（课程与教学论专业论文）中学生数学元认知研究.pdf

中文摘要 本文系统论述了数学元认知与中学生数学学习方面的关系，揭示了数 学元认知在中学生的智力培养和能力培养的方面的重要作用。并进一步提 出了一些关于如何培养中学生数学元认知的建议。文章采取定性分析和定 量分析相结合的研究方法，对问卷调查和实验所得数据进行了定量分析。 全文共分为六部分： 第一部分：数学元认知理论概述。论述了元认知思想的历史演变，探 讨了数学元认知的含义及其结构，介绍了数学元认知结构中各成份间的关 系，阐明了数学元认知的特点，并进一步介绍了与之相关的研究成果。 第二部分：数学元认知在中学生能力培养方面的重要作用。这一部分 从中学生数学思维能力的培养、数学问题解决能力的培养以及中学生的数 学学习策略三个方面来阐述数学元认知的重要作用。 第三部分：中学生数学元认知水平调查。在调查问卷的基础上，视步 分析了中学生数学元认知水平以及与其年龄、学习成绩的关系，从中展开 讨论并得出了有关结论。 第四部分：中学生数学元认知能力的培养。从对调查问卷分析的基础 上论述了中学生数学元认知能力培养的可行性和迫切性。介绍了在数学教 学中培养学生数学元认知的几点建议。 第五部分：实验验证。阐明了实验的方法和过程以及实验的控制。在 分析实验数据的基础上得出结论。 第六部分：结束语。提出了一些需要进一步解决的问题。 关键词：元认知，认知结构，问题解决，学习策略，反思 a b s t r a c t t h i sa r t i c l e s y s t e m a t i c a l l y d i s c u s s e st h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a m e m a t i c a i m e t a c o g n i t i o n a n dm a m e m 甜i c a ls t u d yo fm i d d l es c h 0 0 1s t u d e n t a n di tr e v e a l st h e i m p o r t a n c e o fm a t l l e m a t i c a i m e t a c o g n i t i o n i nm e i n t e l i i g e n c e a n da b i l 时c u l t i v a t i o n so ft 1 1 es t u d e m 。m o r e o v e r ，t h ea n i c l e a d v a i l c e ss o m e p r 叩o s i t i o n s t oc u l t i v a t es t u d e n tsm e t a c o 弘i t i o na b i l i t y a n di t a d o p t st h ew a y o fc o m b i n i n gq u a l i t a t i v ea n a l y s i sw i t l lq u a l l t i t a t i v ea 1 1 a l y s i s a l s oi ta n a l y z e st h ed a t ao f i n v e s t i g a t i o na n de x p e r i m e n tq u a n t i t a t i v e l y t h i sa r t i c l ei n c l u d e ss i xp a r t s x c u i t i v a t i o no fm es t u d e n t s m a t l l e m a t i c a lm e t a c o g l l i t i o na c c o r d i n g t ot h e a n a l y s i so f m e i n v e s t i g a t i o n a n d i tp u t sf o n v a r ds o m es u g g e s t i o n st od e v e l 叩 t h es t u d e n t sm e t a c o g n i t i o na b i l i 珥 p a r tf i v e ：e x p e m n e n t 1 te x p l a i n sm em e t h o d 、p m c e s s o fm e e x p e r i m e n t a n da l s om ee x d e r i m e n t a lc o n t r o l s nc o m e s t ot h ec o n c l u s i o n sb yt h ea n a l y s i s o f t h e e x p e r i m e m a l d a t a p a r ts i x ：c o n c l u s i o n i tp u t sf o r w a r ds o m ep r o b l e m sm a tn e e dt o b e s o h ，e d6 n t h e r k e yw o r d s ：m e t a c o g n i t i o n ， c o g n i t i v es t m c t l l r e ，p r o b l e ms o l v i n g ， l e a m i n gs 仃a t e g y ， c o n s i d e r l i l 前言 自二十世纪六七十年代以来，在心理学研究中，人们开始高度重 视探索人类行为的心理本源问题。作为这种思想的结果之一，元认知 的研究引起人们的高度注意。在七十年代，由美国儿童心理学家弗拉 维尔( f l a v e l l ) 在认知发展一书中，提出了有关元认知的理认。 它不仅在理论上丰富和发展了教育心理学，而且在实践上对于开发学 生智力，解决“教会学生如何学习”，培养学生思维能力等问题也具 有十分重要的意义。大量研究表明，元认知在人的思维活动中具有统 摄作用，是思维活动的核心成分。它不仅对思维活动进行了解、评价、 监视、调节，反映人的主观世界，同时也是主观世界与客观世界联系 的桥梁。鉴于此，本文将元认知的研究与中学生的数学学习联系起来。 第一章数学元认知理论概述 1 1 元认知思想的历史演变 根据美国儿童心理学家弗拉维尔( f 1 a v e l l ) 的观点，元认知就 是对认知的认知，具体地说，元认知概念包括三个方面的内容：一是 元认知知识，即个体关于自己或他人的认识活动、过程、结果以及与 之有关的知识；二是元认知体验，即伴随着认识活动而产生的认知体 验或情感体验；三是元认知监控，即个体在认知活动进行的过程中， 对自己的认知活动积极进行监控，并相应地对其进行调节，以达到预 定的目标。因此，元认知过程实际上就是指导、调节我们的认知过程， 选择有效认识策略的控制执行过程。其实质是人对认知活动的自我意 识和自我控制。 元认知尽管是近二十几年来才出现的个概念，但是，关于元认 量研究。 1 2 数学元认知的含义与结构 数学元认知是个体元认识系统的一个子系统，它与一般元认知既 有共同之处( 如元认识的调控过程，人对自己认知特征的认知) ，也 有它特殊的地方( 如对数学的总的看法，对数学学科特征的了解，对 具体数学方法、数学思想、数学认知策略及其应用条件等有关方面知 识的了解，对数学活动的特征的具体的体验等) 。数学元认知是人们 在数学活动中，以一定的数学观念为指导，对数学认知活动的认识和 控制固。它包括三个方面的内容，即数学元认知知识、数学元认知体 验以及数学元认知监控。 1 2 1 数学元认知知识 数学元认知知识是主体具有的数学认知活动的一般性知识，是人 们对于什么因素影响人的数学认知活动的过程与结果，这些因素是如 何起作用的，它们之间又是怎样相互作用等问题的认知，数学元认知 知识主要包括下面三个方面的内容。 a 、关于数学认知主体的知识。 关于数学认知主体的知识，是指主体以自己和他人为认知加工对 象的所有知识。其中包括三个方面的内容。 ( 1 ) 对数学认知主体内部差异的认识。比如，知道自己的推理能 力强于计算能力，知道自己几何方面的能力强于代数方面的能力，知 道自己的解数学难题往往缺乏信心。( 2 ) 对数学认知个体间差异的认 识。比如，知道人与人之间有不同的数学能力，知道人与人之间有不 同的带有数学倾向的智力，知道人与人之间认知数学的风格不尽相 同。( 3 ) 对认知个体间的数学认知相似性的认识。也就是对人类数学 认知的普遍性特点的认识。 b 、关于数学认知任务方面的知识 董奇论元认知北京师范大学学报1 9 8 9 16 8 6 9 龙数试论数学元认知吉首大学学报1 9 9 4 6 15 ( 5 ) d 数学认知任务是数学认知的客体、认知的对象，是影响数学认知 活动的基本因素。关于数学认知任务的知识一般与人们在进行数学认 知活动时所获得的信息有关。它包括：( 1 ) 任务中有关信息特点的知 识。如信息的丰富或贫乏。熟悉或生疏、简略或冗长等。( 2 ) 任务要 求和目的的知识，即对任务目标难度的认识，对影响任务完成，目标 实现的关键因素的认识。 c 、关于数学认知活动中的策略知识 关于认知策略的知识，是指主体对于完成某项认知任务所需要的 认知方法的各方面的知识。这方面涉及到的内容很多，比如，进行认 知活动有哪些策略，各种认知策略的优点和不足是什么，它们应用的 条件和情境如何，对于不同的认知活动和不同的认知任务，什么样的 策略可能是有效的等。 1 2 2 数学元认知体验 数学元认知体验是指伴随着数学认知活动而产生的认知体验或情 感体验。它可能被主体清晰地意识到，也可能处于下意识状态。在 内容上可简单，也可复杂，可以是对知的体验，也可以是对不知的体 验，它包括成功的体验，也包括失败的体验以及个体对成功与失败的 反思过程的体验；可发生在认知活动开始之前，也可以发生在认知活 动的过程中或认知活动结束之后。不同的元认知体验往往与主体在某 项认知活动中所处的具体位置以及认知活动的进展有关。总之，不同 的问题，不同的问题情境会有不同的体验，这些情感体体验作为数学 活动的宝贵财富连同问题情境和解决问题的方法贮存在我们的头脑 中。一般认为，元认知体验在数学这种注意力高度集中的活动中能很 好地感受到，并能长时间的贮存在记忆中。元认知体验直接影响着认 知任务的完成情况，积极的元认知体验会激发主体的认知热情，调动 主体的认知潜能，从而提高认知加工的速度和有效性。 郑毓信数学教育哲学四川教育出版社2 0 0 1 9 67 7 l 5 1 2 3 数学元认知监控 数学元认知监控是指主体在进行认知活动的过程中，将自己正在 进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极而自觉地监视， 控制和调节的过程。它主要包括以下几个方面：( 1 ) 制定计划，即根 据认知活动的特定目标，在一项认知活动之前计划各种活动，预计结 果、选择策略，构想出各种解决问题可能方法，并预计其有效性。如 在解一个数学题时，可能会有许多不同解法，这就需要解题者根据自 己的实际情况，在一定数学观念指导下，做出一种超常的判断，选择 出自己认为有效、最为经济的解决方案。( 2 ) 实际控制，即在认知活 动进行的实际过程中，及时评价、反馈认知活动进行的各种情况，发 现认知活动中存在的不足，并据此及时修正、调整认知策略。( 3 ) 检 查结果，即根据有效性标准评价各种认知行动、策略的效果，根据认 知目标评价认知活动的结果，正确估计自己达到认知目标的程度、水 平。( 4 ) 采取补救措施。即根据对认知活动结果的检查，如发现问题， 则采取相应的补救措施。一般来说，元认知监控与认知目标、认知课 题和情景等因素密切相联。 1 3 数学元认知成份间的关系 在实际的数学认知活动中，元认知知识、元认知体验和元认知监 控三者是相互联系、相互影响和相互制约的，三者的有机结合便构成 了个统一整体元认知。 首先，元认知知识与元认知监控之间具有十分密切的关系。 这主要表现在：( 1 ) 主体所拥有的各种元认知知识只有通过元认 知监控这个具体的操作过程才能发挥出效用。例如，一个具有很好的 关于解题的元认知知识的学生，在解一个数学题时，就能根据自己已 有的元认知知识，制定计划，选择和执行最有效的策略，以圆满地完 成解题的任务。相反，如果缺乏相应的元认知知识，主体在元认知监 董奇论元认知北京师范大学学报19 8 9 1 7 1 6 控的各个环节均会出现问题，影响任务完成的质量。( 2 ) 主体可通过 元认知监控这个实践性的环节，不断地检验、修正和发展有关的元认 知知识，使主体所拥有的元认知知识结构更加丰富和完善，元认知知 识与元认知监控能力的这种联系的存在，一方面，是由于在实际的认 知活动中，元认知知识来源于人们对认知活动进行监控和调节等实际 经验，那些善于对认知活动进行自觉监控的人，自然会有更多的元认 和体验和经验，从而积累起更多的元认知知识。实际认识活动中元认 识监控的水平制约着主体元认知知识的获得。另一方面，丰富的元认 知知识将有助于主体在实际认知活动进行有效的监控，指导主体主动 地采取各种适当的策略，以顺利完成任务，这又说明元认知知识也制 约着主体在实际认知活动中的监控水平。 。 其次，元认知知识与元认知体验之间也是相辅相成的关系 ( 1 ) 主体所产生的关于某一项具体的认知任务的元认知体验是受 制于相关的元认知知识的。( 2 ) 持续而稳定的元认知体验也可能会转 变成元认知知识而进入主体的长时记忆中，成为其元认知知识结构中 的一部分。( 3 ) 元认知知识影响着元认知体验，同时又在某种程度上 成为元认知体验的内容。 最后，在元认知监控与元认知体验之间也具有明显的联系。元认 知监控的每一步具体的效应都会对元认知体验产生直接的影响；元认 知体验有时也会对元认知监控的进行产生动力性的影响。 1 4 数学元认知的特点 1 4 1 自我意识性 数学元认知是主体对自己的数学认知活动的认识、体验、评价和 调节，其实质就是主体对数学认知活动中的自我意识。因而数学元认 知的首要特点是高度的自我意识性。 1 4 2 能动性 数学元认知完全是主体独立地、自觉地认识、体验和调节自己的 控的各个环节均会出现问题，影响任务完成的质量。(2)主体可通过 元认知监控这个实践性的环节，不断地检验、修正和发展有关的元认 知知识，使主体所拥有的元认知知识结构更加丰富和完善，元认知知 识与元认知监控能力的这种联系的存在，一方面，是由于在实际的认 知活动中，元认知知识来源于人们对认知活动进行监控和调节等实际经验，那些善于对认知活动进行自觉监控的人，自然会有更多的元认 和体验和经验，从而积累起更多的元认知知识。实际认识活动中元认 识监控的水平制约着主体元认知知识的获得。另一方面，丰富的元认 知知瘌鹕氐剐刖 躺耩粥莨硼驰犯毪乜驯若鬻秘彦；中j 副副影勺臣 彰彭雾再器障篓蠢争除；羹錾n 荆莉融塞i 甄别勤羹娟引新鞘鞋晒鳗 n 荆彰茄赢瓣攀车符豁篓雾坦希骆璎； 。 引套i引掣刿暨箝仨缝瞥摹矬臻薹劳匿雾躲|!=数学元认知监控的结果都作为一种反馈数学认知进展的新信息 直接影响到下一步的数学认知活动和数学元认知监控活动，成为控制 和调节下一步数学认知活动的基础。 1 4 4 调节性 数学元认知的核心问题是调节数学认知活动，无论是认知目标的 确定，认知计划的制订和执行，还是认知策略的选择，认知效果的评 价等，实质都是主体对数学认知活动的调节。而且，主体对数学认知 活动进行主动、积极、灵活有效的自我调节以适应数学认知情境，是 数学元认知水平较高的表现。因此，调节性是数学元认知的基本特征 o o 1 5 相关研究成果 罗新建笱9 9 7 31 8 ( 1 ) 8 3 8 48 x 数学认知活动，而不是在外界各种压力下被动地进行的，也不可能由 他人来替代。因而数学元认知本身就是主体能动性在数学认知活动中 的具体表现。而且，对数学认知活动的自我意识都是建立在主体积极 主动性和能动性的基础上的。如果主体对自己的数学认知活动缺乏主 动性和积极性，不去发挥自己能动作用，那么他就不会去注意数学认 知的有效性，当然也就不会对数学认知活动进行计划、体验、评价 和调节。可见，数学元认知最突出的特点就是高度地反映了主体的能 动性水平。 1 43 反馈性 数学元认知要求主体不断地把自己的数学元认知知识作用于新的 数学认知活动，并不断去获取这种作用所产生结果的情况，检测和评 价数学认知活动的过程及效果，及时调节数学认知活动。可见，数学 元认知表现出极强的反馈性。而且，这种反馈是不断循环进行的。每 一次数学元认知监控的结果都作为一种反馈数学认知进展的新信息 直接影响到下一步的数学认知活动和数学元认知监控活动，成为控制 和调节下一步数学认知活动的基础。 1 4 4 调节性 数学元认知的核心问题是调节数学认知活动，无论是认知目标的 确定，认知计划的制订和执行，还是认知策略的选择，认知效果的评 价等，实质都是主体对数学认知活动的调节。而且，主体对数学认知 活动进行主动、积极、灵活有效的自我调节以适应数学认知情境，是 数学元认知水平较高的表现。因此，调节性是数学元认知的基本特征 o o 1 5 相关研究成果 罗新建论数学元认知的结构四j l l 师范大学学报1 9 9 7 31 8 ( 1 ) 8 3 8 4 8 对象，因此，“d e l t a 一2 系统”就不仅是对于行动计划的评价和调整， 而且也包括了对己有的认知结构及认知策略的评价与调整。 第二章数学元认知与中学生能力的培养 2 1 数学元认知与数学思维能力的培养 思维是数学教学活动的核心，培养学生数学思维能力是整个数学 教学的关键。那么，怎样才能有效地培养学生的数学思维能力呢? 大 量研究表明，提高学生的数学元认知水平是一条行之有效的途径。 近年来，国内外的研究者从不同的角度对元认知与思维的关系进 行了探讨。董奇( 1 9 8 9 ) 进行了一项关于我国1 0 1 7 岁儿童和青少年 的元认知与思维品质关系性质的相关实验研究。研究的结果表明：思 维品质( 深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性) 与元认知( 侧 重元认知知识、元认知监控两方面) 存在显著或非常显著的相关，这 种关系的实质是因果关系，元认知为“因”，思维品质为“果”。研究 分析认为，元认知与思维品质实质上是同一事物的两个方面，它们都 是完整思维结构的重要组成部分。思维品质是思维整体结构的功能的 外在表现形式，而元认知则是思维整体结构的功能的内在组织形式。 也就是说思维品质代表的是表层结构，元认知代表的是深层结构。思 维品质是衡量智力、思维能力高低的重要指导标。在现实生活中，人 们加工信息的速度有快慢之分，解决问题的方法有灵活与呆板之分， 认识问题有深刻与肤浅之分等，这些都是人们智力、思维能力差异的 表现形式，但它们自身并不是差异的原因。差异的原因应从思维的深 层结构去分析，也就是说，表现于外的思维品质的差异的根源在于思 维整体结构的内在运行机制的差异，特别是元认知对整个思维结构中 各系统相互作用直接进行控制、调节水平的差异。显然，前者是后者 的必然结果与反映。由此可见，人们在认识活动中，是否善于根据活 x 对象，因此，“d e l t a 一2 系统”就不仅是对于行动计划的评价和调整， 而且也包括了对己有的认知结构及认知策略的评价与调整。 第二章数学元认知与中学生能力的培养 2 1 数学元认知与数学思维能力的培养 思维是数学教学活动的核心，培养学生数学思维能力是整个数学 教学的关键。那么，怎样才能有效地培养学生的数学思维能力呢? 大 量研究表明，提高学生的数学元认知水平是一条行之有效的途径。 近年来，国内外的研究者从不同的角度对元认知与思维的关系进 行了探讨。董奇( 1 9 8 9 ) 进行了一项关于我国1 0 1 7 岁儿童和青少年 的元认知与思维品质关系性质的相关实验研究。研究的结果表明：思 维品质( 深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性) 与元认知( 侧 重元认知知识、元认知监控两方面) 存在显著或非常显著的相关，这 种关系的实质是因果关系，元认知为“因”，思维品质为“果”。研究 分析认为，元认知与思维品质实质上是同一事物的两个方面，它们都 是完整思维结构的重要组成部分。思维品质是思维整体结构的功能的 外在表现形式，而元认知则是思维整体结构的功能的内在组织形式。 也就是说思维品质代表的是表层结构，元认知代表的是深层结构。思 维品质是衡量智力、思维能力高低的重要指导标。在现实生活中，人 们加工信息的速度有快慢之分，解决问题的方法有灵活与呆板之分， 认识问题有深刻与肤浅之分等，这些都是人们智力、思维能力差异的 表现形式，但它们自身并不是差异的原因。差异的原因应从思维的深 层结构去分析，也就是说，表现于外的思维品质的差异的根源在于思 维整体结构的内在运行机制的差异，特别是元认知对整个思维结构中 各系统相互作用直接进行控制、调节水平的差异。显然，前者是后者 的必然结果与反映。由此可见，人们在认识活动中，是否善于根据活 动的目的、要求而自觉地采取相应策略，去有效解决特定问题，并根 据活动反馈信息，及时地调整策略，导致问题最快地得到最佳解决， 最后将突出地从其思维活动的敏捷性、灵活性、深刻性、批判性和独 创几个方面表现出来。由此，我们清楚地看到了元认知与思维品质存 在因果关系的原因所在。 元认知水平差异是形成思维品质差异的根本原因，所以说加强元 认知的培养与训练是提高学生数学思维能力和学习水平的关键和突 破。数学思维活动和人类其他一切思维活动一样是由五大系统构成 的，这五大系统是：思维的目标系统、材料系统、操作系统、产品系 统和监控系统。以解决数学问题为例来说，我们所要解决的数学问题 是思维的目标；而题目中的已知条件，我们已有的数学知识、经验是 思维的思维材料；各种解题的策略、解题的操作方法、操作程序构成 了思维的操作系统；思维过程中和思维的最终阶段得到的一系列结果 是思维的产品；因为思维是有意识的人脑对客观事物的反映，所以人 脑不仅能意识到目标、材料、操作、产品这些客观对象的存在，而且 也能意识到自己的存在，即意识到自己的思维活动过程，并能有意识 地进行调控，这说明思维还存在监控系统。元认知是人对认知活动的 自我意识和自我调节，所以它是思维的监控系统。在数学思维活动中， 思维监控系统处于支配地位，它对其他四个系统起着监控、调节作用。 因为在数学思维活动中，无论是目标的确定或修改，材料的选择与组 织，操作加工策略的选择与变换，产品结果的检查与信息反馈都是在 元认知的控制和调节下进行的。因此，要培养和提高学生的数学思维 董奇元认知与思维品质关系性质酌相关、实验研究北京师范大学学报1 99 0 557 能力和学习水平，必须抓住这个核心，把它作为关键和突破口。 有关学生数学元认知能力的培养问题，将在后面的内容作详细的 介绍。 2 2 数学元认知与数学问题解决 问题是数学的心脏，有关数学问题解决的研究成为近年来普遍关 注的一个热点问题。问题解决是主体在实际生活中思维活动最普遍、 最重要的形式，问题解决能力是主体智慧和创造性的集中体现。 2 2 1 数学问题解决的含义及认知特征 认知心理学认为，问题解决是一种企图达到目标的尝试活动，它 被定义为任何受目标指引的认知性操作序列。目标的指引性、操作的 序列性及认知性是问题解决活动必须具备的几个特点。问题解决的过 程被视为从初始状态到目标状态的运动哪。 1 9 8 9 年，k i l c h e n e r 给出了问题解决( p r o b l e ms 0 1 v i n g ) 的三种 水平认知加工模型：第一种认知水平：一般认知，它包括主体的评 价、记忆、阅读、知觉等认知活动；第二种认知水平：元认知，它 包括主体的关于认知任务的知识，关于完成任务的特定策略以及使用 这些策略的条件；第三种认知水平：认识论认知( e p i s t e m i c c o n g n i t i o n ) ，它包括主体的关于认知的有限性、确定性和相对性等 认知特性的知识。 在波利亚( p o l y a ) 的怎样解题和奈斯( n i s s ) 的“问题解决、 模型化和应用”中，他们结合数学认知特点，借鉴认知心理学思想方 法初步探讨了问题解决的微型机制，大体上有四个认知阶段。 1 ) 激活：在外界信息进入大脑后，元认知能耦合、接通和激活头 脑中贮存的“相似块”，- 以寻找并建立符合期望的联系。 2 ) 寻求：主体以数学认知结构为基础，在形成问题解决的目标 肖柏荣数学问题解决的心理分析与教学途径数学教育学报19 9 4 。53 ( 1 ) 李玉琪元认知开发与数学问题解决教育研究1 9 9 6 16 0 1 2 意识后，运用思维操作( 直觉操作与内反馈调节) ，寻求问题解决的 途径。 3 ) 评价：在解题过程( 审题、思索解法、解法表述、检验回顾) 中，通过对问题的分析和综合，采取某种策略，并在变更状态的过程 中，指导检验策略，以选择最为有效的解决方法。 4 ) 建构：利用数学元认知知识，在主客体的相互作用中，对数 学认知结构进行调节( 同化与顺应) ，从量上丰富原有的认知结构， 从质上改变原有的认知结构。 从问题解决的微型机制可见，数学问题解决的认知特征，是元认 知监控下的创造性的数学思维活动。 2 2 2 数学元认知在问题解决中的作用 问题解决是创造性的思维活动，与其它较为低级的心理相比，数 学问题解决更需要元认知的统摄、调节和监控。 ( 一) 元认知知识的统摄作用 根据认知心理学的元认知理论，数学认知结构中的元认知知识主 要包括程序性知识、情境性知识、评价性知识在内数学经验性知识， 以及含数学核心思想、数学思维模式、策略性知识在内的数学前提性 知识。其统摄作用表现为以下几点： ( 1 ) 程序性知识的控制作用。程序性知识是指如何使用数学技能 ( 外部操作技能与内部心智技能) 的知识。按照前苏联心理学家加里 培林的心智技能按阶段形成理论，对于解题者是否形成了一种技能， 主要看他们活动是否受规则的限制，这种规则在数学认知结构中的典 型表现形式就是程序性知识。波利亚在怎样解题一书中，给出了 著名的“怎样解题表”，把解题分为理解题目、拟订方案、执行方案、 回顾四个步骤，就是以高度概括化的语言表述了解题的一般性技能， 对解题活动起着控制作用。 李玉琪元认知开发与数学问题解决教育研究1 9 9 6 16 0 1 3 ( 2 ) 情境性知识的引导和支持作用。情境性知识，又叫条件性知 识，即在什么条件和背景下运用某数学方法或数学知识的知识。解决 问题始于问题情境。情境性知识的引导和支持作用，一方面表现为引 领解题方向；另一方面表现为活化思维活动。 ( 3 ) 评价性知识的收敛作用。评价性知识，即判断其正确性方面 的知识。关于问题解决的评价性知识，主要包括：对问题理解的正确 性；拟订计划的可行性；解决问题的简捷性；解决方法( 策略和技巧) 的有效性等四个方面。解题者在评价性知识的收敛作用下，既具有整 体意识，又具有段落意识，使问题解决的四个步骤有机地结合起来。 ( 4 ) 数学核心思想的调控作用。所谓数学核。心思想，是指对数学 本质的认识中，起核心作用的基本数学思想和数学观念。在数学问题 解决中，当情境稍有变化时，主体常会感到束手无策，如果有数学核 心思想来调控数学方法，则往往可以超越这个特定的情境，或变化情 境以适应模式，或变化模式以适应情境。 ， ( 5 ) 数学思维模式的规范作用。数学思维模式是对解题思维过程 的一般思路所作的程序化概括。数学思维模式是一般性的通用思想方 法。它能规范主体的数学行为，从而提高解题能力。 ( 6 ) 策略性知识的启发作用。所谓策略性知识，即如何使问题解 决效果更好的知识。正如奥苏伯尔指出的，策略的功能在于减少尝试 与错误的任意性，缩短解决问题的时间，提高解决问题的效率。 ( 二) 元认知体验的调节作用 数学问题解决中的元认知体验，主要包括伴随主体活动的自觉意 识或情感体验。其调节作用表现为以下几点： ( 1 ) 修正目标，即确定新目标，修改或放弃旧的目标。数学问题 解决是一个思维创造过程，从问题的提出到问题的解决，其间会有许 多失误与失败，这些困难、挫折、失误和失败会在解题者心理上表现 李玉琪元认知开发与数学问题解决教育研究1 9 9 6 16 2 6 3 1 4 出相应的元认知体验，促使主体对原有的构思和目标进行修正或重新 确立，制订切实可行的解题计划和目标结构。 ( 2 ) 改组数学元认知知识。元认知体验能通过对元认知知识基础 的补充，改组元认知知识。数学问题解决的元认知体验贯穿在解决过 程的每个阶段，对每一阶段都要求在主体事前有计划，事后有评价， 通过自我教育丰富自己的数学元认知知识，促进智能发展。 ( 3 ) 激活策略。即主体利用内化了的策略性知识( 感知策略、记 忆策略、思维策略) ，保持或修改思考路线，调控解题方法。 ( 三) 元认知的监控作用 监控作用是通过元认知知识和元认知体验的交互作用来实现的。 其作用与功能表现为：( 1 ) 定向：即对问题解决过程的思维方向进 行监控，表现为对思维课题的价值、难度、性质、待证命题的正确性、 思维指向的恰当与否做出估计与判断。( 2 ) 控制：即对问题解决的思 维进程进行监控，表现为对思维活动中的错误能及时觉察、纠正和弥 补。( 3 ) 调节：即对思维活动的策略进行监控，表现为能对思维进程 做出评价后的应变决策。 从元认知的角度看，问题解决的实质是超越认知有关认知的 认知，所以，在数学解题教学活动中，有意识的培养学生的数学元认 知能力成为极为重要的一个方面。 2 3 数学元认知与数学学习策略 2 3 1 学习策略的概念 学习策略是学习主体自觉地对学习活动及其因素进行宏观与微观 统一地计划、评价、调控以追求最佳学习效率的计策或谋略。 李玉琪元认知开发与数学问题解决教育研究1 9 9 6 1 6 3 2 3 2 元认知与学习策略的关系 从信息的角度来看，学习就是获取信息。丹博( d e m b o ，1 9 9 4 ) 以 大脑信息加工的过程为基础，结合弗拉维尔( f 1 a v e l1 ) 元认知理论， 提出了这样一个具体的有关学习的信息加工过程的模式。( 见图2 1 ) _ 注意 信息遗失 复述 精细加工 组织 信息遗失 图2 1 学习的信息加工模式 如果根据这一模式中所包含的学习就是获取信息这一假设，那 么，学习策略目的就是帮助学习者控制学习的信息加工系统，以便更 好地存贮和提取信息。学习策略是一种过程性知识，它存贮在长时记 忆中。它包括信息流程中各环节所使用的方法和技术，如注意、复述、 精细加工、组织编码等过程以及对它们的控制过程。其中，复述、精 细加工、组织编码是直接对信息进行的加工。，有关的方法和技术属 于认知策略，它包括复述策略、精细加工策略和组织策略：而对信息 加工的控制过程，则控制着信息的流程，监视和指导认知过程的进行， 蒋莉、熊江玲论元认知与学习策略湖南教育学院学报2 0 0 1 7 1 4 4 1 6 illil丫 属于元认知策略，它包括计划策略，监视策略( 注意策略) 和调节策 略。 综上所述，元认知和学习策略之间的关系可以用下表表示( 见表 2 1 ) fi 关于任务的知识 元认知 在长时记忆1i 关于策略的知识 k 控一r 知 鲥 策 知 复述策略 精细加工策略 组织策略 计划策略 监视 注意 策略 调节策略 表2 1 根据学习的信息加工过程学习策略与元认知的关系，可以知道， 学习策略是存贮在长时记忆中的元认知知识，它包括认知策略，元认 知策略以及资源管理策略。元认知过程则指在工作记忆中进行的，运 用存贮在长时记忆中的元认知知识( 包括学习策略知识) 来管理和控 制认知活动的过程，它包含情感调节的过程。元认知过程是使用学习 策略的过程。元认知能力则是指执行这一控制过程的能力。这就是说， 学习策略是有关学习的动态过程的静态知识，而元认知过程则是使用 静态知识的动态过程。 在数学活动中，数学元认知是数学学习策略训练的关键。布朗把 “计划性”看作是学习策略的核心成分，把只教学生策略，不教学生 如何运用策略的训练，称之为“盲训练”。当然，元认知是以具体的 学习策略为基础的，离开了具体的学习策略，元认知必将是无源之水， ri、_ 、郧d 厂愀 f 无本之木。 第三章中学生数学元认知水平调查 3 1 中学生数学元认知水平与其年龄的关系 3 1 1 理论依据 皮亚杰将儿童认知发展划分为四个阶段：感知运动阶段( 出生一2 岁) 、前运算阶段( 2 7 岁) 、具体运算阶段( 7 1 l 、1 2 岁) ，形式 运算阶段( 1 1 、1 2 1 5 、1 6 岁) 。在感知运动阶段，儿童主要通过感 知运动图式与外界发生相互作用。在前运算阶段，儿童的思维已表现 出符号性的特点。他们已能通过表象、言语以及其他的符号形式来表 征内心世界和外在世界。但其思维是直觉性的，而非逻辑性的，且具 有明显的自我中心特征。在具体运算阶段，儿童的思维已具有明显的 符号性和逻辑性，基本克服了思维中的自我中心性。但这个阶段儿童 的思维活动，在很大程度上仍局限于具体的事物以及过去的经验，缺 乏抽象性。在形式运算阶段，儿童总体的思维特点是，能够设定和检 验假设，能监控和内省自己的思维活动，思维具有抽象性。这是在智 力发展上相对于前几个阶段的重要进步。在这一阶段，儿童的元认知 水平有了较大的发展。从这四阶段思维的发展来看，儿童的元认知水 平是逐步提高的。随着年龄的增长，儿童的自我意识水平提高，对自 我中心化起协调作用，这表现为元认知能力的不断提高。这是因为元 认知能力是一种比较高级的心理能力，在思维活动中意味着要将自己 的注意力同时有效地集中在两个客体上：一是思维活动涉及的客体， ( 三) 调查结果的统计分析 为了分析学生数学元认知水平与其年龄的相关关系，我们把北盛 中学学生的问卷结果与浏阳六中的结果作比较。其结果用s p s s 统计 软件作显著性的检验。 l学校人数( n )平均分标准差( s )均值标准误差j l 北盛中学 7 56 1 9 71 2 4 01 4 31 j 浏阳六中5 47 0 o l 7 7 21 0 5j 从班级总体的平均分来看，北盛中学和浏阳六中学生的元认知得分普 遍较低，而北盛中学的平均分x ，= 6 1 9 7 ，明显小于浏阳六中的平均分 x 产7 0 0 1 ，两者相差8 0 4 ，为了说明两者的差异，用s p s s 统计软件 对数据进行了处理，作了一下对平均值的显著性检验，检验的具体结 果见附录。从检验的结果来看，显著水平s i g = 0 o o 远小于5 ，说明 两者存在显著性差异。 由此，我们得出了结论：中学生的数学元认知水平是随着年龄的 增长而逐渐提高的。这与皮亚杰四阶段理论是相符合韵。 3 2 数学元认知水平与学生数学成绩关系的分析 前面所述中已经提到过，在调查的实施过程中，按数学成绩在调 查中分成三组，以便方便对问卷调查的结果进行分析。 从被调查的两个班中选取其中一个，分别考查成绩好与差的学生 问卷的得分情况，再利用s p s s 统计软件进行处理。选取浏阳六中来 分析。首先我们比较一下a 组和c 组得分情况。如下表： l组另u人数( n )平均分。标准差( s ) 均值标准误差。 fa 组1 57 6 0 7 6 5 01 6 8 c 组1 56 3 4 07 4 1 1 9 1 a 组成绩好的学生问卷的平均分x 。= 7 6 0 7 要明显高于c 组成绩差 的学生问卷的平均分x ：= 6 3 4 0 ，两组差距比较大x 。一x ：= 1 2 6 7 ，用s p s s 统计软件作显著性检验，显著水平s i g = 0 o o 远小于5 ，可知这个差 异也是显著的。s p s s 统计的结果见附录。 再对成绩相差不很大的两个组：a 组与b 组作一下结果分析。我 们同样应用s p s s 统计软件作显著性检验 l组别人数( n )平均分标准差s均值标准误差 fa 组1 57 6 0 76 5 01 6 8 b 组2 47 0 3 8 5 0 61 0 3 两组均值相差5 6 9 ，从附录的显著性检验的结果来看，显著水平 s i g = 0 4 小于5 。两者存在显著性差异。 从这个检验的结果来看，这两个组学生的元认知水平差异是显著 的。然后，我们再来比较一下不同组别检验的结果。a 组与c 组的成 绩相差比较大，从检验的数据来看，显著性水平为o 0 0 ，说明两者 存在很显著的差异。a 组和b 组的成绩不如前面两者相差大，显著性 水平为0 4 ，说明这两组也是存在显著差异的。由此，我们可以得 出这样的结论：中学生的数学成绩与其数学元认知水平存在着一定的 关系。一般来说，数学成绩好的学生的元认知水平比较高，反之亦然。 3 3 中学生数学元认知水平分析 3 3 1 调查结果的元认知水平分析 前面从问卷的结果分析中得出了学生的元认知水平与年龄及其数 学成绩的关系，下面我们再从结果中分析一下目前中学生的数学元认 知水平。 首先看一下元认知的总体水平。 【人数( n )平均分( x )标准差( s ) i1 2 96 5 3 41 1 3 8 从统计数据来看，该问卷的总分为1 0 0 分，而被测学生的总平均 分，x = 6 5 3 4 ，总标准差s = 1 1 3 8 。从数据中不难看出，学生的数学 元认知水平总体来说比较低，而且个体间的元认知水平差异较大，反 映在数据上就是较大的标准差。 下面就问卷当中的具体内容来分析一下中学生的数学元认知水 平。每一题目的得分情况已经在附录中绘出。我们就这个表来具体分 析一下，把得分情况分为三个题目组来考虑。 ( 一) 得分高题组 这一题组包括3 、4 、5 、1 l 、1 2 、1 6 、1 9 题。得分超过4 分的题 是4 与1 6 题。4 题反映了学生面临自己解决不了的难题时的态度。 在这一题目上，得分虽高但标准差也大，反映了学生间个体差异较大， 成绩中上等的学生得分高，而成绩差的学生得分低，对1 2 题来说也 是这种情况。1 6 题中中学生的个体差异较小而得分高，反映了学生 在一般解题的方法上不存在很大的问题。这一看法同样反映了在3 、 1 l 题上。1 9 题反映了学生对待错误的态度上，多数学生把错误的原 因归因于粗心大意。5 题中反映了学生对于自身内部差异的了解。从 这一题组的得分情况可以看出，学生对一般性的解题方法和策略以及 对于自身内部差异的了解程度还是比较高的。 ( 二) 得分低题组 这一题组有6 、1 3 、1 8 题，其中1 8 题得分最低且个体问的差异 比较小。也就是说成绩好的学生与差的学生在这方面差异不大。这方 面主要涉及题后反思与数学思想方法上。虽然老师一再强调题后尽量 多反思，多回顾，但学生做得很不够，有的学生思想上不重视，觉得 没必要，有的学生觉得没有时间。在这方面老师要做的工作还很多， 如上课中进行反思示范；作业中强调反思习惯；错题中落实反思笔记 等，让学生自觉地参与这项活动。另方面就是数学思想方法的教学， 这问题在下一部分将提及。1 3 题得分低且个体差异小，也就是说 大多数学生对于考试后自己的答题情况估计不足。这一普遍现象反映 了学生的元认知监控方面存在不足，对于问题解决中的思维方向不能 进行有效的监控，以至于对于问题的正确性缺乏了解。6 题得分低而 个体差异明显。从调查结果来看，成绩好的学生比差的学生做得要好。 但总体水平比较低，反映学生只是满足于问题的解决，而不关心问题 解决的方法。很少探究是否有更优的方法去解决问题。 ( 三) 得分次低题组 这一题组包括1 、2 、7 、8 、9 、1 0 、1 4 、1 5 、1 7 、2 0 题。这一题 组的特点是得分较低而个体差异不很明显。这一题组涉及到了元认知 监控与元认知体验等方面的内容。从得分情况来看，学生在学习的方 法策略和学习习惯等方面存在一定的问题。解决问题的监控方面比较 薄弱。 3 3 2 讨论 ( 一) 数学元认知知识的基本情况的讨论： ( 1 ) 关于数学认知主体方面的知识 多数学生对自身数学认知能力与特点的认识只是具有一般了解程 度，不具备较高的层次。原因在于学生在数学学习中，注意力主要集 中在问题这个客体本身上，包括问题的已知、未知条件，采用的方法 上等，而忽视了对问题解决的主体的基本情况的了解，缺乏关于主体 自身数学认知能力与特点对解决问题的影响的认识，这应该引起我们 的重视，有意识加强对学生这方面教育和培养。 ( 2 ) 关于数学认知材料、认知目标和任务方面的知识 学生对解决有关问题需要掌握相关信息认知程度较低，目标意识 程度也比较低，大多数学生在平时的解题活动中，没有对问题情况和 实质深刻了解，没有具体分析一下问题涉及哪一方面内容，而是急于 动笔，忙于作答。 ( 3 ) 关于数学认知活动中策略方面的知识 有一部分学生能够意识到策略的重要性，也能够在解决问题中使 用一些策略，但一般情况下使用的策略层次较低，而且常常在被动情况 下使用，只有很少的一部分成绩比较好的学生能够高效率地运用策略。 在平时的教学中，教师重视数学问题解决的各种具体方法的训练，而忽 视有效使用各种策略的培养。这是造成这一结果的一方面的原因。 ( 二) 数学元认知体验基本情况的讨论 数学认知体验最容易发生在能激起高度自觉思维的问题情境中。 因为在这种情况下，能提供更多机会获得各种数学元认知体验。在解 决难题后，大多数人都心情愉快，有一种成功的体验；而在排除干扰 方面，却有许多人容易受到干扰的影响，这就说明学生接受成功体验 比较容易，而没有作好充分准备去面对失败。这同样体现在对待数学 考试成绩上，学生的情绪波动较大。在问题解决中遇到困难后，很多 学生不能够冷静寻找解决问题的方法，而更多的表现情绪急躁，更有 甚者会放弃解决问题。这是目前中学生普遍存在的一个比较薄弱的环 节，也是一个比较突出的社会问题，教师在教学中针对具体情况，应 有意识的加强这方面的培养。 ( 三) 数学元认知监控基本情况的讨论 从调查中，可以看出学生数学元认知监控水平比较低，现状令人 担忧。究其原因，与我们传统教学中，只注重知识传授，忽视能力的 培养，只注重问题解决的结果，忽视问题解决的过程有很大的关系。 学生在解题过程中，满足于解题的结果，而不去关注解题前的计划、 解题中的检查以及解题后的反思，因此，不能够有效的迁移，达