（光学工程专业论文）平板光子晶体本征模式研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 由于三维光子晶体加工困难，而平板光子晶体的加工相对容易并且保持了光子 晶体的带隙特性( 导模带隙) ，因而成为实现光子晶体多项应用的实际有效的方案。 本文探讨了研究平板光子晶体的各种理论方法，对比了各种方法的优缺点，以及目 前的研究进展情况。在此基础上，我们用平面波超元算法重复了前人对导模的计算 结果，并在散射矩阵法的基础上，发展了一种新的搜索算法，来统一的解决平板光 予晶体的本征模式问题。 平面波超元算法的结果表明： ( 1 ) 平板光子晶体导模中存在带隙。 ( 2 ) 平板光子晶体存在一个最佳厚度，使其导模带隙最大。 散射矩阵法的结果表明： ( 1 ) 本文提出的新的搜索算法计算的导模的结果和平面波超元算法的计算结 果相一致，辐射模式的结果和时域有限差分法的结果相一致，并能给出 本征模式的场分布，而且在给定的搜索精度内，收敛很快，表明它是解 决平板光子晶体本征模式的问题的强有效的方法。 ( 2 ) 对对称平板光子晶体，新的搜索算法能根据入射场的对称性，对平板光 子晶体的本征模式进行分类。 关键词：平板光子晶体，超元，时域有限差分，散射矩阵，导模，辐射模 i v第页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h e p h o t o n i cc r y s t a ls l a b as t r u c t u r ew h i c h i sm o r ea m e n a b l et of a b r i c a t i o nt h a n p h o t o n i cc r y s t a l sw i t hf u l lt h r e e - d i m e n s i o n a lb a n dg a p s ，b u tr e t a i n so ra p p r o x i m a t e sm a n y o f t h el a t t e r sd e s i r a b l ep r o p e r t i e s ，b e c o m e sa l la l t e r n a t i v eo f t h r e e d i m e n s i o n a lp h o t o n i c c r y s t a l si nm a n y n o v e ld e v i c e s i nt h i sp a p e r ，t h e p l a n ew a v e m e t h o dw i t hs u p e rc e l ta n d t h es c a t t e r i n g m a t r i xm e t h o da r eu s e dt oc a l c u l a t et h eb a n ds t r u c t u r e sa n d e i g e ns t a t e so f t h ep h o t o n i cc r y s t a ls l a b s t h er e s u l t so f t h e p l a n ew a v e m e t h o dw i t hs u p e rc e l ls h o w s ： ( 1 ) p h o t o n i cb a n dg a p se x i s ti nt h eg u i d e dm o d e so f t h ep h o t o n i cc l y s t a ls l a b s ( 2 ) ap h o t o n i cc r y s t a ls l a bh a sa no p t i m a lt h i c k n e s s ，w h i c hm a k e st h ep h o t o n i c b a n d g a p m a x i m u m ， t h er e s u l t so f t h e s c a t t e r i n g m a t r i xm e t h o ds h o w s ： ( 1 ) t h en e wm e t h o dw ep r o v i d e di nt h i sp a p e ri sa c c o r dt ot h ep l a n ew a v e m e t h o dw i t hs u p e rc e l li n c a l c u l a t i n gt h eg u i d e dm o d e so ft h ep h o t o n i c c r y s t a ls l a b s ，a n da c c o r dt ot h ef d t dm e t h o di nc a l c u l a t i n gt h el e a k y m o a e s ( 2 ) t h en e wm e t h o d sc a na p p l yt os t u d yt h es y m m e t r yo ft h ee i g e nm o d e s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a ls l a b ，s u p e rc e l l ，f d t d ，s c a t t e r i n g m a t r i x ，g u i d e d m o d e s ，l e a k y m o d e s 第v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下连行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料：与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：扳道土星生查堑搓盛丑壅 学位论文作者签名：强：鹜日期：a 吗年& 月j 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目： 堑左虽堡查堑搓式盟窥 学位论文作者签名：! 垒尘 作者指导教师签名：需悖 日期：山一j 年旧月j 日 日期：卯3 年悼月f 日 国防科学技术人学研究生院学位论文 图表目录 图1 t 光子晶体示意图。， 图l _ 2 平板光子晶体示意图， 图1 3 平板光子晶体器件 图2 1 超元示意图 图2 2 平板光子晶体能带结构图，用平面波超元算法 图2 3 平板光子晶体带隙与平板厚度的关系曲线， 图3 1 平板光子晶体中电磁场传播示意图， 图3 2 置于空气中的方格子平板光子晶体。 图3 3 平板光子晶体正入射时的透射谱 图3 4 导模计算结果图，分别使用散射矩阵法和平面波超元算法 图3 5 导模磁场z 分量分布图 图3 6 导模电位移矢量分布图 图3 7 导模电场z 分量分布图 表3 1 c ，。点群对称性 图3 8 导模磁场g 分量分布图。， 图3 9 辐射模式计算结果图，分别使用散射矩阵法和时域有限差分法 图3 1 0 泄漏模式磁场z 分量分布图 图3 1 l 泄漏模式电位移矢量分布图 图3 ，1 2 泄漏模式电场z 分量分布图 表3 2 c 。点群对称性 图3 1 3 泄漏模式磁场z 分量分布图， 图3 1 4 平板光子晶体能带结构图，用散射矩阵法， 表3 ，3 使用不同数量平面波基计算的结果。 表3 4 使用不同数量平面波基计算的结果 图3 1 5 介电函数分布图 第1 i l 页 o，。门他墙趴盟弘历嬲卯勰勰四盯弛弘踮弘盯盯船 垦堕登堂堡查查兰竺塞生堕耋堡丝苎 第一章绪论 1 1平板光子晶体简介 从真空管到超大规模集成电路，人类跨出了巨大的一步。半个世纪以来，电子器件的 迅猛发展使其广泛应用于生活和工作的各个领域，它尤其促进了通讯 e l 计算机产业的发展。 然而，进一步小型化以及在减小能耗下提高运作速度，几乎是一种挑战。由于光予是以光 速运动的粒子，以光子为载体的光子器件将有比电子器件高得多的运行速度；由于光子受 到的相互作用远小于电子，因而光子器件的能量损耗小、效率高。如此，人们设想着也能 象集成电路一样制造出集成光路，光子在其中起着电子在半导体中的作用，发展全光通讯、 光子计算机构成未来的光子产业。类似于电子产业中的半导体材料，光子产业中需要。种 能控制光基础的材料，其中存在光子禁带。光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 的出现使得这 一切成为可能。 光子晶体是1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别在讨论周册 生电介质结构对材料中光传 播行为的影响时，各自独立地提出的 1 2 。光子晶体是种折射率周期分布的材料。如下图 1 1 所示的是一维到三维的光子晶体材料结构，周期性是其最大的特征。 图1 1 ：一维二雏；雏光子晶体结构 n g u r e1 1 ：s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no fi d , 2 da n d3 dp h o t o n i cc r y s t a l s 国防科学技术大学研究生院学位论文 理论和实验证明：这种高低折射率的材料交替排列形成周期性的结构可以产生光予晶体 带隙( p h o t o n i cb a n dg a p ，类似于半导体中的禁带) 3 - 6 。如果只在一个方向二存在周期 性结构，那么光子带隙只能出现在这个方向。如果在三个方向上都存在周期结构，那么就可 以出现全方位的光子带隙，光子晶体非凡的本领正是来源于这光子带隙。因为频率处于带隙 中的光将不能在光子晶体中传播，这样我们就可以控制光的运动 7 - 8 。例如，如果我们考虑 在光子晶体中引入一种光辐射层，该辐射层产生的光的频率处于光子晶体带隙中，由于此频 率的光不能在光子晶体中态密度为零，其光辐射被抑制。这就使得我们可以控制以前不可避 免的自发辐射。 如果我们引入点缺陷破坏光子晶体的周期结构特性，那么在光予晶体带隙中将形成相应 的缺陷态，其对应频率的光局域在这个缺陷，从而得到一个高0 值的微腔。这可以用来制造 单频发光二极管和零域值微腔激光发射器 9 。如果我们引入的是线缺陷，那么就可以形成一 条光的通路，类似于电流在导线中传播一样，频率处于光子晶体带隙中的光将只能沿着线缺 陷传播，任何试图逃离线缺陷的光子都将被完全禁止，如此可以实现一条无损耗的，弯曲的 光通路 1 0 。 光子晶体具有非常广阔的应用前景。由于其特性，可以制作全新或以前所不能制作的高 性能器件。但是，制作三维光子晶体却面临巨大的挑战，因为它们存在了复杂的三维连通性 和严格的排列要求。制作二维光子晶体则要求制出的晶体在第三维上足够长，而在第三维上 具有有限厚度的平板光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a ls l a b ) 因其制作相对简单，可用传统的薄膜 沉积和刻蚀的方法实现，因而引起人们的普遍关注。薄板一般是被周期性打孔的高折射率材 料，生长在低折射率衬底上或悬空( 见图1 2 ) ，在第三维靠折射率导引来约束光不向外辐射。 第2 负 一里堕型堂丝查查兰堡塞尘堡兰垡笙三 图1 2 ：两种典型结构的光子晶体薄扳。( a ) 空气中的介质柱组成的方格子光 子晶体薄扳，晶格常数a ，半径0 2 a ，厚度2 、0 a 。( b ) 介质中的空气扎组成的 三角格子光子晶体薄板，半径0 4 5 a ，厚度0 5 a 。介质的介电常数为1 2 。 ( c ) ( d ) 带衬底的平板光子晶体。 f i g u r e1 2 ：t w oc l a s s i c a lp h o t o n i cc d ，| s t a ls l a b s ( a ) s q u 缸el a t t i c eo f r o d si na i rw i t h l a t t i c ec o n s t a n t 口r a d i u so 2 a a n dh e i g h t2 o a ( b ) t r i a n g u l a rl a t t i c eo f h o l e si na d i e l e c t r i cs l a bw i t hl a t t i c ec o l o r a n t 诧r a d i u s04 5 a a n dt h i c k n e s s0 6 ai nb o t hc a s e s ， t h e d i e l e c t r i c c o r 删o f m e k 毋一沁d e x m a t e 打面i s l 2 b o t h s l a b s a l es t a s p e n d e d i n a i r ( c ) p h o t o n cc i ) r 划s l a b sw i t hs u b s t m t e 在很多方面，光子晶体薄板和二维光子晶体都很相似，这干叶，相似生极大地帮助了人们认 识和分祈平板光子晶体系统。但是，二维的计算，并不能直接应用到三维的平板光子晶体结 构中。特别地，通常计算出来的二维结构的能带结构是在假设垂直于周期性排列的平面方向 波矢分量为零的结果。有限高度对平板光子晶体的限制使其带结构与二维有很大的改变，因 此需要使用与二维算法不同的新的全三维分析方法。 万丁i 里堕型堂垫查堂堡壅生! 堡堂堡丝圣 = _ = = = = = = - = = = _ ；= = = = = = = = # 目。一 1 2平板光子晶体理论研究方法 研究平板光子晶体的理论方法可以分为三类： 1 平面波展开法：即把一定频率的场在一组基f j 畏- ) t ( 例如，用有限截断的平面波基的 平面波法) ，转化为求解线性本征值的问题。这种方法广泛使用，使用不同的基矢展开和不同 的本征值求法而产! e - 2 t 一系列变种 1 1 2 5 。我们用于研究平板光子晶体的频域方法是平面波 超元方法 2 6 。 2 时域方法( t i m e d o m a i n m e t h o d ) ：用于光子晶体理论研究的时i 2 h - 法主要是时域有限 差分法( f d t d ) 2 7 ，这是一种保m a x w e l l 旋度方程中的时间变量，不经变换而直接在时 域空域中求解的方法，它能提供方程的齐次部分( 瞬时) 和非齐次部分( 稳态) 的全部解 答。它在每一网格反复地运行由m a x w e l l 旋度方程直接转换来的有限差分格式，从而实现在 计算机的数字空间中对波的传播及与物体的作用进行模拟。在这种模拟中不需要后存储，一 般只涉及上一时间步长的场值。这种方法的缺点是计算区域不仅在结构的表面，还必须包括 内部和足够的外部空间，以便有效埘葫足辐射条件。但由于它以最普遍的m a x w e l l 方程作为 出发点，敞有非常广泛的适用范围。 3 传输矩阵法( t r a n s f e i = m a u i xm e t h o d ) ：对个固定的频率，计算联系每个单元两端 场振幅的传输矩阵( 利用有限差分，解析理论，或其它方法) 2 8 3 3 】。这种方法可以直接 产生传输谱和本征频率，传输矩阵法对计算分层介质特别有效。本文使用在传输矩阵法的基 础上发展而来的散射矩阵法 3 4 来研究平板光子晶体。所谓散射矩阵，就是联系每一个单元 两端的入射场和出射场振幅的传输矩阵。 第4 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 1 3 平板光子晶体应用 我们称这种系统为平板“光子晶体”的原因是，同二维光子晶体一样，它们有带隙 但不是传统的那种了，平板光子晶体的“带隙”是指一个频率范围中没有导模存在。它不是 一个真正意义上的带隙，因为在这些频率中有辐射模存在。尽管如此，导模禁带引起许多发 生在_ - ：维光子晶体中的同样的现象，比如限制光在平面内传播的光波导和谐振腔 3 5 1 。( 带隙 中辐射模的存在导致的结果是谐振腔模式最终衰减到背景中。) 平板光子晶体带隙中的光不能 在平板平面中传播，只能辐射到背景中的事实，被用于设计高效率l e d 3 6 。图3 为平板光 子晶体的一些其它应用： 1 ， 光子晶体单色滤波器。选择适当的结构和物理参数，设计带隙的位置和范围和弯 折波导的透过率曲线，可以得到波长范围很小而且透过率很高的单色滤波片。 2 通道下载滤波器。结合点缺陷的构成如图1 3 ( a ) 所示的通道下载滤波器，可以从 一个多波长通道中有选择地把其中一个波长的光下载到另一个通道里而不影响 其它波长的光。 3 多路选择器件。如图13 ( b ) 所示，多个直波导或弯波导的组合可以将不同波长的 光有选择地引入到相应的波导中。 4 ， 光学集成：如图1 3 ( c ) 所示的平板光子晶体集成芯片模型中，集成了微腔激光 器，谐振腔，通道下载滤波器等部件，这可能是平板光子晶体最吸引人的地方。 国防科学技术大学研究生院学位论文 4 1 3 ：( a ) 通道下栽滤波器，( b ) 多路选择器，( c ) 平板光子晶体光学集成芯片模型，在平板光子晶体 中集成了渡导，锨腔激光器等器件， f i g u r e1 3 ：( a ) c h a n n e l 0 ，则这两个系数为每一列波在平板中的最 大幅度。 我们定义如下，1 介销阵： 则( 3 3 1 ) 可写为 夕( z ) = 扔蹭g w ，。m ：，。m ：) 4 = d i a g ( q 。，q 2 ，吼) h l i ( z ) = 仁，( z ) ，h ，( z ) ) 7 g 。( z ) = p ，( z , e x ( z ) ) 7 ( 3 3 动 口= 【d l ，订! b = ( 6 l ，b 2 ， ，) 7 ，6 。) ， ( z ) = 。沙( 咖+ 夕一z ) 6 】( 3 删 同样，根据( 3 2 3 2 ，平板光子晶体在平面内的电场占可以表述为： ( - - 巳p y c ：( z ， 2 莩 ：； g ：+ ( 惫囊象 眨 嘉。一e 吲一，) 。3 第l7 页一 国防科学技术火学研究生院学位论文 利用3 2 节定义的块矩阵h 和k ，一卜式即为 2 莓瞰喇胯专“ 利用( 332 ) 和( 3 2 6 ) ，( 3 , 35 ) n p a 写为( 33 3 ) n 样的形式 。( z ) = b2 一k 扣i 一1 l 尹( z ) 。一尹( d z ) 6 j ( 333 ) 和( 3 3 6 ) 可以合写为： b 2 一k b 4 ( 33 5 ) ( 3 36 ) v 凇a 从m ) 刊 f 33 。1 3 4 散射矩阵 本节主要内容是来求解如图3 1 ( a ) ( b ) 所示的典型三层结构平板光子晶体的散射矩阵。 n 。 ：鱼上 乃， 7 弋一 。：。： 图3 1 ：( a ) ( b ) 为两类典型的三层结构平板光子晶体图。【c ) 前向波和后向波在平板光子 晶体中的传播示意图。 f i g u 。e3 - 1 ：( a ) & c o ) a r e t w oc l a s s i c t h r e e l a y e r s w a c t u r e p h o t o n i c c r y s t a ls l a b s ( c ) l a b e l i n g s c h e m e f o r f o r w a r d a n d b a c k w a r d g o i n g w a v e s i n t h e p h o t o n i c c r y s t a ls l a b i、，；i g，旧 砸 功 k 巾 扛l _ o 八 2 ， - r 引l ，、，m = = p 矗 ， i 震= 些旦墅堕垒塑堕生业苎 散射矩阵就是联系不同层之问前向波和后向波，。，和6 ，的振幅系数的矩阵，如图5 ( c ) 薪 示： 鼢础，文州聪獭 a m 注意到散射矩阵联系的是入射波和反射波之间的关系，而传输矩阵联系的是每层之问的电磁 场口就是因为这个差别使得散刺矩阵比传输矩阵有着更好的数值稳定性，当有消逝场时。 相邻两层之问的振幅通过界面矩阵( i n t e r f a c em a t r i x ) i ( 1 ，1 + 1 ) 相联系： 叫u 圳慨。烈蕊 。固 其中，方= j ；j ( 一) 。界面矩阵由边界条件决定，即要求场的切向分量连续。在( 237 ) 式中在， 层令z = d ，在，+ l 层令z = 0 ，则由边界条件可得： 川，+ 1 ) = 肘i 1 肘h 3 、 散射矩阵可由【二面几式娣椎计筻 联立( 34 1 ) 和( 3 42 ) ，消去疗，和6 ，可计算得s ( ，。，f ) 为： s ，+ i ) = ( ，_ 元s 。：( ，叫：，) - 1 两。( ，) 未譬!z：!(乏孑f，siz(f,1)1，2，1+)-i，。+(zss l s ) 1 2 s ：，否：彳如澎+ ， c ，a s ， 2 l ( ，+ 1 ) = 2 2 ( ， 1 s 1 1 ( ，+ 1 ) + ，( ，) h + 3 j s 2 2 ( 7 ，7 + i ) 2 是2 ( ，1 ，) ：s ( ，+ 1 ) + s ，) 2 ，z + l 耵1 啧9 第面 一 旬 4 + 义 j 、一_叫 国“d剐地w 国防科学技术大学研究生院学位论文 3 5 平板光子晶体的本征模式 这节我们利用上节求得的散射矩阵来计算平板光子晶体本征模式的频率及其场分布。对 三层结构的平板光子晶体( 罔5 ( c ) ) ，我们记： b 。= ( ； ，b 。= ( ：； ，s = s c 。，2 ， c 3 s - ， n ( 3 3 7 ) 卜下表面的入射场分别为： 则由散射矩阵的定义，我们有 e - h y p h t i 。碱 1 ro 、 ( 3 购 。圳： b 。= s b 。( 353 1 系统的本征模式就是方程( 352 ) 在零输入e 。= 0 的非平儿解。即平板光子晶体的本征模式可 以通过以下线性方程求解： s - i b 。，= 0 ( 3 5 4 ) ( 35 3 ) 要有非平凡解，则要求： d e t s 一1 ，k ，k ，) = 0( 3 5 ) 这就是用散射矩阵法求解平板光子晶体本征模式的基本原理。 j 塑一堕型兰垫查奎耋堡塞兰堕兰堕丝苎 ；= = = 一 3 6 本征模式的搜索 盥接用( 3 5 4 ) 来搜索平板光予晶体的本征模式是很困难的。首先所求的行列式的值与所 选取的甲面波基的截断方式有关，而且是影响很大。其次，最重要的是数值计算判定一个数 是否为零受到计算机精度的影响。因此，用散射矩阵法求解平板光子晶体本征模式的重点就 是找到一个有效的搜索算法。 nc a r l s s o n 和t t a k e m o ，i 首先利肿牧射女h 阵法计算了悬于空气巾的平板光子晶体的本征模 式f 4 1 1 ，但仅计算出了了导模。他们选择消逝场作为入刺波，通过定义一个能量增强凶子： 厂= l 。, g 。b l e ( x ，y , z ) d 3 i 矿 ( 3 6 1 ) m d t c r j d | v 为原胞体积，积分在一个原胞内的高介电常数材料区域进行。入射场振幅已经归一化。能 量增强因子即为能量集中于高折射材料的百分数。通过能量增强因子来判定是否为平板光子 晶体的本征频率。但这种方法只能够计算系统的导模。 文献 4 2 4 3 通过散射矩阵计算出反射谱和透射谱，再由其共振特性分析得出平板光子 晶体的本征频率，如图3 3 所示为图3 _ 2 中的平板光子晶体f 入射时的透射谱。由于是通过反 射谱或透射谱，故无法得出导模的本征频率。 图3 2 ：空气孔组成的方格子平板光子晶体，晶格常数 a ，孔半径0 2 a ，厚度o 5 a ，介电常数1 2 。 f l g u r o3 2 ：p h o t o n i cc r y s t a ls l a bs t r u c l u r ec o n s i s t i n go f a s q u a r el a t t i c eo f a i r h o l e si n t r o d u c e di n t oa h i g h - i n d e x d i e l e c t r i cs l a b 里堕型兰垫垄奎兰堑壅竺堕兰堡丝圣 、 ，、 、 ，i i 八 + ；11 - j jli r1 li | f 1 li ；i 、 ， 川 一1 蔷一o ：i 一面5 1 i7 一面 f r e q u e n c y ( 2 n c d 、 图3 3 ：图3 2 所示方格子平板光子晶体正入射的透射谱。 f i g u r e 3 , 3 ：t r a j l e m i s s i o ns p e c l r a a t n o r m a l i n c i d e n c e f o r c i y s t a ls l a bs i 1 j c r a - c s i n f i g u r e 3 2 那么，有没有更好的搜索算法来同时得出导模和泄漏模式的本征频率，并且自江艮据平板 光子晶体的对称 生来对本征模式进行分类呢? 我们的做法是，x c ( 3 ，5 4 ) 式，加上源项b m ，使之变成一个非齐次方程组 b 。= s b i ( 3 6 1 ) 对满足( 3 ，5 5 ) 式的平板，纾晶体的本征频率，由( 3 6 ，1 ) ，只要昱。不是平板光子晶体的本征模 式，就有吃。发散。因此，对给定的毛，我们只要搜索出使见。1 1 2 一m 的频率点，就能得 出平板光子晶体的本征频率。 由于不需要考查反射谱或透射谱，因此，对对称背景中的平板光予晶体，例如图1 2 所 示悬于空气中的孔组成的三角格子平板光子晶体，我们只要在蕊端规上对称的t e 模( 电场 在界面内) 或反对称的t m 模( 磁场在界面内) ，就能计算出它的偶模来，反之就自晰算出 它的奇模来，这样，就能眵根据给定入射场的对称陛来对平板光子晶体的模式进行分类。 w 1 罟叶嗡叫“旷 ；e荔鲁iii口叠_ 国防科学技术人学研究生院学位论文 3 7 计算结果 在这一节，我们首先计算了平板光子晶体的导模和辐射模，并把计算结果和平面波超元 算法的结果进行了比较。然后我们计算了一个晷：于空气中的孔组成的三角格子平板光子晶体 的完整的能带图( 计算了其偶模，因为只有偶模存在带隙) 。 1 平板光子晶体的导模及其场分布 如图1 2 ( b ) 所示的孔组成的三角格子平板光子晶体，晶格常数为a ，孔半径为0 2 5 a ，平 板厚度o 5 a ，折射率为3 4 。悬置于空气背景中，图3 4 为对爵= ( o ，l 拈) 点用给定的随机入 射场搜索本征频率的结果。( a ) 图横坐标为归一化频率，纵坐标为输出场振幅系数的范数 j b i2 ，对应于入射场关于平板中心对称平面为偶对称的清形，计算出的是偶模。( b ) 图是用 平面波超元算法计算出的偶模的带结构。 1 a _ 一一一 一一一 ( a ) 付 f ，矿。i 3 用燃e 阵法 i l 对毛= 峙) j i | i j t， j 、一。 三= 二二i 二二一二二_ 二= _0弱0404 5 05 f r e q u e n c y ( 2 z r c a ) 点搜索到的前4 个 导模，用了1 2 7 个 平面波基： q l = 0 , 2 3 7 f 2 = o 3 0 6 略3 = o 3 8 3 f 4 = 0 4 2 3 垦堕型堂垫查叁堂婴壅竺! 塞堂垡堡苎 平面波超元算法 计算得出的偶模 能带图： 毛= 愕 点 前4 个导模为 嘶i = o 2 3 5 4 峨2 = 0 3 0 4 4 峨3 = 0 3 8 2 0 0 ) 74 = 0 , 4 2 2 1 酗4 ( a ) 耐补入射情况t 月散射矩阵法对蠢51 0 - p 蛛本征瓣啪 果图。( b ) 用平面坡超元法计算得出的平掘光子晶体偶模能带图。 f i g u r e3 4 ：( a ) t h er e s u l to f e i g e n 岫u e n c yu s i n gt h es c a t t e z i n g m a t r i xm e t h o d ( b ) p r o j e c t e db a n dd i a 舒mo f t h ep h o t o n i cc r y s t a ls l a bt k s i n gp l a n e w a v em e t h o dw i t hs u p e r c e l l 比较两种算法的结果发现，用散射矩阵f z s n 平面波超元算法的结果，最大误差 0 7 ，对奇 模，我们在平板光子晶体两端打入反对称的场，使其只能激发奇对称模式，两者计算结果也 在误差允许范围内，从而验证了新的搜索算法对导模计算的正确性。 接着我们来计算本征模式的场分布，方程( 3 5 4 ) 的解为s “的零本征值的本征矢，即s 的 无穷大的本征值对应的本征矢，在计算中我们取s 的模最大的本征值对应的本征矢为平板光 子晶体的本征模，再由第层的散射矩阵即可求得平板光子晶体内的本征场分布。图3 5 为 k 。，夕名 点的最低的两个本征频率对应本征场在平板中心z = 。对称面的场分布图，由于 计算的是偶模，在平板中心的电磁场为纯的t e 模，同理论相符，图3 5 为磁场z 分量的分布 图： 国防科学技术人学研究生院学位论文 ( a ) 图3 5 ：m 点导模磁场的z 分量在z = 0 平面内的分布尉，( a ) 和( b ) 分别对压第一和 第二条导带 f i g u r e3 5 ：zc o m p o n e n t so f t h em a g n e t i cf i e l do f f i l eg u i d e dm o d e sa tm i nz = os l t r f a c e c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w ol o w e s t b a n d s 由于中心对称面的电磁场为纯的t e 模，从图3 , 5 我们可以看出，在第一条导带，磁场能量约 有一小半集中在低折射率区( 空气孔中) ，丽第二条导带的磁场能量完全集中在高折射率区。 为了和二维光子晶体对比，我们计算了平板中心对称面的i d2 1 分布如图3 6 所示： 国防科学技术大学研究生院学位论文 崮3 - 6 ：电位移矢量模方分布图，分别对应m 点的最低两条带，( 已归一化) 。 f i g u r e 3 6 ：d i s t r i b u n d i a g r a l n s o f1 d i2 ，c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o l o w e s t b a n d s 由图3 - 6 可以看出，第一条带i d l 2 集中于高折射率区，即所谓的“介质带”；第二条带i 驯2 集 中于的折射率区( 空气孔中) ，即所谓的“空气带”。 为了看出电场的分布和模式的对称性，我们计算了平板内电磁场在上表面的分布，分别 如图3 7 所示： 国防科学技术大学研究生院学位沦文 1 1 13 7 ：m 点导模电场z 分量在上表面的分布图，( a ) 和( b ) 分别对应第一和第二条导带 f i g u r e 3 7 l o w e r f i e q u e n c ys t a t e s o f t h e g u i d e d m o d e s a t m i n t h e u p p e rs u r f a c e m n n n c 。，对称性r 从图3 7 所示的本征模式电场z 分量分布图可以看出，第一条带具有爿， 剥称性，第二条带具有b ，列称性，这也和理论分析相符。并且我们注意到：电场z 分量主要 集中于低介质( 空气孔) 中。图3 8 为磁场的z 分量图，和中心对称面上的分布相同。 国防科学技术人学研究生院学位论文 t a b l e l ：t h e c h a r a c t e r t a b l e f o r t h ec 2 pp o i n t g r o u p c 二， f c 2 盯v 盯 爿i 1 111 爿， 1 l 一11 一 b ，ll11 b ， 1 1 1 1 图3 。8 ：m 点导模薛场的z 分量在土表面内的分布图，( a ) 和( b ) 分剐对应第和第二条导带 f i g u r e 3 8 l o w e r f r e q u e n c ys t a t e s o f t h e g u i d e d m o d e s a t m i n t h eu p p e r s u r f a c e 垦堕型兰堡查查堂竺壅尘堕堂丝堕三 一 一 ： e = = ；= = = = = 目= = = = ；_ 口；= = i _ _ # = = = _ 目e e = ；= j 一一 2 散射矩阵法用于计算平板光子晶体的泄漏模式： j j 、i ? j ；0 6 05 f 、：i川l 暑 h 4 ：， 。卜 7 i012汀、。7 r 。l 一j l 一且一j ( b ) 一 笔 e g 奠 i 八i 一7 、? 。若二气i 嚣一i 百嚣一。i 一 n o d a l t r e q l f e n c y j l ； 川 1 i r_iiiliflj f， 里堕型堂垫查盔堂翌! 塞竺! 墨兰堡堡兰 0 9 0 8 o7 。 ( c ) 06 j l0 5 。e l ”i g ? 5 一o 。3 苗5 一商0 4 5 n o 呷a 1 z a q u e n e y 图3 9 ：正八朴隋况下平板光子晶体的透射谱和范数谱。( a ) 用散射矩阵法计算出的透射谱。 ( b ) 用散射矩阵法计算出的范数谱。c ) 用时域有限差分法计算出的透射谱，由朱蠡宏提供。 f i g u r e3 9 ：t r a n s m i s s i o ns p e c t r aa n dn o r ms p e c t r aa tn o r m a li n c i d e n c ef o rc r y s t a ls l a bs t r u c t u r ew i t ha r a d i u so f 0 2 a ( a ) t r a n s m i s s i o ns p e c t r ac a l c u l a t e db ys c a 舵f i n gm a t r i x ( b ) n o r r ns p e c t r ac a l c u l a t e db y s c a t t e r i n g m a t r i x ( c ) t r a n s m i s s i o ns p e c l r a c a l c u l a t e d f d t d m e t h o d ( b y z h i h o n g z h u ) f 面g - _ j q 计算结果1 中相同参数的三角格子平板光子晶体在正入射的情形下( m 点) 的计算 结果，我们用9 1 个平面波计算得的该点偶模的最低两条带的本征频率为0 4 0 4 和o 4 3 6 ，其 中第二个频率点为二重简并，用我们的方法能准确的搜索出来。图31 0 为中心对称面上的纯 t e 模的磁场z 分量分稚图。 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 i 0 ：f 点泄漏模式磁场z 分量在中心对称面上的分布图，( a ) 对应第一个频率点 ( b ) 和( c ) 对应第二个频率点的两个简并模式。 f 4 ：i 】r e 3 1 0 ：l o w e r f r e q u e n c y s t a t e s o f t h e l e a k y m o d e s a tfi n z = 0s t 们a c e 从图3 1 0 我们可以看出，中心对称面上磁场能量完全集中在高介电材料区。 图3 i1 为中心对称面上电位移矢量模的平方的分布图 第3 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 1 1 ：电位移矢量档防分布图，分剥对应m 点的最低两条带，( 已归化) 。 f i g u r e 3 1 1 ：d i s t r i b u t i o n d i a g r a m s o fj d l 2 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o l o w e s t b a n d s 国防科学技术大学研究生院学位论文 孔的半径为0 2 5 ，图31 1 已经没有“介质带”和“空气带”之分了了，泄漏模式中没有带隙， 所以也没有这种i 驯2 分布的反转。 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 1 2 ：泄漏模式的电场z 分量在平板上表面的分布图。( a ) 对应第一个频率点。 ( b ) 和( c ) 对应第二个频率点的两个简并模式。 f i g u r e3 1 2 ：t 1 1 ezc o m d o n e 呲o f t h ee i e c t cf i e l do f t h el e a k ym o d e si nt h eu p p e rs u r f a c e f 点具有e 。剥成性，第一条能带的对称性为b ，由图3 1 2 ( a ) 可以看出，电场的z 分量 - 与t l x q 称性桐符，( b ) 和( c ) 对应于对称性为e ! 的简并模式。从图3 1 2 可以看出，泄漏模式的 电场z 分量也同样集q j 于低介电区( 空气孔) 。 t a b l e 2 ：c h a r a c t e r t a b l e f o r t h ec 6 、p o i n t g r o u p c “ e 2 c 62 c 3c 23 0 。3 0 - ， a 1 】1l1l1 爿， 1l1111 一 b 1 ijiiii b 2 111111 e 2112o0 e 、 21120 0 一 图3 1 3 为上表面的磁场z 分量分布图，可以看出，上表面的电场和磁场的z 分量都集中 于高介电材料区，而且也和中心对称面的分布相同。 ( a ) 第3 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 1 3 ：泄漏模式的磁场z 分量在平板上表面的分布图。( a ) 对应第一个频率点。( b ) 和( c ) 对应第二个频率点的两个简并模式。 f i g u r e 3 1 3 ：t h e zc o m p o n e n t o f t h e m a g n e t i c f i e l d o f t h e l e a k y m o d e s i n t h e u p p e r s u r f a c e 国防科学技术大学研究生院学位论文 3 用散射矩阵法计算平板光子晶体的带结构： 下面我们将要计算出一个平板光子晶体的完整的带结构。仍然针对图1 2 ( b ) 所示的孔 结构三角格子平板光子晶体进行计算，晶格常数为a ，孔半径为0 2 5 a ，厚度为0 5 a ，高折 射率材料的折射率为3 4 。把它与图3 4 用平面波法计算出的导模能带图作了比较，发现导模 的计算结果符合得很好，并且可以看到，在导模带隙内有泄漏模式的存在，带隙仅存在导模 中，而不存在完全的带隙。 图3 1 4 ：平拓光子晶体邪黼滞图。 f i g u r e 3 1 4 ：p h o t o 面c