u ms y s t e m st oi n v e s t i g a t em a n y f o u n 酬捌椎m 抽奎抽。q i i a n t 啉m 棚嘴b u ta l h e m r - u i v e t ya t l p l i e a t i o n f o r e g r o u n d ss u c ha si na t o ml l m e ra 曩dq u a m u mc o m p u t a t i o n i nt h ef r a m e w o r ko f m e a n - f i e l dt h e o r yt h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e si sg o v o n e r e db yt h eg r o s s - p i t a e v i s k i i e q u a t i o n b a s e do nt h eg r o s s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o nw es h a l ls t u d yt h es p a t i a lc h a o s a n dt i m e - s p a c ec h a o si nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n e a t e sw h i c ha x ei o e d e di n t oao p t i c a l l a t t i c e ，a n dt h ed y l l 8 m i c a lb e h a v i o r so f m a t t e rw a v es o l i t o u s m e a n w h i l e ，w ew i l la l s o d i s c u s st h ep r o b l e mo fc h a o sc o n t r o li nt h er i g a tb i n d i n gb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s b yu s i n gt h eo g y f e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d o u r p a p e r i so r g a n i z e d t h ef o l l o w i n gs i xp a r t s i nt h ef i r s tp a r tw e s h a l l 舀v e a s i m p l ei n t r o d u c t i o nt om e a n - f i e l dt h e o r ya n dt h er e s e a r c hs t a t u s ，i m p r o v e m e n t sa n d a p p l i c a t i o n so fc h a 舶a n ds o l i t o ni nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i nt h es e c o n dp a r t t h e s p a t i a ls t r u c t u r eo f a n e n l o n g a t e db o s e - e i u s t e i nc o n d e n s a t ea t o m i cc l o u d l o a d e d i n t oa w e a k l ys t a t i co p t i c a ll a t t i c e si si n v e s t i g a t e d c h a r a c t e r so fm e i n i k o vc h a i n t h es y s t e ma x er e v e a l e db yu s i n gt h ed i r e c tp e r t u r b a t i o nm e t h o d t h ed i s t r i b u t i o n o fa t o m i cn u m b e r d e n s i t yi sd e m o n s t r a t e da n dt h es u p e r f l u i dp r o p e r t i e si sd i s c u s s e d ， m e a n w h i l et h es p a t i a lc h a o si n v o l v e di nt h e s ep h y s i c a lq u a n t i t i e si sr e s e a r c h e d w e f i n df o ra p p r o p r i a t eb o u n d a r yc o n d i t i o no ft h en u m b e r d e n s i t y t h ed i s t r b u t i o no ft h e c o n d e s a t ei sl i k et oa s a t i o n a r yd a r ks o l i t o n f o rt h i sp r a c t i c a ls y s t e m ”p r o v et h e o - r e t i c a l l yt h ee x s i s t a n e so ft h ef i n i t ec h a o t i ca t t r a c t o ri nt h eg e n e r a l i z e dp h a s es p a c e o nt h eo t h e rh a n d ，t h ea n a l y t i c a l l yu n s o l v a b i l i t ya n d n u m e r i c a l l yu n c o m p u t a b i l i t y a r ea l s or e v e a l e di nt h ee v o l u t i o n so fn u m b e r d e n s i t ya n ds u p e r 且u l dv e l o c i t yw i t h s p a t i a lc o o r d i n a t e s ，t h e s ep r o p e r t i e sp r o v et h ee x s i t a u c eo fs p a t i a lc h a o s t h r o u g h t h e o r e d i c a la n a l y s e s ，w eo b t a i naw e a kc h a o t i cr e g i o no ft h e d e n s i t yd i s t r i b u t i o n t h i s r e g i o np r o v i d eac r i t e r i o nt oe l i m i n a t et h ep h y s i c a li n v a l i dp a r t ，w h i c hi sc a u s e db y t h en u m e r i c a li n s t a b i l i t y i ns y s t e me v o l u t i o n s i np a r tt h r e e ，w ea n a l y z et h es p a t i a l l yc h a o t i cd i s t r i b u t i o no ft h ec o n d e n s a t e s i v i nas t r o n g l ys t a t i co p t i c a ll a t t i c e a p p l y i n gt h et i g h tb i n d i n ga p p r o x i m a t i o n ，t h e g r o s s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o nc a nb et u r n e dt oad i s c e t en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n c o n s i d e r i n gt h e c a s eo fs t a t i o n a r ys o l u t i o n w eo b t a i nat w o - d i m e n s i o n a lm a pa b o u t t h en u m b e r d e n s i t ya n dp h a s ea n g l e i n v e s t i g a t i o n st ot h em a p s h o wt h a tt h ed i s t r i - b u t i o n so ft h ec o n d e n s a t e so na l ls i t e sa 4 r er a n d o ma n dc h a o t i c i no r d e rt oc o n t r o l t h ec h a o t i cd i s t r i b u t i o n s w es u p e r i m p o s eaw e a ka n dh i g h l yf o c u s e dl a s e rb e a mo n t h eo p t i c a ll a t t i c ea n du s ei ta sac o n t r o ls i g n a l i nt h es c h e m eo ft h e0 g yf e e d b a c k c o n t r o lm e t h o d ，w ef i n df o raa p p r o p r i a t el a s e rb e a m ( p r o p e rs t r e n g t ha n dp o s i t i o n ) t h es y s t e mc a nb ed r i v e dt oad e s i r e dt a r g e ts t a t es u c ht h a tw ec a no b t a i nar e g u l a r s t r u c t u r eo ft h eb 0 8 e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s a p a r tf r o mt h es t a t i cl a t t i c e ，w ea l s os t u d i e dt h es p a c e - t i m ee v o l u t i o np r o p - e r t i e so ft h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sh e l di nat r a v e l l i n go p t i c a ll a t t i c e i nt h i s c h a r p t e r ， w ef o c n s eo nt h e f e a t u r e so fs p a t i o t e m p o r a lc h a o so ft h eb l o c h - l i k es o l u t i o n o ft h es y s t e m w h e nt h ed a m p i n ge f f e c t sa r en o tc o n s i d e r e d ，w es i m p l yd e s c r i b e d t h ep r o c e s s i o nf r o mr e g u l a rm o t i o nt oc h a o s m e a n w h i l e ，w ea l s od i s c o v e r i e dt h a tt h e e n h a n c e m e n to ft h es p e e do ft h et r a v e l l i n go p t i c a ll a t t i c eh a sas u p e r e s s i v er o l et o t h eo n e s e to ft h es p a t i o t e m p o r a lc h a o s w h e nt h ed a m pi si no u rc o n s i d e r a t i o n s w e d i s c u s s e dt h em e l n i k o vc h a o so ft h es y s t e ma n m y t i c a l l y , a n dp r e s e n t e dt h ec h a o t i c r e g i o ni np a r a m e t r i c ms p a c e f e a t u r e so ft h et r a n s i e n tc h a o sa r es t u d i e dt h r o u g h n u m e r i c a lm e t h o d t h et r a n s i t i o np r o c e s s i o nf r o mt r a n s i e n tc h a o st os t a t i o n a r yo n e h a sb e e nn u m e r i c a l l ys i m u l a t e d i nt h i sp r o c e s s i o n ，w ef i n dt h a tt h ef i n a la t t r a t o r so f t h et r a n s i e n tc h a o su n d e r g oas e r i e so fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s m o r e o v e r ，t h e b a f l i i n gr o l e ，w h i c h i sc a u s e db yp r o p a g a t i o no fl a t t i c ea n dd a m p i n g ，t ot h eo n s e to f c h a o si sa l s oe x s i tf o rt h ed a m p i n gc a s e d u et ot h ef a c i l i t ya n da c c u r a c yi nt h ec o n t r o l o ft h et r a v e l l i n gs p e e do ft h eo p t i c a ll a t t i c e ，t h i sk i n do fs u p e r e s s i v ee f f e c t st oc h a o s p r o v i d e su sae x p e r i m e n t a l l yp o s s i b l ew a yt oc o n t r o lt h ec h o a si nt h eb o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t es y s t e m i nt h ei n v e s t i g a t i o nt ot h em a t t e rw a v es o l i t o n ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h e s o l i t o n - l i k ei n8t i m ed e p e n d e n th a r m o n i ct r a pw i t hc i g a rt y p ea r ei n v e s t i g a t e d i n t h ec eo fq u a s io n e - d i m e n s i o n w eo b t a i nt h e s i n g l eb r i g h ts o l i t o ns o l u t i o n b i s o l i t o n 8 0 l u t o na n de v e nt h em u l t i - s o l i t o n so n 鹤t h ei n f l u e n c e so ft h eg e o m e t r i c a lp r o p - v e r t ya n d m o d u l a t ef r e q u e n c yo ft r a p p i n g p o t e n t i a lo n s o l i t o nb e h a v i o r sa r ed i s c u s s e d w h e nt h et r a pp o t e n t i a lh a sav e r ys m a l lt r a pa s p e c tr a t i oo r0 s c i l l a t e sw i t hah i g h f r e q u e n c y , t h em a t t e c o w a v ep r e s e r v e si t ss h a p en e a r l yl i k ea s o l i t o nt r a i ni np r o p a g a - t i o n w h i kb r e a t h i n gb e h a v i o r w h i c hd i s p l a yu st h ep e r i o d i cc o l l a p s ea n dr e v i v a lo f t h em a t t e r - w a v e ，i sf o u n df o rar e l a t i v e l y 脚a s p e c tr a t i oo rs l o wv a r y i n gp o t e n t i a l m e a n w h i l ei n a s 8c e l l t e ro ft h em a t t e r - 啊馈：v et r a n s l a t e sa n d o ro s c i l l a t e sf o rd i f f e r e n t t r a pa s p e c tr a t i oa n dt r a pf r e q u e n c y i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e rw eg i v eas i m p l es u m m a r y a n dd i s c u s s i o nt ot h e a b o v e - m e n t i o n e dw o r k s h e r e ，o u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h a p t e r st w o ，t h r e e ， f o u ra n df i v e k e y w o r d s ：b o s 自e i a s t e i nc o n d e n s a t e ；c h a o s ；c h a o sc o n t r o l ；m a t t e r w a v es o , t o n 第一章绪论 1 1g r o s s - p i t a e v s k i i 方程 自从1 9 9 5 年人们首次实验观察到玻色一爱因斯坦凝聚体( b o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t e ) f l j - 【3 j 以来，该领域吸引了人们广泛的关注由于玻色爱因 斯坦凝聚体中的许多现象和性质在其他物理领域有对应，因而它已成 为人们研究其他不同物理领域中相应性质和现象的天然温床早在1 9 2 4 年b o s e 和e i n s t e i n 就预言，当玻色子气体在温度达到足够低的某一临界 值时。它们将会发生相变，形成一种新的凝聚物质一玻色爱因斯坦凝 聚体 4 1 一【6 】在这种凝聚体中所有原子都处于能量最低的基态，形成一 “宏观。的量子系统鉴于玻色爱因斯坦凝聚体在原子激光【_ 7 】【9 】， 量子计算【1 0 】，量子信息【1 1 】和凝聚态物理【1 2 】等领域的广泛运用，它 们已经成为人们广泛关注的课题在对这个多体宏观量子系统的研究 中，人们发现当原子间相互作用的一波散射长度远小于原子问的平均 距离，并且凝聚原子数足够大时，平均场方法是一类有效而又方便的 方法 1 3 】平均场方法作为本文的基本出发点，我们有必要对其要点做 一简单回顾 对于囚禁在外势中的由个相互作用玻色子组成的多粒子系统， 其多体哈密顿可以用二次量子化的形式表示成 ，r 2 h=f d r 霍+ ( r ) l 一云o v 2 + 么t ( r ，t ) i 口( r ) j 。 z ，儿 一 ， - 1 - ；d r d 一童+ ( r ) 垂+ ( r ) y ( r r ) 亩( r ) 亩( r ) ， ( 1 1 ) j 其中量( r ) 和量+ ( r ) 是玻色子场算符，他们分别表示在位置r 处湮灭和产 生一个粒子，v ( r r 7 ) 是两体相互作用势，f e t t ( r ，t ) 是外势系统的基态 和它的热力学特征可以直接从方程( 1 1 ) 出发计算得到。比如说k r a u t h 在1 9 9 6 年就利用m e n t o c a r l o 路径积分方法计算了两体相互作用势取为 硬球势时的1 0 4 个原子的热力学行为然而对于含有如此众多粒子的系 统而言。其计算量是惊人的，其计算过程也是非常烦琐的为了克服这 2第一章绪论 种困难，b o g o h u b o v 早在1 9 4 7 年就指出，平均场理论可以较好地描述多 粒子量子体系【1 4 1 大量的研究工作f 1 3 】表明，平均场理论对于定量预 测囚禁凝聚气体的统计力学，动力学，以及热力学性质确实非常有效 在平均场理论的基本框架下，可以从b o s e 子场算符中将凝聚部分 的贡献分离出来一般一个畅算符可以写成斯有单粒子渡函嗽的叠加 每( r ) = e 。虬( r ) n 。这里虬( r ) 是单粒子波函赣，咕a a 分别是糨应魄 定义在f b 吐空间中的产生和湮灭算符，他们分别满足 a 吉i t i o ，n l ，n o ， = ，i v t l n o ，n l ，n o + 1 ， a a n o ，n l ，n a i = 撕嗣伽，竹l ，n n 一1 ， ， ( 1 2 ) 其中是算符= 的本征值。它描述了处于单粒子a 态的原子 数因此当n o ；n o l 时，即基态原子数n o 成为一宏观量，并且o 在 热力学极限_ o o 时为一有限值，此时认为玻色子气体开始凝聚成玻 色爱因斯坦凝聚体因而，对应于炳和o 士l = 0 的态具有相同的物 理图景n o ，对可以近似看成c 数( 可交换麴a o = o 手= 棚际来处理对于 在体积y 中的均匀气体，生成凝聚体的原子的单粒子态为霍o = t 啊 因而可将场算符分解为每( r ) = 际形+ 妒( r ) 驴是一小的扰动以上是 b o g o f i u b o v 对激发相互作用玻色气体的“一阶”扰动理论的描述作为 对这一理论的推广，当相互作用气体是不均匀的，即有外场作用时， 场算符每( r ，t ) 可写成 量( r ，t ) = 圣( r t ) + 亩( r ，t ) ， ( 1 - 3 ) 这里复函数圣( r ，t ) 定义为场算符的期待值，而它的模方对应于凝聚体 的粒子数密度，n o = i 垂( r i t ) 1 2 函数垂( r t ) 是一经典场，通常被称为凝 聚体的波函数而妒( r ，t ) 代表非凝聚气体各态的场算符，一般在凝聚 体的耗散很小时，它是一小量所以( 1 3 ) 可看作一种微扰展开，在这 种扰动展开中，凝聚体波函数所满足的方程就是场算符关于童( r t ) 的 最低阶展开所满足的方程为此可以从多体哈密顿( i i ) 出发，得到场 算符由满足的h e i s e n b e r g 方程 t 嗉盘( r , t ) = 【量，期 = f 一r ； = v 一- + 么t ( r ) + d r 亩+ ( r ，) y ( r ，一r ) 亩( 一，t ) 】亩( 一，t ) 5 1 2 玻色一爱因斯坦凝聚体中的混沌特征3 ( 1 4 ) 在稀释低温的玻色气体中，人们一般只考虑两体相互作用使用刚球 模型，哈密顿中的两体相互作用势可近似为6 函数势【1 5 】 y ( r 一r ) = g j ( r ，一r )( 1 5 ) 这里g 是和b - 波散射波长相关的耦合常数 =4”h-2ag ( 1 6 ) 2 【l 6 j 将方程( 1 5 ) ，( 1 6 ) 和( 1 3 ) 代入( 1 4 ) ，即得凝聚体波函数所满足的方程为 妄咐) = 一譬+ ( r 】蚓w 炉” ( 1 7 ) 这就是著名的g r o s s - p i t a e v s k i i ( g p ) 方程因此，在平均场理论框架下，系 统的动力学行为可以方便地由g p 方程描述当系统处于绝对零度时， 非凝聚部分量，( r ，t ) = 0 ，此时的g p 方程是严格有效的实践已经证明 平均场理论是一种较为成功的方法许多研究者都从上述方程出发得 到了玻色凝聚体中大量有趣的性质 1 2 玻色- 爱因斯坦凝聚体中的混沌特征 作为上世纪一门新兴的科学，混沌已经吸引了人们广泛的兴趣早 在1 9 世纪末。庞加莱( h p o i n c a r 6 ) 在研究三体系统的稳定性时就发现， 即便是只有两自由度的保守系统，都能作出难以想象的复杂运动随 着计算机技术的发展，人们开始用数值计算的方法来求解一些解析方 法不能解决的非线性同题1 9 6 3 年，气象学家洛伦兹( e l o r e n z ) 在对大 气热对流模型的数值分析中发现了确定性非周期流，1 9 6 4 年，天文学 家埃农( m h d n o n ) 与海尔斯( c h e i l e s ) 在星系中星体轨道的数值研究中 再次发现了当年庞加莱发现的不规则运动所有这些研究结果表明， 在经典力学中普遍存在着一种尚未为人们所认识的运动形式一确定性 混沌自从认识到混沌普遍存在于经典系统当中这一事实后，人们开 4 第一章绪论 始明白了运动的确定性并不等于运动的可预测性的道理同时人们开 始用新的眼光来看待各个科学领域中的不规则运动从而出现了上世 纪7 0 年代以后的混沌科学的蓬勃发展时期并且混沌的许多研究成果 已经在不同的领域得到了广泛的应用诸如在化学，生命科学，通讯 等混沌的大量研究最初集中于经典动力学系统在经典意义上人们 对混沌的概念已经法赢万共锻。即在确定性系统中其动力学行为出现 不可预测性，并且敏感依赖于系统的初始条件在认识到混沌在经典 力学中的重要地位后，人们自然地会将确定性混沌的概念推广到量子 力学中去按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得 的结果应该和经典力学一致，故而力学系统的混沌特征也必然要在其 量子力学性质上有所表现然而，到目前为止人们并不清楚由量子力 学描述的微观世界混沌运动的详情因此，人们对量子混沌的概念还 有所争论目前量子混沌研究的个主要方向是研究经典混沌系统在 量子力学处理中的混沌特征【1 6 】，f 1 7 】 如前面所述，在经典哈密顿系统中的混沌已经被简单而广泛地理 解_ 为非线性系统的相轨道对初始条件的极度敏感依赖性，从而导致系 统的运动状态在长时闻后的不可预测性而一般的量子力学系统的动 力学行为由线性的s c h r s d i n g e r 方程来描述，由于测不准关系的存在，在 h i l b e r t 空间不再有等价于经典力学的对初始条件的敏感依赖性，因而 人们无法识别量子系统中的量子混沌运动随着玻色一爱因斯坦凝聚的 实验实现，为我们提供了一种新的量子系统，在平均场理论中该系统的 量子力学行为由非线性的s c h 蛾方程一g p 方程来描述随之而来的 问题就是t 在g p 方程中附加的非线性会对一个量子混沌的s c h 6 d i n g 方程产生什么影响呢? 。【1 8 】带着这些问题人们对玻色爱因斯坦凝 聚中的混沌性质进行了广泛的研究s a g a r d i n e r 【1 9 等人引入了不同 的经典量子对应，他们认为一般的量子力学在普朗克常数五叶0 时会 返回经典对应模式，而对玻色爱园斯坦凝聚体这样的量子系统，它 在 _ + 0 时的经典对应是经典的流体力学他们给出了如图1 1 的转换 框架图几乎是同时，人们还研究了由于这一附加的非线性效应而给 凝聚体系统带来的时间混沌，空间混沌，甚至是时空混沌性质其中 对对间混沌性质的研究主要采用的方法为两模f 2 0 】或多模近似 2 1 1 ， 1 2 玻色一爱因斯坦凝聚体中的混沌特征 国一国 卜卜 国一目 i 硪一l i - o ll l _ 哪瞳i 。_ - 朋啊妇嘲 l 嘲il l _ 一 图1 1 ：g p 方程在不同极限下和其他动力学形式的关系图这里的 参数代表非线性相互作甩强度该图捕自文献f 1 9 j 5 并且集中于凝聚原子的j o e s p h s o n 混沌隧穿等性质上比如a b d u l l a e v 和 k r a e n k e l 利用两模近似的方法研究了两弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚体 凝聚原子的相对布居效在隧穿幅度含时 2 2 】和a 一波散射长度随时间变 化【2 3 】两种情形下的非线性共振和混沌振荡另外，l e e 【2 4 1 和h a i 【2 5 】 等人在相同的近似框架下还讨论了两弱耦合凝聚体系统相对布居数随 时问演化的m e l n i k o v 混沌，频率镇定，以及混沌的几率密度等同时，考 虑到热粒子对凝聚体的补充以及三体重组对凝聚体的耗散作用f 2 6 】。 p c o u l l e t 【2 7 1 讨论了两耦合凝聚体中的l o r e n z 混沌和混沌自囚的性质 除了对两态或双阱系统的研究外，人们还研究了三耦合凝聚体动力学 中的混沌隧穿，混沌自囚，动力学不稳定性等犯8 】，【2 9 l 性质此外，玻 色一爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征也是人们所关注的f b a r r a 和 他的合作者就考虑了在k r o n i g - p e n n y 势u ( 动= g ，e 罂一。6 ( z 一旧作用下玻 色一爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征当系统的波函数为实的定态 渡函数时，他们给出了一对关于空间序列的保积p o i n c a 砖映射，并描述 了其中的周期，准周期和混沌轨道【3 0 】尽管在【1 9 】中称g p 方程为量子 混沌s c h r 蝴r 方程，但是我们发现上述的混沌性质都是经典意义下 6 第一章绪论 的q t h o m m e n 在【3 1 】中对这一问题作了详细的讨论他认为量子混 沌的表现帮其对应的经典动力学并没有直接的联系比妇说。在不含 时系统中的能级分布具有w i g n e r 分布形式是量子混沌的重要表现，但 是这一点在经典力学中并没有明显的对应他们认为造成这种情况的 主要原因有t 首先。经典力学中最基本的相空间轨遭的概念由于测不 准关系x p i a q t n 2 的原因丽不照直接移植到量子领域，但是人灯可以 将一量子态投影到一组基矢上，从而定义一个推广的相空间只要这 组基矢足够完备。初始条件就可以用相空间中的一个点来表示即使 这样，对初始条件的敏感性仍然不存在这可归结到第二个原因：在 经典力学中非线性的产生是由于力是待求动力学变量( 岱，a ) 的非线性 函数而在线性的量子力学s c h r s d i n g e r 方程中。经典动力学变量作为算 符不再是待求函数，而势依然依赖于( g ，“) 而不是待求的波两数但在 g p 方程中，非线性的内部相互作用势也依赖于渡函数，此时在推广的 相空间中，系统的动力学和经典力学非常相似。因而所讨论的混沌特 征和经典意义下的混j 咆性质非常接近他们还以璇色爱因斯坦凝聚 体系统为例，以w a n n i e - s t a r k 态为基矢构成推广的相空间，并发现这样 的相空间完全符合k a m 理论 最后，人们还发现玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌性质和它的塌缩 有密切的联系，v s f i l h o 【3 2 l 等人讨论了塌缩凝聚俸中的时空混沌 另外。w z h a n g 【3 3 】，删等人还发现一周期受击的环形玻色一爱因斯坦 凝聚体可以看成一受击鼍子转子的非线性推广在对这一模型中混沌 性质的研究中发现当周期或准周期运动转变为混沌运动时，非凝聚原 子成指数增加从而导致凝聚体的塌绾除此之外。物质渡孤子相互碰 撞过程中的混沌行为【3 5 】也引起了人们广泛的兴趣 上面已经提到，混沌对初始条件有着特殊敏感的依赖作用，对于 两个非常接近的初始条件，随着时间的推移，它们各自的轨道会成指 数形式分离开去而在实际实验中，系统的初始条件不可镌非常精确 地确定，因此，在某种意义上讲这种系统在本质上是不可预测的实际 上一个由理想初始条件出发的预测轨道在时间演化过程中会相对于 由实际初始条件出发的实际轨道指效分离开去所以在预测中的误差 会随时闽指数增加直裂援测轨道完全不同于实际鞔遭许多年来，混 】2 玻色一爱因斯坦凝聚体中的混沌特征 7 沌的这种特征是人们所不希望的大部分的实验学家都认为这种性质 应该要尽可能地避免但是随着对混沌性质的进一步深入研究。人们 却得出了相反的结论混沌系统的动力学除了对初始条件敏感依赖以 外，它们还表现出两个重要的性质首先，在系统的混沌集合中镶嵌了 无穷多的不稳定周期轨道，换句话讲，混沌吸引子是无穷多周期轨道 的集合，而且每一条轨道都是不穗定的第二。在混沌吸引子中的系统 动力学是各态历经的。这意味着在时间演化过程中，系统会遍历混沌吸 引子中每一条不稳定周期轨道上每一点的任意小邻域由此衍生出了 混沌控翩的重要思想当演化轨道各态历经到一镶嵌在混沌吸引子中 的一耳标孰道附近时，人们可以萃! l 用一个小的扰动将其稳定到这一目 标轨道上去这一结果表明，混沌系统对初始条件变化( 扰动) 的敏感依 赖事实上或许是人们在实际实验条件下所期待的可以确定的是，如 果一个小的扰动可以在时间过程中产生一个大的响应，那么通过选取 适当的扰动，人们就可以将演化轨道引导到混沌吸弓f 子中人们想要的 任意一条轨道上去，从而形成一系列的动力学状态 这里要指出的重要一点就是，由于混沌，人们才可以利用同一个 混沌系统在适当的微小扰动的帮助下来实现无穷多所期待的动力学 行为需要强调的是。这种情况并不针对非混沌系统在非混沌系统 中，通过适当的扰动也可以产生预期的行为，但是，一般来说，它在幅 度上总是和未受扰动的系统动力学变量的演化是同阶的混沌控制的 思想首先在上世纪帅年代初由m a r y l a n d 大学的e o f t ，c g m b o g ia n dj a y o r k e 提出【3 6 1 在这篇开创性的文章中他们提出了著名的o g y 反馈 控制方法随后人们还发展了许多其他的控嗣技术【3 7 】 【4 0 l 。在建立控 制混沌的方法上，人们除了在理论上取得了重大突破外，还在实验上 实现了混沌控制，其中包括在磁致弹性带子( m a g n e t o e l a s t i cr i b b o n ) 【4 l 】， 心脏( ah e a r t ) ，。热传送回路( b t h e r m a lc o n v e c t i o nl o o p ) 4 4 1 ，嘲，镱 离子石榴红振子( ay t t r i u mi r o ng a r n e to s c i l l a t o r ) f 4 6 】，二极管振子( 8d i o d e o s c i l l a t o r ) 1 4 7 】，光学多模混沌固态激光( a no p t i c a l m u l t i m o d e c h a o t i cs v l i d - s t a t e l a s e r ) 【4 8 】，b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i 反应扩散化学系统( ab e l o u s o v - z h a b o t i n s k i r e a c t i o nd e l f