山东大学 量子力学考研辅导(1).ppt

1,量子力学辅导,参考书：1.曾谨严量子力学教程2.陈鄂生量子力学习题与解答,2,教学目的：,1、系统了解量子力学I的基本内容,2、系统掌握量子力学解题的基本思路和方法,3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实的基础,3,第一部分Schrdinger方程一维定态问题,一、学习要点,(2)是单值的；,(3)与是连续的。,1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数表示.表示时刻粒子处于空间处体积元内的几率，即代表几率密度。根据波函数的物理意义,波函数应具有如下性质：,4,2.波函数满足方程含时薛定谔方程,或,5,波函数满足定态薛定谔方程,或,上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为,包含时间在内的定态波函数为,6,含时Schrdinger方程的一般解为,即一般解可以写为定态解的叠加。,7,3.一维束缚定态有如下性质：(1)能量是非简并的（某些不规则势阱除外）；(2)波函数是实函数；(3)如果势函数满足对称条件则波函数有确定的宇称,即为奇(偶)函数,8,如果坐标原点取在势阱(宽度2a)的中心，则定态波函数为,9,6.在函数势场中，定态波函数在点连续，但在点不连续：,7.波函数为的一维运动粒子的动量几率分布函数为,几率流密度为,当波函数为实函数时，几率流密度为0.,如何理解？,波函数是驻波！,10,二、例题,量子力学中常用的二阶常系数齐次线性微分方程的解,对方程,其特征方程为,(2)相等实根,(3)共轭复根,11,解：,涉及的问题分三个区,I区阱外波函数为0,II区-ax0,III区0xa,II,III,12,其特征方程解为两个共轭复根,考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式,但在原点处波函数必为0，从而可令,从而有,由归一化条件,可得,从而有,13,由于势函数具有空间反射不变性，具有确定宇称的波函数是,（2）奇宇称,（1）偶宇称,但一维束缚能级是不简并的，问题在哪里？,无限高方位势，波函数导数不连续！,两解隶属同一能级,去掉哪一个解？,14,利用两个一维无限深势阱，通过边界条件联系起来,问题：能否利用宽度为2a的一维对称无限深势阱，选择那些在x=0处，波函数为0的态？,另外一种处理方法：,比如右图的基态-,15,提示：,（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件,（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解超越方程组。,（1）理解题目问题含义，分区求解,解：,涉及的问题分三个区,在区,16,方程(1)满足边界条件解是,方程(2)满足边界条件解是,由连续条件与得,注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同区域分别求解并通过边界条件联系起来,17,以上两式相比得,令,代入(7)式，并由定义,可得,其中,可以给出这两个方程在第一象限中的线形,18,其定态能量由两条线的交点定出。,故存在束缚态的条件是,或,19,提示：,（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件,（1）理解问题含义，分区求解,（3）函数的作用,20,解：,在区域，令,有定态方程,其解为,在区域，令,有定态方程,其解为,在x=0区域是势阱,(1)波函数满足边界条件,故波函数的解为,(2)波函数导数满足跃变条件,21,可以得到,或,两边平方，得,显然|E|有解的条件为,或,这正是存在束缚态的条件。,而束缚态能级由前式给出为,22,归一化系数确定为,粒子处于区的几率为,因为,显然,所以,即,23,提示：,（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点,（2）了解函数的作用，会使用跃变条件,（3）要求波函数及其导数都要连续,24,解：,原谐振子势体系的波函数为,此波函数及其导数在原点处是连续的,在原点加上势后，波函数导数要发生跃变，但偶宇称波函数显然不满足,因此在原谐振子波函数中满足此条件的唯有波函数的奇宇称解，即,注意此题与1.2题的异同，无需求偶宇称解。,25,提示：,（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。,（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。,（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。,26,解：,与分别满足定态方程,将代入方程（1），得,显然满足空间反射不变性，,从而此一维势场中束缚定态波函数具有确定的宇称。,对第二个波函数,27,要具有确定的宇称，必有,如何确定c值？,利用正交关系,得,故,如何求能级E1，E2之差？,看S-方程,从而有,28,化简后，有,将最后所得波函数代入上式，可得,29,关键：等效方法将长度变量变为角度变量会使用相应函数的跃变条件,解：,圆周运动的定态方程为,关键是如何表示。,30,由题目所给条件,考虑如何,已经知道x是弧长，显然有，但,而我们知道,代入圆周运动的定态方程，有,如何求解？,借助势垒问题，分区求解比较容易。,31,充分利用波函数的边界条件和波函数导数的跃变条件求出上述系数。,在处，波函数连续，波函数导数跃变,在处，波函数导数连续,可分别得到系数ABCD满足的三个方程,32,从而得到B=-A,C=A,D=-A,这样波函数的解为,即,归一化后为,相应的定态能量由常数的定义给出,问题：m为何不为0？,33,关键：两维问题，消去相互作用，用一维方法求解,分析：,（1）写出哈密顿量,（2）做变量代换,（3）写出新的哈密顿量,34,其中,（4）给出体系的本征能量,（5）给出体系的本征函数,其中,35,（6）换成原变量的本征函数,其中,36,求解粒子能量本征值和本征函数；,提示：模型圆周运动的一维无限深势阱写出无障时任意时刻的波函数利用初始条件理解粒子的状态变化是个渐变过程,37,简解：,（1）在路障内，,在路障外，定态方程为,类比于一维无限深势阱（宽度为）,其归一化解为,相应本征能量为,38,（2）求粒子仍然处于最低能量态的几率,此最低能量态必定是新体系的最低能量态。,此新体系是什么体系？,平面转子！,其定态能量和波函数为,由此写出任意时刻波函数,利用初条件,求出展开系数，从而得到处于基态的几率,39,简解：,思路同上题。写出新体系任意时刻的波函数，其初时刻的波函数就是，求相应展开系数即可。,分析：,对于一维谐振子，新体系任意时刻波函数用表示,利用初条件，得出,40,由此得出,所以,故粒子仍然处于基态的几率为,其中,41,1.22一个质量为的粒子处于的无限深方势阱中，时，归一化波函数为,提示：所给波函数是体系的定态波函数吗？,关键：,利用,有,42,提示：首先要理解题意，同时需要知道如何通过变量代换来使用题目所给的条件。以求动量的平均值为例,43,1.31设一维粒子由处以平面波入射，在原点处受到势能的作用。,(1)写出波函数的一般表达式；(2)确定粒子在原点处满足的边界条件；(3)求出该粒子的透射系数和反射系数；(4)分别指出与时的量子力学效应。,提示：这是一个非常基本的题目，应该掌握！,解：(1)波函数的一般表达式,(2)在原点处满足的边界条件,44,(3)求透射系数和反射系数,其实就是根据上述方程求B,C,从而求得,(4)当时，是势垒，会发生TunellingEffect.,当时，是势阱，量子力学认为粒子有一定几率从势阱边弹回。,注意用这种方法求反射和透射系数的风险！,对于递增势垒，老老实实使用原始定义,原因：概率密度正比于波矢k不同区间，波矢不一样,45,解：第一步分区写出定态方程,提示：这是个常规题，需要求出各区的波函数及反射系数，利用条件求解。可假设并不对题目结果有影响。,46,第二步写出各区定态方程解,第三步利用边界条件求反射系数,有,当时，从而有,此为质量所满足方程。解之得,47,补充例题：,48,第二部分力学量算符,一、学习要点,1.在经典力学中的任一力学量是坐标和动量的函数，它对应量子力学中的厄米算符。的本征值为力学量的可测值。,如果粒子的波函数是力学量算符的本征函数,本征值为，则测量该粒子的力学量时，得如果粒子的波函数不是力学量算符的本征函数，则测量该粒子的力学量时，得到的是平均值：,49,3.算符的厄米算符的定义是,其中与是任意波函数。比较以上两式可以看出，如果满足条件：则是厄米算符。,厄米算符具有如下性质：,(1)本征值是实数；,(2)本征函数具有正交性。,50,设力学量算符的本征函数为，相应的本征值为：,如果，则是正交的：,51,(3)在一定条件下，厄米算符本征函数具有完备性,厄米算符的本征函数具有完备性是指任意波函数可以通过的所有本征函数全体集合表示为,其中,如果的个数为有限的，则是完备的。如果，则在本征值无上限的条件下是完备的。,(4)厄米算符与存在共同本征函数完备系的充分必要条件是与对易。,52,4.量子力学中的基本对易关系是,5.算符函数的定义是,其中,53,6.算符与的不确定关系为,其中,不确定关系的一个重要例子是,54,力学量为守恒量的条件是不含，且与哈密顿对易。,8.力学量完全集是一组线性无关的相互对易的力学量，它们的共同本征函数全体集合可以用来表示粒子的运动态。,在力学量完全集中，力学量的个数为粒子运动的维数。,例如对在三维中心力场中运动的粒子，力学量完全集可以是或或。,守恒量完全集：若力学量完全集中含有哈密顿算符，则该力学量完全集称为守恒量完全集。,55,9.位力定理,则在此势场中束缚定态上的动能与势能的平均值之间满足如下关系：,10.F-H(Feynman-Hellmann)定理,设粒子属于能量本征值的本征态为，即,几个特例：,56,第一式对求导得,上式左乘，并利用第二式和归一化条件，得到对束缚态，有,此式即为Feynman-Hellmann定理。比较重要！,其共轭方程为,57,二、例题,注意三问题：1.求算符的表达式勿忘作用任意波函数2.不论何种坐标系，是不变的3.拉普拉斯算符在球坐标中的表示,解：根据题意，利用有,任取一波函数，则,58,59,将式代入,得,由于是任意的，所以有,在球坐标中，,将其代入上式得,此算符是否厄米算符？,两种方案,利用本题pr定义,60,2.6粒子作一维运动，,定态波函数为,(2)利用(1)推导求和公式,(3)证明,学会利用公式,思路：如何,61,证明：,（1）通过,可以看到，要证明,这样通过对动量算符求导可得到动量这个因子。,故,两边对能量本征态求矩阵元，有,从而有,62,（2）证明,要用到上述结论,由此可得到,所以有,63,同理,所以,又因为,由于,64,2.8已知是和的共同本征函数，本征值分别为和，令。,(1)证明仍是和的共同本征函数，求出它们的本征值；,分析：,第一问思路比较明确，最多利用一下对易关系。第二问需要考虑对波函数的性质有一定的理解。,证明：（1）,而,故,65,（2）关键是要理解,关键是如何求常数,考虑用球谐函数的正交归一性和角动量算符的对易关系,66,以上两式相乘并对全空间积分，有,67,2.13设粒子处于状态,求轨道角动量分量及分量平均值与，以及与。,分析：,由于球谐函数不是角动量x,y分量的本征函数，故需要利用升降算符作为桥梁来处理问题。,解：,利用公式,同理,68,而求还需要求。,同理可求出,从而利用,得出,69,提示：,70,则动量的几率分布函数可表示为,由此给出动能平均值,71,2.23质量为的粒子在外场的作用下作一维运动，已知当其处于束缚态时，动能平均值为，并已知是实函数。试求当粒子处于态时动量平均值与动能平均值。,解：,思路比较明确，利用已知