（一般力学与力学基础专业论文）非线性振动的混沌控制与同步方法研究.pdf

摘要 混沌是一种特殊的自然现象，它揭示了自然界中有序无规则的运动特性。它 在诸多领域中都有着十分广阔的应用前景，是近年来学科研究领域的前沿。 混沌的控制问题，指的是将出现的混沌运动控制到期望的周期或者拟周期轨 道上。这方面的研究从2 0 世纪9 0 年代就开始了，提出的方法包括o g y 方法、 延迟反馈方法、正比脉冲控制方法等等。本文在这方面也进行了一些探索工作。 对于自治系统，如l o r e i l z 系统、c h 雠系统，从l y a p 岫o v 稳定性理论出发，设 计控制方法将其混沌响应控制到平衡点上，同时也进行了将响应控制到周期轨道 上的尝试。此外，利用人工智能神经网络对于函数的无穷逼近特性，设计了控制 方法，将自治系统、非自治系统的混沌响应控制到期望的平衡点上，或者是周期 信号上，这些周期信号甚至可以是不连续的，比如阶跃信号、锯齿波信号等。 混沌控制中有一个特殊的领域，就是混沌系统的同步。混沌的同步指的是在 一个系统处于混沌状态时，通过一定的控制方法，使得另外一个系统出现与之相 同的混沌运动。由于混沌运动的不可预测性与对初值的敏感性，即使是相同的系 统，不同初值情况下的混沌运动也不相同，因此这方面的研究目前成为混沌研究 的一个热点。本文主要针对几种不同形式的非线性振动系统研究了混沌的同步问 题。首先对于系统参数是常数，非线性恢复力为位移高次项的情况，设计了派生 系统，证明这两个系统的非线性响应会达到同步。采用中6 - d u m n g 系统进行的 仿真计算证明了这一点。然后，对于含有时变系统参数，非线性力不含时间项的 情况进行了研究，给出了与其同步的系统的设计方法。此时设计的派生系统，有 一个重要的特点，就是只与原系统的确定性响应同步，而不与其混沌响应同步。 由m a i l l i e u 方程的仿真计算证明了这一点。最后，对于一般的非线性振动方程， 即含有时变系统参数和时变非线性力的情况，证明了采用线性耦合可以使得派生 系统与原系统达到同步，给出了耦合矩阵的构造方法，以立方非线性、参数激励 与强迫激励m a t h i e u 方程和拟周期激励的d u m n g 方程为例进行了仿真计算，证 明了这种方法是有效的。此外，对于混沌同步在信号识别中的应用进行了一些探 索。对于d i l 伍n g 方程，证明了其激振信号在幅值、频率上的微小差别，都会使 派生系统与原d u m n g 系统响应失去同步，因而可以利用系统是否同步来判断激 振信号是否存在微小差异。 最后，本文对于今后的研究方向进行了展望，以便在这方面继续进行更深一 步的研究工作。 关键词：混沌，非线性振动，混沌控制，神经网络，同步，派生系统，耦合，信 号识别 a b s 缸a c t c h a o si sas p e c i a lp h e n o m c l l o nw h i c hr e n e c t st l l ei r r e g m l a ra n dl l i g 蛐yc o m p l e x s 仉l c t i l r e si l lt i m ea n di ns p a c et l l a tf o l l o wd e t e m i l l i s t i cl a w sa n do q u a t i o 璐nh 嬲 b c e l ls n l d i e de x t e n s i v e l yi nm a n ya r e 船i nr e c e n ty e a r s c h a o sc o n 们lr e f b r st 0c o n t r o l l i n gac h a o t i cm o t i o nt oad e s i r c dd e t e m l i r i i s t i co n e b ys o m em e t h o d s t h er e s e a r c hw o r k so ni tw a sf i r s t l yr e p o r t e di n1 9 9 0 t h ec o n 订o l s c h e m ep r e 删e di i l c l l l d e so g ym e t l l o d ，d e l a yf e e d b a c km e t h o d 柚dp r o p o r t i o n a l l y i i i l p u i s i v ec o m r o im e m o d h 1t 1 1 i sp a p e r m er c s e a r c h 、o r k si sc a r r i e do u to nt h e t o p i c f 0 rt h ea u t o n o m o u sd y n 锄i cs y s t e m ，e g ，l o r e n zs y s t e m ，c h 蛐s y s t e m ，b a s e d t l l el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，ac o n t r o lm e m o di sp r e s e m e dt 0c o n 仃o lt l l e i rc l l a o t i c r e s p o n st os t a b i l i z eo nt i l ee q u i l i b r i 啪p o i m s i m u l 伽l e o l l s l yam e m o di s 仃i c dt o c o i m o lt 1 1 e i fc h a o st oas t a b l e 硎o d i ct 瑚d o c t o n li i la d d i t i o l l b yu s i n gi t s c h 盯a c 肥r i s t i co fa p p r o a c h i n gan 0 1 l l i n e a rn m c t i o nb yav e r yb j 曲a c c u f a c y am e t l l o d b 撇do na n i f i c i a ln e u r a ln e t w o r ki sp r e s e n t e dt oc o n t r o lt 1 1 ec h a o t i cm s p o n s eo f a u t o n o m o l l s 锄dn o l l a u t o n o m o l l ss y s t e mt oas 协b l ee q u i l i 嘶啪p o i n to rap r o s p e c t i v e i n p u tf h n c t i o i lt h e 如n c t i o nc 觚b ee v n o n c o n t i n u o 璐，e g ，s w l 也w a v co rj 啪p f l l n c t i o n 1 nc h a o sc o n 自r o l ，i e i s 锄i m p o r t 觚ta r e ac a l l e dd l a o ss y n c h r o n i z a t i o n c h a o s s y n c l l | o i l i z a t i o nr c f e r st ot l l ei d e n t i c a im o t i o nb e t w e e nm eo r i g i m lc h a o ss y s t e m 甜l d t h ec o n t r o l l e ds v s t 咖s i n c et t 屺c h a o si ss e n s i t i v et on 坨i i l i t i a lc o n d i t i o n i ti s h n p o s s i b l et op r e d i c tt 1 1 ec h a o t i cr e s p o n s e i ti sd i m c u l tt om a k eas y g t e m ，c a l l e d d 硎v e ds y s t e m ，t od u p l i c a t et 1 1 ei d e n l i c a jm o 廿o no f t l l eo f i 星五j 1 a js y s t e m 1 1 11 1 1 i sp a p f 研v 锄l t y l ) e s o fn o n l i m a rv i b r a t i o n s y s t e i i i ， s o n l em e t l l o d st of e a l i z c s y n c h r o n i z a t i o na mp r e s e n t e d 锄dp r o v e d f o rt h ev i b 瑚瞳i o ns y s t 锄w i t hc o i l s t 趴t p 龇狮e t e r sa i l dn o n l i i l e a rr e s t o r i n gf o r c e ，ad e r i v e ds y s t e m 觚dc o m r o lm e m o d 撇 d e s i 鼬e dt of e a l i z es v n c h r o i l i z a t i o n t h es h u l a t i o ni sc a r r i e dd u to n 毋o d u 仃i n g s y s t e ma n dt 1 1 ef e s u l ts h o w st h a tm e “v os y s t e m si a c hi d e n t i c a ls y n c h 删z a t i o n t h e nf o rt l l e “b r a t i o ns y s t e mw i t ht i m e - v a r i e dp a r 锄e t e 噶锄d 、 ，i t t l o u tt i m e v a r i e d e l e m e n t si nr e s 州n gf o r c e ，a 州n c i p a lt od e s i 印ad 舐v e ds y n c h r o n i z a t i o ns y s t e mi s 2 i v e na 1 1 dp r o v e d f o rt h ed e r i v e ds y s t e m ，i t st y p i c a lc h 甜a c t 酣s t i ci st l l a tm er e s p o n s e c a no i l l yr e a c hs y n c l l i 蚰i z a t i o nw i t i lt t l eo r i g i n a ld e t e m i i l i s t i cm o t i o n nc a l l tr e a c h s y l l c l l l _ 0 i l i z a t i o nw i t ht i l e “西彻1 阻s t a b l em o t i o n ，e g ，c h a o s t h es i m 珊a t i o n m 徜e us y s t e mp r o v e st 1 1 i sp o i n t f i n a l l yf o rt l l eg e n e r a ln o l l i i i l e 缸、，i b r a t i o ns y s t 锄， n 锄e l ys y s t e m 丽t l lt i m e v a r i c dp a 蛐e t e 陪a l l df o r c e s ，i ti sp r o v c dt t l a tt l l el i i l e 缸 c o u p l i n gc a nk e e pi d e n t i c a is y n c h o i l i z a t i o nb e t w 嘲t h eo r i m n a la n dd e r i v e ds y s t e m t h e 面n c i p a lt of o r i i lt l l ec o u p l i n gm 砌xi sp r e s e m e d f o rp a 舢e t e r s - e x c i t e d m a t h j e us v s t e ma n dq u a s i p e r i o d i c “i ye x c i t e dd u 伍n gs y s t e i l l ，t h en 啪e r i c a l s h u l a t i o n sa i ec 枷e do u t 雒dt 1 1 er e s u l t sd f o v et 1 1 a tt 1 1 em e 山o di se 仃b c t i v e i i lt h e a p p l i c a t i o no f 毋m c h r o i l i z a t i o n ，an o v e l 埘【e t h o dt od i s t i n g m i s ht 1 1 ef a i md i 丘b r e n c ei l l e x c i t i n gf o r c eo fd i | f n n 2s y s t e mi sp r e s e m e d b ys i m u l a t i o n ，t h ef a i n tv 撕a t i o ni n 锄p l i t l l d ea i l df k q u e n c yo fe x c i t i n gf o r c ec a nl e a dt ot 1 1 el o s so fs y n c h m n i 2 a t i o n b e t w e e nt h et w os v s t e m s s ot i l es v n c l l l o i l i z a t i o nc 觚b eu s e dt 0d e t e c tt l l ef 弛 v a r i a t i o ni l ls i g n a l f i n a l l vt 1 1 ef u r c h e rr e s e a r c hd i r e c t i o na n ds o m et l l o u g l l t so nw o r l 【sa r ep r e s e l l t e df o r c o n s u l t a t i o na n dc o r r e c t i o n s k e yw o r d s ：c h a o s ，n 0 1 1 1 i n e a rv i b r a t i o n ，c h a o sc o n t r o l ，i 把u r a ll l e “v o r k ，s y n c l l i d n i z a t i o n ， c o u p l i n g ，s i g n a ld i s c r e t i o n 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论 文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 时、舻 学位论文作者签名：卤! ! 羔 指导教师签名： 如抽1 年3 月f 日御年7 月g 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位 论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文 中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用 途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以 明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：垫：丝 t 、叫 功。1 年3 月日 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 最近十年来，在非线性控制领域内对混沌( c h s ) 控制的研究受到人们越 来越多的关注。如何控制非线性响应到理想的运动周期轨道上，是一个十分重要 的问题。近几年来的研究涉及到各个领域，从对混沌现象的观察及范例的研究转 向寻找各学科之间行为的相互制约及内在联系，进而寻求一大类复杂问题普遍遵 循的共同规律和系统方法。 混沌是指发生在确定性系统中貌似随机的不规则运动“1 。自法国的 h p o i n c a f e ( 1 8 5 4 1 9 1 2 ) 开创混沌研究以来“1 ，国际上对混沌的研究一直长盛不衰。 混沌控制由于在许多领域具有巨大的应用前景而受到广泛关注。目前，对于混沌 的研究已经遍布各个学科，人们不仅较为清楚的认识了混沌现象的机理及其产生 途径，并且有了成功的实际应用。混沌被认为是继相对论，量子力学之后，2 0 世纪在科学领域中人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次革命0 1 。混 沌是在非线性系统研究的基础上产生和发展的，本身也是非线性的一种。下面从 混沌发展的历程来介绍混沌的产生，混沌研究的问题，混沌研究的方法，以及混 沌在不同领域中的应用等。 1 1 非线性系统问题概述 1 1 1 从线性系统到非线性系统 过去对动力系统的研究多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的。输出 与输入成正比，即在系统方程中只有各状态变量及各阶导数的线性( 一次) 项。 这样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定 后，方程的解( 代表系统的运动) 便是确定的，而且解服从叠加原理：方程不同 的解的线性叠加仍是方程的解。同时这也符合人们认识事物由简单到复杂的过 程：物理学家首先考虑小变形下的弹簧振子、没有摩擦的理想摆；数学家首先研 究线性函数、线性方程。于是，现实世界被描述成了没有间断、没有突变、没有 分叉、也没有混沌的线性模型。而且这些线性模型也准确的描述了一大批现实系 统。事实上，线性科学在理论和实践上都有及其光辉的成果，迄今许多令人注目 西北t 业大学硕十学位论文 第一章绪论 的重大理论和技术创造都是线性科学的贡献。1 。 然而，实际的自然现象是复杂的，其系统往往要用非线性方程来表示，有时 甚至不能写出系统方程的表达式，例如弹簧振子，当其位移变的很大时，胡克定 律将会失效，弹簧振子由线性系统变为非线性系统。又例如各种实用振荡器都是 非线性的，他们都进行所谓极限环振荡。2 0 世纪7 0 年代以来，以混沌、分形和 孤立子为主体的非线性科学刮起了所谓的“非线性风暴”，横扫了整个线性观， 现在认为：非线性特性才是现实世界的基本特征和本质存在；而线性系统只不过 是一些简单的非线性系统在一定条件下的近似。非线性观把简单性与复杂性、有 序性与无序性、确定性与随机性、必然性与偶然性等统一起来。因此，抛弃以往 片面的线性观，发展非线性观是科学发展的趋势所在”1 。 1 1 2 非线性科学简介 以牛顿力学为奠基石的近代自然科学总是试图在自然现象中寻求一种线性 化的、简单性的答案，他确立了现实世界简单性的信念。然而，随着科技的进步， 人们认识、研究的对象越来越复杂，这种简单性概念和方法受到了质疑。现代科 学所研究的是简单思想所无法解决的复杂对象。复杂性到处都有，复杂系统无处 不在，世界是复杂的。而现实世界的复杂性大多源于非线性，探索复杂性就得研 究非线性问题。而非线性科学就是在研究非线性问题的过程中建立起来的新科 学。 非线性科学目前有六个主要领域：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自 动机、复杂系统0 1 。非线性科学的出现有效的解决了牛顿力学无法研究的由多个 要素构成的复杂系统。非线性科学涵盖了各种各样尺度的系统，涉及以任意速率 运动的对象，具有广泛的实用性。正如科学家们所说，线性科学代表了科学发展 的幼年，而非线性科学代表了科学发展的未来。 1 1 3 非线性动力学问题的研究方法 几何方法嘲 几何方法是研究非线性问题的一种定性分析方法。传统的几何方法是利用相 平面内的相轨线作为对运动过程的直观描述。在常微分方程定性理论的基础上， 根据相轨线的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点的类型和极 限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。因此，关于奇点的类型和稳定性 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 的研究，关于极限环的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的研究， 是传统几何方法讨论的主要内容。几何方法的局限性是不能得到非线性振动的定 量规律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。尽管如此，几何方 法仍在非线性振动研究中起着重要的作用。几何方法不仅能得到直观的定性结 果，而且可为其他研究方法提供理论依据。 在非线性振动理论的现代发展过程中，几何方法有了新的研究内容。现代几 何方法也研究由数学抽象所得到的人为构建的几何结构，它具有与真实非线性系 统类似的性质。 解析方法 解析方法是研究非线性问题的定量分析方法，即通过精确地或近似地寻求 非线性微分方程的解析解，以此得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和 初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解通常涉及非初等函数的引入和研 究。能够得到精确解的非线性系统称为可积系统，这种系统的数量极其有限。 更常用的解析方法是近似解析方法。他的研究对象仅限于弱非线性系统。 这类系统的非线性项为小量，因此可以将非线性系统的解建立在线性系统解的基 础上，将非线性因素作为对线性系统的一种摄动，从而发展出各种近似解析方法， 如：正规摄动法、林兹泰德一庞加莱法、多尺度法、平均法、k b m 法等方法。 目前可以得到解析解的非线性问题有限，所以解析方法的使用有局限性。 相平面法 在对非线性系统的研究中，常常把系统中的自变量称之为状态变量，相应 的自治方程组( 卸蕾o m o 懈，即方程组中不显含时间) 代表了所要分析讨论的系统 状态变化的规律，可称为系统的状态方程。为了更直观的表示系统状态的变化规 律，把单个状态随时间的变化图，称之为时域图。把由各个状态变量所形成的空 间称之为相空间( p h a s p e ) 或者状态空间( g t a c cs p a c e ) 。在相空间中，每一 时刻的状态用相空间的一点或矢量表示，状态随时问的变化则是相空间中的轨 线，也就是系统状态方程的解曲线或积分曲线。这些曲线与初始条件有关。相互 l | 缶近的初始条件的轨线的集合构成所谓的流( f l o w ) ，它表示系统运动的趋势。非 线性系统状态方程的解反映了系统的运动性质，它在相空间的对应关系如下： ( 1 ) 稳态解：状态变量将随时间变化趋于定值。解在相空间中的轨迹趋 于一稳定的定点。如方程： 膏+ 戚+ 孚s i n ( x ) = o( 1 - 1 ) ， 、 卜1 ) ( 2 )发散解：即状态变量将随时间无限制地偏离初始有限值而趋于无穷。 西北r t 业大学硕十学付论文第一章绪论 解在相空删中的轨迹为发散曲线。如方程： j x = o( 1 2 ) ( 3 )振荡解：系统的状态变量既不趋于无穷大，也不终止于某一稳定点， 其取值在有限范围内不断变化。有以下三种形式：“1 时域图 相平面田 0 5 0 。 a 一 051 01 52 0 错 叟弦 图1 1 方程卜l 的时域图和相平面固 x 1 0 2 相平面图 刀 | 一7 - 一一- - - - - - - i 一一一- 一一一一 l 图1 2 方程卜2 的时域图和相平面图 1 )周期振荡：状态变化总是周而复始地重复进行，即振荡有确定的周 期。解在相平面中的轨迹是围绕某一不稳定奇点的闭曲线( 相平面中的这种闭曲 线称为极限环) 。如范德玻尔方程： 戈+ ( 一1 ) 孟+ x = o ( 1 。) 2 )准周期振荡：由两个振荡系统耦合的系统，由于频率之间不可公约， 4 6 5 3 2 ， o i x 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 使得振荡貌似周期实际却是非周期的振荡。解在相平面中的轨迹不是封闭的曲 线，较长时间的演化后轨线密集在一个封闭带中。如外加一个与原范德玻尔方程 固有频率不可公约频率的周期激励的方程： 譬+ ( x 2 一1 ) 童+ x = c o s ( 2 f ) ( 1 4 ) 3 )混沌：具有随机性的非周期运动，状态变化无规律可寻。如方程： i + o 3 j x + 矿= o 4 c o “1 2 r )( 1 5 ) 相平面图 图1 3 方程l - 3 的时域图和相平面图 相平面图 图1 4 方程l - 4 的时域图和相平面图 西北丁业大学硕+ 学位论文 第一章绪论 相平面图 图1 5 方程l - 5 的时域图和相平面图 相平面法是根据微分方程本身的特点，对其在相空间中的积分曲线( 相轨 迹) 做出定性分析，进而判断系统的运动规律。它是最直观的定性分析方法，它 可反映出系统解的拓扑结构在参数和初值改变时的变化，可以为其他研究方法提 供理论依据。相平面的局限性在于不能得到非线性问题的定量规律。 数值方法 数值方法是研究非线性系统的数值计算方法。数值方法通过数值计算求解 非线性微分方程，得到非线性系统在特定参数和初始条件下的运动规律。数值方 法既可以计算特定非线性系统的各种运动的时间历程，包括平衡、周期运动和非 周期运动等，也可以通过计算确定参数对系统运动的影响，以及通过对吸引盆及 其边界的计算确定初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性问题的数学工具 尚不完备，数值方法起着非常重要乃至不可替代的作用。数值方法在研究非线性 问题中的突出作用是发现新现象，这已成为非线性科学现代发展的突出特点。数 值方法还可以补充理论研究结果，为理论研究提供启示，以及检验理论结果等。 具体的数值计算方法较多，常用的有解常微分方程的龙格一库塔( r l m 聆k u t t a ) 公式法和简单迭代法。 1 1 4 相空间的概念 在非线性系统的研究中，常常把系统中的自变量称之为状态变量，相应的自 治方程( 运动方程或者动力学方程) 也可称为状态方程。反应状态的变化一般可 有两种表示方式：单个状态随时间的的变化图，称之为时域图：几个或者所有状 6 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 态随时问的变化图。把各个状态组成的空问称之为相空间( p h a s es p 撇) 或者状 态空间( s t a ：c cs p c ) 状态随时间的变化反应在相空间中就是系统的运动的轨 迹，也是方程解的曲线或积分曲线m 。非线性系统中各种解在相空间的对应关系 如表1 1 所示1 嘲： 表1 1 非线性系统解在相空间中的对应关系 系统解的分类相空间对应的形式 稳态解 结点，焦点，鞍点，中心点 周期解极限环 准周期解环面 混沌奇怪吸引子 1 1 5 非线性系统解的稳定性研究 系统的稳定性可由俄国著名数学家l y a p 岫o v 稳定性定义来确定“儿耵。通常 可将系统分为稳定，渐进稳定和不稳定这3 种情况。非线性系统解的稳定性可以 根据l y 印u v 提出的判定定理。l y a p 哪o v 提出的稳定性定理有2 种方法：第一 种( 又称l y 印u i 叭侗接法) 是先把非线性方程在奇点( 定点) 的领域线性化，然 后利用线性方程来判断定点的稳定性。l y a p l l n o v 第二法又称l y a p u v 直接法， 它是仿照力学中用能量判断平衡态的稳定性那样，不求解方程，而用类似能量的 函数直接做出判断的。 为了判定点而的稳定性，在相空间( 或者经坐标变换) 取为原点并引入 以下定义： 定义l ： 设矿( 功为在相空间坐标原点的领域d ( d ：忙i i 0 。这样的函数就成为l y a p l m o v 函数。 定义2 ：y 沿一阶自治方程( 或者是自治方程组) 的解工的全导数为： 唯) = 掣= 喜华鲁= 喜拳 直接法描述如下： 定理1 ：如果对动力学一阶自治方程( 或者方程组) 存在一个l y a p u n o v 函数 矿( 工) ，其全导函数矿( 工) 是负半定的( 即对于d 中所有点矿( x ) o ) ，则方程的定 点是稳定的。 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 定理2 ：如果对动力学一阶自治方程( 或者方程组) 存在一个l y 印吼o v 函数 y ( x ) ，其全导数矿( 工) 是负定的( 即除矿( o ) = o 外，对d 中所有其他点都有 矿( x ) o 。 ( i i ) 对任意五j ，s ， l i m i n f l 厂”( j ) 一，”( y ) 卜o ( i i i ) 对任意的x s 和，的任意周期点) ，有 l i m s u p l 广( z ) 一”( y ) l o 此定义中，前两个极限说明子集的点工，j ，s 相当分散又相当集中，第三个 极限说明子集不会趋近于任意周期点。 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数，( x ) ，如果存在一个周期为 三的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，就一定出现混沌现象。 该定义刻画了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 存在着无穷多个周期轨道； ( 2 ) 存在着不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在着一个不稳定的周期轨道。 1 2 3 混沌的特征 混沌的各个状态在相空间中随着时间，通过不断的伸长和折叠形成了混沌吸 引子。混沌吸引子是一个复杂的多层次自相似的结构。混沌把表面的无序和内在 的规律性巧妙的融为一体。它的无序性表现在：混沌运动只出现在非线性动力学 系统中，是既普遍又极其复杂的现象，它的定常状态不是通常概念下的确定性运 动的三种状态：静止、周期运动、准周期运动，而是一种只局限在有限区域且轨 道永不重复、性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌 似随机的运动等。与其他复杂现象相区别，混沌有着自己独有的特征“。： 有界性，混沌是有界的，它的运动轨线始终局限与一个确定的区域，这个区 域称之为混沌的吸引域。无论混沌系统内部有多么的不稳定，它的轨迹线都不会 走出混沌吸引域的。 内禀随机性，在一定的条件下，系统中某个状态可能出现，也可能不出现。 在没有外界干扰下，这种随机的产生根源在于系统自身，即混沌系统的内部自发 的产生了这种混沌。 遍历性，混沌在其混沌吸引域中是各态遍历的，在有限的时间内经过混沌区 内的每一个点。 ( 1 ) 初值敏感性，即使是微小的差别的初始条件，也可能导致完全不同 1 0 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 的现象。这就是著名的“蝴蝶效应”。蝴蝶效应是区别混沌同其他确定性运动的 最重要标志。 ( 2 ) 分维性，混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表 现为无限层次的自相似结构。混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个区域内经 过无限次折叠，便构成了一个有无穷层次的自相似结构奇怪吸引子。 1 2 4 通向混沌的道路 对于一个确定的非线性动力学系统，当改变系统参数到达一定的范围时，系 统才会表现为混沌运动。这就出现了研究系统进入混沌的道路和机制的问题。现 在已经研究的比较透彻的通向混沌的道路有以下几种：倍周期分叉道路、阵发( 间 歇) 道路、准周期道路、茹厄勒一塔肯斯道路“4 。 ( 1 ) 倍周期分叉道路。一个系统，在一定的条件下，经过周期加倍，会 逐步丧失周期行为而进入混沌，它是通向混沌的主要道路之一。 ( 2 ) 阵发( 间歇) 道路。一个系统，在特定参数下呈现阵发性，随着参 数的变化，阵发性中无规则运动突发得越来越频繁，系统便由周期运动转化为混 沌运动。阵发混沌的概念起源于湍流理论，是指系统较长时间尺度的规则运动和 较短时间尺度的无规则运动的随机交替变化的现象。 ( 3 ) 准周期道路。初始处于平衡状态的系统，当参数变化通过一临界值 时，可能由平衡转变为周期运动。这种运动性质的突变就是霍普夫分岔。当参数 继续变化时，系统再次经历分岔而出现耦合的极限环而成为环面。若两个极限环 代表的周期运动的频率不可有理通约，则系统作准周期运动。庞加莱映射为分布 在一闭曲线上的点集。在这类系统中。参数的变化导致环面的破裂而出现混沌。 ( 4 ) 茹厄勒一塔肯斯( r u e l l e t a k e n s ) 道路。d r u e l l e ，f t a k e n s 证明： 只要系统出现三个互不相关的频率耦合，系统就必然形成无穷多个频率的耦合， 走向混沌。 1 2 5 混沌研究的方法 混沌运动是非线性系统的一种情况，但并非所有的非线性系统都能够产生混 沌，在确定并分析混沌运动方面提出了以下几种定性和定量方法“删： ( 1 ) 直接观察法 根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间轨迹随时问的变化图，以及状 西北1 = 业大学硕士学位论文 第一章绪论 态变量随时问的历程图。根据混沌的特征来判断系统是否为混沌状态。在相空间 为奇怪吸引子，时间历程图为非线性系统非周期的振荡解。 ( 2 ) 分频采样法 在试验当中，依采样周期采集相空间的代表点。对于受迫振动，采样周期常 取为外控力周期，当采样结果为点时，运动便是周期运动的；当为疗个离散点时， 运动也是周期的，运动周期是外控力周期的玎倍。当采样点结果是无穷多离散点 时，运动是随机的；而如果采样点只是在一定的区域内密集点而且具有层次结构， 则可判断随机运动为混沌。这种方法适合于一切由周期外力驱动的非线性系统， 但是缺点是不能分辩出比采集频率更高的频率。 ( 3 ) p o i n c a r e 截面法 对于含有多个状态变量的自治微分方程系统，可采用p o i n c a r e 截面进行分 析。其基本思想是在多维相空间( 葺，幽，西，屯，出：讲，毛，农出) 中适当的选取 一个截面，使得在此截面上某一对共轭变量( t ，如，廓) 取定值，则此截面就为 p o i n c a r e 截面。当截面上只有一个或者是少数离散点时，运动是周期的；当截 面上为一个封闭的曲线时，运动是准周期的；当截面上是成片的密集点，且有层 次结构时，运动便是混沌的。 ( 4 ) l y a p u n o v 指数分析法 目前在表征混沌运动方面，显示出重大意义的统计特征值之一是l y a p u n o v 指数。它表示了在相空间中相近轨道的平均收敛性和平均发散性。混沌在相空间 中显示的图形为奇怪吸引子。奇怪吸引子的一个显著特点就是临近点轨道是指数 离析的。l y a p u n o v 指数就是来定量的表示奇怪吸引子的这种运动形态。 对于一维映射： + l = ，( ) 假定初始点，它的一个相邻点为+ 氓，经过疗次迭代后，它们间的距 离为： 瓯= l ，”+ 砜) 一，”( ) l _ 等砜 初始点是相互分离还是相互靠近的由下面的条件决定： i 嘭么| l 经迭代后两个点将分开： l 嘭么l l 经迭代后两个点将靠拢。 在不断的迭代中，i 嘭么i 的值在不断的变化，为了从整体上观察这两个点是 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 分离的还是靠拢的，特别的取迭代次数的平均值。设平均每次迭代的指数分离中 的指数为盯，则在相距为f 的两点经刀次迭代后，两点间的距离为 钟嘲= i ，“( 而+ 占) 一，”) i 当占斗o ，矗_ 时， 僻熙躲三h 掣障p l 实际上，上式与初始值无关，可改写为： 盯= l i i l l 三y l l l 一一厅智 式子中，盯就为l y a p u n o v 指数，表示了平均每次迭代所引起相邻两点间指数离 析的情况。 在行维空间中，融是行维的，盯也是刀维的。此种情况下，在r = f 0 时，以 为中心，出( ，f o ) 为半径做疗维的超球面。由于各个方向上收敛和扩展程度的不 同，随着时间的演化，在r 时刻行维的超球面将变成疗维的椭圆面。这个以维的椭 圆面在第f 个坐标轴上的半周长为她( ，) 。l y a p u n o v 指数盯在第f 个分量q 的 值为： 仉：i i m 三l l l ，瑚f 由此可见，盯的厅个不同值就代表了轨道沿疗个不同方向的收敛和发散率。 对于一维情况，相空间下的吸引子只可能为不动点( 对应稳态解) 。l y a p u n o v 指数为负。 在二维情况下，吸引子为不动点或者极限环。对于不动点，任意方向的相空 间中两靠近点的距离都要收缩，故这两个l y a p u n o v 指数都应改为负。因此对于 不动点( q ，) = ( - ，_ ) 。而对于极限环，在沿轨道切线方向既不收缩也不发散， l y a p u n o v 指数为0 ；沿垂直轨道方向一定要收缩，l y a p u n o v 指数为负，即 ( q ，c r 2 ) = ( o ，一) 。 可以推断，在三维情况下有6 种情况： ( q ，吒，c r 3 ) = ( 一，_ ，一) 对应不动点； ( q ，c r 2 ，巳) = ( o ，- ，一) 对应极限环； ( q ，吧，吒) = ( o ，o ，一) 对应二维环面； ( q ，c r 2 ，巳) = ( + ，+ ，一) 对应不稳定极限环； t 1 西北工业大学硕十学位论文 第一章绪论 ( q ，c r 2 ，吒) = ( + ，o ，o ) 对应不稳定二维环面； ( q ，吒，码) = ( + ，o ，一) 为奇怪吸引子； 差分方程( 方程组) 和微分方程( 方程组) 中l y 印u n o v 指数的求解过程参见嘲。 1 2 6 混沌的应用 混沌的应用大致可以分为三类：依据混沌无序有规则的特性，可以利用这种 特点增加系统的复杂性，比如可以用到化学反应中增加粒子的混合，以加快反应 速度；也可以应用到信息通讯中，来增加信息的复杂性，以增强保密效果。还可 以通过抑止混沌，