（光学工程专业论文）基于频谱分析的光栅菲涅尔衍射的研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 光栅是一种极为重要的光学元件，在光通信、光学信息处理、激光技术、多重成像、 分光技术等领域有着广泛的应用。基于泰伯特效应的莫尔条纹测量技术更因其很好的放 大作用被光泛应用于位移及透镜焦距测量等。 菲涅尔衍射是分析光栅的光学特性的重要理论依据。本文以频谱分析为基础，对平 面波、球面波、柱面波及超短激光脉冲照射下r o n c h i 光栅的菲涅尔衍射，给出了理论解 释，分析了复振幅及光强分布。并利用计算机对菲涅尔衍射区间的光强进行了计算机模 拟，分析了在各种情况下的衍射像的特征。由模拟结果可以看出，入射相干光波经光栅 后产生三束衍射波，这三束波在其后空间传播时相对相位随传播距离变化，菲涅尔衍射 实际上是这三束光波相互干涉的结果。通过计算机模拟，使我们对平面波、球面波、柱 面波及超短激光脉冲照射下光栅整个菲涅尔衍射区的光强分布有了直观了解。并提出在 超短激光脉冲照射下时，可以通过测量光栅菲涅尔衍射的光强极大值来测量其半极大值 全宽( f w h m ) 。以平面波为例发现，若滤掉衍射光中的0 级即衍射光中的直流分量，则光 强分布在整个衍射区内不再变化，始终为入射光栅的倍频像，提供了一种获得倍频光栅 的可能方法。 作为光栅菲涅尔衍射的个重要应用，分析了基于菲涅尔衍射的莫尔条纹的成因及 特点，分析了莫尔条纹方向角随光栅幅周期比及栅线夹角的变化规律。并利用莫尔条纹 技术进行了透镜焦距的测量。 关键词：频谱分析菲涅尔衍射泰伯特效应莫尔条纹 华中科技大学硕士学位论文 a b s 仃a c t g r a t i n gi s a ne x t r e m e l yi m p o r t a n te l e m e n to fo p t i c ，i ti se x t e n s i v eu s e di no p t i c c o m m u m c a t i o n ，o p t i ci n f o m l a t i o nd i s p o s e ，1 a s e rt e c l l l l o l o g y ，m u l t i p l ei m a g e ，o p t i cd e p o r t a t i o n t h em o i r e 衔n g em e a s u r e m e n tt e c i m o l o g yb a s e do nt a l b o te 缳：c ti se x t e n s i v e l yu s e dt o m e a s u r et h ef o c u so fl e n sa i l dt om e a s u r et h ed i s p l a c e m e n tf o ri t sv e r yg o o de 1 1 l a r g e e f r e c t i o n f r e s n c ld i 衢a c t i o ni sa 1 1i m p o r t a l l tt h e o r yi na n a l y s i so p t i cd i 衢a c t i o n a c c o r d i n gt ot l l e s p e c t 煳a 1 1 a l y s i s ，t h ep 印e rp r e s e m e dt h c o r ya n a l y s i sa b o u tt h ef r e s n e ld i m a c t i o no ft h e g r a t i n go np l a n ew a v e ，s p h e r i c a lw a v e ，c o l m nw a v ea 1 1 da n a l y z e dt h ep l u r a la m p l i t u d ea n d t h ed i s t r i b u t i o no fo p t i c a li n t e n s i t yt h eo p t i c a l i n t e n s i t yi nf r e s n e ld i 衢a c t i o nm t e r v a lh a d b e e ns i m u l a t e dt h r o u g hc o m p u t e ra i l d 也ec h a r a c t e r i s t i c so fd i 衢a c t i o nh a db e e na n a l y z e d u n d e rd i 行毫r e n tc o n d i t i o n s f r o mt h er e s u l to ft h es i m u l a t i o n ，i tc a nb es e e no b v i o u s l y l a t t h r e eb e a m so fd i f f t a c t i o nw a v e sw e r ep r o d u c e da r e rm ew a v eo fi n c i d e n c ei n t e r v e n ep a s s e d t l l r o u 吐t h cg r a t i n g t h cr e l a t i v ep h a s eo f t h et l l r e eb e 锄so ft h el i g h tc h a n g e sa c c o r d i n gt o t h ed i s t a n c e 、v h e ni tt r a n s m i n e di ns p a c es u b s e q u e m l y t h ef r e s n e ld i a a c t i o ni sa c t u a l l y 协e r e s u l to ft h ei n t e r v e n i n go fm et h r e eb e 锄so ft h el i g h t 1 1 1 r o u g ht h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n ，w e k n o wa b o u tt h ed i s t r i b u t i o no ft h el i g h ti n t e n s i t yo ft h eg r a t i n gi nt h ew h 0 1 ef r e s n e l d i m a c t i o ni n t e r v a lu n d e r t h ei r r a d i a t i o no ft h ep l a n ew a v e ，s p h e r i c a lw a v e ，c o l u m n r a v ea i l d u l t r as h o r t1 a s e rp u l s e i tc a nb ef b u i l dt h a t ，t a k et h ep l a n ew a v ea sa 1 1e x a n l p l e ，i fw e6 1 t e r s d i r e c tc u r r e mh e f io fl e v e l - z e md i 衢a c t i o nw a v e ，t l l ed i s t r i b u t i o no fl i 曲ti n t e n s i t yk e e p s u n c h a n g e di nt h ew h o l ei n t e “a 1a n di sm ed o u b l e 丘e q u e n c yi n c i d e n c eg r a t i n gw h i c hg i v et h e p o s s i b i l i t yo f a c q u i r i n go f d o u b l eg r a t i n g a sa i li m p o n a _ 1 1 t 印p l i c a t i o no f t h eg r a t i n gf r e s n e ld i m a c t i o n ，t h ep 印e ra n a l y z e dt h e c a u s eo ff b n a t i o na i l dc h a r a c t e r i s t i c so fm o i r ef r i g eb a s e do nf r e s n e ld i 饪h c t i o na n dt h e l a ww h e nt h ed i r e c t i o n a la 1 1 9 l eo fm o i r e 丘i n g ea n dt h er a t eo fm o i r ef r i n g e sp e r i o d i c c h a n g i n g ，m e a s u r e dt h ef o c u so f 1 e n sw i t ht h em o i r ef r i n g ct e c l l i 】d 1 0 9 y t k e yw o r d s ：s p e c t m ma n a l y s i sf r e s n e ld i 圩r a c t i o nt a l b o te 恐c t m o i r ef r i n g e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：i 均 日期：a 却# 年岁月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：钧 日期：a 们6 年f 月，z 日 指导教师签名： 日期：幽嵋年f 月，2 日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 光的衍射理论 1绪论 光的微粒理论是人们最早推祟的理论，并且光束传输的直观模型以及光束的性质一 直限定为直线传播，通常又称为光线光学或几何光学，直到十七世纪该模型被发现是不 完备的，如当光束通过小孔时发现在几何阴影区域内存在光斑。这一现象被称为光的衍 射。之后，h u y g e n s 提出了光的波动理论。1 8 1 8 年f r e s n e l 应用h u y g e n s 作图法结合干涉 原理从理论上成功解释了光的衍射现象，而k i c h h o f 则于1 8 8 2 年给予了完善的数学模型。 尽管如此，由于数学上的困难，给出衍射现象的严格解并非容易做到的。到1 8 9 6 年a s o n u n e r f e l d 才给出平面波经半无限大传导屏时的衍射解，即使到现在象如此精确的衍 射解也只能给出很少的例子。因此在许多实际情况下，一般使用近似方法，其中h u y g e n s 和f r e s n e l 原理”1 是至今为止最有力的、也是足够可以用来处理工程光学中遇到的大多数 问题的一个工具。下面回顾一下光波的传播原理以及不同衍射区域内的衍射。 1 1 ，l 光的传播理论一h u y g e n s f r e s n e l 原理 f 如h u y g e n s 断言，波阵面上的每一点可以看作是产生球面子波的一个次级扰动中 心，而以后任何时刻的波阵面则可看作是这些子波的包络。虽然这一原理能够解释光的 反射和折射现象，然而却不能解释为什么不存在向后传播的光波。另外这一原理预言了 衍射现象，却并不能定量解释由于衍射在实验中出现的结果。后来f r e s n e l 对h u y g e n s 作 图法进行了补充，假设这些次级子波的频率和传播速度与初始光波的频率和传播速度完 全相同，场中任意点的振幅为所有这些子波的相干叠加。h u y g e n s 的作图法加上干涉原 理这就是所谓的h u y g e n s f r e s n e l 原理。 光在自由空间中的传播是该理论的一个有力证明。如图1 1 a 所示，设s 为点光源p 0 发出的一个球面单色波阵面( 频率为( 0 ) 的瞬时位置，其半径为r 。并设p 为光场中的一点。 略去时间周期因子e x p ( 一i o ) t ) ，则波阵面s 上某点q 的扰动可表示为爿旦望! ! 堕其中a 是离 r 点光源单位距离处的振幅。按照h u y g e n s f r e s n e l 原理，我们把波阵面s 上每一面元看作 华中科技大学硕士学位论文 是一个次级扰动的中心，这个扰动以球面子波的形式传播，这样便得到q 点处的d s 面元 对p 点扰动的贡献， d u ( p ) ：k ( z ) 彳型型峦 ( 1 1 ) rj 其中s = q p ，k ( x ) 为一倾斜因子，描写次级波阵面随方向的变化，x 是q 点法线与q p 方向的 夹角( 常称为衍射角) 。按照f r e s n e l 的做法，假定在原来的传播方向上即x = o 时，k 最大， 并假定z 增加时k 迅速减小，在q p 与波阵面相切即x = 兀2 时，k = o 。最后假定如果p o 和p 之 间有障碍物，就只有未被挡住的那部分初级波s 才对p 点的效应有贡献，因此p 点的总扰 动可表示为， u ( p ) ：4 塑盟f 陋( z ) 笾塑豳 ( 1 2 ) r ： j 当然如果未被阻挡的部分能够用函数表示出来，则上述积分可化为对孔径函 数的积分。将上式进行积分时，可把有贡献的积分区域划分为一系列的波带来处 理，但需要说明的一点是公式中的倾斜因子是不确定的。 1 2 2 基尔霍夫衍射公式 k i r c h h o f 认为h u y g e n s f r e s n e l 原理可以看作是某种积分近似形式，这种积分将齐 次波动方程在场中任意点p 的解用p 点周围任意闭合面上所有各点的解及其一阶微商来 表述。 设v 是闭合面s 所包围的体积，p 是s 内任意点。假设与空间有关的标量波u 在s 内和s 上具有连续的一阶和二阶偏微商。如果u 是任意其他函数，和u 满足同样的连续性条件， 则由g r e e n 定理得到下列方程， 班w2 唧2 u 胁= 一妒。鬻一u 等，幽 c - 埘 其中纠锄表示沿s 面内向法线的微商。如果u 和u 均满足与时间无关的波动方程，上式 左边的被积函数在v 内每一点都为零，则 胪筹一u 等出= 。 m n ， 华中科技大学硕士学位论文 如果取u ：旦螋并注意到奇点s ：o ，最终得到， w ，= 去小掣豢一u 杀c 掣，冲 m s ， 这是h e l m h 0 1 t z k i r c h h o f 积分定理的一种形式。 假设p 。和p 之间的障碍物是不透明平面屏上的小孔，其线度比波长大，但比p 。和p 到屏的距离小的多。以p 点为中心的闭合面由a ，b ，c 三部分组成，如图1 1 所示，由于 a ，b ，c 上的u ，a 叫锄不能准确给出，于是k i r c h h 。f 令在a 上，u ：u 。，掣：掣其 中u o ：兰坠幽以及在b 上，u ：o ，掣：o ，这就是k i r c h h 。f 的边界条件。如果r 取得 无穷大，则c 上u ，a 驯锄的值任意小，因此c 的贡献可以忽略。于是得到， ) _ - 茜俨嘿型【c o s ( ) - c 。s ( 删出 ( 1 _ 6 ) ( b ) 幽1 i f r e s n e l 一k i r c h h o f f 衍射公式推导不意图 这就是f r e s n e 卜k i r c h h o f f 衍射公式，它适用于标量波的衍射。 如果入射波的曲率半径足够大，则c o s ( n ，r ) = 1 ，令z = 7 c 一( n ，s ) ，于是， ) _ - 差掣哗( h 。s 膨 ( 1 - ，) 这罩需要指出两点，一是比较( 1 。2 ) 式和( 1 7 ) 式，足( z ) = 一寺( 1 + c 。s z ) ，但当z 。詈时， k ( z ) 0 ，所以f r e s n e l 对倾斜因子的假设并不是正确的。第二点是k i r c h h 。f 设定的边 界条件具有局限性，我们知道如果三维波动方程的一个解在任一有限的面元上为零，那 华中科技大学硕士学位论文 么它必定在全空间为零。因而两个k i c h h 。f 边界条件合在一起就意味着孔径后面各点的 场恒等于零，这一结果与已知结论矛盾。因此当研究衍射屏或者障碍物近场的特性时， 需采用其他方法如电磁理论的边值问题或r a y l e i g h s o 姗e r f e l d 衍射。 1 2t a l b o t 效应 r o n c h i 光栅是一种常用的衍射光学元件，该元件在光波衍射时在菲涅尔衍射区出现 自成像现象。单色平面波垂直照射一个周期性物体如透射光栅时，在物体后面周期性距 离上出现物体的像，这种自成像效应就是泰伯效应，它是由t a l b o t 于1 8 3 6 年发现的。“。 目前，光栅的泰伯效应已在光学阵列照明“，信息存储“1 以及i a u 阱和位相锁定”1 等多 方面获得广泛应用。 除了上述连续单色光照明周期性结构物体时在菲涅尔衍射区出现自成像现象外，近 来脉冲光照明光源以及扩展光源照明下光栅泰伯效应也受到人们的关注”1 。虽然包含 多频率的激光脉冲光源的不同频谱之问是相干的，然而在现有的讨论中，计算观察面上 的衍射光强均将其作为非相干进行处理。因此有关多色光源照明下光栅的泰伯效应的理 论还需进一步的商讨。 一l ill 一一i lil “= 一f f 一卞_ 一罱一 一i iil 图1 2 泰伯效麻 1 3 国内外研究概况 1 8 3 6 年t a l b o t 发现一个有趣的现象，用一单色平面波照明周期性透明的振幅物体 ( 例如r o n c h i 光栅) ，在物体后面周期性距离的平面上会形成与物体相似的条纹或波带图 样。1 。后来人们把这种具有横向周期性结构物体的衍射场在纵向上具有周期性的现象称 为t a l b o t 效应。 华中科技大学硕士学位论文 t a l b o t 效应是一种特殊的f r e s n e l 衍射现象。早在1 8 8 1 年，r a 9 1 e i g h 就首次提出了 对t a l b o t 效应的部分解释，他认为在t a lb o t 平面上所发生的现象实际上是物体的自成 像，即无透镜成像。他发现r o n c h i 光栅的t a l b o t 平面的位置是在距物体b = n 丁的地方， 这旱，= d 2 五，九为光波长，a 为相邻狭缝之间的距离n 为偶数。 随着近代光学的发展，近四十年人们对t a l b o t 效应进行了深入的研究，在理论上 和应用上取得较大的进展，而且直到t a l b o t 效应发现了1 5 0 年以后，现在才弄清楚其关 键特征，认识到“自成像”概念的片面性，并作出了全面的正确的解释。本文在介绍了 用干涉和衍射理论对“自成像”的解释后，着重说明，对t a l b o t 效应的新解释，最后讨 论它的应用。 p a t 。r s k i 和v o k o z e k i 等人“1 ”3 用干涉理论解释了r o n c h i 光栅的t a l b o t 效应，认为当 球面波照明光栅时，光栅衍射产生o ，士l 级衍射光( 忽略高级衍射光) ，在衍射光重叠区 域，衍射光相互干涉而形成干涉场的空间分佰，在满足t a l b o t 距离处，干涉形成的周期 性光场分布的对比度最好，所以可把t a b o t 像看作物体在t a l b o t 距离处的几何投影“”。 这种用干涉理论的处理方法可以解释象r o n c h i 光栅这样比较简单的周期性物体的 t a l b 。t 效应，对于比较复杂的周期性物体则不易得到其干涉场的复振幅分布和强度分布 的表达式。 c 。w l e y f “”和w i n t h r o p n ”等人都以衍射理论分析了球面波入射时平面周期性物体 的“自成像”效应，基于f k 公式，导出物体后的复振幅分布，再根据像分布应与物分 布一样的条件，推出了t a l b o t 成像公式，并提出基本的t a l b o t 距离是2 d 2 a ，这已被广 泛地接受和使用了。另一方面，l a t i m e ：发现“，若以d2 以为基本单元，在n dz 以的平 面上，n 的奇偶不同只会造成条纹的横向位置不同，而空间频率并不发生变化，所以他 提出，应以d 2 以为基本t a l b o t 距离。 实验现象表明，在n 不等于整数的地方也有t a l b o t 平面的存在，它们被称为分数 t a l b o t 平面。但直到现在，f o u r i e r 光学并没有预示任何非整数t a l b o t 平面“。早在1 9 6 3 年，r o g e r 已提出可以利用r a y l e i g h ，c o w l e y 和m 0 0 d i e 的结论并建立t a l b o t 面至光栅距 离r 。的基本单元，即2 d 2 肛，可以得到b = 2 d2 ( n ) ，船= 2 p ，p 为整数，所以n 不一定是 整数。w i n t h r o p 和w o r t h i n g t o n 也提出，月2 = v ( 2 丁) + 卢( 2 丁) ，他们解释说，v 是一个可 华中科技大学硕士学位论文 以为0 的整数，口= 竹，n = 2 尸，n 和p 都是整数。但这些最初的关于分数t a l b o t 平面 的公式只能为观察t a l b o t 平面的位置提供指导，并没有对分数t a l b o t 平面作出合理的物 理解释，而且由于缺少对整数n ，p 的约束条件使得由这些式子可以得出无穷多个t a l b o t 平面，实际上其中的大部分是无法观察到的。 自r a y l e i g h 以来已存在对t a b o t 效应的部分解释，但仅是现在才作出了它的普遍意 义的物理解释。实际上关于该效应的许多文章所使用的“自成像”、”f o u r i e r 像 ”，”f r e s n e l 像”等概念都妨碍了对t a l b o t 效应的清楚的物理解。 t a l b o t 效应的完整解释需要考虑以下几个方面：( a ) 各个t a l b o t 平面的纵向位置：( b ) 强度极大或亮纹的横向位置：( c ) 各个t a l b o t 平面内强度轮廓的细节。我们可以用物理光 学的方法，包括通常的干涉和衍射效应来分析解。 1 9 9 2 年，l a t i m e r 和c r o u s e 提出应把t a l b o t 平面图样解释为多缝衍射的结果而不是 光栅的f o u r i e r 成像“。他们使用物理光学的方法获得了所有t a l b o t 平面的位置以及平 面上衍射纹的横向位置的表达式，利用其中的相长干涉线方法可以直观地解释所有 t a l b o t 平面的形成，很容易确定各个t a l b o t 平面的位置。 从t a l b o t 效应“自成像”的概念出发可以推测，在t a l b o t 平面上光栅应进行自身复 制，即条纹与光栅有一一对应的物像关系。如果t a l b o t 平面上的条纹是光栅的“像”， 那么这些像应具有光栅的四个关键特性：形状，精细结构、横向位置和相位，但实际上 没有哪个t a l b o t 平面的条纹接近这几个性质，所以，t a l b o t 效应“自成像”的术语在物 理上是与事实不符的。 i a t i m e ：提出，t a l b o t 效应不能定义为“自成像”，而应以物理光学的原理，从干涉 和衍射效应的角度来分析和解释。t a l b o t 效应应该是一一种干涉效应，是f r e s n e l 衍射的 一个重要例子，而t a l b o t 平面应是条纹的对比度达到最大的平面，这一定义适用于所有 的t a l b o t 平面。我们已知c o r n u 螺线是f r e s n e l 积分的图解，它可以提供衍射场的振幅信 息，在某些情况下的一般公式更为方便。1 9 9 4 年l a t i m e 对艮导了利用c o r n u 螺线分析 t a l b o t 效应，用图解方法验证了用数值方法计算的结果，支持了对t a l b o t 效应的新解释。 近年来发展的超短脉冲激光光源在光通信、医学成像、激光材料加工等领域有广阔 的应用前景，由于其频谱效应，它在光栅菲涅尔衍射的研究中也引起了人们的关注。众 华中科技大学硕士学位论文 所周知，该光源包念了丰富的频谱成分，并且这些频谱之间具有一定的关联程度，但在 现有的文献中计算不同频谱成分对衍射光强分布的贡献时却采用非相于叠加，因此在理 论上对这种多色光源照射下光栅的菲涅尔衍射问题还有待于进步研究。 尽管过去对t a l b o t 效应缺乏全面的认识，在6 0 一7 0 年代它就开始有了实际应用。近 年来，在光通讯、光计算、激光技术、信息处理、多重成像等现代光学领域，又有 了许多新的应用。 1 4 论文研究的内容与意义 本文以菲涅尔衍射为基础，分别分析了平面波、球面波、柱面波及超短激光脉冲照 射下r o n c h i 光栅的菲涅尔衍射，给出了理论解释，利用计算机对菲涅尔衍射区间的光强 进行了计算机模拟，给出了直观的光强分布图形，分析了在各种情况下的菲涅尔衍射像 的特征，对基于t a l b o t 效应的实际应用具有参考意义。作为t a l b o t 效应的一个重要应用， 分析了基于菲涅尔衍射的莫尔条纹的特点，进行了计算机仿真，并利用莫尔条纹技术进 行了透镜焦距的测量及光束准直的测量。 7 华中科技大学硕士学位论文 2 平面波照射下r o n c h i 光栅的菲涅尔衍射 2 1 理论分析 假设光栅是一个周期为d 的r o n c h i 光栅，其振幅透射函数可以表示为： 如扣塞拈x p ( 渤扣 ( 2 - 1 ) 式中彳为傅里叶系数。当用一个单位振幅的单色平面光波垂直照射光栅时，从光栅 透射出来的光波在光栅后平面上的复振幅分布就是： 础0 ) - = 莹芦p ( f 2 仃知) 2 ) 它表示通过光栅的一系列沿不同方向传播的平面波的组合。为了求出光栅后某一距 离z 的平面上的衍射振幅分布，应以相应的平面波传播因子乘上各个平面波波函数再求 和。这一过程实质就是求诸平面波的于涉。在菲涅尔衍射条件下，平面波从z = 0 平面到 与它相距为z 的另一个平面的传播因子为 e x p ( 胞) e x p ( 一f 砝矿2 ) ( 2 3 ) 式中f 为x 方向的空间频率。因此，衍射场平面上的复振幅分布应为 ”( 工) = p ( 厂) e x p ( f 虹) e x p ( 一f 埘2 ) e x p ( f 2 毋) ( 2 4 ) 式中u ( f ) 为u ( x 。) 的傅里叶变换，即 【，( ，) = f 红( ) ) ( 2 5 ) 即 w ) 叫圭以e x p ( f 2 仃) = 羔 ( ，一昙) ( 2 - 6 ) 代入( 2 4 ) 式，得到 吣) = j 莹以，一p ( f 蛐x p ( 一埘2 ) e x p ( i 2 咖) 妒 7 ) 利用6 函数的筛选性质，( 2 7 ) 式则可写为 华中科技大学硕士学位论文 ) 一p ( 施) 莹。e x p ( j 础争e x p ( f 2 疗詈x ) ( 2 - 8 ) 2 2 衍射光强分析 ( 2 9 ) e x p ( - f 耽务) = ( 。) “，而 ) _ e x p ( 蚴差如硼2 刀- 1 ) ” ( 2 - l o ) 即在m 为偶数的平面上的光波复振幅分布与光栅面的复振幅分布( 2 2 ) 式完全相同。 因此，在满足( 2 9 ) 式的平面上将获得相同周期的清晰的光栅像。而在m 为奇数时， 衍射像是原光栅的负像。 2 _ 3复振幅及光强分布的分析及计算机模拟 如果只考虑o ，1 级，且忽略对相对振幅分布没有影响的因子e x p ( k ) ，则z 平面 上其复振幅分别为 u o ( x ) = ( 2 一1 1 ) w 加即x p ( 二竽) e x p ( 等) 1 2 ) “一d 玑1 ( 加正i e x p ( 二笋) e x p ( 一孚) ( 2 13 ) “ 光强分布为 地) = 彳；+ 2 爿? + 2 4 爿c o s ( 等x ) c o s ( 等) + 2 一? c o s ( 等2 x ) ( 2 _ 1 4 ) 盯盯d 设波长为6 0 0 n m ，光栅周期为o 0 l m m ，用计算机模拟o ，l ，的振幅分布，在实际 模拟时取复振幅的实部，并将光强分布同时摸拟出来，因为光强正比与复振幅模的平方， 而在模拟时只能取振幅的实部模拟，所以图中的振幅分布不能完全体现出光强分和。设 扩一五 珑 f i z 当知可)8 ( 式由 华中科技大学硕士学位论文 第一泰伯距离为z ，在菲涅尔衍射区不同的距离处模拟出来结果如下 0 0 0 、八厂、厂、八八厂八八、以 vvvvvvvvv 、厂、_ _ 厂1 1 、厂、八、厂、厂、八厂、， vvvvvvv vv 7 q 、7 7 、僻7 、7 7 7 、? q 。1 0 ( b )一1 级振幅分布 州级振幅分布 【rz 2 u - q z l l 、 ，、n 、 厂厂、厂、7 、- 一， 气j 、 ，y 、厂、r 、j ，y 、f 、厂、一、厂p 、厂p 、j ，心! 魄7 j 叭叭。j 儿? j g l 九j 苫小镌广九7 i 山j 争认乎- i ? az 2 u 0 z t 一广厂厂 八，、，、。广八- 广， ，、厂一。尊1 0 0 华中科技大学硕士学位论文 i z u 0 l 、， 、， 、，、 、弋， 、弋， 、 一 、- ，、，一、j ，_ 、j ，、，、一、。，一、 y 一、，j 一、，一，、，、_ l 、1、令7 、岭4。个r 会6 、吟7令。f 、。 0 ( e ) 一l 级振幅分布 + l 级振幅分布 0 0 一l 级振幅抒布 ( f ) + 1 疑振幅丹布 l 级撮幅分布童台 ( g ) 图2 1 平面波照射r 光栅的菲涅尔衍射振幅分布图( a ) z = o ，( b ) f o 2 z ，( c ) z _ o 42 】，( d ) z 。0 52 1 ，( e ) z = 0 6 2 l ，( f ) z = 0 82 l ，( g ) z = 2 l ，( h ) z = 22 l 华中科技大学硕士学位论文 由模拟结果可见，在光栅后的o 级，l 级光波在传播过程中相位在变化，复振幅也 在变化，其光强出现周期性变化。菲涅尔衍射区的光强分布为这三级衍射光的相干叠加。 各距离处的光强分布如图2 2 所示，由图可知，在t a l b o t 距离处出现原光栅的像，各 t a l b o t 距离之问也有衍射像，但对比度低。在1 2 t a l b o t 距离处出现倍频效应。 图2 2 平面波照射下光栅菲涅尔衍射光强分布图 若滤掉衍射光中的直流分量，则光强分布为为： ，( x ) ：2 4 7 + 2 爿? c 。s ( 三要2 x ) ( 2 1 5 ) d 可见，此时光强分布与z 无关，且只有( 2 1 4 ) 式中的倍频项，即在整个菲涅尔衍射 区光强分布衡为透射光栅的倍频像，可以应用来获得倍频光栅。 其光强分布模拟图为： o 123456t89 x ( d ) 图2 3 滤掉零级衍射光后的光强分布 1 2 i z 华中科技大学硕士学位论文 2 4 结论 从上面的分析与模拟知道，在光栅的菲涅尔衍射区，光强的分布呈现周期性变化， 在泰伯特距离处，光强分布对比度最好；在各泰伯特距离之间，光强分布也呈周期性， 但对比度较低。在l 2 泰伯特距离处出现倍频像。t a l b o t 效应是一种干涉效应，而t a l b o t 像面就是条纹对比度达到最大的平面。当平面波照明r o n c h i 光栅时，光栅衍射产生o ， 1 级衍射光( 忽略高级衍射光) ，在衍射光重叠区域，各级衍射光的相位不同，衍射光 相互干涉而形成干涉场的空间分布，在满足t a l b o t 距离处，干涉形成的周期性光场分 布的对比度最好，所以可把t a l b o t 像看作物体在t a l b o t 距离处的几何投影。 华中科技大学硕士学位论文 3 1 理论分析 3 球面波照射下光栅的菲涅尔衍射 球面波照明r o n c h i 光栅g ，光栅衍射产生多级衍射光。在衍射光重迭区域，衍射 光相互干涉而形成干涉场的空间分布。在满足t a l b o t 距离处，干涉形成的周期性光分 设r o n c h i 光栅g ，的栅线与y 轴平行。振幅透过率为： g l ( x ，y ，。) = 塾e 则等脏) ( 3 _ 1 ) 式中，d 为光栅g 的周期，n = o ，l ，2 ， 点光源s 离g 。距离为凡，在x o y 面上的光场分布为： ，( x ，y ，。) = e x p f - ! ! ! ! ! 妻煦 ( 3 2 ) 若只考虑光栅的o ，1 级衍射( 见图3 1 a ) ，g ，调制后的光场为： f 堪，y 分) = f 心，y d 、g 、 一。等筹m 唧。等莲半一知。等。! 学一知 ( 3 3 ) 即光栅后出射的波是三个半径为r 。的球面波的迭加( 见图3 1 b ) ，若a ，= a 。则光栅后z 处的复振幅和强度为： g l 图3 1 球面波照射光栅 g l 誉 c - ， 华中科技大学硕士学位论文 m 川咆e x p ，号篙 q 唧。夸嗡半一知州一州，等c 半一知 ( 3 4 ) 地出加小2 印4 掷o s 2 石( 鲁矗) 】c o s 等寿小 ：佃【等是卅 由上式可以看出光栅后的光强呈周期性分布。设m = 三荨生 满足 丢= 川鲁 z m丸 象光强分布对比度最好。其分布为 m 删_ 【”2 佃s ( 舞( _ 矿) 2 3 2 光强分布的计算机仿真及结果 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 设照射光波波长为6 0 0 n m ，g 光栅周期为o 1 m m ，r 。= 0 1 m ，第一t a l b o t 距离为z l 用 计算机仿真摸拟得z = o ，z = o 2 5z ，z = o 5z ，z = 0 7 5 z 。，和z = z 。z = z 。，z = z 。处的 光强分布。 l234567 89 ( a ) 华中科技大学硕士学位论文 ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) 6 华中科技大学硕士学位论文 1234567 ( f ) 图3 2 球面波照明h 光栅菲涅尔衍射光强分布模拟图 ( a ) z = 0 ，( b ) z - o 2 5 2 l ，( c ) z - o 52 l ，( d ) z 2 0 7 52 l ，( e ) z = 2 1 ( f ) z _ z 2 ，电) z _ 2 3 由模拟结果可知，在各t a l b o t 距离之间也有衍射现象存在，但对比度较t a 】b o t 距 离处的t a l b 。t 象低，随着z 增大，t a l ) o t 象的周期变大，反映球面波照明时t a l b o t 象有一定放大率：第一泰伯像与第二泰伯像相差n 的相位；在泰伯象中间出现倍频现象， 但对比度较泰伯像处低一倍。 3 _ 3 结论 ( 1 ) 当单色球向波照明时： 1 ) 在t a l b 。t 距离z ：塑篓处有t a l b 。t 象： 2 ) t a l b 。t 象相当于物体的几何投影，放大率m = 三善生 3 ) t a l b 。t 象与象之间距离不等。 ( 2 ) 以单色平面波照明时： 华中科技大学硕士学位论文 1 ) 象与物分布完全一样，m = 1 2 ) t a l b 。t 象之间距离相等。z ，一z j 一，：孚 l ( 3 ) 相邻t a l b 。t 象之间，即z ：( 2 肌+ 1 ) 霉处有负象； ，l ( 4 ) 在正、负t a l b o t 象之间亦能观察到周期性分布的象，但对比度低。 华中科技大学硕士学位论文 4 柱面波照射下光栅的菲涅尔衍射 4 1 理论分析 设如图4 1 放置的r o n c h i 光栅g 。的振幅透过率为 m 川= 塾唧 ，等吣c o s 目 式中，p 为光栅周期，n = o ，1 ，2 6 1 ( 4 1 ) 图4 1r o n c h i 光栅示意图 图4 2 柱面波照射下t a l b o t 效应示意图 它表示一组与y 轴夹角为o 的条纹。 设单色相干发散柱面波照明g ，如图4 2 在g 。前的光场分布为： m 抄) _ e x p ( f 等寺 ( 4 - 2 ) 在g 。后，紧靠g ，的光场分布为： “( x ，y ，o + ) = 鲞一巾等丢州z 等吣c 。s 曰一心n 绷 = 一。e x p f厅( 工+ 型) z p e x p - ，等州叫唧 _ f 惫( 等竽) 2 )口九6口 ( 4 3 ) 设e x p 一f 椰( 型型) 2 ：，由于x ，y 为可分离变量，其频谱为 p 鼬彤0 + ) 2 鲞卉的+ 半脚x p f 惫( 型号堂删2 ) ( 4 _ 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 当满足傍轴条件，利用菲涅尔近似，在z 处的频谱为“： 砸烘z ) = 薹4 ze x p ( f 等z ) 啊e x p f 惫( x + 堕等) 2 】 e x p ( 一f 以斫) j ( y + 竺坐旦) e x p ( 一f 嘲j ) 口 则在z 处的光场为： 己厂( x ，j ，z ) = ，一 爿( x ，y ，z ) 由6 函数的特点有 f 一- 陋( y + 旦旦! 塑) e x p ( 一f 翮乃仁) 】：e x p _ f 兢z ( 旦兰! 堡) z 】e x p ( 一兰! ms i n ppp 由球面波的特点有： p z 砉( x + 竽) 2 批加量枷p ( f 等z ) e x p ( 一f ，讽弓誓) ：e x p 【f 罢 ( 。+ 塑型) z p s + z ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) e x p 【_ f 删( 竺竺旦) z e x p _ f 砒j ( 堕堕旦) z pp e x p ( 一堡砂s i n 口) e x p f 要e x p l 一，矿s l n j e x p 【l = _ p 4 2 光强分布 ( 。+ 塑堂) z ( x + ) 。 p s + z ( 4 9 ) 阳n 2 印。s 睾删壶叫瑚) 】 p 6+z n 、 川。佃c 等刚壶圳枷”c o s c 等等兰竽， 此即为光栅g t 的象g ： ( 1 ) 设护= 。，此时光栅g - 的振幅透过率为4e x p f 等城， 如叫捌即昏o s ( 等壶) + 4 州l c o s ( 警壶n o s 等素_ 1 1 ) p o l l = p 半 ( 4 - 1 2 ) 官嘉示一沿x 方向分布的周期甬豹( 即与g 分布方向相同) ，其周期为p 。条纹的对 华中科技大学硕士学位论文 比度受因子c 。s 雩吾- i 笔 的影响，当墨= 等( m 为整数) 时，条纹对比度最好。式 中第三项为倍频项。这与球面波照明情况一样。 ( 2 ) 设口= 9 0 。，此时光栅g 的振幅透过率可表示为爿。e x p i 竺砂，则 。卅捌砷小o s ( 等y 刚1 c o s ( 等小o s 【等 ( 4 - 1 3 ) ” 口pp 它表示一组为y 方向分布的周期函数，也与此时光栅g 的分布方向相同，不论z 为 何值，其周期恒为p ，当z ：珊车时条纹对比度最好。这与平面波垂直照明时完全相同。 ( 3 ) 。o s 口0 ，s i n 目o ，它表示一组周期函数，条纹方向与y 轴夹角为o ，有： ( 4 一1 4 ) c o s ( d i ! 量 一 ( 4 一】5 ) ! 一c o s 占 j ( 壶加o s 2 m 拼曰 p 。： 兰 一： 兰!m j ( 壶) 2 c 毋咖2 口c o s 2 ( 半) 2 s i n 2 目 当s 为有限值，条纹方向与原光栅g 。的方向不同，且随着s 、z 、e 值不同而变化。即柱 面波改变了g i 的方向，这与球面波或平面波照明有显著不同。当i i 笔1 ，( 曰，条纹逆 时针变化；当i i 刊 p ，条纹顺时针方向转动。 条纹的周期也受至 j o 角的调制。半 l ，尸。 乓：若半 1 1 0 0 0 一时可以当作连续光看待。当 2 0 声 f 1 0 0 0 矗时，泰伯自成像情况逐渐改变。当5 声 f 2 0 声时泰伯白成像现像 已基本消失。 从a 图和b 图可以看出，在泰伯距离处光栅的衍射光场当f 7 0 0 0 扫时，我们 可以观察到泰伯自成像现像。我们注意到图5 1 ( b ) 中光强的极大值大于1 ，这并不违反 能量守恒定律，因为通过数值计