（应用数学专业论文）传递函数模型中的异常值分析.pdf

、 节町 t h eo u t l i e ra n a l y s i si nt r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l at h e s i ss u b m i t t e dt o d a l i a nm a r i t i m eu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y c h e n g c h e n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) t h e s i ss u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i ux i a o d o n g j u n e2 0 1 1 7叭9 帆959眦8ii0lm y k 。 节， 、 l 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文竺笾遭函数搓型生的显鲎值盆逝 ：。除论文 中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公 开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论 文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式 出版发行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密回( 请在以上方框内打“ 论文作者签名：硪i 藏 导师签名： 日期：多呵f 年占月仍e l ， 节 l l 巳? 中文摘要 摘要 时间序列是按照时间顺序排列的数据数列，广泛的存在于金融、科学和工程 等各个领域。时间序列分析是分析和处理动态数据的一种重要方法，它是用统计 的方法建立一个适当的模型来对现在和过去观测序列的进行拟合，达到对未来时 刻的数据进行预测以做出预报或控制。 本文对传递函数模型中的时问序列异常值检测进行了探讨，构建了新模型算 法，并利用该算法对某含领先指标的销售额进行预报。 本文的主要研究工作分两部分： 一、对销售额进行a r m a 模型和传递函数模型建模，分别利用销售额及领 先指标和销售额之间的动态关系对销售额进行预报。并对预报精度进行了比较和 分析。 二、在传递函数建模过程中引入了异常值检测。通过对销售额和领先指标序 列分别进行异常值分析处理后，并再次建立新的传递函数模型。通过分析预测平 均误差表明：若输出序列( 销售额) 异常是由输入序列的异常引起的，经过异常 值处理后预测精度变化不大；若输出异常( 销售额) 不是由输入序列( 领先指标) 引起的情况，经过异常值处理后预测精度会提高；若输入序列的异常没有导致输 出的异常，经过异常值处理后预测精度会提高。 关键词：时间序列；a r m a 模型；传递函数模型；异常值； 丫 英文摘要 a b s t r a c t t i m es e r i e si sas e q u e n c et h a to b s e r v e db yt i m e ，w h i c he x i s t si nv a r i o u sf i e l d s e x t e n s i v e l y ，s u c ha sf i n a n c e ，s c i e n c ea n de n g i n e e r i n gf i e l d s t i m es e r i e sa n a l y s i si sa n i m p o r t a n tm e t h o df o ra n a l y z i n ga n dp r o c e s s i n gd y n a m i cd a t a i ti se s t a b l i s h e db a s e do n s t a t i s t i c a lm e t h o d st o p r e d i c ta n dc o n t r o l b e h a v i o r w i t hh i s t o r i c a la n d p r e s e n t o b s e r v a t i o n s t m sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e so u t l i e ra n a l y s i si nt r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l b u i l d sa n e wm o d e la n dp r e d i c t sf u t u r es a l e sd a t a 1 t h i sp a p e rb u i l d st h ea r m aa n dt r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l u s i n go b s e r v e ds a l e s a n dt h ed y n a m i cr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es a l e sa n dl e a d i n gi n d i c a t o rt o p r e d i c tt h e f u t u r es a l e s c o m p a r i n gf o r e c a s t sa v e r a g ee r r o r s ，t h ea c c u r a c yo ft h et r a n s f e rf u n c t i o n m o d e l i sb e t t e rt h a nt h a to fa i u 订am o d e l 2 c o m b i n i n go u t l i e ra n a l y s i sw i t ht r a n s f e rf u n c t i o nm o d e lt op r e d i c tf u t u r es a l e s t h r o u g ha n a l y z i n gt h eo u t l i e re f f e c t s ，d e t e r m i n i n gt h en e wt r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l ，w e c a ng e tt h ep r e d i c t i o ns a l e sb yf o r m e ro b s e r v a t i o n so fl e a d i n gi n d i c a t o ra n ds a l e s c o m p a r i n gf o r e c a s t sa v e r a g ee r r o r s ，i ft h eo u t l i e ro fo u t p u ts e r i e s ( s a l e s ) i sc a u s e db y t h ei n p u ts e r i e s ( 1 e a d i n gi n d i c a t o r ) ，t h ea c c u r a c yo ft h em o d e lw i t h o u to u t l i e r sd o e sn o t c h a n g em u c h ；i ft h eo u t l i e ri so n l yb e c a u s eo ft h eo u t p u ts e r i e s ( s a l e s ) ，t h em o d e l w i t h o u to u t l i e r sh a sab e t t e ra c c u r a c yt h a nb e f o r e ；i ft h eo u t l i e ri so n l yb e c a u s eo ft h e i n p u ts e r i e s ( 1 e a d i n gi n d i c a t o r ) ，t h em o d e lw i t h o u to u t l i e r sh a sab e t t e ra c c u r a c yt h a n b e f o r e k e yw o r d s ：a r m am o d e l ；t r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l ；o u t l i e ra n a l y s i s ；t i m e s e r i e s 二r k ； 中， ，；叮 一 ； _ 、警 目录 目录 第1 章绪论。1 1 1 时间序列的研究背景1 1 2 时间序列的定义1 1 3 时问序列分析的几种基本模型2 1 3 1 自回归滑动平均模型2 1 3 2 传递函数模型3 1 3 3 异常干预事件对时间序列的影响3 1 4 本文的主要工作4 第2 章平稳时间序列模型建立和预测5 2 1 平稳时间序列简介。5 2 2 几种常用的线性时间序列模型6 2 3b o x j e n k i n s 方法建模过程8 2 - 3 1 模型识别8 2 3 2 模型参数的矩估计k 9 2 3 3 模型的诊断检验1 0 2 4 预测1 1 第3 章传递函数模型及其异常值分析13 3 1 传递函数模型的简介1 3 3 2 传递函数模型建模方法l5 3 2 1 传递函数模型的识别1 5 3 2 2 传递函数模型参数的估计和检验1 6 3 2 3 利用传递函数模型预报1 7 3 3 传递函数中的异常值处理1 8 3 3 1 传递函数模型中异常值检验的迭代方法1 9 3 3 2 传递函数中的异常值分析2 2 3 4 异常值处理的其它方法2 3 第4 章实例分析2 5 4 1 研究数据2 5 4 2 销售额的a r i m a 模型2 6 4 3 利用领先指标对销售额进行预报3 0 目录 4 3 1 利用传递模型建模并预报3 0 4 3 2 传递模型中的异常值分析3 7 第5 章总结和展望4 5 5 1 总结4 5 5 2 展望4 5 参考文献4 7 致谢51 i ! s 、童 、 ，c ； 传递函数模型中的异常值分析 第1 章绪论 1 1 时间序列的研究背景 时间序列是一个有序的观测值序列。最早的时间序列分析可以追溯到7 0 0 0 年 前的古埃及，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成最古老的时间 序列。对序列长期的观察使古埃及人发现尼罗河的涨落非常有规律。通过掌握尼 罗河泛滥的规律，古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明f 】。 大量自然界、社会经济领域的统计指标都是按照一定的时间间隔统计其指标 值。随着时间的推移，形成统计指标的时间序列，如一个工厂装船货物数量的月 度序列，某化工过程的产出按小时观测【5 - 8 1 。 研究时间序列有各种各样的目的，包括对数据生成机制的理解和描述，对未 来值的预报，以及实现系统的最优化控制。时间序列有两个重要特征：非平稳性 和随时间变化的变动性【9 - 1 1 1 。非平稳性是指变量无法呈现一个长期趋势，从而最终 趋向于一个常数或者一个线性的函数。随时间变化的变动性是指时间序列中观测 值之间是相互依赖或者相关的。上述两个特征使得建立在独立性假设基础上的统 计方法和技术不再适用，需要建立不同于传统的统计方法【1 2 】。我们称这样的统计 学方法为时间序列分析。时间序列分析旨在探讨对时间序列观测值之间存在的依 赖性和相关性分析的方法。这要求我们对时间序列数据生成随机动态模型】，并 将这种模型用于重要的应用领域。 1 2 时间序列的定义 在统计学研究中，有大量的数据是按照时问顺序排列的，用数学的方法来表 示就是一组随机序列，z l ，z 29 e 9z t ，表示随机事件的时间序列，记为 z t ，f t 或者 z t ，类似于样本和样本观测值的关系，我们可以用而，z 2 ，乙表示上面的时 间序列的n 个有序观测值，称起为长度为玎的观测序列。 在时间序列问题中，数据的时间顺序是重要的，时间序列是按照时间的先后 顺序排列而成的数列。如图1 1 表示的是1 7 0 卜1 9 5 0 年的太阳黑子数据( 单位： 第1 章绪论 个) 1 6 。该图中，横轴是时间坐标t ( t 以年为单位) ，纵坐标表示在时间，内太阳 黑子个数个观测值工，这种图称为时间序列图1 3 小1 。 o动 图1 11 7 0 0 1 9 5 0 年间太阡 黑子数据 f i g 1 1s u n s p o t sd a t ai n1 7 0 0 - 1 9 5 0 值得注意的是，时间序列中的时间并不是单一概念的时间，也可以是其它的 物理概念，如长度、空间、温度等。 时间序列根据所研究的依据不同，可以有不同的分类1 6 郴】。 ( 1 ) 根据研究对象的多少，可以分为一元时间序列和多元时间序列。 ( 2 ) 根据时间的连续性，可以分为离散时间序列和连续时间序列。 ( 3 ) 根据序列的统计特性，可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列。 ( 4 ) 根据序列的分布规律，可以分为高斯时间序列和非高斯时间序列。 1 3 时间序列分析的几种基本模型 1 3 1 自回归滑动平均模型 为了对未来可能出现的结果进行预测，我们需要对实际问题中的时间序列进 行拟合，确定出合适的模型和参数。也就是说，通过对现在和过去观察序列的分 析，达到对未来时刻的数据进行预测的目的【1 8 】。 丫 。 蟠 ， 。 传递函数模型中的异常值分析 平稳时间序列最普遍的模型是自回归求和滑动平均( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e d m o v i n ga v e r a g e ) 模型，简称a r i m a 。时问序列模型的概念是由美国统计学家 g e o r g ee p b o x 和g w i l y mm j e n k i n s 于1 9 7 0 年最先系统的提出的，因此该模型通 常也称作b o x - - j e n k i n s 模型。b o x - - j e n k i n s 模型有三种基本模式：自回归模型 ( a r ) 、移动平均模型( m a ) 、自回归滑动平均模型( a r m a o 1 3 2 传递函数模型 从系统的角度而言，变量间的动态关系，即在某一时刻进入系统的输入对系 统后继输出的影响，也就是指系统的记忆性。对于目的是表达系统中变量间的动 态关系时，不含输入变量的a r i m a 模型就不适用了，这时我们一般采用传递函数 模型( t r a n s f e rf u n c t i o nm o d e l ) 1 1 9 之0 1 。传递函数模型、多变量时间序列模型 ( m u l t i v a r i a t et i m es e r i e sm o d e l ) 、a r i m a x 模型或b o x t i a o 模型都是用来描述一 个时间序列的性质由另一些时间序列来解释的模型。g e o r g ee p b o x 和g w i l y m m j e n k i n s 于七十年代在a r i m a 模型的基础上提出了传递函数模型，用于清晰的 刻画各变量问的动态影响过程【2 1 2 5 1 。在实际问题中，传递函数模型的主要目的与 a r i m a 模型相同，一样是预报未来时刻的序列值。一旦确定了输入时间序列和输 出时间序列之间的动态关系，我们就可以利用该动念关系即传递函数模型进行预 报。传递函数模型是利用动态关系进行预报，而a r i m a 模型仅仅是利用输出时问 序列现在和过去的序列值进行预报，因此传递函数模型最终会使预报误差得以降 低。 1 3 3 异常干预事件对时间序列的影响盟h 明 在实际工作中，会有某些非常的外部事件、干预事件去影响被研究的序列互， 如新环境法的纳入，经济政策的变化、罢工和特别的促销活动等。在这样的情况 下，我们可以用传递模型来解释干预事件对序列z ，的影响，但是这罩的输入序列 是简单的示性变量，取值仅为1 或0 ，用来定性的表示该事件出现或不出现。 第l 章绪论 1 4 本文的主要工作 本文主要讨论了a r m a 模型，传递函数模型及异常值分析的相关理论与预测 方法，以经典的含领先指标的销售额序列为研究对象，利用a r m a 模型、传递函 数模型及其异常值分析对其进行建模并得到合适的预测结果。全文共分以下五章： 第一章阐述了时间序列发展的背景及主要模型。 第二章介绍了平稳时间序列模型的建立，参数估计，模型诊断的预测方法。 第三章介绍了传递函数模型以及传递函数模型中的异常值分析算法。 第四章阐述了领先指标的意义，通过对含领先指标的销售额的预报，详细分 析和比较了a r m a 模型、传递函数模型以及经过异常值分析后新传递函数模型的 预测精度。 第五章对本文工作的总结和对未来工作的展望。 呼 f | 传递函数模型中的异常值分析 第2 章平稳时间序列模型建立和预测 k 2 1 平稳时间序列简介n 6 1 时问序列的平稳性是我们对该序列模型建立的重要前提。在检验时间序列的 缈+ 平稳性时，必须考虑两个内容： ( 1 ) 序列的均值( ) 和方差( ) 是否为常数； ( 2 ) 序列的白相关函数( p ) 是否仅仅与时间间隔有关，而与时问的起始点和终 止点的位置无关。 序列的均值可以用序列的样本均值进行估计，即 一：面1nz 刁= 一7z n 怎l 序列的方差吒2 可以用序列的样本方差加以估计，即 彰= 万1 善n ( z f 巧) 2 时f j 序列相邻值之间是相关的，在平稳性假设下，若时f , j 间隔为k ，那么乙和 名“之间的协方差对于任意时刻f 都是相同的，我们称之为滞后k 的自协方差，定 义为： 以= c o v z , ，z t + 。】= e 【( 乞一) ( z ，+ 。一) 】 ( 2 1 ) 滞后k 的自相关函数为： 厥2 碱一 亿2 ， 一e 【( z ，一) ( 刁+ 。一) 】 g j 对于平稳过程来说，在。寸麴j t + k 和时刻r 的方差都是相同的，都有吒2 = 7 0 ， 因此滞后七的自相关是： 岛：丝 第2 章平稳时间序列模型建立和预测 2 2 几种常用的线性时间序列模型同删 时间序列模型是建立在随机序列平稳性假设的基础上，建立模型的出发点是 以统计独立的白噪声作为输入源，它通过一个线性的动态系统输出所需要的时间 序列模型。许多平稳序列都是由有限参数线性模型刻画的，下面将讨论自回归模 型( a r ) 、滑动平均模型( m a ) ，自回归滑动平均模型( a r m a ) 和自回归求和滑动模 型( a r i m a ) 这四种最常用的线性模型。 一、自回归模型( a r ) a r ( p ) 模型可写为： 乏= 磊乏一l + 欢乏一2 + + 砟乏一p + q ( 2 3 ) 定义该模型为p 阶自回归模型a r ( p ) 。 由式( 2 3 ) 得： ( 1 一缟b 一砍b 2 一一事k p b ，) 乏= a t ( 2 4 ) 或 矽( 曰) 乏= a t ( 2 5 ) 其中曰为后移算子，即 b z t = z t 。，b j z t = z t i 由式( 2 5 ) 得：乏= 矽_ 1 ( b ) q ，自回归模型可以看为传递函数为矽一( b ) ，输入为白噪 声q ，输出为乏的线性滤波器。 二、滑动平均模型( m a ) m a ( q ) 模型可以写成： 互= 口，一q q l 一岛q z 一岛q 一。 ( 2 6 ) 定义该模型为g 阶滑动平均模型m a ( q ) 。 由式( 2 6 ) 得： 互= ( 1 一o , b b b 2 一眈b 9 ) q ( 2 7 ) 或 传递函数模型中的异常值分析 互= 臼( b ) q ( 2 8 ) 滑动平均模型可以看为传递函数为臼( b ) ，输入为白噪声q ，输出为乏的线性 滤波器。 三、自回归一滑动平均混合模型( a r m a ) a r m a ( p ，g ) 可写为： 乏= 秭毛一14 - - * + 九乏一j 口+ q q 口，- l 一一纬( 1 卜g ( 2 9 ) 或 矽( b ) 乏= 秒( 口) q ( 2 1 0 ) 定义该模型为( p ，g ) 阶的自回归滑动平均混合模型，记为a r m a ( p ，q ) 。 由式( 2 1 0 ) 可得： 三t=篙q=丽1-目jb丽-02b而2oqbq q ( 2 1 1 )z = 二二饵= i = 口，l z 1lj ( b ) 1 一办b 一欢b 2 一一，b p 自回归一滑动平均混合模型可以看成传递函数为两个多项式o ( b ) 和( 曰) 之 比，输入为白噪声a t ，输出为互的线性滤波器。 四、自回归求和滑动模型( a r i m a ) a r i m a ( p ，d ，g ) 模型可写为： 妒( b ) 乏= 目( b ) q ( 2 1 2 ) 其中妒( b ) = 0 有d 个单位根，因此我们可以将模型式( 2 1 2 ) 写成： 缈( b ) 互= 妒( b ) ( 1 一b ) d 乏= 秒( b ) q ( 2 1 3 ) 其中，矽( b ) 是平稳自回归算子，妒( b ) = 矽( b ) ( 1 一b ) d 。 用v = l b 表示差分算子，对于d l ，有q = v d 乏，因此，对式( 2 1 3 ) 有 矽( b ) q = 秒( b ) q 。从而，a r i m a ( p ，d ，g ) 模型的d 阶差分是属于平稳性质的a r m a 模型。 第2 章平稳时间序列模型建立和预测 2 3b o x - j e n kin s 方法建模过程1 1 2 3 1 模型识别 用九表示尼阶回归表达式中的第个系数，九就是最后一个系数，因为九满 足方程： 乃= 吮l 乃一l + + 吮( 川) b 一+ 九日一t ，j = 1 ，2 ，k ( 2 1 4 ) 得到y u l e w a l k e r 方程： 吮， 识： ： 九 局 岛 ： p k ( 2 1 5 ) 求得的九为样本的偏相关函数3 2 1 。 可根据其自相关和偏自相关函数的性质来初步确定模型的类型 3 3 】： ( 1 ) 若时间序列的自相关函数成在g 步截尾( 即k q 时，级= 0 ) ，并且偏 自相关函数丸呈现无限拖尾或者指数衰减或振荡，则可判断时间序列为m a ( q ) 模 型。 ( 2 ) 若时间序列的偏自相关函数九在p 步截尾，并且自相关函数级呈现无 限拖尾或者指数衰减或振荡，则可判断时间序列为a r ( p ) 模型。 ( 3 ) 若时间序列的自相关函数凤和偏自相关函数丸皆不截尾，并且均呈现 无限拖尾或者指数衰减或振荡，则时间序列有可能是a r m a ( p ，q ) 模型。 自相关函数和偏相关函数虽然可以用来判断选择哪种模型，但是对于模型阶 数的判定还是有一定的困难，模型定阶的方法主要f 检验定阶法，残差方差图定阶 法和准则函数定阶法。目前，准则函数定阶法被广泛的应用，本文中主要介绍最 小信息准则( a i c ) 准则【3 4 1 。 a i c 准则函数定义如下： a i c = 2 i n ( 模型的最大似然度) + 2 ( 模型的独立参数个数) v 一 一 成陬；， 岛0 ：纯n 。；雕。n；阻 传递函数模型中的异常值分析 由此可见，a i c 准则函数由两项构成，第一项体现模型拟合的好坏，随着阶 数的变大而变小；第二项表示模型参数的多少，随阶数的变大而变大。取两者的 最小意味着对两个量的一个权衡。 a 1 c ( k o ) = m i na i c ( k ) ，胛是给定阶数的上界，是最佳参数个数。 u o ) 的未来值z f + ，预测，预测值用乏( ，) 表示，并称为时刻，向前，的 预测值。 预测的目的是使时间序列预测值的误差尽可能的小，因此应该使预测值的方 差最小，令色( ，) = z t + 厂乏( ，) ，使得引占，( 纠2 = e 【刁+ 厂乏( 纠2 最小。这种方法称为最 小方差预测【4 3 4 5 1 。差分方程表示： 乙+ ，= 仍z r + ，- l + + 纬+ ( ，z t + l - p - d 一岛q + 一岛q + ，一g + q + ， ( 2 2 1 ) 根据最小均方差原理，提前，期的最小均方差预测乏( ，) 是乞+ ，在原点时刻f 的条 件期望巨【z t + ，】，我们令 q + ，】_ 巨【q + f 】， z t + ，】= 巨 z t + ，】，若，为非负整数，有： z t - j = e z f - ， = 刁一， ( = o 12 ) z t + j = 互k ， = 乏( 歹) ( = o 12 ) q 一， = 巨 口r 一 = 口，一 ( ，= o 12 ) = z t 一，一乏十l ( 1 ) k ， = 巨 口f + ， = o ( = 1 ，2 2 )( 2 2 2 ) 利用差分方程式( 2 2 1 ) ，预测值可以通过下式得到： 猢：兰纺乏( ，一护兰色 j = lj = t ( 2 2 3 ) 第2 章平稳时间序列模型建立和预测 其中乏( 一) = 乞一 ，当ij o 表示为观测值，当预测提前期， g 时，式( 2 2 3 ) 中的 滑动平均不存在。 传递函数模犁中的异常值分析 第3 章传递函数模型及其异常值分析 传递函数模型在工业，能源，交通，经济和金融等众多领域得到广泛的应用【2 2 】。 在众多领域的时间序列建模方面，传递函数模型都能取得较理想建模效果。传递 函数模型中输出序列与一个或者多个输入序列有关。传递函数模型是利用动态关 系进行预报，因此传递函数模型最终会使预报误差得以降低。在实际问题中，时 间序列的观测值有时会受异常事件，干扰或误差的影响，导致观测值的反常，这 些非正常的观测值被称为异常值。异常值与时问序列中的其它数据是不相容的， 因此异常值在数据分析中就会带来很大的麻烦，使得推导结果不可信甚至是无效， 检验或消除异常值的影响是必须执行的步骤n 6 。们1 。 3 1 传递函数模型的简介 我们假定，在等时间间隔上，在某个动态系统中，输入x 和输出】，可以得到 一对观测值( 置，z ) h 引。一个离散输出y 不仅依赖于时间f ，而且还依赖输入x 。 当输入水平是变化的，那么置，r 都表示时刻f 自均衡状态的偏差，在适当的近视 下，输出r 和输入置可以用一个线性滤波器相关联： z = 1 ：o z - i - v l 置一l + 吃z 一2 + = ( v o + v i b + v 2 8 2 + ) 工 = v ( b ) z ( 3 1 ) 在上式中，算子v ( 8 ) 称为滤波器的传递函数。 离散的动态系统可以用一般线性差分方程表示： ( 1 - i - 舌v 4 - + 六v ) r = g ( 1 + 玩v + - i - r h v 5 ) z 一6 ( 3 2 ) 称为( ，- ，s ) 阶的传递函数模型，用后移算子b = 1 一v 表示为： ( 1 4 b 一一4 b ) r = ( 一q 曰一一织b 5 ) 墨一6 ( 3 3 ) 或者： 万( b ) r = c o ( b ) 墨一6 记q ( b ) = 国( b ) ，模型成为： 第3 章传递函数模型及其异常值分析 万( b ) z = q ( b ) 置 ( 3 4 ) 比较式( 3 1 ) 和式( 3 4 ) ，我们可以看到传递函数为：v ( b ) = 万。1 ( b ) q ( b ) 因此，传递函 数用两个多项式之比表示。 如果我们将传递函数模型z = v ( 曰) 置带入式( 3 4 ) ，得到： ( 1 4 b 一4 8 7 ) ( v o + v l b + v 2 8 2 + ) = ( 一q b 一一哦b 5 ) b 6 ( 3 5 ) 使b 的系数相等，得到： 、j2 权数屹彬伽l ，一，一，+ l 为差分方程： 万( 召) v ，= 0( 6 + s )( 3 7 ) 提供了r 个初值。差分方差的解适用于b + s 一，+ l 的所有v ，。由此可得传递函 数的性质是： ( 1 ) b 个零值，m ，一l ； ( 2 ) 随后的s + r - 1 个值，+ l ，一，形式不固定( 当s b + s ，1 ，服从式( 3 7 ) 给出的模型。 注意，在实际中，不能指望输出严格遵从传递函数所确定的形式，系统往往 会受到扰动或噪音的影响。这种干扰可能源于系统中的任一点，在这罩我们单纯 考虑对输出】，的影响。我们在传递函数模型所预报的输出中加入一个噪声量m ， 我们假设f 和墨是相互独立的。这样，传递函数一噪声联合模型可以写作： r = 万一1 ( b ) 缈( b ) 一6 + ， 63 l s+62+6l s + + 6 6 6 6 ， ， ， ， 6 哆 + 一 吖 吖 吖 巧 艿，艿，艿， + + + + + + 之 七 之 岛嘎疋 + + + o o o 4 4 磊 传递函数模型中的异常值分析 3 2 传递函数模型建模方法 3 2 1 传递函数模型的识别 在传递函数模型中，使用输入序列和输出序列之间的互相关函数作为分析工 具，对传递模型进行识别4 9 1 。双变量随机过程( z ，r ) ，经过适当差分的可以变成 平稳的( ，只) ，这里薯= v d 置，m = v d r 。这一平稳假设特别意味着分量薯，m 有 不变的均值以和，以及不变的均值和盯；。 滞后的互协方差系数的估计值( 七) 由下式给出： 气( 尼) = 一x ) ( ”+ 女一y ) ， k = o ，1 ，2 ， ( 3 8 ) 一y ) ( 誓一t z ) k = 0 , - - 1 ，一2 ， 这里i 和歹分别是序列x 和序列y 的样本均值。 类似的，滞后七互相关系数岛( 七) 可以用估计值勺( 尼) 得到。用s x = 厕代 替q ，= 厕代替q ，于是得出： 啪) = 警 睁o ，+ l 球) ( 3 9 ) 找1 i j 王妥倪明对传愿豳教噪声混合模型r = 万- 1 ( b ) c o ( b ) 叉+ 。的识别。 ( 1 ) 预白噪化传递函数模型的识别 将输入序列预白化：丸( 功誓= 以( b ) q 即q = 舌器誓。其中，q 是期望为。， 方差为的白噪声序列。 将预白化模型生成的序列来变换输出序列 ：屈= 舌普以。计算q 和屈之 间的样本的互相关函数( 后) ，因为输入序列是白噪声序列，即对后0 时， ( 后) ：0 ，：孕( 后) 。互相关函数彻( 七) 可以用估计值锄( 七) 代替。b ，j ( b ) g ， 1 1 葺 ，l- 枞瑚邮闰 1一聆1一行 第3 章传递函数模型及其异常值分析 和功( b ) 可以通过匹配和式( 3 6 ) 中屹的形式得到。因此我们得到转换函数 ，( b ) 的 一个预估计： 移( b ) = 否一1 ( b ) 面( b ) 召6 ( 3 10 ) ( 2 ) 噪声模型的识别 因为我们已经得到预转换函数式( 3 1 0 ) ，我们就可以计算噪声序列的估计，回 到一般形式，噪声模型可以写成： = v ( 艿) 薯+ 哆，这里哆= v d 川，噪声序列的估 计可以由扁= 只一移( b ) 誓即扁= 以一彦一1 ( b ) 易( b ) t 一。得到。 3 2 2 传递函数模型参数的估计和检验 在识别完试探性转换函数模型m = 万- 1 ( b ) 缈( b ) 五一6 + 啊，其中= v d f ，且 = 。1 ( b ) 矽( b ) q 。我们现在考虑上述模型中的参数6 ，万，矽和护的有效性的估计问 题。 如果序列丌始之前的初始值而，和是可以得到的，则对于给出的数据和任 意选定的参数( 6 ，万，国，矽，矽) 和初始值t ( x o ，y o ，) ，我们可以对，= 0 ，1 ，2 ，n 均计算出 q = q ( 6 ，万，国，矽，o lx o ，y o ，) ，在订的正念条件下，通过对条件平方和函数： & ( 6 ，万，国，矽，目) = 彳( 6 ，艿，国，矽，9 x o ，y o ，) ( 3 11 ) t = l 的极小化，通过极大释然估计，得出很好的近视值估计。 在对传递函数模型识别和参数估计之后，必须在使用传递函数模型进行预报、 控制等目的之前对模型参数进行检验。在传递函数模型中，我们假设a t 是白噪声 序列，而且和输入序列薯是相互独立的，所以a t 和预白化的输入序列6 t 也相互独 立。 ( 1 ) 互相关检验 互相关检验就是检验噪声序列q 和预白化的输入序列q 的独立性，对于适当 的模型，幺和嘭之间的样本互相关函数( c c f ) ，( 尼) 应该没有什么形式且在匆和 必的标准差i 0 忑之间。 传递函数模型中的异常值分析 ( 2 ) 自相关检验 检验上面模型是否适当，要判断模型的岔的样本a c f 和p a c f 是否有意义， 一个适当的传递函数模型，岔的样本a c f 和p a c f 应该没有任何形式。 3 2 3 利用传递函数模型预报 一个适当的传递函数模型可以通过使用输出序列r 和跟它相关的输入序列置 的历史信息来预测和改进输出序列r 的预报1 5 0 1 ，利用已给出的形式建立一个传递 函数一噪声模型，将置，r 联系起来，假设恰当的模型是： z = 万( b ) o ( b ) x t 6 + 一( b ) 臼( b ) q ( b 0 )( 3 1 2 ) 一般情况下，该模型的噪声分量假设为与输入z 统计独立，且是非平稳的， 有伊( b ) = v d ( b ) ，且咒= v d 巧，薯= v d 置，那么以= 万一1 ( b ) 缈( b ) t 6 + 缈一( b ) o ( b ) a t ， 对输入序列置也假设一个适当的随机模型：墨= 办1 ( b ) 最( b ) ，得到： q , a b ) = v 4 0 x ( b ) ，薯= 蚊1 ( b ) 戗( b ) q 。 现在传递函数模型可以写作：r = y ( b ) q + 缈( b ) q ，其中a 和口统计独立，且 y ( b ) = 8 - 1 ( b ) 缈( b ) 瓴1 ( b ) 致( b ) ，在原点，所做r + ，的预测e ( ，) ，形式为： 那么， 】- zo ，o ：t 一，+ 珐，口f j = oj = o i 一1 r + ，一霉( ，) = ( _ q + h + ，a t + h ) + ( u + ，一吆，h 一+ ( + 一珐，) q 一，】 t = o j = o 取期望得： z + ，一霉( ，) 】2 = ( y ；+ 砰+ + ) + ( 1 + y j + + 沙：) 蠢 该式仅当堙，= 堙，+ = 珐，时最小，因此，在原点，所做r + ，的最小均方误 差预测霉( ，) 由r + ，在时刻t 的条件期望给出。 2 口 盯 p ， o 一 “ 沙，i 、 + 蝌。 r j瞳 一 u 吩k 。户 + 第3 章传递函数模霉4 及其异常值分析 式( 3 1 6 ) 可以写成万( b ) 缈( b ) r = 缈( b ) 国( b ) 6 + 万( b ) 秒( b ) q ( 6 0 ) ，我1 门记 作：( b ) r = 缈+ ( b ) z 。+ 矿( b ) q ，在时刻，的条件期望用方括号表示，并记 p = p + d ，对于领先，步的预测，得到： 霉( z ) = 【i + ，】= 并【z + ，。】+ + + ，i t , + l - p * - r 】+ 成 置+ ，- a 】 一缈：。+ 。 一+ ，一。一p 一，】+ q + ，卜研