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摘要 非相对论量子化条件及量子纠缠态制备方案 摘要 本博士论文研究的是两个与量子力学相关的主题第一部分内 容涉及的是量子力学的基础：任意非相对论势场能量量子化条件，这 里粒子的质量可以分为两种情况，一种是粒子质量为常数，另_ 种是 粒子质量为坐标的函数第二部分内容涉及的是量子力学在纠缠态 制备方案中的实际应用：利用偏振光子干涉效应制备异地多原子纠 缠态的理论方案 由波函数及波函数的导数在任意坐标处都连续的条件可以得 到转移矩阵，转移矩阵技术在导波光学和量子力学中有广泛的应用 对有限层的势场很容易利用转移矩阵得到能量本征方程，而对于光 滑的势函数只需将求和变成积分，即可推导得到形式类似于w k b 近 似的量子化条件，但它完全不同于w k b 近似，原因在于经典转折点处 的相移是刀，而不是w k b 给出的万2 ，此外我们考虑了来源于势场变 化的次波散射相移贡献，基于这两个因素，再联立一个一阶的 r i c c a t i 方程，就可以得到一维势场完全精确的量子化条件通过变 换，二维和三维的s c h r 6 d i n g e r 方程很容易变成类似一维的方程，考 虑到额外的有效势，这个量子化条件同样给出精确的能量，同时我们 得到波函数的表达式，并且利用矩阵方程亦可得到本征函数据我们 所知自从s c h r 6 d i n g e r 方程建立到现在，这是科学家第一次得到这 个精确的量子化条件，具有深刻的意义 摘要 我们重新计算了包括m o r s e 势，r o s e n m o r s e 势，谐振子势，氢原 子势，p 6 s c h 卜t e l l e r 等有严格解的一维或者三维的势函数，发现一 个共同的特点，次波散射贡献垂( ，z ) 对所有的束缚态都是常数我们定 义了一个完全动量函数，其中包括一项经典动量，另一项与波函数密 切相关研究表明这个完全动量函数对低激发态与经典动量差异巨 大，而对大量子数，两者趋于一致，这正好符合对应原理研究表明我 们定义的相角就是超对称量子力学中的超势，指出完全动量函数与 量子轨道方法中的量子势之间有密切的联系 同样利用转移矩阵技术，我们推导得到变质量系统精确的能量 量子化条件，对一具体的质量分布和势函数作了计算，结果和精确值 一致作为自然的推广，当粒子质量假设为常数时，这个量子化条件 退化到质量为常数时的量子化条件，这也证明我们推导的正确性 纠缠特性是构成量子信息最重要的基础，那么纠缠态的制备就 显得非常重要我们利用偏振光子的干涉效应，通过单光子探测器探 测腔场衰减，提出了制备异地三原子g h z 态和w 态的实验方案，以前 的制备方案大多数都是基于控制直接或者间接的原子间的有效相互 作用来实现的，我们的方案很容易推广到一般任意量子比特g h z 态 和w 态的制备 关键词：转移矩阵，能量本征值，本征函数，量子化条件，变质量系统， 量子纠缠，w 态，g h z 态，偏振光子干涉 上海交通大学博十学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho nf o r m a ln o n r e l a t i v i s t i cq u a n t i z a t l o n c o n d i t i o na n do ns c h e m ep r e p a r i n ge n t a n g l e m e n t s t a t e s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht w or e s e a r c hf i e l d sr e l a t e dt o q u a n t u mm e c h a n i c s t h ef i r s tp a r ti n v o l v e sq u a n t u m m e c h a n i c a lb a s i c ： t h eq ua n t i z a t i o nc o n d i t i o nf o ra r b i t r a r yp o t e n t i a l s ，w h e r et h em a s so ft h e p a r t i c l e i se i t h e rc o n s t a n to rn o n c o n s t a n t t h es e c o n dp a r ti n v 0 1 v e s q u a n t u m m e c h a n i c a la p p l i c a t i o n si np r e p a r i n ge n t a n 9 1 e m e n ts t a t e s ：t h e s c h e m eo fp r e p a r i n gq u a n t u me n t a n 9 1 e m e n ts t a t e sw i t hd i s t a n ta t o m s ， b a s e do np o l a r i z e d p h o t o n i n t e r f e r e n c ee f f e c t t r a n s f e rm a t r i xi so b t a i n e d t h r o u g h t h ec o n d i t i o nt h a tt h e w a v e f h n c t i o na n dt h ed e r i v a t i v eo fw a v e f h n c t i o na r ec o n t i n u o u sa ta n y p o s i t i o n ， w h i c hf i n d sb r o a da p p l i c a t i o n si ng u i d e d w a v eo p t i c sa n d q u a n t u ms y s t e m t h ee n e 唱ye i g e n f u n c t i o nc a nb ee a s i l yo b t a i n e df o ra f i n i t e l ys t e p p e dp o t e n t i a lb yu s i n gt r a n s f e rm a t r i x h o w e v e r ，f o ra s m o o t h p o t e n t i a lb yt r a n s f o r m i n gt h e s u mf o r m a l i s mi n t o i n t e g r a l f o r m a l i s m ，w eo b t a i n e da ne l e g a n tq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o n ，w h i c hi s m u c h1 i k et h ew k ba p p r o x i m a t i o n ，b u tt h e r ei sa b i g d i f f ( 汀e n c e b e t w e e nt h e m f i r s t l y ，t h ep h a s es h i f ta tt h ec l a s s i c a lt u r n i n gp o i n ti s p r o v e dt ob e玎，r a t h e rt h a n 兀2i nt h ew k b a p p r o x i m a t i o n s e c o n d l y ， t h ep h a s ec o n t r i b u t i o nd u et os u b w a v e ss c a t t e r i n gi sc o n s i d e r e di no u r q u a n t i z a t i o nc o n d i t i o n ，w h i c hi se x c l u d e di nt h ew k ba p p r o x i m a t i o n 上海交通大学博：+ j 学位论文a b s t r a c t c o n s i d e r i n gt h ef a c t o r sm e n t i o n e da b o v e ，w eo b t a i nt h ef o r m a l l ye x a c t q u a n t i z a t i o n c o n d i t i o nf 6 r a r b i t r a r yo n e d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l i n c o m b i n a t i o no faf i r s t o r d e rr i c c a t ie q u a t i o n b yt r a n s 如r m a t i o n ，t h e t w o d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e n s i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o nc a nb e c h a n g e dt oa na n a l o go ft h eo n ei no n ed i m e n s i o n ，t h e r e f 6 r e ，t a k i n gi n t o a c c o u n tt h ee f f e c t i v e p o t e n t i a la r i s i n gf r o mt h et r a n s f o r m a t i o n ， w e o b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o n a tt h es a m et i m e ，w e g i v e t h ee x a c t e x p r e s s i o no fe i g e n f h n c t i o n ，a l t e r n a t i v e l yi t c a nb e o b t a i n e db yt h em a t r i xe q u a t i o n i ti ss h o w nt h a tt h e p h a s ec o n t r i b u t i o nm ( ，z ) i s c o n s t a n tf 6 ra n y b o u n ds t a t ei nap o t e n t i a la f t e rw er e c a l c u l a t et h ee x a c t l ys o l v a b l e p o t e n t i a l s ，s u c ha st h em o r s ep o t e n t i a l ，t h er o s e n m o r s ep o t e n t i a l ，t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l ，h y d r o g e np o t e n t i a l ， t h ep 6 s c h l 一t e l l e r p o t e n t i a li nt h eo n eo rt h r e ed i m e n s i o n w ed e f i n eac o m p l e t eq u a n t u m m o m e n t u mf u n c t i o n ，i n c l u d i n gat e r mo fc l a s s i c a lm o m e n t u mt o g e t h e r w i t hat e r mr e l a t e dt ow a v e f u n c t i o n i ti ss h o w nt h a tc o m p l e t eq u a n t u m m o m e n t l l mf u n c t i o nd r a s t i c a l l yd i f ! l e r sf r o mt h ec l a s s i c a lm o m e n t u mf o r t h el o w e rb o u n ds t a t e ，b u tf o rh i g h l ye x c i t e ds t a t ei t a p p r o a c h e st h e c l a s s i c a lm o m e n t u m ，w h i c hc o m p l i e sw i t ht h ec o r r e s p o n d e n c ep r i n c i p l e i nt h es i m i l a rw a y ，w ed e d u c et h ee x a c tq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o nf b r q u a n t u ms y s t e m sw i t hp o s i t i o n d e p e n d e n t m a s s t h er e s u l t sw i t ht h e c o n d i t i o nf o ra g i v e nm a s sf u n c t i o na n dag i v e np o t e n t i a la 铲e ew i t h l v 上海交通大学博十学位论文a b s t r a c t - n u m e r i c a le x a c t 。n e s n a t u r a l l y ，w h e nt h em a s si sa s s u m e dt 。b e c o n s t a n t ，t h eq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o nw i t ht h en o n c o n s t a n t m a s sr e d u c e s t ot h eo n ew i t ht h ec o n s t a n tm a s s q u a n t u me n t a n g l e m e n ti st h ef o u n d a t i o no fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ， s oh o wt o p r e p a r ee n t a n 9 1 e 面e h ts t a t eb e c o m e si m p o r t a n t m o s to f p r e v i o u ss c h e m e sf o rt h eg e n e r a t i o no ft h ee n t a n g l e ds t a t e so fa t o m sa r e b a s e do nd i r e c to ri n d i r e c ti n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h e m h e r e b a s e do n 玉 t h ep h o t o n i n t e r f e r e n c ee h e c t ，w ep r o p o s ean e ws c h e m eo fp r e p a r i n g t h ews t a t e so rg h zs t a t e sw i t ht h r e eo rm o r et h a nt h r e ea t o m st r a p p e d 帮 i n s p a t i a n ys e p a r a t e c a v i t i e s b yd e t e c t i n g c a v i t i e sd e c a y t h r o u g h s i n 9 1 e p h o t o nd e t e c t o r s k e yw o r d s ：t r a n s f e rm a t r i x ， e n e r g ye i g e n v a l u e ，e i g e n f u n c t i o n ， q u a n t i z a t i o nc o n d i t i o n ，s y s t e mw i t hp o s i t i o n d e p e n d e n tm a s s ，q u a n t u m e n t a n g l e m e n t ，ws t a t e ，g h zs t a t e ，p h o t o ni n t e r f e r e n c e v 一 上海交通大学 、 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：政永感 日期：砌丁年1 月2 j 一日 分 一 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保刮。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：副词己文 i 指导教师签名： ，：? 端巾 曾压绠 日期：姗年7 月订日日期：矽厂年f7 月万自 上海交通大学博士学位论文第一章 第一章绪论 上个世纪初，p l a n k 提出了能量量子化( e = 甩矗v ) ，b o h r 提出了电子轨道角动量量 子化( l ：n i z ) ，在这两个量子化的基础上b o h r 和s o 嗍e r f e l d 提出统一的量子化方 案( ，= f g 却= 砌) ，其只能应用到粒子周期运动的系统从1 9 0 0 年到1 9 2 3 年p l a n k 和b o h r 的量子化条件在量子物理中起到主导作用，这段时期也被称为旧量子理论时 期 1 虽然它们有着定量的成功，但是存在一个严重的缺陷：它们不是源于动力学方 程，只是假设而已自从1 9 2 5 年量子力学的s c h r 6 d i n g e r 方程建立，彻底弥补了这个 缺陷，但同时经典力学和量子力学之间的关系一直都是物理研究的中心主题如何 在经典物理图像里面来解决所谓的量子问题也是人们一直在寻求的答案 2 量子力 学的正统解释在于哥本哈根诠释，即波函数的统计诠释b o h m 提出隐变量理论 3 4 ， 指出量子力学的定域性e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 5 指出纠缠态的非经典 特性在b o h m 重新描述e p r 问题的基础上，b e 建立了著名的b e l l 不等式 6 7 实 验 8 1 0 证实量子力学正统解释的正确性，为后来蓬勃发展起来的量子信息，量子计 算，量子通讯，量子密码奠定了坚实的基础 在本论文中，我们研究的两个主题：( 1 ) 如何精确求解s c h r 6 d i n g e r 方程，最终 给出类似于准经典b o h r _ s o 哪e r f e l d 近似的精确的量子化条件：( 2 ) 对量子信息中 具有广泛应用的多粒子量子纠缠态制备方案的研究 1 1 半经典非相对论势场量子化条件 在s c h r 6 d i n g e r 方程建立的i 司一年，w e n t z e l ，k r a m e r 和b r i l l o u i nl 司时发现了 后来被称为w k b 近似的半经典求解此方程的方法 1 1 ，能量量子化条件为 箩厢两= 卜铷一等一叭二，”， 经典转折点_ 和x ：由y ( ) = y ( x ：) = 群彻决定m a s l o v 指数肛代表一个周期总的位 相损失，吱和农，分别是在两个经典转折点处反射引起的位相，在标准的w k b 近似 中我们取丸= 织，= 兀2 ，= 2 量子化条件( 1 1 ) 推导的本质在于把波函数按h 的幂 上海交通大学博士学位论文第一章 次展开，忽略高阶项，直接导致其只能合理的给出较低能级的能量，同时波函数在 _ 经典转折点处发散文献 1 2 基于贝塞耳函数引入种近似，不过同样遇到类似的 问题文献 1 3 提出不以指数函数的展开为基础，而是可以任意选择波动方程的解 作为近似的基础的w k b 型近似w k b 近似的初始工作是由d u n h a m 完成 1 4 ，之后被应 用到不同的物理问题 1 5 2 3 ，等等文献 2 4 2 5 进一步完善了半经典量子化条件， 考虑量子数相移和爱因斯坦法则后得到唾p 由= 刎o + 4 ) ，这就是 e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ( e b k ) 量子化条件当我们处理二维和三维势场时，w k b 近似必须要采用l a n g e r 变换 1 2 - 才能给出合理的结果，即分别为 + 1 2 ) 一1 2 ) _ + 1 2 ) 2 和郴+ 1 ) 呻( z + 1 2 ) 2 鉴于w k b 近似的缺陷，其中有如下方法对其修正：艾里函数，贝塞耳函数以及 拉各朗日修正，这些方法主要是调节经典转折点处的相位损失文献 2 6 2 7 提出 非整数依赖能量的m a s l o v 指数修正 t a n c 争锱，t a n c 争器， 2 ， 、27 坳( ) 、27 却o ：) 、 。 其中尼三2 优【e 一圪i 。】h ，；。是势场y ) 的最小值在实际应用中，方程( 卜2 ) 可以 用最低阶的w k b 波函数来确定位相损失兜和丸，利用方程( 卜1 ) 和( 卜2 ) 计算的功率 势函数的基态能量比标准w k b 近似精确很多，并且大大提高波函数的精度另外对 w k b 近似的改进主要有以下方案：文献 2 8 中的方案对个或者多个自由度系统只 能给出无节点的基态波函数：文献 2 9 给出在强限制势场中有广泛应用的w k b 近似 的代数表述。 对一阶半经典近似的改进自然会想到在波动方程的近似中考虑h 的高阶项【3 0 】， 但是这个结果并不是在所有的情况下都是成立的，原因在于展开项是渐进的，不是 收敛的，同时在接近半经典极限h o 时，物理量对小参数h 的依赖一般来说不是解 析的小参数h 的系列展开能够很好的描述一些“软”量子效应，比如初态到末态不同 经典路径之间的干涉，但其不适合描述与经典禁止过程有关的“硬”量子效应【3 1 】，比 如光滑解析势垒的隧穿几率一般情况下是指数减小到经典极限，于是它们对h 的有 限幂次项没有贡献 最近超对称量子力学已经成为研究的热点【3 2 ，其开创性工作是由w j t t e n 完成 2 上海交通大学博士学位论文第一章 【3 3 】文献【3 4 3 5 】阐明超对称变换和s c h r 6 d i n g e r 因子化，和d a r b o u x 变换有密切的 关系在超对称量子力学里面，为了使基态的能量为零，势场能量需要移动基态能量 毛，则势场成为k 0 ) = y o ) 一毛，并且基态波函数的波动方程变为 一( h 2 2 川) 劬。 ) 出2 ) + k 渺。 ) = o 由基态定义的超势为 忡) - _ 去鬻， ( 1 _ 3 ) 因此 k o ) ：矽：o ) 一当u ) ， ( 卜4 ) 方程( 1 4 ) 是r i c c a t i 方程把方程( 卜4 ) 代入标准方程( 卜1 ) ，得到 2 ( 甩+ 丢) 兀h ， c ，一5 ， 其中e 一= 硭似一是对应于势场k ) 的s w k b 能量把方程( 卜5 ) 左式按h 幂次展开可以得到对势场k o ) 的s w l 量子化条件【3 6 3 8 】 于、乞五：_ l j i ，历五_ 二郦：咒兀h ，门：o ，1 ，2 ， ( ，一6 ) 其中一( _ ) = 矽( x ：) = e p 文献 3 8 表明对所有的形状不变势场，量子化条件 ( 卜6 ) 给出所有能级的精确能量，而w k b 近似并不是对所有的形状不变势场都成立 文献 3 7 3 9 计算表明对所有的形状不变势场高阶修正到d ( h 6 ) 为零文献 4 0 指出 通过参数平移得到的形状不变势场s w k b 能量是与精确解一致的，而通过参数标度得 到的形状不变势场是不精确的文献 4 1 比较了w k b 和s w k b 对非形状不变势场的能 量，指出超势如果没有解析表达式，则w k b 比s w k b 精确，如果超势有表达式，则 s w k b 比w k b 精确文献 4 2 利用复的积分技术指出s w k b 对一些势场不精确的原因在 于积分式、2 肌f e ：一2 ( x ) 1 中有额外的奇点存在文献 4 3 建立了量子 h a m i l t o n j a c o b i ( h j ) 方程，得到精确的量子化条件 j 2 ，p ( x ，e 皿= ，z 兀h ，n = o ，1 ，2 ，- - ， ( 1 7 ) 其中p ( x ，e ) 由h j 方程决定 f - 海交通大学博士学位论文第一章 p z ( x ，e ) + 芸掣：e y ( x ) 量p ；( z ，e ) ， ( 1 8 ) fa x 其中p 。( x ，e ) 是经典动量，令p ( x ，e ) = ( h i 渺( x ) 妒 ) ，则量子h j 方程( 卜8 ) 等同 于s c h r 6 d in g e r 方程 一 由此可见不管w k b 近似怎样的改进，都无法使其完全精确虽然量子化条件( 卜7 ) 是精确的，但是它不能像量子化条件( 卜1 ) 和( 卜6 ) 描述清晰的物理图像，原因在于 p ( x ，e ) 是一个复数表达式 1 2 量子轨道概念 理论和计算物理化学家一直在寻找可靠的精确的对原子系统的量子动力学计算， 因为隧穿和干涉等量子效应在这样的系统中扮演重要的角色文献 2 表明基于轨 道方法有可能实现对量子动力学传播精确的计算所谓的“量子轨道” 4 4 4 7 是 基于量子力学的流体动力学图像，由b o h m 3 4 等人发展起来的轨道方法具有吸引 力原因在于它提供动力学直观经典的理解但是量子轨道尤其具有吸引力不仅它是 精确更因为它能提供隧穿等量子效应教法意义上的理解 4 4 4 7 波函数可以表示 成掣 ) = 月o ) e x p o s ) h ) ，将其代入到s c h r 6 d i n g e r 方程，得到 天= 杀c 2 r + 删) ，专y + 去 h 2 ( 等) 一】， c 刊 其中尺= d 【尺( 石) 】出，尺= d 【r 0 ) 】疵方程( 卜9 ) 中第二式就是h j 方程的量子对照 量子势定义为 阶一篆， 埘 对于定态，粒子的动量与作用量相联系p 2 g ) = s 2 0 ) = e y o ) + q o ) 但是利用方 程( 卜9 ) 具体计算时，存在节点的问题，即在节点处尺= 0 ，则方程( 卜1 0 ) 中的分母为 零，意味着无穷大的力为解决节点问题，p o i r i e r 【2 】提出以下波函数分解 v ( x ) = p 站，o ) e 巧圳“+ e 。6 厂( x 弘一5 。巾= v + ) + v o ) ， ( 卜1 1 ) 其中6 是相对位相方程( 卜1 1 ) 代入到s c h r 6 d i n g e r 方程就会避免节点问题结合以 有限力和平滑轨道为标志的半经典方法与在节点附近发散力和变形轨道为标志的量 t 海交通大学博士学位论文第一章 子流体力学，得到完美的量子轨道方法需要强调一点，量子轨道理论不仅可以适用 束缚态，而且也适用含时的非束缚态，但是其求解过程仍然像解s c h r 6 d i n g e r 方程本 身一样需要解一个二阶偏微分方程 1 3 数值方法求解波动方程 半经典量子化条件能给出粒子运动清晰的物理图像，但数值方法求解波动方程 有时也必不可少随着现代计算机技术日新月异的发展，薛定谔方程总是能数值求 解达到一定的精确度，但是非常精确地数值求解些薛定谔方程仍然是不可能的，尤 其是大于一个自由度的情况下即使在最简单的维量子系统中，要成功应用直接的 数值积分方法，也得依赖于最初设定的边界条件和能量本征值是否合适这就激发人 们去发展更加复杂的积分方法，比如嵌入式指数拟合r u n g e k u t t a 方法 4 8 ，损耗 n u m e r o v 型方法 4 9 ，另外有一些有趣的技巧，例如基于h e n y e y 运算法则的弛豫方 法 5 0 文献 5 1 提出一种数值补充的解析方法求解与时间无关的一维薛定谔方 程，先构建一个精确可解的参考势，由几个平滑连接的m o r s e 型分量构成，对需要 求解的势进行很好的近似，再把参考势的哈密顿量的精确解与非微扰方法结合起来， 这样可以精确求解最初的势的能量本征值问题另外一些不同的方法被提出来数值 求解薛定谔方程，其中有h i l l 行列式方法 5 2 ，位相损失方法，本征值矩方法，以 及变分计算法 5 3 5 4 1 4 量子纠缠态的制备 量子纠缠态是实现量子通讯的重要通道没有量子纠缠现象，就不会有量子信息 的发展，进而量子纠缠态的制备成为其关键问题从处于纠缠态的物理类型来说，有 光子纠缠态，光子一原子纠缠态，光子一离子纠缠态，热束原子的纠缠态 5 5 ，俘获离子 的纠缠态 5 6 等：从物理手段来讲有非线性光学系统 5 7 5 8 ，腔量子电动力学( q e d ) 系统 5 8 5 9 ，离子阱系统 6 0 ，以及原子集团的纠缠 6 1 等等在非线性光学系统中 利用自发参数下转换已经实现了双光子的纠缠 5 8 利用极化纠缠双光子 源，b o u w m e e s t e r 等人 6 2 和p a n 等人 6 3 分别实现了三光子极化和四光子极化纠缠 态对于q e d 方案来说，使用原子作为量子信息存储和处理的单元，被认为是最有 前途的量子硬件涉及方案 6 4 腔q e d 的基本思想是利用高精细度光学腔或者微波 上海交通大学博十学位论文 第一章 共振器，在单原子一单光子水平上获得相干动力学过程要达到这一点，必须建立 模体积非常小的，极低损耗的腔来增强单光子电场，提高原子一光子场作用的r a b i 频率，使之大于原子的自发辐射率或者光场在腔内的衰减速率，即所谓强耦合作用 目前包括光频区和微波区，全世界有1 0 个左右的实验室达到这一点1 9 9 7 年巴黎高 等师范学校课题组 5 5 成功的制备了e p r 对，2 0 0 0 年z h e n g 等人 6 5 提出了将两个 双能级原子直接注入一个非共振腔场来制备两原子纠缠态，并且在实验上得到实现 5 9 到目前为止，大量的利用q e d 来制备两原子或者多原子纠缠态的方案已被提 出，见评论性文献 6 6 6 7 需要指出上面提到的诸多制备原子纠缠态的方案，其绝大部分是通过控制直接 或者间接的原子之间的有效相互作用来实现的，因此有必要提出以不同机制来制备 纠缠态的可行方案 1 5 本论文的主要内容 本论文主要有两个研究内容，第一部分内容是关于量子力学的基础研究：鉴于 w k b 以及s w k b 等半经典近似量子化条件不能够精确给出任意非相对论势场的本征能 量，我们从另外的一个角度出发，即转移矩阵理论，来推导得到类似于w k b 近似的精 确量子化条件，这也是量子力学建立以来，人们第一次得到精确的量子化条件，同时 对w k b 等半经典量子化条件固有的不精确性给出物理方面的解释这个推导是在粒 子的质量为常数的情况下进行的，众所周知，在半导体等领域有效质量近似理论具 有广泛的应用，在这里面粒子的质量是坐标的函数，本论文同样推导得到精确的变 质量系统的能量量子化条件 一 本论文第二部分内容是关于量子力学在量子信息中的实际应用：鉴于以前制备 多原子纠缠态的方案都是基于控制直接或者间接的原子之间有效相互作用的机制， 我们提出利用偏振光子的干涉效应来制备三原子的w 态和g h z 态，所涉及到的元件 都是线性元件，如偏振器，单光子探测器等等，并且这个方案很容易推广到一般w 态和 g h z 态的制备 本论文共有六章： 第二章首先简要回顾了转移矩阵的建立，并且用来推导导波光学中模式能量本 征方程，最后将其应用到任意势场，得到精确的量子化条件 囊 上海交通大学博士学位论文 第一章 第三章直接从s c h r 6 d i n g e r 方程出发，通过定义一个适当的相角，代数的方法推 导得到与第二章完全一样的量子化条件，对一些具有严格解的势函数重新计算其本 征能量，并且定义了完全动量函数 第四章同样利用转移矩阵技术我们求解了变质量系统相应s c h r 6 d i n g e r 方程， 确定了该系统的能量能量本征方程，特别的当质量为常数时，此能量本征方程自然退 化为第二章中得到的常质量量子化条件，进而证明我们推导的正确性 第五章利用偏振光子干涉效应，分别提出制备三原子w 态和三原子g h z 态的实 验可行方案：这个方案有如下优点：激光驱动不会影响所要产生纠缠态的保真度，原 子反冲的影响可以忽略，等等 第六章对全文进行了总结，对未来工作做了展望 上海交通大学博士学焦笙兰 笙二童 - 一 一 参考文献 1 a s o m m e r f e l d ，么f o ，l i cs f ，m c f m r en n d5 p e c f r 口2z i 咒e s ，3r de d ( m e t h u e n ，l o n d o n ，1 9 3 4 ) 2 b p o i r i e r ，“r e c o n c i l i n gs e m i c l a s s i c a la n d ：b o h m i a nm e c h a n i c s i s t a t i o n a r ys t a t e s ”， j c h e m p h y s 1 2 1 ，4 5 0 1 ( 2 0 0 4 ) 3 d b o h m ，as u g g e s t e di n t e r p r e t a t i o no ft h eq u a n t u mt h e o r yi n t e 姗so f ”h i d d e n ” v a r i a b l e s i ”，p h y s r e v 8 5 ，16 6 ( 19 5 2 ) 4 d b o h m ，“as u g g e s t e di n t e r p r e t a t i o no ft h eq u a n t u mt h e o r yi nt e 咖so f ”h i d d e n ” v a r i a b l e s i i ”，p h y s r e v 8 5 ，1 8 0 ( 1 9 5 2 ) 5 a e i n s t e i n ，b p o d 0 1 s k y ， a n dn r o s e n ， “c a nq u a n t u m m e c h a n j c a ld e s c r j p t i o no f p h y s i c a lr e a l i t yb ec o n s i d e r e dc o m p l e t e ? ”，p h y s r e v 4 7 ，7 7 7 ( 1 9 3 5 ) 6 j s b e h ，0 nt h ee i e n s t e i n p o d o l s k y r o s e np a r a d o x ”，p h y s i c s ，1 ，1 9 5 ( 1 9 6 4 ) 7 a a s p e c t ，j d a l j b a r d ，a n dg r o g e r ，e x p e m e n t a lt e s t o fb e j j sj n e q u a l i t j e su s j n g t i m e v a r y i n ga n a l y z e r s ”，4 9 ，1 8 0 4 ( 1 9 8 2 ) 8 a a s p e c t ，“b e l l si n e q u a l i t yt e s t ：m o r ei d e a l t h a ne v e r ”，n a t u r e ，3 9 8 ，18 9 ( 19 9 9 ) 9 d m g r e e n b e r g e r ，m a ，h o m e ，a s h i m o n y ，a n da z e i l i n g e r ，“b e l l st h e o r e mw i t h o u t i n e q u a l i t i e s ”，a m j p h y s 5 8 ，1 1 3 1 ( 1 9 9 0 ) 1 0 a z e i l i n g e r ，“e x p e r i m e n ta n d t h ef o u n d a t i o n so fq u a n t u mp h y s i c s ”，r e v m o d p h y s 7 1 ， s 2 8 8 ( 1 9 9 9 ) 11 e m e r z b a c h er ，q “口，z f “，竹溉c | l 口，z i c s ，2 n de d ( w i l e y ，n e w 、y o t k ，1 9 7 0 ) 1 2 r e 1 五n g e r ，c c o nt h ec o n n e c t i o nf o 硼u l a sa n dt h es o l u t i o n so ft h ew a v ee q u a t i o n ”， p h y s r e v 5 1 ，6 6 9 ( 1 9 3 7 ) 1 3 s c m i l l e ra n dr h g o o d ，“aw k b t y p ea p p r o x i m a t i o nt ot h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ”， p h y s r e v 5 1 ，1 7 4 ( 1 9 5 3 ) 1 4 j l - d u n h a m ，n ee n e r g yl e v e l so far o t a t i n gv i b r a t o r ，p h y s r e v 4 1 ，7 2 1 ( 1 9 3 2 ) 1 5 j b 心i e g e ra n dc 。r o s e n z w e i g ，“a p p l i c a t j o no f ah i g h e r o r d e rw k ba p p r o x i m a t i o n t or a d i a lp r o b l e m s ”，p h y s r e v 1 6 4 ，1 7 1 ( 1 9 6 7 ) 1 6 j b 心i e g e r m l k w i s ，a n dc r o s e n z w e i g ，“u s eo ft h ew k b m e t h o df o ro b t a i n i n g e n e r g ye i g e n v a l u e s ”，j c h e m p h y s 4 7 ，2 9 4 2 ( 1 9 6 7 ) 1 7 c r o s e n z w e j ga n dj b k j r i e g e r ，“e x a c tq u a n t j z a t j o n c o n d j t j o n s ”，j m a t b p h y s 9 ， 8 4 9 ( 19 6 8 ) 1 8 j b k r i e g e r e x a c tq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o n s i i ”，j m a t h p h y s 1 0 ，1 4 5 5 ( 1