（计算数学专业论文）numerical+solutions+of+laneemden+equation+by+bifurcation+.pdf

ma s t e r d i s s e r t a t i o n y7 0 8 1 9 2 摘要 本文 运用 l i a p u n o v - s c h m id 访法 和 对称 破 缺分 歧的 理 论 计 算并 画出了 平面 上带 有 齐次边界条件的 l a n e - e m d e n 方程的多个解，此方程在恒星结构和演化理论中有重要 的作用。采用这种方法有两个优点:首先能有效地降 低计算量， 其次数值结果能够 很容易 地按其对称性来分类。另外，在实际计算过程中还得到了如何求解带有特殊 对称性质数值解的有趣结果。 我们考虑的区域包括正方形、正方形修改区域、圆 和 椭圆等其它复杂区域。 本文的框架如下: 第i 章介绍研究背景; 第2 章给出了 详细的理论分析; 第3 章提出了 处理各种区域的数值算法，并画出了数值结果。 关 键词: l a n e - e m d e n 方 程， 多 解 ， 对 称破缺， 分 歧 ， l i a p u n o v - s c h m i d t 约化、 * m a s te r d i s s e r ta ti o n 竺 竺 竺竺 ， . . . 州叼 甲 ， ， ， . . . - .闷 . . . 叫 . . . . - . 一. 一一一. 州. 一， 钾 冲 甲 ， 甲 ， ， 呼 呼 甲州 户竺竺 竺 竺 竺 竺 竺竺 竺竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺竺 当 竺 竺 竺 竺 ， ， . ab s t r a c t u s i n g t h e l i a p u n o v - s c h m i d t m e t h o d a n d s y m m e t r y - b r e a k i n g b i f u r c a t i o n t h e o r y , w e c o m p u t e a n d v i s u a l i z e m u l t i p l e s o l u t i o n s o f l a n e - e m d e n e q u a t i o n o n t h e p l a n e o f 1r 2 w i t h a h o m o g e n e o u s d i r i c h l e t b o u n d a ry c o n d i t i o n , w h ic h p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n s t e l l a r s t r u c t u r e a n d e v o l u t i o n t h e o ry . t h e r e w a r d w i l l b e t w o f o ld : fi r s t ly t h e c o m p u t a ti o n w i l l b e s i m p l i fi e d , s e c o n d l y t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s c a n e a s i l y b e c l a s s i fi e d a c c o r d i n g t o t h e i r s y m m e t r y . o n t h e o t h e r h a n d , w e a l s o o b t a i n s o m e i n t e r e s t i n g s y m m e tr y r e s u l t s f r o m o u r n u m e r ic a l e x p e r - i m e n t s . t h e d o m a i n s w e c o n s i d e r i n c l u d e u n i t s q u a r e , d i s k a n d o th e r c o m p l e x g e o m e tr i e s a n o u t l i n e o f t h e p a p e r i s a s f o l l o w s . i n c h a p t e r 1 , t h e h i s t o r ic a l b a c k g r o u n d t o t h e p r o b - l e m h a s b e e n i n t r o d u c e d . n e x t w e g iv e o u r t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e p r o b l e m i n c h a p t e r 2 . i n s e c t i o n 2 . 1 , w e a p p l y l y a p u n o v - s c h m i d t m e t h o d t o s h o w t h a t t h e n o n t r i v i a l s o l u - t i o n b r a n c h e s o f ( 1 . 2 ) b i f u r c a t i n g f r o m t h e b i f u r c a t i o n p o i n t s t u r n l e f t . i n s e c t i o n 2 .2 t h e s y m m e t r i e s o f s o l u t i o n s o f ( 1 . 1 ) a n d ( 1 .2 ) a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l , t h e n w e c a n r e d u c e t h e c o m p u t a t io n a s m u c h a s p o s s i b l e a n d s u b s e q u e n t l y s o l v e n u m e r i c a l s o l u t i o n s w i t h d i f f e r - e n t l y s y m m e tr ic p r o p e r t y . f i n a l l y , i n c h a p t e r 3 , w e g i v e t h e n u m e r i c a l r e s u l t s . i n s e c t i o n 3 . 1 , s e v e r a l e f f e c t i v e n u m e r i c a l m e t h o d s t o s o l v e m u l t ip le s o l u t i o n s o f ( 1 . i ) f o r d i f f e r e n t d o m a i n s a r e d e v i s e d . i n s e c t i o n 3 .2 , w e p lo t s o m e m u l t i p l e s o l u t i o n s o f ( 1 . 1 ) f o r 2 0 , a r e c o n c e rn e d . e q u a t i o n ( 1 . 1 ) d e s c r ib e s t h e b e h a v - i o r o f t h e d e n s i t y o f a g a s s p h e r e i n h y d r o s t a ti c e q u i l i b r i u m i n a p p r o p r i a t e u n i t s . t h e i n d e x p , w h i c h i s c a lle d th e p o ly tr o p ic in d e x in a s tr o p h y s ic s , is la rg e r th a n 盖 . i t m e a n s th a t n o p o ly tr o p ic s te l la r s y s te m c a n b e h o m o g e n e o u s i n g a la c ti c d y n a m ic s ( 8 , 2 2 ) . t h e o re ti c a l a n a ly s i s a n d n u m e r ic a l s i m u l a ti o n f o r s e v e r a l t y p i c a l n o n l i n e a r c a s e s , i . e . p 二2 , 3 , 4 , 5 a r e c o m p l e t e d . t h e m u l t ip l e s o l u t i o n s i n s e v e r a l d o m a i n s a r e c o m p u t e d n u m e r i c a l l y a n d t h e i r c o m p l i c a t e d g r a p h s a r e v i s u a l i z e d mo s t t h e o r e t i c a l s t u d i e s f o c u s e d o n t h e e x i s t e n c e a n d m u l t i p l i c i t y o f s o l u t i o n s u n d e r v a r i o u s a s s u m p t io n s ( 1 0 1 , 1 4 1 , 1 5 ) . b u t w h a t d i s t r i b u t i o n a n d s t r u c t u r e th e y h a v e a n d h o w t o c o m p u t e t h e m h a v e a t t r a c t e d t h e a t t e n t i o n o f m a n y m a t h e m a ti c i a n s , p h y s ic i s t s a n d e n g i n e e r s . d u e t o t h e m u l t i - p l i c i t y , d e g e n e r a c y a n d i n s t a b i l i t y o f t h e c r i ti c a l p o i n t s w i t h h i g h e r mo r s e i n d e x , t h e c o m p u t a t i o n o f m u l t i p l e s o l u t i o n s e n c o u n t e r s e s s e n ti a l d i f f i c u l t i e s a n d i s t r u l y c h a l l e n g i n g . s i n c e 9 0 s o f l a s t c e n t u r y , n u m e r i c a l w o r k s t o c o m p u t e n u m e r i c a l s o l u ti o n s o f ( 1 . 1 ) a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e . t h e m o u n t a i n - p a s s a l g o r i t h m , t h e s c a l i n g i t e r a ti v e a l g o r i t h m , t h e m o n o t o n e i t e r a t i o n , t h e d i r e c t i t e r a t i o n a lg o r i t h m ( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) a r e u s e d t o c o m p u te t h e s o l u t io n s o f ( i . 1 ) . b u t i n t h e s e a lg o r i th m s ， g o o d g u e s s o f s o l u t i o n o f ( 1 . 1 ) , w h i c h i s a d i f fi c u l t t a s k , i s n e e d e d . i n t h i s d i s s e rt a t i o n , w e t r y t o u s e t h e b i f u r c a t i o n m e t h o d t o o v e r c o m e t h i s d i f fi c u l t y , o u r a t t e n t i o n l i e i n a l g o r i t h m s a n d v i s u a l i z a t i o n o f t h e s o l u t i o n s ( 2 , l i , l 3 , 1 8 ) . o u r m a in i d e a i s t o e m b e d ( 1 . 1 ) i n t o n o n l i n e a r e l l i p ti c b v p w i t h p a r a m e t e r a o f t h e f o r m f ( u , 扔= 、 十入 。 + u p =0 , ( 二， ) 0 u l a n =0 , ( 二 ， y ) 19 5 2 ( 1 . 2 ) a c c o r d i n g t o t h e b i f u r c a t i o n t h e o r y ( 1 . 2 ) h a s n o n t r i v i a l s o l u t i o n b r a n c h e s w h i c h b i f u r c a t e f r o m i t s b i - f u r c a t i o n p o i n ts , s o w e c a n c o m p u te t h e s o l u t io n s o f ( 1 . 1 ) b y u s in g c o n t i n u a t io n m e t h o d ( ,f 1 7 , 2 0 ) ) a l o n g t h e s e n o n t r i v i a l s o l u t i o n b r a n c h e s o f ( 1 . 2 ) u n t i l =0 ( 1 2 , 2 6 1 , 2 7 ) m a s te r d i s s e r ta t i o n c h a p t e r 2 t h e o r e t i c a l 2 . 1 l i a p n n o v - s c h mi d t r e d u c t i o n f o r n o n l i n e a rp r o b l e m ( 1 . 2 ) s z =0 , 1 x (0 , 1 ) i s c h o s e n i n t h is s e c t i o n . n o t e t h a t f o r e v e ry a e r , ( 1 .2 ) h a s a t r i v i a l s o l u ti o n 。二0 . c o n s i d e r t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n o f ( 1 .2 ) a t u=0 a 十a =0 , ( 二 ， y ) 已 f z fi f a n =0 . ( 2 . 1 ) o b v i o u s ly t h e e ig e n v a l u e s a n d e i g e n f u n c t i o n s o f ( 2 . 1 ) a re a n ,.=( n 2 +_ 2 ) 7 r 2 , y n ,m ( 二 ， y ) = s i n ( 。 二 二 ) s i n ( m i r y ) , 、 ， 。e n ， 二 ， ， (0 , 1 1 . l e t l，二 = + ( n z + m 2 ) 7r2 , x= j u ju e c 2 ( f2 ) , u js o = o ) y = u ju 。 c o ( 0 ) ) . w e d e fi n e i n n e r p ro d u c t i n y b y (一 卜 4 ft 4 1a to二 、 、 l . ,a n : x - + y i s a p r e d h o h n o p e r a t o r o f i n d e x z e r o , a n d ke r l ， 二ke r l=s p a n 汽，。 二s p a n 日. s p l i t s p a c e s x , y i n t o : x=k e r l, , (b m, y=n由r a n g e l , w h e r e m=( k e r l,_ ) t l x , n二 ( r a n g e l n , ) l . s i n c e ( l . , u ) 二( 二 ， l am ,; i u ) , y 6 , v x l, , i s a s e lf - a d j o i n t o p e r a t o r , i .e . l n ,ra=l, , . a c c o r d i n g t o t h e f re d h o l m a l te r n a ti v e , ( r a n g i e l,- ) 1 = k e r l ,_ = k e r l,n . s o y= k e r l,_ ( d r a n g e l , l e t p b e t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t o r f r o m y o n t o r a n g e l, z p z =: 一( 二6 ) e , z e y . b y t h e l i a p u n o v - s c h m i d t r e d u c t i o n p r i n c i p l e , ( 1 . 2 ) i s e q u i v a l e n t t o 尸 f ( t e 十二 ， i t 十n r 。 ) 二o , t r , v v 汀， ( e , f ( t e + 二 ， it + 。 。 ) 二 0 , ( 2 .2 ) ( 2 . 3 ) w h e r e f t =a 一久 。 二 m a s te r d i s s e r ta t i o n c h a p t e r 2 t h e o r e t i c a l 2 . 1 l i a p n n o v - s c h mi d t r e d u c t i o n f o r n o n l i n e a rp r o b l e m ( 1 . 2 ) s z =0 , 1 x (0 , 1 ) i s c h o s e n i n t h is s e c t i o n . n o t e t h a t f o r e v e ry a e r , ( 1 .2 ) h a s a t r i v i a l s o l u ti o n 。二0 . c o n s i d e r t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n o f ( 1 .2 ) a t u=0 a 十a =0 , ( 二 ， y ) 已 f z fi f a n =0 . ( 2 . 1 ) o b v i o u s ly t h e e ig e n v a l u e s a n d e i g e n f u n c t i o n s o f ( 2 . 1 ) a re a n ,.=( n 2 +_ 2 ) 7 r 2 , y n ,m ( 二 ， y ) = s i n ( 。 二 二 ) s i n ( m i r y ) , 、 ， 。e n ， 二 ， ， (0 , 1 1 . l e t l，二 = + ( n z + m 2 ) 7r2 , x= j u ju e c 2 ( f2 ) , u js o = o ) y = u ju 。 c o ( 0 ) ) . w e d e fi n e i n n e r p ro d u c t i n y b y (一 卜 4 ft 4 1a to二 、 、 l . ,a n : x - + y i s a p r e d h o h n o p e r a t o r o f i n d e x z e r o , a n d ke r l ， 二ke r l=s p a n 汽，。 二s p a n 日. s p l i t s p a c e s x , y i n t o : x=k e r l, , (b m, y=n由r a n g e l , w h e r e m=( k e r l,_ ) t l x , n二 ( r a n g e l n , ) l . s i n c e ( l . , u ) 二( 二 ， l am ,; i u ) , y 6 , v x l, , i s a s e lf - a d j o i n t o p e r a t o r , i .e . l n ,ra=l, , . a c c o r d i n g t o t h e f re d h o l m a l te r n a ti v e , ( r a n g i e l,- ) 1 = k e r l ,_ = k e r l,n . s o y= k e r l,_ ( d r a n g e l , l e t p b e t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t o r f r o m y o n t o r a n g e l, z p z =: 一( 二6 ) e , z e y . b y t h e l i a p u n o v - s c h m i d t r e d u c t i o n p r i n c i p l e , ( 1 . 2 ) i s e q u i v a l e n t t o 尸 f ( t e 十二 ， i t 十n r 。 ) 二o , t r , v v 汀， ( e , f ( t e + 二 ， it + 。 。 ) 二 0 , ( 2 .2 ) ( 2 . 3 ) w h e r e f t =a 一久 。 二 女 ma s t e r d i s s e r t a t i o n 二巴巴三二二二二巴巴二二竺=二口巴二二=竺二 上 尸 凡( 。 ， 瓶二卜 f l ,m =玩。r e s t r i c t e d in fy i i s r e g u l a r , e q u a t io n ( 2 .2 ) is s o l v e d f o r a u n iq u e w=。 ( 二 ， u ) b y th e i m p l i c i t f u n c t i o n , s a t i s f y i n g w ( 0 , 0 ) =0 . s u b s t i t u t i n g w ( t , p ) i n t o ( 2 .;i ) y i e l d s t h e r e d u c e d e q u a t i o n g ( - , t o ) 二( e , f ( r e + w ( r , u ) , t r + a n , , ) 二0 , ( 2 .4 ) w h i c h i s r e f e r r e d t o a s t h e b i f u r c a t i o n e q u a t i o n o f ( l .2 ) . th e r e f o r e f ( 二十w , a 十a . ,- ) = 、十 m w+h ( r , p ) ,( 25 ) w h e r e h ( r , f i ) 二# ( t e 十 w ) +( 犷 。 +二 ) ， ， 二=w ( r , 产 ) we d e fi n e _ 二 _ 、a (d - f ) (,a )( v i , . . ， ” “ ) “ l t l a fatk (二 kt=0 。一 入 ) 卜 : = .、。 二 。 . ( 2 . b ) he n c e , 9 e t ( d ) t t3 . ,m 3 ( z jz ， 一 8 次i to .va7二二 甲 : 户 卜口 j t j a_k a t (2_ tjv j, a n ,- ) it,=k 1= 0 =t # =心 土 c t t k ( (艺t i i ) * a ss, ( 兄t i v i) + ( 艺 0t v x ) k = . t e , k 笋p r i n d k 2 k=p ( 2 . 8 ) d i f f e r e n t ia t i n g 住劝a n d 件3 ) w i th r e s p e c t t o r a n d l a , w e h a v e s o m e u s e f u l f o r m u l a e : 9 二 二( 。 d f ( e + w , ) ) , ( 2 -9 ) 9 t : 二( e , d f ( w 司 千 d 2 f ( e + 二 。 。 十 ma r ) ) , ( 2 . 3 0 ) 9 r , =( e , d f ( 。 二 。 ) + 3 d 2 f ( e + w r , w t 2 ) + d 3 p ( e + w e + w t , e + 。 二 ) ，( 2 . 1 1 ) 9 , a =( 。 d f ( w , 4 ) + 3 d 2 f ( w 2 , w , 卜 4 d 2 烈e + w , , w , , i ) + 6 d 3 f ( e + 。 : ， 。 + w t r w t 2 ) + d 4 f ( e + w t 。 + 。 ， ， 。 + 、 二 ， 。 + w t ) ) , (2 . 1 2 ) 9 t 5 =( c , d f ( w t s ) + 5 d 2 f ( w , a , c + w , ) + i 4 d 2 f ( w , x , 、 二 ， 卜 l o d 3 f ( e + w , , e -# - w , , w , a ) 十 1 0 d 4 洲。 + 价， 。 + 断， 。 + w t l w , ) + l 5 d 侧。 十 p u t , w t i , w t z ) +d 5 f ( e +、 ， ， 。 + w t , e +。 二 ， 。 + w t , e +w t , e +w o ) , 、 ， * 一 (。 ， ta 擎, g ) ), 、 : 2 j ， 一、 一 a t”一 9 u =( e , d 到w , ) 十f 1 ) , 9 , 2 二 e , d f ( w , , wt,卜2 d 凡 em u 卜d f wz 凡: ) ， ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 4 ) ( 2 . 1 5 ) 住- 1 6 ) 女 ma s ke r d i s s e r ta t i o n 9 u $ = ( e , d 3 f 畅, w . , in.) + 3 d 2 凡 ( w , , w , ) + 3 d 2 f ( w r,s , w) + 3 d 凡x w , + 3 d 凡wz + d f w , s + 凡9 ) ,( 2 . 1 7 ) g r, k =( 。 _ a 竺(=a ) . ,y u k 2 g , , w ( e , d 凡( e + 、 二 ) + d f ( w . , ) + d 2 f ( e + 。 ， ， ， ， ) ， 9 , = 。 二 ( e , d 3 f ( e + w。 十 w t , 。 十 w , 卜d 2 烈 w , z , w 刃 + 2 d 2 烈e + w w , u ) + d f w , s p + d 2 凡( 。 + w 。 + 。 二 ) + d 凡 w , z ) , ( 2 , 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) ( 2 . 2 0 ) p d f ( e +二 二 ) =0 , p d 2 f ( e + 二 二 ， 。 十 二 二 ) 十 尸 d f w , 2 二0 , p d 3 f ( e + w e + w e + w , ) + 3 p d 2 f ( e + 二 ， , w , 2 ) + p d f ( w , 3 ) 二 0 , 尸 d 4 f ( 。 十 w z , e + w e + w e + 、 二 ) 十 6 p d 3 f ( e + w , 。 + w - w , 2 ) + 3 p d 2 f ( w , z , w , 2 ) + 4 p d 2 f ( e + 二 ， ， 。 ， 。 ) + p d f ( w , 4 ) =。 尸 d 5 f ( e + ” ， ， 。 + 、 二 ， 。 十 、 二 ， 。 十 w , , 。 十 w r ) 十 l o p 子 f ( e + w ? 。 + 、 : ， 。 + 二 ， , 1 0 t - ) + 1 5 p d ,3 f ( e + 二 二 ， w t , w , ) + i o p d 3 f ( e + ， ， ， 。 + w t , w 3 ) 十i o p d 2 f ( w , s , 、 二 : ) + 5 尸 护 烈e + 二 二 ， 。 : 。 ) + p d r ( 二 ， 。 ) =0 , ( 2 . 2 4 ) 尸 a , f ( u , u ) a r k 0 , p d f ( w) +p f u “0 , p d 2 f ( w , 。 。 ) + 2 p d 凡( w ,) + p d f ws + p 凡。 = 0 , 尸 d 3 f ( w 、 二 。 ， 、 。 ) 十 3 p d 2 f( w, w , ) 十 3 p d 2 f ( w2 , 1u ) +3 p d 凡s w 。 十3 p d fwx + 尸 d f w + 尸 凡3 二。 ， - a f (u , u ) 尸二 一 二一 二 二二 0 . a u k p d f ( 。 + w , ) + p d f ( w r ) + p d 2 f ( e + 二 ， ， ，。 。 ) = 0 , p d 3 侧。 + w t , e + w t 。 + w 7 ) + 尸 d 2 f ( w r z , w , ) + 2 p d 2 f ( 。 十 二 丁 ， 二 。 ) 十 尸 d f w t z+ 尸 护 凡( e 十 。 二 ， 。 十 w t ) + p d 凡w r z = 。 . ( 2 . 2 5 ) ( 2 . 2 6 ) ( 2 . 2 7 ) ( 2 . 2 8 ) ( 2 .2 9 ) ( 2 . 3 0 ) ( 2 . 3 1 ) ( 2 . 3 2 ) l e t t h e s e f o r m u l a e e v a l u a t e a t ( 0 , a , , n ) . f r o m ( 2 . 2 1 ) , e e ke r l, n a n d p l; , = l n ，二w e 蒯get l , ,- w , ( 0 , 0 ) 二。 . b e c a u s e w , ( 0 , 0 ) m a n d l, , : m、r a n g e l, i s r e g u l a r . i t f o l lo w s t h a t ( 2 . 3 3 ) w 袱 0 , 0 ) 二0 .( 2 . 3 4 ) f r o m ( 2 . 9 ) a n d ( 2 . 3 4 ) , w e g e t 9 , 担 ， 。 ) =( e , d f ( o ,x , ，。 的”。 、 ( 2 35 ) w ma s t e r di s s e r t a ti o n - . -一. 一.一一曰一 . -. . . . - 户 甲 叫 甲 甲 旦 ， 侧 ， 中 ， 吮性 性 旦 竺 竺 竺竺 竺竺 二竺 竺 竺 竺 竺竺 竺 竺 竺竺巴竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 旦 些 亘 吧 竺竺竺 竺 竺 竺 竺竺巴竺 二 三 f r o m ( 2 . 2 2 ) , p d 2 f ( e , e ) + l , ,- w r s ( 0 , 0 ) = 0 , w , 2 ( 0 , 0 ) = 一 li- l , , ,p d z f (a ,a ,., ) ( e , e ) f rom ( 2 . 8 ) , i t i s e a s y t o fi n d d 2 f (o ,a _ _ ) ( e , e ) 夕二2 p? 3 ( 2 . 3 6 ) 恤j 2 c znu 了.，、1 一一 he n c e w , = ( 0 , 0 ) - 2 l -0 . ,1m p e z , p 一2 p ?3 ( 2 . 3 7 ) 了1声、t 一一 th e r e f o r e 9 z x ( 0 , 0 ) =( e , l ,z ,m z ( 0 , 0 ) + d 2 f ( e , e ) ) 9勺 ( e ， - 2 p e z + 2 e z ) , 0 , p= p2 1 一( 一 i ) n i 一( 一 1 ) - n m . p=2 p3 ( 2 . 3 8 ) f r o m ( 2 . 2 3 ) , ( 2 .3 4 ) , ( 2 .3 7 ) , w e h a v e p d 3 f (o ， a n 、 ) ( 。 e , e ) + 3 p d 2 f (ff ,;,_ ,) ( e , - z 3 ( 0 , 0 ) ) + l n ,。 二 ， 3 ( 0 , 0 ) = 0 , wh e r e d 3 1 ( o ,a n .m ) ( e , e , e ): 二( 2 . 3 9 ) 门nj 尹4 弓口 ，已， 060 二11 一一 1 2 l_ 1 n ,m e l , ,m p e z ) ) , w r s ( 0 , 0 ) = - 6 l 袜 ( p e 3 ) , 0 , 尹=2 夕二3 p4 ( 2 . 4 0 ) 、 二 : ( 0 , 0 ) = ( e , l n ,m ( w , 3 ( 6 , 0 ) 卜3 d 3 f ( e , w , , ( 0 , 0 ) ) + d 3 f ( e , e , e ) 一 1 2 ( e , e ) ( e l - ， p e 3 。 ) ， 6 ( 。 e ) w, e ) 0 , 一 1 2 ( e l xi , p e 2 , e ) , p = 尹=2 夕二3 p?4 2 3( 2 .4 1 ) p全4 27一8住 2.少、11r，百.才、.t 一一- 食 m a s te r d is s e r ta t io n wh e n p全4 , w e o b t a i n w ( 0 , 0 ) =0 , k =2 , , 1 r 一1 p ( p l e p ) + p l 。 二 二 ， p ( 0 , 0 ) =0 , 二 ， ( 0 , 0 ) = - p !l 袜p e p , s r k ( 0 , 0 ) =0 , k =2 ， 一 ， p 一1 9n(0,0)=( e , p !e p + l,. w , , ( 0 , 0 ) ) ( 2 . 4 2 ) ( 2 . 4 3 ) ( 2 . 4 4 ) ( 2 .4 5 ) p ! ! ( p + 1 ) ! i) p i s o d d ph l ( p +1 ) ! !) 2 1 一 ( 一 1 ) n 1 一 ( - i ) - ( 2 ,4 6 ) p2 sc 公 e 7 i wh e r e 4 rt关 x4 ! (sin (n 7rx )sinjj o 0二 ”，“ 2 1 一 ( 一 1 ) 1 一 ( 一 i ) - k i s o d d k i s e v e r y ( 2 . 4 7 ) 1 n p a r t i c u l a r , w e h a v e 9 r _4( 2 4 8 ) s i mi l a r l y , w e g e t - 0 ( 0 , 0 ) = 0 , g , ( 0 , 0 ) = 0 , w f, n ( 0 , 0 ) =0 , k 2 g, ( 0 , 0 ) 二。 ， k 2 ( 2 .4 9 ) ( 2 . 5 0 ) ( 2 - 5 1 ) ( 2 . 5 2 ) b k , e z + , w e a l s o h a v e 4 u r k , , k g =0 , k 2 全2 9 r k i u k z =0 . k 2 2 ( 2 . 5 3 ) ( 2 . 5 4 ) f r o m ( 2 . 3 1 ) , ( 2 . 4 9 ) , w e g e t ， 丁 二 ( 0 , 0 ) =。 ， 9 r . ( 0 , 0 ) =( e , e ) 二1 ( 2 . 5 5 ) ( 2 . 5 6 ) s i mi l a r l y 。 二 : ， ( 。 。 )一 矛 2 公 1l . . (p l - ,n p e 2 ), ” - t op ( 2 . 5 7 ) u s i n g ( 2 . 5 7 ) a n d ( 2 . 2 0 ) , w e o b t a i n 9,z,(0,0)=( e , l , , w r 2 n ( 0 , 0 ) + w , ( 0 , 0 ) ) ( e , w r y ( 0 , 0 ) ) - 2 ( l 蕊p e e , e ) , p = 2 0 , p全3 ( 2 . 5 8 ) 了月2、.、 - g k - , x, ( 0 , 0 ) 二 0 , k =2 ， 二， p 8 7 x 1 ( 0 , 0 ) =( e , - 7 o 二 ( “ ， 一 州 l 刃 1- p il n .m p i p ) ( 2 . 5 9 ) ( 2 . 6 0 ) f i n a l l y , g ( t , pt ) c a n b e a p p r o x i m a t e d a s f o l l o w s : 1 2 8 ，+ 2 2 5 7 r2 1 一( - 1 ) 1 一( - i ) - n， 刀 了 2 一 2 ( e , e l - , p 必7 3 一 ( e , l n , , p e 2 ) t 2 is +二 ，夕二2 9 t a 十1 6 t - + p=3 b ( t , a ) 4 ( . p n , . 、 又 p十 1 ) : / 2 1 一 ( - 1 ) n 1 一 ( 一 1 ) m 了 p 一 ( 2 . 6 2 ) 夕+i a t p + ，p之4 及i s o v e n ， ， / ， ! t i十q 1 7 - - , - 1 、 l p十 山 厂 : / t p十p全5 , 斗二 1 1 战 x r 6 ? =王 r , r 2 , s i , ,s, 1 r t h e is o t r o p y s u b g r o u p s o f 仇- e q u i v a r ia n t p r o b le m ( 1 .2 ) a r e 1 ? 4 , e f , e r , e t , e i , e +2 , e 2 e j e m t h e fi x e d p o i n t s p a c e s o f t h e s e i s o t r o p y s u b g r o u p s a n d t h e i r b a s e s l i s t a s f o l l o w s : f i x e d p o i n t s p a c e o r t h o g o n a l b a s e s x刀 吸 s i n ( 2 k 一1 ) ar x s i